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8/17/2019 Paper_Robotica_Avanzada_AAguiar_HRojas.pdf

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Abstract — this thesis is framed in the design of a controlsystem for computed torque and their developmentthrough technical PID control as part of research for bothacademics and professional. Academically serve forfuture knowledge researchers, postgraduate students orstudents who are interested in this area of robotics, to

serve as a drought in the development of control systemsin the professional field may consider this thesis tovalidate the correct the manipulator performs will bebased on the control system proposed here

Palabras Claves— Arduino, Control, Robot, 3 DOF,Simmechanics, Simulink.

I. INTRODUCCIÓN

Hoy en día el avance de la tecnología se encuentra enconstante crecimiento. El desarrollo tecnológico es un

aspecto estratégico para todo país en vías de

crecimiento. La trascendencia del desarrollo científico

no se limita a sus consecuencias económicas, también

contribuye a elevar la vida política y social, aumenta la

reflexión y conocimiento de la sociedad sobre sí misma,

y por tanto la capacidad del país para dirigir su propio

destino. Asimismo, favorece las posibilidades para que

la población obtenga beneficios colectivos de gran

importancia, entre ellos, mejorar la salud y calidad de

vida.

En base a la experiencia de países avanzados, el

desarrollo científico y tecnológico influye de manera

significativa en la vida de sus habitantes, reflejándose

en la capacidad para crecer y absorber tecnologías más

productivas. Aún más, la superioridad de una nación

depende de su capacidad para innovar tecnología de

manera permanente, de tal forma que, con el avance de

la generación y aplicación de los conocimientos se

incrementa la calidad y los procesos de producción se

vuelven más complejos y especializados. Ambos

aspectos aumentan la demanda de mano de obra

calificada, misma que exige una remuneración más altay se abren más oportunidades para ascender a mejores

puestos de trabajo en todo el aparato productivo. Lo

anterior repercute positivamente en la economía,

puesto que genera ahorro interno.

Con los valores obtenido de la tabla I reemplazamos losvalores en una matriz de Denavit-Hartenberg(1)

diferente para cada una de las articulaciones.

(1)

Finalmente para obtener la cinemática directa

multiplicamos las 4 matrices de Denavit-Hartenberg(2)

y obtenemos una matriz de transformación final la cual

nos proporcionara la cinemática directa del robot .

(2)

II.

DESCRIPCCION DEL MANIPULADORLa estructura a analizar será un robot esférico

de tres grados de libertad, el dibujo

esquemático en tridimensional (3D), se

obtendrá mediante el software de diseño

mecánico SOLIDWORKS, debido a sus juntas

rotaciones y prismáticas; y a su disposición de

los ejes coordenados obtendremos un modelos

dinámico resultante más sencillo y

manipulable para efectuar el control y se evite

redundancia en la medida de lo posible.

Esquema del robot se muestra en la siguiente

figura

A. MORFOLOGIA DEL ROBOTEl manipulador tendrá 2 grados

rotacionales

Diseño y Simulación de un sistema de control multivariable por par

computado aplicado a un manipulador robótico de 3DOF mediante

técnica PID

Hans C. Rojas Caytuiro, Alvaro Aguilar Chavez ,

[email protected], [email protected]


2/8

B. PARAMETROSLa utilidad del modelo dinamico resulta

importante cuando se dispone de los

valores numéricos de todos los

parámetros del robot; bajo este enfoque en

la siguiente tabla se muestra la

terminología, significado y valores de un

robot prototipo de 2 gdl.

III CINEMATICA DE MANIPULADORES

Los robots clásicos presentan una arquitectura

antropomórfica serial, semejante al brazo humano.

Consisten de una serie de barras rígidas unidas entre

sí a través de articulaciones de un grado de libertaddel tipo rotacional o prismática. En general cada

articulación logra su movimiento a través de un

accionamiento de potencia e incluye otros

dispositivos como reductores de velocidad, frenos y

sensores de posición o velocidad.

A CINEMATICA DIRECTA

La cinemática directa se plantea en términos de

encontrar una matriz

de transformación que relaciona el sistema de

coordenadas ligado al cuerpo en

movimiento respecto a un sistema de coordenadasque se toma como referencia. Para

lograr esta representación se usan las matrices de

transformación homogénea 4x4, la

cual incluye las operaciones de traslación y la

orientación.

