parte 6 geometria plana e espacial
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Parte 6: 120 questõesGeometria Plana e Espacial
Segmentos e Ângulos.
• Ponto médio de um segmento é o ponto que pertence ao segmento e o divide emdois segmentos congruentes
• Nomes dados aos ângulos: Ângulo reto: 900 Ângulo raso: 1800 Ângulo agudo: menor que 900 Ângulo obtuso: maior que 900
• Bissetriz de um ângulo: semi-reta que o divide ao meio.
• Ângulos complementares: dois ângulos cuja soma é igual a 900 • Ângulos suplementares: dois ângulos cuja soma é igual a 1800
Q.1 Sobre uma reta são dados quatro pontos distintos A, B, C e D tais que:• B está entre A e C• D é ponto médio de ABSabendo que DB = 8 cm e AC = 46 cm, calcule BC.
Veja: 8 8 x
A D B C
Como = 46 8 + 8 + x = 46 16 + x = 46 x = 30 cm
Q.2 Sobre um segmento de reta AD são dados os pontos B e C tais que B está
entre A e C e AD = 24 cm. Sabendo que:
=
e
=, determine AB, BC e CD
Veja: m n p
A B C D
(I):
= m = 3n/2
(II):
=
p =
m + n = 5p
(III):m + n + p = 24 5p + p = 24 p = 4 CD = 4
Em (II): m= n = 20 3n/2 + n = 20 3n + 2n = 40 n = 8 BC = 8
Logo: m = 20 – 8 m = 12 AB = 12
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Q.3 Um segmento AB mede 20 cm. O segmento AP, P em AB, de medida x, é tal
que
=
. Calcule o valor de x2 + 20x.
Veja: x 20 - x
A P C
Então:
=
x2 = 400 – 20x x2 + 20x = 400
Q.4 (UECE) Sejam a, b e c três ângulos consecutivos e as relações:
b = 3c, b = 2a e a + c = 700. Calcule o valor de: E =
Temos:(I): b = 3c c = b/3
(III): b = 2a a = b/2(III): a + c = 700 b/2 + b/3 = 700 3b + 2b = 4200 5b = 4200 b = 840
Em (I): c = 840/3 c = 280 Em (II): a = 840/2 a = 420
Então: E = 420 + 840 – 280 E = 980/2 E = 490
2
Q.5 (PUC) Um ângulo mede a metade do seu complemento. Quanto mede esseângulo?
Seja o ângulo X
X =
2X = 90 – X 3X = 90 X = 300
Q.6 (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte dosuplemento desse ângulo. Determine a medida desse ângulo.
Seja o ângulo X
Então: 3 (900 – X) =
3 (2700 – 3X) = 1800 – X
Logo: 8100 – 9X = 1800 – X 8100 – 1800 = 9X – X 8X = 6300 X = 6300/8
Observe: 6300 8
780 45’ 60 = 360’
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Q.7 (PUC-SP) O dobro da medida do complemento de um ângulo, aumentada de20º, é igual a 70º. Calcule a medida desse ângulo.
Seja o ângulo X
Então: 2 (90
0
– X) + 20
0
= 70
0
180
0
– 2X = 50
0
2X = 130
0
X = 65
0
Q.8 (UNIFOR – Adap.) Dois ângulos são complementares e o suplemento de umdeles mede o mesmo que o suplemento do outro mais 200. Calcule a medida domaior desses ângulos.
Sejam os ângulos X e Y
Temos: X + Y = 900 (I)
Então: 1800 – X = 1800 – Y + 200
- X + Y = 200 (II)
Resolvendo o sistema: (I) (II): X = 350 e Y = 550
Então o maior ângulo mede 550
Q.9 Calcule o valor de x.
x + 300
2x - 150
3x - 100
Observe que a soma dos três ângulos vale 1800
Deste modo: 2x – 150 + x + 300 + 3x – 100 = 1800
Então: 6x = 1850
Veja: 1850 6
300 50’
50 = 300’
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Ângulos de duas retas paralelas com uma transversal
t
Observe a figura: 1 2 r
4 3
5 6
8 7 s
A transversal t forma com as retas paralelas r e s em 8 ângulos:
a) 4 “pequenos” (2, 4, 6 e 8) iguais ( ângulos ag udos )
b) 4 “grandes” (1, 3, 5 e 7) iguais ( ângulos obtusos )
É fácil observar que: “angulo grande” + “ângulo pequeno” é sempre igual a 180º.
Nomenclatura:
Ângulos correspondentes (são iguais): 1 e 5 ; 2 e 6 ; 3 e 7 ; 4 e 8
Ângulos alternos internos (são iguais): 3 e 5 ; 4 e 6
Ângulos alternos externos (são iguais): 1 e 7 ; 2 e 8
Ângulos colaterais internos (são suplementares): 3 e 6 ; 4 e 5
Ângulos colaterais externos (são suplementares): 1 e 8 ; 2 e 7
Q.10 (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternosInternos expressos em graus por (5x + 80) e (7x – 120). Calcule a soma dasmedidas desses ângulos.
Dois ângulos alternos internos são iguais, logo:
7x – 120 = 5x + 80 2x = 200 x = 100 Então os ângulos medem:
7x – 120 = 700 – 120 = 580 5x + 80 = 500 + 80 = 580
Logo, a soma desses ângulos mede 1160
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Q.11 (MACK) Na figura é paralela a . Calcule o valor de x.
A B
450
E 700
x
C D
Construção auxiliar: Trace a reta r paralela e passando pelo ponto E
A B
450
Alternos internos
E 45 r x
x
C D
Logo: x + 450 = 700 x = 300
Q.12 (FUVEST) As retas t e s são paralelas. Determine o ângulo x.
t s
x
1200
1400
Observe que:t s
x
1200
90 – x Mas: 900 – x = 200
x =700
1400 40
0
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Q.13 (EPCAR) Na figura r é paralela a s. Determine x.A
r 60 – x 4x
2x + 90
sB C
Observe que temos dois ângulos alternos internos: (60 – x + 4x) e (2x + 90),considerando-se a transversal AC.
Então: 60 + 3x = 2x + 90 x = 300
Q.14 (FGV) Sendo r paralela a s determine o valor de (2x + 3y)
r120
20 y
sx
Observe que: (20 + y) e 120 são alternos internos e x = y (opv)
Então: 20 + x = 120 x = y = 1000
Assim: 2x + 3y = 5000
Q.15 (UFES) Na figura, r é paralela a s. Quanto mede o ângulo z?
r s
z
3x
2x 1200
É fácil notar que: 3x + 2x = 600 x = 120
Mas: 240 + 1200 + α = 1800 α = 360
Logo: z + 360 = 1800 z = 1440
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Triângulos
Classificação quanto aos lados
a) Eqüilátero: é o que possui os três lados iguais
b) Isósceles: é o que possui dois lados iguaisc) Escaleno: é o que possui os três lados diferentes
Desigualdade triangular Em qualquer triangulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.
Seja o triangulo ABC de lados a, b e c:a < b + c b < a + c c < a + b
Classificação quanto aos ângulos a) Acutângulo: os três ângulos são agudosb) Obtusângulo: um dos ângulos é obtusoc) Retângulo: um dos ângulos é reto
Obs.: No triângulo retângulo o maior lado (oposto a 90º) denomina-sehipotenusa e os outros dois são denominados catetos.
