paper

KNM XVII 11-14 Juni 2014 ITS, Surabaya

APROKSIMASI VARIASIONAL

UNTUK SOLITON DISKRIT GELAP

MAHDHIVAN SYAFWAN

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas, Padang, Indonesia

email: [email protected]

Abstract

Pada makalah ini, metode aproksimasi variasional (AV) digunakan untuk menentukan

solusi soliton gelap (dark soliton) stasioner pada persamaan Schrdinger nonlinier diskrit

dengan tipe kenonlinieran defocusing. Fungsi ansatz yang diusulkan dalam kajian ini

merupakan bentuk limit dari fungsi tanh sedemikian sehingga penjumlahan tak-hingga

dari Lagrangian sistem dapat ditentukan bentuk tutupnya. Solusi variasional yang

diperoleh kemudian dibandingkan dengan solusi numerik. Hasil dari perbandingan ini

menunjukkan kesesuaian yang sangat baik antara keduanya, terutama untuk kasus anti-

kontinum.

Kata Kunci: soliton gelap, persamaan Schrdinger nonlinier diskrit, aproksimasi

variasional.

1. Pendahuluan

Salah satu model yang seringkali dipelajari baik tentang aspek teoritis maupun

potensi aplikasinya adalah persamaan Schrdinger nonlinier diskrit (disingkat

SNLD). Hal ini disebabkan karena model ini, sebagaimana juga pada versi

kontinunya, sering muncul dalam berbagai macam aplikasi penting dan

bermanfaat. Beberapa di antaranya dapat dijumpai pada perambatan serat optik

pada pandu-gelombang nonlinier terikat dan dinamika kondensasi Bose-Einstein

[Bose-Einstein condensation (BEC)] (lihat Ref. [1] untuk review studi eksperimen

terkini tentang persamaan SNLD). Kedua fenomena tersebut sangat berperan

dalam pengembangan teknologi informasi dan komunikasi masa depan. Hal ini

dimungkinkan karena persamaan SNLD mempunyai solusi spesial yang kemudian

dikenal dengan istilah soliton. Solusi ini dikatakan spesial karena ia merupakan gelombang nonlinier terlokalisasi yang dapat mempertahankan bentuknya ketika

merambat pada kecepatan konstan, sekalipun setelah berinteraksi dengan

sesamanya. Dalam konteks gelombang optik, soliton dapat direkayasa sebagai

pembawa informasi yang super hebat yang dapat merambat pada media dengan jarak tempuh yang sangat jauh tanpa ada gangguan yang berarti.

Persamaan SNLD merupakan persamaan yang nonintegrable, sehingga perlu

dikembangkan suatu pendekatan analitik untuk menghampiri solusinya. Salah satu


metode yang cukup dikenal dan sering digunakan adalah metode aproksimasi variasional

(AV). Metode ini diformulasi berdasarkan prinsip aksi terkecil yang darinya kemudian

muncul persamaan Euler-Lagrange (lihat misalnya Ref. [2]). Langkah-langkah sistematis

dari metode AV adalah sebagai berikut [3]:

1. Rumuskan Lagrangian dari persamaan yang ingin ditinjau. 2. Pilih fungsi ansatz (penduga) yang sesuai, yang memuat sejumlah hingga

parameter (disebut sebagai parameter variasional).

3. Substitusikan fungsi ansatz ke dalam Lagrangian dan kemudian selesaikan penjumlahannya (untuk sistem diskrit) atau integrasinya (untuk sistem kontinu).

4. Tentukan titik-titik kritis dari parameter variasional dengan menyelesaikan persamaan Euler-Lagrange terkait.

Pada model SNLD dengan kenonlieran bertipe kubik, metode AV telah banyak dipakai

oleh para peneliti (lihat Ref. [4-6]). Berbagai fungsi ansatz untuk mengaproksimasi kasus-

kasus tertentu juga telah banyak diusulkan. Namun, dari seluruh kajian tersebut, metode

AV pada sistem diskrit baru diterapkan untuk soliton cerah (bright soliton) saja.

Penggunaan metode ini untuk soliton gelap (dark solitons) hanya diterapkan pada versi

kontinu dari SNLD (lihat misalnya Kivshar [7]).

Pada studi ini, metode aproksimasi variasional dikembangkan untuk mengaproksimasi

solusi soliton gelap onsite pada persamaan SNLD dengan tipe defocusing. Analisis

variasional yang dilakukan secara khusus hanya meninjau kasus limit anti-kontinuum [8].

Makalah ini disusun dengan sistematika sebagai berikut. Pada Bag. II dibahas persamaan

model yang menjadi objek kajian padan studi ini. Kemudian pada Bag. III dijelaskan

formulasi dari metode variasional untuk mengaproksimasi solusi soliton gelap pada

persamaan model. Selanjutnya, perbandingan hasil-hasil analitik dengan hasil-hasil

numerik disajikan pada Bag. IV. Terakhir, pada Bag. V dikemukakan kesimpulan dari

hasil kajian dan usulan untuk penelitian selanjutnya.