La matriz de transformación homogénea es una

matriz de 4x4 que transforma un

vector expresado en coordenadas homogéneas

desde un sistema de coordenadas hasta

otro sistema de coordenadas.

Mediante el método de Denavit – Hartenberg y lamatriz de transformación, obtenemos las

expresiones de la cinemática directa.

Parámetros de DH (Denavit - Hartenberg).

Para obtener la cinemática directa del robotharemos uso de los siguientes programas en MATLAB:

robot_esferico_3dof_final.m

Obteniendo como resultado:

Modificamos el código de directkinematic4 del

laboratorio 2, para nuestro modelo

% DIRECTKINEMATIC3 DirectKinematic. % A03 = DIRECTKINEMATIC3(Q) devuelvela matriz de transformación del % primer sistema de coordenadas alúltimo en función del vector Q% de variables articulares. % % See also DENAVIT.

function A03 = directkinematic3(q)

% Parámetros Denavit-Hartenberg delrobot

Significado

Notació

n Valor

Masa del eslabón 1 m1 26.9 kg

Longitud del eslabón 1 I1 0.45 m

Inercia del eslabón 1 Iz1

1.266 Nm-

seg2/rad

Inercia del eslabón 1 Iy1

0.089 Nm-

seg2/rad

Inercia del eslabón 1 Ix1

0.03 Nm-

seg2

/radCentro de masa del

eslabón 1 Ic1 0.091 m

Coeficiente de fricción

viscosa b1

2.288 Nm-

seg/rad

coeficiente de fricción de

Coulomb f c1 7.17 Nm


estática f e1 8.8 Nm

Masa del eslabón 2 m2 30 kg

Longitud del eslabón 2 I2 0.45m

Inercia del eslabón 2 Iz2 0.084 Nm-seg

2/rad

Inercia del eslabón 2 Iy2

0.03 Nm-

seg2/rad

Inercia del eslabón 2 Ix2

0.05 Nm-

seg2/rad

Centro de masa del

eslabón 2 Ic2 0.038 m


viscosa b2

0.2 Nm-

seg/rad

coeficiente de fricción de

Coulomb f c2 1.9

NmCoeficiente de fricción

estática f e2 2.1 Nm


3/8

teta = [q(1) q(2) 0 ]; d = [0.45 0 q(3)]; a = [0 0 0 ]; alfa = [pi/2 pi/2 0 ];

% Matrices de transformaciónhomogénea entre sistemas de coordenadasconsecutivos A01 = denavit(teta(1), d(1), a(1),alfa(1)); A12 = denavit(teta(2), d(2), a(2),alfa(2)); A23 = denavit(teta(3), d(3), a(3),alfa(3));

% Matriz de transformación del primeral último sistema de coordenadas A03 = A01 * A12 * A23;

Y corremos el programa para las coordenadas

articulares q=[0 0 0] Para obtener la matriz de

trasformación homogénea

q=zeros(3,1); T=directkinematic3(q)

T =

1.0000 0 0 0

0 -1.0000 -0.0000 0

0 0.0000 -1.0000 0.4500

0 0 0 1.0000

B CINEMATIC A INVERSA

La cinemática inversa consiste en hallar los valores de

las coordenadas articulares del robot [ ]T q q , q ,....,qn

= 1 2 conocida la posición y orientación del extremo

del robot.j Las técnicas que se estudian aquí, se aplican

a un manipulador mecánico de cadena abierta y tratan

la

geometría del movimiento de un robot con respecto a

un sistema de referencia fijo como una función del

tiempo sin considerar la dinámica.

A

En este capítulo se describirá Diseño y Simulación

de un sistema de control multivariable por par

computado aplicado a un manipulador robótico de

3DOF mediante técnica PID . Es aquí donde debemos

recordar que nuestra meta final es lograr el control del

movimiento del manipulador robótico, el cual consiste

en determinar los pares aplicados a los servo

actuadores que forman las articulaciones, de tal forma

que las posiciones asociadas a las coordenadas

articulares del robot q(t) sigan con exactitud a laposición deseada qd(t) variante en el tiempo.

II a. Cinemática del Robot

Mediante el método de Denavit – Hartenberg y la

matriz de transformación, obtenemos las

expresiones de la cinemática directa.

Parámetros de DH (Denavit - Hartenberg).