Soma dos ângulos de um triânguloEm qualquer triângulo a soma de seus ângulos internos é igual a 180º
Ângulo externo de um triângulo
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internosnão adjacentes a ele.
A
B e ê = A + B
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Elementos notáveis de um triângulo
a) Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Baricentro: é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo.
b) Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou aoseu prolongamento.
Ortocentro: é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo.
c) Bissetriz: é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidade ovértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.
Incentro: é o ponto de encontro das três bissetrizes de um triângulo. È o centro dacircunferência inscrita ao triângulo.
Obs.: Traçando-se as mediatrizes aos lados de um triângulo, sua intersecção chama-se circuncentro que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Área de um triângulo
1. A = base X altura2
2. No triângulo retângulo: A = cateto X cateto2
3. No triângulo equilátero de lado a: A = a2 4
4. No triângulo qualquer: A = b c sen α 2
b
α c
5. Fórmula de Herão: A =
Onde p é o semi-perímetro: p = a + b + c2
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Q.16 (FEI-SP) Na figura: Calcule a soma dos ângulos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
1 28
3
7 46 5
Observe o quadrilátero interno à figura:
A B
C
D
Observe o quadrilátero interno à figura:
A = 1 + 2B = 7 + 8C = 3 + 4D = 5 + 6 A + B + C + D = 1 +2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
Como A + B + C + D = 3600 (quadrilátero)
Então: 1 +2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 360 0
Q.17 (PUC-SP) Na figura, BC = CA = AD = DE e B = E = 40º. Calcule o ângulo CÂD.
A
B C D E
Observe que: ABC e ADE são isósceles (BC = CA e AD = DE)
40 x 40
40 100 80 80 100 40
Assim: x + 800 + 800 = 1800 x = CÂD = 200
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Q.18 (FATEC-SP) Na figura r é a bissetriz do ângulo B e t é perpendicular a AC.Sabendo que A = 40º e C = 30º, calcule a medida do ângulo agudo formado pelasretas r e t.
B
A C
t r
Veja que B = 1800 – 400 – 300 B = 1100
x 55
40 85 30
Bissetriz de B: logo cada parte de B bale 550
O ângulo que mede 850 é externo ao de ângulos internos 550 e 300
Como t é perpendicular (900), temos: x + 900 + 850 = 1800 x = 50
Q.19 (UFGO) Se dois lados de um triângulo medem respectivamente 3 dm e 4 dm,podemos afirmar que a medida do terceiro lado é:
a) igual a 1 dm b) igual a 5 dm c) maior que 7 dm d) menor que 7 dm
Lembre-se que:Em qualquer triângulo: maior lado < que a soma dos outros dois
Resp: d
Q.20 (UFB) Num triângulo ABC, A é obtuso. Os lados AB e AC medem,respectivamente 4 e 3 unidades de comprimento.Assinale a alternativa verdadeira.a) BC < 4 b) BC > 7 c) 5 < BC < 7 d) BC = 7
C3 A 4 B
Pela mesma razão do exercício anterior BC < 7 Resp: c
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Q.21 (FUVEST) Na figura abaixo, AB = AC; O é o incentro do triangulo ABC, e oângulo BOC é o triplo do angulo A. Calcule a medida do angulo A.
B
A O
C
Lembre-se que o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes.
b b
x 3x
a a
Então:
Em ABC: x + 2b + 2a = 1800
Em BOC: 3x + b + a = 1800 ( -2 )- 5x = - 1800
Assim: x = 1800/5 x = 360
Q.22 (UFMG) Na figura ao lado AC = CB = BD e A = 25º. Quanto mede o angulo x?
DC
A x B
ABC é isósceles (AC = BC), logo A = B = 250
C = 1300
(interno ABC)
BCD é isósceles (BC = BD), logo a = 500 b = 800
Então: 250 + 800 + x = 1800 x = 750
a
a
130 25 25 b x
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Q.23 (PUC-SP) Calcule A + B + C + D + E
A B
E
CD
Veja:
Ângulo a é externo ao MEC a = C + E Ângulo b é externo ao NAD b = A + D
A BM
a E b
N
CD
Então: a + b + B = 1800
Ou, seja: C + E + A + D + B = 1800 A + B + C + D + E = 1800
Q.24 (FUVEST) Num triangulo isósceles, um ângulo A mede 100º. Qual o ânguloformado pelas alturas que não passam pelo vértice A?
Observe o triângulo ABC isósceles.M
X N O
A100
B C
No quadrilátero ANMO, temos: 1000 + 900 + 900 + x = 3600 x = 800
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Q.25 (PUC) Os ângulos internos de um triangulo são proporcionais a 2, 3 e 4,respectivamente. Determine a medida do maior deles.
Seja o ABC, onde:
A = 2kB = 3kC = 4k
Como A + B + C = 1800 2k + 3k + 4k = 1800 9k = 1800 k = 200
Assim, o maior ângulo mede 4. 200 = 800
Q.26 (FUVEST) Na figura tem-se que: AB = BD = CD. Calcule y em função de x.
Dy
x
A x m m C
B
Temos:
DBC é isósceles: B = C = m ABD é isósceles: 2 ângulos iguais (x)
Ângulo m é externo ao ABD m = 2x
Ângulo y é externo ao ADC y = m +x y = 2x + x y = 3x
Q.27 (UFC) Calcule o valor do ângulo x sabendo que ABDE é um quadrado e BCDum triângulo equilátero.
E DX
X C
A B
Veja que o EDC é isósceles, pois ED = DB = DC ( BCD equilátero)
Como BCD cada ângulo interno mede 600
Assim, no ECD, temos: x + x + 600 + 900 = 1800
Logo: 2x = 300 x = 150
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Q.28 (UFC) Na figura dada, calcular X em função de A, B e C (ângulos internos dotriângulo ABC)
A
B X C
Construção auxiliar:
B x C
m n
Temos:
(I): m + n + x = 1800 m + n = 1800 - x(II): A + B + C + m + n = 1800
Ou, seja: A + B + C +1800 – x = 1800 x = A + B + C
Q.29 (FUVEST) Na figura A = 60° e ADE é reto. Calcule x + y.A
D
3x E
5x y B C
Veja:
No EDA, sabemos que: D = 900, A = 600 3x + 1500 = 1800 x = 100
No ABC, temos: 600 + 500 + y = 1800 y = 700
Logo: x + y = 800
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Q.30 (UFC) Na figura AB = AC = BD = AD. Calcule x = EBC
A
b a
96 60 DE
B 60 C
Seja o ângulo procurado EBC = x
Sabemos que ABD é equilátero, assim seus ângulos internos valem 600
Observando o AED: a + 960 + 600 = 1800 a = 240 b = 360
Mas ABC é isósceles (AB = AC) C = x + 600
Assim, no ABC: x + 600 + x + 600 + 360 = 1800 x = 120
Q.31 (FGV) Na figura, ABC é um triangulo retângulo em A e isósceles.Determine X, sendo BC = DB.
