parte i formulação integral das equações de transporte de
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Parte I
Formulação Integral
das Equações de Transporte de
Massa e Quantidade de Movimento
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As leis físicas e o conceito de sistema• “As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. Elas são a expressão de uma ordem racional do mundo“; Max Planck
• As leis físicas foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas (massa) com identidade fixa.
• No sistema não há fluxo de massa na fronteira, mas pode haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua fronteira.
• No volume de controle é uma região do espaço onde massa, forças e energia podem cruzar a fronteira.
• O tópico de hoje é descrever as eqs. massa, quantidade de movimento e energia baseadas em sistema a partir de uma análise baseada em volume de controle.
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Propriedades de sistemas
Um sistema pode ser caracterizado pela sua Massa, Quantidade de Movimento Linear, Energia, Entropia, entre outros parâmetros.
0Dt
DM
sis
ext
sis
FDt
VMD
WQ
Dt
ED
sis
S
sis
PT
Q
Dt
SD
Variação da Massa de um sistema é, por definição, nula:
Variação da Quant. de Movimento de um sistema - 2a lei de Newton
Variação da Energia de um sistema - 1a Lei da Termodinâmica
Variação da Entropia de um sistema - 2a Lei da Termodinâmica
Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.
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Forma genérica
• Se considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema,
sua variação pode ser expressa genericamente por:
SDt
DB
sis
• S representa um termo fonte adequado para o fenômeno que B
pode representar: massa,M; quantidade de movimento, MV;
energia,E; etc.
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Propriedade não-uniformes
• A propriedade genérica B (massa, q. movimento, energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme no espaço.
• Ela pode ser convenientemente avaliada definindo-se uma propriedade intensiva como:
m
Blim
0m
• O termo do lado direito representam um termo fonte que varia em função do tipo de fenômeno ele representa. Para constituirmos as equações da massa, quantidade de movimento, energia etc devemos especificar a natureza dos termos fonte.
sis sis sis
DB D Ddm d S
Dt Dt Dt
• De tal forma que a taxa de variação de B no sistema pode ser determinada por:
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Equação da Massa para um Sistema
• A equação da Massa é obtida fazendo-se =1,
• Note que não há termo fonte de massa, pressupõe-se na ausência
de efeitos nucleares.
0dDt
D
sis
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Equação da Q. Movimento para um Sistema
• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se = V,
• As forças externas são dividas em forças que agem na fronteira
do sistema, Tensões T (natureza tensorial), e forças de campo que
agem no volume do sistema .
extF
Asis
dgndAdVDt
DT
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Equação da Energia para um Sistema
• A equação da Energia é obtida fazendo-se =e, onde ‘e’ ainda não
especificada neste estágio,
• Q e W só existem na fronteira do sistema, o calor é exclusivamente
devido a condução térmica e o trabalho é aquele realizado pelas
tensões que atuam na fronteira.
• O último termo refere-se a geração volumétrica de energia no interior
do volume (reação química, dissipação efeito joule, etc)
dqdAVndAnqed
Dt
D
W
A
Q
Ak
sis
T
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2a Lei para um Sistema
• A 2a Lei é obtida fazendo-se = s,
• O primeiro e segundo termo referem-se a produção ou destruição de
s devido a transferência de calor na fronteira e devido a geração de
energia internamente ao volume.
• O último termo refere-se a produção de entropia devido as
irreversibilidades do sistema, Ps 0.
A
k
sis
PsdT
qdAn
T
qsd
Dt
D
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Sumário Equações de Transporte p/ Sistema
sis
Dd S
Dt
A
k
sis
PsdT
qdAn
T
qsd
Dt
D
dqdAVndAnqed
Dt
D
W
A
Q
Ak
sis
T
0dDt
D
sis
extF
Asis
dgndAdVDt
DT
1
V
e
e
Forma genérica
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• Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para
partículas e corpos rígidos.
• No entanto encontra-se dificuldade para aplicá-los em corpos que se
deformam continuamente (FLUIDOS)!
• Veja se você conseguiria identificar, em qualquer instante de
tempo, todas as partículas de fluido que compõem o sistema ao
entrar em um reator com agitação, transferência de calor e trabalho:
Aplicação do conceito de sistema
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sistema
Q W
m1
m1
sistema
Q W
m1
m1
Instante: t0
Instante: t0+t
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• Fluidos (gases ou liq.), que se deformam
continuamente, não é possível realizar uma análise
seguindo um sistema!
