partea i-structura si dinamica reteleicap.1şi2

5/13/2018 Partea I-Structura si dinamica reteleicap.1şi2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/partea-i-structura-si-dinamica-reteleicap1si2 1/31

Patrea I

STRUCTURA SI DINAMICA RETELEI

.

1. Elemente de structură cristalină

1.1. Clasificarea materialelor după structură

Materialele solide pot fi cristaline sau amorfe. O trasatură caracteristică a

materialelor cristaline o constituie aranjarea ordonată a particulelor componente pe

distanţe foarte mari în raport cu distanţele interatomice. In astfel de situatii spunemca exista ordine la mare distanţă şi că se parcurge un număr extraordinar de mare de

distante interatomice până când să apară o abatere de la aranjarea regulată a

particulelor componente ale cristalului (Fig.1.1.a).

Există materiale solide în care aranjarea regulată a particulelor componente

se întâlneşte pe domenii restrânse, nedepăşind în diametru câţiva Ǻ( 6-7 Ǻ). Spunem

că acestea sunt solide necristaline. Ele se caracterizează printr-o ordine la mică

distanţă.Structura cristalină conferă materialelor proprietatea de anizotropie iar

structura amorfa cea de izotropie. Aranjarea periodică a particulelor constituente

după cele trei direcţii spaţiale constituie simetria internă sau simetria cristalină.

Forma poliedrică exterioara, determinată de procesele de cristalizare constituie

simetria externă, geometrică sau singonia.

Din punct de vedere teoretic, un solid amorf presupune lipsa oricărei ordini

locale (în apropiere, cât şi la distanţă). Ordinea la mica distanţă este caracteristicăatât solidelor amorfe, cât şi lichidelor, motiv pentru care materialele amorfe pot fi

considerate ca lichide subrăcite. (Fig.1.1.b)

In general, materialele sunt policristaline, adică sunt constituite dintr-o mulţime

de cristalite, sau grăunţi, orientaţi aleatoriu. (Fig.1.1.c).

Dacă printr-un procedeu oarecare se reduc dimensiunile grăunţilor de la 1 µm

spre mai multi nm atunci acest fenomen va avea un impact deosebit asupra

comportării materialului. Dimensiunea mică a cristalitelor (de ordinul nm) face camajoritatea atomilor să fie atomi de graniţă, situati la suprafaţă. Într-un material de

4



acest gen predomină fenomenele de suprafaţă şi interfaţă. Un material nanocristalin

este un solid la care dimensiunea cristalitelor este, în general, mai mică de 100 nm .

b) Amorf

Fig.1.1. Exemple de solide: a) monocriltal; b)amorf; c) policristal

Materialele pot fi elaborate atat în stare masivă cât şi sub formă de straturi

subţiri sau sub formă de pulbere (nano-pulbere), particule (nanoparticule), cvasi-cristale, benzi (nanobenzi), fire (nanofire). Trecerea de la materialul masiv la cel cu

dimensionalitate redusa este însoţită de modificări importante ale proprietăţilor

materialelor.

Legile fizicii utilizate pentru înţelegerea proprietăţilor solidului cristalin sunt

aceleaşi cu cele utilizate în studiul atomilor şi moleculelor. Astfel alături de ecuaţiile

lui Maxwell care se aplică la studiul câmpurilor electromagnetice şi ecuaţia lui

Schrödinger care se aplică pentru determinarea funcţiilor de undă ale particulelor seutilizează mecanica statistică şi termodinamica.

a) Monocristal

Pirita –monocristal

Formapolicristalina a

Piritei

c) Policristal

5



1.2. Structura cristalină

1.2.1.Periodicitatea cristalină

Reţele şi vectori de bază

Majoritatea materialelor solide posedă o structură cristalină, adică o

periodicitate spatială, sau simetrie de translaţie (Fig.1.2.a. .

Un cristal poate fi privit ca un aranjament 3 dimensional, periodic, al atomilor

în spatiu.

Pentru a descrie structura unui cristal se consideră că atomii se găsesc în

poziţiile lor de echilibru şi se alege un model ideal format dintr-o reţea infinită de

noduri, care prezintă o simetrie de translaţie şi o bază de atomi care se adaugă în

fiecare nod al reţelei infinite (Fig.1.2.b).

Platină Microscopie de scanare prin tunelare Structura Pt

a)

b)Fig.1.2. Structura cristalina: a) structura ordonată a platinei; b) retea cristalină + bază

6



Toate structurile cristaline pot fi obţinute fie prin adaugarea unei baze de atomi

in nodurile unor retele tri-dimensionale infinite, fie prin repetarea pe trei direcţii

diferite a unei unităţi de constucţie, numită celula elementara, (Fig.1.2 a şi b).

Dacă presupunem că există trei vectori ne-coplanari a, b, şi c, care lasă, la

deplasarea cristalului în oricare din cele trei direcţii, toate proprietăţile cristalului

neschimbate, putem exprima orice nod al retelei R, în funcţie de alt punct considerat

origine, în felul următor:

R = n1a +n2b +n3c (1.1)

unde n1, n2, n3, sunt numere întregi. Foarte des vectorii necoplanari sunt notaţi cu

a1, a2, a3. Unghiurile pe care le formează aceşti vectori între ei se notează fie cu α,

β, γ (Fig. 1.4) fie cu α1, α2, α3.

Pozitia atomilor in cristalul ideal poate fi definita de vectorii:

r j = n1a + n2b + n3c + pm (1.2)

unde pm sunt vectorii de poziţie ai atomilor în baza asociată nodurilor reţelei Bravais.

Nu există un mod unic în alegerea vectorilor a, b, c. Când aceştia sunt egali

cu perioadele cele mai scurte pe trei directii necoplanare, se numesc vectori primitivi

ai reţelei directe

Celula primitivă

Celula definită de vectorii primitivi se numeşte celulă primitivă (Fig.1.4).

Fig. 1.4. Celula cristalină primitivă. Vectorii a, b, c sunt vectori de translaţie ai reţelei iar α,β, γ sunt unghiurile pe care le formează între ei.

Volumul celulei elementare este definit de produsul mixt

V=(a[bc]) (1.3)

7



Celula elementară cristalografică este o celulă care prezintă toate elementele

de simetrie ale reţelei cristaline şi nu este primitivă.

Celula Wiegner-Seitz

Procedura de alegere a celulei elementare nu este unică şi uneori o celulă

arbitrară nu reflectă simetria reţelei. Celula elementară cu volumul cel mai mic şi care

respectă toate operaţiile de simetrie ale cristalului este celula Wiegner-Seitz

(Fig.1.5).

Fig.1.5. Modul de construcţie a celulei Wiegner-Seitz

Această celulă este una primitivă şi se construieşte ducând plane

perpendiculare la mijlocul distanţelor dintre nodul luat în considerare şi nodurilevecine (Fig.1.5).