A
45 C
m X 45
360 m
B D
Se ABC é retângulo e isósceles, seus ângulos agudos medem 450
Como BC = BD o BCD é isósceles e possui 2 ângulos iguais (m)
Então: no BCD, temos: 2m + 360 = 1800 m = 720
Logo: 450 + 720 + X = 1800 X = 630
Q.32 (Cesgranrio) As bases MQ e NP de um trapézio medem 42 cm e 112 cm,respectivamente. Se o ângulo MQP é o dobro do ângulo PNM, quanto mede o ladoPQ?
M 42 Q
Veja a figura: a a Construção auxiliar: bissetriz
a a
N 42 T P Então: TP = PQ = 70 cm
112
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Congruência e Semelhança de Triângulos
Congruência de Triângulos
1º caso: L A L (lado, ângulo, lado)
2º caso: A L A (ângulo, lado, ângulo)
3º caso: L L L (lado, lado, lado)
4º caso: L A Ao (lado, um ângulo adjacente, ângulo oposto a este lado)
Semelhança de TriângulosDois triângulos são semelhantes, se e somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.A M
c b p n
B a C N m P
=
ABC MNP = e
= =
=
Casos de Semelhança:
1º caso: (AA) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes,então eles são semelhantes.
2º caso: (LAL) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos deoutro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então eles sãosemelhantes.
3º caso: (LLL) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles sãosemelhantes.
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Q.33 (FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chãoplano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão de 1 m dealtura mede 0,6 m. Calcule a altura do poste.
Veja a figura: poste bastão
α
H α 1 m
12 m 0,6 m
Note que os triângulos são semelhantes:
Então:
=
0,6 H = 12 H = 20 m
Q.34 (UFSE) Na figura abaixo, AC = 8, CD = 4. Calcule BD.
A
a
a
B x D C
Temos 2 triângulos semelhantes: ABC e DAC ( é comum aos dois) A
D
8
4
a c a c
Bx + 4
C A8
C
Então:
=
4x + 16 = 64 4x = 48 x = BD = 12
Q.35 (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso aoPalácio do Planalto em Brasília, tem 4 m de altura na sua parte mais alta. Umapessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 m sobre a rampaestá a 1,5 m de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa aindadeve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Veja a figura:
=
18,45 + 1,5x = 49,20
x12,3 4 Ou: 1,5x = 30,75 x = 20,5 m
1,5
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194
Q.36 (MACK) Seja MNPQ um losango de lado x cm. Sabendo que MT = 12 cm eMS = 6 cm determine o perímetro do losango.
MN x
x 12 - x
x Qa a
x T P S
Temos 2 triângulos semelhantes: MTS e QPS:
=
Assim:
=
6x = 72 – 12x 18x = 72 x = 4
Logo o perímetro do losango é igual a 16 cm
Q.37 (UFC) Seja m a medida do lado do quadrado inscrito em um triangulo debase 12 e altura 8 . Calcule o valor de 10 m
E
8 - mC m D
m m mA m B
12
Temos 2 triângulos semelhantes: EAB e DAC e ECD:
=
Assim: 8m = 96 – 12m 20m = 96 10m = 48
Q.38 (Unifor) Os lados de um triangulo medem 5, 7 e 8 cm. Calcule as medidas deum triangulo a ele semelhante e cujo perímetro é 60 cm.
Veja que o triângulo dado tem perímetro igual a 20 cm
O segundo triângulo tem perímetro igual a 60 cm
Logo a razão de semelhança é de 1 para 3
Assim, os lados do 2º triângulo medem: 15 cm, 21 cm e 24 cm
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Q.39 (FUVEST) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se amedida de CD é 9, a que distância de C deverá cortar o ponto E, do segmento CD,
para que CA = D
BA
4
2
α α C x E 9 - x D
Como os triângulos são semelhantes:
=
4x = 18 – 2x x = CE = 3
Q.40 (FUVEST) Na figura o triângulo ABC é retângulo em A. Sendo ADEF é umquadrado com AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?
B
1 - x D x E
x
A x 3 - x C
Temos 2 triângulos semelhantes:BAC e BDE:
=
x = 3 – 3x x = 3/4
Q.41 (UNESP) Seja ABC é um triângulo retângulo em A, e o segmento DE // AB.Sabendo-se que AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, calcule a área do trapézioABED.
C Então:
=
20 x = 180 x = 9
12D x E
8 A 15 B
Área do trapézio ADEB: A = (B + b) h A = (15 + 9) 8 A = 96 cm2
2 2
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196
Q.42 (UECE) As circunferências tangentes entre si e tangentes aos lados doângulo A, tem raios r = 2 e R = 3. Calcule a distância de A ao centro da menor circunferência. T2
T1 Construções auxiliares
A X 2 2 3 3O1 O2
Lembre-se que nos pontos de tangência (T1 e T2) os ângulos são retos.
Na semelhança dos triângulos T2O2 A e T1O1 A:
=
Então: 3x + 6 = 2x + 14 x = 8
Assim a distância de A até O1 é igual a 8 + 2 = 10
Q.43 (Unicamp) Quinze toras de madeira, de 1,5m de diâmetro, são empilhadas.Calcule a altura da pilha.
Construções auxiliaresA Seja r os raios.
B C
Veja: AB = AC = 8r. Ou, seja: AB = AC = 4. 1,5m AB = AC = 6m
Temos também que: BC = 8r BC = 6m
Sejam: H a altura da pilha e h a altura do ABC equilátero
Então: h =
h = 3
Logo: H = h + 2r H = + 1,5)m
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197
Teorema da bissetriz interna de um triângulo
Seja ABC um triangulo qualquer e t a bissetriz interna de um de seus ângulos.
C Teorema:
a b
=
m n
B A
t (bissetriz)
Q.44 (UFC) O perímetro do triangulo ABC é 21 cm. Sabe-se que a bissetriz internado vértice A divide BC em duas partes que medem 3 cm e 4 cm, respectivamente.Calcule as medidas dos lados desse triangulo.
Veja: A
a b
B 3 4 C
Então:
= 4a = 3b (I) e a + b + 7 = 21 a + b = 14 (II)
Resolvendo o sistema (I) (II): a + 4a/3 = 14 3a + 4a = 42 a = 6 cm b = 8 cm
Q.45 (UFC) Na figura, A = 90°, AS é bissetriz de A. AC = 12 cm, AB = 5 cm e BC =13cm. Calcule o comprimento de BS.
Bx
5 S
=
12x = 65 – 5x
13 – x Assim: 17x = 65 x = 65/17 cm
A 12 C
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198
Q.46 (FUVEST) Num triângulo retângulo ABC, retângulo em B, seja D um ponto dahipotenusa AC tal que os ângulos DAB e ABD tenham a mesma medida.Determine o valor de AD
DC
C
D
90 - a
a a
B AVeja que = 90 – a, então BCD é isósceles BD = DC
Logo: CD = DA e AD = 1DC
Teorema de PitágorasRelações Métricas no Triângulo Retângulo
Seja o triângulo ABC, reto em Â.
