pasiones, piojos, dioses y matemáticas

La Gaceta de la RSME, Vol. 12 (2009), Núm. 2, Págs. 279–300 279

Pasiones, piojos, dioses. . . y matemáticas

por

Antonio J. Durán

1. Las matemáticas y sus circunstancias

Si paramos al azar a alguien por la calle y le preguntamos por la condiciónhumana y las matemáticas, seguramente diría que son asuntos ajenos uno del otro.Y, posiblemente, esa sería también la respuesta de más de un matemático. Lasmatemáticas tienen fama de ser un conjunto de abstracciones que guardan poca oninguna relación con los sentimientos de los humanos.

Siguiendo con esta encuesta figurada, preguntemos ahora a ese hipotético vian-dante con qué tienen que ver más las matemáticas, si con la prudencia o con lapasión. Recuerdo que prudencia, según el diccionario de la RAE, es «templanza,cautela, moderación», y «sensatez y buen juicio»; mientras que «pasión» es «cual-quier perturbación o afecto desordenado del ánimo» y «apetito o afición vehemente auna cosa». Naturalmente la respuesta del viandante sería que las matemáticas son laprudencia contra la pasión. Los matemáticos, sin embargo, sabemos —¿sabemos?—que en nuestra ciencia se da un equilibrio inestable entre prudencia y pasión, que lasmatemáticas son una mezcla sutil de cautela y de afición vehemente, y un afecto delánimo profundamente embriagador y desordenado. Ese conflicto, que late en el cora-zón de un matemático, lo describió muy bien Bertrand Russell, aunque refiriéndose alos antiguos ritos dionisíacos: «Muchas cosas admirables de las obras humanas llevanen sí un elemento de embriaguez —mental, no alcohólica—, donde la prudencia esbarrida por la pasión. Sin el elemento dionisíaco, la vida carecería de interés; conél, es peligrosa. La prudencia contra la pasión: este conflicto se extiende por todala Historia. Es un conflicto en el cual no debíamos tomar parte por uno o por otrobando resueltamente».

Yo soy del parecer que, además de la irrazonable eficacia de las matemáticas enlas ciencias naturales —por usar el título del célebre artículo que el Nobel Euge-ne Wigner escribiera en 1960—, las matemáticas y sus circunstancias tienen otrautilidad no menos irracional: son capaces de ayudarnos a revelar lo que somos y,por tanto, sirven también para que los humanos nos podamos comprender mejora nosotros mismos, para profundizar, en suma, en el conocimiento de la condiciónhumana.

Ya sé que esto suena raro, y que nuestro viandante imaginario dirá que cómopueden las matemáticas, que en buena medida no entendió cuando se las enseña-ron en la escuela, hacerle conocer mejor al género humano. Y seguro que más de

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un matemático, que sí comprende los misterios de su ciencia, tampoco alcanzará aver cómo puede esta iluminar ese pozo oscuro que es la naturaleza humana. Paralos escépticos debo recalcar que esa capacidad iluminadora la poseen las matemáti-cas cuando le añadimos sus circunstancias. Por circunstancias de un teorema, porejemplo, me refiero a los entresijos históricos en que se desenvolvieron el autor, o losautores, de ese teorema, ya fuera la persona que lo conjeturó, aquella que lo demostróo lo refutó, o aquellas otras que intentaron una cosa u otra sin éxito, si alguna hubo.Entiendo que las circunstancias de las matemáticas son, en cierta forma, similaresa las circunstancias que describió Ortega y Gasset como compañeras inseparablespara entender el yo. Esas circunstancias de las matemáticas tienen mucho que vercon la historia de las matemáticas, pero, tal y como yo lo entiendo, no son la mismacosa.

Ahora puedo precisar algo mejor esa afirmación, inverosímil para nuestro vian-dante y dudosa para nuestro incrédulo colega, de que las matemáticas pueden ayu-darnos a entender mejor lo que somos. Yo tengo para mí que de la confrontación delmundo abstracto de las matemáticas y el mundo emocional donde moran quieneslas descubren o las inventan se desprende una luz que puede ayudar a alumbrar lasmás recónditas profundidades de la naturaleza humana.

Mi propósito aquí no es enhebrar una argumentación en pro de lo que acabo deafirmar, sino ilustrarlo mediante un ejemplo, de los muchos posibles, que encuentroespecialmente significativo. Que el lector después saque sus propias conclusiones.

No analizaré, por tanto, el hecho de que, casi más que ninguna otra creaciónhumana, las matemáticas son hijas de nuestra mente —en su forma más descarnaday solitaria—, y, no lo olvidemos, es nuestro cerebro lo que nos hace ser lo que somos.

Y tampoco profundizaré en algunas circunstancias interesantes que se remontana los inicios de la vocación matemática de la humanidad, más allá de mencionarlasy dejar propuestas unas cuantas preguntas que se me antojan muy sugerentes.

Para quien prefiera ubicar esos inicios en el hecho numérico, no se debería olvidarque los números nos estaban esperando al final de las manos, mezclados con losdedos como si fueran una parte más de nuestra anatomía, ni dejar de calibrar loprofundamente que las manos han influido en lo que somos como especie —léase,para más detalles, el libro La mano de Frank Wilson—. En la bruma prehistórica,es difícil determinar qué aprendimos primero, si a marcar números pequeños connuestros dedos, a pintar en las paredes de las cuevas, a enterrar a nuestros muertoso a inventar dioses y religiones. Eso, en cualquier caso, convierte a las matemáticasen la ciencia más antigua, y hace que sus circunstancias hundan sus raíces hasta lamás remota antigüedad del homo sapiens sapiens.

Hay, sin embargo, quien prefiere pensar que las matemáticas, tal y como hoy lasentendemos, nacieron en Grecia —haciendo buena la frase «los matemáticos griegosno fueron hábiles colegiales sino colegas de otra universidad», que Hardy dijo haberleescuchado una vez a Littlewood—. Para estos —entre los que me incluyo—, dejoaquí como motivo de reflexión la ofrenda que hizo Pitágoras cuando descubrió sucélebre teorema: según la leyenda, ofreció por tal descubrimiento una hecatombe. Eldiccionario establece como primera acepción para «hecatombe» la de «sacrificio decien reses vacunas u otras víctimas, que hacían los antiguos a sus dioses».

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La hecatombe atribuida a Pitágoras fue más bien modesta y no fueron muchos losbueyes sacrificados —aunque sobre esto no se ponen de acuerdo las fuentes, entre lasque se cuentan Vitrubio, Cicerón, Plutarco, Diógenes Laercio y varios más—. Dióge-nes Laercio, por cierto, aseguró que no fue únicamente Pitágoras quien ofreció unahecatombe por su teorema; parece que también Tales, el sabio de Mileto, sacrificóun buey cuando halló que todo triángulo inscrito en un semicírculo es rectángulo. Sia alguien le parecen pocos los animales sacrificados a mayor gloria de estos descubri-mientos matemáticos, tenga también en cuenta que una hecatombe no se celebrabapor cualquier minucia; más aún, sus causas estaban trufadas de recónditas impli-caciones simbólicas, aunque no por ello esas razones dejaban de estar apegadas alas preocupaciones más vitales del ser humano, a los insondables miedos que des-de siempre han nublado nuestras entendederas, o a nuestros más íntimos desvelos,ilusiones y miserias. Las hecatombes, no lo olvidemos, fueron una especie de sacra-mento primigenio preñado de religión, magia y misterio —valga la redundancia—, yse ofrecían con la esperanza de evitar calamidades y maldiciones divinas, para tratarde ganar una guerra, o para intentar poner fin a una epidemia. Habrá quien pien-se que esas hecatombes atribuidas a Pitágoras o a Tales tienen poco fundamentohistórico y que puede ser que nunca sucedieran; que son, en fin, un mito. En esecaso, digo yo, todavía daría más que pensar: ¿por qué Vitrubio, Cicerón, Plutarco,Diógenes Laercio y tantos otros, gentes todas ellas serias y seguro que ocupadas, sedieron el trabajo de concebir o transmitir un mito, tan sanguinario además, paraensalzar algo aparentemente tan insignificante para el ser humano como un teorema?¿Por qué asociar el parto intelectual que dio origen a las matemáticas griegas con unacontecimiento tan carnal y cruento? ¿Por qué ligar un proceso puramente abstractocon algo tan emocional como una matanza ritual?

Pero prometí antes no entrar en argumentaciones. Prefiero ilustrar con un ejemplocómo la contraposición del carácter abstracto de las matemáticas con las emocionesde quienes las han creado puede ayudarnos a comprender mejor la condición humana.El ejemplo que he elegido es uno de los teoremas más extraños que han dado a luzlos matemáticos, tanto que cuando se apela a él se suele recalcar su carácter insólitollamándolo, no «teorema», sino «paradoja». Me refiero a la paradoja de Banach-Tarski o, la paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski, como algunos, entre los que mecuento, prefieren denominarla.

