Fsica C 2007 6. 0 Introduccin al concepto de paquetes de ondas Dra. Hilda Larrondo, Dr. Celso Aldao, Ing. Javier Viau. 1.La necesidad experimental de un nuevo objeto: el paquete de ondas EnelsigloXXseiniciaenlafsicaunadelasrevolucionesmsnotables,conla aparicindedosnuevasteoras:lateoradelarelatividadylamecnicacuntica.Elestado de situacin en ese momento era el siguiente: LamecnicadeNewton,sumamenteexitosaenlaexplicacindetodoslosfenmenos mecnicos,tenasucentroenelconceptodepartcula.Unapartculaqueenadelante llamaremosclsica(esdecirquerespondealasleyesdeNewton)tienelassiguientes caractersticas: Estlocalizadaenelespacio:suposicinestperfectamentedefinida mediante su vector posicin r. Est localizada en el tiempo: su posicin se conoce para cada instante t. Transporta masa m0. Transporta cantidad de movimiento dada por p=m0v. Transporta energa cintica dada por E=m0 v2 /2 No posee spin (mpetu angular intrnseco) LateoraelectromagnticadeMaxwell,porotrapartehabaconseguidoaparentemente explicarlanaturalezadelaluzyunificarlasondaselectromagnticasconlosrestantes fenmenosondulatoriosconocidos(ondasmecnicas).Laondaelectromagnticaplana armnica tiene las siguientes caractersticas distintivas: No est localizada sino que por el contrario ocupa todo el espacio. No est localizada en el tiempo sino que es eterna. Transportacantidaddemovimiento.Esacantidaddemovimientoest distribuida en todo el espacio ocupado por la onda por lo que se trabaja con una densidad de mpetu Pem tal que un elemento de volumen d/v posee un mpetu hp dado por dp= Pem dV. Transportaenergaperoesaenergaestdistribuidaentodoelespacio ocupado por la onda por lo que se trabaja con una densidad de energa uem talqueunelementodevolumendVposeeunaenergadUdadapordU= uem dV. La densidad de energa uemy la densidad de mpetu Pem estn relacionadas poruem=Pemc,dondeceslavelocidaddepropagacin(velocidaddela luz). Puede poseer mpetu angular (caso de polarizacin circular o elptica), que est distribuido en toda la regin ocupada por la onda por lo que se trabaja con una densidad de mpetu angular Lem tal que el mpetu de un elemento de volumen dV est dado por dL= Lem dV. La densidad de mpetu angular y la densidad de energa estn relacionadas por la expresin uem= Lem . Ntesequecantidadesdistribuidas(masa,p,E,L)puedentambinobtenerseapartirde chorrosdepartculas.Enefectosiimaginamosunchorrodepartculas,todasconigualp, igual Ec, igual m, y N es el nmero de tales partculas por unidad de volumen, resulta u=NEc; =Nm; P=Np. Sinembargoexisteunexperimentoquepermitedistinguirunchorrodepartculas clsicas de ondas armnicas planas:es la difraccin a travs de una rendija. Imaginemos un chorro, de seccin cilndrica, constituido por partculas clsicas. El chorro impacta sobre una placaconunorificiocircular.Laspartculaspuedenatravesarelorificioencuyocaso continansutrayectoriarectahastaimpactarsobrelapantalladondedejanunamancha circular del mismo tamao que el orificio de la placa; o bien pueden impactar contra la placa perforada en cuyo caso slo les queda rebotar o ser absorbidas, segn el tipo de choque que sufran (elstico, inelstico, plstico). Lasondas,porelcontrariosufrendifraccin,queresultaapreciableslosila dimensindelorificioescomparableconlalongituddeonda.Otrosfenmenos caractersticos de las ondas son el efecto tnel, el principio de superposicin, la