Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt Rolf Wathen 48882s 16.5.2001

PAPERIN PIENIMITTAKAAVAISTEN

VAURIOIDEN VARIANSSIEN TILASTOLLINEN ANALYSOINTI

2

Tiivistelmä Tässä työssä selvitettiin paperiin erikokoisilla neuloilla aiheutettujen reikien varianssien yhtäsuuruuksia Bartlett’in testillä, sekä käytettiin erilaisia varianssin stabiloivia muunnoksia varianssien saamiseksi yhtäsuuriksi. Bartlett’in testin sekä varianssin stabiloivien muunnosten suorittaminen kuvattiin lyhyehkösti näiden teoriaan syvästi paneutumatta. Reiät painettiin paperiin kuudella tavallisella erikokoisella ompeluneulalla periksiantavaa alustaa vasten. Kullakin neulalla tehtiin kymmenen reikää, jotka mitattiin ja kuvattiin valomikroskoopin avulla. Kunkin neulan tuottamien reikien koosta laskettiin keskiarvo ja keskihajonta/varianssi. Kunkin neulakoon tuottamien reikien variansseja verrattiin Bartlett’in testillä. Testin mukaan varianssien yhtäsuuruusolettama hylättiin. Varianssin stabilointi erilaisilla muunnoksilla ei Bartlett’in testin mukaan johtanut tulokseen, jolla varianssit olisi saatu yhtäsuuriksi. Pienimittakaavaisten reikien toteuttaminen tarkasti erikokoisilla neuloilla painamalla todettiin epäluotettavaksi tavaksi. Koska vaatimuksena oli reikäkoon hyvin tarkka hallinta, oli välttämätöntä että erikokoiset reiät voisi tilastollisesti luotettavasti erottaa toisistaan. Monet tilastolliset testit vaativat varianssien yhtäsuuruusolettaman täyttymisen. Koska tätä ei pystytty täyttämään, ei eri neuloilla applikoitujen reikien keskimääräisiä kokoja edes lähdetty vertaamaan tilastollisilla testeillä. Vaihtoehtoisesti voisi käyttää ei-parametrisiä testejä, mutta koska varianssit/keskihajonnat itsessään olivat suuria verrattuna keskimääräisiin reikäkokoihin, on suositeltavampaa käyttää jotain muuta metodia reikien applikoimiseen.

3

1 Johdanto ......................................................................................................................4 2 Näytemateriaali, vikojen tuottaminen ja mittaaminen ................................................5

2.1 Näytemateriaali ....................................................................................................5 2.2 Vikojen tuottaminen.............................................................................................5 2.3 Vikojen mittaaminen............................................................................................5

3 Käytetyt tilastolliset menetelmät.................................................................................6 3.1 Bartlett’in testi .....................................................................................................6 3.2 Varianssin stabiloivat transformaatiot .................................................................7

4 Tulokset.......................................................................................................................8 4.1 Mittaustulokset.....................................................................................................8 4.2 Bartlett’in testi ilman varianssia stabiloivaa muunnosta .....................................8 4.3 Varianssien stabiloiminen neliöjuuri-muunnoksella............................................8 4.4 Varianssi stabiloiminen muilla muunnoksilla......................................................9

5 Johtopäätökset.............................................................................................................9 Viitteet..........................................................................................................................11 Liite 1: Mittaustulokset

4

1 Johdanto Erilaisissa prosesseissa pyritään tavallisesti kohti suurempaa tuottavuutta ja korkeampaa käyttöastetta. Tämä pätee myös paperinjalostuksessa. Yksi suurimmista käyttöastetta laskevista yksittäisistä syistä ovat ratakatkot. Ratakatkossa paperirata katkeaa ja koneet on tavallisesti pysäytettävä tai niitä on huomattavasti hidastettava. Ratakatkot voidaan aiheutumisperusteen perusteella karkeasti jakaa kahteen ryhmään; 1) Laitehäiriöistä aiheutuviin ja 2) paperin puutteellisesta lujuudesta aiheutuviin. Tämä jako on hyvin karkea, tavallisesti katko aiheutuu näiden kahden syyn summana /1/. Ratakatkot alkavat usein paperissa olevasta vauriosta, rei’ästä, viillosta tms. /1/. Viitteessä /2/ on esitetty kaava (1), joka kuvaa radan lujuutta vian koon funktiona.

