pat 1 - mathsolution.org · วันเสาร์ที่ 26 เมษายน 2557...

PAT 1 (เม.ย. 57) 1

PAT 1 (เม.ย. 57)

รหสวชา 71 วชา ความถนดทางคณตศาสตร (PAT 1) วนเสารท 26 เมษายน 2557

ตอนท 1: แบบปรนย 4 ตวเลอก เลอก 1 ค าตอบทถกตองทสด จ านวน 30 ขอ (ขอ 1 – 30) ขอละ 6 คะแนน

1. ส าหรบเซต ใดๆ ให ( ) แทนจ านวนสมาชกของเซต ก าหนดให แทนเอกภพสมพทธ ถา และ เปนสบเซตใน โดยท ( ) = 2( ( )) = 3( ( )) , ( ) = 15 , ( ) = 2

ถา ( ) = 8 , ( ) = 4 และ ( ) = 9 แลว (( ) ) เทากบขอใดตอไปน 1. 13 2. 12 3. 11 4. 10

2. ก าหนดใหเอกภพสมพทธคอเซตของจ านวนจรงบวก พจารณาขอความตอไปน

(ก) ประพจน [| | ] มคาความจรงเปนจรง

(ข) ประพจน [| | ] มคาความจรงเปนเทจ ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด

3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด

5 Jun 2014

2 PAT 1 (เม.ย. 57)

3. ก าหนดให และ เปนประพจน ซง ( ) มคาความจรงเปน เทจ

( ) มคาความจรงเปน จรง ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปน จรง 1. ( ) ( ) 2. ( )

3. ( ) 4. ( )

4. ถา แทนเซตค าตอบของสมการ | | | | = แลว เซต เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. ( 4, 0) 2. ( 1, 1) 3. (0, 4) 4. ( 3, 2)

5. ให แทนเซตของจ านวนจรง ทงหมดทสอดคลองกบสมการ

= 1

และให แทนเซตของจ านวนจรง ทงหมดทสอดคลองกบอสมการ | | > 4

พจารณาขอความตอไปน (ก)

(ข) จ านวนสมาชกของเพาเวอรเซตของเซต เทากบ 2

ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด


PAT 1 (เม.ย. 57) 3

6. ให แทนเซตของจ านวนจรง ถา และ เปนฟงกชนหนงตอหนง

โดยท ( )( ) = และ ( ) = 2 + 1 ส าหรบทกจ านวนจรง พจารณาขอความตอไปน (ก) 4( )(2 + 1) = ( ) + 1 ส าหรบทกจ านวนจรง

(ข) ( ( ))( ) = ( ) + 1 ส าหรบทกจ านวนจรง ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด


7. ก าหนดให = [

] , I = [

] เมอ และ เปนจ านวนจรงท ≠ และเมทรกซ สอดคลองกบสมการ ( ) = 4I พจารณาขอความตอไปน

(ก) = 2

(ข) ( ) = 324



4 PAT 1 (เม.ย. 57)

8. ให F เปนโฟกสของพาราโบลา = ถาไฮเพอรโบลารปหนงมสมบตดงน (ก) แกนตามขวางขนานแกน

(ข) จดศนยกลางของไฮเพอรโบลาอยท F

(ค) โฟกสหนงของไฮเพอรโบลาคอ (3, 2 + 2√ )

(ง) แกนสงยคยาว 12 หนวย แลวไฮเพอรโบลารปนมสมการตรงกบขอใดตอไปน

1. = 0 2. = 0

3. = 0 4. = 0

9. ก าหนดใหวงรรปหนงมสมการเปน = 0 โดยทมจดศนยกลางอยท (2, 1) และแกนเอกยาวเปน 2 เทาของแกนโท ขอใดตอไปนถกตอง

1. = 0

2. ความเยองศนยกลางของวงรเทากบ √

3. วงรมจดศนยกลางรวมกบจดศนยกลางของวงกลม = 0

และแกนเอกยาวเทากบรศมของวงกลม

4. ผลบวกของระยะทางจากจด (2, 6) ไปยงโฟกสทงสองของวงรเทากบ 20 หนวย

PAT 1 (เม.ย. 57) 5

10. ให เปนจดตดของเสนตรง = 0 และ = 0 ถาเสนตรง L มความชนเทากบ เมอ < 0 มระยะหางจากจดก าเนด (0, 0) เทากบ หนวย โดยท = 1 และผานจด แลวสมการของเสนตรง L ตรงกบขอใดตอไปน

1. = 0 2. = 0 3. = 0 4. = 0

11. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยม โดยทมความยาวของดานตรงขามมม A มม B มม C เทากบ หนวย หนวย และ หนวย ตามล าดบ และมม A มขนาดเปนสองเทาของมม B ขอใดตอไปนถกตอง

1. = 2. = 3. = 4. =

12. ก าหนดให 0 < < 15° คาของ (

) (

) เทากบขอใดตอไปน

1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( )

6 PAT 1 (เม.ย. 57)

13. พจารณาขอความตอไปน

(ก) ถา และ เปนจ านวนจรง สอดคลองกบสมการ =

แลว = ( )

(ข) ถา ≤ , ≤

สอดคลองกบ = √ และ √ = √

แลว = 0.5



14. ก าหนดให , และ เปนเวกเตอร ซง = , | | = 5 , | | = 3 และ | | = √

พจารณาขอความตอไปน (ก) ถาเวกเตอร ท ามม กบเวกเตอร เมอ ≤ ≤ แลว tan = 3

(ข) = 12 ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด


PAT 1 (เม.ย. 57) 7

15. จากตวเลข … น ามาสรางจ านวนหาหลกใชเลขซ ากนได ความนาจะเปนทจะไดจ านวนหาหลกโดยทในแตละหลกเปนตวเลขทแตกตางกนเพยง 3 จ านวนเทานน มคาเทากบขอใดตอไปน

1.

2.

3.

4.

16. มเกาอสขาวเหมอนกน 3 ตว และเกาอสแดงเหมอนกน 3 ตว น ามาจดเรยงรอบโตะกลม จ านวนวธเรยงสบเปลยนทแตกตางกนทงหมดเทากบขอใดตอไปน

1. 4 วธ 2. 6 วธ 3. 10 วธ 4. 20 วธ

17. ก าหนดให เปนฟงกชน นยามโดย ( ) = {

≤

เมอ เปนจ านวนจรง ถาฟงกชน มความตอเนองท = 2 และ 3

limx

( ) หาคาได

แลวคาของ | + 5 | เทากบขอใดตอไปน 1. 8 2. 18 3.

4.