Para obtener la cinemática directa del robot

haremos uso de los siguientes programas en MATLAB:

robot_esferico_3dof_final.m

Obteniendo como resultado:

II b. Dinámica del Robot

Para obtener la dinámica del robot se aplicó el

Método de LaGrange. Para obtener la siguiente

ecuación:

Los cálculos de las matrices H, C y G, fueron

obtenidos de acuerdo a procedimientos enerales

explicados en diversos libros de robótica. A

continuación se presenta el esquema en simulink

de la ecuación presentada arriba

A continuación mostramos el esquema en simulink

para representar al robot.


4/8

Este esquema luego es agrupado en un subsistema,

para realizar las simulaciones como se muestra en la

siguiente figura

III b. Control PID

El controlador PID es utilizado para mejorar larespuesta dinámica del robot para una referencia de

posición sobre el efector final, así como también para

eliminar el error en estado

estacionario de dicha posición.

Este control contaría con:

Control Proporcional: El controlador proporcional

produce un offset en la repuesta del sistema, esto es,

regula la ganancia en estado estacionario del sistema.

Control Integral: El controlador derivativo agrega un

polo en el origen, para eliminar el error (offset) en

estado estacionario.

Control Derivativo: El controlador derivativo agrega

un cero en el infinito para reducir o eliminar el sobre

impulso (overshoot).

La función de transferencia del controlador está

dada por la siguiente expresión:

Un diagrama de nuestro controlador seria:

III. PROGRAMACION MATLAB

IV.

PLANIFICACION DE TRAYECTORIAS

h

% PLANIFICADOR Planificador de

trayectorias con interpolador 4-3-4.%% [T,POS_PLAN, VEL_PLAN,ACE_PLAN]=PLANIFICADOR(Q1,Q2) calculalas matrices


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% de posición, velocidad yaceleración de los puntos nudo querepresentan% la planficiación detrayectorias entre los punto Q1 y Q2cumpliendo con% las restricciones detrayectoria suave y prestaciones de losactuadores.

% Utiliza los polinomios 4-3-4 enlos tres segmentos de trayectoria.%% Ver también CALCULOCOEF,SINCRONIZADOR, EVALPOS, EVALVEL,EVALACEL.

function [t, pos_plan, vel_plan,ace_plan] = planificador(q1,q2)

%********************************parámetros de losaccionamientos**************

%--------------------------------------------------------------------------% Especificaciones de los tiempos dearranque y frenado de cada motor.%--------------------------------------------------------------------------

tmotor = 0.1*ones(6,2);

%-------------------------------------------------------------------------%Velocidades Maxima de cada motor.

%-------------------------------------------------------------------------

velmax =[1.0472;1.0472;1.0472;1.0472;1.0472;1.0472];

%********************************planificadorcoordinado***********************

%--------------------------------------------------------------------------

% Inicialización de los vectoresposicion - Velocidad - aceleracion.%--------------------------------------------------------------------------

q = zeros(6,1);q0 = [q1 q q];qf = [q2 q q];

%-------------------------------------------------------------------------% Sincronización de los motores paraque realizen un movimiento coordinado

%-------------------------------------------------------------------------

[velo2,tmaximo]=sincronizador(q0,qf,velmax);

%-------------------------------------------------------------------------%Inicialización de la escala de tiempoy las matrices.%-------------------------------------------------------------------------

t = 0:0.01:(tmaximo+0.15);

% +0.15 se suma con el fin de aumentarel intervalo de tiempo y muestrear% todo el intervalo de frenado de laarticulación, asumiendo las% aproximaciones realizadas en lafunción SINCRONIZADOR.

ini=zeros(length(t),1);pos_plan(:,1)=ini;vel_plan(:,1)=ini;ace_plan(:,1)=ini;

%-------------------------------------------------------------------------% Cálculo de los coeficientes de lospolinomios y evaluación de los% polinomios de interpolación.%-------------------------------------------------------------------------

for i = 1:6[caso,A,tt] =

calculocoef(i,velo2,q0,qf,tmotor);posi=evalpos(t,tt,caso,A);pos_plan(:,i)=posi';

ve=evalvel(t,tt,caso,A);vel_plan(:,i)=ve';ace=evalacel(t,tt,caso,A);ace_plan(:,i)=ace';

end;

return

V. DINAMICA DEL MANIPULADOR

El algoritmo del modelo Dinámico, del manipulador vienedado por el siguiente algoritmo, con el siguiente programa:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Programa para Obtener el ModeloDinamico de un Maipulador %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clear all, close all, clc

syms t1 t2 real;syms td1 td2 real;syms tdd1 tdd2 real;syms l1 l2 real;syms m1 m2 real;syms g real;