2. La paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski

Razones históricas para unir en ese teorema/paradoja el nombre de Hausdorff alde Banach y Tarski no faltan, pues el resultado que Banach y Tarski demostraronen 1924 se inspira en uno previo que Hausdorff publicó en sus célebres Fundamentosde la teoría de conjuntos de 1914. Allí Hausdorff mostró cómo dividir una superficieesférica en cuatro conjuntos disjuntos A, B, C y D, tales que A es numerable,mientras que cualquiera de los trozos B, C y D puede ser llevado mediante unacombinación de rotaciones sobre B ∪ C. De haber una medida sobre la superficieesférica finitamente aditiva, normalizada —pongamos que la medida de la superficieesférica vale 1— e invariante por rotaciones —es lo que ocurriría si pudiéramos


«pesar» cualquier trozo de la superficie esférica—, tendríamos que la medida decada conjunto B, C y D es igual a la del conjunto B∪C; lo que implicaría que todostienen medida nula. Dado que puede probarse que la medida del conjunto numerableA es cero, tendríamos la paradoja de que la medida de la superficie esférica es tambiéncero —en contra de la hipótesis de normalización—.

Usando ideas de esta construcción de Hausdorff, Banach y Tarski lograron eli-minar el conjunto numerable A y extender la descomposición a la esfera, con laconsecuencia de que el efecto paradójico del teorema de Hausdorff quedó agrandadohasta casi convertirse en insoportable: en su forma más eficiente, lo que Banach yTarski mostraron es que una esfera se podía descomponer en cinco conjuntos disjun-tos A1, A2, A3, A4 y A5, de tal forma que, girándolos adecuadamente, los conjuntosA1 y A2 se podían acoplar para reconstruir la esfera completa de partida, mientrasque otro tanto se podía hacer con los A3, A4 y A5. O sea, que con el material deuna esfera se pueden conseguir dos idénticas a la de partida. Y, de forma análoga,se puede mostrar que partiendo de una esfera del diámetro de un guisante podemosconseguir una esfera del diámetro del Sol.

Aunque la paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski tenga estas lecturas prácticas—llamémoslas así—, es un resultado profundamente abstracto que tiene mucho quever con la axiomática de la teoría de conjuntos. Se puede decir sin exageración que laparadoja es hija del axioma de elección. Como es bien conocido, este axioma estableceque dada una familia de conjuntos disjuntos, sin importar si la familia es finita oinfinita, podemos formar otro conjunto eligiendo un elemento de cada conjunto dela familia; el que no haga falta especificar cómo se hace la elección de esos elementosque formarán el nuevo conjunto hace que este axioma se sitúe en las antípodas dela matemática constructiva que se venía haciendo hasta finales del siglo XIX. Laexistencia de los conjuntos que permiten la descomposición paradójica de una esferano queda garantizada por ninguna construcción específica: todos ellos son fruto delaxioma de elección. Llamando, como es habitual, ZF a la teoría de conjuntos basadaen los axiomas de Zermelo y Fraenkel, y ZF+AC, a la teoría obtenida al añadirle elaxioma de elección, se tiene que la paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski no es unteorema en ZF, aunque sí en ZF+AC. Tampoco es un teorema en teorías de conjuntosobtenidas de ZF al añadir variantes menos potentes del axioma de elección; tal esel caso si sustituimos AC por el llamado axioma de elección dependiente (DC), quegarantiza la existencia de elecciones numerables (an)n donde an+1 depende de an.En ZF+DC, la paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski tampoco es un teorema.

Como se puede ver, aparte de paradójico, el teorema de Hausdorff-Banach-Tarskies un resultado sumamente abstracto: no es que no podamos construir físicamentelos trozos para duplicar la esfera —aparte de que la impenetrabilidad de la materiaposiblemente impediría su acoplamiento sin dañarlos—, sino que su misma existenciase sitúa en las regiones más exteriores e incorpóreas del «paraíso de Cantor».

Volviendo a la encuesta figurada con que comencé este artículo, si le explicáramosla paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski a nuestro viandante, seguro que nos tomaríapor locos —y no digamos ya si el viandante resultó ser un matemático aplicado—.Además, con el antecedente de la multiplicación de los panes y los peces, pensaríaque estábamos tratando sobre religión más que sobre ciencia.


Nuestro imaginario viandante diría que la paradoja de Hausdorff-Banach-Tarskitiene toda la pinta de ser la típica disquisición de unos matemáticos ociosos —ypuros, añadiría el colega aplicado— ajenos al mundo que los rodea. Y se equivoca-ría profundamente, dramáticamente en este caso, porque nadie puede ser ajeno almundo que le rodea. Ni siquiera la propia paradoja, pues, como ya expliqué antes,ese teorema, esa pieza del universo platónico de las ideas, por ser obra de humanostiene también circunstancias. Que, en este caso, son la de sus descubridores y elmundo en que se desenvolvieron: porque Hausdorff, Banach y Tarski no son merosnombres vacíos, ni etiquetas vanas —aunque muchas veces, sobre todo cuando ense-ñamos matemáticas, a eso acaban reducidos—, sino tres seres de carne y hueso consentimientos, ilusiones, penas y todo lo demás, que navegaron en su día por el ríode la vida como los lectores de este artículo y yo mismo hacemos ahora.

¿Qué va a enseñarnos sobre el género humano, dirá el viandante, una ciencia queasegura que una esfera maciza se puede romper de manera que al recomponer lostrozos tengamos dos esferas idénticas a la de partida? El lector podrá juzgar, por loque lea a continuación, si la contraposición del teorema con sus circunstancias arrojao no algo de luz sobre la negra e insondable oscuridad de la naturaleza humana.

3. Hausdorff

Quizá no haya mejores adjetivos para calificar la mayor parte de la producciónmatemática de Felix Hausdorff que los que se les suelen aplicar a las ficciones deBorges: «imaginarias», «paradójicas», «irónicas», «laberínticas».

Con seguridad, la cumbre hausdorffiana de lo contradictorio es la descripciónque hizo en su libro Fundamentos de la teoría de conjuntos de la descomposiciónparadójica de una superficie esférica, el origen, según se explicó antes, de la de-construcción que diez años después harían los polacos Banach y Tarski de una esferamaciza, y que permite obtener dos idénticas a la de partida.

Hausdorff también consideró el antecedente de lo que hoy en día se ha dadoen llamar «cardinales inaccesibles». Estos conjuntos son entelequias mentales queposeen un inequívoco sentido de lo irónico. La característica que los determina es suinmensidad descomunal; pero ese amorfo gigantismo los hace tan improbables quese ignora si realmente existen. He ahí su ironía: ¡siendo tan enorme su tamaño, nadiehubiera dicho que los ojos de la mente iban a tener tantas dificultades para verlos! Lasdudas existenciales sobre los cardinales inaccesibles han sabido ser pertinaces comosólo lo supieron ser las sequías franquistas; y si siguió sin llover por más rogativas quese levantaron al cielo, por más Vírgenes y Santos milagreros que los devotos llevaronpara acá y para allá pidiendo agua para este valle de lágrimas, la irrealidad de loscardinales inaccesibles persiste incluso cuando se le aplica al término existencia lamás vaporosa e imprecisa interpretación que los matemáticos hayamos sido capacesde imaginar.

Y no sólo encontramos lo paradójico o lo irónico en las matemáticas de Haus-dorff, también lo laberíntico es protagonista principal. No olvidemos que Hausdorffintrodujo en 1919 lo que hoy se conoce como medidas y dimensión de Hausdorff.


Con ellas pretendía enriquecer el concepto clásico de dimensión definiéndolo de unaforma mucho más sofisticada y rica desde el punto de vista matemático. A Hausdorffle parecía muy pobre la forma clásica en que se entendía, tanto matemática comofilosóficamente, la dimensión de un objeto y, por ende, encontraba muy simplona lacorrespondiente clasificación de los cuerpos atendiendo a ella. Decía Hausdorff queera muy poco sofisticado, e incluso incorrecto, decir que un objeto tiene dimensiónuno si sólo tiene longitud, dimensión dos si además de longitud tiene anchura, ydimensión tres si además de longitud y anchura tiene también altura. La noción deHausdorff permite medir de manera mucho más precisa la dimensión de un objeto,resultando así que, contra lo que nuestra intuición sensorial nos dice, hay objetoscon dimensiones que no son números naturales. Los fractales, que tan célebres ypopulares hiciera Benoît Mandelbrot en el último cuarto del siglo XX, se describenprecisamente como conjuntos cuya dimensión de Hausdorff no es un número natural.

La mirada de Hausdoff despren-de una melancólica luz: ¿veríaya ante sí las tempestades que,según Nietszche, sacuden los ár-boles de la vida?

Hausdorff nació en Breslau en 1868, aunquetres años después se mudó con su familia a Leip-zig. Allí, y también en Freiburg y en Berlín, es-tudió matemáticas y astronomía. A pesar de quesus trabajos matemáticos de juventud caen den-tro de lo que se entiende por matemáticas aplica-das —a la astronomía y a la óptica, en su caso—,Hausdorff acabó siendo un «matemático puro».Su obra más influyente acaso sea Fundamentosde la teoría de conjuntos; ese monumental libro,publicado en 1914, se considera el acta funda-cional de la topología.