interferencia, etc.Dadoquesehabademostradoexperimentalmentequelaluzsufradifraccinsise interponan orificios adecuados, pareca estar clara su naturaleza de onda. AcomienzosdelsigloXXhabanaparecidoproblemasparaexplicarciertoshechos experimentales.Algunosdelosmssignificativosparaeldesarrollodelateoracuntica fueron: El efecto Compton. La radiacin del Cuerpo Negro. El efecto fotoelctrico. ParaesamismapocaEinsteinformulsuteoradelarelatividadrestringida, basndose en la equivalencia entre todos los sistemas inerciales. Posteriormente, sobre la base delaequivalenciaentreunsistemadereferenciaaceleradoyuncampogravitatorioelabor su teora de la relatividad general. ElpropioEinsteinlogrexplicarelefectofotoelctricointroduciendoelnombrede fotn para el cuanto de luz que un poco antes haba sido utilizado por Planck para explicar la radiacin del cuerpo negro. (ver el cuadro 6.1 de Ondulatoria Elemental) En resumen, algunos hechos experimentales mostraban la conveniencia de considerar laluzcomochorrodepartculas.Peroporotraparteotroshechosexperimentales,comola difraccin,eranexplicablessilaluzesunaonda.Poresapocaenquenoselograba reconciliar ambas situaciones, se habl de la dualidad onda partcula: la luz es a veces onda, a veces partcula, pero no ambas cosas simultneamente. Ahorasabemosquelasolucinqueexplicaambascaractersticasesintroducirun nuevo objeto: los paquetes de ondas. 2.Paquete de ondas Un paquete de ondas unidimensional es una funcindexydetlocalizadaespacialmente.La forma aproximada de un posible paquete de onda puede verse en la figura Cuandoselomiraat=t0fijoelpaqueteseconvierteenunafuncindelavariable espacial x. Presenta una oscilacin de longitud de onda 0 que es lo que le dar la posibilidad de sufrir difraccin e interferencia cuando lo hagamos interactuar con objetos de dimensiones comparablesadichalongituddeonda.Perotambintieneunaenvolventequelolimita espacialmente. Una grfica similar se obtiene si fijamos x=x0 y representamos la funcin de t resultante (relea ahora el punto 3.6 de Ondulatoria Elemental). Para armar un paquete de ondas comenzamos sumando dos ondas armnicas de igual amplitudAydiferentespulsacionesynmerosdeonda.Elresultadopuedeobtenersemuy fcilmente con Mathematica y se ve en la figura siguiente. Laoscilacintieneunapulsacin0 igualalpromediodelaspulsacionesdeambas ondas y un nmero de onda k0 igual al promedio de los nmeros de onda de ambas ondas. La envolventetieneunperododadoporT=2*Tbat=2*2/(1-2)yunalongituddeondadada por env=2*bat=2*2/(k1-k2). IncrementemoselnmerodesenoidesperomanteniendolaamplitudA,lapulsacin media0, elnmerodeondamediok0ylasseparacionesentrepulsacionesykscontiguos -1 -0.5 0.5 1-2-112 k1 k0k2 -1 -0.5 0.5 1-3-2-1123 k1 k0k2 (yk).Elresultado,obtenidonuevamenteconMathematicasemuestraenlasfiguras siguientes. Como puede verse, al sumar N ondas con las condiciones fijadas arriba, el perodo delaenvolventenosealtera,aparecen(N-2)paquetessecundarios,laamplituddelos paquetes principales es proporcional a N y el ancho de los paquetes principales disminuye al aumentar N. -1 -0.5 0.5 1-4-224 -1 -0.5 0.5 1-4-224 k1 k2k0 k3 k4 k3 k1 k0 k2 k4 -1 -0.5 0.5 1-100-5050100 Podemosinferirfcilmenteelmododeobtenerelpaquetemostradoenlafigura1. Vamosadisminuirykparaqueelperododelaenvolventevayaaumentando(enel lmiteenqueyktiendenacero,ambosperodosdelaenvolvente,elespacialyel