part 1-1

7/18/2019 Part 1-1

http://slidepdf.com/reader/full/part-1-1 1/39

►I. Chuỗi Fourier

II. Biến đổi Fourier

Phần 1:

Giải tích Fourier

Created and edited by: Nguyen Phuoc ao Duy

s

7/18/2019 Part 1-1


Chuỗi Fourier:

1. Khai triển chuỗi Fourier

Khái niệm hàm tuần hoàn Dạng lượng giác của chuỗi Fourier Hàm chẵn và hàm lẽ Công thức lặp để tính các hệ số

Hàm xác định trong một thời gian giới hạn2. Dạng phức của chuỗi Fourier3. Phổ tần số rời rạc


7/18/2019 Part 1-1


a. Hàm tuần hoàn:Hàm f(t) gọi là hàm tuần hoàn nếu giá trị của nóđược lặp lại sau một khoảng thời gian xác định:

T: chu kỳ, 0

2

T

f(t) = f(t + T)


7/18/2019 Part 1-1



b. Dạng lượng giác của chuỗi Fourier:Nếu f (t) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T , khi đó:

d: một hằng số bất kỳ, thông thường chọn d = 0 hoặc –T /2.

0

0 01

0

0

0

( ) cos sin2

2

2( )cos

2( )sin

n nn

d T

n d

d T

n d

a f t a n t b n t

T

a f t n t dtT Euler fomulas

b f t n t dtT


7/18/2019 Part 1-1



Ví dụ 1.01:

Dùng công thức Euler để tính an , bn:

0( )

0

k if t f t

k if t

0

2 21 cos 1 1

4 1 1( ) sin sin 3 sin 5 ...

3 5

n

nn

a

k kb nn n

k f t t t t


7/18/2019 Part 1-1



Ví dụ 1.01 (tt):Xét các tổng riêng:

1 2

4 4 1sin ; sin sin 3 ; ...

3

k kS t S t t


7/18/2019 Part 1-1



Ví dụ 1.02:

Ví dụ 1.03:

1

( ) 0 2 2( ) sin

( 2 ) ( ) n

f t t if t f t nt

f t f t n

0

2

9

23 (0 1)( ) 3

cos 13 (1 2)

( 2) ( )3

n

n

at t

f ta nt

n f t f t

bn


7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.04:

0 0

20

0

2 4sin .

2 4 1( ) sin sin cos 2 .

4 1

2sin sin 2 . 0

n

n

a t dt

f t t a t nt dtn

b t nt dt



7/18/2019 Part 1-1


c. Hàm chẵn và hàm lẽ:Nếu f(t) là một hàm chẵn tuần hoàn với chu kỳ T:

Ví dụ 1.05:

00

1

/ 2

00

( ) cos

24

( ) cos ; 0

n

n

T

n n

a f t a n t

a f t n t dt bT

02

2

2

3( ) ( 1 1) 4( 2) ( ) 1 n

n

a

f t t t f t f t a

n

2 21

11 4( ) cos

3

n

n f t n tn



7/18/2019 Part 1-1


c. Hàm chẵn và hàm lẽ:Nếu f(t) là một hàm lẽ tuần hoàn với chu kỳ T :

Ví dụ 1.06:

0

1/2

00

( ) sin

40; ( ) sin

n

nT

n n

f t b n t

a b f t n t dtT

1

1

( ) ( 1 1) 2 cos( 2) ( )

12( ) sin

n

n

n

f t t t b n f t f t n

f t n tn



7/18/2019 Part 1-1


d. Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier:

Trong đó:tk: điểm gián đoạn của f(t) trong một chu kỳ [d; d + T )

J k = f (tk+) – f (tk-): bước nhảy tại tk.

010

010

1 1' sin

1 1' cos

m

n n k kk

m

n n k kk

a b J n tn n

b a J n tn n



7/18/2019 Part 1-1


d. Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier:

a , t1 , t2: các điểm gián đoạn của f(t) trong đoạn [a; b)

f(t)

0 a t1 bt2

f(a+) f(b-)

f(t1+)

f(t1-)f(t2+)

f(t2-)

t



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.07:

Các điểm gián đoạn của f (t) trong khoảng [-2; 2):

1; 2 10; 1 0

( )1; 0 1

0; 1 2( 4) ( )

tt

f tt

t f t f t

k 1 2 3 4

tk -2 -1 0 1

Jk -1 1 1 -1



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.07(tt):Bởi vì f ’(t) ≡ 0 a’n = b’n = 0

1 1

0 2 0

1 1( 1) 1 0

2 22

sin2

1 cos

n

n

a dt dt

na

n

n

b n



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.08:

Trong trường hợp này, f ’(t) ≡ 1 a’n = b’n = 0.

