paulina vázquez alvarado castor alejandro jiménez

Paulina Vázquez AlvaradoCastor Alejandro Jiménez GutiérrezAna Elizabeth García Hernández

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Dirección editorialGrupo Editorial Mx

Editor en jefeFelipe Hernández Carrasco

EditoraMaría de Lourdes Rivera Aguilera

Revisión técnicaJavier León Cárdenas

Corrección de estiloÁngela Cruz Martínez

Coordinación de diseñoKarem Anabelli Zavala Acevedo

Diseño editorialItzel Roldán López

Diseño de portadaItzel Roldán López

Dirección de producciónFrancisco J. Martínez García

AutoresPaulina Vázquez AlvaradoCastor Alejandro Jiménez GutiérrezAna Elizabeth García Hernández

1ª edición enero 2020D.R. © Grupo Editorial Mx.

ISBN: 978-607-8679-69-0

Organización didáctica por Unidades de Aprendizaje Curricular (UAC)con situaciones de aprendizaje.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro número 3790.

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Derechos Reservados

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

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Impreso en México Printed in Mexico

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Grupo Editorial Mx ha desarrollado un proyecto educativo que vincula los programas de estudio con el medio ambiente que te rodea. Son materiales, impresos y digitales, que te ayudarán a aplicar los conocimientos adquiridos en tu día a día.

Es por lo anterior que en este libro encontrarás una gama de conceptos y actividades que despertarán tu interés por el conocimiento y por la cultura, facilitando tu proceso de aprendizaje en el aula y en la vida cotidiana.

Sección de orientación vocacional que destaca oficios y profesiones relacionadas a la asignatura.

Or teActividades enfocadas al Desarrollo de Habilidades Socioemocionales (DHS) de acuerdo con el programa ConstrúyeT.

Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

Presentación

Esta prueba relaciona a los alumnos con el tipo de reactivos de la prueba PLANEA.

• Prueba tipo PLANEA •

Instrumentos que permiten la autoevaluación y la heteroevaluación de los saberes.

• Evaluación de saberes •

Ejercicio de reflexión sobre el proceso de aprendizaje.

• Metacognición •

Lecturas arbitradas con ejercicios de prelectura y poslectura.

• Fomento a la lectura •

Evaluación sumativa de los conocimientos adquiridos.

• Evaluación objetiva •

Instrumento que permite heteroevaluar el desempeño de los alumnos en el desarrollo de la situación de aprendizaje.

• Evaluación de situación de aprendizaje •

Casos diseñados para el desarrollo del Saber, Saber hacer y Saber ser y convivir.

Esta sección se identifican los saberes que serán el punto de partida para el proceso de aprendizaje.

• Evaluación diagnóstica •

Actividades del programa de estudios que facilitan la movilización y transferencia de saberes y competencias.Por campo disciplinar:

Matemáticas Comunicación Humanidades Ciencias Sociales Ciencias Experimentales

Actividades multidisciplinares.Actividades adicionales al programa para enriquecer la transferencia de saberes.

Actividades del programa que apoyan la coevaluación y autoevaluación.

Actividades adicionales al programa para enriquecer la movilización de saberes.

Secciones

Tipos de actividades

• Situación de aprendizaje 1 •

3

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Situación de aprendizaje 1 “El lugar de donde soy” 9

Plano cartesiano 11Sistemas de coordenadas cartesianas 11Valor absoluto 17Distancia entre dos puntos 18División de un segmento en una razón dada 23Punto medio 30

Recta 36Elementos de una recta 36Pendiente y ángulo de inclinación 36

Formas de las ecuaciones una recta 42Paralelismo y perpendicularidad según sus pendientes 50

Distancia entre un punto y una recta 59Intersección de rectas 60

ContenidoUAC I

UAC II 66

Situación de aprendizaje 2 “Música para mis oídos” 69

Cónicas 71Excentricidad 71

Circunferencia 72Elementos 73Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen 76

Forma general de la ecuación de la circunferencia 79Obtención de los elementos de la circunferencia dada su ecuación 79

Ecuación de la circunferencia dados tres puntos 82

Otras cónicas 88Elementos, construcción y ecuación ordinaria y general de la elipse 88

6

4

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Bibliografía 144

UAC III 108

El lugarde donde soyUAC I

UAC II

UAC III

Dilemasde la juventud

Y tú… ¿Estudiaso trabajas? Hecho en México Una temporada

abrazadora

Música paramis oídos

Learning& beyond

La vida es una danzapara disfrutar ¡Quiero participar! Lo inexplicable

del clima

Hasta en losdeportes My life choices Quiero ser Ciudadano

del mundo¿Qué rayos esta

pasando?

Matemáticas Comunicación Humanidades Ciencias Sociales

Ciencias Experimentales

Tabla de situaciones de aprendizajeTabla de situaciones de aprendizaje

Situación de aprendizaje 3 “Hasta en los deportes” 111

Otras cónicas 113Elementos, construcción y ecuación ordinaria y general de la parábola 113

Ecuación de la parábola 115Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en y fuera del origen 115Parábolas horizontales y verticales en y fuera del origen 118Forma general de la ecuación de una parábola 120Obtención de los elementos de la parábola dada su ecuación 122Ecuación de la parábola dados tres puntos 125

Elementos, construcción y ecuación ordinaria y general de hipérbola 129Ecuación con centro en cualquier otro punto 135

5

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UAC I

6

Aprendizajes clave

Componente • Lugares geométricos y sistemas de referencia • Del pensamiento geométrico al analítico

Contenido central • La geometría analítica como método algebraico para la resolución de tareas geométricas • El tratamiento de los sistemas de coordenadas • Conceptos básicos del sistema de coordenadas rectangulares, orientación y posi-ción en el plano

• El papel del origen de las coordenadas en los sistemas de referencia

Desarrollo de aprendizaje

Contenidos específicosMA-201 Plano cartesianoMA-202 Sistemas de coordenadasMA-203 Recta

Productos esperados

Productos esperados • Material publicitario (folleto, maqueta, video, aplicación para teléfonos inteligentes, etc.), donde se pueda dar a conocer los lugares más atractivos de su comunidad, para incrementar el turismo sustentable, donde detallen los lugares más interesantes en contenido cultural, social, histórico o educativo; indicando sus rutas de acceso.

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Multidisciplinariedad Multidisciplinariedad

• Matemáticas (MA) • Humanidades (HU) • Ciencias sociales (CS) • Ciencias experiementales (CE)

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Las situaciones de aprendizaje buscan conectar las habilidades desarrolladas en Lenguaje y Comunicación I con los contenidos de los campos disciplinares de Matemáticas, Humanidades, Ciencias Sociales y Ciencias Experimentales.

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.Subraya la opción correctaف 1. Al piso de dos salones de forma cuadrada se le va a colocar mosaico, pero uno de

los salones tiene la mitad de dimensiones que el otro. ¿Qué expresión cuadrática representa la cantidad de mosaico necesario para cubrir la superficie de ambos pisos?a. a a

a aaa a

4 8452 4

2

2

2

2 2

++

+

b. a aa aaa a

4 8452 4

2

2

2

2 2

++

+

c.

a aa aaa a

4 8452 4

2

2

2

2 2

++

+d.

a aa aaa a

4 8452 4

2

2

2

2 2

++

+

2. En qué cuadrante se encuentra el punto (5, 8).a. Primer cuadranteb. Segundo cuadrantec. Tercer cuadranted. Cuarto cuadrante

3. La representación geométrica de la ecuación y = 5x + 4 es:a. una parábola b. una circunferenciac. una elipsed. una recta

4. Un insecto se desplaza del punto (0,0) al punto (3,0) y después del punto (3,0) al punto (3,8) que distancia en línea recta hay del inicio al final del recorrido del insecto.a. 11b. 8.54c. 5.52d. ninguna de las anteriores

5. ¿Qué usaste para resolver el ejercicio anterior?a. La operación sumab. Funciones trigonométricasc. El teorema de Pitágoras d. La ley de senos

• Evaluación diagnóstica •

Pensamiento Matemático IV

8

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• Situación de aprendizaje 1 • “El lugar de donde soy” •

Ámbito

• Pensamiento matemático • Solución de problemas

Habilidades Socioemocionales

• Toma de perspectiva

Dimensiones del proyecto de vida

• Responsabilidad social

Propósitos

Al término de la UAC l del cuarto semestre, el estu-diantado aplicará el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos, la pendiente y la ecuación de la línea recta, en la construcción de material que promueva los lugares de interés, fomentando el turismo susten-table y mejorando la economía de su población.

Competencias Genéricas (CG)

CG4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

A1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

CG8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

A3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias Disciplinares Básicas del área de Matemáticas (CDBM)

CD1-MA. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CD8-MA. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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• Situación en contexto •

I. Lee la siguiente situación de aprendizaje.

Los alumnos de los bachilleratos del municipio se reunieron porque están preocupados por los escasos ingresos económicos que obtienen sus familias, algunos comentan que ya no hay el mismo turismo que antes, por lo que acuden al presidente muni-cipal y le proponen crear un proyecto, cuidando su entorno natural (sustentable), en el que se pueda dar a conocer los lugares más atractivos de su jurisdicción y así difundir lo atractivo de su loca-lidad, con el fin de incrementar el turismo del lugar, para tal motivo, proponen que los medios para su difusión podrían ser un folleto, maqueta, video o aplicación para teléfonos inteligentes, etc., en el cual se detallen los lugares más interesantes en contenido cultural, social, histórico o educativo; debiendo incluir la localización de cada lugar signi-ficativo y la distancia que separa a los puntos más relevantes de la misma, e incluso, se pueden plan-tear recorridos, ya sea a pie, caballo, bicicleta, auto o en carreta a los sitios más importantes de su comunidad, indicando sus rutas de acceso.

El lugar de donde soy

II. Responde las preguntas que se plantean a continuación.1. ¿Cuáles son los lugares más representativos de la población?

2. ¿Dónde se encuentran ubicados gráficamente?

3. ¿Cómo puedes ayudar con el proyecto, de acuerdo con la problemática presentada?

4. ¿Qué elementos necesitas para el desarrollo del proyecto?

5. ¿Cómo puedes representar los recorridos a los lugares propuestos utilizando los diferentes medios de transporte?


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Plano cartesiano El sistema de coordenadas rectangulares, también conocido como sistema de coordenadas carte-sianas o plano cartesiano, consta de dos rectas perpendiculares orientadas, mejor conocidas como ejes de coordenadas. Al punto donde estas rectas se intersecan se le llama origen y es el centro de nuestro sistema de coordenadas. Se denota comúnmente como O; su coordenada es (0, 0).