Hausdorff tuvo otras inquietudes intelectua-les aparte de las matemáticas. De adolescentequiso estudiar música y hacerse compositor y,aunque después su trayectoria profesional siguióotros derroteros, compuso alguna que otra piezay fue siempre un consumado pianista. Bajo elseudónimo de Paul Mongré, Hausdorff escribiópoesía, ensayo filosófico y también una obra sa-tírica de teatro. Su producción literaria se con-centró principalmente en la década 1896–1906.En 1897 publicó su primer libro, San Hilario:

Pensamientos desde el país de Zaratustra, cuyo título hace referencia a una casuali-dad: lo empezó a escribir el día de San Hilario en San Hilario, un pueblecito cerca deGénova; en él encontramos sonetos, poemas y aforismos más o menos filosóficos; unode ellos dice: «Cuando no tenemos una mujer a la que amar, amamos la humanidad,la ciencia o la eternidad [. . . ] El idealismo, que siempre señala la falta de algo mejor,es un sucedáneo del erotismo». En 1898 apareció El caos en interpretación cósmica,donde Hausdorff defiende un «nihilismo trascendente»; de ese libro alguien dijo queera demasiado matemático para un filósofo y demasiado filosófico para un matemá-tico. La filosofía de Hausdorff estuvo muy influida por Nietzsche y Schopenhauer, y


postulaba la ventaja de cierta individualidad elitista sobre las sociedades igualita-rias. Hausdorff solía romper el sesudo discurso filosófico de sus libros con reflexiones,digamos, menos elevadas, referentes al egoísmo, al hedonismo, al amor, a la pasión,a la música de Mozart, o a la hipnosis —no es difícil observar la influencia de Freuden sus escritos—. Aparte de los sonetos contenidos en San Hilario, Hausdorff publicóotro poemario, titulado Éxtasis (1900), con 158 composiciones.

Para que el lector pueda apreciar la poesía de Hausdorff, aquí recojo uno de suspoemas, titulado Melodía infinita (Unendliche Melodie)1:

Ir yendo por trémulos planos lentodonde férreo el son del principio dura,a humo y mundo en danza espiral oscuradesarrollarse el alma en firmamento.Sin tropiezo el mirar ni impedimentoen ángulo o cara o comisura,ir yendo por trémulos planos lentodonde el férreo son del principio dura.De toda singularidad exento,desligado del hombre, canción puraun son sin manantial que se murmura,flotar, pasar sin formas, movimiento,ir yendo por trémulos planos, lento.

Fue su obra de teatro, sin embargo, la que más éxito alcanzó. Comparte títulocon un drama de nuestro Calderón, El médico de su honra, aunque el planteamientode Hausdorff es bastante más satírico y alocado: la obra cuenta la historia de unarquitecto prusiano, un idealista, que habiendo seducido a la mujer de un consejerodel Estado tiene que batirse en duelo con él. Pero, llegados el día y la hora fija-dos, hubo que suspender el lance dado el alarmante estado de embriaguez en quese encontraban ambos contendientes y sus respectivos testigos. A consecuencia delescándalo, el consejero pierde su empleo pero acaba reconciliado con su mujer. Laobra se representó en Berlín y Hamburgo y, según las crónicas locales, cosechó unacalurosa acogida.

Hausdorff fue profesor en las universidades de Leipzig (1902–1910), Greifswald(1913–1921) y Bonn (1910–1913 y 1921–1935). Se jubiló de esta última en marzo de1935; tenía a la sazón 67 años, y tal y como él mismo había augurado unos años antes,las cosas en Alemania empezaban a ser diferentes. Pero este es un buen momentopara interrumpir la historia de Hausdorff y empezar con la de Banach y su escuela.

1La traducción del alemán es de José Luis Arantegui —a quien se deben las magníficas traduc-ciones del latín de la Introductio de Euler y los Analysis de Newton que hace unos años publicó laReal Sociedad Matemática Española en colaboración con THALES—.


4. Banach y la tertulia del Café Escocés

En la segunda década del siglo XX, Polonia vivió un verdadero florecimientomatemático, con dos focos principales: uno en Varsovia y otro en Lwów. Ese augelo protagonizó un grupo de matemáticos excepcionales; nacieron a caballo entre lossiglos XIX y XX, de manera que para 1910 la primera hornada había alcanzado yamadurez matemática. La explosión creativa de ese grupo fue paralela, acaso no porcasualidad, al entusiasmo patriótico que recorrió Polonia tras la recuperación de laindependencia en 1918, justo después de la primera guerra mundial y tras casi sigloy medio de reparto territorial entre Prusia, Rusia y Austria. Ese florecimiento mate-mático no deja de ser sorprendente, porque no había sido precisamente una prioridadpara las potencias ocupantes desarrollar el sistema educativo de las zonas ocupadas.De hecho, en la parte bajo dominio prusiano, la enseñanza universitaria era inexis-tente, y desastrosa en los otros niveles. En la zona rusa, la situación no era muchomejor, aunque funcionaba en Varsovia una universidad que impartía enseñanzas enruso; después de la revolución rusa de 1905, algo mejoró el escenario, permitiéndoseel polaco en los niveles medios de la enseñanza. La cierta autonomía que gozaba lazona bajo dominio austriaco permitía el funcionamiento de dos universidades, unaen Cracovia y otra en Lwów, aparte de una escuela politécnica en esta última ciudad.No es pues extraño que una buena parte de esa primera hornada de matemáticos sehubieran formado en universidades de fuera de Polonia, francesas y alemanas sobretodo. Stefan Banach (1892–1945) y Alfred Tarski (1901–1983) fueron miembros des-tacados de la segunda hornada, formada ya en Polonia. Me voy a centrar aquí enBanach, lo que es tanto como decir en Lwów.

Banach nació en Cracovia. Su padre se llamó Stefan Greczek, aunque Banachprefirió usar el apellido materno, o al menos el que consta para ella en el certificadode nacimiento: «hijo de Katarzyna Banach». Su madre lo abandonó a los pocos díasde nacer; nunca estuvo casada con el padre de Banach y poco se sabe de ella —nada,en realidad—: por más esfuerzos que hizo su hijo por saber, fue puro misterio. Elpadre se casó después dos veces y tuvo un descendiente de cada matrimonio; peroa Banach lo crió su abuela paterna en Ostrowsko, un pueblecito 80 km al sur deCracovia perdido en los Cárpatos.

Banach residió buena parte de su vida en Lwów, donde llegó como profesoren 1922; ya antes había vivido allí unos años —al comienzo de la década 1910–1920—, cuando fue estudiante de ingeniería en la Politécnica. Tras incorporarsecomo profesor a la Universidad, Banach promovió una escuela matemática que fuefundamental en el desarrollo y expansión del análisis funcional.

Banach y sus colegas solían reunirse los sábados por la tarde en un aula de laUniversidad —tal vez el día elegido para las reuniones suene hoy raro, pero en aquellaépoca los sábados había clase en la universidad—. Lo de reunirse los matemáticosa discutir de sus cosas es algo habitual; lo que no lo es tanto es el tipo de reuniónque hacían en Lwów, sobre todo porque la parte más fructífera de ella tenía lugar,no en la Universidad, sino en algunos cafés de los alrededores, donde la discusiónmatemática solía prolongarse varias horas más.

Lwów debía de tener entonces unos 200 000 habitantes y, según algunos cronistas


locales, era una ciudad bonita como Praga. Contaba con un buen número de cafés,sobre todo en los alrededores de la Universidad. Dado el juego científico que dieron,alguien debería tomar buena nota de lo conveniente que es contar con una adecuadared de esos establecimientos en la cercanía de cualquier universidad. . . y exigir alprofesorado que los frecuente.

El Café Escocés, donde la hermandad de Ba-nach se reunía para discutir de matemáticas,es el de la derecha; el Café Roma es el de laizquierda.

Zygmunt Janiszewski, quizá elprincipal ideólogo del auge mate-mático que vivió Polonia a princi-pios del siglo XX, escribió: «Es ver-dad que las matemáticas no requie-ren grandes laboratorios, ni otrosservicios complejos ni caros. Sí querequieren, sin embargo, una apro-piada atmósfera y condiciones pa-ra mantener un contacto estrechocon los colaboradores». Banach ysu gente encontraron esa «apropia-da atmósfera» en el ambiente rui-doso, cálido y aromático de los ca-fés de Lwów. En el uso sistemáticoque de ellos hicieron como refugiocientífico se ve la impronta de Ba-nach, porque pocas cosas hubo quele gustaran tanto a Banach comohacer matemáticas en un café. Dosde ellos le eran especialmente gra-tos, el Roma y el Szkocka; «szko-cka» no es otra cosa que «escocés»

en polaco. En cierto momento, Banach tuvo un desencuentro con los dueños del CaféRoma, donde solía pasar buena parte de su tiempo —especialmente en los últimosdías del mes antes de cobrar su sueldo—; parece ser que hubo quejas sobre ciertoretraso en el pago de las consumiciones, así que buena parte del grupo se asentó en-tonces en el vecino Café Escocés. Era un local decorado al estilo vienés, con pequeñosveladores de mármol blanco, un material excelente que nuestros matemáticos no pu-dieron resistirse a adornar cada tarde con una buena dosis de fórmulas y ecuaciones;escritas, eso sí, a lápiz.