A a: hipotenusa
c
h b b: cateto
c: cateto
B m H n C h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção de c sobre a
n: projeção de b sobre a
Relações Métricas:
1. a = m + n2. a2 = b2 + c2 (Pitágoras)3. a . h = m . n4. h2 = m . n5. c2 = h2 + m2 (Pitágoras)
b2 = h2 + n2 (Pitágoras)6. c2 = a . m e b2 = a . n
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199
Q. 47 (PUC) (PUC) Calcule a medida AB do trapézio:
D 15 C
13 20
A 5 H 15 R m B
No ADH (retângulo), temos: 132 = 52 + h2 h2 = 144 h = 12
No CRB (retângulo), temos: 202 = 122 + m2 m2 = 256 m = 16
Assim: AB = 5 + 15 + 16 AB = 36
Q.48 (FGV) O triângulo ABC é isósceles com a base AB medindo 2 cm e com os
lados iguais medindo cm. Calcule a área do trapézio BEDC.
C D
h
A x H x B 2x E
Base AB = 2 x = Então a base BE = 2x = 2 e a base CD = 3x = 3
E, ainda: h2 = ( )2 – ( )2 h2 = 34 – 2 h2 = 32 h = h = 4
Assim, a área do trapézio BEDC é: A = (3 + 2 ) 4 5 . 4 2 2
Então: A = 20 cm2
Q.49 (FUVEST) A aresta do cubo abaixo mede 2 e BP mede 3. Calcule PC.
D
C
2
A B P
2 3
Então: PC2 = 52 + 22 PC2 = 29 PC =
E
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200
Q.50 (MACK) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte por um planoque dista 5 cm do centro. Calcule o raio da secção feita.
No triângulo retângulo: 132 = 55 + r 2
Logo: r 2 = 169 – 25 r 2 = 144 r = 12 cm
Q.51 (UFC) As diagonais de um quadrilátero convexo são perpendiculares e
medem 12 cm e 18 cm. Calcule a área do quadrilátero.
Área = 12 X 18 Área = 108 cm2 2
Q.52 (VUNESP) Num triangulo retângulo a medida de um cateto é a metade damedida da hipotenusa. O quociente da medida do outro cateto pela medida dahipotenusa é:
a) 3. 30,5 b) 2. 30,5 c) 2. 3- 0,5 d) 30,5 e) 3. (2. 30,5) -1
Veja:
2aa
m
Então: m2 = 4a2 – a2 m2 = 3a2 m = a
Logo: Q =
Q =
Por exclusão encontramos a resposta. Resp: e
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201
TEOREMA: Se P é um ponto qualquer interno em um triangulo ABC, de lados a, be c, a soma das distâncias de P aos vértices é maior que o semi-perímetro emenor que o perímetro do triangulo ABC.
a + b + c < PA + PB + PC < a + b + c
2
Q.53 (UFC) Seja P um ponto interno ao triangulo ABC. Se os lados desse triângulomedem 5 cm, 7 cm e 8 cm, então a soma das distâncias de P aos vértices podeser:
a) 10 cmb) 20 cmc) 25 cm • P d) 15 cm
e) 30 cm
Veja: 5 + 7 + 8 < PA + PB + PC < 5 + 7 + 82
Ou, seja: 10 < PA + PB + PC < 20 Resp: d
Q.54 (UFC) Um dos catetos de um triangulo retângulo foi aumentado de 25% deseu comprimento. Para que a área do triangulo não se altere é necessário que ooutro cateto sofra uma diminuição de p%. Determine o valor de p.
h A = b. h x2
b b + 1/4b = 5/4 b
Assim, a área do 2º triângulo é: A = 5/4b . x2
Como as áreas são iguais: 5b x = b h x = 4/5 b x = 0,8 p ou x = 80% b4
Assim, houve uma diminuição na altura de 20%
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202
TEOREMA de PILOT: Em todo quadrilátero circunscritível a um círculo, as somasde seus lados opostos são iguais.
ba a + c = b + d
cd
TEOREMA: Se o quadrilátero ABCD é tal que suas diagonais são perpendiculares,então a2 + c2 = b2 + d2
a b
d c
Q.55 (UNICAMP) Em um triangulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculode raio r. Sabe-se que  = 90º e que o círculo inscrito tangencia o lado BC noponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 ePC = 3.
a) Determine r b) Determine AB e ACc) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triangulo eexterna ao círculo
C P, M e N são pontos de tangência (900)
a) AB = 10 + R e AC = 3 + R
3 3 Pitágoras: 132 = (10 + R)2 + (3 + R)2 R = 2
P
M R 10 b) AC = 5 e AB = 12
R
A N 10 Bc) AT = 12. 5 AT = 30
2 AO = πR2 AO = 4π
Então: A = 30 - 4π
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203
Q.56 (ITA) Por um ponto A de uma circunferência traça-se o segmento AA’perpendicular a um diâmetro dessa circunferência. Sabendo-se que o ponto A’determina no diâmetro segmentos de 4 cm e 9 cm, calcule a medida do segmentoAA’
A
M 4 9 N
A’
(I): Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo (A = 900)
Lembre-se que no triângulo retângulo: h2 = m n
Logo: ( AA’)2
= 4. 9 AA’ = 6 cm
Q.57 (FEI) Num triangulo ABC, retângulo em Â, os catetos medem 5 e 12. Calcule amedida da mediana AM.
A
12 5
B M C
Veja: AM = MB = MC é o raio de uma semicircunferência de centro O
A hipotenusa do triângulo (BC) mede 13.
Então: MC = MB = AM = 6,5 cm
Q.58 (MACK) Na figura abaixo, o triangulo ABC é retângulo em Â; AM é a medianarelativa à hipotenusa. Calcule o perímetro e a área do triangulo AMC, em funçãode seus lados a, b, c.
A
c b Perímetro AMC = a + b
B a/2 M a/2 C
Área do ABC = bc/2Mas: ABM = AMC (mesma base e mesma altura)Logo: ABM + AMC = bc/2 2. AMC = bc/2 AMC = bc/4
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204
Q.59 (UECE) Calcule o raio da circunferência inscrita no triangulo retângulo delados 3 cm, 4 cm e 5 cm.
3 – r
3 - r4 – r
r
r 4 - r
Como a hipotenusa mede 5: 3 – r + 4 – r = 5 2r = 2 r = 1 cm
Propriedades no Trapézio
a a
x x
b b
Base Média: x = a + b Base Média de Euler: x = b – a
2 2
Q.60 (ITA) Considere o quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem,
respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados doquadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:
a) 22 cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 13 cm
A
R S AC = 5 e DB = 6
D B
U TC
Sejam R, S, T e U pontos médios dos lados.RS é base média (DB) RS = 3ST é base média (AC) ST = 2,5UT é base média (DB) UT = 3RU é base média (AC) RU = 2,5
Logo o perímetro do quadrilátero RSTU vale: 11 cm Resp: d
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205
Q.61 (FGV) Um triângulo ABC é retângulo em C e suas medianas BN e CM são
perpendiculares. Se BC = , calcule o comprimento BN
AG é o baricentro
N Mx
G2x
C B
Observe o NCD retângulo e lembre-se da fórmula b2 = a m
Então: ( )2 = 3x . 2x 6x2 = 6 x = 1
Assim: BN = 3
Q.62 (FUVEST) Uma escada de 25dm de comprimento se apóia num muro dealtura 2,4 m, do qual seu pé dista 7dm. Se o pé da escada se afastar mais 8dm domuro, qual será o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada?