% Escribimos la matris con losparametros dinamicos del manipulador


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dyn = [0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0;

0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0];q = [t1 t2];qd = [td1 td2];qdd = [tdd1 tdd2];grav = [0 -g 0];tau = rne(dyn, q, qd, qdd, grav)

simple(tau)

% Evaluar los terminos del par porseparado

M = inertia(dyn,q)% Matriz de masas M(teta)

% Termino GravitatorioG(teta)V = coriolis(dyn,q,qd)% Terminos centriguos y de Coriolis V(

Resultado:

tau =

[ 19*tdd1 + tdd2 + cos(t2)*(3*tdd1 +g*cos(t1)) + 3*cos(t2)*(tdd1 + tdd2 +cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))) +3*sin(t2)*(sin(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1))+ cos(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1)) -(td1 + td2)^2) - sin(t2)*(- 3*td1^2 +g*sin(t1)) + 6*g*cos(t1), tdd1 + tdd2 +cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))]

Warning: simple will be removed in afuture release. Use simplify instead.> In sym.simple at 41In Modelo_Dinamico at 22

simplify:

[ - 3*sin(t2)*td2^2 - 6*td1*sin(t2)*td2+ 28*tdd1 + tdd2 + g*cos(t1 + t2) +9*g*cos(t1) + 6*tdd1*cos(t2) +3*tdd2*cos(t2), 3*sin(t2)*td1^2 + tdd1+ tdd2 + g*cos(t1 + t2) +

3*tdd1*cos(t2)]

radsimp:

[ 19*tdd1 + tdd2 + cos(t2)*(3*tdd1 +g*cos(t1)) + 3*cos(t2)*(tdd1 + tdd2 +cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))) +3*sin(t2)*(sin(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1))+ cos(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1)) -(td1 + td2)^2) - sin(t2)*(- 3*td1^2 +g*sin(t1)) + 6*g*cos(t1), tdd1 + tdd2 +

cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))]

simplify(Steps = 100):

[ - 3*sin(t2)*td2^2 - 6*td1*sin(t2)*td2+ 28*tdd1 + tdd2 + g*cos(t1 + t2) +9*g*cos(t1) + 6*tdd1*cos(t2) +3*tdd2*cos(t2), 3*sin(t2)*td1^2 + tdd1+ tdd2 + g*cos(t1 + t2) +3*tdd1*cos(t2)]

combine(sincos):

[ 19*tdd1 + tdd2 + cos(t2)*(3*tdd1 +g*cos(t1)) + sin(t2)*(3*sin(t2)*(3*tdd1+ g*cos(t1)) + 3*cos(t2)*(- 3*td1^2 +g*sin(t1)) - 3*(td1 + td2)^2) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1)) +6*g*cos(t1) + cos(t2)*(3*tdd1 + 3*tdd2+ 3*cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -3*sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))),tdd1 + tdd2 + cos(t2)*(3*tdd1 +g*cos(t1)) - sin(t2)*(- 3*td1^2 +g*sin(t1))]

combine(sinhcosh):

[ 19*tdd1 + tdd2 + cos(t2)*(3*tdd1 +g*cos(t1)) + 3*cos(t2)*(tdd1 + tdd2 +cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))) +3*sin(t2)*(sin(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1))+ cos(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1)) -(td1 + td2)^2) - sin(t2)*(- 3*td1^2 +g*sin(t1)) + 6*g*cos(t1), tdd1 + tdd2 +cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -

sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))]

combine(ln):



factor:

[ 19*tdd1 + tdd2 + 9*tdd1*cos(t2)^2 -3*td2^2*sin(t2) + 9*tdd1*sin(t2)^2 +6*g*cos(t1) + 6*tdd1*cos(t2) +3*tdd2*cos(t2) - 6*td1*td2*sin(t2) +g*cos(t1)*cos(t2) - g*sin(t1)*sin(t2) +3*g*cos(t1)*cos(t2)^2 +3*g*cos(t1)*sin(t2)^2, 3*sin(t2)*td1^2

+ tdd1 + tdd2 + 3*tdd1*cos(t2) +g*cos(t1)*cos(t2) - g*sin(t1)*sin(t2)]

expand:


