s

Part 3:

Hàm biến phức

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

I. Hàm biến phức

II. Chuỗi phức

III. Tích phân đường phức

IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư

V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

Điểm bất thường, zeros và thặng dư

1. Điểm bất thường và zero

2. Thặng dư

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Điểm bất thường và zero

Thông thường f(z) tiến đến tại các điểm bấtthường, nhưng có nhiều trường hợp ngoại lệ.

Các điểm bất thường có thể phân loại thành:

• Điểm cực (bậc m)

• Điểm bất thường chủ yếu

• Điểm bất thường khử được.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Một điểm bất thường của hàm phức f(z) là điểmtrong mặt phẳng zmà tại đó f(z) không giải tích.

Một zero của f(z) là điểm trong mặt phẳng zmà tại đóf(z) = 0.

Nếu z0 là một điểm bình thường (giải tích) của f(z) thìsẽ có khai triển chuỗi Taylor của f(z) quanh điểm z0 (nóicách khác là chuỗi Laurent với phần chính bằng 0).

Nếu f(z) có khai triển chuỗi Laurent đến mũ -m ở phầnchính:

Khi đó z0 là một điểm bất thường của f(z), và trongtrường hợp này z0 được gọi là cực bậc m.

Một cách khác để định nghĩa cực bậc m:

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

210 1 0 2 0

00

( ) ... ( ) ( ) ...( )( )

m

m

a af z a a z z a z z

z zz z

00

0

lim ( ) ( )

0

m

mz z

m m

z z f z aif z is a pole of order m

a and a

1. Điểm bất thường và zero

Nếu phần chính của chuỗi Laurent hàm f(z) quanhđiểm z0 có vô số các số hạng, khi đó z0 được gọi là điểmbất thường chủ yếu của f(z).

Nếu f(z) không giải tích tại z = z0, nhưng khai triểnchuỗi Laurent quanh z0 thì không tồn tại phần chính(chuỗi Taylor), khi đó z0 được gọi là điểm bất thườngkhử được.

Ví dụ 4.01:

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3

1. ( )

( 2)( 3)

za f z

z z

có cực bậc 1 (cực đơn) tại z =-2.

có cực bậc 3 tại z = 3. có 1 zero tại z = 1.

1. Điểm bất thường và zero

Ví dụ 4.01 (cont):

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1

. ( ) z jb f z e có điểm bất thường chủ

yếu tại z = j.

2 4

sin. ( )

1 ...3! 5!

zc f z

z

z z

có điểm bất thường khửđược tại z = 0.

1. Điểm bất thường và zero

Ví dụ 4.02: Xác định vị trí và phân loại các điểm bấtthường và zero của các hàm sau:

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2 2

14

2 3

cos sin. .

. .1

1. .

1 ( 2) ( 3)

z

z

z za b

z z

zc e d

zz jz

e fz z z

1. Điểm bất thường và zero

2. Thặng dư

Ngoài ra, đối với điểm bất thường thuộc dạng cực(bậc m) ta có công thức tính thặng dư như sau:

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Nếu hàm phức f(z) có điểm bất thường tại z = z0,khi đó hệ số a-1 của (z – z0)

-1 trong khai triển chuỗiLaurent của f(z) quanh z0 được gọi là thặng dư của f(z)tại z0.

0

1

0 01

1Res ( ), lim ( ) ( )

( 1)!

mm

mz z

residue at a pole of order m

df z z z z f z

m dz

Ví dụ 4.03: Tính thặng dư của hàm

tại tất cả các cực.

Ví dụ 4.04: Tính thặng dư của các hàm sau tại các cựccho trước:

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2

2 2

2( )

( 1) ( 4)

z zf z

z z

3

2 2 2

4

3

sin. ( ) . 0

(1 )

. ( 1)(1 )

ze za at z j b at z

z z

zc at z

z

2. Thặng dư