Ví dụ 1.09:

Trong ví dụ này, f (t) không có điểm gián đoạn nào,nhưng f ’(t) lại có.

a’n 0; b’n 0 f ’’(t) ≡ 2 a’’n = b’’n = 0.

( ) 0 2( 2 ) ( )

f t t if t f t f t

2( ) ( 1 1)

( 2) ( )

f t t t

f t f t



7/18/2019 Part 1-1


e. Hàm xác định trong một khoảng giới hạnNếu f (t) chỉ tồn tại (khác 0) trong khoảng 0 ≤ t < , thì

rõ ràng nó không phải là hàm tuần hoàn, nên không tồntại chuỗi Fourier

Trong trường hợp này, chúng ta lập hàm tuần hoànmở rộng của f (t ) để từ đó tìm chuỗi Fourier của f (t)nhưng chỉ trong khoảng [0, ).

i. Chuỗi toàn kỳ (chuỗi bao gồm cả thành phần cosin và

sin).Chúng ta định nghĩa hàm tuần hòa mở rộng (t) của f (t) như sau:


( ) ( ) (0 )

( ) ( )

t f t t

t t


7/18/2019 Part 1-1


Hàm tuần hoàn (t) với chu kỳ sẽ có khai triển

chuỗi Fourier, và chuỗi này sẽ bằng f (t) trong khoảng [0, ) (nếu ngoài khoảng này, f (t) không xác định, hoặc xácđịnh bằng 0, nhưng chuỗi vẫn tồn tại và khác 0).

Ví dụ 1.10: Tìm khai triển chuỗi Fourier toàn kỳ của:


(0 4)( )

0

t t f t

esle where


7/18/2019 Part 1-1


Định nghĩa hàm tuần hoàn (t) bởi:


( ) ( ) (0 4)

( 4) ( )

t f t t t

t t

1

1

4 1 1( ) 2 sin2

4 1 1( ) 2 sin (0 4)

2

n

n

t n tn

f t t n t t

n


7/18/2019 Part 1-1


ii. Chuỗi Fourier bán kỳ cosin và sinTa xác định hàm tuần hoàn mở rộng chẵn F(t) và

hàm tuần hoàn mở rộng lẽ G(t) của f (t) bởi:


( ) (0 )

( ) ( ) ( 0)

( 2 ) ( )

f t tF t f t t

F t F t

( ) (0 )

( ) ( ) ( 0)

( 2 ) ( )

f t t

G t f t t

G t G t


7/18/2019 Part 1-1


Với hàm tuần hoàn mở rộng chẵn , ta khai triển đượcchuỗi Fourier bán kỳ cosin.

Với hàm tuần hoàn mở rộng lẽ , ta khai triển được

chuỗi Fourier bán kỳ sin.

Ví dụ 1.11: Tìm khai triễn chuổi Fourier bán kỳ cosinvà chuỗi Fourier bán kỳ sin của hàm:


(0 4)( )

0

t t f t

esle where


7/18/2019 Part 1-1


Chuỗi bán kỳ cosin:Định nghĩa hàm tuần hoàn chẵn F(t) bởi:


( ) (0 4)( )

( ) ( 4 0)

( 8) ( )

f t t tF t

f t t t

F t F t

21

21

8 1( ) 2 ( 1) 1 cos

4( )

8 1( ) 2 ( 1) 1 cos (0 4)

4( )

n

n

n

n

F t n tn

f t n t t

n


7/18/2019 Part 1-1


Chuỗi bán kỳ sin:Định nghĩ hàm tuần hoàn lẽ G(t) bởi:


( ) (0 4)( )

( ) ( 4 0)

( 8) ( )

f t t tG t

f t t t

G t G t

1

1

1

1

8 ( 1) 1( ) sin

4

8 ( 1) 1( ) sin (0 4)

4

n

n

n

n

G t n tn

f t n t t

n


7/18/2019 Part 1-1


2. Chuỗi Fourier dạng phức

Từ chuỗi Fourier dạng lượng giác:

Thay thế:

Khi đó (*) trở thàn chuỗi Fourier phức:

cn còn có thể tính theo cách khác (nếu đã biết an , bn):

0

0 01

( ) cos sin (*)2

n nn

a f t a n t b n t

0 0 0 0

0 01 1sin ; cos

2 2 jn t jn t jn t jn tn t e e n t e e

j

0 0

1( ) ; ( ) ; 0, 1, 2,...

d T

jn t jn tn n dn

f t c e c f t e dt nT

*0

0 ; ;2 2 2

n n n n

n n n

a a jb a jb

c c c c


7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.12: Tìm chuỗi Fourier phức:

Giải:2

0

2

0 0

0

1;( 0)