8 PAT 1 (เม.ย. 57)

18. ก าหนดให > 1 และ b

1

√ = 4 คาของ 1 + + เทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 31 3. 91 4. 111

19. ก าหนดให ( ) = เปนพหนามก าลงสอง เมอ เปนจ านวนจรง และ ≠ 0

โดยท ( ) = 0 และ มคาสงสดท =

ให ( ) =

( ) โดยท ( ) = ( ) + 1

ส าหรบจ านวนจรง > 1 พจารณาขอความตอไปน (ก) ( ) = ( ) + 10

(ข) อนพนธของ ( ) เทากบ



PAT 1 (เม.ย. 57) 9

20. ก าหนดให =

เมอ … ถา

nlim

…

=

โดยท และ เปนจ านวน

เตมบวก ซง ห.ร.ม. ของ และ เทากบ 1 แลว เทากบขอใดตอไปน 1. 17 2. 25 3. 145 4. 257

21. ก าหนดให เปนจ านวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ = 3i( ) ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. = i( ) 2. | | = 2

3. i = 0 4. ( ) i = 0

22. ตารางตอไปน เปนความสมพนธระหวาง กบ

ให = เปนสมการทแสดงความสมพนธเชงฟงกชน

ระหวาง กบ โดย เปนตวแปรอสระ พจารณาขอความตอไปน (ก) = + 1.1

(ข) ถา = 8 แลว = 0.02



0 1 2 3 1 0.8 0.8 0.6

10 PAT 1 (เม.ย. 57)

23. พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา เปนจ านวนจรงทสอดคลองกบสมการ = 7

แลว สอดคลองกบสมการ √ = 4

(ข) ถา และ เปนจ านวนจรงทสอดคลองกบ

แลว =



24. คะแนนสอบของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงปกต คะแนนเตม 100 คะแนน มธยฐานเทากบ 45 คะแนน และมนกเรยนรอยละ 34.13 ทสอบไดคะแนนระหวางมธยฐานกบ 54 คะแนน ถานกเรยนคนหนงมคะแนนสอบเปน

เทา

ของคะแนนเปอรเซนไทลท 33 แลวนกเรยนคนนสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน เมอก าหนดพนทใตเสนโคงปกต ระหวาง 0 ถง ดงตารางตอไปน

1. 41.04% 2. 48.96% 3. 68.40% 4. 81.60%

( ) = ( ) = และ ( ) =

0.33 0.36 0.41 0.44 0.50 1.0

พนท 0.1293 0.1406 0.1591 0.1700 0.1915 0.3413

PAT 1 (เม.ย. 57) 11

25. ก าหนดขอมล 10 จ านวน ดงน 30 32 28 35 42 45 40 48 50 65

พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา แทนขอมลทเปนเดไซลท 7 และ แทนคามธยฐานของขอมล แลว – M เทากบ 6.5

(ข) สวนเบยงเบนควอไทล เทากบ 8.6



26. ก าหนดเวกเตอร = + 2 + เมอ และ เปนจ านวนจรง ถา | × | = 2 แลว | | เทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

27. พจารณาขอความตอไปน

(ก) ถา = [

] เมอ เปนจ านวนจรงบวกท = 1

และ I เปนเมทรกซเอกลกษณการคณ มต 3 × 3 แลว det( + + I) = 0

(ข) ให = [

] และ = [

]

เมอ เปนจ านวนจรง ถา det( ) = 3 แลว det( ) = 18



12 PAT 1 (เม.ย. 57)

28. มป ยอย 2 ชนด คอชนด A และ ชนด B โดยแตละชนดบรรจถงละ 100 กรม สวนประกอบและราคาแตละชนดเปนดงน

นกวจยทดลองผสมป มชนด A และชนด B ใหพชในแปลงทดลอง โดยสวนผสมป ยทไดประกอบดวยสารอาหาร N

อยางนอย 18 หนวย สารอาหาร P อยางนอย 12 หนวย และสารอาหาร K อยางนอย 480 หนวย คาใชจายนอยสดในการผสมป ยทงสองชนดเทากบขอใดตอไปน

1. 74 บาท 2. 78 บาท 3. 84 บาท 4. 96 บาท

29. ก าหนดให และ เปนจ านวนจรงบวก โดยท < พจารณาขอความตอไปน

(ก)

>

(ข)

>



ชนดป ย สารอาหาร N สารอาหาร P สารอาหาร K ราคาถงละ ชนด A 2 หนวย 1 หนวย 80 หนวย 10 บาท ชนด B 3 หนวย 3 หนวย 60 หนวย 12 บาท

PAT 1 (เม.ย. 57) 13

30. ก าหนดให แทนเซตของจ านวนจรง ให : และ : เปนฟงกชนทสอดคลองกบ

( ( )) = ส าหรบจ านวนจรง และ พจารณาขอความตอไปน (ก) ( )( ) = 2 + 15 ส าหรบทกจ านวนจรง และ

(ข) ( ( )) = 75 ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด


ตอนท 2: แบบอตนย ระบายค าตอบทเปนตวเลข จ านวน 15 ขอ (ขอ 31 – 45) ขอละ 8 คะแนน 31. ก าหนดให แทนเซตค าตอบของสมการ ( ) ( ) = (

) ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต เทากบเทาใด

32. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B และมม C เปนมมแหลม โดยท = 15 , ( ) = 77 และดานตรงขามมม C ยาว 20 หนวย ความยาวของเสนรอบรปสามเหลยม ABC

เทากบเทาใด

14 PAT 1 (เม.ย. 57)

33. ถา = เมอ เปนจ านวนจรงใดๆ

แลวคาของ เทากบเทาใด

34. ก าหนดให แทนเซตค าตอบของสมการ ( ) =

และให แทนเซตค าตอบของสมการ √ = 1 + 2 √

จ านวนสมาชกของเซต เทากบเทาใด

PAT 1 (เม.ย. 57) 15

35. ให แทนเซตของจ านวนจรง และ เปนจ านวนจรงโดยท ≠ ให และ เปนฟงกชน ทนยามโดย ( ) = และ ( ) = ( ) ส าหรบทกจ านวนจรง

ถา ( )( ) = 1 แลว ( )( ) เทากบเทาใด

36. ถา … เปนล าดบของจ านวนจรงทสอดคลองกบ

=

=

…

และ … = 250000 แลวคาของ เทากบเทาใด

37. ก าหนดให … เปนล าดบของจ านวนเตม โดยมสมบตดงน = เมอ …

ถา = 12 , = 2556 และ = 7 แลวคาของ เทากบเทาใด

16 PAT 1 (เม.ย. 57)

38. ตองการจดเรยงตวอกษร P, P, P, A, A, A, T, T, T ทงหมด (ไมค านงถงความหมาย) โดยมเงอนไขวา ตวอกษร P

ทงสามตวตองอยแยกกนทงหมดและตวอกษร T ทงสามตวตองอยแยกกนทงหมด จะมวธการเรยงตวอกษรดงกลาวไดทงหมดกวธ

39. ก าหนดให … เปนขอมลชดท 1 ซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 6 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 2 ให … เปนขอมลชดท 2 โดยท = เมอ … และ เปนจ านวนจรง และ > 0 ถาน าขอมลทงสองชดมารวมกน … … พบวาคาเฉลยเลขคณตเทากบ 7 และความแปรปรวนเทากบ 21 แลวคาของ เทากบเทาใด

40. ขอมลชดหนงมคาสงเกต ( ) และรอยละของความถสะสมสมพทธ แสดงดงตารางตอไปน

เมอ เปนจ านวนจรง ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 4 แลวความแปรปรวนของขอมลชดนเทากบเทาใด

คาสงเกต ( ) รอยละของความถสะสมสมพทธ 1 20 2 40 70 6 90

10 100

PAT 1 (เม.ย. 57) 17

41. ก าหนดให แทนเซตของจ านวนจรง และ เปนจ านวนจรง และให : เปนฟงกชนทนยามโดย

( ) = ส าหรบทกจ านวนจรง ถาเสนตรง + 13 = 0 สมผสกราฟของ ท = 1

แลว 2

0

( ) เทากบเทาใด

42. ให แทนเซตของจ านวนจรง ถา : เปนฟงกชน โดยท ( ) = 111 และ 3

limx

( )