Los ejes se denominan eje de las X (o abscisas) y eje de las Y (u ordenadas). Dichos ejes dividen al sistema en cuatro cuadrantes (I, II, III y IV), como se muestra en la figura 1.2, y se numeran en sentido contrario a las manecillas del reloj; sin excepción, están constituidos por puntos formados por una abscisa y una ordenada, llegando a obtener coordenadas rectan-gulares de la forma (x, y).

Una abscisa es la distancia horizontal medida desde un punto y hasta el eje de las ordenadas o eje Y. Una ordenada es la distancia vertical medida desde un punto y hasta el eje de las abscisas o eje X.

En el caso de que algún punto se encuentre sobre algún eje de coordenadas X o Y, el valor de la ordenada o abscisa será 0. En el primer cuadrante, tanto la abscisa como la ordenada son positivas; el segundo cuadrante tiene su abscisa negativa y su ordenada positiva; en el tercero, tanto la abscisa como la ordenada son negativas y, en el cuarto, la abscisa es posi-tiva y la ordenada negativa.

Figura 1.2 Plano cartesiano y sus cuadrantes.

Eje X-X

Eje Y

-Y

00

2

-2

-4

-6

-8

4

2

6

8

10

4 6

P(x, y)

Cuadrante I(+,+)(-,+)

(-,-) (+,-)

Cuadrante IIEje de las ordenadas (Y)

Eje de las abscisas (X)

Cuadrante III Cuadrante IV

10 12-12 -10 -8 -6 -4 -2 8

Es común que un punto sobre el sistema de coordenadas rectangulares sea denotado con una letra mayúscula seguida de la coordenada rectangular; por ejemplo, el punto P (x, y).

Sistemas de coordenadas cartesianasPara localizar un punto cualquiera en el plano cartesiano, se parte del origen avanzado sobre el eje de las abscisas, hacia la derecha (+) o hacia la izquierda (−) dependiendo del signo, tantas unidades de acuerdo con el valor numérico del primer dato de la coordenada. A partir de esta posición se avanza hacia arriba (+) o hacia abajo (−), en forma paralela al eje de las ordenadas, de acuerdo con el valor numérico del segundo dato de la coordenada.

Figura 1.1 Los ejes se denominan eje de las X (o abscisas) y eje de las Y (u ordenadas).

· UAC I ·

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Ejemplo 1

Ejemplo 2

Localiza el polígono con vértices en A (6, 1), B (-2, 0), C (-5, 3), D (2, 7) y E (2, 4).

Solución Paso 1: buscamos cada uno de los puntos denotándolos con sus respectivas letras.Recordemos que X son las abscisas y Y las ordenadas.

Paso 2: unimos de manera alfabética los puntos, es decir, A con B, B con C, C con D, D con E y, E con A.

A

B

C

E

D

00

2 4 6-6 -4 -2

2

6

8

X

Y

4

Grafica los puntos A (3, 6), B (0, 2), C (1, 3) y D (-2, -4).

SoluciónSe localizan los siguientes puntos y se denotan únicamente con las letras mayúsculas.

X-X

Y

-Y

00

2

-2

-4

4

2

6

8

4

B

D

A

C

6-6 -4 -2


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Ejemplo 3

Juan, Pedro y Patricia viven en la misma comunidad. Juan quiere visitar a Patricia y luego a Pedro; para ello es necesario que ubique los lugares donde vive cada uno. Patricia le dijo que caminará cinco cuadras del centro hacia el este y luego tres cuadras hacia el sur; Pedro dijo que fuera siete cuadras hacia el norte y una hacia el oeste. Si Juan vive exac-tamente a una cuadra del centro hacia el oeste y una hacia el sur.a. ¿Cuáles son los puntos donde vive cada uno de ellos, si consideramos un sistema de

coordenadas de acuerdo con las cuadras de la comunidad?b. ¿Qué polígono se forma cuando Juan hace su recorrido entre las tres casas?

Solucióna. Localizamos los puntos donde vive cada uno de los amigos. El norte es el eje de las

ordenadas positivas, el sur es el eje de las ordenadas negativas; el eje de las abscisas positivas corresponde al este y el oeste es el eje de las abscisas negativas.

00

2

2

4

4

6

6

8

8

10

10

-2

-2

-4

X

Y

-4

AC

B

De lo anterior obtenemos que los puntos de localización de cada amigo son: • Patricia vive en el punto A (5, -3) • Pedro vive en el punto B (-1, 7) • Juan vive en el punto C (-1, -1)

· UAC I ·

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b. Unimos los puntos obtenidos del inciso anterior para saber qué polígono es. La unión es de 2 en 2 puntos: A con B, B con C y C con A.

00

2

2

4

4

6

6

8

8

10

10

-2

-2

-4

X

Y

-4

AC

B

Concluimos que el polígono obtenido es un triángulo.

Ejemplo 4

Determina las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano.

Solución

00

1

1

2

3

4

5

6

7

8

2 3-3 -2 -1-6 -5 -4 X

P (-3,3)

R (-5,-1)

Q (1,5)

Y

S (-6,6)

-1

El primer número de la coordenada se refiere al eje de las abscisas y el segundo número al eje de las ordenadas.

• P (-3, 3) • Q (1, 5)

• R (-5, -1) • S (-6, 6)


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I. Localiza en un sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos y deter-mina el cuadrante en el que se encuentran.

1. M (0, 0)2. N (-3, 5)3. P (5, 3)4. Q (-1, -1)5. R (8, -2)

II. Grafica en tu cuaderno el polígono cuyos vértices son A (-3, 4), B (0, 5), C (4, 2), D (1, -2) y E (-3, -1)

III. Escribe dentro del paréntesis la letra que corresponda a la palabra que define cada uno de los siguientes conceptos.

( )Al intersecarse dos rectas perpendiculares se forman cuatro cuadrantes, con lo cual se forma el denominado plano cartesiano.

a. Origen

( ) ¿Cómo se llama el cuadrante donde la abscisa y la ordenada son negativas? b. Cuadrante IV

( ) ¿Cómo se llama el cuadrante donde la abscisa es positiva y la ordenada negativa? c. Cuadrante III

( ) Es el punto donde se intersecan las dos rectas perpendiculares de un plano cartesiano. d. P (x, y)

( ) Es la forma en que se denota una coordenada en cualquier sistema coordenado. e. Recta

( ) Figura que se obtiene al unir tres o más puntos en un mismo sistema coordenado. f. (x, y)

( ) Es la forma en la que se denota cualquier punto dentro de un sistema de coordenadas. g. Polígono

( ) Figura que se obtiene al unir dos puntos cualesquiera en un plano cartesiano.

h. Sistema de coordenadas

• Actividad 1 • • CG 4, 8 • CDBM 1, 8 •

· UAC I ·

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IV. Dibuja los puntos en el orden en que aparecen y únelos con segmentos de recta. (3, 3), (5, -1), (6, -2), (8, 0), (10, 4), (12, 8), (13, 12), (13, 16), (15, 15), (19, 15), (24, 15), (26, 16), (25, 14), (23, 10), (22, 6), (19, 5), (17, 3), (16, 1), (15, -3), (15, -7), (13, -8), (11, -19), (9, -12), (8, -14), (7, -18), (5, -16), (1, -14), (0, -14), (-4, -15), (-6, -17), (-8, -15), (-10, -13), (-11, -12), (-12, -12), (-13, -12), (-14, -13), (-17, -15), (-18, -15), (-22, -13), (-24, -12), (-25, -12), (-27, -13), (-25, -11), (-23, -8), (-21, -5), (-19, 0), (-15, -2), (-12, -4), (-10, -5), (-7, -6), (-4, -6), (-1, -6), (-1, -3), (-2, 1), (0, -1), (1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 3)

Localice los lugares de mayor interés o significativos de su población. Represénteloف en un mapa (que previamente haya elaborado o adquirido), en el que elija un punto de referencia; contraste y unifique lo elaborado por cada uno de sus compañeros; de forma colaborativa construyan uno solo en un plano cartesiano, con alguna escala.



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Valor absolutoLa distancia entre dos puntos, denotada por d, está determinada por la magnitud del segmento de recta que los une. Cuando estamos en la recta numérica (por ejemplo) podemos referir la distancia como un segmento dirigido o no dirigido; esto es muy importante, ya que no será lo mismo dirigirme del valor 8 al 3, que del 3 al 8.

Sin embargo, en nuestro caso el segmento a considerar es no dirigido, por lo que la distancia será siempre positiva.

Cuando no se tiene una unidad de medida especificada correspondiente a los puntos, se utiliza como unidad de medida únicamente a las unidades por comodidad.

Existen dos casos que pueden presentarse en el cálculo de la distancia.

Caso I Dos puntos de la forma (x, y) sobre la misma recta, que es paralela a alguno de los ejes del sistema de coordenadas. En este caso tenemos dos formas distintas de determinar la distancia entre dos puntos.

Cuando los puntos son colineales (sobre la misma recta paralela al eje X o al eje Y).

1. La recta es paralela al eje X (horizontal).En este caso el valor de la ordenada y de nuestro punto P (x, y) es el mismo en ambos puntos. Entonces, únicamente tenemos que restar, al valor de la abscisa del segundo punto, el valor de la abscisa del primer punto d = |x 2 – x 1|.

Ejemplo

Determina la distancia entre los puntos A (-3, 4) y B ( 7, 4).

Soluciónd = |x2 - x1| = |7 - (-3)| = |7 + 3| = |10| = 10.

Por lo tanto, la distancia entre el punto A (-3, 4) y B (7, 4) es de 10 unidades.

y2 = y1 B(7, 4)

10u

A(-3, 4)

-2 -1-4 -3-5 987

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

00

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Un segmento es una recta delimitada entre dos puntos, si consideramos que ambos están sobre el mismo eje podemos calcular su longitud, que equivale a calcular la distancia que separa a los dos puntos que lo delimitan.

Un segmento dirigido es el recorrido que se hace desde un punto inicial hasta un punto final en el plano, considerando siempre el sentido que hace el recorrido.

Por ejemplo, en la figura siguiente hay dos segmentos dirigidos en los cuales la distancia entre los puntos es la misma, ya sea que empecemos por la izquierda o por la derecha, por lo tanto, es conveniente considerar el valor absoluto de la diferencia entre las ubicaciones para determinar el siguiente modelo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Desde el número 2 hasta el 5 la distancia es de 3 unidades al este.