1.2.4. Simetria cristalină

Simetria de rotaţie. Grupul punctual

Pe lângă operaţia de translaţie, structura cristalină poate fi descrisă şi cu

ajutorul operaţiilor de simetrie ce se efectuează în jurul unui punct al reţelei şi careformează setul de operaţii al grupului punctual .

Operaţiile de simetrie ce formează grupul punctual pot fi simple sau complexe.

Astfel, operaţia de rotaţie, C n reprezintă rotaţia cu un unghi 2π /n în jurul unei anumite

axe. Spunem că un corp posedă o axă de simetrie de ordinul n, dacă rotindu-l în jurul

acestei axe cu un unghi 2π /n el revine la o poziţie identică.

Un corp poate avea mai multe axe de simetrie. Există unele restricţii pentru n

(n = 2, 3, 4, 6). Pentru a demonstra acest lucru presupunem că o reţea rămâneneschimbată sub acţiunea unei rotaţii de unghi α în jurul unui nod al reţelei (Fig.1.6).

8



Fig. 1. 6. Determinarea simetriei de rotaţie

Astfel, sub acţiunea operaţiilor de rotaţie cu un unghi α, punctul A trece în

punctul A' şi punctul B trece în punctul B'. Atât distanţele AB cât şi A' B' reprezintă

distanţe între două noduri ale reţelei, respectiv vor avea valorile "a" şi "sa" , unde s

trebuie să fie un multiplu întreg al lui a. Din Fig.1.6 se poate constata că

( )α cos1a sa += . Având în vedere faptul că funcţia cosinus ia valori cuprinse înintervalul [-1,1], s poate lua doar valorile -1, 0, 1, 2, 3 iar α poate lua valorile ±π ;

± 2π/3; ±π /2; ±π /3 şi 0 sau 2π. Astfel ordinul axei de rotaţie

α π / 2n = (1.5)

poate avea doar valorile 1, 2, 3, 4 şi 6.

Fig. 1.7. Axe şi plane de simetrie. Axele de simetrie sunt notate cu C 4, C3, C2 şi C6 şicorespund rotaţiilor 2π/4; 2π/3; 2π/2 şi 2π/6. Planele de reflexie sunt notate cu σh, σv, σd, dupăcum sunt orizontale, verticale sau diagonale. Pentru celula hexagonală axa paralelă cuparametrul c este o axă de ordinul şase. Este indicata celulă primitivă a celulei hexagonale.

Axele de rotaţie de ordin n se notează cu Cn (Fig.1.7), unde n = 2, 3, 4, 6,

efectul lor şi simbulul lor fiind prezentat în Fig.1.8.

O rotaţie în jurul unei axe de ordin 1 este echivalentă cu absenţa rotaţiei sau

cu o rotaţie cu 360 de grade.

9



Operaţia de inversie, I , transformă r → - r , punctul fix fiind ales ca origine.

Operaţia de reflexie, σ , reprezintă reflexia într-un plan de simetrie. Planele de

simetrie se consideră orizontale dacă sunt perpendiculre pe axa de ordin maxim.

Dacă planele conţin axa de ordin maxim se numesc verticale sau diagonale (Fig.1.7).

Fig.1.8. Efectul rotaţiei în jurul unei axe de ordin n şi simbol axei

Operaţia de roto-reflexie este o rotaţie improprie, Sn şi constă dintr-o rotaţie

C n, urmată de o reflexie într-un plan normal la axa de rotaţie. Operaţia de inversie

mai poate fi privită şi ca o operaţie de rotaţie în jurul unei axe C2 urmată de reflexia în

planul perpendicular pe această axă.

Centru de inversie este un punct in centrul celulei elementare (moleculei) faţă

de care (x,y,z) --> (-x,-y,-z) (Fig.1.9). Tetraedrele, triunghiurile, pentagoanele nu au

centru de inversie.

Fig.1.9. Centru de inversie intr-o moleculă

1.3. Reţele Bravais

1.3.1. Reţele unidimensionale, 1D

Tipurile de reţele diferă prin relaţiile existente între parametrii celulei

elementare: a, b, c şi unghiurile α, β, γ pe care le formează. Intr-o anumită structură

cristalină.

Tipurile de reţele se deosebesc prin simetria pe care o posedă.

10



Reţelele pot fi unidimensionale (1D), bidimensionale (2D) şi tridimensionale

(3D).

Reţelele unidimensionale, care se mai numesc şi lanţuri, pot fi simple sau

complexe. Cele simple au 1 atom pe celula elementară. Cele complexe conţin mai

mulţi atomi pe celula elementară. Atomii pot fi identici sau diferiţi (Fig. 1.10).

Fig.1.10. Reţele 1D: simple şi complexe (cu 2 atomi identici respectiv 2 atomi diferiţi pecelula elementară)

1.3.2. Reţele bidimensionale, 2D

Există 5 tipuri de reţele bidimensionale: reţeaua oblică şi patru reţele speciale

(Fig.1.9). Pentru reţaua oblica |a1|≠|a2| , (a1,a2)=φ.

Fig.1.9. Reţele 2D

Pentru cazurile speciale se remarcă reteaua patratică: |a1|=|a2|, φ= 90°;

reteaua hexagonală: |a1|=|a2| , φ= 120°; reteaua rectangulară: |a1|≠|a2| , φ= 90° şi

reteaua rectangulară centrată: |a1|≠|a2| , φ= 90°

Simetria cea mai ridicată o prezintă reţeaua hexagonală pentru că prezintă cel

mai mare număr de elemente de simetrie.

Reţele Bravais

11



Reţelele în care toate punctele sunt identice şi prezintă un singur tip de atomi

se numesc reţele Bravais.

Reţelele care prezintă şi puncte neechivalente, respectiv atomi diferiţi nu mai

pot fi considerate ca fiind Bravais şi se numesc reţele ne-Bravais (Fig.1.10).

a)

b)Fig.1.10. Reţele: a) Bravais; b) ne- Bravais

1.3.3. Reţele tridimensionale, 3D

Există 14 tipuri de reţele Bravais tridimensionale, grupate în şapte sisteme

cristaline sau singonii (cubic, tetragonal, hexagonal, romboedric, ortorombic,

monoclinic, triclinic Fig.1.11).