• É mais simples se ater a uma região no espaço
(Volume de Controle) e utilizar o conceito de
campo (ref. Euler) onde massa, quantidade de
movimento e energia são definidas no espaço e no
tempo.
• O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR)
permite que se calcule a taxa de variação de uma
propriedade seguindo um Sistema (conceito
Lagrangano) a partir do conceito de campo aplicado
aoVolume de Controle (conceito Euleriano)!
Sistema x Volume de Controle
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O Volume de Controle
• O Volume de controle, V.C. , é uma região do espaço onde se deseja realizar
determinar o campo das propriedades (P, T, V, e etc) – um conceito Eueriano.
• A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de Controle,
S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C.
• O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço;
fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;
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Teorema de Transporte de Reynolds
• Ele descreve a variação da propriedade seguindo o sistema em
termos de propriedades medidas no Volume de Controle.
VC SC
rsis
dAVndVdt
dd
Dt
D
• A variação da propriedade B do sistema é igual a variação de
B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C.
• O T.T.R. utiliza uma informação de campo (Euler) para
avaliar a taxa de variação da propriedade seguindo o sistema
(Lagrangeana).
• onde Vr é a velocidade relativa do fluido em relação a fronteira,
Vr = Vf - Vb
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Demonstração do
Teorema de Transporte
de Reynolds
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Teorema de Transporte de Reynolds
( t0 ) (t0 + dt)
system control volume
I II
III
• No instante t0 a superfície de controle é coincidente com a
fronteira do sistema.
• No instante t0+dt o sistema ‘deixa’ parcialmente o V.C. A região III
está fora do V.C.; a região II ainda está dentro do V.C.; e a região I é
preenchida por outro sistema.
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Teorema de Transporte de Reynolds
d
d
d
d
d
d
dddd
dd
t
B
t
B
t
BBB
0t
Lim
t
BBB
0t
Lim
dt
dB
ttI
ttIII
tttII
ttI
tttII
ttIII
sys
( t0 ) (t0 + dt)
sistemavolumecontrole
I IIIII
A taxa de variação sistema é escrita na 1a linha.
Adicionando e subtraindo BI/dt ;
Passa representar taxa de variação no V.C.
Identificação do sistema no instante (t0 + dt) = (II) +(III).
Identificação do V.C. no instante (t0 + dt) = (I) + (II).
Resta agora encontrar o significado físico de cada termo.
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Teorema de Transporte de Reynolds
d
d
dd
vol
tttII
ttI dV
dt
d
t
BBB
0t
Lim
• O primeiro termo
representa a taxa
de variação de B
dentro do V.C. ( t0 )(t0 + dt)
sistema volume controle
I II
III
V.C.
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Teorema de Transporte de Reynolds
Os termos BIII/dt e BI/ dt
representam fluxos de B que
cruzam a S.C.
( t0 )(t0 + dt)
sistema volume controle
I II
III
III rdB dm t v n dA t d d
III
r
AreaIIIt 0
t v n dAB
Limt
t
d
d
d
d
I rdB dm t v n dA t d d
I
r
AreaIt 0
t v n dAB
Limt
t
d
d
d
d
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Teorema de Transporte de Reynolds
Os termos BIII/dt e BI/ dt
estão associados,
respectivamente, ao fluxo que
sai e que entra na S.C.. ( t0 )(t0 + dt)
sistema volume controle
I II
III
n
VrSai da S.C.
n.Vr >0
n
VrEntra na S.C.
n.Vr <0
Sabendo que os fluxos que saem e entram na S.C. possuem sinais + e –
devido ao produto escalar entre a normal e a velocidade relativa.
Então podemos agrupar numa
única integral que envolve
toda a S.C.!
III Ir
S.C.
B Bv n dA
t t
d d
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Taxa de variação do sistema escrita em termos de propriedades do Volume de Controle,
.V.C .S.C
rsys
dAVndVdt
d
dt
dB
• A taxa de variação no tempo de B no sistema é igual a taxa de
variação no tempo de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que
cruza a S.C.
• A derivada seguindo o sistema (conceito Lagrangeano) é
determinida para uma região no espaço (conceito Euleriano)
por meio do TTR.