Del número 5 hasta el 2 la distancia es de 3 unidades al oeste.

d = |x2 - x1|

Lo cual nos da la longitud del segmento (distancia entre dos puntos que se encuentran sobre el mismo eje).

Si tomamos como x1 al punto 0 podemos determinar el valor absoluto tanto de números negativos como la distancia entre el número x2 y el origen y como la distancia siempre es posi-tiva el valor absoluto siempre es positivo. Por ejemplo

|5| es la distancia entre 0 y 5, entonces |5| = 5

|-5| es la distancia entre -5 y 0, entonces |-5| = 5

Distancia entre dos puntos2. La recta es paralela al eje Y (vertical).

En este caso el valor de la abscisa X de nuestro punto P (x, y) es el mismo en ambos puntos. Entonces, únicamente tenemos que restar, al valor de la ordenada del segundo punto, el valor de la ordenada del primer punto d = |y2 – y1|.

Ejemplo

Determina la distancia entre los puntos A (−4, 7) y B (−4, −2).

Soluciónd = |y2 – y1| = |−2 –7| = |−9| = 9.


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Caso II La recta es oblicua, es decir, los puntos A (x1, x2) y B (x2, y2) no están en la misma recta vertical u horizontal, por lo que sus coordenadas son diferentes.

En este caso construimos un triángulo rectángulo que tenga el segmento AB como hipotenusa y los catetos |x2 – x1| y |y2 – y1| como se muestra en la figura.

Posteriormente, para calcular la distancia, o sea d entre A y B (d (A, B)) utilizaremos el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus catetos.

B(x2, y2)

A(x1, y1)

|y2 - y1|

|x2 - x1|

y2

y1

x1 x2

De lo anterior concluimos que la fórmula general para obtener la distancia entre dos puntos está dada por:

= − + −d A B x x y y( , ) ( ) ( )2 12

2 12

Por lo tanto, la distancia entre el punto A (−4, 7) y B (−4, −2) es de 9 unidades.

X1 = X2= ‒4

A(‒4, 7)

B(‒4, ‒2) -2

-1

-4

-3

-6 -5 -40

0

1

2

3

4

5

6

7

-3 -2 -1

9u

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Ejemplo 1

Ejemplo 2

Determina la distancia entre los puntos P (3, 4) y Q (−5, −2). Grafica los puntos sobre un sistema de coordenadas rectangulares.

SoluciónSustituimos los valores de las coordenadas de P y Q en nuestra fórmula general y reali-zamos las operaciones que se indican.

d (P, Q) = − + −x x y y( ) ( )2 12

2 12

d (P, Q) = − − + − −( 5 3) ( 2 4)2 2

d (P, Q) = − + −( 8) ( 6)2 2

d (P, Q) = +64 36

d (P, Q) = 100

d (P, Q) = 10 unidades

Grafica y calcula la distancia entre los siguientes puntos, finalmente determina de qué tipo de triángulo se trata.

A (−2, 4), B (6, 4) y C (2, −1)

Solución


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Para determinar el tipo de triángulo es necesario conocer la longitud de cada uno de sus lados, por lo que calcularemos la distancia de AB, BC y CA.

• Distancia AB

d A B, 6 2 4 42 2( )( ) ( ) ( )= − − + −

d A B, 8 02 2( ) ( ) ( )= +

( ) = +d A B, 64 0

d A B, 8( ) =

• Distancia BC

d B C, 4 52 2( ) ( ) ( )= − + −

d B C, 16 25( ) = +

d B C, 41( ) =d B C, 6.4( ) =

• Distancia CAd C A, 4 5

2 2( ) ( ) ( )= − +

d C A, 16 25( ) = +

d C A, 41( ) =d C A, 6.4( ) =

Observa que dos de sus lados miden lo mismo; un triángulo con dos lados iguales es un triángulo isósceles.

:En parejas determina el valor absoluto deف

1. |8 - 5| =

2. |-8 + 5| =

3. |6 - 15| =

4. |-3 + 15| =

5. Respondan la siguiente pregunta, argumentando su respuesta. ¿En la recta numé-rica el valor absoluto |x2 - x1|, es igual a |x1 - x2|?


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6. Determina la distancia entre los siguientes puntos que se encuentran sobre el mismo eje.a. (-1) y (2)b. (-3) y (-7)

7. Encuentra la distancia entre los puntos en el plano.a. R (-5, -1) y S (0, 0).b. M (-3, 1) y N (0, -5).

8. Determina la distancia que separa a los puntos dados:a. P (1, 7) y Q (−2, 4)b. A (1, −1) y B (−5, 5)c. M (0, −1) y N (−1, 0)d. C (−3, 2) y D (5, 2)e. X (0, −1) y Y (0, 2)

9. Verifica que los puntos A (−2, −3), B (−4,−5) y C (−1,−6) sean los vértices de un triángulo isósceles. Justifica tu respuesta.

10. Determina el perímetro del triángulo formado por los vértices A (1, 2), B (9, 10) y C (9, 2). Dibuja el triángulo y justifica tu respuesta detallando el procedimiento de solución.

11. Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (−1, 2) y B (5, −3). ¿Cuánto mide su radio?


22

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División de un segmento en una razón dadaEn tu curso anterior de matemáticas utilizaste los conceptos de razón y proporción durante el tema de triángulos semejantes, el cual será de gran utilidad para comprender lo que a continuación se describe.

Una razón es la comparación entre dos cantidades y se expresa mediante una división. Para ello consideremos un segmento dividido en dos segmentos: uno de 80 cm y otro de 20 cm de longitud, respectivamente, como se muestra en la figura siguiente.

80 cm 20 cm

En la figura es fácil observar que el segmento de la derecha cabe cuatro veces en el segmento de la izquierda. Esto puede ser más claro si se divide la longitud del primer segmento entre la longitud del segundo de la siguiente manera:

= = = =8020

4010

205

41

4

En este caso, si usamos el segmento formado por los dos segmentos menores, de 80 y 20 cm, cada uno, tenemos un segmento total de 100 cm.

Así que podemos decir que: Si A es el segmento de longitud 80 y B el de longitud 20, decimos que el segmento mayor

A + B = 100, el cual se divide por el punto P (vea la figura) en la razón.

P

A B

2080

= = = =8020

4010

205

41

4= = = =8020

4010

205

41

4

A esta razón la denotamos con r.

Ahora realicemos lo anterior de manera general. Para ello consideremos un segmento dentro de un sistema de coordenadas cuyos puntos extremos son: A (x1, y1) y B (x2, y2). Si P (x, y) es el punto que divide al segmento dado en una razón r, tenemos que:

= =d A Pd P B

APPB

r( , )( , )

, donde r es la razón en la que el punto P divide al segmento.

Cuando el segmento dividido está dentro de un sistema coordenado, y la razón entre él y el punto que lo divide es proporcionada, las coordenadas de la abscisa y la ordenada se establecen de la siguiente manera.

1 Se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados X y Y desde los puntos A, P y B.

· UAC I ·

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3Se considera cualquiera de los ejes X o Y para establecer la razón entre estos tres puntos, ya que:

= =APPB

Q QQ Q

R RR R

1

2

1

2

6 Sustituimos los valores anteriores en la fórmula = =−

−=

APPB

Q QQ Q

x xx x

r,1

2

1

2

para posteriormente despejar x. Es decir:

−

−=

x xx x

r1

2

x1 − x = r (x – x2)

x1 − x = rx – rx2

x1 + rx2 = rx + x

x + rx = x1 + rx2

x(1 + r) = x1 + rx2

=+

+x

x rxr1

1 2 donde r ≠ −1

4 Consideremos los puntos del eje coordenado X y busquemos la fórmula general para encontrar la razón dada.

5 Como Q1, Q y Q2 son de la forma (x1, 0), (x, 0) y (x2, 0), respectivamente, la distancia entre Q1Q y QQ2 queda establecida como Q1Q = x1 − x y QQ2 = x – x2.

2 Las coordenadas de los puntos trazados sobre el eje X son Q1(x1, 0), Q (x, 0) y Q2(x2, 0) y sobre el eje Y son R1(0, y1), R (0, y) y R2(0, y2).


24

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8 Es decir, las coordenadas de un punto P (x, y) que divide a un segmento en una razón dada, y cuyos extremos son A (x1, y1) y B (x2, y2), está dada por:

(x, y) = x1 + rx2

1+ r, y1 + ry2

1+ r

De lo anterior, y considerando los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), las coordenadas del punto que divide a un segmento rectilíneo en una razón r están determinadas por la siguiente fórmula:

P (x, y) = x1 + rx2

1+ r, y1 + ry2

1+ r

Donde =r APPB

es la razón dada, siendo r ≠ −1, P es el punto donde se encuentra

determinada la razón.

B(x2, y2)R2(0, y2)

0

R(0, y)

R1(0, y1)

Q1(x1, 0) Q(x, 0) Q2(x2, 0)

P(x, y)

A(x1, y1)

Y

XX

Y

7 Análogamente, =+

+y

y ryr1

1 2 , donde r ≠ −1

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Ejemplo 1

Ejemplo 2

Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por:

A (8, 2) y B (−5, 7) en la razón =r 34

.

SoluciónSustituimos los valores de los puntos y el valor de r en nuestra fórmula general.

(x, y) =8+ 3

4( 5)

1+ 34

,2+ 3

4(7)

1+ 34

Resolvemos las operaciones que se indican.

(x, y) =8 15

474

,2+ 21

474

=

32 15474

,8+ 21

474

=

17474

,29474

Aplicamos la ley de “sándwich” o del emparedado y simplificamos.

(x, y) = 6828

,11628

=3414

,5814

=177

,297

(2.43,4.14)

Donde las coordenadas del punto P (x, y) son P (x, y) = 177

,297

Determina las coordenadas del punto O (x, y) que se encuentra a los 34

a partir del punto A (3, 8) y B (−5, 6).

SoluciónSustituimos los valores de los puntos y el valor de r en nuestra fórmula general:

P (x, y) = x1 + rx2

1+ r, y1 + ry2

1+ rEsto es:

(x, y) = 3+ 3

4( 5)

1+ 34

,8+ 3

4(6)

1+ 34


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Resolvemos las operaciones que se indican.

(x, y) = 3 15

474

,8+ 18

474

=

12 15474

,32+18

474

=

3474

,50474

Aplicamos la ley de “sándwich” o del emparedado y simplificamos.