Reţelele din acelaşi sistem au acelaşi grup punctual al elementelor de

simetrie. Ca în Fig.1.4 se alege un sistem de axe de coordonate în lungul cărora se

situează vectorii fundamentali a, b şi c, orientarea lor fiind determinată de unghiurile

α,β şi γ . Dacă punctele reţelei se găsesc doar în colţurile celulei elementare, celula

elementară este primitivă şi se notează cu P. Celulele care pe lângă punctele reţelei

din colţuri mai au un punct în centrul celulei se numesc centrate în volum şi se

notează cu I (de la cuvântul german innenzentrierte), iar cele care au puncte ale

reţelei atât în colţuri cît şi pe centrele feţelor celulei se numesc cu feţe centrate şi se

notează cu F. Celulele care conţin puncte (noduri) ale reţelei în colţuri şi în centrele

feţelor superioară şi inferioară se numesc cu baze centrate şi se notează cu C

(deoarece axa c este perpendiculară pe aceste feţe).

Număr de coordinare (NC). Intr-o retea Bravais nodurile cele mai apropiate

de un nod dat reprezinta vecinii cei mai apropiati. Deoarece reţeaua Bravais este

periodică, toate nodurile au acelaşi număr de vecini cei mai apropiaţi, respectiv

acelaşi număr de coordinare, aceasta fiind o proprietate a reţelei.

12



Pentru cubul simplu numărul de coordinare este 6, pentru reţeaua cubică cu

volum centrat este 8, iar pentru reţeaua cubica cu feţe centrate este 12.

Număr de atomi sau noduri pe celula elementară. Într-o celulă elementară,

nodurile participă la o celulă în funcţie de poziţia acestora. Astfel nodurile aflate în

colţurile unei celule paralelipipedice, Ncolt, vor contribui la opt celule elementare, cele

de pe feţe, Nfata, la două celule elementare, cele de pe muchii, Nmuchie, la patru celule

elementare, iar cele din interiorul celulei, N interior , doar la o celulă elementară.

erior int fatamuchiecolt N N 2

1 N 4

1 N 8

1 N +++= (1.5)

Reţele cubice. Reţelele sistemului cubic pot fi construite folosind celule cubice

. Aceste reţele au cel mai mare număr de elemente de simetrie: trei axe de ordinul

patru (tetrade, C4), patru axe de ordinul trei (triade, C3), şase axe de ordinul doi

(diade, C2) şi nouă plane de simetrie (3σh, 6σd, Fig.1.7).

Fig.1.11. Clase cristalografice (singonii)

Celula primitivă are un nod pe celula elementară deoarece fiecare nod din

colţul celulei mai participa la încă alte 8 celule elementare. Dacă cubul are muchia a,

atunci a = ax; b = ay; c = az sunt cei trei vectori primitivi ai reţelei.

13



Pentru celula cubică cu volum centrat există două noduri pe celulă: unul în

colţurile celulei şi unul în interiorul celulei, N = 18

18 +⋅ . In general, pentru această

celulă, vectorii fundamentali se aleg cu originea în centrul cubului şi cu vârfurile în

centrele a alte trei cuburi vecine în acelaşi colţ (Fig.1.12.a): ( )zyxa −+= a2

1;

( )zyx-b ++= a2

1; ( )zyxc +−= a

2

1.

Aceşti vectori fundamentali sunt prezentaţi în Fig.1.12.a, fiind în lungul

muchiilor paralelipipedului generat de ei. De menţionat este că a + c =ax; a + b = ay

şi b + c = az aşa încât poziţiile colţurilor cubului, precum şi poziţia centrului cubuluipot fi exprimate ca o combinaţie liniară a vectorilor fundamentali cu coeficienţi întregi.

Celula Wigner - Seitz a celulei cubice cu volum centrat, cvc, este prezentată în

Fig.1.13.

Celula cubică cu feţe centrate are patru noduri pe celulă (are patru atomi dacă

ne imaginăm că în fiecare nod avem un atom):2

16

8

18 N ⋅+⋅= . Nodurile de pe feţele

cubului participă la două celule elementare. Vectorii fundamentali se aleg de obiceicu originea în unul din colţurile cubului şi cu vârfurile în trei noduri localizate pe feţele

cubului (Fig.1.12.b)

Fig.1.12. Celulele primitive ale reţelelor cubice: a) cu volum centrat; b) cubice cu feţecentrate

14



Fig.1.13. Celule Wigner-Seitz 3DCelula Wigner -Seitz a reţelei cubice cu feţe centrate, cfc, este pezentată în

Fig.1.13.

Reţele tetragonale.

Acestea pot fi obţinute prin deformarea reţelei cubice în lungul axei c. Celulatetragonală încă mai prezintă o axă verticală de ordinul patru (tetradă) patru axe de

ordinul doi (diade) şi cinci plane de simetrie: unul orizontal, două verticale şi două

diagonale.

Există două tipuri de reţele descrise de o celulă primitivă, respectiv de o celulă

cu volum centrat (Fig.1.11).

Reţele ortorombice. Aceste reţele pot fi rezultatul deformării cubului în lungul

axelor b şi c. Toate feţele sunt dreptunghiuri (Fig.1.11). Celula ortorombică prezintăca elemente de simetrie trei axe de ordinul doi şi trei plane de simetrie

perpendiculare pe axele de ordin doi. Există patru reţele în acest sistem: primitivă,

cu baze centrate, cu volum centrat şi cu feţe centrate.

Reţele monoclinice

Baza celulei monoclinice este un paralelogram oblic, feţele rectangulare fiind

perpendiculare pe bază. Ca elemente de simetrie prezintă doar o axă de ordin doi

perpendiculară pe bază şi un plan de simetrie perpendicular pe axă (plan orizontal).

Există două tipuri de reţele: cu celula primitivă şi celulă cu baze centrate (Fig.1.11),

Reţele triclinice

Reţeaua triclinică are cea mai joasă simetrie. Nu are nici o axă de simetrie sau

plan de reflexie. Poate fi obţinută prin îmbinarea reţelelor 2D oblice (Fig.1.11). Celula

triclinică prezintă un centru de simetrie, care coincide cu centrul de greutate.

Reţele hexagonale şi trigonale

Celula elementară a reţelei hexagonale este prezentată în Fig.1.7. Celula

primitivă are ca bază un romb cu 2 unghiuri de 60 grade. Suprafeţele laterale sunt

15



perpendiculare pe bază (Fig.1.7 şi Fig.1.11). Doi vectori primitivi sunt paraleli cu

muchiile rombului iar al treilea este perpendicular pe bază.

Celula hexagonală prezintă o axă verticală de ordin şase (hexadă), şase axe

de ordin doi perpendiculare pe axa de ordin şase: trei perpendiculare pe feţele

laterale şi trei paralele cu diagonalele bazei. Există un plan de simetrie orizontal,

perpendicular pe axa de ordin şase, trei plane de simetrie diagonale şi trei verticale

perpendiculare pe cele şase axe de ordin doi.

Numărul de noduri din celula hexagonală este egal cu 32

12

6

112 N =⋅+⋅= .

Atomii din colţuri participă la încă şase celule elementare, iar cei din centrul bazelor

la două celule.

