parte 1. resolución de una ecuación f x) = 0 · análisis de la rapidez y condiciones de...

Planteamiento del problema. Separacion de raıcesMetodos de Biparticion y de Punto Fijo

Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula FalsiAnalisis de la rapidez y condiciones de convergencia

Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejasResumen

Parte 1. Resolucion de una ecuacion f (x) = 0

Gustavo Montero

Escuela Universitaria PolitecnicaUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria

Curso 2005-2006




1 Planteamiento del problema. Separacion de raıces

2 Metodos de Biparticion y de Punto Fijo

3 Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi

4 Analisis de la rapidez y condiciones de convergencia

5 Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejas

6 Resumen




Planteamiento del problemaSeparacion de raıcesEcuaciones polinomicas






6 Resumen





Planteamiento del problema

Encontrar los ceros de la funcion f (x), es decir, las raıces de la ecuacionf (x) = 0






Encontrar los ceros de la funcion f (x), es decir, las raıces de la ecuacionf (x) = 0Generacion automatica de mallas de tetraedros adaptadas a orografıas irregulares 131

delimita el dominio a discretizar. En estas condiciones el numero de puntos definidos en lavertical serıa n+ 1 y la funcion de espaciado vertical (Figura 1) se puede expresar como

zi =h− z0nα

iα + z0; i = 0, 1, 2, . . . , n (2)

Figura 1. Distribucion de n + 1 puntos sobre el eje de ordenadas mediante lafuncion de espaciado vertical

En ocasiones conviene expresar la altitud de un punto en funcion de la del punto anterior,evitando ası tener que conservar en memoria el valor de z0

zi = zi−1 +h− zi−1

nα − (i− 1)α [iα − (i− 1)α] ; i = 1, 2, . . . , n (3)

A partir de las ecuaciones (2) o (3), los puntos quedan perfectamente definidos una vezfijados los valores de α y n. No obstante, tambien puede ser interesante fijar la distanciadel primer punto insertado (i = 1) a la superficie del terreno con el fin de mantener unosparametros mınimos de calidad en la malla tridimensional que se pretende generar. Estoreducirıa el numero de grados de libertad a uno, bien sea α o bien n. Consideremos fijadoy conocido el valor de esa distancia d tal que d = z1 − z0 (Figura 1). Sustituyendo en laecuacion (2)

d = z1 − z0 =h− z0nα

(4)

Si fijamos α y dejamos libre el valor de n, de (4) se obtiene

n =(h− z0d

)1/α

(5)

No obstante, en la practica se aproximara el valor de n al numero natural mas cercano.En cambio, si fijamos el valor de n y dejamos libre α, resulta

α =log h−z0

d

log n(6)






Encontrar los ceros de la funcion f (x), es decir, las raıces de la ecuacionf (x) = 0Generacion automatica de mallas de tetraedros adaptadas a orografıas irregulares 131

delimita el dominio a discretizar. En estas condiciones el numero de puntos definidos en lavertical serıa n+ 1 y la funcion de espaciado vertical (Figura 1) se puede expresar como

zi =h− z0nα

iα + z0; i = 0, 1, 2, . . . , n (2)

Figura 1. Distribucion de n + 1 puntos sobre el eje de ordenadas mediante lafuncion de espaciado vertical

En ocasiones conviene expresar la altitud de un punto en funcion de la del punto anterior,evitando ası tener que conservar en memoria el valor de z0

zi = zi−1 +h− zi−1

nα − (i− 1)α [iα − (i− 1)α] ; i = 1, 2, . . . , n (3)

A partir de las ecuaciones (2) o (3), los puntos quedan perfectamente definidos una vezfijados los valores de α y n. No obstante, tambien puede ser interesante fijar la distanciadel primer punto insertado (i = 1) a la superficie del terreno con el fin de mantener unosparametros mınimos de calidad en la malla tridimensional que se pretende generar. Estoreducirıa el numero de grados de libertad a uno, bien sea α o bien n. Consideremos fijadoy conocido el valor de esa distancia d tal que d = z1 − z0 (Figura 1). Sustituyendo en laecuacion (2)

d = z1 − z0 =h− z0nα

(4)