La atmósfera de los Cafés no suscitó precisamente discusiones relajadas, másbien estas tendían a ser largas, duras y correosas: «Recuerdo una sesión con Mazury Banach en el Café Escocés —escribió Stanisław Ulam, miembro distinguido de lastertulias, en sus memorias— que duró diecisiete horas sin interrupción, excepciónhecha de las comidas». Y no exentas de cierto caos: «No era raro que tras un periodode meditación estallaran a la vez varios conatos de conversación —contó Ulam—;alguien entonces garrapateaba unas cuantas notas sobre el mármol de la mesa mien-tras otro, en cambio, se reía con hilaridad. Luego podía seguir otro largo periodo desilencio en el que bebíamos café y nos observábamos con indolencia unos a otros.


Nuestro extraño comportamiento mantenía en permanente estado de perplejidad alos clientes de las mesas cercanas».

Naturalmente no sólo hablaban de matemáticas en las tertulias. Jugaban tam-bién al ajedrez y, por lo general, se hacía bastante gasto: mucho café, grandes dosisde coñac, cantidades ingentes de cigarrillos, y, aunque la del Café Escocés no eraprecisamente delicatessen, algo de comida. Pero, a veces, bastaba una sola taza decafé o de té para dar sabor a todo el tiempo que allí demoraban. «Ni que decirtiene que las discusiones matemáticas se enriquecían con charlas sobre otros asuntos—escribió Ulam—, científicos desde luego, pero también había cotilleos de la Uni-versidad, de política, sobre el estado de las cosas en Polonia; por usar una de lasexpresiones favoritas de John von Neumann, allí se hablaba “del resto del universo”.La sombra de lo que después acabó ocurriendo, la ascensión de Hitler en Alemania,las premoniciones de una guerra mundial, asomaban de tanto en tanto como un malpresagio». Von Neumann visitó en varias ocasiones Lwów y, naturalmente, participóen las discusiones de los Cafés. Según contó Ulam, en una de esas ocasiones: «Banachy otros matemáticos emborracharon a von Neumann con vodka hasta el extremo deque tuvo que dejar la mesa para visitar los servicios; pero volvió y continuó conla discusión matemática sin haber perdido capacidad para razonar». Banach, comovon Neumann, tuvo fama de buen bebedor; su hermanastra escribió: «Mi hermanobebía cantidades ingentes de café y alcohol, aunque tenía una increíble capacidadde aguante. Una vez participó en un congreso en Georgia. Allí tienen por tradiciónbrindar durante la comida de celebración por la salud de los participantes: la normaes un brindis por participante, y hay que vaciar de un trago el correspondiente vasodel fuerte vodka georgiano. Banach sobrevivió a todos los participantes locales de lareunión, y se sostuvo sobre sus pies mientras los otros matemáticos desaparecían unoa uno bajo la mesa». Yo no estuve, evidentemente, en esa comida, pero he participa-do en Moscú en alguna comida parecida, y doy fe de que las cosas acaban sucediendotal y como la hermanastra de Banach las cuenta en su historia.

Es muy importante para lo que después sigue que vayamos poniendo nombrea los contertulios matemáticos de los Cafés de Lwów. Allí se daban cita catedráti-cos con solera, como Antoni Łomicki, Director durante un tiempo del Instituto deMatemáticas de la Universidad, y del que Banach, recién llegado a Lwów, fue ayu-dante, Włodzimierz Stożek, que fue Decano de la Facultad de Matemáticas, HugoSteinhaus, el «descubridor de Banach», Stanisław Ruziewicz, o el propio Banach;pero también jóvenes que por aquella época empezaban sus andanzas matemáticas,como Herman Auerbach, muy ducho y aficionado al ajedrez, Feliks Barański, MarkKac, o Stanisław Ulam; y también otros in between, que dirían los ingleses: StefanKaczmarz, Stanisław Mazur, Władyslaw Orlicz, Juliusz Schauder, o Stanisław Saks.

Como es bien conocido, casi todos ellos han prestado su apellido a métodos,conceptos, teoremas y resultados. En el caso de Banach, y en menor medida en el deotros, su nombre se ha convertido en adjetivo frecuente en la inabarcable toponimiade las matemáticas.

Es sin duda muy jugosa la manera tan peculiar en que las discretas reuniones deLwów acabaron trascendiendo el ámbito local hasta llegar a fecundar una parte nodespreciable de las matemáticas hechas en el último cuarto del siglo XX. El porten-


toso objeto que permitió tal prodigio fue un modesto cuaderno; una simple libretaque se ha acabado convirtiendo en uno de los más célebres y celebrados documentosmatemáticos del siglo XX: es el Cuaderno Escocés. Hay varias versiones para expli-car el nacimiento del Cuaderno Escocés. Una dice que dada la intensidad y valorde las discusiones matemáticas que tenían lugar en el Café, y el tiempo que a ellasdedicaban, Banach propuso anotar en un cuaderno las cuestiones y problemas quesurgían. Hasta entonces garrapateaban notas en el mármol de las mesas; notas queinevitablemente se llevaba el trapo húmedo que los camareros usaban para limpiar,quedando tan diluidas en el olvido como lágrimas en la lluvia. Pero hay otra versión,más prosaica pero quizá más probable, que dice que el dueño del Café, harto de verel mármol de sus mesas permanentemente sucio de garabatos, se quejó a los tertu-lianos. En vista del poco caso que le hicieron, fue con la queja a la mujer de Banachque, más responsable, acabó comprándoles, por dos złotys y medio, un cuaderno almarido y sus amigos para que apuntaran allí sus cosas.

Ya fuera por un motivo u otro, una tarde Banach se presentó en el Café conun cuaderno sólido y bien encuadernado donde, pocas horas después, anotó de supuño y letra un primer problema que él mismo propuso. Era el 17 de julio de 1935 yel Cuaderno Escocés recogía el primero de los 197 problemas que lo componen. Enesos problemas se aprecia la influencia que Hausdorff llegó a ejercer sobre la Escuelade Lwów. Se da la circunstancia de que Hausdorff no visitó Lwów —no tenía porcostumbre salir de Alemania, ni a congresos, ni a visitas científicas— pero, a partirde 1933, publicó sus teoremas en las dos revistas de matemáticas que los polacoshabían creado: Fundamenta Mathematicae, creada en Varsovia en 1920, y StudiaMathematica, creada en Lwów por Banach y Steinhaus en 1929.

Poco después de que el cuaderno recibiera su bautismo de fuego, Stanisław Ulamviajó a los Estados Unidos requerido por John von Neumann. Como consecuencia deesa visita, Ulam se estableció allí, aunque durante los años 1936 a 1939 volvió cadaverano a Lwów, y siguió, durante esos meses, frecuentando la tertulia de Banach.Buena parte de la historia del Cuaderno Escocés la sabemos por Ulam. A él le envióSteinhaus una trascripción del Cuaderno desde Polonia en 1956; Ulam, que trabaja-ba por entonces en el Laboratorio Nuclear de Los Álamos, lo tradujo al inglés e hizoimprimir algunos centenares de copias pagadas de su propio bolsillo: «Los Álamos—explicó Ulam— es un laboratorio del Gobierno, y uno no puede usar los impuestosde los contribuyentes para propósitos frívolos». De esa edición, llevó ejemplares alCongreso Internacional de Matemáticos que se celebró en Edimburgo en 1958 —losescoceses quedaron un tanto defraudados al saber que el nombre del cuaderno nohacía referencia a Escocia sino a un café de Lwów—. A partir de ahí, el CuadernoEscocés empezó a ejercer su influencia sobre la comunidad matemática. Desde LosÁlamos se enviaron ejemplares de esa impresión, y de otra posterior hecha en 1977,a quien la solicitó. Así siguió distribuyéndose privadamente por universidades deaquí y de allá, hasta que una más cuidada edición, que incluía artículos de algunosprotagonistas de la historia, estuvo comercialmente disponible tras el congreso dedi-cado en Texas en mayo de 1979 a los problemas matemáticos del Cuaderno Escocés.Problemas que han alimentado los desvelos matemáticos de una parte del gremio enel último cuarto del siglo XX; y todavía algunos pocos lo siguen haciendo, pues su


solución sigue siendo desconocida.Hay una pequeña coincidencia en la historia de Hausdorff y Banach que a mí