Celula trigonală poate fi rezultatul distorsionării cubului în lungul uneidiagonale volumice (Fig.1.11). Elementele de simetrie cuprind o axă de simetrie de

ordin trei (diagonala volumică), trei axe de ordin doi (unesc mijlocul unei muchii cu

mijlocul muchiei opuse) şi trei plane de simetrie, axa de ordin trei fiind interseţia celor

trei plane de simetrie.

1.3.3.Grupuri spaţiale cristalografice. Notaţii

După cum se poate vedea din Fig.1.11 există 14 reţele Bravais care sunt

cuprinse în cele 7 sisteme cristalografice distincte.Grupuri punctuale. Există 32 grupuri punctuale cristalografice descrise de

simetria celulei elementare (rotatii, reflexii, inversie)

Pentru grupurile punctuale s-au stabilit unele convenţii de notare. Astfel axa z

se consideră că iese din planul imaginii; axa y este în plan cu sensul la dreapta; axa

x este în plan orientată în jos.

Notaţia Hermann-Maugin. În această notaţie a grupurilor punctuale se

apelează la notaţiile C n = n; 1i = ; mC h s ==σ ; md v ==σ σ . Astfel grupurile

punctuale vor apărea notate: 1, 1 , m, 2/m, mm, 222, mmm, 4, 4 , 4/m, 4mm, 42m,

4/mmm, 3, 3 , 3m, 32, 3m, 6, 6 , 6/m2. 6mm, 622, 6/mmm, 23, m3, 43m, 432, m3m

Notatia Shonflies. În această notaţie se notează cu Cn grupurile punctuale ce

se obţin din acelaşi element (grupuri ciclice). În cazul în care perpendicular pe axa de

tip Cn există cel puţin o axă de ordinul doi (numărul axelor de ordinul doi este egal cu

ordinul axei Cn), grupul se notează cu Dn. Dacă se daugă şi un plan de simetrie se

notează cu Dnh sau Dnv sau Dnd în funcţie de natura planului.cu Sn se notează

16



grupurile care au ca elemente axele Sn, cu T se notează grupul operaţiilor de rotaţie

ale tetraedrului şi cu O grupul operaţiilor de rotaţie ale octaedrului.În această notaţie

grupurile punctuale vor fi notate cu: C1, Ci, Cs, C2, C2h, C2v, D2, D2h, C4, S4, C4h, C4v,

D2d, D4, C3, S6, C3v, D3, D3d, C3h, C6, S3, C6h, D3h, C6h, T, Th, Td, O, Oh

Grupuri spatiale se obţin ca produsul direct între grupul translaţiilor asociat

reţelei şi grupul punctual. Cele 14 retele Bravais combinate cu cele 32 grupuri

punctuale cristalografice determină 230 grupuri spaţiale cristalografice. Astfel,

elementele de simetrie de translatie (plane de alunecare, axe elicoidale) sunt

combinate cu elementele de simetrie tipice grupului punctual (rotatii, reflexii,

inversie).

Pentru grupurile spaţiale, litera iniţială reprezintă simbolul grupului spaţial care

poate fi primitiv (P), centrat pe o singura faţă (A, B sau C),centrat pe toate fetele (F),

cu volum centrat (I) sau romboedric centrat (R). Astfel, grupul spaţial corespunzător

simetriei triclinice va fi notat cu P-1, cel corespunzător simetriei monoclinice cu P2, Pm,

P2/m, cel ortorombic cu P222, Pmm2, Pmmm, etc.

1.4. Poziţii, direcţii şi plane în crislale

1.4.1. Poziţia atomilor în celula elementară

Vectorul de poziţie r al unui punct din interiorul celulei elementare, relativ la

unul din colţurile celulei poate fi notat

r = ua + ub + wc (1.4)

unde u, v şi w sunt numere mai mici sau egale cu 1. Punctul este identificat dând

aceste numere sub forma uvw, fără a fi separate prin virgule. Deoarece lungimea

egală cu unitatea este asociată cu vectorii fundamentali, coeficienţii uvw sunt maimici. Aceste notaţii sunt folosite pentru a specifica poziţiile atomilor sau a altor puncte

de interes din celula elementară. De exemplu, centrul oricărei celule elementare

paralelipipedice are vectorul de poziţie cba2

1

2

1

2

1++ iar indicii punctului sunt

2

1

2

1

2

1

(Fig.1.14 a).

17



Fig.1.14. Notaţii în cristale: a) poziţiile atomilor; b) direcţii în cristal; c) plane cristaline

1.4.2. Direcţii în cristal

O direcţie din cristal se notează cu coordonatele nodului celui mai apropiat de

nodul ales origine (fiind numere întregi) puse între paranteze drepte, [ ]uvw (de

exemplu [111]). Dacă nodul prin care trece nu are numere întregi se aleg cele maimici numere intregi cu acelasi raport relativ (Fig.1.14.b) Indicii negativi sunt indicaţi

cu o bară deasupra, [ ]wvu , direcţia având sens opus direcţiei [ ]uvw (Fig.1.14.b). Un

set de direcţii care se pot obţine una din alta prin aplicarea operaţiilor de simerie se

notează cu uvw .

1.4.3. Indici Miller

Pentru identificarea planelor din cristal se folosesc indicii Miller. Pentru

determinarea acestor indici se inversează fracţiile ce reprezintă intersecţiile planului

cu axele cristalografice, se aduc la acelaşi numitor, se află cel mai mare divizor

comun, iar cele trei numere care rămân, puse între paranteze rotunde (hkl)

reprezintă indicii Miller al planului (Fig.1.14.c).

Planele reţelei care sunt paralele şi egal distantate pot fi considerate ca având

aceeaşi indici Miller. Setul de plane care se pot obţine unele din altele sub acţiunea

18



operaţiilor de simetrie ale cristalului formează o familie de plane şi se notează { }hkl .

De exemplu { }100 conţine planele ( )100 , ( )010 , ( )001 , ( )001 , ( )010 , ( )100 .

Densitatea de noduri a reţelei din fiecare plan din set este aceeaşi şi toate

nodurile de reţea sunt conţinute în fiecare set de plane.

19



2. Structurile stării solide

2.1. Structuri cristaline

2.1.1. Structuri împachetate compact

Materialele pot cristaliza adesea în unul din cele patru structuri de bază:

cubică simplă (c), cubică cu volum centrat (cvc), hehagonală compactă (hc) şi cubică

cu feţe centrate (cfc). Aceste structuri pot fi imaginate ca fiind rezultatul împachetarii

unor sfere rigide.