(x, y) = 1228

,20028

=6

14,10014

=37

,507

( 0.42,7.14)

Por lo que las coordenadas del punto P (x, y) son 37

,507

Ejemplo 3

Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (2, 2) y B (x, y). Encuentra las coordenadas del punto B, si sabemos que C (4, −1) es el centro de la circunferencia.

SoluciónComo el punto C es el centro de la circunferencia, se utilizará la razón – 12 , que es negativa porque el punto B, el que se busca, está situado fuera del segmento AC.

Sustituimos en la fórmula general para encontrar los puntos del otro extremo.

B (x, y) = x1 + rx2

1+ r, y1 + ry2

1+ r=

4 + 12

(2)

1 12

,1+ 1

2(2)

1 12

=

8 2212

,2 2212

=

6212

,4212

=122

, 82

= (6, 4)

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.Resuelve los siguientes ejercicios según las instruccionesف 1. Grafica y encuentra las coordenadas del punto que se indica en cada uno de los

siguientes incisos. a. Considera el segmento rectilíneo formado por A (−2, 5) y B (10, −2).b. El punto P (x, y) que divide al segmento en la razón r = 3. c. Dibuja con distintos colores cada uno de los incisos anteriores para localizar lo

que se pide.

2. Un segmento de recta tiene por extremos los puntos A (−2, 4) y B (4, 1). Determina

las coordenadas del punto C, tal que la razón = =r ACCB

12



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3. La compañía de luz desea colocar un cable que va del punto A (3, 2) al punto B (9, 11); sin embargo, como la distancia es muy larga, necesita colocar dos postes (C y D) intermedios. Calcula las coordenadas en donde quedarían ambos postes, tomando en cuenta que la distancia entre los postes debe ser la misma.

• Para determinar las coordenadas del punto C utiliza r = 12

• Para determinar las coordenadas del punto D utiliza r = 2

4. Los extremos del diámetro de una circunferencia son: A (3, −2) y B (5, 6); deter-mina las coordenadas del centro de la circunferencia.

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Punto medioEl punto medio de un segmento es un caso particular de la división de un segmento rectilíneo exactamente a la mitad. Como antes vimos, la razón es r = 1, es decir, la distancia del punto medio hacia uno de sus extremos es igual a la del otro extremo.

.Analiza la figura siguiente y contesta las preguntasف

H

A

B

-1 6 87 954321

00

1

2

3

4

6

7

8

5

-1

(7,7)

(4,4)

(1,1)

a. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A (1, 1) y B (7, 7)?

b. Calcula la distancia desde A hasta H y desde H hasta B.

c. ¿Cómo son esas distancias?

d. ¿Qué se puede concluir con la razón que existe entre ellas?

e. ¿Cómo quedan establecidas las coordenadas del punto medio del segmento ante-rior? Denótalo como Pm.



30

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Tenemos que el punto medio de un segmento rectilíneo AB lo biseca o divide en dos partes iguales. La razón dada es igual a 1, dado que la relación de un segmento a otro es la misma, de ello que el punto medio equidista de ambos extremos.

Es fácil determinar que las coordenadas para establecer el punto medio de un segmento rectilíneo están dadas por la fórmula general:

Pm =x1 + x2

2, y1 + y2

2

Por lo tanto, las coordenadas del punto medio son:

Pm = (xm, ym) donde xm = +x x2

1 2 y ym = +y y2

1 2

Ejemplo 1

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento rectilíneo cuyos extremos son: A (−8, 6) y B (8, 14). Dibuja un sistema de coordenadas localizando tanto los extremos como su punto medio.

SoluciónSustituimos las coordenadas de los extremos en la fórmula general del punto medio.

Pm =x1 + x2

2, y1 + y2

2=

8+ 82

,6+142

=02,20

2= 0, 10( )

Por lo tanto, el Pm = (0, 10).

B(8, 14)

Pm =(0, 10)

A=(-8, 6)

6 87 954321-4 -2-3 -1-5-6-7-890

1

2

3

4

6

7

8

5

9

10

12

13

14

11

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Ejemplo 2

Calcula las coordenadas del punto A (x1, y1), si sabemos que el punto medio y el extremo B del segmento AB tiene como coordenadas Pm =

52, 72

y además B (4, 3).

SoluciónComo el punto medio está determinado por la fórmula Pm =

x1 + x2

2, y1 + y2

2Despejamos el punto A (x1, y1), sustituyendo los valores en la fórmula general:

52,72

=x1 + 4

2, y1 + 3

2

Es decir: =+x5

24

21 y =

+y72

32

1

Despejemos primero x1. Entonces utilizamos la primera igualdad =+x5

24

21 . Quitamos el

denominador del lado derecho llevándolo hacia el lado izquierdo de la igualdad.

52

(2) = x1 + 4, movemos el 4 al lado izquierdo de la igualdad.

52

(2) 4 = x1, realizamos las operaciones:

= − = − =x 102

4 5 4 11

x1 = 1

De manera análoga, buscamos el valor de y1 de la segunda igualdad:

=+y7

23

21

72

(2) = y1 + 3

72

(2) 3 = y1

y1 = 7 – 3

y1 = 4


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En geometría plana de cursos anteriores aprendiste a trazar la mediana de cualquier triángulo, la cual está determinada por la recta que une el punto medio de alguno de sus lados con el vértice opuesto al mismo.

De lo anterior se tiene que las coordenadas del punto A (x1, y1) son (1, 4).Gráficamente tenemos:

Pm( , )

A(1,4)

B(4,3)

52

72

-1 54321

00

1

2

3

4

6

5

-1

Ejemplo 3

Calcula las coordenadas del punto medio de cada una de las aristas (lados) de un triángulo formado por los puntos: P1 = (3, 2), P2 = (−2, 4) y P3 = (−5,−2). Representa el triángulo y sus puntos medios de manera gráfica trazando las medianas.

SoluciónCalculamos el punto medio del segmento formado por P1 y P2:

Pm (P1, P2) = x1 + x2

2, y1 + y2

2=

3+ ( 2)2

,2+ 42

=12,62

= (0.5,3)

Calculamos el punto medio del segmento formado por P2 y P3:

Pm (P2, P3) = x1 + x2

2, y1 + y2

2=

2+ ( 5)2

, 4 + ( 2)2

=72

, 22

= ( 3.5,1)

Calculamos el punto medio del segmento formado por P3 y P1

Pm(P3, P1) = x1 + x2

2, y1 + y2

2=

5+ 32

, 2+ 22

=22

, 02

= ( 1,0)

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Representación gráfica:

108642-2-46-8-10-110

0

2

4

6

8

10

-2

2P1

Punto medio de P3 y P1

Punto medio de Pa y Pb

Punto medio de P2 y P3

B

Aa

bc

C

P2

P3

Nota: el punto donde se intersecan las tres medianas anteriores se conoce como bari-centro, o centro de gravedad, y se obtiene mediante la siguiente fórmula:

Baricentro G = x1 + x2 + x3

3, y1 + y2 + y3

3


I. Subraya la respuesta correcta o completa cada uno de los siguientes enunciados según sea el caso.

1. Cuando un segmento se divide en dos partes iguales, la razón de las coordenadas debe ser:a. 3

2

b. 2

c. 1

d. 12

2. El punto Pm se considera como punto medio cuando al segmento en partes iguales.

3. Cuando un segmento rectilíneo es cortado en tres partes iguales, se dice que el segmento fue:a. bisecadob. trisecado

c. cortadod. rebanado


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4. El punto medio tiene la misma distancia hacia cualquiera de sus extremos. Es decir, el punto medio de cualquier extremo.a. uneb. biseca

c. igualad. equidista

5. Los extremos de un segmento rectilíneo son colineales porque pertenecen a la misma .

II. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos (gráfica y analíticamente).

1. A = (0, 2), B = (5, 4)2. A = (6, 2), B = (9, 4)

III. Demuestra gráfica y analíticamente que las diagonales de un paralelogramo cuyos vértices están dados por A (6, 3), B (1, 4),C (0, 1) y D (5, 0) se cortan en su punto medio.

IV. Las coordenadas del punto medio son (6, 3). Si uno de los extremos es (4, 5), las coordenadas del otro extremo son:

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Elementos de una rectaUn lugar geométrico es un conjunto de puntos, los cuales cumplen con una misma condición o propiedad. Éste puede ser un punto, una línea curva, una recta, un plano, una superficie curva, etcétera.

La recta se define como la sucesión infinita de puntos que se extiende en una misma direc-ción y que puede ser prolongada en ambos sentidos. No posee principio ni fin y cuenta con una sola dimensión (longitud).

La recta como lugar geométrico es el conjunto de puntos, tales que, tomando dos puntos diferentes cualesquiera, el valor de la pendiente m es constante.

A partir de esta definición podemos determinar la ecuación que la representa.

Pendiente y ángulo de inclinación El ángulo de inclinación de la recta se forma entre el eje x y la recta, medido en sentido antihorario, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del eje X.

La pendiente se define como la tangente del ángulo de inclinación de una recta y se representa con la letra m.

m = tan θ

Si una recta pasa por los puntos P1 y P2, entonces podemos expresar la pendiente como:

Figura 1.4 Definición de la pendiente de una recta.

P2(x2, y2)

y2 - y1

x2 - x1

P1(x1, y1)

θ

θ

Y

Xθ

θ=ángulo de inclinación

Y

X

Figura 1.3 Ejemplos de rectas con ángulo de inclinación.

m y yx x

tan 2 1

2 1

θ = =−

−

Recta


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Figura 1.5 Ejemplo de recta con pendiente igual a cero.

Figura 1.6 Ejemplo de una recta cuyo ángulo de inclinación es 90° y por lo tanto, no tiene pendiente.

Figura 1.7 Ejemplo de recta con pendiente positiva.

Y

X

m(+)

Figura 1.8 Ejemplo de una recta con pendiente negativa.

Y

X

m(-)

Figura 1.9 Ejemplos de rectas cuya ecuación es x = 0 y y = 0.

1Si la recta es horizontal y paralela al eje X, entonces m = 0 y su ecuación queda determinada por y = b.

4Si la recta baja de izquierda a derecha, la pendiente es negativa, θ es mayor que 90° y menor que 180°

2Si la recta es vertical y paralela al eje Y, no tiene pendiente, θ = 90° y su ecua-ción queda expresada como x = a.

5Si la recta es perpendicular al eje X, su primera coordenada es 0, por lo que la ecuación de la recta es x = 0.

6Si la recta es perpendicular al eje Y, su segunda coordenada es 0, por lo que la ecuación de la recta es y = 0.