temporal, tendern a infinito). Simultneamentemantendremosconstantes0yk0paraquenosealterenlas caractersticas de la oscilacin, iremos aumentando el nmero de senoides que sumamos, de modo que cuando N tienda a infinito esperamos haber localizado el paquete. Lafigurasiguientemuestraelpaqueteobtenido(parat=t0).Lacurvaenformade pulsorectangularde(a)indicaquelassenoidesquehemossumadotienentodaslamisma amplitud. La envolvente obtenida tiene la forma de la funcin sen x/x . Enformarigurosa,elmododehallarladistribucindeamplitudesyfasesdelas distintas senoides que es necesario sumar para obtener un paquete de forma dada es el clculo -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2-100-75-50-25255075100(b) (a) kmin k0 kmax de la Transformada de Fourier. Damos a continuacin una introduccin al tema (Lea tambin el cuadro 3.1 de Ondulatoria Elemental). 3.Series de Fourier ElteoremadeFourierestablecequeunafuncinperidicapuedeexpresarsecomo sumadecosenosysenosdefrecuenciascorrespondientesaladelafuncindadaysus armnicas.Esdecirquealsumarfuncionessenoycosenodefrecuenciasmltiplosdeuna frecuenciafundamental,conunaamplitudelegidaapropiadamente,podremosobteneruna funcin peridica arbitraria. Entonces,unafuncinf(x)queserepitecada2puedeexpresarsecomouna superposicin de funciones sinusoidales de la siguiente manera ... 2 sen sen ... 2 cos cos ) (2 1 2 1 0+ + + + + + = x B x B x A x A A x f ,(1) que podemos expresar en forma ms sucinta como f (x) = Ancos(nx) + Bnsen(nx) [ ]n=0.(2) La forma de la funcin resultante de la suma dada en la Eq. 2 depende de las amplitudes de las funciones seno y coseno que sumemos, es decir, de los valores de An y Bn. El desafo es entonces encontrar los valores de las constantes An y Bn que debemos incorporar en la suma de la Eq. 2 para obtener la funcin f(x) dada.El valor medio de f(x) debe ser dado por el trmino A0 ya que las funciones seno y coseno no tienen valor medio, A0=12f (x)dx.(3) ParadeterminarelrestodelosvaloresAnmultiplicamosambosmiembrosdelaEq.2por cos(px) e integramos f (x)cos( px)dx= cos( px) Ancos(nx)n=0| \ | | | dx+ cos(px) Bnsen(nx)n=0| \ | | | dx.(4) Si recordamos que p n dx px nxsiempre dx px nx ==, 0 ) cos( ) cos(, 0 ) sen( ) cos(, de la Eq. 4 podemos obtener una expresin para An

An=1f (x)cos(nx)dx.(5) De igual modo, pero multiplicando ambos miembros de la Eq. 2 por sen(px), se obtiene una expresin para Bn

Bn=1f (x)sen(nx)dx.(6) Los coeficientes An y Bn dados por las Eqs. 5 y 6 son vlidos para una funcin de perodo 2.Este resultado se puede fcilmente extender a funciones de cualquier perodo T mediante los siguientes cambios de variables.Primero definimos w1=2Twn= nw1= n2T,(7) Entonces, x = w1tdx =2Tdtnx = wnt .(8) AlreemplazarenlasrelacionesencontradasparaAn,AnyBnseobtienenlosvaloresdelos coeficientes para una funcin de cualquier perodo T. ===2 /2 /2 /2 /2 /2 /0) sen( ) (2) cos( ) (2) (1TTn nTTn nTTdt t w t fTBdt t w t fTAdt t fTA (9) La expansin f(t) correspondiente adopta la siguiente forma, f (t) = Ancos(wnt) + Bnsen(wnt) [ ]n= 0.(10) Si escribimos la expansin de la siguiente manera [ ]=+ + =10) sen( ) cos(2) (nn n n nt w B t w AAt f ,11) entonces no necesitamos una definicin exclusiva para A0 ya que queda incluida en la de An, Otra manera de escribir la expansin es la siguiente [ ]=+ + =10) sen( ) cos(2) (nn n n nt w b t w aT Tat f.