În cel mai simplu mod de impachetare (Fig.2.1), peste primul strat de bile se

aşează al doilea strat şi aşa mai departe. Rezultatul este acelaşi cu repetarea unui

cub unitate format din 8 sfere. Aceasta este impachetarea cubică simplă, în care

fiecare sferă atinge alte 4 sfere din acelaşi plan şi câte o sferă din planul superior,

respectiv inferior. Fiecare atom poate forma legături cu şase atomi vecini, numărul de

coordinare fiind, NC= 6. Numărul de coordinare reprezintă numărul vecinilor cei mai

apropiaţi. În acest tip de structură doar 52% din spaţiul celulei elementare este

ocupat.

Coeficient de compactitate

Coeficientul de compactitate, F , reprezintă raportul dintre volumul efectiv

ocupat de atomii cristalului consideraţi ca sfere rigide în contact şi volumul total al

reţelei.

Astfel, coeficientul de compactitate poate fi definit cu ajutorul relaţiei

V

R

3

4 N F

3π = (2.1)

unde N este numărul de atomi per celulă elementară, R este raza sferei ,care este

egală cu jumătetea distanţei dintre atomii cei mai apropiaţi, iar V este volumul celulei

elementare.

Structuri Cubice. Structuri hexagonale

În cazul structurii cubice cu volum centrat (Fig.2.1), fiecare sferă este în

contact cu 4 sfere din planul inferior şi patru din planul superior, numărul de

coordinare fiind 8. Structura cubică cu volum centrat este o structură mai eficientă,

68% din spaţiu fiind ocupat.

20



Cel mai compact mod de împachetare apare la structurile cubice cu feţe

centrate şi hexagonal compacte. Ambele încep cu un plan de bile în care fiecare bilă

este în contact cu alte şase bile din plan, care se găsesc în colţurile unui hexagon. În

al doilea plan, bilele se situează peste golurile triunghiulare, iar în al treilea situatia

poate fi repetată. Fiecare bilă este în contact cu şase bile din plan, trei din planul de

dedesupt şi trei din planul de deasupra. Această structură este numită hexagonal

compactă şi este structura cea mai eficientă, 74% din spaţiu fiind ocupat.. În cazul

structurii cubice cu feţe centrate, cel de al treilea strat cu bile se aşează peste

golurile din primul strat care nu au fost ocupate de cel de al doilea strat: ABCABC...

Aceasta structură este la fel de compactă ca şi structura hexagonal compactă.

Împachetare cubica Impachetare cubică cu volum centrat

AAAA..., NC=6 ABABAB..., NC=8

Împachetare hexagonal compactă Împachetare cubică cu feţe centrate NC=12 NC=12

Fig.2.1. Structuri obţinute prin împachetare compactă

Modul de calcul al coeficientului de compactitate pentru structurile cubică cu

feţe centrate şi hexagonal compactă este prezentat în Fig.2.2. Celula hexagonală

poate fi privită ca fiind formată din şase prisme având baza un triunghi echilateral.

Atomii din interior sunt localizaţi la jumătatea înălţimii prismelor, acestea fiindocupate alternativ :o prismă este ocupată şi următoarea este goală, etc.

21



Fig.2.2. Determinarea factorului de compactitate pentru celulele cubica cu feţe centrate şihexagonal compactă cu relaţia (2.1)

2.1.2. Structuri covalente

Deoarece atomii sunt legaţi cu maxim patru vecini, cristalele covalente sunt

mai slab împachetate.

Structura de tip diamant are o reţea cubică cu feţe centrate şi o bază de doi

atomi identici. Poziţiile atomilor din bază, în urma ataşării bazei în nodurile reţeleiformează două reţele cubice cu feţe centrate, deplasate una faţă de cealaltă cu 1/4

din diagonala volumică.. Fig.2.3.a) prezintă celula elementară de tip diamant precum

şi reprezentarea 2D a celulei elementare, obţinută prin proiectarea în lungul axei c şi

notarea poziţiilor atomice cu coordonate exprimate ca fracţiuni ale lui c. În afara

atomilor din colturi şi de pe feţe mai sunt patru atomi în interiorul celulei, fiecare

deplasat în comparaţie cu atomul din colţ sau cel din mijlocul feţei cu o pătrime din

diagonală. Există opt atomi pe celula elementară, coeficientul de împachetare fiind0,34. Siliciul şi germaniul cristalizeză prezintă această structură la temperatura

camerei.

Sulfura de zinc , sau blenda de zinc, prezentată în Fig.2.3.b) este similară

structurii de diamant dar are doi atomi diferiţi. Reţeaua cubică cu feţe centrate

formată de unul din atomi este deplasată faţă de cea formată de celălalt tip de atom

cu o pătrime din diagonala volumică. Aceasta este structura tipică semiconductorilor

binari de tipul CdS, InAs, InSb, AlP şi GaAs şi a halogenurilor metalelor nobile CuF,CuCl, AgI.

22



Fig.2.3. Structuri cristaline ale cristalelor covalente: a) diamant; b) blenda de zinc; c) würtzite(hexagonlă) În toate structurile atomii sunt legaţi tetraedric. În structura de tip diamant atomiisunt identici spre deosebire de celelalte în care atomii sunt diferiţi

Pe lângă structura blendei de zinc, sulfura de zinc mai prezintă o formă

hexagonală numită "würtzite" (Fig.2.3.c). Fiecare atom formează o structură

hexagonal compactă (hc). Cele două structuri hexagonale sunt deplasate una faţă de

cealaltă în lungul axei c cu 5/8c. De notat este faptul că atomii din interior se găsesc

în lungul aceleaşi axe de ordin trei. Fiecare atom este în centrul unui tetraedru cu

patru atomi diferiţi în vârfuri. Alte materiale care cristalizează în acest sistem sunt

ZnO, BeO, MgTe, SiC. Rapoartele c/a pentru aceste cristale sunt apropiate de

valoarea ideală, structurile putând fi considerate reţele împachetate compact ale

atomilor mai mari, atomii mai mici umplând unele interstiţii.

2.3. Defecte structurale

Cristalele reale, naturale sau crescute în laborator, au o structură care se

abate într-un grad mai mic sau mai mare de la aranjarea periodică ideală, regulată, a

atomilor. Distrugerea periodicităţii ideale poate avea loc datorită unor cauze diferite.

Astfel, în cristalul real ionii nu sunt ficşi în nodurile reţelei cristaline, ei participă la

micşcarea termică efectuând mici oscilaţii. Aceste oscilaţii distrug periodicitatea

23



poziţiilor instantanee ale ionilor şi pot fi considerate ca un tip de defecte ale reţelei

cristaline (defecte dinamice ).

O altă sursă de distrugere a periodicităţii ideale este legată de prezenţa unor

modificări structurale ale reţelei cristaline ideale, numite defecte structurale. Aceste

defecte pot fi clasificate pe baza unor criterii geometrice în: punctiforme,

unidimensionale, de suprafaţă şi de volum.

2.3.1. Defecte punctiforme

Existenţa în structura cristalină ideală a unor abateri de la periodicitate, care

nu depăşesc dimensiunile atomice, constituie defecte zerodimensionale sau

punctiforme.

