paper... · web viewในการกำจ ดส...

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

การซอมแซมภาพทใชการแปรผนรวมสำาหรบภาพส

นพดล ชมชอบ* พชรพร ขวญเมอง และมญชภา จนดาวงศ

บทคดยองานวจยนนำาเสนอตวแบบทางคณตศาสตรสำาหรบกำาจดสญญาณ

รบกวนออกจากภาพส ในตวแบบทนำาเสนอ เราใชเรกกวลารไรซเซชนแบบการแปรผนรวมสำาหรบภาพโทนสเทาและทำาการแกตวแบบทนำาเสนอดวยวธการสปรทเบรกแมนผลการทดลองเชงตวเลขบนภาพจรงและภาพสงเคราะหแสดงใหเหนวา 1) คณภาพของภาพทถกกำาจดสญญาณรบกวนโดยตวแบบทนำาเสนอมความนาเชอถอ และ 2) ประสทธภาพของวธการเชงตวเลขทนำาเสนอดกวาวธการเดนเวลาแบบชดแจงอยางมนยสำาคญ

AbstractThis work proposes a mathematical model for removing noise from color images. In

the proposed model, we apply the total variation regularization for gray-scale images and solve the associated variational problem by the so-called split Bregman method. Our experimental results on real and synthetic images show that 1) the quality of restored color images by the proposed model is reliable; and 2) the performance of the proposed numerical method is significantly better than the explicit time marching method.

คำาสำาคญ : ไฟไนตดฟเฟอรเรนจ, การเดนเวลา, สปรทเบรกแมน, ตวแบบเชงการแปรผนKeywords : Finite difference, time marching, split bregman, variational model

2010 Mathematics Subject Classification: 46N23

Proceedings of UAMC2019

* ผแตงหลกนพดล ชมชอบ ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร จงหวด

xxxxxx รหสไปรษณย 101xx (email: [email protected])พชรพร ขวญเมอง ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร จงหวด

xxxxxx รหสไปรษณย 101xx (email: [email protected])มญชภา จนดาวงศ ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร จงหวด

xxxxxx รหสไปรษณย 101xx (email: [email protected])กตตกรรมประกาศ: ไดรบการสนบสนนทนจาก ………..

1.บทนำาภาพถายหรอภาพ มความสำาคญในชวตประจำาวนเปนอยางมาก

นอกจากภาพจะเปนสอกลางการสอความหมายแลว ในบางครงเราใชภาพเพอแสดงถงความรสกและอารมณของตนเอง นอกจากนภาพยงมความจำาเปนตอการประยกตในดานตางๆ เชน การประยกตในดานการแพทย การประยกตในดานความมนคงและความปลอดภย และการประยกตในดานอตนยมวทยา

การเกดขนของสญญาณรบกวนในภาพถายเปนสงทหลกเลยงไมได เราจงตองการหาวธเพอแกปญหาสญญาณรบกวนทเกดขนในภาพเหลานออกไป เพอใหไดภาพทมคณภาพ และนำาไปใชไดอยางมประสทธภาพ

ในการกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพดวยวธทางคณตศาสตร เราจะเรมจากการพจารณาภาพ u ∶Ω⊂R2→V⊂¿ เปนฟงกชนตอเนอง โดยท x=( x , y )∈Ω แทนพกดทางกายภาพ (physical position) ของภาพ u ( x )∈V แทนระดบความเขมของภาพ (image intensity) ท x และ Ω แทนโดเมนของภาพ ซงในทนเราสามารถสมมตไดโดยไมเสยหลกการสำาคญวา Ω=[1 ,n ]2 และ V= [0,255 ] เมอ n เปนจำานวนเตมบวก

ตวแบบทางคณตศาสตรทพฒนาขนโดย [1] (จะเรยกวาตวแบบ ROF) ซงเปนวธจำากดสญญาณรบกวนออกจากภาพดวยวธการแปรผนทไดรบการยอมรบอยางแพรหลายในการกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพทมโทนความเขมสเทา (grayscale image)

mailto:[email protected]




minu {D (u , f )+α R (u )} (1)

โดยท D (u , f )=12∫(u−f )2dΩ และ R (u )=∫

Ω

❑

¿∇u∨¿ d Ω=√ux2+uy2 d Ω¿

สำาหรบภาพในระบบส RGB เราพจารณา u :Ω→V 3 แทนภาพในระบบส RGB เมอ u=(u1 , u2 ,u3) โดยท u1 ,u2 , u3 :Ω→V แทนภาพโทนสแดง สเขยวและสนำาเงนของ u และให f :Ω→V 3 แทนภาพในระบบส RGB ทมสญญาณรบกวน เราสามารถปรบปรงตวแบบ ROF ไดเปน

minu {D (u , f )+α R (u )}

(2)เมอ D (u , f )=∑

l=1

3

D (u l , f l ) และ R (u )=∑l=1

3

R (ul )