7 Si b = 0, entonces la recta pasa por el origen.

3Si la recta sube de izquierda a derecha, la pendiente es positiva, y θ es mayor que 0° y menor que 90°

Criterios de la pendiente de una recta

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Para calcular la pendiente de una recta, dados dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), utilizaremos:

Ejemplo 1

Obtener la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (5, 4) y B (0, 7).

Solución

(0, 7)

Para calcular el ángulo de inclinación usaremos la función trigonométrica tangente y la siguiente fórmula:

θ =−

−=

y yx x

mtan 2 1

2 1

Donde despejaremos el ángulo θ para así obtener el ángulo de inclinación determinado por:

θ = tan−1-

-

y yx x

2 1

2 1

= tan−1(m)

=−

−=

−

−=−

= −my yx x

7 40 5

35

35

2 1

2 1

Ejemplo 2

Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A (-2, 1) y B (3, 5).

m y yx x

5 13 2

45

2 1

2 1 ( )=

−

−=

−

− −=

θ ( )= =− −mtan tan 45

1 1

38.66θ = °


38

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Ejemplo 3

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos M (1, −2) y N (5, 3); una vez obtenida su pendiente, determina su ángulo de inclinación.

Solución

m = −

−=

− −

−=

+=

y yx x

3 ( 2)5 1

3 24

54

2 1

2 1

θ = tan−154 = 51.3°

Por lo tanto, la pendiente es m = 54 y el ángulo de inclinación es θ = 51.3°.

Ejemplo 4

El encargado de las pruebas de velocidad de una aerolínea desea conocer la velocidad de un avión en un lapso de tiempo determinado. Para ello decide realizar una medición del tiempo y la distancia recorrida, registrada como:

Tiempo en horas Distancia en km

1 120

2 240

3 360

4 480

5 600

SoluciónPara determinar la velocidad es necesario que apliquemos la fórmula de pendiente, pues nos proporcionará un cociente donde consideraremos los puntos determinados por las coordenadas formadas por el tiempo y la distancia.Si lo hacemos para los dos primeros puntos, que son en la hora 1 y 2, tenemos que:

m = −

−=

−

−= =

y yx x

240 1202 1

1201

1202 1

2 1

Para la segunda y tercera hora tenemos:

m = −

−=

−−

= =y yx x

360 2403 2

1201

1202 1

2 1

Y así sucesivamente con las demás horas, concluyendo que la velocidad de un avión de dicha aerolínea es de 120 km/h.

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I. Determina la pendiente m, el ángulo de inclinación θ y grafica los siguientes ejercicios.1. De la recta que pasa por los puntos A(3, −5) y B(5, 1).

2. De la recta que pasa por los puntos A(–1, 7) y B(5, –2).


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3. De la recta que pasa por los puntos A(−3, 4) y B(4, 4).

II. Observa las siguientes gráficas. • Identifica las coordenadas de los puntos A y B. • Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta.

1.

2.

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Como hemos visto en temas anteriores, la ecuación de una recta se puede presentar de distintas maneras, destacando los datos con los que se cuente para obtenerla.

Las diversas formas de encontrar la ecuación de una recta se presentan en la siguiente tabla.

Forma de la ecuación Fórmula Características

Punto - Pendiente y – y1 = m (x − x1)m es la pendiente y el punto A tiene coordenadas (x1, y1).

Pendiente - Ordenada y = mx + b m es la pendiente y b es la ordenada.

Ecuación por dos puntos

=−

−− +y

y yx x

x x y( )2 1

2 11 1

Los puntos A y B tienen coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), respectivamente.

Ecuación simétrica =xa

yb

+ 1 a es el punto en donde la recta corta al eje X y b al eje Y

Ecuación general Ax + By + C = 0Los coeficientes A, B y C son números reales, donde A, B ≠ 0 y C puede o no ser igual a cero.

Formas de las ecuaciones una recta

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la recta en las formas: punto − pendiente, pendiente ordenada, general y por dos puntos, que pasa por los puntos A (−2, 3) y B (5, −2).

SoluciónPara determinar las primeras dos formas es necesario calcular la pendiente m de la siguiente manera:

=−

−=

− −

− −=

−

+=−

= −my yx x

2 35 ( 2)

55 2

57

57

2 1

2 1

Por lo que = −m 57

.Forma punto - pendiente


42

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La fórmula es y – y1 = m (x – x1), donde = −m 57

y A (−2, 3).

Sustituimos los valores considerados y – 3 = - 57

(x − (−2)).

Por lo tanto, la ecuación de la recta en su forma punto pendiente queda como:

y – 3 = - 57

(x + 2)

Si queremos determinar la ecuación, entonces realizamos las operaciones siguientes:

7 (y – 3) = −5 (x + 2)

7y – 21 = −5x − 10

Pasamos todos los términos al miembro izquierdo de la igualdad para obtener la ecua-ción de la recta.

7y – 21 + 5x + 10 = 0

Por lo tanto, la ecuación de la recta está representada como 5x + 7y – 11 = 0.

1 Forma punto-pendiente

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,–6) y tiene pendiente m = 2

Solucióny – (–6) = 2 (x – 2)

y + 6 = 2x – 4

y + 6 – 2x + 4 = 0

– 2x + y + 10 = 0

Para evitar que el primer término sea negativo, se multiplica toda la ecuación por –1

2x – y – 10 = 0

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2 Forma pendiente-ordenada

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y cuya pendiente es m = −5.

SoluciónSustituimos en la fórmula y = mx + b = −5x + b Posteriormente, para obtener el valor de b sustituimos los valores de x = 1 y y = 2 en el último resultado obtenido:

y = −5x + b

Como x = 1, y = 2, entonces tenemos:

2 = −5(1) + bRealizamos operaciones:

2 = −5 + b

La fórmula es y = mx + b, donde = −m 57

y hay que determinar b haciendo uso de cual quiera de los dos puntos: A (−2, 3) o B (5, −2). En este caso utilizamos B (5, −2).Entonces despejamos b de y = mx + b, y tenemos que b = y – mx.

Sabemos que = −m 57

, x = 5 y y = −2.

Sustituimos los valores anteriores en la ecuación.

b = y – mx = (−2) – ( -57

(5)) = −2 + =− +

=257

14 257

117

Por lo que b = 117

.

Una vez obtenido el valor de b y de m, sustituimos los valores en nuestra fórmula: y = mx + bAsí, tenemos que la ecuación representada en su forma pendiente ordenada queda como:

y = - 57

(x) + 117

Si la resolvemos, obtenemos: 7y = −5x + 11

Pasamos todos los términos al miembro izquierdo de la igualdad para obtener la ecuación de la recta. Por lo tanto, la ecuación de la recta está representada como:

5x + 7y – 11 = 0


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Ejemplo 3

Despejamos b: 2 + 5 = b

7 = b

Por lo tanto, b = 7, y entonces la ecuación de la recta está dada por y = −5x + 7, o bien, por 5x + y – 7 = 0.

¿Cuál es la ecuación de la recta que interseca al eje Y en 4 y cuya pendiente es m = 3?

Solución El punto en donde la recta se interseca al eje Y se conoce como ordenada al origen.Por lo que, en este caso, el valor de b = 4 y m = 3.Sustituyendo estos valores en y = mx + b.

y = 3x + 4

Ecuación en su forma pendiente ordenada.Acomodamos e igualamos a cero:

3x – y + 4 = 0

3 Forma por dos puntos

Ejemplo

La fórmula es =−

−− +y

y yx x

x x y( )2 1

2 11 1 , donde los 2 puntos A y B están determinados

por las coordenadas (−2, 3) y (5, −2),respectivamente. Entonces, despejando A y B en la fórmula, tenemos que:

y = − −

− −− − +x2 3

5 ( 2)( ( 2)) 3

=−

++ +y x5

5 2( 2) 3

De esta manera, la ecuación dada por dos puntos queda representada por la ecuación:

=−

+ +y x57

( 2) 3

En consecuencia, la ecuación representada en su forma por dos puntos es:

y x57

( 2) 3= − + +

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4 Forma general

Ejemplo 1

Ejemplo 2

La fórmula es Ax + By + C = 0 donde para obtener cualquiera de las dos formas anteriores, despejamos la ecuación al miembro izquierdo de la ecuación.

Consideremos la fórmula de pendiente ordenada anterior dada por: y = − +x57

( ) 117

Si la despejamos, obtenemos:

7y = −5x + 11

Pasamos todos los términos al miembro izquierdo de la igualdad para conseguir la ecuación de la recta. Por consiguiente, la ecuación de la recta en la forma general está representada como:

5x + 7y – 11 = 0

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, −5) y B (1, 3).

SoluciónSabemos que x1 = 2, y1 = −5, x2 = 1 y y2 = 3.

Sustituimos los valores en la ecuación general:

y = -

-

y yx x

2 1

2 1

(x – x1) + y1 y = - -

-

3 ( 5)1 2

(x – 2) + (−5)

Realizamos las operaciones: y = +

−

3 51 2

(x – 2) – 5

y = -

81

(x – 2) – 5

y = −8(x – 2) – 5

y = −8x + 16 − 5

y = −8x + 11

Determinamos el resultado a través de la ecuación: Ax + By + C = 0.

y + 8x – 11 = 0


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5 Forma simétrica

Ejemplo 3

Ejemplo 1

Ordenamos los términos en orden alfabético: y + 8x – 11 = 0Como resultado, la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A (2, −5) y B (1, 3) queda dada por:

y + 8x – 11 = 0

Cuando la ecuación de la recta es de la forma Ax + By + C = 0, la pendiente m y el coefi-ciente b quedan determinados por las fórmulas:

m = -AB

y b = -CB

¿Cuál es la pendiente m y el coeficiente b de la recta 4x − 6y + 3 = 0?

SoluciónObtenemos los valores de A, B y C A = 4, B = −6 y C = 3Sustituimos los valores en las fórmulas de pendiente y constante:

m = − =−

−= =

AB

46

46

23

b = − =−

−= =

CB

36

36

12

Por lo tanto, la pendiente m = 23

y b = 12

Si tenemos la ecuación de la recta en su forma general Ax + By + C = 0, y pasamos C al segundo miembro, entonces Ax + By = −C. Si A, B y C son distintos de 0, entonces podemos dividir toda la igualdad entre –C.

−+−

=−

− −+−

=AxC

ByC

CC

AxC

ByC

1

Multiplicamos -

AxC por A

A

1

1 y -

ByC por B

B

1

1 para obtener:

−+−

=xCA

yCB

1

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Ejemplo 2

Así, tenemos que − =CA

a y − =CB

b , entonces la ecuación anterior es + =xa

yb

1

A esta última, la denominaremos ecuación simétrica de la recta.Con esta forma de ecuación podemos conocer rápidamente los puntos donde la recta cruza a los ejes coordenados.El punto donde la recta corta al eje X es a y donde la recta corta al eje Y es b.