Fig.2.4. Defecte punctiforme

24



Ca exemple de astfel de defecte putem menţiona (Fig.2.4):

1) noduri ale reţelei neocupate cu atomi, numite vacanţe;

2) atomi interstiţiali de aceeaşi natură cu ai reţelei

3) atomi interstiţiali impuritate

4) atomi impuritate substituţionali cu rază mai mică decât a atomilor reţelei

5) atomi impuritate substituţionali cu raza mai mare decât a atomilor reţelei

6) grupări de defecte punctiforme (de vacanţe sau de atomi intertiţiali).

În cazul în care unul dintre atomii care ocupă nodurile dintr-un strat superficial

al cristalului, şi ca rezultat al excitaţiei termice, capătă o energie suficientă pentru a

ajunge la suprafaţa metalului, obţinem un defect Schottky .

Dacă un atom, este deplasat dintr-un nod al reţelei cristaline, într-o poziţie

corespunzătoare unui interval dintre noduri (interstiţiu), apare o pereche formată

dintre o vacanţă şi un atom interstiţial, care constituie un defect Frankel . Apariţia

defectelor Frankel este asociată cu o cheltuială mai mare de energie şi deci este mai

puţin probabilă.

Vacanţele şi interstiţiile pot fi generate termic. Concentraţia de echilibru poate

fi calculată impunând ca energia liberă, F, definită de

F = E - TS (2.2)

să fie minimă. E este energia iar S este entropia cristalului. Ambele mărimi depind denumărul de defecte. Vacanţele şi atomii interstiţiali cresc energia cristalului şi cresc

entropia, concentraţia de echilibru anulându-se doar la T = 0K.

Să calculăm concentraţia vacanţelor izolate în cristalul cu un atom în baza

primitivă. Entropia este dominată de componenta de configuraţie, care este asociată

cu numărul distinct de aranjamente ale atomilor. Presupunem că cristalul conţine N

atomi şi NV vacanţe. Acestea pot fi aranjate în (N+NV) moduri în cele N+NV poziţii.

Numărul distinct de configuraţii este dat de (N+NV)!/N!NV!, iar entropia de configuraţieeste

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]V V V V B

V

V B N ln N N ln N N N ln N N k

! N ! N

! N N lnk S −−++=

+= (2.3)

unde s-a utilizat aproximaţia lui Stirling: pentru x mare, ( ) ( ) xln x! xln = . O altă

contribuţie la entropie apare din modificările stărilor electronilor şi fononilor, aceasta

fiind însă suficient de mică şi poate fi ignorată.

25



Dacă EV este energia necesară pentru a crea o vacanţă, deoarece numărul de

atomi nu se modifică la crearea unei vacanţe, EV este energia necesară pentru a

deplasa un atom de la interior la suprafaţa probei. Dacă se neglijează complecşii de

vacanţe multiple, energia cristalului creşte cu NVE atunci când se crează NV vacanţe,

iar energia liberă va fi

( ) ( ) ( )[ ] ( )V V V V BV V N ln N N ln N N N ln N N T k E N F −−++−= (2.4)

F este minimă atunci când E e NV) NV/(N β −=+ unde β=1/kBT. Deoarece NV<<N

numărul de vacanţe de echilibru va fi

E V Ne N β −= (2.5)

Conform cu ecuaţia (2.5) numărul de vacanţe este zero la T=0K şi creşte cu

temperatura. Pentru marea majoritate a materialelor EV este de ordinul câtorva eV.

De exemplu, dacă EV = 2eV, atunci NV/N este în jur de 3x10-34 la temperatura

camerei şi în jur de 9x10-11 la 1000K. Reprezentarea grafică a ln(NV/N) în funcţie de β

permite determinarea experimentală a energiei.

Concentraţia interstiţiilor la echilibru se calculează în acelaşi mod. Există doar

un număr mic de poziţii interstiţiale şi probabilitatea ca una din ele să fie ocupate

depinde de energia necesară pentru a aduce atomul de pe suprafaţa probei în poziţia

interstiţială. Această energie este de ordinul a un eV pentru structurile cu factori de împachetare mici, cum ar fi structura tip diamant, dar este peste 10 eV pentru

structurile împachetate compact. Se creazp atât un atom interstiţial cât şi o vacanţă

atunci când atomii îşi părăsesc locul şi intră în regiunea dintre atomi. Energia de

interes pentru un defect Frenkel este suma energiilor necesare pentru crearea unei

vacanţă şi a unui atom interstiţial în mod individual.

Solidele prezintă ades concentraţii de vacanţe şi atomi interstiţiali de

neechilibru. Această situaţie apare în urma tratamentului de călire. Se crează o mareconcentraţie de defecte prin aducerea probei la o temperatură ridicată şi menţinerea

ei până ce se obţine o stare de echilibru, după care proba se răceşte rapid. Atomii nu

vor avea energie suficientă pentru a se deplasa şi numărul de defecte a fi mare.

Bombardarea probei cu particule de înaltă energie conduce la obţinerea unei

concentraţii în exces de defecte. Studiul efectului radiaţiei asupra structurii cristaline

constituie un domeniu important al ştiinţei moderne a materialelor.

2.3.2. Dislocaţii

26



Defectele structurale ale căror dimensiuni într-o direcţie întrec pe cele

atomice, deci se extind la un şir de atomi, se numesc defecte unidimensionale

(liniare). Cele mai importante defecte unidimensionale sunt dislocaţiile. La formarea

unei dislocaţii se cheltuieşte un lucru mecanic care se înmagazinează sub forma

energiei de deformare a reţelei cristaline în jurul liniei de dislocaţie. Prezenţa

dislocaţiilor influenţează atât proprietăţile mecanice cât şi pe cele electrice, deoarece

produc împrăştierea electronilor.

Fig.2.5. Dislocaţii în cristale: a) Ilustrarea modului de producere a unei dislocaţii marginaleprin deformarea cristalului; b) Dislocaţie marginală; c) Dislocaţie elicoidală; d) Microfotografieelectronică prin transmisie a buclelor de dislocaţie din Ni.

Dislocaţie marginală.

Fig.2.5.a) şi b) arată un cristal simplu în care lunecarea se produce pedistanţă atomică. Frontiera dintre regiunea lunecată şi cea nelunecată se numeşte

dislocaţie. Poziţia ei este marcată prin terminaţia unui semiplan vertical excedentar

de atomi intercalat în regiunea superioară a cristalului. Dislocaţia simplă de margine

se întinde indefinit în planul de lunecare într-o direcţie perpendiculară pe direcţia de

lunecare.

În Fig.2.5.a) este prezentat mecanismul răspunzător de mobilitatea dislocaţiei.

