part 1-2

I. Chuỗi Fourier

►II. Biến đổi Fourier

Part 1:

Giải tích Fourier

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

s

Biến đổi Fourier:

1. Biến đổi Fourier Tích phân Fourier

Biến đổi Fourier

Phổ tần số liên tục

2. Tính chất của phép biến đổi Fourier


1. Biến đổi Fouriera. Tích phân Fourier:

Giả sử f(t) là một hàm không tuần hoàn. Khi đó f(t)có thể xem như ‘tuần hoàn’ với chu kỳ T

Chuỗi Fourier phức của hàm ‘tuần hoàn’ f(t):

Đặt:0 1 0

2;

n n nn n

T


0 0

0 0

/2

/2

/2

/2

1( ) ; ( )

1( ) ( )

Tjn t jn t

n n Tn

T jn jn t

Tn

f t c e c f t e dtT

f t f e d eT

a. Tích phân Fourier:

Khi T : ∆ω 0; ωn ω: là biến liên tục, khi đó:

Đây chính là Tích phân Fourier, biểu diễn hàm f(t).


/2

/2

1( ) ( ) ;

2n n

T j j t

Tn

f t f e d e

1( ) ( )

2j t jf t e f e d d

1. Biến đổi Fourier

b. Biến đổi Fourier:

Tích phân Fourier có thể viết lại dưới dạng:

F(ω) được gọi là biến đổi Fourier của f(t).

f(t) được gọi là biến đổi Fourier ngược of F(ω).

Ký hiệu: F(ω) =F{f(t)} f(t) =F-1{F(ω)}


( ) ( )

1( ) ( )

2

j t

j t

F f t e dt

f t F e d


b. Biến đổi Fourier:

Để tồn tại biến đổi Fourier, hàm f(t) cần thõa mãnmột số điều kiện, gọi là điều kiện Dirichlet.

Điều kiện Dirichlet:

Nếu hàm f(t) thõa các tính chất:

(a) Tích phân

(b) Chỉ có một số hữu hạn các điểm cực đại, cực tiểu vàmột số hữu hạn các điểm gián đoạn trong bất kỳmột khoảng xác định nào

khi đó thể tìm biến đổi Fourier của f(t) .


( )f t dt


Ví dụ 2.01:

Tìm biến đổi Fourier của hàm số sau:


; 0( ) ; 0

0 ; 0

ate tf t a

t

0

( ) ( )

1( )

j t j tatF f t e dt e e dt

Fa j


Ví dụ 2.02:

Tìm biến đổi Fourier của hàm xung hình chữ nhật:

với hàm sincx định nghĩa bởi:


;( )

0 ;

A t Tf t

t T

sin

2 ; 0( ) 2 sinc

2 ; 0

Tj t

T

TAT

F Ae dt AT TTAT


sin; 0

sinc

1; 0

xx

x xx

c. Phổ Fourier liên tục:

Với F(ω) = F{f(t)} là biến đổi Fourier của f(t), viết lại

F(ω) thành dạng mũ phức:

Đồ thị | F(ω)| và ϕ(ω) được gọi là phổ biên độ and phổpha của f(t).Lưu ý:- Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, chúng ta có phổ tần số rời

rạc (tương ứng với chuỗi Fourier).- Nếu f(t) không tuần hoàn, chúng ta có phổ tần số liên

tục (tương ứng với biến đổi Fourier).


( )( ) ( ) , ( ) arg ( )jF F e with F


Ví dụ 2.03: Xác định phổ biên độ và phổ pha của hàm số:

Từ Ví dụ 2.01 ta có:


( )1( ) ( ) jF F e

a j

; 0( ) ; 0

0 ; 0

ate tf t a

t

2 2

1 1 1

1( ) ;

0( ) tan tan tan

1

Fa

a a


Ví dụ 2.03 (tt):


Phổ biên độ:

Phổ pha:


Biến đổi Fourier của một số hàm cơ bản:


f(t) F()

1 2π()

(t) 1

u(t) 1/(j) + π()

e-atu(t) 1/(a + j)

cos(0t) π[( + 0) + ( - 0)]

sin(0t) πj[( + 0) - ( - 0)]

sign(t) 2/(j)