(12) En este caso, los coeficientes an y bn adoptan la siguiente forma ==2 /2 /2 /2 /) sen( ) () cos( ) (TTn nTTn ndt t w t f bdt t w t f a(13) 4.Forma exponencial de la serie de Fourier La expansin dada por la Eq. 12 puede escribirse como f (t) =a0T+2Tan2+ bn2cos(wnt + n)n=1 ,(14) donde hemos definido n=arc tg(-bn/an). Ahora definimos cn=cn ein, donde cn=(an2+ bn2)1/2, es decir cn=an+ibn.Entonces, = + + =10) cos(2) (nn n nt w cT Tct f(15) Si recordamos que cos x=(e ix+e-ix)/2, la Eq. 15 puede reescribirse como { }= + ++ + =1) ( ) (01) (nt w i t w inn n n ne e cT Tct f .(16) Si entendemos, por definicin, que w-n=-wn y -n=-n, la Eq. 16 puede expresarse como ==nt iwnne cTt f1) ( (17) Dado que cn=an+ibn, entonces [ ]dt t w i t w t f cTTn n n =2 /2 /) sen( ) cos( ) (,(18) que finalmente puede escribirse de la siguiente manera dt e t f cTTt iwnn=2 /2 /) ( . (19) 5.Integral de Fourier ElmtododeFouriernosloestilparaanalizarfuncionesperidicassinoque tambinpuedeseraplicadoafuncionesnoperidicas.Losresultadosobtenidospara funcionesperidicaspuedenfcilmenteserextendidosparautilizarlosenfuncionesno peridicas. En este caso, podemos considerar que el perodo de la funcin cubre el intervalo (-, ). LadiferenciaesencialqueresultadeaplicarelmtododeFourieraunafuncinno peridica respecto de una peridica radica en que el espectro resultante es continuo en lugar dediscreto.Esdecir,hastaahoratratamosconcoeficientesquecorrespondenavalores determinados de frecuencia (wn). El resultado para una funcin no peridica, por el contrario, da lugar a un espectro continuo en el que la amplitud correspondiente a cada frecuencia est dada por una funcin llamada transformada de Fourier de la funcin. HabamosvistoquelasfrecuenciasenlasEqs.9,13y19vienendadaspor wn=nw1=n(2/T).De aqu se observa que las armnicas estn uniformemente distribuidas en frecuencia de tal modo que la diferencia entre dos armnicas sucesivas es: w = wn+1 wn=2T (20) Como lo adelantamos, podemos considerar que en una funcin no peridica el perodo es infinito. Primero escribimos la expansin dada en la Eq. 17 de la siguiente manera w e c t fnt iwnn = = 21) ( ,(21) y a continuacin hacemos T. Note que w0 y cn se convierte en una funcin de w que llamamosF(w).ConestasconsideracionespodemosescribirlatransformadadeFourierde una funcin no peridica y su expansin de la siguiente manera dw e w F t fdt e t f w Fiwtiwt + ==) (21) () ( ) ((22) Siestamostratandoconunafuncindelaposicinf=f(x),entonceselpar transformado se puede escribir dk e k F x fdx e x f k Fikxikx + ==) (21) () ( ) ( (23) 6.El principio de incerteza LaintegraldeFouriernosbrindalasherramientas matemticasparamanejarnosconpaquetesde ondasopulsos.Laondaarmnicapuraesuna idealizacinpuesenlavidarealesimposible producir una onda que se extienda a todo el espacio y que dureeternamente sino que, por elcontrario, uno siempreseenfrentaconfenmenosdeduraciny extensin finitas. Por ejemplo la funcin de la figura esunpaqueteobtenidoalmultiplicarunafuncin senoidalporunamodulantegausiana.Como acabamosdeverlaintegraldeFouriernospermiteconstruiresepulsoocualquierotro sumando ondas senoidales. Comencemos viendo las caractersticas generales de una funcin tipo pulso o paquete.Dada una funcin g(u) de una variable cualquiera u de energa finita, lo que matemticamente