= 2013

แลวอตราการเปลยนแปลงของ ( ) เทยบกบ ขณะท = 3 เทากบเทาใด

43. ตองการเขยนจ านวนทมหกหลก ABCDEF โดยท A E F ∈ { … }

A + B = 14 และ C – D > D – E > E – F > 0 จะสรางไดทงหมดกจ านวน

18 PAT 1 (เม.ย. 57)

44. ถา =

+

…

( )( ) และ =

( )( ) +

( )( ) …

( )( )

แลวคาของ

เทากบเทาใด

45. ให แทนเซตของจ านวน โดยท เปนจ านวนเตมบวกทมสมบต ดงน (ก) =

(ข) ( ) = ( )

(ค) 2 + = ( )

ถา แทนคามากทสดในเซต และ แทนคานอยทสดในเซต แลวคา เทากบเทาใด

PAT 1 (เม.ย. 57) 19

เฉลย

1. 3 11. 3 21. 4 31. 5 41. 38 2. 2 12. 2 22. 1 32. 54 42. 634 3. 1 13. 2 23. 1 33. 681 43. 35 4. 4 14. 1 24. 3 34. 3 44. 2750 5. 3 15. 3 25. 4 35. 9 45. 384 6. 1 16. 1 26. 4 36. 500 7. 3 17. 2 27. 2 37. 1704 8. 1 18. 3 28. 2 38. 340 9* 4 19. 2 29. 3 39. 109 10. 1 20. 4 30. 4 40. 7

แนวคด 1. 3 จาก ( ) = 2 จะไดตรงกลาง = 2

จาก ( ) = 8 จะได = 8 …( )

( ) = 4 จะได = 4 …( )

( ) = 9 จะได = 9 …( ) และจาก ( ) = 15 จะได

พอเราม จาก (3) กบ จาก (4) เราจะใช ( ) = 3( ( )) มาแกหา ได

จะแทน กลบไปหาทกตวเลยกได แตขอนถาม (( ) ) ไดแกบรเวณ =

ดงนน จะหาแคตวทโจทยถามกพอ

แทน = 1 ใน (1) จะได = 8 – 1 = 7 และใน (2) ม + = 4 อยแลว

ดงนน = + ( ) = 7 + 4 = 11

2. 2

ก. แยกตวประกอบไดเปน |( )( )| ( )( ) จะใชวธดคา ของกราฟ = | | , = | | , = + 1 , = + 5 มาเทยบกน

และเนองจากเอกภพสมพทธคอ ดงนน

จะดเฉพาะกรณท > 0

จะเหนวา ≤ | | < + 1

และ ≤ | | < + 5

ดงนน |( )( )| ( )( )

ดงนน ก. ถก

2

= 15 ( ) ( ) = 13 8 + 4 + = 13 …( )

จาก (1) และ (2)

= 3( ) 9 + + 2 = 3( + 2 + 1 ) + 11 = + 9 1 =

= | |

= + 1

1

= | |

= + 5

4

20 PAT 1 (เม.ย. 57)

ข. แยกตวประกอบไดเปน |( )( )| ( )

ถา = 1 จะได อสมการเปนจรง ถา ≠ จะเอา | | หารตลอด ได | |

| |

จะเหนวา

| | จะตดกนเปน 1 หรอ 1 เสมอ ขนกบวา เปนลบหรอบวก

ถา > 1 จะได

| | = 1 จะไดอสมการกลายเปน | | ซงจรงเสมอ เพราะ > 1

ถา < 1 จะได

| | = 1 จะไดอสมการกลายเปน | | ซงจรงเสมอ เพราะคาสมบรณ

แต ข. บอกวา ประพจนเปนเทจ ข. ผด

3. 1

จาก ( ) ≡ F จะได ≡ T และ ≡ F แทน ≡ T ลงในประโยคทสอง จะได T ( ) ≡ T ดงนน ≡ T

1. ≡ ( ) ( ) ≡ ( ) ≡ ( ) ≡ ≡ T

2. เปนเทจไดเมอ ≡ T , ≡ T , = T และถาให ≡ F จะยงท าใหเงอนไขทมจรงหมด

3. ≡ ( ) T ≡ เปนเทจไดเมอ ≡ F , ≡ F และถาให ≡ T จะยงท าใหเงอนไขทมจรงหมด

4. ≡ ( ) ≡ (F ) ≡ เปนเทจไดเมอ ≡ T , ≡ F และถาให ≡ F , ≡ T

จะยงคงท าใหเงอนไขทมจรงหมด

4. 4

ขอน จะแบงกรณท ากได

แตถาสงเกตดๆ จะพบวา ขางในคาสมบรณบวกกน ( ) ( ) ไดเทากบทางขวา พอด จากสมบตคาสมบรณ | | | | = | + | เมอ กบ เปนบวกเหมอนกน หรอ ลบเหมอนกน คอ เทานน

ดงนน จะได

ดงนน = [ 2, 1] ซงจะเปนสบเซตของขอ 4.

5. 3

ขอน ตองสงเกตวาตวสวน กบ คลายๆกน ตางกนแคตรงกลาง 8 กบ 10

เราจะสรางตวแปรใหม เปนตวทอยตรงกลางระหวาง 2 ตวน คอ ให =

ดงนน = และ =

จะไดสมการคอ

= 1 คณตวสวนตลอด ได

จะได = 0 หรอ = 0

( )( ) ( )( ) ( )( ) ≤

หารดวยคาลบ

ตองกลบ เปน ≤ 2 1

+ +

( ) ( ) = ( )( ) = 0 = 0 = ( )

PAT 1 (เม.ย. 57) 21

แทนคา กลบ จะได = 0 หรอ = 0

จะได = {

}

เนองจาก มแค 2 ตว และจากทถามใน (ก) และ (ข) จะเหนวาไมตองหา กได แครวาแทนใน แลวจรงหรอไม

ลองแทน กบ

ใน ด : =

จะได |

|

จรง

=

จะได |

|

ไมจรง (ก) ผด

และจะได เหลอแค { } ตวเดยว ดงนน ( ) มสมาชก = 2 ตว (ข) ถก

6. 1

หา ( ) โดยเอา ( ) มาเปลยน เปน , เปลยน เปน จะได = =

( ) =

ทง (ก) และ (ข) ไมไดใช ( ) ใชแต ( ) ดงนน จะหาแต ( ) จาก

ให = จะได =

แทนกลบไปใน จะได

= ( )

= ( ) ดงนน ( ) =

ก. ข.

