part 3-5.pdf

s

Part 3:

Hàm biến phức

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

I. Hàm biến phức

II. Chuỗi phức

III. Tích phân đường phức

IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư

V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

1. Định lý thặng dư

2. Tính tích phân thực

3. Tìm biến đổi Laplace ngược



Ví dụ 5.01: Tính tích phân

với C là đường tròn:

a. |z| = 1 b. |z| = 3


Định lý thặng dư: Nếu f(z) là một hàm giải tích bêntrong và trên đường cong kín C, ngoại trừ tại một sốhữu hạn điểm cực zi (i = 1, 2,… n), khi đó:

1

( ) 2 Res ( ),n

iCi

f z dz j f z z

3 2

3

1

4C

z z zdz

z z

Đáp án ví dụ 5.01:


3 2

3

1Res ( ),0

41 3 3

( ) Res ( ),28 44

3 3Res ( ), 2

8 4

f z

z z zf z f z j j

z z

f z j j

1. ( ) 2 .Res ( ),0 2

4 2

. ( ) 2 . Res ( ),0 Res ( ),2 Res ( ), 2

1 3 3 3 32 2

4 8 4 8 4

C

C

ja f z dz j f z j

b f z dz j f z f z j f z j

j j j j



với C là đường tròn |z| = 3.

Đáp án:


3 2( 2 2)C

dz

z z z

1 1 1 1 1

( ) 2 . 04 8 8 8 8C

f z dz j j j



Loại 1: Tích phân với cận , có dạng như sau:

trong đó P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n vàm, với m > n + 1.

với zi (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trênmặt phẳng phức, tức là Im{zi} > 0.


1

( ) ( )

2 Res ( ),

C

n

ii

f x dx f z dz

j f z z

( )( )

( )

P xf x dx dx

Q x

R


Đáp án:

với C là đường cong kín vô cùng lớn, bao toàn bộ nữatrên mặt phẳng phức.

Dùng định lý thặng dư (hoặc công thức tích phânCauchy) để tính tích phân phức ở vế phải:


2 2( 4)

dx

x

2 2 2 2( 4) ( 4)C

dx dz

x z

2 2 2 2 2 2

12 .Res ; 2

16( 4) ( 4) ( 4)C

dx dzj j

x z z


Hệ quả 1: Tích phân có cận với dạng:

trong đó P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n vàm, với m > n + 1.

với zi (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trênmặt phẳng phức, tức là Im{zi} > 0.


1

( ) ( )

2 Res ( ) ,

jax jaz

C

njaz

ii

f x e dx f z e dz

j f z e z

( )( )

( )jax jaxP x

f x e dx e dxQ x

R


Hệ quả 2: Tích phân có cận với dạng:

Trong đó

P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và m, vớim > n + 1.

zi (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên mặtphẳng phức, tức là Im{zi} > 0.


1

1

( )( )cos cos 2 Im Res ( ) ,

( )

( )( )sin sin 2 Re Res ( ) ,

( )

njaz

ii

njaz

ii

P xf x axdx axdx f z e z

Q x

P xf x axdx axdx f z e z

Q x


Ví dụ 5.04: Tính các tích phân sau:

Đáp án:


2 2 2 2

cos sin. . ( 0; 0)

ax axa dx b dx a k

x k x k

. . 0ksa e bk


Loại 2: Tích phân hữu hạn có dạng sau:

trong đó G là hàm phân thức của sin và cos .

Đổi biến z = ej, khi đó:

Tích phân I trở thành:


2

0(sin ,cos )dI G

1 1 1 1sin ; cos

2 2z z

j z z

dzd

jz

( ) 1C

I f z dz where C is the unit circle z



Đáp án: Đổi biến z = ej


2

0 2 cos

dI

2

2

2

4 11 12

2

2 1 2.2 .Re ; 2 3

4 1 3

C C

dz dzI

j z zz jzz

j sj z z

1 1cos ;

2

dzz dz jz


Ví dụ 5.06: Tính các tích phân sau:

Đáp án:


2

0

2

cos.

3 2cos

.2 25

da

dxb

x x

3 5. 1

5

.2 6

a

b


trong đó zi (i = 1,2,…,n) là các cực của F(z).

Ví dụ 5.07: Tìm biến đổi Laplace ngược của


L-1{F(s)} = f(t)

1

Re ( ) ,n

zt

ii

s F z e z


2 2

1( )

( 4)( 1)F s

s s

Đáp án ví dụ 5.07:


2

2

1Re s{ ( ) ,2}

41

Re s{ ( ) , 2}36

1 2Re s{ ( ) ,1}

3 9

zt t

zt t

zt t t

F s e e

F s e e

F s e te e

2 21 1 1 2

4 36 3 9t t t te e te e L-1{F(s)} = f(t)


part 3-5.pdf

Documents