Teorema de Transporte de Reynolds
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Forma Integral das Equações de Transporte • O TTR permite determinar a taxa de variação seguindo o sistema (Lagrange) utilizando propriedades medidas num V.C.
Source
Massa 1 0
Q. Movimento V
1a Lei Termod. e
2a Lei Termod. s
r
VC SC SC VC
Source S
dd n V dA J dA f d
dt
CVCS
dgndA
T
VCSCSC
k dqdAVndAnq
T
SC VC
k PsdT
qdAn
T
q
J e f são fontes
genéricos
associados a SC e
ao VC
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Para resolver problemas usando
Volumes de Controle
1. Faça um desenho esquemático que contenha os principais
fenômenos do seu problema: indique as entradas, saídas, onde há
eixos, onde há transferência de calor etc.
2. Indique um eixo x,y como referencial. Este eixo irá indicar
também as direções onde a velocidade será + ou –
3. Trace uma superfície de controle, S.C.
Faça análise considerando os fluxos que cruzam a S.C.
escolhida, e a taxa de variação das propriedades dentro do V.C. .
Pode parecer ‘estranho’ mas frequentemente os alunos
traçam uma SC mas acabam não analisando as propriedades na SC
escolhida!
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Exemplos de Aplicação
da Conservação da Massa
r
V C S C
dd V n dA 0
dt. . . .
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Ex 1. – Escoamento de água (incompressível) com velocidade uniforme nas seções. Determine a vazão mássica em (3). São conhecidas as áreas em (1), (2) e (3) e as velocidades nas seções (1) e (2) são, respectivamente: U1 e U2 + cos(t).
O balanço de massa fica sendo os
fluxos que entram e saem do VC:
0MAVAV 32211
Comentário: não importa se as velocidades são transientes, não há termo
de acumulação, a vazão instantânea que entra é igual àquela que sai!
Fluido incompressível, = constante
e fronteira não deformável, então o
termo de acumulação é nulo;
x
y
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Ex. 2 – Água escoa em regime permanente através de uma placa
porosa, avalie a vazão da massa na seção bc se o perfil de velocidades
na seção cd é:
• Trace uma superfície de controle
5,1y
2y
3U
u
d
d
m=?
• Aplique o balanço de massa para R.P.
0dAnV.C.S
r
0mdxwVdywyudywU bc
L
000
dd
• Calcule os fluxos em cada face da S.C.:
71 0
10bc
w
V LU w m
U
d
d
s/kg42,1mbc Note que mbc>0, portanto o fluxo de massa cruza a S.C. para fora!
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Ex. 3 – Um tanque de volume fixo contém salmoura, com densidade
inicial i. Água pura (dens. A) entra no tanque e mistura-se
perfeitamente com a salmoura. Determine uma expressão para a taxa de
variação da densidade da salmoura m com o tempo.
• Trace uma S.C.
• Crie um referencial
x
y• Balanço de massa: como há uma
mistura ‘perfeita’, a densidade média
no volume é igual àquela da saída,
m então:
0QQ
dt
dmA
m • Como vol. const., então a vazão
volumétrica na entrada e saída são
iguais a Q
0dAnVddt
d
.C.Sr
.C.V
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Ex. 3 – continuação
• Separando os termos vamos ter:
• Integrando,
x
y
• Onde ri é a concentração inicial.
• Reconhecendo que V/Q é a constante de tempo, t, a razão das
densidades pode ser então representada por:
dt
Qd
Am
m
tQ
Ai
Am e
t
Ai
Am e
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Ex. 3 – continuação
• Qual é a relação entre a densidade da
salmoura e a concentração volumétrica
do sal?
Reconhecendo que as densidades
do sal e da água pura são: rs e rA,
então a densidade da mistura é:x
y
onde C é a concentração volumétrica do sal, isto é, a razão entre
o volume que ele ocupa e o volume da mistura,
C1C ASm
aguasal
salC
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Fronteira Deformável e
Uso da regra de Leibniz
Exemplos de Aplicação
da Conservação da Massa
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Ex. 4 – Um acumulador hidráulico reduz os pulsos de pressão acumulando ou descarregando óleo no seu interior. Considerando que a vazão instantânea de óleo que entra é Q e que a velocidade instantânea de saída é V numa área A, determine a taxa a qual o acumulador ganha ou perde óleo.