seindicadiciendoqueesunafuncindecuadradointegrable,esdecirunafuncinque cumple: (24) Se define el centro de la funcin por la expresin (25) y se define el radio de g(u) por la expresin: (26) Explcitamentehemoselegidolavariableuparaquequedeclaroqueloanteriorpuede hacerseparaunafuncindecualquiervariable.Paracadavariableuexisteunavariable conjugada y una funcin asociada () que es la transformada de Fourier de g(u). Tambin puedenevaluarseutilizandolasexpresiones(25)y(26),elcentroyelradiode().Puede demostrarse que existe una relacin entre los radios de ambas funciones dada por: (27) relacin que seconoce como principio de incerteza. Y tambin puede demostrarse que en la ecuacin (27) slo se cumple la igualdad para el caso de una funcin g(u) de la forma (28) Dondelasconstantesa,b,cy>0,sonconstantes.Estafuncinsedenominafuncin Gaussiana y es la nica que tiene esa propiedad. Ahora relealos puntos 3.2, cuadro 3.1 y punto 3.6 del libro Ondulatoria Elemental Luego lea los puntos 6.1, 6.2 y el cuadro 6.1. NotequeenladefinicindelpartransformadodeFourieresposiblemodificarelfactorde proporcionalidaddecadaintegral.Enelcuadro6.1,porejemploseoptporunaexpresin simtrica.Enesteapunteencambioseadoptelfactordenormalizacinusualenteorade comunicaciones. < du u g2) (du u gdu u g uu =22) () (( )2 / 122 2) () (2)` = du u gdu u g u ug21 g g( ) 42) (b ujaue ce u g= Gua de Problemas Unidad 6 1.La energa de arranque fotoelctrico del potasio es 2 eV. Suponiendo que sobre l incide luz de 3.6 E-7 m de longitud de onda, hallar: a) el potencial que detiene a los fotoelectrones, b) la energa cintica y la velocidad de los ms rpidos electrones liberados. 2.Cuando se ilumina cierta superficie metlica con luz de diferentes longitudes de onda, se miden los potenciales de detencin de los fotoelectrones que se miden en la tabla. (x 10E-7 m)V (Volts) 3.661.48 4.051.15 4.360.93 4.920.62 5.460.36 5.790.24 Representar el potencial de detencin en funcin de la frecuencia de la luz. Determinar del grfico: a) el umbral de frecuencia, b) la energa de arranque fotoelctrico del metal, c) la razn h/e. 3.Sea un neutrn trmico, es decir un neutrn que se desplaza con la velocidad tpica de una partcula atmosfrica a la temperatura ambiente (su energa cintica vale 3/2kT, con k=1.3810-23 J/K y T la temperatura absoluta). Encuentre la longitud de onda de De Broglie para tal neutrn. Puede realizar experimentos de difraccin de neutrones en esas condiciones? (mn=masa del neutrn=1.6710-27 kg). 4.A travs de qu ddp deben ser acelerados electrones (q=1.610-19 C, m=9.110-31 kg) para que su longitud de onda de De Broglie sea de tamao tpico del entramado interactmico d de un cristal (d1nm)? 5.Los aceleradores de partculas modernos pueden imprimir con relativa facilidad una energa total de 1GeV (=109 eV; y 1eV=1.610-19 J) a un electrn. En esas condiciones, de acuerdo a la Teora de la Relatividad, su energa total vale E2=p2c2+m02c4 (p=mpetu, c=velocidad dela luz). Calcule la longitud de onda de De Broglie para tal electrn y discuta si de acuerdo a la misma es posible utilizar (al electrn) como luz para ver el ncleo atmico. 6.Segnlateoradelarelatividadlaspartculaspuededestruirseparatransformarseenenergay viceversa. Puede un fotn crear un solo electrn? Justifique 7.Unapartculademasaenreposom0semueveavelocidadv.Demuestrequeenelcasoenque v