7/8

[ 19*tdd1 + tdd2 + 9*tdd1*cos(t2)^2 -3*td2^2*sin(t2) + 9*tdd1*sin(t2)^2 +6*g*cos(t1) + 6*tdd1*cos(t2) +3*tdd2*cos(t2) - 6*td1*td2*sin(t2) +g*cos(t1)*cos(t2) - g*sin(t1)*sin(t2) +3*g*cos(t1)*cos(t2)^2 +3*g*cos(t1)*sin(t2)^2, 3*sin(t2)*td1^2+ tdd1 + tdd2 + 3*tdd1*cos(t2) +

g*cos(t1)*cos(t2) - g*sin(t1)*sin(t2)]

combine:



rewrite(exp):

[ 19*tdd1 + tdd2 + 6*g*(exp(-t1*i)/2 +exp(t1*i)/2) + (3*tdd1 + g*(exp(-t1*i)/2 + exp(t1*i)/2))*(exp(-t2*i)/2 +exp(t2*i)/2) + 3*(exp(-t2*i)/2 +exp(t2*i)/2)*(tdd1 + tdd2 + (3*tdd1 +g*(exp(-t1*i)/2 + exp(t1*i)/2))*(exp(-t2*i)/2 + exp(t2*i)/2) - ((exp(-

t2*i)*i)/2 - (exp(t2*i)*i)/2)*(-3*td1^2 + g*(exp(t1*(-i))*(i/2) +exp(t1*i)*(-i/2)))) + 3*((exp(-t2*i)*i)/2 - (exp(t2*i)*i)/2)*((3*tdd1+ g*(exp(-t1*i)/2 +exp(t1*i)/2))*((exp(-t2*i)*i)/2 -(exp(t2*i)*i)/2) - (td1 + td2)^2 +(exp(-t2*i)/2 + exp(t2*i)/2)*(- 3*td1^2+ g*(exp(t1*(-i))*(i/2) + exp(t1*i)*(-i/2)))) - ((exp(-t2*i)*i)/2 -(exp(t2*i)*i)/2)*(- 3*td1^2 +g*(exp(t1*(-i))*(i/2) + exp(t1*i)*(-i/2))), tdd1 + tdd2 + (3*tdd1 +

g*(exp(-t1*i)/2 + exp(t1*i)/2))*(exp(-t2*i)/2 + exp(t2*i)/2) - ((exp(-t2*i)*i)/2 - (exp(t2*i)*i)/2)*(-3*td1^2 + g*(exp(t1*(-i))*(i/2) +exp(t1*i)*(-i/2)))]

rewrite(sincos):

[ 19*tdd1 + tdd2 + cos(t2)*(3*tdd1 +g*cos(t1)) + 3*cos(t2)*(tdd1 + tdd2 +cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))) +

3*sin(t2)*(sin(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1))+ cos(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1)) -(td1 + td2)^2) - sin(t2)*(- 3*td1^2 +g*sin(t1)) + 6*g*cos(t1), tdd1 + tdd2 +


rewrite(sinhcosh):

[ 19*tdd1 + tdd2 - sinh(t2*i)*(3*td1^2+ g*sinh(t1*i)*i)*i +sinh(t2*i)*(cosh(t2*i)*(3*td1^2 +

g*sinh(t1*i)*i) + (td1 + td2)^2 +sinh(t2*i)*(3*tdd1 +g*cosh(t1*i))*i)*3*i +cosh(t2*i)*(3*tdd1 + g*cosh(t1*i)) +3*cosh(t2*i)*(tdd1 + tdd2 -sinh(t2*i)*(3*td1^2 + g*sinh(t1*i)*i)*i+ cosh(t2*i)*(3*tdd1 + g*cosh(t1*i))) +6*g*cosh(t1*i), tdd1 + tdd2 -sinh(t2*i)*(3*td1^2 + g*sinh(t1*i)*i)*i+ cosh(t2*i)*(3*tdd1 + g*cosh(t1*i))]

rewrite(tan):

[ 19*tdd1 + tdd2 +(2*tan(t2/2)*(3*td1^2 -(2*g*tan(t1/2))/(tan(t1/2)^2 +1)))/(tan(t2/2)^2 + 1) - ((tan(t2/2)^2- 1)*(3*tdd1 - (g*(tan(t1/2)^2 -1))/(tan(t1/2)^2 + 1)))/(tan(t2/2)^2 +1) - (6*g*(tan(t1/2)^2 -1))/(tan(t1/2)^2 + 1) - (3*(tan(t2/2)^2- 1)*(tdd1 + tdd2 +(2*tan(t2/2)*(3*td1^2 -(2*g*tan(t1/2))/(tan(t1/2)^2 +1)))/(tan(t2/2)^2 + 1) - ((tan(t2/2)^2