7. 3

(ก) แทน กบ I จะได ([

] [

])

= 4[

] [

] [

]

= [

]

จากสตรอนเวอรสการคณเมทรกซ [ ]

=

[ ] จะได

[

] = [

]

จะเหนวาสวนทเปนเมทรกซของทงสองฝงเหมอนกน ดงนน

= 1 จะได = (ก) ผด

(ข) จากสตร ( ) = จะได ( )

ไมมค าตอบ เพราะ = ( ) ( )( ) = 81 – 112 < 0

= 0 ( )( ) = 0

=

,

( )( ) = ( ( )) =

( ) = ( )

= ( )

4 ( ( )) = ( ) + 1

4 (

) =

+ 1

4 ( ) =

=

จรง

( ( ( ))) =

+ 1

( (

)) =

(

) =

(

) =

2(

) + 1 =

+ 1 =

จรง

= ( )

= ( )

= ( ) = ( )

= ( ( ))

(ข) ถก

det กระจายในการคณเมทรกซได

= ( ) =

=

22 PAT 1 (เม.ย. 57)

8. 1 จดรปพาราโบลา หา F กอน ได เปนพาราโบลาหงายทม V(3, 1) และ = 1

จะได F คอ (3, 2)

จาก (ก) จะได ไฮเพอรโบลาแนวตง , จาก (ข) จะได ศก ( ) รปสมการคอ ( )

( )

= 1

จาก (ง) จะได =

= 6 และจาก (ค) จะได = 2 + √ = √

แตจาก = √ จะได √ = √ แกจะได = √ = 4

ดงนน สมการคอ ( )

( )

9* 4

ขอน โจทยตองบอกดวยวา > 1 ไมงนจะมวงรสองวงทสอดคลองกบเงอนไขโจทย และจะสรปอะไรไมไดเลย

ศก = (2, 1) แตยงไมรวา รแนวนอนหรอแนวตง จะสมมตใหวงรจะมรปสมการคอ ( )

( )

= 1

จดรปให สปส เปน 1 เหมอนทโจทยให โดยกระจายและคณ ตลอด ได ( )

=

= 0

เทยบ สปส จะได =

, = 4 , =

, 92 = 4 +

…( ) เนองจาก > 1 จะได > ดงนน เปนวงรแนวนอน เนองจาก แกนเอก = 2(แกนโท) จะได = 2

แทนใน ( ) จะได = ( )

=

= 4 , = = ( )

= 8 ,

(1) = 4 + ( 4) + ( ) ≠ ผด

(2) ความเยองศก =

=

√

=

√

=

√

=

√

=

√

ผด

(3) จดรปวงกลม ได ( ) ( ) = 20 + + ศก (2, 1), = 5

ม ศก รวมกน แต แกนเอกวงร = 2 = 2(10) = 20 ไมเทากบ วงกลม ผด (4) สงเกตวา 20 = แกนเอกวงร พอด ดงนน แคตรวจสอบวา (2, 6) อยบนวงรรเปลากพอ

แทน (2, 6) ในสมการวงร จะได ( )

( )

= 0 + 1 = 1 จรง ถกตอง

หมายเหต : ถาขอนไมบอกวา > 1 จะมวงร ( )

√

( )

√ = 1 อกวง

ซงจะจดรปได

= 0 สอดคลองกบเงอนไขทโจทยให

10. 1 หาจดตด = 0 …( ) และ …( )

(2) – 2(1) จะได 11 = 1 แทนใน (1) ได = ( ) = 2 ดงนน = (2, 1)

จะได L คอ

= = …( )

จะไดระยะจาก (0, 0) = | ( ) |

√ ( ) =

| |

√ =

4 + 9 = 4( ) = ( )

( ) ( ) = = 0 = 0 = 0

ไมตรงกบตวเลอกไหนเลย

ตองคณ 1 ถงจะตรงกบขอ 1

4 + ( )

( ) = 92

100 = 4 5 = = 2(5) = 10

PAT 1 (เม.ย. 57) 23

แทน ในสมการ = 1 จะได (| |

√ ) = 1

ตดคาสมบรณทถกยกก าลงสองออกได ( )

= 0

เนองจาก < 0 จะได ≠ เอา หารตลอดเหลอ

= 0

คณตลอด ดวย จะได

เนองจาก < 0 จะได = 2 แทนใน ( ) จะได = 0

11. 3 ให B = จะได A = 2 และ C = 180° ( ) = 180° 3

ทกมม ม หมด สามารถเชอมดวยกฎของ sin ได

สงเกตวา ตวเลอกแตละขอ จะคลายๆกฎของ cos

โดย สองตวเลอกแรก เหมอนจะใชกฎของ cos ท C แตสองตวเลอกหลง ใชกฎของ cos ท A

ถาใช กฎของ cos ท C จะมมม 3 ซงดยงยาก แตถาใชกฎของ cos ท A จะม cos 2 ซงดงายกวา ใชกฎของ cos ท A จะได

จะก าจด ใน ( ) โดยเอาคหลงใน ( ) มาคณไขว จะได

แทน ใน ( ) จะได = = ขอ 3

12. 2

จะเหนวาตวเลอกทกขอ เปน arctan หมด ซงจะตดกบ tan ได

ดงนน เราจะดวา tan ของสงทโจทยถาม ตรงกบ tan ของตวเลอกขอไหน

จะได ( (

) (

)) =

( (

)) ( (

))

( (

)) ( (

))

จาก tan(arctan ) = และ tan(arccot ) =

จะได =

(

)(

)

= 0 = 0 ( ) = 0 = 0, 2

=

=

=

=

( )

=

=

=

=

= =

…( )

= = = ( ) = …( )

3 = = =

A B

C

( ) =

เศษ = ( )( )

( )( )

= ( )

( )( )

= ( )

( )( )

=

( )( )

=

( )( )

= ( )

( )( )

24 PAT 1 (เม.ย. 57)

หมายเหต : เงอนไข 0 < < 15° ทโจทยให มเพอรบประกนวา

จะเปนบวก

เพราะ sin 15° = √

√ ~

<

ท าให (

) เปนบวก

ในขณะท (

) เปนบวกเสมออยแลว

ถา > 15° เชน 45° จะท าให (

) (

) ตดลบ

และจะไมเทากบ arctan(tan ) ซงเปนบวก

13. 2 ก.

ข. จาก = √ ยกก าลงสอง จะได = …( )

จาก √ = √ √

=

√

คณไขวและยกก าลงสอง จะได = …( )

(1) + (2):

จาก ≤ ≤

จะได ดงนน cos =

√ =

√

√

√ =

√

จะได = 45°

และจาก = √ จะได =

√ =

ดงนน = 30°

ดงนน sin 10 + cos 10 = sin 450° + cos 300° = sin 90° + cos 60° = 1 +

ข. ผด

14. 1

จาก = จะได = ดงนน | | = | | = | | ดงนน | | = 5

จะได = ดงนน | | = | | = | | ดงนน | | = 3

สวน = 1 + ( )

=

=

= ( )

จะได เศษสวน = ( )

( )( )

( )

=

=

จะเหนวาตวเลอกขอ 3 ขอเดยว ท tan แลวตดกบ arctan เหลอ tan

ดงนน ตอบขอ 3

cos 2 = ( )

= ( )

= (√

√

)

= (√

( ))

=

( )

= ( 1 )( )

= 1 2 ก. ถก

=

= ( )

= 2( 1 )