Mişcarea unei dislocaţii de margine prin cristal este analoagă trecerii unei cute sau aunei încreţituri de-alungul unui covor. Trecerea cutei este echivalentă cu alunecarea

27



întregului covor pe podea. Dacă atomii de o parte a planului de alunecare se mişcă

faţă de cei de pe celaltă parte, atunci atomii din planul de alunecare vor suferi forţe

de respingere de la anumiţi vecini şi forţe de atracţie de la alţi vecini în lungul

planului de alunecare. Aceste forţe se anihilează în primă aproximaţie.

Tensiunea exterioară necesară pentru a mişca o dislocaţie este foarte mică,

sub 105dyn/cm2, cu condiţia ca forţele de legătură din cristal să nu fie direcţionale în

mod pronunţat. Trecerea unei dislocaţii prin cristal este echivalentă cu o deplasare

de lunecare a unei părţi a cristalului.

Dislocaţia elicoidală

O imagine a unei dislocaţii elicoidale este prezentată în Fig.2.5.c). O

dislocaţie elicoidală marchează frontiera dintr partea alunecată şi cea nealunecată a

cristalului. Frontiera este paralelă cu direcţia de alunecare, spre deosebire de cea

marginală unde frontiera era perpendiculară pe direcţia de alunecare. Dislocaţia

elicoidală transformă planele succesive de atomi în suprafaţa unei elice.

Vectorul Burgers. Diferitele forme de dislocaţii pot fi construite din segmente

de dislocaţii marginale şi elicoidale. Burgers a arătat că forma cea mai generală a

unei dislocaţii liniare dintr-un cristal poate fi descrisă ca în Fig. 1.20. a). Se consideră

o curbă închisă oarecare în interiorul cristalului, sau una deschisă care se termină pe

suprafaţă cu ambele extremităţi. Se face o secţiune în lungul unei suprafeţe simplelegate de linie şi se deplasează materialul de pe o parte a acestei suprafeţe cu un

vector b în raport cu cealaltă parte. Vectorul b se numeşte vector Burgers. În

regiunile unde vectorul b nu este paralel cu suprafaţa de secţiune, această deplasare

va produce un interstiţiu sau va suprapune două jumătăţi. Deformaţia rezultantă este

cea a dislocaţiei, caracterizaă în ansamblu de curba de frontieră a vectorului Burgers

(Fig.1.20.b)). Vectorul Burgers trebuie să fie egal cu un vestor al reţelei pentru ca

procesul de relipire să menţină cristalinitatea materialului. Vectorul Burgers al uneidislocaţii este paralel cu linia de dislocaţie în cazul dislocaţiei elicoidale şi este

perpendicular pe linia de dislocaţie în cazul dislocaţiei marginale.

28



Fig.1.20. Vectorul Burgers: a) Metodă de formare unei bucle de dislocaţii; b) Vectorul

Burgers care închide bucla.

Densitatea dislocaţiilor este numărul liniilor de dislocaţie care intersectează o

unitate de arie din cristal. Densitatea variază de la 102 până la 103 dislocaţii/cm2 în

cristalele de Si şi Ge cele mai bune şi ajung la 10 11 - 1012 dislocaţii/cm2 în cristalele

metalice deformate puternic. Printre metodele utilizate pentru evaluarea dislocaţiilor

amintim: microscopia electronică, transmisia de radiaţie X, reflexia de radiaţie X, prin

corodare.

Multiplicarea dislocaţiilor şi alunecarea.

Vacanţele care precipită în lungul unei dislocaţii de margine existente vor

consuma o parte din semiplanul excedentar de atomi şi vor determina dislocaţia să

se caţere, miţcându-se pe direcţii perpendiculre faţă de direcţia de alunecare. Dacă

nu există nici o dislocaţie, cristalul va deveni suprasaturat în vacanţe iar precipitarea

lor în plăci de vacanţe de forma unei monede poate fi urmată de ciocnirea plăcilor şi

formarea unor inele (bucle) de dislocaţii, care cresc o dată cu continuarea precipitării

vacanţelor (Fig.2.5.d)).

Bucla de dislocaţie înconjoară o suprafaţă de alunecare. Ea trebuie să fie în

parte dislocaţie marginală şi dislocaţie elicoidală. Deoarece energia de deformare a

buclei descreşte proporţional cu circumferinţa ei, bucla tinde să se strângă. Dacă

însă acţionează o deformaţie de forfecare, care favorizează alunecarea, bucla tinde

să se extindă. Un segment de dislocaţie fixat la ambele capete se numeşte sursă

Frank-Read şi poate duce la generarea unui mare număr de bucle de dislocaţie,

concentrice într-un plan de alunecare.

29



2.3.3. Defecte de suprafaţă

Limitele de grăunţi sunt defecte bidimensionale care apar într-un agregat

policristalin şi reprezintă regiunea de trecere de la grăunţii (cristalite) cu o anumită

orientare cristalină la alţi grăunţi cu o orientare diferită. Limitele dintre grăunţi sunt

caracterizate printr-o energie superficială mare. La limita de grăunte apar procese ca

difuzia şi transformările de fază (Fig.2.6). În Fig.2.6.c) este prezentă o imagine de

microscopie electronică în înaltă rezoluţie (HRTEM) a zonei limitei de grăunţi.

Sublimitele sunt defecte bidimensionale care apar în interiorul aceluiaşi

grăunte cristalin, ca urmare a faptului că reţeaua se abate pe mici domenii de la

forma ei ideală. Se obţin de regulă în timpul deformării materialului la temperaturi

înalte şi ca rezultat al transformărilor de fază. O reţea alcătuită din sublimite poartă

denumirea de substructură.

limita de grăunte imagine HRTEMFig.2.6. Limite de graunţi

2.4. Structuri amorfe

2.4.1. Funcţia de distribuţie radială

Structurile materialelor amorfe nu pot fi descrise cu modelul teoretic ales

pentru materialele cristaline. Deoarece materialele amorfe nu prezintă periodicitate la

mare distanţă şi de aceea o descriere precisă necesită o listare a tuturor poziţiilor

atomice. În locul acestei listări se foloseşte o distribuţie medie a atomilor relativ la un

atom central, sau atom de referinţă. Distribuţia medie este dată de ceea ce estecunoscut ca funcţie de distribuţie radială.