Si tenemos la ecuación + =x y4 5

1 , sabremos inmediatamente que los dos puntos donde

la recta corta a los ejes coordenados son (4, 0) y (0, 5).La ecuación anterior puede ser convertida a su forma general de la siguiente manera:Primero multipliquemos la ecuación por el común denominador de las fracciones, que en este caso es 20 = (4) (5).

+ =x y20

4205

20

Simplifiquemos:5x + 4y = 20

Pasemos el miembro derecho al lado izquierdo para obtener la ecuación general:

5x + 4y − 20 = 0

Por consiguiente, la ecuación simétrica, en su forma general + =x y4 5

1, es 5x + 4y – 20 = 0.

Gráficamente puede expresarse de la siguiente forma.


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.Realiza los siguientes ejerciciosف 1. Determina la ecuación de la recta que:

a. Pasa por el punto A (–4, 6) y m = ¼b. Pasa por el punto B (3, 7) y m = -5c. Pasa por el punto C (2, –9) y m = 2

2. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a. A (–1, 3) y B (3, 4)b. M (2, –4) y N (5, 2) c. O (–3, –3) y P (1, 4)

3. Determina la ecuación de la recta que: a. Interseca al eje Y en 7 y su pendiente m = 3b. Interseca al eje Y en –5 y su pendiente m = –1/5c. Interseca al eje Y en 0 y su pendiente m = 1

4. Determina la ecuación de la recta que: a. Cruza al eje X en 10 y al eje Y en 7b. Cruza al eje X en –4 y al eje Y en –6c. Cruza al eje X en 8 y al eje Y en –3

5. Calcula el valor de la pendiente m y la ordenada b de las siguientes rectas. a. 3x – 9y + 2 = 0b. 5x – 6y + 4 = 0 c. 7x + 2y – 6 = 0

I. Define la línea recta como lugar geométrico, así como todos los elementos corres-pondientes de la recta; además, las distintas formas en la que se presenta la ecuación de la línea recta: punto-pendiente, pendiente-ordenada al origen, pendiente-punto, formula general, así como la simétrica; distancia entre dos rectas.

II. Registra la información obtenida en un organizador gráfico; socializa tu informa-ción a manera grupal.

III. Construye una tabla donde se señale la distancia a los lugares emblemáticos y el tiempo que se requiere para llegar a ellos, a continuación, represente en el plano cartesiano dichos puntos, iniciando en el lugar de referencia (origen) y remarque con una línea recta, determine las diferentes formas que se puede representar las ecuaciones de dicho lugar geométrico.


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Paralelismo y perpendicularidad según sus pendientesPropiedades del paralelismo

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

Dos rectas son paralelas (||) si nunca se intersecan entre sí.

Toda recta es paralela a sí misma.

La distancia entre dos rectas paralelas es constante.

Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una recta paralela.

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Propiedades de la perpendicularidad

Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.

Los cuatro ángulos formados por dos rectas perpendiculares son rectos.

Dos rectas son perpendiculares ( ⊥ ) si al cortarse forman cuatro ángulos rectos.

En un plano, y por un punto de una recta cualquiera, pasa una y sólo una recta perpendicular.

El producto de la pendiente de dos rectas perpendiculares es igual a −1.

m1 m2= –1 Y

X

m2=2

m1=- 12


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Ejemplo 1

a. Encontrar una recta paralela y otra perpendicular a la recta r1 = x + 3y + 2 y que pase por el punto A (1, 5).

SoluciónPrimero determinaremos la recta paralela a r1 = x + 3y + 2; para ello buscamos el valor de su pendiente.Calculamos m despejando de nuestra ecuación x + 3y + 2 = 0Entonces 3y = −x − 2

Dividimos entre 3 para despejar a y: y = - 13

x -23

Por lo tanto, = −m 13

Ahora sustituyamos los valores en la forma punto – pendiente y – y1 = m(x – x1), para obtener la recta paralela a dicha recta r1.

y – 5 = - 13

(x − 1)

Multiplicamos toda la igualdad por 3, esto es, 3y – 15 = −x + 1Simplificamos y dejamos toda la ecuación en el lado izquierdo: 3y – 15 + x – 1 = 0Por consiguiente, la recta paralela a r1 está dada por la ecuación x + 3y – 16 = 0Gráficamente comprobamos que ambas son paralelas, pues nunca se tocan.

x + 3y – 16 = 0

x + 3y + 2 = 0

b. Para el caso de la recta perpendicular:Primero hay que calcular el valor de m para la recta r1 = x + 3y + 2, pero ya se calculó en el caso anterior = −m 1

3.

Recordemos que dos rectas son perpendiculares si (m)(m⊥) = −1, donde m y m⊥ son las pendientes de las rectas.Entonces

= − = −m m m( )( *) 13

( *) 1(m)(m⊥) (m⊥)

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Ejemplo 2

Despejando m⊥ tenemos que:m⊥ = 3

Una vez calculada la pendiente, sustituimos los valores en la forma punto – pendiente: y – y1 = m⊥(x – x1), para obtener la recta perpendicular a r1.

y – 5 = 3(x – 1)

Simplificamos y dejamos toda la ecuación en el lado izquierdo.Entonces, la recta perpendicular a r1 está dada por la ecuación −3x + y – 2 = 0.

Ejemplo 2

Calcula el valor de k para las rectas r1 = x + 3y – 5 = 0 y r2 = x – ky + 10 = 0, cuando sean paralelas y cuando sean perpendiculares.

Solucióna. Cuando las rectas r1 = x + 3y – 5 = 0 y r2 = x – ky + 10 = 0 son paralelas.Recordemos que si las rectas son paralelas, entonces sus pendientes son iguales. Despejemos y de la ecuación r1

3y = −x + 5

y = − +x 53

y = − +x3

53

y = − +x13

53

Por lo tanto, m1 = - 13


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De la misma manera buscamos la pendiente de la ecuación r2; que quedaría como m2 = k1

.

Para finalizar igualamos las pendientes m1 = - 13

y m2 = k1 de las rectas r1 y r2, respec-

tivamente, suponiendo que son paralelas.

− =k

13

1

Despejamos k para responder a nuestro problema inicial. Entonces tenemos k = −3.

b. Cuando las rectas r1 = x + 3y – 5 = 0 y r2 = x – ky + 10 = 0 son perpendiculares.Recordemos que si las rectas son perpendiculares, entonces sus pendientes son recíprocas y con signo contrario. Entonces despejemos y de la ecuación r1, de la misma forma que en el caso anterior.

3y = −x + 5

y = − +x 53

y = − +x3

53

= − +y x13

53

Por lo tanto, m1 = - 13

.

De igual manera, buscamos la pendiente de la ecuación r2; que quedaría como m2 = k1 .

Luego, como las rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es –1, por lo tanto: 1

3

1k= 1

De donde: 13k= 1 k = 1

3Si las ecuaciones son paralelas, entonces k = −3; si son perpendiculares, k = 1

3.

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I. Escribe en el paréntesis el inciso que corresponda a la definición de la columna derecha.

a. Constante ( )Es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado, cuyo valor es variable.

b. Dos rectas son paralelas, si y sólo si ( ) Es un valor de tipo permanente, que no puede

modificarse.

c. Pendiente o coeficiente angular ( )

Son las que se ven determinadas o que dependen del valor que asuman otros fenómenos o variables independientes.

d. Dos rectas son perpendiculares entre sí

( ) Es la tangente de su ángulo de inclinación.

e. Forma explícita de la ecuación de la recta

( ) Se define como la distancia más corta entre dos puntos.

f. Forma general de la ecuación de la recta ( ) y = mx + b

g. Variable dependiente ( ) El producto de sus pendientes es igual a −1.

(m1.m2)= −1

h. Variable ( )Los cambios en los valores de este tipo de variables determinan cambios en los valores de otra.

i. La línea recta ( ) Ax + By + C = 0

j. Variable independiente ( ) Sus pendientes son iguales: m1 = m2.

II. Lee los siguientes enunciados y elige la opción correcta.

1. ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela al eje de las ordenadas?a. y = −2b. y = 5x − 2

c. x = 4d. x = 4y + 4


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2. ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela al eje de las abscisas?a. y = −2b. y = 5x−2

c. x = 4 d. x = 4y + 4

3. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa la recta y = 5?a. (5, 0)b. (0, −5)

c. (5, 3)d. (3, 5)

4. La ecuación 5x = 7 representa:a. Ninguna recta.b. Una recta paralela al eje X.

c. Una recta paralela al eje Y.d. Una constante.

5. Cuando una recta es paralela al eje de las abscisas tiene pendiente:a. m = −1b. m = 1

c. m = 0d. No tiene pendiente

Subraya la respuesta correcta para cada uno de los siguientes enunciados y recuerdaف escribir todo el procedimiento en tu cuaderno, pues es vital para verificar los cono-cimientos obtenidos a lo largo de este tema.1. Es una recta paralela a la recta r1:y = −7x + 5 y que pasa por el punto A (−4, 1).

a. r2 : y = 7x − 5b. r2 : y = −7x + 5

c. r2 : y = 7x − 27d. r2 : y = −7x − 27

2. Es una recta paralela a la recta r1: y = 32

x + 2 y que pasa por el punto B (−2, 1).

a. r2 : y = 32

x − 4

b. r2 : y = − 32

x − 4

c. r2 : y = 32

x + 4

d. r2 : y = − 32

x + 4

3. La recta paralela a la recta r1 : x – y + 4 = 0 y que pasa por el punto C (−2, 1), también pasa por el punto:

a. (1, 3)b. (−1, 2)

c. (3, 1)d. (2, −1)

4. Determina si las rectas r1: 4x – 6y − 2 = 0 y r2 : −12x + 18y – 10 = 0:

a. Son paralelas.b. No son paralelas.

c. Es la misma recta.d. Son perpendiculares.

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Caitlyn KennedyRebecca Lindsey

10 de abril de 2018

El calentamiento global se refiere sólo a la temperatura de la superficie de la Tierra, mientras que el cambio climático incluye el calentamiento y los efectos secundarios de este calenta-miento—como son los glaciares que se derriten, tormentas de lluvia más severas o las sequías más frecuentes. Dicho de otra manera, el calentamiento global es un síntoma del mayor problema del cambio climático causado por los seres humanos.