=

=

√

PAT 1 (เม.ย. 57) 25

ก. จาก | | = 5 และจากสตร

เนองจาก ≤ ≤ และ cos เปนบวก ดงนน อยใน Quadrant ท 1 จะได tan เปนบวก

cos =

√ =

ชดฉาก ดงนน tan =

= 3 ก. ถก

ข. จะหา ไดจากสตร | | = | | | | จาก = จะได = ดงนน | | = | | = | | = √

แทนในสตร จะได

15. 3 มเลขโดด 9 ตว แตละหลกจะเลอกได 9 แบบ เนองจากม 5 หลก จะสรางไดทงหมด = แบบ

ถาตองใชแค 3 ตว จะตองมตวซ า จะแบงกรณตามรปแบบการซ า

กรณ ซ า 3 + ตาง 2 : ขนท 1 จดกลมเลขโดด : เลอกเลขโดดทจะมาซ า 3 ได 9 แบบ

ทเหลอเลอกเลขโดดทจะมาเปน ตาง 2 ได ( ) แบบ

ขนท 2 เรยงเลขทไดจากขนท 1 : ซ า 3 + ตาง 2 จะเรยงได

แบบ

ดงนน ไดจ านวนแบบ = 9 × ( ) ×

= (9)(8)(7)(5)(2) แบบ

กรณ ซ า 2 สองค + ตาง 1 : ขนท 1 จดกลมเลขโดด : เลอกเลขโดดทจะมาซ า 2 สองค ได ( ) แบบ

เหลอ 7 ตว เลอกมาเปน ตาง 1 ได 7 แบบ

ขนท 2 เรยงเลขทไดจากขนท 1 : ซ า 2 สองค + ตาง 1 จะเรยงได

แบบ

ดงนน ไดจ านวนแบบ = ( ) × 7 ×

= (9)(8)(7)(5)(3) แบบ

ดงนน ความนาจะเปน = ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )

= ( )( )( )( )

=

16. 1

ขอนใชสตร ( )

( )( )…( ) =

ไมได เพราะ ห.ร.ม. ( , … ) ( ) ≠

( หนงสอบางเลม บอกวาใชได แตใหปดเศษขน ซงจะบงเอญถกในบางกรณเทานน ) ถา ห.ร.ม. ( , … ) ≠ จะมปญหาตอนคดกลมของตวทเอามาตอกไมใหวงหมน ในพวกแบบท “เปนคาบ” เชน ถาใช ตอก จะมปญหากบพวกแบบ (ซ าเปนคาบทละ 2 ตว คอ WR WR WR) กลาวคอ ปกตแลว 3! แบบตอไปน ควรจะเปนแบบทตางกน ทถกนบเปนแบบเดยวเมอ ซ ากน

แตจะเหนวา กบ กบ ถอเปนวงเดยวกนตงแตยงไมไดคดวา

ซ ากนแลว ดงนนพวกท “เปนคาบ” จะมกลมซ าไมถง 3! แบบ ท าใหเอา

มาหารดวย 3! เปน

ไมได

| |

= | | | |

= + √ | || |

6 = 2(3)(√ ) cos

√ = cos

√

1

= √√ = 3

√

=

24 =

12 = ข. ถก

26 PAT 1 (เม.ย. 57)

อยางไรกตาม ขอนเลขนอย เขยนนบเอาเลยกได โดยจะแบงกรณนบเปน 3 กรณ

รวมสามกรณ จะม 4 แบบ ตอบขอ 1

หมายเหต : ถาขอนจะไมเขยนนบ ตองแยกพวกแบบท “เปนคาบ” ออกไปคดตางหาก

จะไดเปน ( )

( )

( ) = 4 แบบ

17. 2 ตอเนองท = 2 แสดงวา

2 lim

x ( ) = ( ) =

2 lim

x ( )

จะเหนวา 2

limx

( ) กบ ( ) ใชสตรเดยวกน จะได = ( ) = 2 + เทากน

และ 2

limx

( ) =

( ) =

ดงนน 2 + =

…( )

และจาก 3

limx

( ) หาคาได แสดงวา

แทนใน (1) จะได =

= 2 ดงนน | + 5 | = |2 + 16| = 15

18. 3

จดรปจะได

√ =

√ (√ ) =

√ (√ ) √

√ =

( )(√ )

√ ( ) =

√

√ =

√ =

ดงนน b

1

√ =

b

1

= (

) | = (

) ( ) = √

แตโจทยบอกวาอนทเกรตได 4 ดงนน

แตรทเปนลบไมได ดงนน √ = 3 จะได = 9 ดงนน 1 + + = 1 + 9 + 81 = 91

19. 2

จาก ( ) = 0 จะได ( ) = ( ) ( ) = …( )

และจะได ( ) = จะเหนวา ( ) = 0 เมอ =

แตโจทยบอกวา มคาสงสดท =

ดงนน

=

จดรป จะได …( )

คณคอนจเกต

√ = 4

√ = 0

(√ )(√ ) = 0

√ = 3, 1

กรณ W ตดกนทง 3 ตว W

W W R R

R

กรณ W ตดกน 2 ตว W

R W W R

R

W R W R R

W

กรณ W ไมตดกน W

R R W W

R

3

limx

( ) = 3

limx

( )

( ) = ( )

=

ดง √ เปนตวรวม

PAT 1 (เม.ย. 57) 27

จาก ( ) = ( ) + 1 จะได

แต 1

0

( ) =

|

= (

) ( ) =

ดงนน

= 1 คณ 6 ตลอด ได …( )

จาก (1), (2), (3) จะแกหา ได : (3) – (2) จะเหลอ 6 = 1

(2) – 2(1) และแทน = 1 จะได = = 2

แทน , ใน (1) จะได = = 3

ดงนน ( ) =

(ก) ( ) = | = ( ) ( ) = 3

( ) = | = ( ) ( ) = 13 นอยกวาอย ก. ถก

(ข) ( )

= ดฟ ได ≠

ข. ผด

20. 4

จดรป ท าเทเลสโคปค :

=

( ) =

( )( ) =

[

(

)] =

(

)

ดงนน … =

[(

) (

) (

) (

)]

=

[

(

) (

) (

( )

)

]

=

[

( )( )

( )( )

( ( ))( ( ))

]

=

[

]

=

[

]

ดงนน n

lim …

=

nlim

[

] =

nlim [

] =

(

) =

ดงนน = 1 , = 16 จะได = 1 + 256 = 257

21. 4

ให = + i จะได = i แทนในสมการ จะได

จะได = …( ) และ = 3 …( )

จาก (1) จะได = แทนใน (2) จะได

แทนใน (1) จะได = ( ) จะได = 2 ดงนน = i

t

0

( ) = t

1

( ) + 1

1

0

( ) + t

1

( ) = t

1

( ) + 1

1

0

( ) = 1

= 3i( ) ( ) ( ) = = ( ) i

= ( ) 8 = 16 = 2

28 PAT 1 (เม.ย. 57)

(1) ( i) + ( i) = i(( i) ( i))

4 = ( ) ถกตอง (2) | i + 2| = |2i| = 2 ถกตอง (3) ฝงซาย = ( ) i = ( ) ถกตอง (4) ฝงซาย

22. 1

ระบบสมการคอ โดย

แทนระบบสมการ จะได 3.2 = 6 + 4 …( ) และ 4.2 = 14 + 6 …( )

(2)

(1) จะได ตดกน เหลอ = 5 จะได = 0.12

แทนใน (1) จะได 3.2 = + จะได =

= 0.98

(ก) จะได + 11 = + 1.1 = 0.98 = ถก (ข) ถา = 8 จะได = ( ) = = ถก

23. 1

(ก)

แทน = 16 ในอกสมการ จะได √ ถกตอง (ข) สมการแรก คณสองฝงดวย จะได

สมการสอง คณสองฝงดวย จะได

สมการสาม คณสองฝงดวย จะได

ดงนน

= ( ) ( ) ( ) = = ถกตอง

= ( )( ) = ( )( ) = ( ) = (( ) )