me da mucho que pensar. Es una casualidad geográfica a la que cabría otorgarcierta significación en el plano simbólico. Tiene que ver con la volatilidad de lasfronteras nacionales en la parte de Europa donde ellos vivieron. Hausdorff nació enBreslau, una de las más importantes ciudades de Prusia; Breslau, sin embargo, dejóde llamarse así tras la Segunda Guerra Mundial: hoy se llama Wrocław y pertenece aPolonia. Cuando Banach nació en 1892 en Cracovia, esa parte suroriental de Poloniala ocupaba el Imperio Austro-Húngaro; esto incluía a Lwów, llamada Lemberg porlos austriacos y convertida en la capital del reino de Galitzia-Lodomeria. Cracoviase sigue todavía llamando Cracovia y sigue estando en Polonia, pero no así Lwów,que ahora se llama L~v�v—o L’viv, si se prefiere en caracteres latinos— y está enUcrania. Buena parte de los polacos de Lwów fueron obligados a abandonar L’vivcuando la ciudad cambio de país. ¿Y dónde fueron a parar los miembros de laescuela matemática de Lwów? Pues a Breslau, quiero decir, a Wrocław. No es queyo quiera ver en esa mudanza un forzado retorno a los orígenes de una especie deespíritu matemático. Yo ni veo ni creo nada, sólo que siento un inexplicable pellizcoen el estómago cada vez que caigo en la cuenta de que los exiliados matemáticos deLwów/L’viv regresaron precisamente a Breslau/Wrocław, la ciudad de nacimientode quien tanta influencia matemática había tenido sobre ellos. No sé, tal vez esedesasosiego no sea sino un reflejo de la brutalidad con que la Historia acabó tratandoa Hausdorff, a Banach y a la Escuela de Lwów.

5. Historia particular de unas cuantas infamias

Dejé a Hausdorff recién jubilado. Era marzo de 1935.Si antes hablé del matemático, del escritor, del filósofo y del músico, toca ahora

hacerlo del patriota alemán que Hausdorff siempre consideró que había sido.El 30 de enero de 1933, Paul von Hindenburg, a la sazón presidente de Alema-

nia, había nombrado a Adolf Hitler (43 años) canciller. El partido nazi, con 230parlamentarios elegidos en julio de 1932 —123 más de los que obtuvo en 1930, y218 más de los que obtuvo en 1928— era el que contaba con mayor representaciónen la Cámara, aunque su mayoría no era absoluta. En las elecciones de primerosde marzo de 1933, los nazis consiguieron 288 parlamentarios, que unidos a los 52del Partido Nacionalista, permitió a Hitler el control efectivo de un Parlamento con647 diputados. La posterior exclusión o arresto de los 81 parlamentarios comunistas,y la compra de diputados de Centro, permitió a Hitler alcanzar los dos tercios dela Cámara que necesitaba para la proclamación del Tercer Reich y la asunción depoderes absolutos.

Fiel a su discurso antisemita, Hitler no tardó en aprobar las primeras leyes deexclusión étnica. El 1 de abril de 1933 se llamó al boicot contra los negocios judíos.Una semana después, el 7 de abril, se decretó una Ley de reforma de la administraciónpública, que impedía a los judíos trabajar para la administración del Estado; los quehasta ese momento lo hacían fueron despedidos. Había entonces en las universidades


alemanas 200 profesores de matemáticas, de los cuales 98 eran catedráticos; 35 fueronexpulsados, 15 de ellos catedráticos. De los expulsados, 30 lo fueron por ser «en mayoro menor grado» judíos. Por 1935, la cifra de expulsiones rondaba ya los sesenta.60 es sólo un número: detrás se esconden 60 tragedias, 60 infamias, 60 personas, 60familias, que en no pocas ocasiones acabaron siendo exterminadas.

La ley del 7 de abril tenía, sin embargo, algunas cláusulas de exención: fueroneximidos aquellos judíos que se hubieran significado como patriotas alemanes —erael caso, por ejemplo, de los que habían participado como soldados en la PrimeraGuerra Mundial—, que podían seguir siendo servidores públicos. Ese fue el caso deHausdorff. Nunca ocultó sus orígenes judíos; y no es que abunden en sus escritos lascuestiones religiosas, que no abundan, y cuando las trató hay muchas más páginassobre religiones orientales que sobre judaísmo o cristianismo. Su esposa, CharlotteGoldschmidt, con quien se casó en 1899 y de la que tuvo una hija, Lenore, se habíaconvertido al luteranismo en su juventud.

A pesar de que Hausdorff pronto vio las garras de la fiera nazi —tras conseguir elpartido de Hitler 230 parlamentarios, había dicho: «Las cosas serán en el futuro muydiferentes»—, no hizo intentos decididos por abandonar Alemania; tan sólo se sabede una carta enviada a Richard Courant (1888–1972) en 1939 informándose sobrela posibilidad de una plaza de investigador en Nueva York. Courant, judío alemáncomo Hausdorff, había abandonado Alemania en 1933; a pesar de haber sido heridoen el frente durante la Primera Guerra Mundial —por lo que le era aplicable lacláusula de exención de la ley del 7 de abril—, a pesar de las muchas personalidadesde todo el mundo que enviaron cartas a la Universidad de Gotinga solicitando quele fuera respetado su puesto de catedrático, a pesar de ser un excelente científico,la Universidad lo expulsó el 13 de abril de 1933 alegando que Courant había sidomiembro, durante seis meses, del Partido Socialista; paradójicamente, ese abuso leacabó salvando la vida. Después de pasar por Cambridge, Courant consiguió en 1936un puesto de catedrático en la Universidad de Nueva York; allí organizó el Institutode Matemáticas Aplicadas —uno de los más prestigiosos del mundo— que desde1964 lleva su nombre.

Posiblemente, de haber expulsado la Universidad de Bonn a Hausdorff, las cosashubieran sido diferentes para él y su mujer. Pero Hausdorff se consideraba un patriotaque, en su juventud, justo después de graduarse, había servido varios años comovoluntario en la infantería alemana: allí alcanzó el rango de vice-sargento; así que lefue aplicada la exención de la ley del 7 de abril y siguió siendo catedrático en Bonnhasta su jubilación, por razones de edad, en marzo de 1935.

Su calvario no había hecho más que empezar. En abril de 1941, un colega deHausdorff escribía sobre él y su mujer: «Las cosas les van a los Hausdorff tolerable-mente bien, aunque naturalmente no pueden escapar a las vejaciones y la agitaciónque levantan los continuos legalismos antisemitas. Los gravámenes fiscales y mo-netarios que les han impuesto son tan altos que no pueden vivir con su sueldo dejubilado y han tenido que echar mano de sus ahorros, que afortunadamente aúnconservaban. Han sido además obligados a ceder una parte de su casa y vive ahoraallí demasiada gente [. . . ] Es ciertamente alentador que todavía algún músico losvisite para tocar con Hausdorff: por lo menos eso lleva algo de alegría a su casa».


En octubre de 1941, los Hausdorff fueron obligados a llevar la estrella de David, yhacia finales de año recibieron la noticia de que serían deportados a Colonia: erael paso previo al internamiento en los campos de concentración que Hitler habíaestablecido en Polonia. La amenaza pareció desvanecerse en Año Nuevo, pero sólopara dar paso a una nueva: a mediados de enero se les comunicó que el 29 de esemes serían internados en un suburbio de Bonn llamado Endenich; era, de nuevo, elpaso previo a su internamiento en un campo de exterminio.

Se conserva una carta que Hausdorff escribió el domingo 25 de enero de 1942;en ella escribió: «Auch Endenich ist noch vielleicht das Ende nich». La frase esun macabro juego de palabras entre «Endenich», un barrio de Bonn, y «ende» y«nicht» que significan «final» y «no»: «Aunque Endenich quizá todavía no sea elfinal». Siendo Hausdorff músico aficionado, seguro que sabía que en Endenich huboun manicomio regentado por un tal doctor Richarz —quizá ya no existía en 1942—;un lugar tétrico donde el compositor Robert Schumann (1810–1856) pasó encerradolos dos últimos años de su vida. Un mal augurio sin duda.

Así que «Aunque Endenich quizá todavía no sea el final» es un retruécano. Unode los retruécanos más cargados de cruel ironía que se hayan escrito jamás, porquelos Hausdorff habían decidido suicidarse: «Para cuando reciba estas líneas —se leeen esa carta del 25 de enero—, habremos resuelto nuestro problema; aunque seráde la forma en que usted, incansablemente, ha intentado disuadirnos [. . . ] Lo que seha hecho contra los judíos en los últimos meses nos ha sumido en la más absolutapesadumbre, porque se nos ha colocado ante una coyuntura intolerable [. . . ] Délelas gracias de todo corazón al señor Mayer, por todo lo que hizo por nosotros perotambién por todo lo que, con seguridad, habría hecho; nos maravillamos muy sin-ceramente con los logros y éxitos de su organización y, de no habernos acometidoesta pesadumbre, nos habríamos acogido a sus cuidados; a ciencia cierta nos habríanprocurado una sentimiento de relativa seguridad, aunque desafortunadamente nodejaría de ser relativa —Hausdorff tenía razón: este señor Mayer, abogado, murió enAuschwitz— [. . . ] Si fuera posible, queremos que nuestros cuerpos sean incinerados;le adjunto tres declaraciones con ese propósito. Si no puede ser, que el señor Mayero el señor Goldschmidt hagan lo que esté en sus manos (que tenga en cuenta que mimujer y mi cuñada son luteranas). Cuente usted con que se pagará lo que cueste: mimujer tiene ya pagados los gastos de su sepelio en una fundación protestante (encon-trará los documentos en su dormitorio). Lo que todavía falte por pagar, lo aportarámi hija Nora. Perdónenos por causarle problemas incluso después de muertos. Estoyconvencido de que hará lo que pueda, que quizá no sea mucho. ¡Perdone nuestradeserción! Le deseamos a usted y a todos nuestros amigos un futuro mejor».