Escada: 25 dmDeslocamento: x
H = 2,4mw
7 8
Então: w2 + 152 = 252 w2 = 625 – 225 w2 = 400 w = 20
Assim, o deslocamento será de: x = 24 – 20 x = 4 dm
Q.63 (UNIFOR) As três circunferências da figura abaixo são iguais, tangentesentre si e de raio igual a 1,5 cm. Calcule a área do retângulo.
Comprimento = 6r = 6. 1,5 = 9 cmLargura: 2r = 2. 1,5 = 3 cm
Assim, a área é dada por: A = 9. 3 A = 27 cm2
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206
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Seja o triângulo ABC, reto em Â.
C
a (hipotenusa)
b
A c B
Definições:
1. sen = cat oposto 2. cos = cat adjacente 3. tg = cat opostohipotenusa hipotenusa cat adjacente
Lei dos senos. Lei dos cossenos
Seja ABC um triangulo qualquer
A
c b
B a C
Lei dos senos:
=
=
= 2R, onde R é o raio da
circunferência circunscrita.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos Â
Lei dos cossenos: b2
= a2
+ c2
– 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C
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207
Q.64 (MACK) Calcule x e y na f +igura.
D
y
30 60
A 10 B x C
Temos: (I): tg 300 =
=
(II): tg 600 = =
y = x
Em (I):
=
10 + x = 3x x = 5 e y =
Q.65 (UECE) Calcule a altura h = CH de um triangulo de base AB = 20.Dados: tg A =3/4 e tg B = 1/2.
C
hα β
A x 20 - x B
Temos: tg α = h/x = 3/4 x = 4h/3
Ainda: tg β =
2h =20 – 4h/3 6h = 60 – 4h h = 6
Q.66 (F. Franciscanas – SP) Se a = x2 + x + 1, b = 2x + 1 e c = x 2 – 1 são as medidasdos lados de um triangulo, calcule a medida do ângulo oposto ao lado a, emgraus.
c A b Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 – 2ac cos A
a
Então: (x2 + x + 1) (x2 + x + 1) = (2x + 1)2 + (x2 – 1)2 – 2 (2x + 1) (x2 – 1) cos A
Ou: x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1 + x4 – 2x2 + 1 – (4x3 + 2x2 – 4x – 2) cos A
Assim: 2x3 + x2 – 2x – 1 = -2 (2x3 + x2 – 2x – 1) cos A
Então: cos A = -1/2 A = 120
0
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208
Q.67 (UECE) Num triangulo ABC, tem-se: AB = 6, BC = 6 e C = 30º. Determine amedida do lado AC
A
6 x30
B 6 C
Usando a Lei dos cossenos:
Temos: 62 = x2 + (6 )2 – 2. 6. 6 cos 300
Então: 36 = x2 + 108 – 18x x2 – 18x + 72 = 0
E, as raízes são: 12 ou 6
Logo: AC = 12 ou AC = 6
Q.68 (PUC) Calcule a área do triangulo PMN
41
5 A1 M
P A3 5
1 A2 5 N 1
Observe que:
(I): Área do quadrado = 36
(II): A1 + A2 + A3 = (1 + 5) 6 + 5/2 + 5/2 = 18 + 5 = 232
Logo a área do PMN = 36 – 23 = 13 u2
Q.69 O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio R. Seus ladosmedem 2 cm, 3 cm e 4 cm e sua área vale 6 cm2. Calcule o raio R.
Fórmula: A = abcR
Assim: 6 = 2. 3. 4 6R = 24 R = 4 cm
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209
Q. 70 (UECE) Na figura, ABCD é um trapézio retângulo no qual AB = 6, CD = 10 eAD = 3. Calcule a área hachurada.
A B
3 – r 3 - r 4 - r
r
D E r 4 - r C
Mas: BC2 = 16 + 9 BC = 5
Logo: 3 – r + 4 – r = 5 r = 1
Assim, a área procurada será: 4. 3 -
. 1
2
A = (6 -
) u
2
2
Polígonos regulares. Lado e Apótema
Seja um polígono regular e convexo den lados e d diagonais
Soma dos ângulos internos. Si = 1800 (n – 2)
Soma dos ângulos externos. Se = 3600
Ângulo interno. ai = Si Ângulo externo. ae = 3600 n n
Em qualquer polígono regular: ai + ae = 1800
Número de diagonais. d = n (n – 3)2
Lado e Apótema: Triângulo equilátero. Quadrado. Hexágono regular Seja R o raio da circunferência circunscrita a esses polígonos.
Formulário:
(I): L4 = R a4 = R /2
(II): L3 = R a3 = R/2
(III): L6 = R a6 = R /2
Definição: Apótema é o segmento de reta que vai do centro ao meio do lado.
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210
Q. 71 (UECE) Determine o raio da circunferência inscrita no hexágono regular cujolado mede 6 cm.
Veja: R = 6 é o raio da circunferência circunscrita
Mas: a6 = r = 6 /2 r = 3 R
A a6
Q.72 (UEBA) Seja o hexágono regular inscrito na circunferência de centro O e raio6 cm. Calcule a área do polígono ABCO, em cm2.
A
B
C
A área do polígono é: A = 2 OAB (equilátero de lado 6 cm)
Assim: A = 2 62 A = 18 cm2
4
Q.73 (PUC) Qual a medida do ângulo interno de um decágono regular?
Veja: Si = 1800 (10 – 2) Si = 1440o
Logo: a1 = 14400/10 a1 = 1440
Q.74 (UFC) Determine o número n de lados de um polígono regular convexo quepossui 54 diagonais.
Sabemos que: d = n (n – 3) = 54 n2 – 3n – 108 = 02
Resolvendo a equação: n = -9 ou n =12
O polígono possui 12 lados (dodecágono)
O
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211
Q.75 (ITA) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que nãopassam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono é dado por:
a) 2n(n – 3) b) 2n(n – 2) c) 2n(n – 1) d) n(n – 5)2
Teorema:Se um polígono tiver um número ímpar de lados, nenhuma diagonal passará pelocentro.Se um polígono tiver um número par de lados, o número de diagonais que nãopassam pelo centro é dado por: n(n – 3) - n
2 2
No exercício: o nº de lados é par: 2n
Então: d = 2n (2n – 3) – 2n d = 2n2 – 4n ou d = 2n (n – 2)
2 2 Resp: b
Q.76 (UFC) As mediatrizes de dois lados adjacentes de um polígono regular convexo formam um ângulo de 24º. Determine o número de diagonais dessepolígono.
ai
24
Então: 1800 + ai + 240 = 3600 ai = 1660
Logo: ae = 1800 – 1160 ae = 240
Mas: ae = 3600 n = 3600 n = 15 ladosN 24
Q. 77 (FEI) Quanto mede o ângulo interno de um polígono regular em que onúmero de diagonais excede de 3 o número de lados?