0AVQdtd
A taxa de acumulação é:
1. Trace uma superfície de controle
2. Crie um referencial
3. Aplique o balanço de massa
ar
Q V,
Ax
y
Fronteira
fixa
Fronteira
deformável
0dAnVddt
d
.C.Sr
.C.V
AVQdt
d
ou,onde é o volume de líquido no acumulador
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Como eu aplico o T. Leibnitz em Mec Flu?
• onde Vb é a velocidade da fronteira.
• A derivada da integral do volume deformável é igual:
dAnVd
td
tDeformávelFronteira
btt
• Veja demonstração do Teorema de Leibniz no Apêndice I.
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Ex.4 revisitado
A velocidade da fronteira pode ser
determinada a partir do balanço de massa:
b
b r
t Fronteira S.C.Deformável
VA Q0V A
0 d V n dA V n dAt
ar
Q V,
Ax
y
Fronteira
fixa
Fronteira
deformável Vb
AVQdt
d
Note que o fluxo de líquido
na fronteira é igual a taxa de
variação do volume de
líquido no acumulador!
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Como fica o T.T. R. usando Leibniz?
dAnVdAnVdtdt
dB
.C.Sr
V.C. no B Variação Taxa
DeformávelFronteira
btSISTEMA
A relação entre as velocidades relativa, do fluido e da fronteira é dada
pela relação Vr = Vf - Vb .
Usando esta informação pode-se escrever que a taxa de variação do
sistema em função da velocidade do fluido, Vf, medida do referencial
do problema:
Esta forma é utilizada para se chegar na forma diferencial da
equação de quantidade de movimento e N-S.
f
SISTEMA V C S C
dBd V n dA
dt t
. . . .
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Conservação da Quantidade de Movimento
2ª Lei de Newton
Para fins didáticos os termos dos lados direito e esquerdo
serão determinados separadamente.
Em sequencia é apresentado a equação de quantidade de
movimento.
ext
sist
DVd F
Dt
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Determinação da Taxa Variação da
Quantidade de Movimento do
Sistema
sist
DVd
Dt
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A 2a Lei de Newton
• Para referenciais NI é necessário relacionar a aceleração do
referencial NI (xyz) a um referencial estacionário (XYZ).
ext
XYZ
sistema Fdt
Vmd
sistema
ext rel
xyz
d mVF m a
dt
• A variação de quantidade de movimento de um sistema é igual a
somatória das forças externas desde que o referencial seja Inercial.
• Nesta seção vamos estabelecer uma relação para a taxa de variação de
quantidade de movimento medida de um ref. N.I. e o termo de
aceleração relativa
sistema
rel
xyz
d mVe m a
dt
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O que é um Ref. Inercial e Ref. Não-Inercial?
• Um referencial é inercial se ele não tiver aceleração em relação a um referencial ‘estacionário’.
• Um referencial NI é aquele que pode apresentar aceleração linear, angular, centrífuga ou de coriolis em relação a um referencial ‘estacionário’
• Exemplos de referencial NI e I:
• 1. ref. seguindo VC que acelera em relação ref. Estacionário;
• 2. ref. seguindo VC que descreve um arco de curva;
• 3. ref. Seguindo VC que se desloca com velocidade constante em relação a um ref. Estacionário , este é Inercial!
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Posição Relativa
• O ref (xyz) gira com e é localizado pelo vetor posição R.
• A posição do sistema PXYZ = R + r
O problema fundamental é estabelecer a aceleração relativa do
referencial NI a um estacionário.
X
Y
Z
y
x
z
R
Pr
sistema
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A aceleração Inercial , aXYZ, é composta por duas parcelas:
(1) axyz : acel. do sistema medida do referencial N.I.,
(2) arel: termo de aceleração relativa devido rotação e aceleração do referencial (xyz) em relação ao estacionário,
XYZ xyz rel a a a
Aceleração Inercial x Não-Inercial
2 2rel xyz
Translação Rotação Centrífuga Coriolis
a d R dt d dt r r 2 V
• O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do referencial N.I.
• O termo (2) possui 4 parcelas : (i) aceleração linear e (ii) aceleração
devido a rotação do referencial:
• Veja demonstração de arel no Apêndice II.