เนองจากภาพทวไปเปนภาพส โครงงานวจยนจงมเปาหมายเพอพฒนาวธการเชงตวเลขทมประสทธภาพสำาหรบกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพสโดยใชตวแบบ ROF ทถกปรบปรง (2)2.วธการเชงตวเลข2.1 สมการออยเลอร-ลากรางจโดยแคลคลสการแปรผน สมการออยเลอร-ลากรางจทสมนยกบตวแบบ ROF (1) เขยนไดเปน

−α ∇ ∙¿ (3)ภายใตเงอนไขขอบ ∂(x)∂n

=0 , x∈∂Ω

(4)2.2 การดสครตไทซเซชนแบบไฟไนตดฟเฟอเรนซ

ในการแกปญหาคาขอบ (boundary value problem) (3) โดยวธการไฟไนตดฟเฟอเรนซ เราจะเรมจากการดสครตไทซเซชนโดเมนภาพ Ω แบบคงรปดวยระยะกรด (grid spacing) h=1 และจดตอไปนx i=i h ,i=1,2 ,…,n และ y i= jh , j=1,2 ,… ,n ซงจะไดโดเมนภาพแบบดสครต (discrete image domain)

Ωh={x∈Ω∨x=u (x i , y i)⊺=( i h , jh )⊺,1≤i , j≤n }


กำาหนดให (u)i , j=u(x i , yi) แทนฟงกชนกรด (grid function) ทจด (x i , y i) ประมาณคาไฟไนตดฟ-เฟอเรนซของอนพนธยอยอนดบหนงสามารถถกกำาหนดโดย

∂x+¿(u)i , j=(u)i, j+1−(u)i, j ¿

∂x−¿(u)i , j=(u)i, j−(u )i, j−1¿

∂ y+¿(u)i , j=(u)i+1 , j−(u)i, j ¿

∂ y−¿(u)i , j=(u)i, j−(u )i−1 , j ¿

ในทนเงอนไขคาขอบใน (4) จะถกนำามาใชในการคำานวณฟงกชนกรด ณ บรเวณขอบของ Ωh ดงน

(u)i ,0=(u)i , j , (u)i , n+1=(u)i ,n ,(u)0 , j=(u)1 , j ,(u)n+1 , j=(u)n , j

2.3 วธการเดนเวลาเพอความสะดวกในการกลาวถงวธการเดนเวลา เราจะเขยนสมการอ

อยเลอร-ลากรางจใน (3) ใหมเปน N (u (x))=g(x )

เมอ N (u(x )) ¿−α ∇ ∙¿ (5)และ g(x )=0

วธการเดนเวลาหรอวธไทมมารชชงเปนวธการทสะดวกและงายในการแกสมการเชงอนพนธยอยดงสมการ (3) แนวคดของวธการน คอ การแนะนำาตวแปรเวลาสงเคราะห t ≥0 และ คำานวณหาคำาตอบแบบสภาวะคงตว (steady state solution) ของสมการเชงอนพนธยอยทไมเปนเชงเสนทขนอยกบเวลา

∂tu ( x ,t )+N (u ( x ,t ))=g(x ) (6)เพอแกไขความไมเปนเชงเสน N เราสามารถใชรปแบบทชดแจงของออยเลอร (Euler's explicit scheme) ดงน ∂tu (x , tk )+g ( x )−N (u (x , tk )) , k=0,1,2 ,…

โดยท u (x ,t 0 ) แทนคำาตอบเรมตน โดยทวไปเรากำาหนดให u (x ,t 0 )=f ( x )


สำาหรบการดสครตไทซโดเมนเวลา ¿ กำาหนดให τ>0 แทนขนเวลา (time step) ดงนนการปรบปรง ณ รอบเวลาครงท k+1 สามารถถกกำาหนดไดเปน

u (x ,t k+1 )=u (x , t k )+τ (g (x )−N (u ( x , t k )))(7)

เพราะฉะนนเมอทำาการประยกตการประมาณไฟไนตดฟเฟอเรนซในหวขอ 2.2 เราสามารถปรบปรง u ทจดกรด (x i , y i) ไดเปน(u[k+1])i , j=(u[k ])i , j+τ (g ( x )−N (u[k ])i , j ) (8)เมอ N (u[k ])i , j=−α∇ ∙¿¿ (9)

∇ ∙¿ (10) D (u[k ] )i , j=

1√¿¿¿¿

(11)2.4 วธการสปรทเบรกแมนสำาหรบตวแบบ ROF (1)