Veja: d = n (n – 3) 2 (n + 3) = n (n – 3) n2 – 3n = 2n + 6 n2 – 5n – 6 = 02
Resolvendo a equação: n = -1 ou n = 6
Logo: ae = 3600/6 ae = 600 ai = 1200
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212
Potência de um ponto
1º caso: P é interno à circunferência
A
C PA. PB = PC. PD
D B
2º caso: P é externo à circunferência
A
B P PA. PB = PC. PD
C D
Caso particular: PT é tangente à circunferência
A
B P (PT) 2 = PA . PB
T
Q. 78 (UFC) Sabe-se que AB = 3x, AD = x + 1, AC = 4x – 1 e AE = x. Calcule BD.
E
B D
C
Temos: AB. AD = AE. AC 3x (x + 1) = x (4x – 1)
Então: 3x2 + 3x = 4x2 – x x2 – 4 = 0 x = 2
Logo: BD = BA + AD BD = 3x + x + 1 BD = 6 + 3 BD = 9
P
A
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213
Q.79 (UECE) Seja um círculo de raio 10 cm. Traçando-se uma corda de 12 cm,quais as medidas dos segmentos que esta corda determina sobre o diâmetro quelhe é perpendicular?
Veja:
6
x y
6
(I): x + y = 20 (II): xy = 36 (h2 = m n)
Procuramos dois números cuja soma é 20 e cujo produto é 36
Assim, temos: 2 cm e 18 cm
Q.80 (MACK) Calcule a medida do diâmetro da circunferência de centro Osabendo que PT = 6 e PB = 12
T6
P A • B12 – 2r r r
Temos: PT2 = PA. PB
Então: 36 = (12 – 2r) 12 12 – 2r = 3 2r = 9 (diâmetro)
Q.81 (UFC) Em um círculo, duas cordas se cortam. Os dois segmentos da primeiramedem 3 cm e 8 cm. Sabendo-se que os dois segmentos da segunda estão entresi na razão 2 para 3, calcule esses valores.
(I): a = 2b/38 (II):ab = 24
a
b Então: 2b/3 b = 24 b2 = 36 b = 6 e a = 4
3
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214
Ângulos na circunferência
Ângulo Central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice nocentro da circunferência.
A
β = AB
B
Ângulo Inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice nacircunferência e os lados são secantes a ela.
A
= ou = ABα β 2 2
B
Ângulo excêntrico interior: sua medida é igual à semi-soma das medidas dos
arcos interceptados por ele e por seu oposto pelo vértice.
AD
P AB = AB + CD2
CB
Ângulo excêntrico exterior: sua medida é igual à semi-diferença das medidas dosarcos que ele intercepta.
A
D P AB = AB - CD2
C
B
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215
Q. 82 (UFC) Na figura, O é o centro do círculo, BC // AO e OÂC = 35º. Calcule oângulo AOB.
X O
A 35 C35
B
Veja: AB = 350 AB = 700. Mas AOB é central AOB = 700 2
Q. 83 (U. Amazonas) Determine a medida do ângulo x.
M
A x x = 800 - 400 x = 200
400 2
C B
800
D
Circunferência
“A razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro é um número constanterepresentado por ”
Comprimento da circunferência: C = 2R
“O comprimento de um arco de circunferência () é proporcional à sua medida(), em radianos” Comprimento de um arco de circunferência: = R
Área de um círculo de raio R: A = . R2
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216
Q.84 (UECE) O quadrado da figura abaixo, tem 8 cm de lado. Calcule a áreahachurada.
1
A = 64
A1 = 1/4 64 A1 = 16
Assim, a área pintada vale 64 - 16 = 16 (4 - ) cm2
Q.85 (CESGRANRIO) O triângulo ABC está inscrito no semicírculo de centro O ediâmetro AB = 2. Se o ângulo CÂB = 30º, calcule a área compreendida entre ocirculo e o triângulo.
C
A B
Temos: R = 1 Acieculo =
Mas: cos 300 = AC/2 /2 = AC/2 AC =
E: sen 300 = BC/2 = 1/2 BC = 1
Então: A ABC = /2
Assim, a área procurada é A = - /2
1
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Q. 86 (FATEC) Na figura ao lado, os arcos BD são arcos de circunferências decentro em A e C. Calcule a área da região branca.
B 5 cm C
5 cm S S5 cm
600 S
A 5 cm D
1/6 da área da circunf. de raio 5
Área do triângulo equilátero de lado 5
Cálculo da área S: S = 25/6 - 25
Mas 2S = 253 - 25 /2 ou S = 25 ( /3 - /2)
Q.87 E. 250 (Unicamp) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD,conforme mostra a figura a seguir, e as seguintes dimensões: AB = 25 m. BC = 24m e CD = 15 m
D 15 C
24
d a b c
A 25 B
a) Se cada m2 desse terreno vale R$ 50,00, qual é o preço total do terreno?
b) Divida o trapézio em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentosparalelos ao lado BC, indicando nela as dimensões das divisões no lado AB.
a) Área = (25 + 15) 24/2 A = 480 m2
Preço do terreno: P = 480 X 50,00 P = R$ 24.000,00
b) Comparando as áreas: 24 a = 24 b = 24 c = 12 d (24 d/2 = 12 d: área ret.)
Então d = 2 a = 2 b = 2 c (I) e a + b + c + d = 25 (II)
Logo: Em (II): d/2 + d/2 + d/2 + d = 25 5 d = 50
Então: d = 10 m e a = b = c = 5 m
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Geometria Espacial e Métrica
(Noções Básicas)
• Um plano paralelo a uma reta é paralelo a um único plano que contem a reta
• Um plano secante a uma reta é secante a todo plano que contem a reta• Se duas retas são ortogonais, toda reta paralela a uma delas forma um ânguloreto com a outra
• Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela éperpendicular ao plano
• Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um deles é perpendicular ao outro
• Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas
• Se dois planos são perpendiculares, qualquer outro plano perpendicular a umdeles é paralelo ao outro
• Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano
• Duas retas concorrentes determinam um único plano
• Duas retas paralelas distintas determinam um único plano
Q. 88 (F. C. Chagas) Se um plano e uma reta r são tais que r = r, então:
a) Existe uma reta em que é concorrente com r b) Existe um plano que contem r e não intercepta c) Toda reta paralela a é paralela a r d) Toda reta paralela a r está contida em e) Toda reta perpendicular a é perpendicular a r
Resp: a
Q. 89 (MACK) Considere as afirmações:( I ) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles ou está contida nooutro ou é paralela a esse outro( II ) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas ou coincidentes( III ) Um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a esteúnico planoEntão:a) todas são verdadeirasb) somente ( I ) é verdadeirac) somente ( II ) é verdadeirad) somente ( Ii ) e (III) são verdadeirase) nenhuma afirmativa é verdadeira
Resp: a
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Q. 90 (PUC) Se r e s são retas reversas, então se pode garantir que:a) todo plano que contem r também contém sb) existe um plano que contem r e é perpendicular a sc) existe um único plano que contem r e sd) existe um único plano que contem r e é paralelo a s
e) toda reta que encontre r encontra sResp: d
Q. 91 (FUVEST) Assinale a correta:a) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um delesserá paralelo ao outrob) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles seráparalela ao outroc) Duas retas paralelas a um plano são paralelasd) Se duas retas forem ortogonais reversas, toda reta ortogonal a uma delas será
paralela à outrae) Se duas retas forem ortogonais, toda reta paralela a uma delas será ortogonal àoutra
Resp: e
Poliedros (Noções básicas) 1. Um poliedro é convexo se, e somente se, o plano de cada face deixa todas
as outras faces num mesmo semi-plano.