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A taxa de variação da Q. Movimento• As velocidades são medidas do referencial (xyz),
• Sendo que os dois primeiros termos do lado direito representam
a aceleração medida do referencial NI (x,y,x) e o 3º termo
corresponde à aceleração relativa, arel , devido a aceleração
linear e a rotação do referencial NI ; arel é definida abaixo.
• Do referencial NI (x,y,x) só é possível medir axyz, é necessário
adicionar uma aceleração relativa que somadas corresponderão à
aceleração de um referencial Inercial, aXYZ.
xyz r xyz rel
sist V.C. S.C. V.C.
D dVd V d n V V dA a d
Dt dt
2
rel xyz2
d R da r 2 V r
dt dt
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Determinação dos termos fonte da
equação de quantidade de
movimento
extF
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• As forças externa podem ser representadas por:
– Forças que atuam na Superfície de Controle ( Pressão e Tensões viscosas)
– Força campo, neste caso devido aceleração da gravidade
– Força mecânica caso a S.C. cruze uma fronteira sólida
Forças externas atuantes no sistema
CAMPO
V.C.
SUP
S.C. S.C.
MEC
F gd ; atua em todo o V.C.
F n p dA n dA; atua somente na S.C.
F um eixo ou barra cruza a S.C.
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Como fica a Eq. da Massa para ref. N.I.?
• Nada muda!
r
sys V.C. S.C
dM dd n V dA 0
dt dt
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Como fica a eq. da q. movimento?As velocidades são medidas do referencial (xyz),
onde a aceleração relativa, arel é,
xyz r xyz CAMPO SUP MEC rel
V.C. S.C. V.C.
dV d n V V dA F F F a d
dt
2
rel xyz2
d R da r 2 V r
dt dt
CAMPO
V.C.
SUP
S.C. S.C.
MEC
F gd ; atua em todo o V.C.
F n p dA n dA; atua somente na S.C.
F um eixo ou barra cruza a S.C.
FMEC surge toda vez que a S.C. cruza um material sólido, veja os
Exemplos #5, #7 e #10.
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Casos Especiais de arel
• 2. Sistemas N.I. somente com aceleração linear ( = 0):
1. Sistemas N.I. caso Geral:
3. Sistemas N.I. com rotação constante apenas (d2R/dt2 = 0):
rel xyza 2 V r
2 2rel refa a d R dt
2
rel xyz2
d R da r 2 V r
dt dt
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O termo de aceleração de
Coriolis…
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VV
A aceleração de Coriolis: acor = -2xVxyz
• Os termos de aceleração retilínea, rotação e centrífugo são familiares;
porém o termo de Coriolis não!
• O termo de Coriolis faz surgir uma aceleração perpendicular ao
plano definido pelos vetores vel. e rotação.
• Com a mão direita você coloca os dedos na direção de , levando a
palma em direção a V, o sentido é determinado como mostrado na
figura.
2 V
V2
. .
2V
V2
.
.
Link you tube 1 Link you tube 2
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A aceleração de Coriolis• Um jato de líquido num vaso cilíndrico sem e com rotação
descreverá trajetórias diferentes devido ao termo de Coriolis
Sem rotação: trajetória retilínea Com rotação: trajetória curva
2V
V
V2
Vista lateral tanque
Assista (coloque em 4’20”) Rotating Flows
V2
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EXEMPLOS
Eq. da Quantidade de Movimento
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2
12 1 1 atm x
dm V V P P F
4
Fx<0
Veja no link: força de reação
de jato de água, causada por
um bocal, é capaz de levantar
um carro.
Ex. 5
C.S.
(1) (2)Patm
PatmPatm
P1
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xx
C.S.
(1) (2)
V1
V2
C.S.
(1) (2)Patm
PatmP1
Patm
(1) (2)
Fx
Fx
C.S.
x
2
12 1 1 atm x
dm V V P P F
4
f f xout in
C.S.
mV mV n P dA F
Interpretando a S.C. para as velocidades, pressão e forças mecânicas
Fx<0
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Interpretando a S.C para as velocidades, pressão e forças mecânicas
x
C.S.
(1) (2)
V1
V2
x
C.S.
(1) (2)
P1
Pat
m
(1) (2)
Fx=?
Fx =?