Si fijamos α y dejamos libre el valor de n, de (4) se obtiene

n =(h− z0d

)1/α

(5)

No obstante, en la practica se aproximara el valor de n al numero natural mas cercano.En cambio, si fijamos el valor de n y dejamos libre α, resulta

α =log h−z0

d

log n(6)

Ejemplo

d = z1 − z0 =h−z0nα

α =log

h−z0d

log n

zn−1 =h−z0nα (n − 1)α + z0

log (n−1)log n

=log

h−z0−Dd

logh−z0

d

Llamando

0BB@k =

logh − z0 − D

d

logh − z0

d

1CCA, se puede

comprobar facilmente que (0 ≤ k < 1). De esta forma,la ecuacion se transforma en

n = 1 + nk





Separacion de raıces

Existencia de raıces: Teorema de Bolzano

Supongamos que f ∈ C [a, b] y f (a)f (b) < 0. Entonces existe un numeroc ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Unicidad de raıces: Teorema de Rolle

Para que en un intervalo existan mas de una raız, necesariamente se debecumplir el teorma de Rolle tomando como extremos dos de las raıces ySuponiendo que f ∈ C [a, b] y es derivable en (a, b).





Ecuaciones polinomicas

P(x) = a0xn + a1x

n−1 + ... + an−1x + an = 0

Teorema de acotacion

Si λ = maxi

�� ai

a0

��, todas las raıces reales y complejas z de la ecuacion polinomica

verifican |z| ≤ λ + 1

Sucesion de Sturm

Sean f0, f1, ..., fm, m + 1 funciones reales continuas en [a, b], con f0 ∈ C1 [a, b]. Se diceque estas funciones forman una sucesion de Sturm en [a, b] si se verifican lassiguientes condiciones:

f0 no tiene ceros multiples en [a, b].

fm no se anula en [a, b].

Si para algun r ∈ [a, b] y algun j(0 < j < m), se tiene fj (r) = 0, entoncesfj−1(r)fj+1(r) < 0.

Si para algun r ∈ [a, b] se tiene f0(r) = 0, entonces f ′0 (r)f1(r) > 0.






Teorema de Sturm

Si {f0, f1, ..., fm} es una sucesion de Sturm en [a, b] y si a y b no son raıces def0(x) = 0, el numero de raıces de esta ecuacion comprendidas en (a, b) es igual a ladiferencia entre el numero de cambios de signo que hay en {f0(a), f1(a), ..., fm(a)} y en{f0(b), f1(b), ..., fm(b)}.






Teorema de Sturm


Obtencıon en la practica de una sucesion de Sturm

f0(x) = P(x)

f1(x) = P′(x)

−Resto

�f0(x)

f1(x)

�

......................

−Resto

�fm−2(x)

fm−1(x)

�

Siendo fm+1 = 0.






Teorema de Sturm


Obtencıon en la practica de una sucesion de Sturm

f0(x) = P(x)

f1(x) = P′(x)

−Resto

�f0(x)

f1(x)

�

......................

−Resto

�fm−2(x)

fm−1(x)

�

Siendo fm+1 = 0.

Separacion de raıces

Si sabemos que todas las raıces deP(x) = 0 estan en [a, b], podemosdividir el intervalo en dos,�a,

a + b

2

�y

�a + b

2, b

�, y aplicar

el teorema de Sturm para saber elnumero de raıces que tiene cadauno. Aplicando esta tecnicasucesivamente podemos aislarcada raız en un intervalo.