วธการสปรทเบรกแมนถกคดคนโดย Goldstien และ Osher [2] เรมตนจากการแนะนำาตวแปรเวกเตอรเสรม w=(w1 ,w2)

⊺ พารามเตอรการทำาซำาเบรกแมน (Bregman iterative parameter) b=(b1 ,b2)

⊺ และพารามเตอรตวโทษ (panalty parameter) θ>0 เพอแปลงปญหาเชงการแปรผน (1) เปน

minu , w{D (u , f )+α∫Ω

❑

|w|d Ω+θ2∫(w−∇u−b)2d Ω }

(12)หลงจากใชแคลคลสของการแปรผนกบ (12) จะไดสมการออยเลอร-

ลากรางจเปนu−θ∆u=f−θ∇ ∙(w−b)

(13) α w

|w|+θ (w−∇u−b )=0

(14)เมอ u=u (x ) ,w=w ( x ) และ b=b( x)

เพอความสะดวกในการแกสมการออยเลอร-ลากรางจ คณะผวจยใน [2,3] ไดใชเทคนคการทำาซำาแบบสลบ เรมจากการแกปญหายอยใน (13)


เพอกำาหนดคาของ u จากนนนำา u ทไดมาใชในการแกปญหายอยใน (14) เพอกำาหนดคาของ w โดยจะดำาเนนการทำาซำาแบบสลบจนกระทงลำาดบของ u สอดคลองกบเกณฑการหยด

∥unew−uold∥∥unew ∥

<ε

เมอ unew และ uold แทนเวกเตอรของ u ทไดจากการทำาซำารอบปจจบนและการทำาซำารอบกอนหนา ε>0 แทนคาความแมนยำา

ในการแกปญหายอยใน (13) เราจะเรมจากการประมาณไฟไนตดฟเฟอเรนซ

(u)i , j−θ¿ (15)เมอ (G)i , j=( f )i , j−θ¿ (16)จากนนทำาการสมมตวา (13) มเงอนไขขอบแบบเปนคาบ (periodic boundary condition) ดงนน

∂¿+¿(u)={(u)i , j+1−(u)i , j เม อ1≤ i<n ,1≤ j<n

(u)i ,1−(u)i , jเม อ1≤i<n , j=n¿

∂¿−¿(u)={(u)i , j−(u)i , j−1เม อ1≤ i≤ n ,1< j ≤n

(u)i , j−(u)i , nเม อ1≤ i≤n , j=1¿

∂¿+¿(u)={(u)i+1 , j−(u)i , j เม อ1≤ i<n ,1≤ j ≤n

(u)i , j−(u)i−1 , jเม อi=n ,1≤ j ≤n¿

∂¿−¿(u)={(u)i , j−(u)i−1 , jเม อ1≤ i<n ,1≤ j ≤n

(u)i , j−(u)n , j เม อi=n ,1≤ j≤ n¿

∂x

−¿∂¿+¿( u)={(u)i ,n−2(u)i, j+(u)i, j+1 เม อ1≤i≤n , j=1

(u )i, j−1−2 (u)i, j+(u)i, j+1 เม อ1<i , j<n(u )i, j−1−2 (u)i, j+(u)i,1 เม อ1≤i≤ n , j=n

¿

¿

∂ y

−¿∂¿+¿( u)={ (u)n , j−2 (u )i, j+(u )i+1 , jเม อi=1,1≤ j≤n

(u )i−1 , j−2 (u)i, j+(u)i+1 , j เม อ1<i<n ,1≤ j≤ n(u )i−1 , j−2 (u )i , j+(u )1, j เม อi=n ,1≤ j≤n

¿

¿

หลงจากใชการแปลงฟเรยรแบบดสครต (discrete Fourier transform) F กบ (15) จะได

F ¿

หรอ (1−(2θcos( 2 πsn )+cos( 2πr

n )−2))F ((u)i , j )=F ((G)i , j )

(17)


เมอ i , j∈[1 ,n ] แทนดชนในโดเมนเวลา และ r , s∈[0 , n] เปนดชนในโดเมนความถ เพราะฉะนน

(u)i , j=ℜ(F−1( F ((G)i , j )ξ ))

(18)เมอ ξ=(1−(2θ cos( 2πs

n )+cos ( 2πrn )−2))

และ F−1 แทนการแปลงฟเรยรผกผนแบบดสครต (discrete Fourier transform)

สำาหรบ (14) มผลเฉลยวเคราะหทถกกำาหนดโดย [3] (w¿¿ i , j)=max(|∇ (u )i , j+ (b )i , j|−α