30



Pentru a arăta semnificaţia fizică a funcţiei de distribuţie radială se presupune

un solid amorf care constă din atomi de un singur tip şi vom descrie cum poate fi

evaluată funcţia dacă se cunosc toate poziţiile atomilor. Mai întâi, alegând un atom

de referinţă, se calculează concentraţia n(r) a centrelor atomilor dintr-un strat sferic,

care se extinde de la r până la r + ∆r, măsurat de la centrul atomului de referinţă, şi

se împarte numărul de atomi cu centrele în strat la volumul stratului. Procesul se

repetă folosind un alt atom de referinţă. În general, rezultatele sunt diferite de la atom

la atom, deoarece spre deosebire de cristal, distribuţia atomilor nu este aceeaşi în

jurul fiecărui atom. Se calculează valoarea medie a lui n(r) pentru sistemul de atomi

şi la final se face limita pentru ∆r foarte mic. Calculând ( )rn a atomilor situaţi la

distanţa r de un atom se poate defini funcţia de distribuţie radială( ) ( )r nr 4r 2π ρ = (1.9)

Bineînşeles că, deoarece materialul conţine un număr mare de atomi,

procesul descris nu poate fi efectuat. S-au construit modele de structuri amorfe ce

conţin câteva sute de atomi şi folosind computerul s-a evaluat funcţia de distribuţie

radială. Pentru solidele amorfe actuale s-au găsit funcţiile radiale folosind tehnicile cu

radiaţie X.

Există două situaţii limită: cristalul complet ordonat şi distribuţia aleatoare aatomilor.

Să considerăm mai întâi funcţia de distribuţie radială pentru un cristal cu

structura cubică cu feţe centrate, cfc. Dacă muchia cubului este a, atunci în jurul

fiecărui atom sunt 12 alţi atomi, la o distanţă 2 / a , şase se găsesc la distanţa a, 24

la distanţa a2 / 3 , etc. Dacă ne imaginăm un strat sferic extrem de îngust, centrat

pe unul din atomi şi dacă socotim numărul de atomi cu centrele în acest strat,

rezultatul va fi zero cu excepţia stratului care se găseşte la o distanţă egală cu

distanţele de separare interatomică ale structurii cfc. Pentru aceste distanţe,

concentraţia creşte. Un număr finit de atomi se vor găsi în aceste straturi, volumul

tinzînd la zero când ∆r descreşte. De exemplu, n(r) = 0 pentru r cuprins între 0 şi

2 / a şi devine infinit pentru r = 2 / a . După cum se poate vedea din Fig.2.6.a)

funcţia de distribuţie radială constă dintr-o serie de maxime localizate la diferite

distanţe interatomice şi este zero înte aceste maxime.

31



La cealaltă etremă, dacă centrele atomice sunt distribuite aleatoriu în material

concentraţia medie n nu depinde de r. Indiferent de valoarea lui r, numărul de

perechi de atomi separate printr-o distanţă dată este aceeaşi cu numărul de perechi

de atomi separate prin orice altă distanţă. Concentraţia medie este aceeaşi cu

concentraţia macroscopică n0 de atomi din solidşi este egală cu număril total de

atomi împărţit la volumul solidului. Pentru o distribuţie aleatorie

( ) 02nr 4r π ρ = (2.6)

Funcţia este reprezentată grafic în Fig.2.6.b). Observăm că pentru o distribuţie

aleatorie, ( )r ρ este foarte mică la valori mici ale lui r deoarece poziţiile atomice din

solidul real sunt excluse din vecinătatea imediată a altor poziţii de către repulsia

dintre miezurile ionice ale atomilor şi ( )r ρ =0 pentru o distantanţele de separareapropite de r=0.

Fig.2.6. Funcţia de distribuţie radială: a) Structură cfc. Distanţa de la atomul de referinţă estedată în unităţi ale muchiei cubului. Funcţia constă dintr-o serie de linii infinite pentruseparările interatomice. b)Solid perfect amorf cu o concentraţie de atomi 2,55x1028atomi/m3.c) Metal amorf. Abaterile de la curba amorfului perfect indică ordine la mică distanţă

O funcţie de distribuţie corespunzătoare unui solid morf este przentată în

Fig.2.6.c). Forma generală a curbei tinde să urmărească funcţia de distribuţie radială

corespunzătoare distribuţiei aleatorii. La valori ale lui r mari curbele aproape sesuprapun. La valori mici ale lui r funcţia diferă semnificativ de cea corespunzătoare

distribuţiei aleatorii, prezentând aspecte asemănătoare cu cea corespunzătoare

solidului cristalin. Funcţia devine zero pentru valori mici, nenule ale lui r, indicând că

există o distanţă pentru vecinii cei mai apropiaţi. La valori mari ale lui r, funcţia constă

dintr-o serie de picuri analoage celor observate pentru solidul cristalin. Picul care

apare la cele mai mici valori a lui r corespunde distanţei dintre vecinii cei mai

apropiaţi. De data aceasta picurile au intensitate finită şi lărgimi nenule. Pe măsurăde r creşte, picurle devin tot mai largi şi mai puţin intense, Acest fapt arată că

32



materilele amorfe prezintă ordine la mică distanţă dar nu rezintă ordine la mare

distanţă aşa cum au cristalele. Poziţiile picurilor indică separarea interatomică

dominantă. Lărgimile picurilor prezintă şi ele interes. Un pic foarte îngust indică faptul

că aproape toţi vecinii cei mai apropiaţi se găsesc la aceeaşi distanţă în timp ce un

pic larg arată o un domeniu larg de variaţie a distanţelor până la vecinii cei mai

apropiaţi. Numărul de picuri este o măsură a domeniului de ordine a structurii. Dacă

există mai multe picuri rezolvate, structura este ordonată la distanţe mari de atomul

de referinţă. Dacă însă sunt vizibile puţine picuri structura este ordonată doar la mică

distanţă.

Funcţia de distribuţie radială poate fi utilizată pentru a găsi numărul mediu de

atomi dintr-un anumit strat sferic. Numărul mediu de atomi cu centrele în domeniul

cuprins între r 1 şi r 2 este dat de

( ) τ d r n N

2

1

r

r

∫ = (2.7)

unde dτ este un element de volum infinit mic. Deoarece ( ) ( ) ( 2r 4 / r r n π ρ = şi

τ π τ d r 4d 2=

( )dr r N

2

1

r

r

∫ = ρ (2.8)

Integrala se efectuează pe primului pic al funcţiei de distribuţie radială, N

reprezentând numărul mediu de vecini cei mai apropiaţi de un atom din solid.

Deoarece funcţia de distribuţie raială dă separarea medie a vecinilor cei mai

apropiaţi, ea poate fi utilizată pentru estimarea fracţiunii de împachetare pentrusolidul amorf.

Înlocuind atomii cu sfere de rază R, unde R este jumătate din valoarea lui r

pentru primul pic al funcţiei. Dacă n0 este concentraţia macroscopică a atomilor din

solid, vor fi N = n0τ atomi în volumul macroscopic τ. Volumul inchis de sfere va fi

( ) ( ) 30

3 R3 / 4n R3 / 4 N π τ π = , iar factorul de împachetare va fi

30 Rn34 F π = (2.9)

33



34

partea i-structura si dinamica reteleicap.1şi2

Documents