Metodo de BiparticionMetodo de Punto Fijo






6 Resumen





Metodo de Biparticion

Algoritmo

Supongamos que f (a)f (b) < 0a0 = a, b0 = b

c0 =a0 + b0

2

Si f (a0)f (c0) < 0 entoncesa1 = a0, b1 = c0Caso contrario a1 = c0, b1 = b0........................

cn =an + bn

2

Si f (an)f (cn) < 0 ⇒ an+1 = an ,bn+1 = cnSi f (cn) = 0 ⇒ cn es cero de fSi f (an)f (cn) > 0 ⇒ an+1 = cn ,bn+1 = bn






Algoritmo


c0 =a0 + b0

2


cn =an + bn

2


Convergencia

Sea f ∈ C [a, b], con f (a)f (b) < 0. En el n-esimo paso, el metodo de biparticion aproxima una raız con un error

maximo deb + a

2n+1.






Algoritmo


c0 =a0 + b0

2


cn =an + bn

2


Representacion grafica

Convergencia

Sea f ∈ C [a, b], con f (a)f (b) < 0. En el n-esimo paso, el metodo de biparticion aproxima una raız con un error

maximo deb + a

2n+1.





Metodo de Punto Fijo

Definicion

Se dice que x es un punto fijo de g(x) si x = g(x).Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver laecuacion x − g(x) = 0






Definicion


Algoritmo

Elegir un x0 ∈ [a, b]xn+1 = g(xn)xn+1 → xn






Definicion


Algoritmo


Convergencia (condicion fuerte)

Si g ∈ C [a, b] es una contraccion de [a, b] en [a, b] (de un espacio metrico completoen sı mismo) entonces g tiene un punto fijo en [a, b] y es unico.

��g(x)− g(x ′)�� ≤ c

��x − x ′�� <

��x − x ′��






Definicion


Algoritmo


Convergencia (condicion fuerte)

Si g ∈ C [a, b] es una contraccion de [a, b] en [a, b] (de un espacio metrico completoen sı mismo) entonces g tiene un punto fijo en [a, b] y es unico.

��g(x)− g(x ′)�� ≤ c

��x − x ′�� <

��x − x ′��

Cota del error

|x − xn| ≤cn |x1 − x0|

1− c∀n ≥ 1






Definicion


Algoritmo


Convergencia (condicion debil)

Si g ∈ C [a, b] y a ≤ g(x) ≤ b ∀x ∈ [a, b], entonces g tiene al menos un punto fijo en[a, b].Supongamos, ademas, que g ′(x) es continua en (a, b) y que existe una constantepositiva c tal que ��g ′(x)

�� ≤ c < 1 ∀x ∈ (a, b) .

Entonces existe un unico punto fijo α de g en [a, b]. Ademas, la iteracion

xn+1 = g(xn) n ≥ 0

converge a α para cualquier eleccion de x0 en [a, b].






Definicion


Algoritmo






Metodo de Newton-RaphsonMetodo de la SecanteMetodo de Regula Falsi






6 Resumen





Metodo de Newton-Raphson

Deduccion del algoritmo

Supongamos que f (x), f ′(x) y f ′′(x) son continuas en unentorno de la raız x∗,

f (x) = f (x0) + f ′(x0) (x − x0) +f ′′(x0) (x − x0)

2

2!

0 = f (x0) + f ′(x0) (x∗ − x0) +f ′′(x0) (x∗ − x0)

2

2!








f (x) = f (x0) + f ′(x0) (x − x0) +f ′′(x0) (x − x0)

2

2!

0 = f (x0) + f ′(x0) (x∗ − x0) +f ′′(x0) (x∗ − x0)

2

2!

Algoritmo

Elegir un x0 ∈ [a, b]

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)xn+1 → xn








f (x) = f (x0) + f ′(x0) (x − x0) +f ′′(x0) (x − x0)

2

2!

0 = f (x0) + f ′(x0) (x∗ − x0) +f ′′(x0) (x∗ − x0)

2

2!

Algoritmo


xn+1 = xn −f (xn)



��g ′(x)�� =

|f (x)f ′′(x)||f ′(x)|2

≤ c < 1 ∀x ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ) .