)(2*

)(d

c

waEG

a+

=πβ

σ (1)

missä, σ radan lujuus, β vian koosta ja muodosta riippuva geometrinen tekijä, Gc murtoenergia, E kimmokerroin, a vian leveys wd vaurioleveys. Kaavassa (1) esiintyvä käsite wd on vaurioleveys. Se kuvaa aluetta, kuinka pitkälle viasta alkunsa saanut vaurioituminen etenee murtuma linjasta. On olemassa mahdollisuus, että kaava (1) ei täysin päde hyvin pienillä, kokoluokkaa alle 2 millimetriä olevilla vioilla. On mahdollista että näiden pienten vikojen koko on suhteessa vaurioleveyteen. On mahdollista että vian ollessa riittävän pieni, se ei enää vaikuta radan lujuuteen. Tällöin paperin lujuuden määrää muun muassa formaatio /3/, l. pienimittakaavainen neliömassan vaihtelu, ja kuidunpituus /3/. Tutkittava ongelma on esitetty graafisesti kuvassa 1.

5

Defect size a

Web

str

engt

hσ(

a)(Non)-Critical a

a~wd?

Kuva 1. Illustraatio tutkittavasta ongelmasta. Pienten vikojen tuottaminen hallitusti on tärkeää vian merkityksen luotettavaksi todentamiseksi. Tässä työssä tutkitaan vian tuottamista paperiin tavallisilla erikokoisilla ompeluneuloilla. Tavoitteena oli tutkia Barlett’in metodia käyttäen ovatko erikokoisilla neuloilla tuotettujen reikien varianssit yhtäsuuria, jotta niitä voitaisiin verrata ja erotella LSD-metodilla (Least Significant Difference), sekä analysoida luotettavasti varianssianalyysillä /4,5/. Myös mahdollisuus käyttää erilaisia varianssin stabiloivia metodeja tutkittiin. 2 Näytemateriaali, vikojen tuottaminen ja mittaaminen 2.1 Näytemateriaali Paperina käytettiin tavallista tehdasvalmisteista LWC-pohjapaperia. Neliömassojen, massakoostumuksen tms. vaikutusta pidettiin epäoleellisena, joten ne jätettiin huomioimatta. 2.2 Vikojen tuottaminen Viat tuotettiin käyttämällä kuutta (6) erikokoista ompeluneulaa. Paperi asetettiin alustalle, jonka neula painettaessa läpäisi, ja reikä painettiin neulalla paperiin. Osa variaatiosta johtuu varmasti siitä, ettei neulaa mitenkään tuettu, mutta tämä oli tarkoituskin. 2.3 Vikojen mittaaminen Vioitetut paperit kuvattiin valomikroskoopilla vain kohdalta ja vikojen halkaisija mitattiin. Mittausperiaate on esitetty kuvassa 2.

6

Kuva 2. Vikojen mittausperiaate. 3 Käytetyt tilastolliset menetelmät 3.1 Bartlett’in testi Koska monet käyttökelpoiset tilastolliset testit, kuten F-testi ja LSD (Least Significant Difference), ovat herkkiä varianssien yhtäsuuruus olettamalle /4,5/. Tämä tarkoittaa sitä, että verrattavien keskiarvojen varianssien tulee olla yhtäsuuria, jotta testit luotettavasti pystyisivät erottamaan näitä suureita. Yleisesti varianssien yhtäsuuruuksien todentamiseen käytetty testi on Bartlett’in testi /4,5/. Bartlett’in testin hypoteesit ovat H0: 222

21 ... kσσσ ===

H1: , joillekin i ja j. 22 ji σσ ≠ Bartlett’in testin suorittamiseksi lasketaan näytevarianssit S12, S22,…, Sk2 jokaiselle k näytteelle. Sen lisäksi lasketaan yhdistetty arvio σ2:sta (pooled estimate) olettamuksella että H0 on totta /4,5/. Tämä arvio, Sp2, voidaan laskea kaavalla (2) /4,5/

( )∑= −

−=

k

i

iip kN

SnS

1

22 *1 (2)

missä ni on näytteen i lukumäärä, k verrattavien näytteiden lukumäärä ja N on kaikkien näytteiden lukumäärien summa.