Otra distinción entre el calentamiento global y el cambio climático es que cuando los cien-tíficos o líderes públicos hablan sobre el calentamiento global en estos días, casi siempre se refieren al calentamiento causado por los humanos—calentamiento debido al rápido aumento del dióxido de carbono y otros gases de efecto invernadero ocasionados por la quema de carbón, petróleo y gas.

El cambio climático, por otro lado, puede significar cambios naturales o causados por los seres humanos, como las edades de hielo. Además de quemar combustibles fósiles, los seres humanos pueden causar cambios climáticos al emitir contaminación con aerosol—las dimi-nutas partículas que reflejan la luz solar y enfrían el clima— a la atmósfera, o al transformar el paisaje de la Tierra, por ejemplo, de bosques que almacenan carbono a tierras de cultivo.

Un cambio climático como ningún otro

El planeta ha experimentado el cambio climático antes: la temperatura promedio de la Tierra ha fluctuado a lo largo de la historia de 4,540 millones de años del planeta. La Tierra ha expe-rimentado periodos largos de frío (edades de hielo) y periodos cálidos (interglaciales) en ciclos de 100,000 de años durante al menos el último millón de años.

Los episodios previos de calentamiento fueron provocados por pequeños incrementos en la cantidad de luz solar que llegaba a la superficie de la Tierra y luego amplificados por grandes emisiones de dióxido de carbono de los océanos a medida que se calentaban (como la efer-vescencia que escapa de una soda tibia).

El calentamiento global actual se debe principalmente al aumento de los gases que atrapan el calor que los seres humanos están agregando a la atmósfera al quemar combustibles fósiles. De hecho, en las últimas cinco décadas, los factores naturales (forzamiento solar y volcanes) en realidad habrían llevado a un ligero enfriamiento en la temperatura de la superficie de la Tierra.

La tasa de aumento del calentamiento global también es diferente al calentamiento pasado. El aumento actual de la temperatura promedio mundial parece estar ocurriendo mucho más rápido que en cualquier otro punto desde que la civilización y la agricultura modernas se desa-rrollaron en los últimos 11,000 años—y probablemente más rápido que cualquier periodo cálido interglacial en el último millón de años.

¿Cuál es la diferencia entre el calentamiento global y el cambio climático?

• Fomento a la lectura •

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Un nuevo entendimiento requiere nuevos términos

Independientemente de si usted dice que el cambio climático son todos los efectos secundarios del calentamiento global, o que el calentamiento global es un síntoma del cambio climático causado por los seres humanos, esencialmente está hablando del mismo fenómeno básico: la acumulación de energía térmica excesiva en el sistema de la Tierra. Entonces, ¿por qué tenemos dos formas de describir lo que es básicamente lo mismo?

Según el historiador Spencer Weart, el uso de más de un término para describir diferentes aspectos del mismo fenómeno sigue al progreso de la comprensión del problema por parte de los científicos.

A finales del siglo XIX, los científicos estaban planteando la hipótesis de que la industriali-zación, impulsada por la quema de combustibles fósiles para la energía, tenía el potencial de modificar el clima. Pero durante muchas décadas no estuvieron seguros de si el enfriamiento (debido al reflejo de la luz solar de la contaminación) o el calentamiento (debido a los gases de efecto invernadero) dominarían.

Sin embargo, a mediados de la década de 1970, cada vez más evidencias sugerían que el calentamiento dominaría y que sería diferente a cualquier otro episodio de calentamiento natural. El término calentamiento global surgió para describir ese consenso científico.

En décadas posteriores, los científicos se hicieron más conscientes de que el calentamiento global no era el único impacto del exceso de calor absorbido por los gases de efecto inverna-dero. Otros cambios —el aumento del nivel del mar, la intensificación del ciclo del agua, el estrés sobre las plantas y los animales— probablemente serían mucho más importantes para nuestras vidas cotidianas y economías. En la década de 1990, los científicos se refirieron cada vez con mayor frecuencia al “cambio climático causado por los seres humanos” para describir el desafío que enfrenta el planeta.

Balance final

El calentamiento global actual es un tipo de cambio climático sin precedentes, y está gene-rando una cascada de efectos secundarios en nuestro sistema climático. De estos efectos secundarios —como los cambios en el nivel del mar a lo largo de costas muy pobladas y la retirada mundial de los glaciares de montaña— dependen millones de personas para el agua potable y la agricultura, y probablemente tengan un impacto mucho mayor en la sociedad que el cambio de temperatura.

Fuente: https://www.climate.gov/news-features/climate-qa/¿cuál-es-la- diferencia-entre-el-calentamiento-global-y-el-cambio-climático

Poslectura.Responde la siguiente preguntaف 1. ¿Qué acciones puedes tomar a nivel personal para tratar de no contribuir al calentamiento

global?

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Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

Para reflexionar

Paso a paso

Colaboración

Nuestro objetivo

Materiales

• Que los alumnos aprendan a colaborar en las actividades de equipo y grupales para obtener mejores resultados.

• Un paquetes de espaguetis por equipo

• Cinta adhesiva

Para terminar

¿Cómo te sentiste durante la actividad?

Me gusta

Me emociona

Me da igual

No me gusta

I. Lean la siguiente frase y luego respondan cada uno en voz alta las preguntas.

“Los cinco dedos separados son cinco unidades independientes. Ciérralos y el puño multiplica la fuerza. Ésta es la organización”. (James Cash Penney)

II. Ahora responde las siguientes preguntas1. ¿Sé trabajar en equipo? Explica tu respuesta.

2. ¿Cómo se organiza un equipo en poco tiempo?

3. ¿Qué es lo más importante al trabajar en equipo?

.Formen equipos de cinco o seis integrantesف 1. Cada equipo deberá tener un paquete de espaguetis y un rollo de cinta.2. Los equipos tienen siete minutos para construir una torre lo suficiente-

mente alta y sólida con los materiales que recibieron. La torre no puede ir anclada ni pegada al piso y deberá resistir un pequeño “terremoto” o “huracán”.

3. Al concluir, comparen sus torres para ver cuál es la más alta; luego, en cada equipo deberán simular un terremoto o huracán para verificar que su torre sea resistente.

I. Cada equipo explicará cómo construyó su torre, las dificultades que enfren-taron y cómo las resolvieron.

II. El docente guiará una reflexión en grupo para valorar las ventajas del trabajo en equipo. Es importante que en sus comentarios retomen la frase y las preguntas de la sección “Para reflexionar” y que lleguen a conclu-siones al respecto.

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Ejemplo 1

Determina la distancia entre el punto A y la recta dada.

Solución: En primer lugar hay que encontrar la ecuación de la recta BD.

Su pendiente es

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2

m=y2 y1

x2 x1

=1 42 0

=32

y = 32(x 0)+4 y = 3

2x+4

2y = 3x+8 3x 2y+8= 0

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2=

(3)( 4)+ ( 2)(6)+8

(3)2 + ( 2)2=

1613

=16 13

13unidades

La ecuación en su forma punto-pendiente sería:

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2

m=y2 y1

x2 x1

=1 42 0

=32

y = 32(x 0)+4 y = 3

2x+4

2y = 3x+8 3x 2y+8= 0

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2=

(3)( 4)+ ( 2)(6)+8

(3)2 + ( 2)2=

1613

=16 13

13unidades

Sin embargo, debemos determinarla en su forma general:

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2

m=y2 y1

x2 x1

=1 42 0

=32

y = 32(x 0)+4 y = 3

2x+4

2y = 3x+8 3x 2y+8= 0

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2=

(3)( 4)+ ( 2)(6)+8

(3)2 + ( 2)2=

1613

=16 13

13unidades

Ahora sustituimos el punto A(-4,6) en:

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2

m=y2 y1

x2 x1

=1 42 0

=32

y = 32(x 0)+4 y = 3

2x+4

2y = 3x+8 3x 2y+8= 0

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2=

(3)( 4)+ ( 2)(6)+8

(3)2 + ( 2)2=

1613

=16 13

13unidades

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2

m=y2 y1

x2 x1

=1 42 0

=32

y = 32(x 0)+4 y = 3

2x+4

2y = 3x+8 3x 2y+8= 0

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2=

(3)( 4)+ ( 2)(6)+8

(3)2 + ( 2)2=

1613

=16 13

13unidades

Distancia entre un punto y una rectaLa distancia de un punto (x1, y1) a una recta que está expresada en su forma general: Ax + By + C = 0 es:

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2

m=y2 y1

x2 x1

=1 42 0

=32

y = 32(x 0)+4 y = 3

2x+4

2y = 3x+8 3x 2y+8= 0

d =Ax1+ By1+C

A2 + B2=

(3)( 4)+ ( 2)(6)+8

(3)2 + ( 2)2=

1613

=16 13

13unidades

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

A(-4,6)

B(0,4)

D(-2,1)


.Trabajando en parejas resuelvan los siguientes ejerciciosف 1. Calcula la distancia desde el punto A(-1, 1) hasta la recta que pasa por los puntos

B(4, 3) y C(-3, 2).2. Calcula la distancia entre la recta que pasa por los puntos A(5,1) y B(4,-3), y

el punto C(0,2).

· UAC I ·

59

Prohibida s

u repro

ducción

Grupo Edito

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x

Intersección de rectasLa intersección de una recta con los ejes coordenados son los puntos donde la recta inter-seca, o cruza, los ejes horizontal y vertical.

La recta y = 5x + 3, cruza el eje de las x cuando y = 0; para determinar el punto se resuelve

la ecuación 5x + 3 = 0. Su solución es = −x 35, es decir, esta recta se interseca con el eje x

en el punto 35,0 . E interseca con el eje y, cuando x = 0, y = 5(0) + 3.

En la gráfica se muestran las intersecciones de la recta con los dos ejes de coordenadas. El punto donde la recta cruza el eje x se le llama intersección en x, (-0.6, 0) y el punto intersección en y, (0,3) es donde la recta cruza el eje y.

En general el punto de intersección de las rectas Ax + By + C = 0 y Dx + Ey + F = 0, se determina resolviendo el sistema de ecuaciones formado por estas 2 rectas:

Ax + By + C = 0

Dx +Ey + F = 0-3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00

y = 5x + 3y = 5x + 3

(-0.6, 0)(-0.6, 0)

(0, 3)(0, 3)

Ejemplo 1

Determina la intersección de las rectas y = 5x + 8 y y = −3x.