= ( ) = ( ) = 8 8i ≠ ผด

∑ = ∑ ∑ = ∑ ∑

∑ = 1 + 0.8 + 0.8 + 0.6 = 3.2 ∑ = 0 + 1 + 2 + 3 = 6 = 4 ∑ = 0 + 0.8 + 1.6 + 1.8 = 4.2 ∑ = 0 + 1 + 4 + 9 = 14

= 7

= 7

( ) (

) = 7

( ) (

) = 7

= 4 = 16

= =

= =

= =

PAT 1 (เม.ย. 57) 29

24. 3 แจกแจงปกต = มธยฐาน = ฐานนยม = 45

โจทยบอกวา ม 34.13% อยระหวางมธยฐาน กบ 54 จะวาดไดดงรป เอา = 0.3413 ไปเปดตาราง จะได = 1.0 ดงนน = 54 จะได = 1.0

จากสตร =

จะได 1.0 =

= 9

ถดมา หา จากรป เนองจากพนททใชเปดตาราง ตองเปนพนททวดจากแกนกลาง

ดงนน ตองเอา = = 0.17 ไปเปดตาราง จะได = 0.44

และ อยทางฝงซาย จะม เปนลบ ดงนน จะม = 0.44

จากสตร =

จะได 0.44 =

= 3.96 + 45 = 41.04

ดงนน นกเรยนคนน ได × 41.04 = 68.4 เตม 100 = 68.4%

25. 4

เรยงขอมลกอน จะได 28 30 32 35 40 42 45 48 50 65

(ก) อยต าแหนงท ( )

จะได = ตวท 7 + 0.7(ตวท 8 – ตวท 7)

= 45 + 0.7( 48 – 45 ) = 45 + 2.1 = 47.1

มธยฐาน = ตวท

จะได M =

ตวท ตวท

=

= 41

จะได – M = 47.1 – 41 = 6.1 ก. ผด

(ข) สวนเบยงเบนควอไทล =

อยต าแหนงท ( )

จะได = ตวท 8 + 0.25(ตวท 9 ตวท 8)

= 48 + 0.25( 50 48 ) = 48 + 0.5 = 48.5

อยต าแหนงท ( )

จะได = ตวท 2 + 0.75(ตวท 3 ตวท 2)

= 30 + 0.75( 32 30 ) = 30 + 1.5 = 31.5

ดงนน สวนเบยงเบนควอไทล =

=

ข. ผด

26. 4

× = [ ] × [

] = [

] = [

] ดงนน | × | =

ดงนน | | = = ( ) = 4 + 4 = 8

27. 2

(ก) = [

] [

] = [

] ดงนน + + I = [

]

ดงนน det( + + I) = (1 + ( ) + ) – ( + + )

= (1 + 1 + 1 ) – ( ) ก. ถก (ข) จะเหนวา เกดจากการน า ท า (1). , (2). 2 และ (3). 3

จากสมบต det จะไดวา (1). จะไมมผลกบ det แต (2). กบ (3). จะท าให det เพมเปน 2 เทา และ 3 เทา ตามล าดบ

= 54

0.3413

0.33

√( ) = 2 + = 4

30 PAT 1 (เม.ย. 57)

ดงนน ถา det( ) = 3 แลว จะได det( ) เพมเปน (2)(3)(3) = 18 ข. ผด

28. 2

ใหผสมป ย A จ านวน ถง และ ป ย B จ านวน ถง ดงนน จะได N = 2 + 3 , P = + 3 , K = 80 + 60 และคาใชจาย = 10 + 12

จะไดเงอนไขคอ

โดยวตถประสงคคอ ตองท าให = 10 + 12 ต าสด วาดอสมการเงอนไขจากจดตดแกน และแรเงาพนททสอดคลอง จ านวนถงตองไมตดลบ จงเอาเฉพาะพนทใน จะไดบรเวณทซอนทบกนดงรป

ตองการหาคานอยสด จะมจดมมทตองสงสย 4 จด คอ P, Q, R, S

หาพกดจด Q จากการแก (1) กบ ( ) (3) – 20(1) : 40 = 120 = 3 แทนใน (1) ได = 4

หาพกดจด R จากการแก (1) กบ ( ) ( ) – (2) : แทนใน (2) ได = 2

แทน P, Q, R, S หาจดท ต าสด

ดงนน เสยคาใชจายนอยสด = 78 บาท

29. 3 ให = 2 + 3 และ = 3 + 2 แทนใน ก. และ ข. จะไดดงน ก. ข.

โจทยให < ซงจะเหนวา 6 > อาจจะไมจรง เชน ถา = 1, = 7 และ เปนอะไรกได ประโยคนจะผด

เชน ถา = 1, = 7, = 1 จะได ก. คอ

>

ซงไมจรง

30. 4

แทน = 0 จะได ( ( )) = 2 +15 เราจะใชเทคนคเปลยนตวแปร เพอหา ( )

ดงนน ( ) = 2 ( ) …( )

ถดมา แทน = 0 ใน ( ( )) ทโจทยให จะได ( ( )) = + 15

ให + ( ) =

= ( )

2 + 3 …( ) + 3 …( ) 80 + 60 …( )

P(0,8) : = 10(0) + 12(8) = 96 Q(3,4) : ( ) ( ) min R(6,2) : = 10(6) + 12(2) = 84 S(12,0) : = 10(12) + 12(0) = 120

8 6

4

6 9 12

(1)

(3)

(2)

P

R S

Q

>

> 4 > 4(3 + 2 ) > 3(2 + 3 ) 12 + 8 > 6 + 9 6 >

>

> > 2 + 3 > 3 + 2 >

โจทยให < ข. จรง

= 2( ( )) + 15

= 2 ( )

PAT 1 (เม.ย. 57) 31

แตถาแทน ใน (1) ดวย ( ) จะได ( ( )) = 2 ( ) ( ) + 15

ใช ( ( )) เปนตวเชอม จะได

ก. แทน และ จาก (1) และ (2) จะได ( )( ) = ( ( )) = ( ( ) )

= ( ) ( )

=

ก. ผด

ข. ( ( )) = ( ( ) ) = ( ( ))

= ( ) ( )

ข. ผด

31. 5

แตจะเหนวา ใชไมได เพราะท าให หลง ( ) เปนลบ เหลอ 5 ตวเดยว ตอบ 5

32. 54

แกหา cos B และ cos C กอน

5(1) + (2) : =

แทนใน (1) ได =

=

จะหา sin ของทกมม เพอใชกฎของ sin

cos = ชดฉาก วาดรป + หาดานทเหลอ ไดดงรป

เนองจาก B, C เปนมมแหลม จะได sin เปนบวก ดงนน sin B =

, sin C =

และ sin A = sin (180° – (B+C)) = sin(B+C) =

=

+

=

จากกฎของ sin จะได

แทนคาตางๆทร จะได

=

=

ดงนน =

=

= 21 และ =

= 20 ×

= 13

จะไดความยาวรอบรป = = 21 + 13 + 20 = 54

33. 681

ขอน ท าไดหลายวธ จะกระจาย ( ) กได หรอจะใช ( ) = กได ผมคดวา ใชวธแทน สามมมลงไป แลวแกระบบสมการ นาจะงายทสด โดยตองเลอก ท cos แลวไดเลขนอยๆ

2 ( ) ( ) + 15 = + 15

( ) = ( )

…( )