Algoritmo


xn+1 = xn −f (xn)



��g ′(x)�� =

|f (x)f ′′(x)||f ′(x)|2

≤ c < 1 ∀x ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ) .





Metodo de la Secante


f ′(xn) ≈f (xn)− f (xn−1)

xn − xn−1







f ′(xn) ≈f (xn)− f (xn−1)

xn − xn−1

Algoritmo

Elegir un x0 ∈ [a, b]xn+1 =

xn −f (xn) (xn − xn−1)

f (xn)− f (xn−1)xn+1 → xn





Metodo de Regula Falsi


Es similar al de biparticion, pero el punto intermedio elegido resultade la interseccion de la recta secante que pasa por los puntos(a, f (a)) y (b, f (b))

x − b

b − a=

y − f (b)

f (b)− f (a)

c − b

b − a=

0− f (b)

f (b)− f (a)

c = b −f (b)(b − a)

f (b)− f (a)







Es similar al de biparticion, pero el punto intermedio elegido resultade la interseccion de la recta secante que pasa por los puntos(a, f (a)) y (b, f (b))

x − b

b − a=

y − f (b)

f (b)− f (a)

c − b

b − a=

0− f (b)

f (b)− f (a)

c = b −f (b)(b − a)

f (b)− f (a)

Algoritmo

Elegir un a0 = a, b0 = b

cn = bn −f (bn) (bn − an)

f (bn)− f (an)Si f (an)f (cn) < 0 ⇒ an+1 = an , bn+1 = cnSi f (cn) = 0 ⇒ cn es cero de fSi f (an)f (cn) > 0 ⇒ an+1 = cn , bn+1 = bn







Algoritmo

Elegir un a0 = a, b0 = b

cn = bn −f (bn) (bn − an)

f (bn)− f (an)Si f (an)f (cn) < 0 ⇒ an+1 = an , bn+1 = cnSi f (cn) = 0 ⇒ cn es cero de fSi f (an)f (cn) > 0 ⇒ an+1 = cn , bn+1 = bn




Velocidad de convergenciaOrden de convergencia de algunos metodos






6 Resumen





Velocidad de convergencia

Orden de una raız

Supongamos que f (x) y sus derivadas f ′(x), ..., f (M)(x) estan definidas y soncontinuas en un intervalo centrado en el punto x∗. Se dice que f (x) = 0 tiene unaraız de orden M en x = x∗ sif (x∗) = 0, f ′(x∗) = 0, ..., f (M−1)(x∗) = 0, f (M)(x∗) 6= 0





Velocidad de convergencia

Orden de una raız

Supongamos que f (x) y sus derivadas f ′(x), ..., f (M)(x) estan definidas y soncontinuas en un intervalo centrado en el punto x∗. Se dice que f (x) = 0 tiene unaraız de orden M en x = x∗ sif (x∗) = 0, f ′(x∗) = 0, ..., f (M−1)(x∗) = 0, f (M)(x∗) 6= 0

Orden de convergencia

Supongamos que {xn}∞n=0 converge a x∗ y sea En = x∗ − xn para cada n ≥ 0. Siexisten dos constantes positivas A > 0 y R > 0 tales que

limn→∞

|x∗ − xn+1||x∗ − xn|R

= limn→∞

|En+1||En|R

= A,

entonces se dice que la sucesion converge a x∗ con orden de convergencia R y elnumero A se llama constante asistotica del error.Si R = 1 se llama convergencia linealSi R = 2 se llama convergencia cuadratica





Orden de convergencia de algunos metodos

Orden de convergencia del metodo de Newton-Raphson

Si el grado de multiplicidad de x∗ es M = 1 entonces se obtiene convergencia cuadratica:

|En+1| ≈��f ′′(x∗)