- 1)*(3*tdd1 - (g*(tan(t1/2)^2 -1))/(tan(t1/2)^2 + 1)))/(tan(t2/2)^2 +1)))/(tan(t2/2)^2 + 1) +(6*tan(t2/2)*((2*tan(t2/2)*(3*tdd1 -(g*(tan(t1/2)^2 - 1))/(tan(t1/2)^2 +1)))/(tan(t2/2)^2 + 1) - (td1 + td2)^2+ ((tan(t2/2)^2 - 1)*(3*td1^2 -(2*g*tan(t1/2))/(tan(t1/2)^2 +1)))/(tan(t2/2)^2 + 1)))/(tan(t2/2)^2 +1), tdd1 + tdd2 + (2*tan(t2/2)*(3*td1^2- (2*g*tan(t1/2))/(tan(t1/2)^2 +1)))/(tan(t2/2)^2 + 1) - ((tan(t2/2)^2- 1)*(3*tdd1 - (g*(tan(t1/2)^2 -

1))/(tan(t1/2)^2 + 1)))/(tan(t2/2)^2 +1)]

mwcos2sin:

[ 19*tdd1 + tdd2 - (3*tdd1 -g*(2*sin(t1/2)^2 - 1))*(2*sin(t2/2)^2 -1) - 6*g*(2*sin(t1/2)^2 - 1) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1)) -3*(2*sin(t2/2)^2 - 1)*(tdd1 + tdd2 -(3*tdd1 - g*(2*sin(t1/2)^2 -1))*(2*sin(t2/2)^2 - 1) - sin(t2)*(-

3*td1^2 + g*sin(t1))) - 3*sin(t2)*((-3*td1^2 + g*sin(t1))*(2*sin(t2/2)^2 -1) - sin(t2)*(3*tdd1 - g*(2*sin(t1/2)^2- 1)) + (td1 + td2)^2), tdd1 + tdd2 -(3*tdd1 - g*(2*sin(t1/2)^2 -


8/8

1))*(2*sin(t2/2)^2 - 1) - sin(t2)*(-3*td1^2 + g*sin(t1))]

collect(t1):

[ 19*tdd1 + tdd2 + cos(t2)*(3*tdd1 +g*cos(t1)) + 3*cos(t2)*(tdd1 + tdd2 +cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -

sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))) +3*sin(t2)*(sin(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1))+ cos(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1)) -(td1 + td2)^2) - sin(t2)*(- 3*td1^2 +g*sin(t1)) + 6*g*cos(t1), tdd1 + tdd2 +cos(t2)*(3*tdd1 + g*cos(t1)) -sin(t2)*(- 3*td1^2 + g*sin(t1))]

ans =

[ - 3*sin(t2)*td2^2 - 6*td1*sin(t2)*td2+ 28*tdd1 + tdd2 + g*cos(t1 + t2) +

9*g*cos(t1) + 6*tdd1*cos(t2) +3*tdd2*cos(t2), 3*sin(t2)*td1^2 + tdd1+ tdd2 + g*cos(t1 + t2) +3*tdd1*cos(t2)]

M =

[ 3*cos(t2) + 9*sin(t2)^2 +3*cos(t2)*(3*cos(t2) + 1) + 19,3*cos(t2) + 1][3*cos(t2) + 1, 1]

V =

[ 3*td1^2*sin(t2) -3*sin(t2)*(3*td1^2*cos(t2) + (td1 +td2)^2) + 9*td1^2*cos(t2)*sin(t2),3*td1^2*sin(t2)]

VI.

CONCLUSIONES

Mediante el modelamiento cinemático y dinámico delmanipulador, es posible crear un controlador

multivariable, debido a todas las ecuacionesdinámicas generados por los algoritmos mostrados

VII. REFERENCIAS

[1]

Servicio de Información y Noticias Científicas. (2012). “Las

sustancias químicas peligrosas causan más muertes que losaccidentes de t rabajo”. España.

[2]

Ing. Andrés Gonzales, PhD. Cristhian Duran: “El TMR-1. Un robot

móvil teleoperado” Revista Colombiana de tecnologías avanzadas

2009.

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