Um poliedro é considera convexo se:• as suas faces são polígonos regulares e congruentes • os seus ângulos poliédricos são congruentes
2. Cada polígono é uma face; cada lado comum a duas faces é uma aresta ecada ponto comum a três ou mais arestas é um vértice
3. Relação de Euler: A + 2 = V + F
4. Num poliedro convexo de V vértices, a soma dos ângulos internos de todasas faces é dada por: S = (V – 2) . 3600
Notação Importante: Fn é o número de faces com n lados. Veja oexemplo:
F4 = 6 (são 6 faces quadrangulares)
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220
Poliedros de Platão
Para que um poliedro seja considera poliedro de Platão, é necessário que: • todas as suas faces tenham o mesmo número de arestas • dos vértices parta o mesmo número de arestas Há somente cinco tipos de poliedros regulares (Poliedros de Platão) Tetraedro regular: as faces são triângulos eqüiláteros. F3 = 4 (são 4 faces triangulares)
F = 4; V = 4 e A = 6 Hexaedro regular: as faces são quadrados. F4 = 6 F = 6; V = 8 e A = 12 Octaedro regular: as faces são triângulos eqüiláteros. F3 = 8 F = 8; V = 6 e A = 12 Dodecaedro regular: as faces são pentágonos regulares. F5 = 12 F = 12; V = 20 e A = 30
Icosaedro regular: as faces são triângulos eqüiláteros.
F3 = 20 F = 20; V = 12 e A = 30
Q. 92 (PUC) Qual o número de vértices de um poliedro convexo que possui 12faces triangulares
O número de faces é: F = 12
Cálculo do número de arestas: 2A = 12 X 3 A = 18
Relação de Euler: V + F = A + 2 V + 12 = 18 + 2 V = 8 vértices
Q.93 (PUC) Qual o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?
Sabemos que: A + 2 = V + F
Então: 30 + 2 = 12 + F F = 20 ou Icosaedro
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221
Q. 94 (ITA) Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, qual o númerode arestas desse poliedro?
V + F = A + 2 20 + 12 = A + 2 A = 30 arestas
Q.95 (MACK) Sabe-se que um poliedro convexo tem 8 faces e que o número devértices é maior que 6 e menor que 14. Então, o número A de arestas é tal que:a) 14 A 20b) 14 < A < 20c) 13 < A < 19d) 12 A 20e) 17 A 20
Temos: V + F = A + 2 V = A + 2 – 8 V = A – 6
Mas: 6 < V < 14 6 < A – 6 < 14 12 < A < 20 Resp: d
Q.96 (CESGRANRIO) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e12 pentagonais. Qual o número de vértices deste poliedro?
Temos: 2 A = 80. 3 + 12. 5 2 A = 300 A = 150 arestas
Então: A + 2 = F + V 150 + 2 = 92 + V V = 60 vértices
Q. 97 (ESAN) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces do dodecaedroregular.
O dodecaedro regular é o poliedro de 12 faces pentagonais.
Assim: 2 A = 12 X 5 2 A = 60 A = 30 arestas
Então: A + 2 = V + F 32 = V + 12 V = 20 vértices
Assim: S = (V – 2) 3600 S = 18. 3600 S = 64800
Q. 98 (CESGRANRIO) O ângulo AFH formados pelas diagonais AF e FH de facesdo cubo, abaixo, vale:a) 30o b) 45o c) 60o d) 90o e) 180o
H G
E F Note que: AF = FH = AH (diagonais de faces)
Então o AFH é equilátero e o ângulo AFH = 60o
A
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Q. 99 (UFES) Uma formiga mora na superfície de um cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve seguir para ir de um vértice ao vértice oposto é:
a) a
b) a Ac) 3a
d) (1 + ) a B
e) a
Procuramos a menor distância entre A e B
Veja a planificação deste cubo:
A’ A
a
a a
Então: (AB)2 = a2 + 4a2 AB = AB = a Resp: e
Q.100 (UFMG) Qual o volume, em litros, de um cubo de 5 cm de aresta?
Lembre-se que 1 dm3 = 1 litro
Então: a = 5 cm = 0,5 dm
V cubo = a3 V cubo = (0,5)3 V cubo = 0,125 dm3 V cubo = 0,15 litros
Q.101 (CESGRANRIO) Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo retângulo dedimensões 2, 3 e 4?
Veja:
c D =
ba
D = D =
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223
Q.102 (FAAP) Calcule, em litros, o volume de uma caixa d’água em forma deprisma reto, de aresta lateral 6 m, sabendo-se que a base é um losango cujasmedidas das diagonais são 7 m e 10 m.
O volume de um prisma é dado por: V = A b . h (área da base X altura)
No exercício, a base é um losango de diagonais D = 10 e d = 7 Assim a área da base é: A losango = 10. 7 = 35 m2
2
Então: V = 35. 6 = 210 m3 = 210 000 dm3 V = 210 000 litros
Q.103 (PUC) Se a área da base de um prisma diminui 10% e a altura aumenta 20%,o seu volume:a) aumenta 8%
b) aumenta 15%c) aumenta 18%d) diminui 8%e) não se altera
Seja um prisma de área da base A e altura h. Sabemos que V = A h
Se sua área da base diminui 10% A’ = 0,9 A Se sua altura aumenta 20% h’ = 1,2 h
Assim: V’ = 0,9A. 1,2h V’ = 1,08 A h V’ = 1,08 V Resp: a
Q. 104 (UFG) O volume de uma esfera é 36 m3. Calcule o volume, em m3, do cubocircunscrito à esfera.
Seja a esfera de raio R
V esf = 4/3 π R3 = 36 π R3 = 27 R = 3 m
Como a aresta do cubo é a = 2R a = 6 m
Então: V cubo = a3 V cubo = 216 m3
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224
Q. 105 (UCMG) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte por um planoque dista 5 cm do centro. Calcule o raio da secção feita, em cm.
r
Veja:
d = 5 R = 13
Então: R2 = r 2 + d2 r 2 = 169 – 25 r 2 = 144Logo: r = 12 cm
Q. 106 (UFC) Calcule, em cm3, o volume de um dado fabricado a partir de um cubode aresta igual a 4 cm, levando em conta que os buracos representativos dos
números, presentes em suas faces, são semi-esferas de raio igual a
cm.
• • • •
• • • •
Temos:
(I): V cubo = 43 = 64 cm3
(II): Um dado possui 21 números (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)(III): Volume de cada meia esfera: V = 1/2 (4/3 π R3) V = 2/3 π R3
Assim, o volume de 21 números é: V21 = 21. 2/3 π R3 V21 = 14πR3
Mas: R3 = (
)3 R3 = 1/7π
Então: V21 = 14 1/7π V21 = 2 cm
3
Logo, o volume do dado é: V dado = V cubo – V 21 V dado = 62 cm3
Q. 107 (UFRS) A medida da aresta da base de um prisma triangular regular é 4 cm
e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume desse prisma.