C.S.
x
A nova S.C. possui:a mesma interpretação para as velocidades.uma distribuição de pressão diferente, as paredes convergentes participam.não possui Fmec pq não corta superfície sólida!
O balanço de forças na direção x fica sendo:
A escolha da S.C. requer a variação da pressão ao longo do bocal. Como esta informação não está disponível não é possível resolver.
2 1 x
S.C.
m V V P n dA
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Ex. 6 - Determine a força de arrasto em uma placa plana devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A velocidade em (a-b) é uniforme e vale Uo, a velocidade em (c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é atmosférica. L é a largura da placa.
(i) Discuta as diferenças entre a escolha da S.C. a esquerda e a direita:
(ii) Determine a força de arrasto em função do perfil de velocidades na S.C.indicada abaixo.
0
Resp D u U u Ldy
d
Uo
u(y)d
(a)
(b)
(d)
(c)
x
y
S.C.
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Efeitos de Mudança de Direção na
Quantidade de Movimento
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• Ex. 7 – Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de
180o. Na entrada do cotovelo a pressão manométrica é 96 kPa. Água é
descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são
uniformes nas seções de entrada e saída, A1= 2600mm2, A2=650mm2
e V1=3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força
necessária para manter o cotovelo no lugar.
F
1 2 1 1F m V V P A
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Animais com propulsão baseada na
sucção-injeção
Água viva (jellyfish)
filme
Polvo (octopus)
filme
Efeitos de Sucção e Injeção na Quantidade
de Movimento
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SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme)
Diferenças
Área de
baixa
pressão Área de
pressão
atmosf
Área Baixa Pressão: linhas de corrente radiais em sentido ao centro.
Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas a pressão atmosférica.
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Referencial Não Inercial
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Ex.8 - O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo
jato horizontal (Vj, Aj e ) que possui velocidade constante. A pista é
horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao
movimento. Determine a velocidade e a aceleração do carro em função
do tempo.
Resposta:
m =VjAj
mVj = (M0 - mt).dU/dt
U/Vj = -Ln[1-t*] onde t* =t/ e = (M0/m)
UM0Vj
Aj
Obs.: Vj é a velocidade do
jato para um observador
que se move com o carro
Ref N.I.
Z
XRef. I.
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Ex.9 - O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r).
O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o. Determine a
velocidade e a aceleração em função do tempo.
U
MVj
Aj
X
Z
S.C.1
2
1. S.C. não deformável, mas S.C. desloca com velocidade U(t);
2. A vel. relativa da fronteira e a vel. medida do ref. N.I. são iguais: Vr = Vxyz
Resposta:
-2(Vj – U)2.Aj = -M.dU/dt
U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e = (M/2)/(AjVj)
Ref N.I. -> U
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Efeitos de Superfície Livre na Quantidade de
Movimento
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Ex.10 - Calcule a força de reação, R, por unidade de largura em uma comporta. O
escoamento de água a montante da comporta possui velocidade uniforme U1 e uma
lâmina d’água com altura h1. A jusante da comporta a velocidade da água é U2 e altura
da água é h2. A superfície livre da água está em contato com a atmosfera, que está a
pressão Po. Indique claramente na figura sua escolha da superfície de controle.
Expresse a velocidade U1 em função das demais variáveis. Despreze a força de atrito
na análise.
Dica: não se esqueça de contabilizar a distribuição de pressão hidrostática que atua
da superfície livre até ao fundo do canal.
U1
U2
h1
h2
Po
X
Z
g
R
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U1
U2
h1
h2
Po
X
Z
g
R
2 2 1 1
2 22 2 1 22 2 1 1
2 2
1 22 2 2 1 1 1
mm
m U h U h -------------------------------------------------- massa
h hU h U h R g g --------------------- q. movimento
2 2
h hR U U h U U h g g -------
2 2
2
2
1 22 1
1
22
2 1 22
1 1
rearranjo q. mov + massa
h hR m U U g 1 --------------------- rearranjo q. mov
2 h
h h hR mU 1 g 1 ------------------ rearranjo q. mov + massa
h 2 h
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FIM
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Apêndice I
Demonstração do Teorema de Leibniz 1D
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Teorema de Leibniz Representação Gráfica
f
x
f(x,t+dt)
A(t+dt) B(t+dt)
2
8
3
10
1
6
4 f(x,t)
f(A) f(B)
A(t) B(t)
7 9
5
tdt
dAd
tt
fd
tdt
dBd
4,3,2,1áreadxtt
t,xftB
tA
d
10,9,5,4áreatdt
dBt,Bf d
8,7,6,1áreatdt
dAt,Af d
Agrupando os termos e fazendo dt->0, tem-se:
B t
A t
f x t dxt
, dt
dAt,Af
dxt
t,xftB
tA
dt
dBt,Bf
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Extensão 3D do Teorema de Leibniz
• A(t) e B(t) passam a ser volumes deformáveis dependente do tempo t.