( ) ( ) = ( )

( )

( ) =

( ( ))

( ) ( ) = ( ( ))

( ) + ( ) = ( ( ))

( )( ) = ( ( ))

=

= 0 ( )( ) = 0 = 5, 1

= 15 …( ) = 77 …( )

B 4

5 3

C 5

13 12

32 PAT 1 (เม.ย. 57)

ดงนน = 256 + 400 + 25 = 681

34. 3

: จากสมบต log จะได

ดงนน หรอ

: ตองสงเกตวา ฝงซายยกก าลงสอง = ( √ )

= √

= √ = ฝงขวา พอดเปะ ดงนน ถาให = √ จะไดสมการกลายเปน

ดงนน หรอ

ดงนน = { 0, 1,

√ } มสมาชก 3 ตว

(2) – (1) : 15 = 3 + 15 5 = + 5 …( ) (3) – (1) : = + 3 …( ) (4) – (5) : 10 = 2 = 5

แทน ใน (5) จะได = = 20

แทน ใน (1) จะได = 1 + 20 – 5 = 16

= 0° : 1 = = …( )

= 60° :

=

= …( )

= 45° :

√ =

√

√

√ 4 = …( )

= = = = ( ) = 0 ( )( ) = 0

= 2 3( ) = 2( ) =

จะได = 1

= =

จะได = 0

ให = , =

= {1, 0}

= 0 = 0 = ( ) = 0 , 1

√ = 0

√ = = ( ) ; 1 =

√ =

แตจาก จะเหลอ =

√

√ = 1

√ = = ( ) ; = 0 = 0 = ( ) = 0 , 1

สอดคลองกบ ทกตว จะได = 0, 1

PAT 1 (เม.ย. 57) 33

35. 9

จาก

จะหา ( ) ตองหา ท ( ) = 1 นนคอ

และ ( ) = ( ) = แทนใน ( ) จะได 1 = = 1

ดงนน ( )( ) = ( ( )) = (( )( ) ) = ( ) = ( )( ) = 9

36. 500 เอา

=

…

มากลบเศษสวน จะได

จบ เทากบแตละตว เพอเขยน ในรป : จาก

=

จะได =

จาก =

จะได =

⋮ จาก

=

จะได =

เนองจาก { } เปนล าดบเลขคณต และโจทยถาม หาไดจากสตร = ( )

นนคอ

37. 1704

จะใชวธเอาสมการมาหกดวยตวมนเอง จาก = …( )

เพม 1 ต าแหนง โดยแทน ดวย + 1 จะได = ( ) …( )

(1) – (2) จะได = 1 นนคอ ตวทหางกน 3 ต าแหนง คาจะนอยลง 1

เชน

เนองจาก 2558 หารดวย 3 เหลอเศษ 2

ดงนน จะเอากลม ÷ 3 เหลอเศษ 2 มาคด ดงตาราง

สองแถวน ตองมจ านวนตวเทากน ใชสตร จ านวนตว = ปลาย ตน

หาง + 1 จะได

( )( ) = 1 ( ( )) = 1

( ) = ( ) …( )

( ) = 1 = 0 ( ) = 0 = 1 จะได ( ) = 1

=

=

… =

1 +

= 1 +

= 1 +

… = 1 +

=

=

… =

{ } เปนล า

ดบเลขคณต

(เพมทละ

)

… =

( )

250000 =

( )

500 =

= 12 = 11 = 10 = 9 … (กลม ÷ 3 เหลอเศษ 1) = 2556 = 2555 = 2554 = 2553 … (กลม ÷ 3 เหลอเศษ 2) = 7 = 6 = 5 = 4 … (กลม ÷ 3 ลงตว)

2 5 8 11 … 2558 2556 2555 2554 2553 …

+ 1 =

+ 1

852 =

1704 =

34 PAT 1 (เม.ย. 57)

38. 340

ขอน สงส าคญทตองรคอ ถาระหวาง P สองตวไมม A มาแทรก แลว ระหวาง P สองตวนน จะตองม T มาแทรก (เพราะ หามม P ตดกน) และจะแทรก T ไดแคตวเดยวเทานน (เพราะ หามม T ตดกน) กลาวคอ ระหวาง P สองตว จะเปนได 2 แบบ คอ แบบทม A มาแทรก เชน P A P , P T A A P , P A T …

กบ แบบทไมม A มาแทรก ซงจะเปนไดแบบเดยว คอ P T P

ดงนน ขอนจะแบงกรณนบ ตามลกษณะการแทรกระหวาง P แตละค วาม A มาแทรกหรอไม

กรณ ระหวาง P ทงสามตว ม A มาแทรก (เชน P T A T P A A P T ) ขน 1 เอา A วางปกหลกไวกอน __ A __ A __ A __ มชองใหแทรก 4 ชอง ใน 4 ชองน จะม P สองตวอยชองเดยวกนไมได (เพราะระหวาง P ทกตวตองม A มาแทรก) เลอก 3 ชองจาก 4 ชอง ให P ทง 3 ตว ได (

) = 4 แบบ

ขน 2 เอา T มาแทรก จากขนแรก เราจะม A และ P เรยงแถวกนอย (เชน __ P __ A __ P __ A __ A __ P __ ) จะเหนวามชองใหแทรก 7 ชอง และ จะม T สองตวอยชองเดยวกนไมได (เพราะ T ตองไมตดกน) เลอก 3 ชองจาก 7 ชอง ให T ทง 3 ตว ได (

) = 35 แบบ

จะไดกรณน มจ านวนแบบ = 4 × 35 = 140 แบบ

กรณ ระหวาง P แคสองตว ทม A มาแทรก (เชน P T A A T P T P A ) จะไดวา ระหวาง P อกคทไมม A แทรก จะเปนไดแบบเดยว คอ P T P

ขน 1 เอา A วางปกหลกไวกอน __ A __ A __ A __ มชองใหแทรก 4 ชอง เลอกชองให P T P กบ P ทเหลออกตว มาแทก จะเหนวา P T P กบ P ทเหลอจะลงชองเดยวกนไมได (ไมงน A จะไมไดไปแทรกระหวาง P คไหนเลย ซงขดกบเงอนไขของกรณ ทตองม P สองตว ทม A มาแทรก) เลอก 1 ชองจาก 4 ชอง ใหกอน P T P ไปแทรก ได = 4 แบบ

เหลอ 3 ชอง เลอก 1 ชอง ให P อกตวทเหลอ ไปแทรก ได = 3 แบบ ขน 2 เอา T ทเหลอมาแทรก จากขนแรก เราจะมเกอบทกตวแลว ขาดแค T อกสองตว

(เชน __ P __ A __ A __ P T P __ A __ ) จะมชองวาง 6 ชองให T สองตว เลอกได ( ) = 15 แบบ

จะไดกรณน มจ านวนแบบ = 4 × 3 × 15 = 180 แบบ

กรณ ระหวาง P แตละตว ไมม A เลย (เชน A A P T P T P A T ) จะไดวา ระหวาง P ทงสามตว จะเปนไดแบบเดยวคอ P T P T P

ขน 1 เอา A วางปกหลกไวกอน __ A __ A __ A __ มชองใหแทรก 4 ชอง เลอกชองใหกอน P T P T P ไปแทรก ได 4 แบบ