θ ,0) ∇ (u )i , j+(b )i , j¿∇ (u )i , j+ (b )i , j∨¿¿

¿

(19)2.5 วธการเชงตวเลขทนำาเสนอ

ในงานวจยน เราจะนำาวธการสปรทเบรกแมนมาประยกตกบปญหาเชงแปรผน (2) โดยเราแนะนำาเวกเตอรเสรม w1 ,w 2,w3 พารามเตอรการท ำาซ ำาเบรกแมน b1 , b2 , b3 และพารามเตอรตวโทษ θ1 , θ2 ,θ3>0 เพอแปลงปญหาเชงแปรผน (2) เปน

minu , w1 ,w2 , w3{D (u , f )+α∫

Ω

❑

|w1|dΩ+θ1

2 ∫ (w1−∇u1−b1)2d Ω

+α∫Ω

❑

|w2|d Ω+θ2

2 ∫ (w2−∇ u2−b2)2d Ω

(20)+α∫

Ω

❑

|w3|dΩ+θ3

2 ∫ (w3−∇u3−b3 )2d Ω}

เมอใชแคลคลสของการแปรผนกบ (20) จะไดสมการออยเลอร-ลากรางจเปน

u1−θ Δu1=f 1−θ1∇ ∙(w1−b1)

(21)


u2−θ Δu2= f 2−θ2∇ ∙ (w2−b2)

(22)u3−θ Δu3=f 3−θ3∇ ∙ (w3−b3 )

(23)αw1

|w1|+θ1∇ ∙ (w1−∇u1−b1 )

(24)αw2

|w2|+θ2∇ ∙ (w2−∇u2−b2 )

(25)αw3

|w3|+θ3∇ ∙(w3−∇u3−b3)

(26)3.ผลการทดลองเชงตวเลข

ประสทธภาพของภาพทผานกำาจดสญญาณรบกวน จะประเมนโดยใชคา PSNR ระหวางภาพตนฉบบ u¿และภาพผลลพธu ซงนยามโดย

PSNR=10 log ( 2552

MSE ) โดยท MSE= 1

3n2∑l=1

3

∑j=1

n

∑i=1

n

( (ul¿) i , j−(ul )i , j )2

Original image Noise image Restored image (TM) Restored image (SB)

รปภาพท 1 : ผลการกำาจดสญญาณรนกวน ซ งมขนาดความคมชด 256×256 พกเซล เมอ

τ=10−3 , β=10−2 , α=10 ,θ=1

ตารางท 1 : ผลการคำานวณดวยตวแบบเชงการแปรผนทไดนำาเสนอ (1) สำาหรบภาพสดวยวธการไทมมารชชงและวธการสปรทเบรกแมน

PSNR เวลา (วนาท)

ภาพทมสญญาณ 26.2476 0.3215


รบกวนวธการไทมมารชชงวธการสปรทเบรกแมน

26.274232.8058

37.13680.3215

จากผลการศกษาเราพบวาวธการสปรทเบรกแมนทนำามาประยกตใชกบปญหาเชงการแปรผน (2) สามารถกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพสในระบบ RGB ไดและจากรปภาพท 1 จะเหนไดวาภาพผลลพธจากวธการสปรทเบรกแมนใหความคมชดของภาพไดดกวาวธการไทมมารชชงและจากตารางท 1 จะเหนไดวาภาพผลลพธทไดจากวธการสปรทเบรกแมนมประสทธภาพสงกวาและใชเวลาในการประมวลผลเรวกวาภาพผลลพธจากวธการไทมมารชชง4.บทสรป

งานวจยชนนไดนำาเสนอตวแบบเชงการแปรผนสำาหรบภาพสและขนตอนวธการเชงตวเลขสำาหรบกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพ ผลการทดลองเชงตวเลขพบวาขนตอนวธการเชงตวเลขทผวจยไดนำาเสนอสามารถกำาจดสญญาณรบกวนดงกลาวไดอยางแมนยำาและรวดเรวกวาวธการไทมมารชชงซงเปนวธพนฐาน

เอกสารอางอง[1] L. Rudin, S. Osher and E. Fatemi. Nonlinear total

variation based noise removal algorithms. Physica D Vol. 60 (1992), pp. 259-268.

[2] T. Goldstein and S. Osher. The split bregman method for l1-regularized problems. SIAM Journal on Sciences 2009, 2(2), pp. 323-343.

[3] W. Lu, J. Duan, Z. Qiu, Z. Pan, R. W. Lim and L. Bai. Implementation of high-order variational models


made easy for image processing. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 39 (2016), pp. 4208-4233.

paper... · web viewในการกำจ ดส...

Documents