Hausdorff mostró en esa carta, escrita horas antes de suicidarse, una presencia deánimo ciertamente sobrecogedora. Hausdorff había escrito sobre el suicidio algunaque otra vez, y acaso esas reflexiones le sirvieran para afrontar el suyo, aunque quiénes capaz de decir lo que servirá o no servirá cuando le llega la hora. Hausdorffhabía publicado en 1899 un ensayo titulado Muerte y regreso, muy influido porel pensamiento niestzcheano sobre «la muerte libre». En esa carta de despedidaque escribió Hausdorff la mañana de su muerte no dejan de resonar con fuerzalas consignas de Zaratustra. «¡Muere a tiempo!», parecen gritarnos las frases de


Hausdorff, como si nos quisiera enseñar con la dignidad de su conducta que «Aquelque se realiza de manera completa muere su muerte victoriosamente». Hausdorffya no estaba dispuesto a «colgar coronas marchitas en el santuario de la vida», demanera que eligió «la muerte libre, que viene a mí porque yo quiero».

La misma tarde en que escribió esa carta, Hausdorff, su esposa Charlotte y lahermana de esta, Edith, tomaron una sobredosis de veronal. Parece que sus deseosse pudieron cumplir, porque sus restos fueron incinerados y las cenizas depositadasen el cementerio de Poppelsdorf.

Enflö recibiendo su premio de manosde Mazur (Varsovia, 1973). Me contóJoe Diestel que la madre de Przemy-sław Wojtaszczyk, a la sazón un jovenmatemático polaco, degolló después laoca y preparó con ella una soberbia co-mida.

Hay algo muy tierno y conmovedor enla pequeña historia del Cuaderno Escocés.Desde sus instrucciones de uso: «El Cua-derno lo custodiaba en el Café Escocés uncamarero que conocía bien el ritual —es-cribió Ulam en sus memorias—. CuandoBanach o Mazur llegaban, era suficientecon decirle “por favor, el cuaderno”, paraque se lo llevara junto con los cafés»; has-ta los premios ofrecidos por algunos pro-ponentes a quien fuera capaz de resolverlos problemas que planteaban. Los haydecididamente modestos: «Una botella devino», o «dos», «una cerveza pequeña»,o «dos» o «cinco», aunque otros son mássofisticados: el problema 162, propuestopor Steinhaus, ofrece a quien lo resuelva«una cena en el George»; el George eraun hotel de Lwów donde alguna que otravez los estudiantes de la Universidad cele-braban bailes —solían invitar a Banach,a quien apreciaban mucho y que era, ade-más, un excelente bailarín—. El problemanúmero 153 del Cuaderno fue propuestopor Stanisław Mazur el 6 de noviembrede 1936 y ofrecía como premio «un ocaviva»; treinta y seis años después, esto es,

en 1972, Per Enflö resolvió el problema y, naturalmente, recibió de Mazur una ocaviva coquetamente empaquetada en una cesta.

Algún problema hay que incluye toda una variedad de premios y rigurosas ins-trucciones para su concesión: «Por el cálculo de la frecuencia: 100 gramos de caviar.Por la prueba de que la frecuencia existe: una cerveza pequeña. Por un contra-ejemplo: una tacita de café». Hay otros que ilustran la participación puntual dematemáticos extranjeros en las tertulias del Café Escocés: «una foundue en Gine-bra», o «una comida en el Dorothy de Cambridge». Tal vez algunos de los premiosadmitan interpretaciones sutiles e incluso equívocas: ahí está esa «botella de whis-


key de medida positiva» ofrecida por John von Neumann el 4 de julio de 1937 —queacaso desvele una de las aficiones del gran matemático húngaro—, o ese «un kilo debacon» ofrecido por uno de los miembros judíos de la tertulia, Saks, el 8 de febrerode 1940 —que quizá delate cierta penuria de alimentos en los inicios de la guerra—;otros, en cambio, tienen una inequívoca interpretación, aunque no tanto por lo queofrecían —«una botella de vino», «una botella de champán»— sino por quienes loofrecían: matemáticos rusos, que nunca faltaron en la tertulia desde finales de 1939hasta mayo de 1941, meses estos en que Lwów estuvo ocupada por los soviéticos trasla partición de Polonia acordada por Hitler y Stalin al inicio de la Segunda GuerraMundial.

En el verano de 1939 Stanisław Ulam participó por última vez en la tertulia delCafé Escocés; él mismo reconoce que pensaba, un poco ingenuamente, que no ha-bría guerra, aunque otros contertulios eran más realistas. Uno de ellos era StanisławMazur. Convencido de la inminencia de una gran guerra y consciente de la impor-tancia matemática que a lo largo de los años había adquirido el cuaderno, Mazurhabía diseñado un plan para protegerlo; un plan cuya candidez, al compararla conlos tiempos salvajes que se avecinaban, produce hasta dolor: «Mazur me dijo quenuestros resultados no debían perderse —escribió Ulam—; me explicó que nada másempezara la guerra, escondería el cuaderno en una pequeña caja que enterraría enalgún sitio donde después se la pudiera encontrar. Concretamente cerca del postede una de las porterías que había en un campo de fútbol cercano». No sabemos siMazur puso en práctica su plan, pero el caso es que el Cuaderno Escocés sobrevivióa la guerra. Tras la muerte de Banach en 1945, su hijo lo encontró —todavía hoysigue en su poder— y lo envió a Steinhaus que lo copió a mano y, años después, selo remitió a Los Álamos a Ulam, con las consecuencia que ya comenté.

Tras el pacto Ribbentrop-Molotov de agosto de 1939 y el consiguiente reparto dePolonia, las cosas empezaron a cambiar en Lwów. Tras ser ocupada por los rusos, elprestigio de Banach entre los matemáticos soviéticos preservó la tertulia matemáticadel Café Escocés; la Universidad cambió de nombre y se trajo profesorado ucranianode Kiev y Járkov, pero Banach fue nombrado Decano de la Facultad de Físicas yMatemáticas, así como Director del Departamento de Análisis Matemático y, másadelante, Concejal del Ayuntamiento. Banach viajó varias veces a Moscú para en-contrarse allí con matemáticos rusos de la talla de Alexandrov o Sobolev que, a suvez, visitaron Lwów, participaron en la tertulia del Café y dejaron su impronta enforma de varios problemas recogidos en el Cuaderno Escocés.

El último problema contenido en el Cuaderno, fechado el 31 de mayo de 1941,fue propuesto por Steinhaus; es difícil saber a qué se refiere, pero cabe aventurar losiguiente. No era extraño por aquella época que un fumador llevara dos cajas de ceri-llas consigo: el problema posiblemente proponga estudiar la distribución estadísticadel número de cerillas que quedan en una caja justo cuando se coge el último fósforode la otra. Aunque acaso lo más interesante de este problema sea, precisamente, laforma críptica y apresurada en que está redactado, porque es el signo inequívoco deque la tragedia se había empezado ya a cebar en los protagonistas de esta pequeñahistoria.

Del grupo que frecuentó las tertulias matemáticas de los cafés de Lwów, algu-


Casi media vida separa estas dos fotos de Banach, aunque su mirada tiene en ambasla misma intensidad que tantos de sus amigos elogiaron.

nos han tenido larga y fructífera vida. Como Hugo Steinhaus (1887–1972), Stani-sław Ulam (1909–1984), Marek Kac (1914–1984), Stanisław Mazur (1905–1981), oWładyslaw Orlicz (1903–1990). Otros, no tanta.