A área da base ( equilátero) é: A = 42 A = 4 4
Então: V = 4 . V = 12 cm3
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225
Q. 108 (UNESP) Uma piscina retangular de 10,0 m x 15,0 m e fundo horizontal estácom água até a altura de 1,5m. Um produto químico em pó deve ser misturado àágua à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a seremusados é:
a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 75
1,5
1015
Seu volume é: V = 15 X 10 X 1,5 V = 225 m3 V = 225000 dm3 V = 225000 litros
Para cada 4500 litros misturamos um pacoteLogo, serão adicionados 225000 = 50 litros
4500 Resp: b
Q. 109 (FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestasmedindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquidoé moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de xé:a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
Volume dos 2 blocos fundidos: 103 + 63 = 1216 cm3
V paral = x. 8. 8 = 1216 x = 19 cm Resp: d
Q. 110 (UFPR) Um cubo tem área total 150m2. Qual o volume da pirâmidequadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das faces desse cuboe como base a face oposta a esse vértice?
Veja a figura: Seja o cubo de aresta a. Seu volume V = a3
Note que o Vpir = AB . h/3 Vpir = a2 a/3 Vpir = a3/3
No cubo: AT = 6a2 = 150 a2 = 25 a = 5
a Logo: Vpir = 125/3 m3
a
a
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226
Q.111 (MACK) Um cone e um prisma quadrangular regular têm bases de mesmaárea. O prisma tem altura 12 e volume igual ao dobro do volume do cone.Determine a altura do cone.
Sejam:
H = 12 h = ?
A
A
Então:
Vp = 12 A e Vc = A h/3
Mas: Vp = 2 Vc 12 A = 2 A h h = 12. 3. A h =18 3 2 A
Q.112 (UFC) O volume do cilindro circunscrito a uma esfera mede 30 m3. Se V é ovolume da esfera, medida em m3, determine o valor de 2V/
Veja a figura:
R h = 2R
Vcil = AB h Vcil = R2 2R Vcil = 2 R3 = 30 R3 = 15
Mas: Vesf = 4/3 R3 Vesf = 4/3 15 Vesf = 20
Assim: 2V/ = 40/ = 40
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Q.113 (Sta Casa – SP) Um recipiente tem o formato de um tronco de cone, com asmedidas indicadas na figura abaixo. Calcule o volume de água que esse recipientecomporta, quando totalmente cheio, em cm3.
6 Saiba que: VT = h. /3 (R2 + Rr + r 2 )
9
12
Então: VT = 9/3 (144 + 12. 6 + 36)
Assim: VT = 3 (144 + 72 + 36) VT = 756 cm3
Q.114 (UFPR) Calcule o volume, em cm3, de um tetraedro regular de altura 10 cm.
D Seja o tetraedro regular de aresta a
Tetraedro: pirâmide onde todas as 4 faces são triângulos eqüiláterosa a
h
A Ca G Mreto
BNa base do ABC, G é o baricentro (AG = 2. GM) e GM é o apótema do ABCEntão: AG = 2/3 AM
Mas: AM é a altura do ABC 9 equilátero). Isto é: AM = a /2
Logo: AG = 2/3 AM AG = 2/3 a /2 AG = a /3
No AGD (retângulo em G), temos: a2 = (a /3)2 + h2
Assim: h2 = a2 – a2/3 h = a /3 (Vale a pena decorar)
Então: V = AB h/3 V = a2 /4 a /3 V = a3 3 12
No exercício h = 10 10 = a /3 a = 5
Logo: V = (5 )3 V = 125 cm3 3
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Q.115 (PUC – SP) A área total de um octaedro regular é 6 cm2. Calcule seuvolume.
Seja o octaedro regular de aresta a (8 faces: triângulos eqüiláteros de lado a)A
aH
aM
G aa
Sua base é um quadrado de lado a
Assim, a diagonal da base mede a e GM = a /2
Como a área total do octaedro é formada por 8 triângulos eqüiláteros, sua área total, é:
AT = 8 a2 /4 ou AT = 2 a2 = 6 a2 = 3 (área da base)
Sendo AGM retângulo em G, temos: a2 = (GM)2 + H2
Então: H2 = a2 - a2/2 H2 = a2/2 ou H2 = 3/2 H = /2
Mas: V = 2 (AB H) V = 2. 3. /2 V = cm3 3 3
Q.116 (UFPA) A área lateral de um cilindro de revolução é a metade da área dabase. Se o perímetro de sua secção meridiana é 18 m, calcule seu volume.
Sua secção meridiana é um retângulo r
Perímetro: 4r + 2h = 18 (I) r
Mas: AL = 2 r h e AB = r 2 Como AB = 2 AL hTemos: r 2 = 2 r h r = 4h
Em (I): 4(4h) + 2h = 18 h = 1 e r = 4
Logo: V = r 2 h V = 16 m3
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229
Q.117 (UFMG) Qual o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo isóscelesde 6 cm de altura e 2 cm de base, em torno da base?
Será formado um sólido com 2 cones idênticos de raio da base 6 cm e altura 1 cm.Veja:
6 h = 11
r = 61
6
Volume do sólido: V = 2 (1/3 r 2 h)
Então: V = 2/3. . 36. 1Logo: V = 24 cm2
Q.118 (PUC – SP) O recipiente em forma de cone circular reto tem raio 12 cm ealtura 16 cm. O líquido ocupa 1/8 do volume do recipiente.
R = 12
H = 16
x
Calcule a altura x do líquido
Seja o recipiente cônico de volume V e altura HSeja v o volume do líquido e sua altura x
Então: V = H3. Como v = 1/8 V V = H3 H3 = 8 H = 2v x3 1/8V x3 x3 x
Ou, seja: x = H/2 x = 8 cm
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Q.119 (ITA) Se as dimensões de um paralelepípedo reto retangular são dadaspelas raízes da equação 24x3 – 26x2 + 9x – 1 = 0, calcule o comprimento de suadiagonal.
As possíveis raízes racionais são os divisores de 1/24: { 1/2, 1/3, 1/4,...}
Por tentativa: x = 1/2
1/2 24 -26 9 -1
24 -14 2 0
Portanto x = 1/2 é uma raiz e as demais são raízes de 24x 2 -14x +2 = 0
Em 24x2 -14x +2 = 0; = 100 e x’ = 1/2 e x” = 1/12 Assim, as suas dimensões são: a = b = 1/2 e c = 1/12
Sua diagonal é dada por D2 = a2 + b2 + c2 Então: D2 = 1/4 + 1/4 + 1/144
Ou, seja: D2 = 73/144 D =
Q.120 (MACK) Calcule o volume de um cone de revolução, sabendo que odesenvolvimento de sua superfície lateral é um setor circular de raio 6 cm e oângulo central de 60o
Veja: É válida a relação: g2 = h2 + r 2 ( I )
h g
r
Setor circular:
60
g = 6 α =
= /3 r = 1
2 Em ( I ): h2 = 36 – 1 h =