ขน 2 เอา T ทเหลอมาแทรก จากขนแรก เราจะมเกอบทกตวแลว ขาดแค T อกตวเดยว

(เชน __ A __ A __ P T P T P __ A __ ) จะมชองวาง 5 ชอง เลอกได 5 แบบ

จะไดกรณน มจ านวนแบบ = 4 × 5 = 20 แบบ รวมทง 3 กรณ จะไดค าตอบ = 140 + 180 + 20 = 340 แบบ

จ านวนแบบ = 4 × 3 แบบ

PAT 1 (เม.ย. 57) 35

39. 109

จากสมบตของคาเฉลย จะได = = 6 +

ดงนน คาเฉลยรวม =

=

( ) ( )

=

โจทยให

ถดมา จากสตรความแปรปรวน =

∑

จะได

และจากสมบตของ จะได = | | = 2 ดงนน ( ทมาบวก จะไมมผลกบคา )

จะได ความแปรปรวนรวม = ∑ ∑

=

( )

=

โดยให ความแปรปรวนรวม = 21 ดงนน

โจทยให > 0 ดงนน = 3 แทนใน ( ) จะได = 8 – 6(3) = 10 ดงนน = 9 + 100 = 109

40. 7

เอาความถสะสมชองทตดกนมาลบกน จะไดชองความถปกต (แบบไมสะสม) ดงตาราง โดยชอง รอยละความถสมพทธน สามารถใชแทนความถในการหา

คากลางและการกระจายขอมลไดเลย

โดยตองเทยบใหจ านวนขอมลทงหมด ม 100 จ านวน

จะได = ( ) ( ) ( ) ( )

=

แตโจทยให = 4 ดงนน

แกได = 4

ดงนน ความแปรปรวน = ∑ ( )

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

= 7

41. 38

จดรปเสนตรง จะได = เทยบกบรป = จะได ความชน = 5 ดงนน ( ) = 5 ดวย

จาก ( ) = จะได ( ) = ( ) แกสมการ จะได = 2

และจดทเสนตรงสมผส จะตองอยทงบน เสนตรงและ แทน = 1 ในเสนตรง = + 13 ได = 18

ดงนน จด (1, 18) ตองอยบน ดวย ( ) ตองแทนใน ( ) = แลวเปนจรง จะได 18 = + 2(1) + แกได จะได ( ) = 15 + 2 +

ดงนน 2

0

( ) =

|

= ( ) ( ) = 38

= 7

= …( )

= ∑

40 = ∑

( ) = ∑

( )

( ) = ∑

( ) = ∑

= 21

= 100

( ) ( ) = 100 ( ) ( ) = 25 = 25 = 9

แทน จาก ( )

> 0

คาสงเกต ( )

รอยละของความถสะสมสมพทธ

รอยละของความถสมพทธ

1 20 20 2 40 20 70 30 6 90 20

10 100 10

36 PAT 1 (เม.ย. 57)

42. 634

อตราการเปลยนแปลงของ ( ) เทยบกบ ขณะท = 3 กคอ ( ) นนเอง

เนองจากตวสวน 3

limx

= 0 แต 3

limx

( )

หาคาได ดงนน

3limx

( )

ตองอยในรป

ใชโลปตาล จะได 3

limx

( )

=

3limx

ดฟบนดฟลาง

= 3

limx

( ) ( )

= 3 ( ) ( ) = 3 ( ) + 111

แตโจทยให 3

limx

( )

= 2013 ดงนน 3 ( ) + 111 แกได ( ) =

= 634

43. 35

ขน 1 เลอก A, B : เขยนนบจ านวนทบวกกนเปน 14 จะม ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) แบบ

ขน 2 เลอกตวทเหลอ ให บวก 3 สมการ จะได

เนองจากแตละแบบของ F, , , จะโยงกลบไปหา C, D, E ไดแบบหนงตอหนงเสมอ

เชน ถา (F, , , ) = (2, 1, 2, 4) จะได (F, E, D, C) = (2, 3, 5, 9)

ดงนน เราจะนบจ านวนแบบของ (F, , , ) แทน

โดยเงอนไขคอ > > > 0 และ F ≤

จะไดทงหมด 7 แบบ

รวม 2 ขนตอน จะไดจ านวนแบบ = 5 × 7 = 35

44. 2750

แยกเทเลสโคปค ได =

…

=

…

= (

…

) (

)

= (

…

) (

)

=

…

ถดมา หา สงเกตวาตวเลขทกค รวมกนได 3025 ดงนน เราจะคณ

แลวกระจาย 3025 เขาไป

จะเหนวา =

จะได

=

ดงนน

=

= 2750

C – D = D – E = E – F =

C – F = + + C = + + + F 9 + + + F

F

1 2 3 1 2 3

1 2 4 1 2

1 2 5 1 1 3 4 1

=

(

( )( )

( )( ) …

( )( ))

=

(

( )( )

( )( ) …

( )( ))

=

(

( )( )

( )( ) …

( )( ))

=

(

)

=

(

)

ม

,

…

ตวละ 2 ครง

เปลยน 1 เปน 1 2

แยกตวทเปนลบไปไวขางหลง

ตด 1008 พจนแรกได

PAT 1 (เม.ย. 57) 37

45. 384 กอนอน เราจะจดสมการทโจทยให ใหอยในรปงายทสดเทาทจะจดไดกอน

(ก) = งายอยแลว

(ข) (ค)

หลกทวไปในแกสมการจ านวนเตม คอ ตองจดฝงหนงใหเปนตวเลข แลว แยกตวประกอบอกฝง แลวอางวา ฝงทเปนตวเลข จะแยกตวประกอบไดแคไมกแบบ

จะเหนวาสมการ (2) มฝงซายเปนตวเลขแลว สวนฝงขวา ถาเตม +3 เขาไป จะสามารถจดกลมดงตวรวมได

กรณ 5 × 1 : จะได = 5 และ = 1 จะได = 6 , = 4

แทนใน (1) จะได = 2(6) + 4 = 16 , แทนใน (ก) ได = 6 + 16 = 22

จะได = 484 + 36 + 16 + 256 = 792

กรณ 1 × 5 : จะได = 1 และ = 5 จะได = 2 , = 8

แทนใน (1) จะได = 2(2) + 8 = 12 , แทนใน (ก) ได = 2 + 12 = 14

จะได = 196 + 4 + 64 + 144 = 408

เนองจาก เปนไดแค 792 กบ 408 ดงนน = 792 และ = 408

ดงนน = 792 – 408 = 384

เครดต

ขอบคณ คณ nitrogen synthesis และ คณ Gtr Ping and his friends ส าหรบขอสอบนะครบ

ขอบคณ คณ Piyapan Sujarittham และคณ P'Wit Tutor ทชวยตรวจสอบความถกตองของเฉลยใหนะครบ

( ( )) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( ) = + = + = …( )

จาก (ก)

จาก (ก) ตลอดได (เพราะ ≠ 0)

2 + = ( ) 2 + = ( )( ) 2 + = 2 = 2 = ( ) 2 = …(2)

จาก (ก)

จาก (1)

(2) : 2 = 2 + 3 = 5 = ( ) ( ) 5 = ( )( )

จะเหนวา 5 ทางฝงซาย แยกเปน 2 ตวคณกนไดแค 2 แบบ

คอ 5 × 1 กบ 1 × 5

pat 1 - mathsolution.org · วันเสาร์ที่ 26 เมษายน 2557...

Documents