7

Seuraavaksi muodostetaan statistiikka Q ja tekijä h kaavoilla (3) ja (4) /4,5/.

∑=

−−−=k

iiip SnSkNQ

1

210

210 log)1(log)( (3)

∑= −

−−−

+=k

i i kNnkh

1)1

11(

)1(311 (4)

Näistä muodostetaan Bartlett’in statistiikka B kaavalla (5) /4,5/

hQB /3026.2= (5) Voidaan osoittaa että B noudattaa χ2-jakaumaa vapausasteilla k-1. Tällöin mikäli B on riittävän suuri vapausasteilla k-1, voidaan H0 hylätä valitulla riskitasolla α. χ2-jakauman arvot löytyvät taulukoituna monista tilastollisista teoksista, kuten viitteistä /4,5/. 3.2 Varianssin stabiloivat transformaatiot Jos päädytään hylkäämään oletus varianssien yhtäsuuruudesta esimerkiksi Bartlett’in testillä, voidaan kerättyä dataa yrittää käsitellä siten, että varianssi stabiloituu. Tähän voidaan käyttää erilaisia muunnoksia, transformaatioita /4,5/. Asetetaan E(y)=µ, joka on y:n keskiarvo. Oletetaan että y:n keskihajonta on verrannollinen keskiarvon potenssiin siten että /5/

αµσ ∝y (6) Halutaan löytää y:n muunnos, jolla varianssi saadaan vakioitumaan. Jos oletetaan että muunnos y* on alkuperäisen datan y potenssi siten että /5/

λyy =* , (7) voidaan osoittaa että /5/

1*

−+∝ αλµσ y (8)

Jos asetetaan λ=1-α, nähdään että muunnetun datan, y*:n, varianssi on vakio /5/. Taulukossa 1 on esitetty tavallisimpia muunnoksia /5/.

8

Taulukko 1. Varianssin stabiloivia muunnoksia /5/. Suhde σy µ α λ=1- α Muunnos

Vakioy ∝σ 0 1 Ei muunnosta 2/1µσ ∝y ½ ½ Neliöjuuri

µσ ∝y 1 0 Logaritmi 2/3µσ ∝y 3/2 -½ Neliöjuuren käänteisluku

2µσ ∝y 2 -1 Käänteisluku

4 Tulokset 4.1 Mittaustulokset Mittaustulokset on esitetty liitteessä 1. 4.2 Bartlett’in testi ilman varianssia stabiloivaa muunnosta Yhtälöitä (2)-(5) käytettiin Bartlett’in statistiikan B laskemiseen. Laskeminen suoritettiin helpointen käyttämällä MS Excel taulukkolaskentaohjelmaa. Laskenta on esitetty taulukossa 2. Taulukko 2. Bartlett’in statistiikan B laskenta. Neula Varianssi (Si2) Log(Si2)

1 7349 3.866201 2 22784 4.357629 3 14811 4.170573 4 15520 4.190898 5 1618 3.208963 6 21031 4.32287

Sp2 SUM(Log(Si2)) 13852 24.11713465

Log(Sp2) 4.141516587 Q 7 c 1.043209877 B 14.54050725

Yhtälössä (5) esitetyn Bartlett’in statistiikan B arvoksi saatiin 14.54. Tällöin testin p-arvoksi saadaan χ2-jakaumasta vapausasteilla 6-1=5 p-arvo

9

Taulukko 3. Bartlett’in statistiikan B laskenta neliöjuurimuunnoksella. Neula Varianssi (Si2) Log(Si2)