La revocación del pacto Ribbentrop-Molotov, y la consiguiente invasión alemanade la URSS, cogió a Banach en Kiev; a pesar de las previsibles represalias que leesperaban en Lwów por su relación amistosa con los soviéticos, Banach pudo cogerel último tren y regresó a su ciudad: allí estaba su mujer, su hijo, así como su padrey un hermanastro, que se habían refugiado en Lwów antes de que Cracovia, dondevivían, cayera en manos de los ejércitos nazis. Banach fue arrestado por la Gestapopero puesto en libertad algunas semanas después. Banach sobrevivió por unos mesesa la guerra. Murió de cáncer de pulmón el 31 de agosto de 1945; de no haber muerto,Banach se habría tenido que mudar —a Cracovia, donde le habían prometido unacátedra en la Universidad—, porque Lwów, convertida en L’viv, fue anexionada otravez a Ucrania, a la Unión Soviética, lo que provocó un éxodo forzado de la poblaciónpolaca: parece, aunque esto acaso sea leyenda, que el entierro de Banach en Lwów loconvirtieron los polacos que todavía residían allí en un acto patriótico. Sergéi Sobolevse encontró con Banach unos meses antes de su muerte: «A pesar de los estragosque sufrió bajo la ocupación nazi, a pesar de la grave enfermedad que socavaba susfuerzas —escribió—, en los ojos de Banach brillaba la vida todavía». Los ojos deBanach. Casi todos los que han escrito sobre Banach han llamado la atención sobresus ojos; sobre su indefinible color azul; sobre la intensidad con que sabían mirar.

Si le preguntáramos a nuestro hipotético viandante si alguna vez tuvo piojos,seguro que respondería que sí. ¿Quién no los ha tenido alguna vez? Aunque quizáno sean muchos los que sepan que los piojos son parásitos exclusivos del hombre.

En 1909, Charles Nicolle, del Instituto Pasteur de París, descubrió que los piojostrasmiten el agente patógeno del tifus. La alta mortalidad de una de sus variantes, eltabardillo o tifus exantemático, ha sido uno de los azotes de la humanidad. Favorecidopor la piojera que la falta de aseo provoca en los soldados, el tabardillo se ha cebado


en numerosas ocasiones con los ejércitos, a los que ha diezmado a conciencia, enmuchos casos más y mejor que la artillería enemiga. Famosas son las hecatombessufridas por su causa; se cuenta que la gran peste que diezmó la Atenas de Pericles,y acabó con su propia vida, fue de tabardillo, lo mismo que la epidemia que coincidiócon la conquista de Granada, o en la retirada de los ejércitos napoleónicos de Rusia,o en las dos guerras mundiales del siglo XX.

Rudolf Weigl (1883–1957) nació en Austria. Su padre murió, poco tiempo despuésde su nacimiento, en un accidente mientras probaba un nuevo modelo de bicicleta.La viuda, con tres hijos pequeños, conoció en Viena a un profesor polaco de institutocon quien se casó no mucho después de haber enviudado. A los pocos años, la fa-milia acabó instalándose en Lwów. Andando el tiempo Rudolf Weigl se convirtió enprofesor de biología en la Universidad y tuvo a su cargo un Laboratorio. Allí logródesarrollar, un poco antes de la Segunda Guerra Mundial, una vacuna eficaz contrael tifus. El descubrimiento fue de la mayor importancia epidemiológica, y fueronvacunadas varios millones de personas durante la ocupación alemana de Polonia;después también se llegó a usar en China, Etiopía y otros países. Weigl aguantó enLwów la primera ocupación soviética y la posterior alemana, pero tuvo que exiliarsetras la definitiva ocupación soviética de 1944 y la consiguiente limpieza étnica; es-tuvo primero en Kroscienko, después en Cracovia y finalmente en Poznan. Murió enZakopane en 1957.

La importancia de la investigación sobre el tifus, que llevaba a cabo Weigl enLwów, le permitió algunos privilegios durante la guerra. Primero bajo la ocupaciónsoviética al comienzo de la contienda. Nikita Khrushev, a la sazón primer secretariodel Partido Comunista de Ucrania y después del Partido Comunista de la UniónSoviética (1953–1964), ofreció a Weigl el título de Académico y la dirección de uninstituto bacteriológico en Moscú para el desarrollo de su vacuna. Weigl tuvo queser una persona muy persuasiva porque, aún rechazando la oferta, no sólo evitó lasprevisibles represalias sino que consiguió apoyo soviético para ampliar su instituto enLwów y, todavía más, logró que sus empleados quedaran fuera de las deportacionesa Siberia. Algo parecido ocurrió bajo la ocupación alemana. Según contó WacławSzybalski, hijo de un estrecho colaborador de Weigl que emigró a los Estados Unidosy acabó siendo oncólogo de la Universidad de Wisconsin: «Los nazis dieron permisoa Weigl para tener una radio [. . . ] Esto fue una bendición, puesto que ser descubiertocon una radio se penalizaba con la muerte. Weigl tuvo mucho coraje y cooperó conla resistencia polaca durante la ocupación nazi. Varios cargamentos de su vacunaacabaron llegando ilegalmente al gueto de Varsovia (algunos transportados por mipadre y yo) y a otros guetos judíos en grandes ciudades, donde el tifus había alcanza-do proporciones de epidemia». Władysław Szpilman, cuya historia de supervivenciaen el gueto de Varsovia convirtió Roman Polansky en obra de arte en la película Elpianista, contó que el doctor Weigl era en el gueto tan famoso como Hitler, aunquepor razones bien distintas.

Como paso previo a la preparación de la vacuna, el profesor Weigl necesitabacriar una ingente cantidad de piojos. Como se dijo antes, los piojos sólo sobrevivensi se alimentan con sangre humana. Desde el otoño de 1941 y hasta el final de laocupación alemana en julio de 1944, Banach fue uno de los privilegiados que se prestó


a alimentar piojos con su propia sangre en el instituto bacteriológico de Weigl. Estole acabó provocando una degradación física considerable. La mujer de un colega lodescribe en esos años como «un hombre exhausto, hambriento y sombrío, aunqueantes de la guerra había sido de complexión muy robusta».

Y cuando he escrito «privilegiados», he escrito bien, pues en esos tiempos de lo-cura, conseguir un puesto de amamantador de piojos fue un privilegio: «Durante laocupación nazi —escribió Szybalski—, estar empleado en el instituto de Weigl con-cedía cierto grado de protección contra los arrestos arbitrarios y las deportaciones alos campos de concentración nazis. La Gestapo prefería evitar el trato con personasque podían accidentalmente contagiarles el tifus: era bien sabido que los que traba-jábamos en el instituto podíamos tener piojos infectados. Más aún, los empleadosllevábamos una identificación bien visible emitida por la Oficina del Comandante enJefe del Ejército Alemán. Este “Ausweiss” fue otra de las invenciones de Weigl quenos procuraba seguridad [. . . ] De esta forma, Weigl ayudó a muchos de los profesoresde la Universidad, sin trabajo entonces, empleándolos como alimentadores de piojos.Tal empleo conllevaba raciones especiales de comida, y disminuyó la posibilidad deun arresto, deportación y/o muerte durante la ocupación nazi».

Entre esos privilegiados se encontraba buena parte de la intelectualidad de Lwów,lo que incluía a los profesores de la Universidad —Banach, Orlicz y otros matemáti-cos entre ellos—. Los nazis se propusieron reducir Polonia a una nación de esclavos,de manera que prohibieron la enseñanza universitaria en el país, sólo dejaron en ser-vicio algunas instalaciones tecnológicas para uso propio. Las universidades polacas,sin embargo, lograron cierto grado de funcionamiento clandestino. Los alimentadoresde piojos del instituto del profesor Weigl facilitaron el funcionamiento encubierto dela Universidad de Lwów: «Puesto que la alimentación de los piojos ocupaba a losalimentadores sólo durante una hora al día —contó Szybalski—, [. . . ] los alimen-tadores tenían tiempo de sobra para organizar cursos universitarios clandestinos yrealizar otras actividades educativas y patrióticas».

El sistema ideado por Weigl paraalimentar piojos.

Para la crianza y alimentación de los piojos,Weigl había inventado un ingenioso sistema.Consistía en pequeñas cajas de madera —conunas dimensiones de 4×7×1 cm— selladas conparafina para evitar la fuga de los insectos; unade sus caras, protegida por una puertecita, erade una malla finísima que sólo permitía a lospiojos asomar la cabeza para alimentarse. Enestas cajas se depositaban entre 400 y 800 lar-vas, junto con unos hilos de lana para que de-positaran los huevos cuando crecieran. Entre 7y 11 de estas cajas se colocaban, sujetas conuna banda elástica y con la puertecita abierta,

sobre las piernas de los alimentadores; según Szybalski: «Los hombres se solían co-locar las cajitas en sus pantorrillas, aunque las mujeres preferían colocárselas en losmuslos, para ocultar después las marcas rojizas bajo la falda. Después de una sesiónalimenticia de 30 a 45 minutos, no sólo los intestinos del piojo sino su cuerpo entero


parecía un balón, puesto que cada insecto ingiere una cantidad de sangre igual a supeso».

