PAUTA Prueba A2

Elementos de Estadstica

3 de Julio de 2008

Profesor: Jorge Lemus

Ayudante: Francesca Casanueva

ESCOJA 4 de los 5 PROBLEMAS

Problema 1: Variables Aleatorias.

Considere una variable aleatoria continua X con la siguiente funcion de densidad:

f(x) =

12 x [1, 0]12 x [1, 2]0 En otro caso

(a) Grafique la funcion f(x)

(b) Calcule F (a) = a

f(x)dx para todo valor de a R.Indicacion: Distinga los casos a < 1, a [1, 0], a [0, 1], a [1, 2] y a > 2.

1

F (a) =

0 a 1a2 a [1, 0]12 a [0, 1]12 +

a12 a [1, 2]

1 a > 2

(c) Calcule P( 12 X A), para A (0, 1) y verifique que es un valor independiente de A.Es el area bajo la funcion densidad entre 12 y A. P( 12 X A) =

A1/2 f(x)dx =

14 , que es

indendiente del valor de A.

(d) Calcule P(1 X 1,5).Es el area bajo la funcion densidad entre 1 y 1,5. P(1 X 1,5) = 1,5

1f(x)dx = 14 .

Problema 2: Curvas ROC.

Se mide la cantidad hormona X en la sangre para determinar la presencia de una enfermedad. Se toman 20pacientes sanos y 20 enfermos. Los resultados se muestran a continuacion:

Sanos 10 11 9 10 12 15 13 11 14 1212 11 15 11 12 12 16 14 15 13

Enfermos 15 16 14 13 11 17 14 16 18 1913 11 12 13 12 14 16 19 15 18

(a) El Test declara enfermo si la cantidad de hormona es mayor o igual a 13, determine FVP, FVN.

FV P = 16/20, FV N = 12/20

(b) El Test declara enfermo si la cantidad de hormona es mayor o igual a 15, determine FVP, FVN.

FV P = 10/20, FV N = 16/20

(c) El Test declara enfermo si la cantidad de hormona es mayor o igual a 17, determine FVP, FVN.

FV P = 6/20, FV N = 20/20

(d) De acuerdo a los resultados anteriores justifique que criterio le parece mas adecuado, 13, 15 o 17.

Los 3 criterios son distintos y para poder compararlos se debe tener un criterio sobre que se quiereprivilegiar, clasificar bien a los enfermos o a los sanos.

Problema 3: Regresion Lineal.

Se utilizan dos termometros para medir la temperatura, uno graduado en grados Celsius y el otro en gradosFahrenheit. Usted desea determinar la formula de conversion entre Celsius y Farenheit. Para esto, plantea elsiguiente modelo lineal:

F = a+ bC,

donde F representa grados Fahrenheit y C Celsius. Midiendo 10 veces la temperatura con los dos termometrossimultaneamente obtiene los siguientes resultados:

2

CELSIUS 9 12 14 18 20 28 31 35 37 40FAHRENHEIT 48 54 57 64 68 83 89 94 99 105

(a) Utilizando Regresion Lineal determine la formula de conversion entre grados F y C.

b = 1,82, a = 31,68 F = 31,68 + 1,82C

(b) Encuentre el coeficiente R de la regresion y comente a partir de esto si la regresion lineal le pareceadecuada.

r = 0,9995. Es sumamente cercano a 1 y positivo, por lo cual la relacion entre las variables F y C espositiva. La regresion lineal sera un metodo adecuado.

(c) Determine, segun el modelo encontrado, a cuantos grados F equivalen: 0C, 50C y 100C.

0C = 31,68F, 50C = 122,38F, 100C = 213,68F

Problema 4: Intervalos de Confianza.

Se realizo una prueba de lectura a n individuos como parte de un estudio y se registraron sus puntajes.Se desea construir un intervalo al 95% de confianza para la media de puntaje (), suponiendo que esta sedistribuye de manera normal, con desviacion estandar =12.

(a) Calcule aproximadamente la longitud del intervalo del 95% de confianza para la media poblacionalbasado en n = 100.

Notemos que el largo del intervalo viene dado por

l = x+ Z2

n(x Z

2

n

)= 2Z

2

n

Reemplazando los valores Z2= 1, 645, = 12, y n = 100, queda

l = 2 1, 96 12100

= 4, 704

(b) Rehaga el calculo hecho en la parte anterior, si el presupuesto permitiese solo evaluar a n = 10individuos.

l = 2Z2

n

= 2 1, 96 1210

= 14, 875

3

(c) Determine el menor valor de n para el cual se satisface el requerimiento de los investigadores de obtenerun intervalo del 95% de confianza con una longitud de a lo sumo 10.

Notemos que el largo del intervalo viene dado por

n =(2Z

2

l

)2=

(2 1, 96 12

10

)2 23

(d) Se realiza una prueba con n = 35 individuos, cuyo puntaje promedio fue de x = 570. Construya unintervalo de confianza para al 95%.

I =[x Z

2

n;x+ Z

2

n

]=

[570 1, 96 12

35; 570 + 1, 96

1235

]= [566, 02; 573, 98]

Indicaciones:

Recuerde que un intervalo de confianza para la media de una poblacion normal, de varianza 2, vienedada por

I =[x Z

2

n;x+ Z

2

n

]El largo de un intervalo [a, b] es b a.

Problema 5: Test de Hipotesis.

Para el estudio de la proporcion p de cierta poblacion, se plantea el siguiente test de hipotesis{H0 : p = p0HA : p > p0

Suponiendo un n grande se sabe (no es necesario que lo deduzca) que la region de rechazo para este test es:

W =

{p > p0 + z

p0(1 p0)

n

}donde p es la estimacion muestral para la proporcion.

Se cree que determinada enfermedad se presenta en mayor medida en hombres que en mujeres. Para chequearesto se cuenta con una muestra aleatoria de tamano 100 de los cuales 70 son hombres.

(a) Encuentre la estimacion de la proporcion p de hombres con la enfermedad.

Definimos p como la proporcion de hombres enfermos de una poblacion. Con esto, para los valoresmuestrales obtenidos, una estimacion para p viene dada por

p =70100

= 0, 7

4

(b) Plantee un test de hipotesis que permita ver si la enfermedad se presenta la misma proporcion dehombres y mujeres.

Se contrasta {H0 : p = 12HA : p > 12

para el cual, se tiene una region de rechazo de la forma

W =

{p > p0 + z

p0(1 p0)

n

}

=

p > 12 + 1, 645

12 (1 12 )100

= {p > 0, 582}

(c) Que podemos concluir a partir de esta muestra?

Se tiene que p W y por lo tanto se rechaza que la proporcion de enfermos es la misma.

5