1 2 0.353127 2 5 0.656408 3 3 0.47977 4 3 0.453924 5 0 -0.51751 6 2 0.347716

Sp2 SUM(Log(Si2)) 3 1.77343

Log(Sp2) 0.403154 Q 6 c 1.043209877 B 12.8227061

Yhtälössä (5) esitetyn Bartlett’in statistiikan B arvoksi saatiin 12.82. Tällöin testin p-arvoksi saadaan χ2-jakaumasta vapausasteilla 6-1=5 p-arvo

10

osalta. Myös varianssit olivat suuria. Tämä voi johtua sekä reikien applikointi tavasta, että mittaustavasta. Koska neula ei poista materiaalia reiän kohdalta, se voi myös aiheuttaa ’repäisyn’ joka saattaa suhteettomasti kasvattaa sekä keskimääräistä reiän kokoa, että varianssia. Pienien vaurioiden suorittamista ei tulosten perusteella kannata suorittaa neuloilla. Muiden menetelmien, kuten laserin käyttö, on todennäköisesti parempia tuloksia tuottavaa. Bartlett’in testiä voidaan pitää sen suhteellisen yksinkertaisuuden ja helppouden vuoksi käyttökelpoisena vastaavien ongelmien alustavaan tutkimiseen.

11

Viitteet 1. Oittinen, P., Saarelma, H., Printing, Book 13 sarjassa ‘Paper Making Science and

Technology’, Fapet Oy, Jyväskylä, Suomi, 1999.

2. Kettunen, H., “Microscopic fracture of paper”, Väitöskirja, Paperitekniikan

laboratorio, TKK, Espoo, Suomi, 2000.

3. Nazhad, M., Harris, E., Dodson, C., Kerekes, R., The Influence of Formation on

Tensile Strength of Paper Made from Mechanical Pulps, TAPPI Journal, December

2000.

4. Milton, J.S. &Arnold, J.C., Introduction to probability and statistics, 3. Edition,

McGraw-Hill, Singapore, 1995, 811 s.

5. Montgomery, D.C., Design and analysis of experiments, 3. Ed., John Wiley &

Sons, Singapore 1994, 649 s.

12

Liite 1:Mittaustulokset Neula 1 Neula 2 Neula 3

No micrometer No micrometer No micrometer 1 826 1 1223 1 1160 2 870 2 1008 2 1311 3 914 3 1091 3 1021 4 769 4 1267 4 1273 5 674 5 1412 5 1122 6 945 6 1525 6 1450 7 851 7 1286 7 1147 8 864 8 1147 8 1279 9 908 9 1166 9 1248 10 958 10 1273 10 1134

AVERAGE 858 AVERAGE 1240 AVERAGE 1215 STDEV 86 STDEV 151 STDEV 122 Neula 4 Neula 5 Neula 6

No micrometer No micrometer No micrometer 1 1380 1 1330 1 2067 2 1305 2 1298 2 2168 3 1305 3 1273 3 2628 4 1368 4 1374 4 2231 5 1216 5 1380 5 2231 6 1494 6 1298 6 2244 7 1305 7 1298 7 2218 8 1204 8 1368 8 2326 9 1185 9 1380 9 2276 10 1569 10 1337 10 2250

AVERAGE 1333 AVERAGE 1334 AVERAGE 2264 STDEV 125 STDEV 40 STDEV 145

1 Johdanto2 Näytemateriaali, vikojen tuottaminen ja mittaa�2.1 Näytemateriaali2.2 Vikojen tuottaminen2.3 Vikojen mittaaminen

3 Käytetyt tilastolliset menetelmät3.1 Bartlett’in testi3.2 Varianssin stabiloivat transformaatiot

4 Tulokset4.1 Mittaustulokset4.2 Bartlett’in testi ilman varianssia stabiloivaQ

4.3 Varianssien stabiloiminen neliöjuuri-muunnok�Q

4.4 Varianssi stabiloiminen muilla muunnoksillaB

5 JohtopäätöksetViitteet