Escribí al comienzo de este artículo que en el corazón de un matemático lateun conflicto permanente entre la prudencia y la pasión; una pasión que es muysimilar a la fiebre creadora que se da en los artistas, sean pintores, compositoreso poetas. Hay mucha gente que cree que las matemáticas son algo tan frío que nopueden generar ningún tipo de pasión; son, de hecho, abrumadora mayoría los quepiensan que las matemáticas son la prudencia contra la pasión. No es cierto: ¿qué,si no la más arrebatadora de las pasiones, puede hacer olvidar a unas personasque tienen adheridos a su pantorrilla unos pocos de miles de piojos chupándoles lasangre?: «Yo tenía que supervisar una unidad de crianza cuyos alimentadores erancasi todos matemáticos de la célebre Escuela de Lwów, incluyendo al mundialmentefamoso profesor Stefan Banach —escribió Szybalski— [. . . ] Era intelectualmentemuy estimulante, aunque también algo surrealista, escucharlos discutir acerca de lasfronteras de las matemáticas, de topología y de teoría de números, mientras estabanalimentando piojos. Más todavía, tenía que ser muy escrupuloso con ellos en el controldel tiempo, pues en el fervor de sus discusiones seguían con las cajitas adheridas alas piernas durante más de 45 minutos, sobrealimentando a los piojos. Eso teníaterribles consecuencias, porque nuestros piojos de laboratorio habían perdido suinstinto natural de dejar de comer, y continuaban chupándoles la sangre hasta quela ingente cantidad que almacenaban en sus intestinos los hacía reventar».

La mayor parte de los participantes en las tertulias matemáticas de Lwów notuvo, sin embargo, larga vida, y ni tan siquiera pudieron disfrutar, como Banach,del privilegio de alimentar piojos en el instituto bacteriológico del profesor Weigl. Lamayor parte fueron víctimas de esa irracional eficacia que tenemos los seres humanospara destrozarnos los unos a los otros.

Stefan Kaczmarz fue, quizá, el primero en caer; en mayo de 1940, cuando to-davía sus amigos seguían reuniéndose en el Café Escocés. Kaczmarz era miembrode los servicios de inteligencia polacos y pereció en la llamada Matanza de Katyn;allí, agentes del NKVD soviético —un germen de lo que después sería el KGB—inmolaron a 15 000 víctimas —20 000 según otras fuentes—, entre las que había sol-dados y oficiales del ejército polaco, agentes de inteligencia, policías, espías, y civilescorrientes y molientes.

Un año después, los nazis, tras tomar Lwów, perpetraron en la Universidad unamasacre en la que fueron asesinadas 45 personas, entre profesores, científicos de laEscuela Politécnica y familiares. De los participantes en las tertulias matemáticas delos cafés, allí cayeron, la noche del 3 de julio de 1941, Antoni Łomicki, WłodzimierzStożek —junto con sus hijos Eustachy y Emanuel— y Stanisław Ruziewicz. Díasdespués también fue asesinado el geómetra Kazimiers Bartel, que había sido PrimerMinistro de Polonia (1926–1930) —y también Rector de la Universidad—: Bartelhabía rechazado días antes la oferta de Himmler de presidir un gobierno títere delReich.

La matanza de Lwów no fue fruto del acaloramiento durante la batalla. «Lapreparación fue meticulosa —escribió Roma Kaluża en la biografía de Banach—,


e incluso el lugar para las ejecuciones fue cuidadosamente elegido. Los asesinatosfueron ejecutados en el mayor secreto, en oposición a lo que se hizo en Cracovia yque tuvo mayor repercusión en la opinión pública de Occidente. El comando ejecutorapareció, entró en acción justo tras el paso de la primera línea de avance de lastropas, hizo su trabajo y desapareció». La matanza fue, pues, fríamente planificada,y formaba parte del Ausserordentliche Befrieddungsaktion, esto es, de las accionesextraordinarias para la «pacificación» proyectadas por Himmler para eliminar a laselites intelectuales polacas. Esas acciones ya las habían aplicado en Cracovia donde,tras ser conquistada al inicio de la guerra, un buen número de profesores de laUniversidad Jagiellonsky —la misma en la que, en tiempos, estudió Copérnico—habían sido deportados a campos de concentración. En Lwów, la matanza tuvoque esperar un par de años más hasta que, tras la ruptura del Pacto Ribbentrop-Molotov, los alemanes la ocuparon al inicio de su ofensiva contra la Unión Soviética.Pero ya estaba planificada desde 1939: «Hay una prueba de que los criminales teníanpreparada una lista de víctimas —contó Józef Sieradzki, residente en Lwów durantela guerra—. Esa lista tuvo que haber sido preparada en 1938–39, puesto que loshombres de la Gestapo estuvieron buscando a dos profesores que habían muertoentre 1939 y 1941: un dermatólogo, Profesor Leszczynski, y un oftalmólogo, profesorBednarski. En ambos casos se solicitó a las viudas que mostraran los certificados dedefunción de sus maridos».

Finalmente, les tocó el turno a los miembros judíos de la tertulia matemática.Stanisław Saks y Juliusz Schauder fueron ejecutados por la Gestapo: uno el 23 denoviembre de 1942 en Varsovia, el otro posiblemente en octubre de 1943. HermanAuerbach, prisionero primero en el gueto de Lwów, fue exterminado en Belzec, elprimero de los campos de exterminio que los nazis hicieron funcionar en Polonia.

Las circunstancias de la paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski van mucho máslejos de lo expuesto aquí. No hay que olvidar que entre esas circunstancias se en-cuentran también los matemáticos que colaboraron con los nazis, de entre los cualesel más significado fue Ludwig Bieberbach, que no sólo se propuso separar a los ma-temáticos atendiendo al color de su pelo o la pigmentación más o menos clara de supiel, sino que quiso llevar esa separación hasta los mismos teoremas, adecuando laspropias matemáticas a las doctrinas étnicas del nacionalsocialismo y estableciendoen ellas una tipología racial. Se puede seguir, además, el hilo que Stanisław Ulam,miembro distinguido de la tertulia de Banach, llevó al otro lado del Atlántico; dadoque Ulam participó, al igual que von Neumann, en el diseño y fabricación de lasprimeras bombas atómicas —y, después, en las de hidrógeno—, ese hilo conecta laparadoja con uno de los episodios más dramáticos y de mayor complejidad moralque la ciencia y la tecnología hayan tenido que enfrentar jamás. Y, naturalmente,falta añadir a Tarski. . . que en agosto de 1939, yendo a un congreso en Harvard,se encontró por casualidad en el mismo barco con Ulam, que regresaba a los Es-tados Unidos después de pasar sus vacaciones en Polonia. Ambos se enteraron delcomienzo de la guerra nada más desembarcar en Nueva York; para desolación deTarski, que pensando que no habría guerra en Europa había dejado en Varsovia asu mujer e hijos —un hijo de apenas seis años y una hija que no llegaba a dos—.


Aunque Tarski, y también Cantor y Gödel, forman parte de las circunstancias deuno de los conceptos matemáticos que más fascinación ha generado fuera del mundoestrictamente matemático: el infinito. Pero esas son otras historias que no cabenaquí.2

6. Coda

Tal vez nuestro hipotético viandante y nuestro incrédulo colega me digan quelo que he contado hasta ahora poco ayuda a comprendernos como especie. Y que,la contraposición entre lo abstracto de la paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski ylo emocional de sus circunstancias, más que luz sobre la condición humana, lo quearroja sobre ella es un buen montón de preguntas e interrogantes. Bien, de ser así, esacontraposición ya sería de mucho provecho, porque no es otra cosa que la reflexión,que las preguntas y los interrogantes provocan, el combustible que usa la mente paraalumbrar la desnudez de nuestra condición.

Referencias

[1] J. Czyz, Paradoxes of measures and dimensions originating in Felix Haus-dorff’s ideas, World Scientific, Londres, 1994.

[2] A. J. Durán, Pasiones, piojos, dioses. . . y matemáticas, Destino, Barcelona,2009.

[3] W. Szybalski The genius of Rudolf Stefan Weigl (1883–1957): a Lvovian mi-crobe hunter and and breeder - In Memoriam, International Weigl Conference,R. Stoika et al., Eds., Spolom Publishers, L’viv, 2003.

[4] R. Kaluża, The life of Stephen Banach, Birkhäuser, Basilea, 1996.[5] K. Kuratowski, A half century of Polish Mathematics, Pergamon, Oxford,

1980.[6] R.D. Mauldin (editor), The Scottish book, Birkhäuser, Basilea, 1981.[7] B. Russell, Historia de la filosofía occidental, Espasa, Madrid, 1999.[8] S. Ulam, Sciences, computers & people, Birkhäuser, Boston, 1986.[9] S. Ulam, Adventures of a mathematician, University of California Press, Ber-

keley, 1991.[10] S. Wagon, The Banach Tarski paradox, Cambridge University Press, Cambrid-

ge, 1986.[11] F.R. Wilson, La mano, de cómo su uso configura el cerebro, el lenguaje y la

cultura humana, Tusquets, Barcelona, 2002.

Antonio J. Durán, Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Uni-versidad de Sevilla, Apartado 1160, 41080-SevillaCorreo electrónico: [email protected]

2El lector interesado las puede encontrar en mi libro Pasiones, piojos, dioses. . . y matemáticas,Destino, Barcelona, 2009, de donde he tomado buena parte del contenido de este artículo.

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