• dA/dt e dB/dt são as vazões volumétricas que cruzam a fronteira
devido a deformação da fronteira
• A função f = para eq. massa; f = V para eq. Q. Movimento etc
• Os termos f(B)dB/dt - f(A)dA/dt passam a ser a massa ou a q.
movimento que cruza a fronteira representado na integral de superfície
dt
dAt,Af
dt
dBt,Bfd
t
t,xfdxt,xf
tdt
td tB
tA
tB
tA
Teorema de Leibniz 1D
dAnVd
td
tDeformávelFronteira
btt
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Apêndice II
Dedução Aceleração Não Inercial
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Posição Considere:
i. (Z,Y,Z) referencial FIXO ou inercial
ii. (x,y,z) referencial não inercial, NI (girando e transladando)
iii. A posição do sistema, ponto P, é definida por:
r` R r
X
Y
Z
y
x
z
R
r’r
sistemaP
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Relações entre velocidades
A velocidade absoluta, ref (XYZ), é dada pela soma de:
1) velocidade de translação do ref. (xyz) -> dR/dt
2) velocidade de translação sistema em relação ao ref (xyz) -> dr/dt
3) velocidade de rotação do ref (xyz) -> wxr
X
Y
Z
y
x
z
R
r’r
sistema
NINII
dr` dR drr
dt dt dt
O ref. NI somente gira com
NII
dr` drr
dt dt
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As relações entre velocidades
Vel. ref. FIXO,--------------------------------
Vel. translação do ref. NI------------------
Vel. rel. . eixos rotativos, ref. NI ---------
Vel. angular dos eixos rotativos---------
Vel. devido a rotação dos eixos---------
XYZ
Re f
xyz
V dr` dt
V dR dt
V dr dt
r
XYZ Ref xyz
0 componentes associadasa rotacao do referencial
V V V r
X
Y
Z
y
x
z
R
r’r
sistema
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Relação entre derivadas para sistemas com rotação
• Para sistema sem deslocamento linear, dR/dt = 0
então a relação das velocidades passa a ser: NII
dr` drr
dt dt
A expressão é generalizada para qualquer vetor
q que relaciona a medida do ref. Inercial com
aquela do ref. Não Inercial,I NI
dq dq q
dt dt
O vetor q pode variar o módulo e/ou direção p/ causar um dq/dt. Os
1º e 2º termos aplicam-se ao módulo e direção.
• Veja mais detalhes em Classical Dynamics, 5th ed, Thornton
and Mario, Thomson books
Como r’ = R + r e R é constante então:I NI
dr drr
dt dt
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Cálculo da aceleração, ref NI com rotação
• As derivadas associadas à rotação do
referencial são calculadas pela relação, devido
à mudança de direçãoI NI
dq dq q
dt dt
xyzXYZ
NII NI
dV d rdV
dt dt dt
XYZ Ref xyzV V V r
NI NII
d r d drr
dt dr
t dt
NI NII
d r d drq r ,
dt dtr
dt
Aplicando a regra
da cadeia
nulo
xyz
d r V r
dt
xyz xyzXYZ
xyz xyz xyz
I NI NI
dV dVdVq V , + V = + V
dt dt dt
1º termo
2º termo
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A 2ª lei de Newton 2ª Lei Newton, F = ma, é válida somente para um referencial FIXO:
xyzRefXYZ
I
I I I
dVdVdV d r
dt dt dt dt
FIXO
xyzRefXYZxyz xyz
I I NI dr dt
dVdVdV dV r V r
dt dt dt dt
2
XYZ xyz xyz2
d R da a r r 2 V
dtdt
Usando o resultado do slide anterior:
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• A aceleração Inercial , aXYZ, é composta por duas parcelas:
– (1) acel. devida a variação Q. Mov medida do referencial N.I., axyz
– (2) termo de aceleração relativa entre referenciais, arel:
XYZ xyz rel a a a
Aceleração Inercial x Não-Inercial
2
rel xyz2
aceleracao devido rotacao referencial NI
d R da r r 2 V
dtdt
O termo (1) é a aceleração medida do referencial N.I., axyz
O termo (2) arel é a aceleração relativa! Ele tem duas parcelas: (i)
aceleração linear do referencial d2R/dt2 e (ii) aceleração devido a
rotação do referencial:
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Apêndice III
Problemas Extras
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Exemplo– Um pistão de área Ap desliza num cilindro com velocidade Vb. Na
extremidade oposta do cilindro há uma abertura de área A. Determine a
velocidade de saída do jato. Considere o fluido incompressível.