2

1

2

( )

jnt

n

jnt

n

n

jc te dt n

n

c tdt

j f t e

n

( ) 0 2

( 2 ) ( )

f t t if t

f t f t



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.12 (tt):Ở ví dụ 1.02 ta đã tìm được chuỗi Fourier lượng giác:

cn có thể tính được từ a0 , an và bn như sau:

01

2 2( ) sin 2 ; 0;

n nn

f t nt a a bn n

0

02

1, 2,..., : ;2 2

1, 2, 3,... :

n n n nn n

n

ac

a jb a jb j j for n c c

n n j

for n c

n



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.13:2( ) ( 1 1)

( 2) ( )

f t t t

f t f t

1 2

21

12

0 1

2 2

0

1 2 1 ( 0)2

1 1

2 3

11 2( )

3

n jn t

n

n

jn t

n

n

c t e dt nn

c t dt

f t en



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.13(tt):Ở ví dụ 1.05 ta đã tính được dạng lượng giác:

cn có thể tính từ a0 , an và bn như sau:

2

0

02

2 1

1, 2,..., : 2

2 1 11, 2, 3,... : ;

2 3

n

n nn n

n

n

a jb

for n c cn

a for n c c

n

0 2

2 21

2 4; 111 4 3( ) cos ;

3 0

nn

n

n

n

a a f t n t n

n b



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.14:

2 2

1 1

2 2

1 1 1

cos .2 2 4

2 1 2 1( )

4 1 4 1

t t j j jnt jnt

n

n n

jnt

n

n

c t e dt e e e dt

c f t e

n n

1( ) cos ( ); ( 2 ) ( )

2 f t t t f t f t



7/18/2019 Part 1-1


3. Phổ tần số rời rạc

Dạng sóng hài của chuỗi Fourier:

Trong đó:

0 01

0 01

( ) cos

( ) sin

n nn

n nn

f t A A n t

f t A A n t

2 200 ; :

2 n n n

a

A A a b Biên độ của sóng hài bậc n

Pha của sóng hài bậc n

1 1tan ; tan :n n

n n

n n

b a

a b

Chuỗi Fourier cosin

Chuỗi Fourier sin


7/18/2019 Part 1-1


Phổ tần số rời rạc thực:Với chuỗi Fourier cosin, ta có phổ như sau:

Đối với chuỗi Fourier sin: αn được thay bởi βn



7/18/2019 Part 1-1


Phổ tần số rời rạc phức:Sử dụng chuỗi Fourier dạng phức:

Biến đổi các hệ số về dạng: |cn|: biên độ φn: pha (argument)

Bởi vì |cn| = |c-n| nên phổ biên độ sẽ đối xứng qua trụctung.

0

1

( ) jn t

nn

f t c e

( 0; 1; 2; ...)n jn nc c e n



7/18/2019 Part 1-1


Phổ tần số rời rạc phức:

Phổ biên độ phức

Phổ pha phức



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.15:

Chuỗi Fourier phức của f(t):

Từ đó xác định:

( ) 2 (0 2); ( 2) ( ) f t t t f t f t

0

2

( ) 2

n jn t

nn

j

f t en

2 / ( 1, 2, 3,...)

2 / ( 1, 2, 3,...)

/ 2 ( 1,2,3,...)arg

/ 2 ( 1, 2, 3,...)

n

n n

n n

c n n

nc

n



7/18/2019 Part 1-1


Phổ biên độ phức

Phổ pha phức

Ví dụ 1.15 (tt):



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.15 (tt):Chuỗi Fourier lượng giác của f(t):

Biến đổi về dạng sóng hài sin:1

4( ) 2 sin

n

f t n t

n

4 4

( ) 2 sin sin 22

4 4sin 3 sin 4 ...

3 4

f t t t

t t



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.15 (tt):

Phổ tần số rời rạc thực (ứng với chuỗiFourier sóng hài sin)



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.15 (cont):Quay lại chuỗi Fourier lượng giác của f(t):

Biến đổi về dạng sóng hài cosin:1

4( ) 2 sin

n

f t n t

n

4 4( ) 2 cos cos 2

2 2 24 4

cos 3 cos 4 ...3 2 4 2

f t t t

t t



7/18/2019 Part 1-1


Ví dụ 1.15 (tt):

Phổ tần số rời rạc thực (ứng với chuỗiFourier sóng hài cosin)



7/18/2019 Part 1-1


Historical Note: Charles Fourier

François Marie Charles FourierBorn: 7 April 1772Besançon, France

Died: 10 October 1837 (aged 65)Paris, France

Fourier was a Frenchphilosopher. Some of Fourier'ssocial and moral views, held to be

radical in his lifetime, have becomemainstream thinking in modernsociety. Fourier is, for instance,credited with having originated theword feminism in 1837.


part 1-1

Documents