Solución Resolvamos el sistema de ecuaciones:

−5x + y = 83x + y = 0

Resolvemos el sistema usando determinantes:

= 5 13 1

= 5 3 = 8

x = x =

8 10 1

8=

88= 1

y = y =

5 83 0

8=

248

= 3

La intersección de estas rectas es el punto (−1, 3).

-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414

-10-10

-9-9

-8-8

-7-7

-6-6

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

77

88

00

y = 5x + 8y = 5x + 8y = -3xy = -3x

(-1, 3)(-1, 3)


60

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ducción

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rial M

x


1. Determina las intersecciones con el eje x: 9x + 7y = 23a. Intersección eje x, haga y = 0; b. Intersección eje y, haga x = 0;

2. Calcula el punto de intersección de las rectas • 9x + 7y = 23 • 3x + 4y = 11

3. Determine el punto de intersección de las rectas • 3x + 8y = 47 • 2x + y = 14

I. En equipos trabajen su producto integrador que consiste en elaborar un material publicitario (folleto, maqueta, video, aplicación para teléfonos inteligentes, etc.) donde se den a conocer los lugares más atractivos de tu comunidad para incrementar el turismo sustentable, y detallen los más interesantes en contenido cultural, social, histórico o educativo; indicando sus rutas de acceso. Definan con su profesor el orden en que se presentaran los productos.

II. Tu docente evaluará con la siguiente rúbrica tu desempeño durante el desarrollo del producto integrador.Rubros Insuficiente Suficiente Bueno Excelente

Con

teni

do

No incluye información suficiente y clara sobre los

puntos de interés de la comunidad. La presenta

de forma poco atractiva y no logra ser un referente

para incrementar el turismo sustentable. No destaca los aspectos cultural, social,

histórico o educativo disponibles.

Incluye información suficiente y clara sobre los


de forma poco atractiva y no logra ser un referente

para incrementar el turismo sustentable. Destaca pocos aspectos cultural, social, histórico o educativo.



de forma atractiva y logra ser un referente para

incrementar el turismo sustentable. Destaca pocos aspectos cultural, social, histórico o educativo.



de forma atractiva y logra ser un referente para

incrementar el turismo sustentable. Destaca los aspectos cultural, social, histórico o educativo.

Org

aniz

ació

n

No es clara la manera en que se diseñó el producto,

de modo que no se evitaron confusiones ni ambigüedades. Es una propuesta regular para

ubicarse espacialmente en el lugar de interés.

Es clara la manera en que se diseñó el producto,

de modo que se evitaron confusiones pero no

ambigüedades. Es una propuesta regular para


Es clara la manera en que se diseñó el

producto, de modo que se evitaron confusiones y ambigüedades. Es una aceptable propuesta para ubicarse espacialmente en

el lugar de interés.

Es clara la manera en que se diseñó el

producto, de modo que se evitaron confusiones y ambigüedades. Es una buena propuesta para


Pre

sent

ació

n El producto no es visualmente atractivo ni

motiva al usuario a usarlo/consultarlo. No logra su

cometido.

El producto no es visualmente atractivo ni motiva al usuario a

usarlo/consultarlo. Logra su cometido de manera

parcial.

El producto es visualmente atractivo y motiva al usuario a usarlo/

consultarlo. Logra su cometido de manera

parcial.

El producto es visualmente atractivo y motiva al usuario a usarlo/

consultarlo. Logra su cometido de manera

integral.

• Evaluación de situación de aprendizaje •

· UAC I ·

61

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x

• Evaluación objetiva •

I. Resuelve lo siguiente1. Identifica la diferencia y el lugar geometrico que generan las siguientes ecuaciones.

a. b.

II. Lee cuidadosamente. Resuelve los siguientes problemas.1. Localiza los siguientes puntos en el plano

cartesiano: A (2, 4), B (−3, −4) y determina la distancia entre ellos.

2. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento AB, cuyas coordenadas son A (2, 4) y B (−3, −4).

3. Encuentra el área del polígono cuyos vértices son los puntos A (3, 2), B (−2, 5) y C (2, −4) (graficar figura).

III. Grafica en hojas adicionales las siguientes ecuaciones e identifica cuáles con sus intersecciones con los ejes.

1. (x + 4)2 + (y + 6)2 = 36 2. (x – 6)2 + (y – 7)2 = 81

xa

yb

1+ = xa

yb

12 2

+ =


62

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x

• Metacognición •

¿Cómo contribuyó el contenido de la unidad con mi habilidad para especificar mis metas?

¿Cómo podría monitorear la claridad en las actividades que hago?

¿Cómo podría mejorar la supervisión de los procesos de mi vida cotidiana?

¿Cómo podría monitorear la precisión en las actividades que hago?

· UAC I ·

63

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x

• Evaluación de saberes •

Indicadores Básico(Requiere apoyo)0-5

Intermedio(En proceso)6-8

Avanzado(Desarrollado)9-10

Interpreta y construye rela-ciones algebraicas para lugares

geométricos.

No interpreta ni construye relaciones algebraicas para

lugares geométricos.

Interpreta y construye parcial-mente relaciones algebraicas para

lugares geométricos.

Interpreta y construye adecuadamente relaciones algebraicas para lugares

geométricos.

Aplica los elementos mate-máticos (plano cartesiano y

ecuación de la recta) en la cons-trucción de material publicitario.

No aplica los elementos mate-máticos (plano cartesiano y

ecuación de la recta) en la cons-trucción de material publicitario.

Aplica parcialmente los elementos matemáticos (plano cartesiano y ecuación de la recta) en la cons-trucción de material publicitario.

Aplica adecuadamente los elementos matemáticos (plano cartesiano y ecua-ción de la recta) en la construcción de

material publicitario.

Identifica los elementos del sistema coordenado plano

rectangular, así como la línea recta y sus propiedades.

Identifica solo uno o ninguno de los elementos del sistema

coordenado plano rectangular, así como la línea recta y sus

propiedades.

Identifica algunos elementos del sistema coordenado plano rectan-gular, así como la línea recta y

sus propiedades.

Identifica todos los elementos del sistema coordenado plano rectan-gular, así como la línea recta y sus

propiedades.

Localiza puntos y aplica los conceptos básicos del sistema de coordenadas rectangulares, orien-tación y posición en el plano, así como la aplicación de las propie-dades de la línea recta para la resolución de problemas de su

contexto.

No logra localizar puntos ni aplica los conceptos básicos del sistema de coordenadas rectan-gulares, orientación y posición en el plano, ni la aplicación de

las propiedades de la línea recta para la resolución de problemas

de su contexto.

Localiza puntos y aplica parcial-mente lo conceptos básicos del

sistema de coordenadas rectangu-lares, orientación y posición en el plano, así como la aplicación de las propiedades de la línea recta

para la resolución de problemas de su contexto.

Localiza puntos y aplica adecua-damente lo conceptos básicos del

sistema de coordenadas rectangulares, orientación y posición en el plano, así como la aplicación de las propiedades de la línea recta para la resolución de

problemas de su contexto.

Valora la importancia del manejo y uso del sistema coordenado

plano y la recta para la solución de problemas reales; cuidando su entorno, y mejorando las condi-ciones económicas y sociales de

su comunidad.

No valora la importancia del manejo y uso del sistema coor-denado plano y la recta para la solución de problemas reales; sólo parcialmente cuida su

entorno y mejora las condiciones económicas y sociales de su

comunidad.

Valora parcialmente la impor-tancia del manejo y uso del sistema coordenado plano y la recta para la solución de

problemas reales; sólo parcial-mente cuida su entorno y mejora

las condiciones económicas y sociales de su comunidad.

Valora la importancia del manejo y uso del sistema coordenado plano y

la recta para la solución de problemas reales; cuidando su entorno, mejo-rando las condiciones económicas y

sociales de su comunidad.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o

gráficas.

Expresa ambiguamente ideas y conceptos mediante representa-ciones lingüísticas, matemáticas

o gráficas.

Expresa limitadamente ideas y conceptos mediante representa-

ciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Expresa claramente ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas o gráficas.

Asume una actitud constructiva, congruente con los conoci-

mientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos

equipos de trabajo.

Asume rara vez una actitud constructiva, congruente con

los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Asume a menudo una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con

los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Asume siempre una actitud cons-tructiva, congruente con los

conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos

de trabajo.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la apli-

cación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geomé-

tricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situa-

ciones reales, hipotéticas o formales.

Construye e interpreta modelos matemáticos de forma imprecisa

mediante la escasa aplicación de la ecuación de la línea recta sin procedimientos aritméticos, algebraicos y variacionales para la poca comprensión y análisis

de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Construye e interpreta adecua-damente modelos matemáticos

mediante la aplicación de la ecua-ción en la línea recta con el uso

parcialmente de procedimientos arit-méticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipo-

téticas o formales.

Construye e interpreta eficazmente modelos matemáticos mediante la aplicación de la ecuación de la línea recta con el uso adecuado de proce-dimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones

reales, hipotéticas o formales.

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos

con símbolos matemáticos y científicos.

Interpreta de manera incipiente tablas, gráficas, mapas,

diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Interpreta parcialmente tablas, gráficas, mapas, diagramas y

textos con símbolos matemáticos y científicos.

Interpreta y utiliza de manera adecuada tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos

matemáticos y científicos.


64

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x

Respuestas

b c da

b c da

b c da

b c da

b c da

• Prueba tipo PLANEA •

Lee con atención y selecciona la opción correcta. Marca elف círculo que corresponda.

1. La ecuación 2x + 5 = 0 representa una recta:a. horizontalb. verticalc. paralela al eje xd. oblicua

2. Para que el punto Q (2a – 1, 5) represente la misma posición del plano que el punto R (–5, 1 – 2a) el parámetro a debe tener un valor de:a. –2b. 2c. 3d. –1

3. Las rectas horizontales se caracterizan por tener:a. pendiente positiva y abscisa al origen igual a cero.b. ángulo de inclinación agudo y ordenada al origen igual

a cero.c. pendiente nula y puntos con igual ordenada.d. pendiente infinita y puntos con igual abscisa.

4. Un punto P divide al segmento AB en la razón =ABPB

12

entonces P es:a. el punto medio del segmento AB. b. uno de los tres puntos que divide al segmento AB en

cuatro partes iguales.c. uno de los cuatro puntos que divide al segmento AB en

cinco partes iguales.d. uno de los puntos de trisección del segmento AB.

5. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio B si A (−2,0) y C (2,−4)?a. B (–10, 0)b. B (0, –2)c. B (0, 2)d. B (–1, 3)

· UAC I ·

65

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paulina vázquez alvarado castor alejandro jiménez

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