• Trace uma superfície de controle
• Aplique o balanço de massa:
0dAnVddt
d
.C.Sr
.C.V
• Calcule as integrais:
VbVs
• Crie um referencial
x
y
0AV
dt
hAdS
P
h(t)
• Reconhecendo que ´-dh/dt = Vb, então:b P S
V A V A 0
Fronteira
fixa
Fronteira
deformável
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Exemplo revisitado
• A velocidade da fronteira pode ser
determinada a partir do balanço de
massa:
AV
.C.Sr
AV
DeformávelFronteira
b
0
t
s
Pb
dAnVdAnVdt
0
VbVs
h(t)
Fronteira
fixa
Fronteira
deformável
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Problema Desafio – Inicialmente o raio interno de
um balão elástico é Ri e ar no seu interior está a
pressão e temperatura Pi e T0.
Ele começa a ser enchido por um fluxo
de ar com velocidade V1 e densidade 1 pela
seção (1) de área A1. A pressão externa ao balão
é atmosférica, Patm. Considere o ar como um gás
perfeito e o processo de enchimento se dá a
temperatura constante T0.
Determine a taxa de variação da
densidade do ar no balão b e R com o fluxo de
ar na entrada. Utilize a equação de Laplace-
Young para determinar a diferença de pressão
em função do raio durante o processo de
enchimento.
Ri
Pi
Patm
T0
R
P
Patm
b
T0
V1
A1
1
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Superfície de Controle Deformável
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Exemplo I – Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um
comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de
abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0.
A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.
B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de
abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação
experimental)
Resposta:
A) -ALd2h/dt2 + A(dh/dt)^2 = -MdU/dt
V
Lh(t)
h0S.C. se movo
junto com o
carro
Ref N.I.
Move com
Vcarro
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Ex. 4. 191 – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo
e U. Despreze o atrito. FILME
h+
h-
H
g
z
L
Considere:
•Uma S.C. se movendo com a
interface livre do líquido: vr=vf-
vb=0
• Tubo com seção transversal
constante e igual a A
•Velocidade no tubo igual a taxa
de variação do nível, V = dh/dt
2
2 L2H n
L2
Resposta :
h t h Cos td h g
h h t 1 gdt H 1 f
2 H
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Ex. 4. 191 – Solução
h+
h-
g
z
L
Considere:
• S.C. deformável c/ interface: vr=vf -vb= 0
• Tubo c/ seção transversal A constante
• Vel. líquido = taxa var. nível, V = dh/dt
Ref.
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Ex. 4. 191 – Continuação
g
z
x
ho
L
n
V
z1
n
V
z2
fronteira
deformável
S.C.-B
fronteiras
fixas
S.C.-A
fronteira
deformável
S.C.-C
ho – nível de equilíbrio
z1 – segue interface SC-A
V1 = dz1/dt
Vol1 = (z1 + ho).A
z2 – segue interface SC-B
V2 = dz2/dt
Vol2 = (z2 + ho).A
z1 = - z2
desnível = z1 - z2
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S.C
.-B
fronteira
fixa
S.C
.-A
fronteira
deformável
V
z1
V
z2
fronteira
fixa
PAPB
Patm
Patm
z
x
ho
g
S.C.-C
PBPA
trecho
horizontal
L
0
0
2
2 L2h0 n
L2h0
h t h Cos t
d z g 1: z h tR 1e s g 1
dt h 1 f2 1
p.
h