��2 |f ′(x∗)|

|En|2

Si el grado de multiplicidad de x∗ es M > 1 entonces se obtiene convergencia lineal:

|En+1| ≈M − 1

M|En|








|En+1| ≈��f ′′(x∗)

��2 |f ′(x∗)|

|En|2


|En+1| ≈M − 1

M|En|

Orden de convergencia del metodo de la Secante

Si el grado de multiplicidad de x∗ es M = 1 entonces se obtiene una orden de convergencia igual a 1.618:

|En+1| ≈

��f ′′(x∗)

2f ′(x∗)

��0.618

|En|1.618








|En+1| ≈��f ′′(x∗)

��2 |f ′(x∗)|

|En|2


|En+1| ≈M − 1

M|En|

Orden de convergencia del metodo de la Secante

Si el grado de multiplicidad de x∗ es M = 1 entonces se obtiene una orden de convergencia igual a 1.618:

|En+1| ≈

��f ′′(x∗)

2f ′(x∗)

��0.618

|En|1.618

Metodo de Newton-Raphson acelerado para raıces multiples

xn+1 = xn − Mf (xn)

f ′(xn)siendo M es grado de multiplidad de la raız x∗.De esta forma, obtenemos convergencia cuadratica a x∗,




Planteamiento del problemaObtencion de la parte real e imaginaria de la raız






6 Resumen





Planteamiento del problemaEcuacion compleja

Sea f : C → C , con f ∈ C2 [C , C ].f (z) = 0 z = x + iy , f (z) = u(x , y) + iv(x , y)







Metodo de Newton

zn+1 = zn −f (zn)

f ′(zn)







Metodo de Newton

zn+1 = zn −f (zn)

f ′(zn)

Condicion de Cauchy-Riemann

∂f

∂x=

∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

∂f

∂z

∂z

∂x=

∂f

∂z

∂f

∂y=

∂u

∂y+ i

∂v

∂y=

∂f

∂z

∂z

∂y= i

∂f

∂z

Por tanto,

∂f

∂z=

∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

∂v

∂y− i

∂u

∂y

∂u

∂x=

∂v

∂y,

∂v

∂x= −

∂u

∂y





Obtencion de la parte real e imaginaria de la raız

Obtencion del algoritmo

zn+1 = xn+1 + i yn+1 = xn + i yn −u(xn, yn) + i v(xn, yn)

∂u(xn, yn)

∂x+ i

∂v(xn, yn)

∂x





Obtencion de la parte real e imaginaria de la raız

Obtencion del algoritmo

zn+1 = xn+1 + i yn+1 = xn + i yn −u(xn, yn) + i v(xn, yn)

∂u(xn, yn)

∂x+ i

∂v(xn, yn)

∂x

Parte real

xn+1 = xn −u(xn, yn)

∂u(xn, yn)

∂x− v(xn, yn)

∂u(xn, yn)

∂y�∂u(xn, yn)

∂x

�2

+

�∂u(xn, yn)

∂y

�2

Parte compleja

yn+1 = yn −v(xn, yn)

∂u(xn, yn)

∂x+ u(xn, yn)

∂u(xn, yn)

∂y�∂u(xn, yn)

∂x

�2

+

�∂u(xn, yn)

∂y

�2









6 Resumen




Resumen

Al resolver una ecuacion debemos localizar la zona (intervalo) de existencia decada raız y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.

En el caso de ecuaciones polinomicas, el metodo de Sturm junto con labiseccion permite separar las raıces en intervalos diferentes.

Disponemos de una gran variedad de metodos. En cada caso debemos elegir elmas adecuado. En cuanto a rapidez, el metodo de Newton-Raphson gana al serde orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de lafuncion de forma explıcita. Entonces habrıa que pensar en otros metodos.

Hay que tener cuidado con las raıces multiples. La convergencia puede ser muylenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.

En caso de raıces complejas, debemos aplicar la version generalizada deNewton-Raphson.

parte 1. resolución de una ecuación f x) = 0 · análisis de la rapidez y condiciones de...

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