2. Tính chất của biến đổi Fouriera. Tuyến tính

b. Dời thời gian

c. Dời tần số

d. Co giãn theo thời gian


F{a1f1(t) + a2f2(t)} = a1F{f1(t)} + a2F{f2(t)}

F{f(t – t0)} = e-jωt0F{f(t)} = e-jωt0F(ω)

F{e-jω0t f(t)} = F(ω – ω0)

F{f(at)} = (1/a)F(ω/a)

e. Đạo hàm theo thời gian

f. Nhân với tn

g. Tính đối xứng


F {f(n)(t)} = (jω)n F(ω)

F {f(t)} = F(ω) F {F(t)} = 2πf(-ω)

F {tn f(t)} = jnF(n)(ω)

2. Tính chất của biến đổi Fourier

h. Điều chế tín hiệu


F {f(t)cos(0t)} = [F(ω + ω0) + F(ω – ω0]/2

F {f(t)sin(0t)} = j[F(ω + ω0) - F(ω – ω0]/2


Ví dụ 2.04:


1

2

3

4

( ) 2 sinc( )

( ) 2 sinc( )

( ) 2 sinc( )

( ) 4 sinc(2 )

j T

j T

F AT T

F ATe T

F ATe T

F AT T


Appendix 1: Two useful functionsa. The Unit Impluse Function δ(t):

The Unit Impulse Function (or Dirac Function) isdefined as:

No ordinary function behaves this way!

Some real impulse approximations:


0; 0( ) ( ) 1

; 0

tt and t dt

t

Appendix 1: Two useful functionsProperties of the Unit Impulse Function:

i. Scale Impulse: αδ(t)

ii. Time-shifting: δ(t - T) is an impulse at t = T

iii. Multipication of a Function by an Impulse

f(t)δ(t – T) = f(T)δ(t – T)

iv. Sampling


( ) ( ) ( )f t t T dt f T

Appendix 1: Two useful functionsFourier Tranform of the Unit Impulse Function:

F{δ(t)} = 1

F{δ(t - T)} = e-jωT

F{1} = 2πδ(ω)

Integral of impulsive functions:

Integral of a function with impulses has jump at eachimpulse, equal to the magnitude of impulse.

Ex: f(t) = 1 + δ(t – 1) - 2δ(t – 2)


0

( ) ( )

( ) ( 1) 2 ( 2)

: '( ) ( )

t

y t f d

y t t u t u t

Check y t f t

Appendix 1: Two useful functionsb. Unit Step Function u(t)

Fourier Transform of Unit Step function:


1; 0( )

0; 0

tu t

t

( )( )

du tt

dt

1( )

j

F{u(t)} =

Appendix 1: Two useful functionsc. Applications

Example 2.05: Calculate the Fourier transform offunction:

Using Fourier Integral:


0 (| | 2)

1 ( 2 1)( )

1 ( 1 1)

1 (1 2)

t

tf t

t

t

1 1 2

2 1 1

( ) 4sinc( ) 4sinc(2 )j t j t j tF e dt e dt e dt

Appendix 1: Two useful functionsc. Applications

Example 2.05 (cont):

Using time-differentiation property and the Unit Impulse:


'( ) ( 2) 2 ( 1) 2 ( 1) ( 2)f t t t t t

2 22 2

4 sin 2 sin 2

j j j je e e e

j j

F{f’(t)}

4 sin 2 sin 2

4sinc( ) 4sinc(2 )

j j

j

F{f(t)} = F{f’(t)}/(jω)

Appendix 2: Some signal operationsa. Time-shift

b. Time-inversion


0 tba

A

f(t)

0 tb + Ta + T

A

f(t - T)

T

0 tba

A

f(t)

0 -a-b

A

f(-t)

Appendix 2: Some signal operationsc. Time-scaling


0 ba

A

f(t)

0 b/2a/2

A

f(2t)

0 2b2a

A

f(t/2)t t

t

ExercisesCalculate the Fourier transform of following functions:

2.


; 01. ( ) 0

; 0

at

at

e tf t a

e t

sin ; /3. ( )

0; /

at t af t

t a

part 1-2

Documents