2. Persamaan Model Model yang menjadi objek penelitian pada makalah ini adalah persamaan Schrdinger

nonlinier diskrit dengan tipe defocusing, yang diberikan oleh

(1)

Pada persamaan di atas, adalah fungsi gelombang pada waktu

dan site , menyatakan turunan terhadap , merepresentasikan konstanta pengikat (coupling constant) antara dua site yang bersebelahan, dan merupakan Laplacian diskrit. Catat bahwa pers. (1) memiliki invarian gauge (atau disebut juga invarian fasa) [9,10], yaitu jika dikenakan transformasi

untuk sebarang , maka pers. (1) tidak mengalami perubahan.

Pada makalah ini ingin dicari solusi soliton gelap stasioner dari pers. (1) dengan bentuk

, dimana tidak bergantung waktu. Dalam hal ini memenuhi persamaan

(2)

dengan syarat batas

bilamana . (3)


Secara umum solusi merupakan fungsi bernilai kompleks. Namun untuk solusi yang terlokalisasi dengan syarat batas (3), analisis yang dilakukan terhadap pers. (2)

dapat disederhanakan dengan meninjau solusi yang bernilai riil saja [1,10]. Dengan

demikian pers. (2) menjadi

(4)

3. Formulasi Aproksimasi Variasional Pada bagian ini akan dijelaskan formulasi metode variasional untuk mengaproksimasi

solusi soliton gelap stasioner. Perhatikan bahwa pers. (1) dapat diturunkan dari persamaan

Euler-Langrange

dimana L adalah Lagrangian yang diberikan oleh

Karena yang ditinjau adalah solusi yang tidak bergantung waktu dan bernilai riil, maka Lagrangian (6) dapat disederhanakan menjadi

Pada saat limit anti-kontinuum ( ), pers. (4) memiliki solusi eksak

dimana

setiap

dapat bernilai 0, . Adapun untuk solusi soliton gelap onsite, konfigurasinya pada limit adalah

(8)

Studi AV untuk soliton gelap pada versi kontinu dari pers. (1) dan variannya sudah dikaji

oleh beberapa peneliti (lihat misalnya Kivshar [3]), dimana fungsi ansatz yang digunakan

berbentuk tanh. Pada sistem diskrit, penjumlahan takhingga pada Lagrangian (7) dengan

berbentuk fungsi tanh sulit untuk ditentukan bentuk tutupnya. Sebagai alternatif, pada metode AV untuk sistem diskrit ini digunakan fungsi ansatz

(9)

dimana adalah parameter variasional, yang merupakan bentuk limit dari fungsi . Dengan mensubstitusikan ansatz (9) ke Lagrangian (7) lalu menyelesaikan penjumlahannya, diperoleh Lagrangian efektif

Dari prinsip variasional, Lagrangian efektif mencapai titik kritis pada persamaan Euler-Lagrange (stasioner), yaitu . Hal ini memberikan hasil


Nilai parameter variasonal pada persamaan di atas untuk yang diberikan dapat dihitung secara numerik.

4. Perbandingan dengan Hasil Numerik Pada bagian ini hasil-hasil yang diperoleh dari metode variasional akan dibandingkan

dengan hasil-hasil numerik. Solusi numerik untuk soliton gelap onsite pada persamaan

SNLD dihitung dengan menggunakan skema Newton-Raphson yang dilakukan pada

domain dengan syarat batas

Sebagai contoh ilustratif, pada Gambar 1 diberikan perbandingan antara solusi soliton

yang diperoleh dari aproksimasi variasional dan yang dihitung secara numerik untuk

beberapa nilai konstanta pengikat yang berbeda. Untuk setiap nilai tersebut, diperoleh parameter variasional yang dihitung dengan menyelesaikan pers. (11) secara numerik. Dari gambar dapat disimpulkan bahwa solusi AV secara umum semakin baik

menghampiri solusi numerik untuk yang semakin kecil, yaitu untuk kasus limit anti-kontinuum.

Gambar 1. Perbandingan antara solusi numerik (garis-lingkaran) dan solusi variasional (garis-

silang) untuk soliton gelap onsite dengan nilai dan parameter variasional sebagaimana yang tertulis di setiap panel.


Untuk memeriksa validitas hasil AV lebih lanjut, diplot galat yang didefinisikan oleh norm dari selisih solusi numerik dan variasional, yaitu

(12)

sebagai fungsi terhadap (hasilnya disajikan pada Gambar 2). Dari gambar dapat dilihat bahwa bilamana .

Gambar 2. Norm dari selisih solusi numerik dan variasional untuk soliton gelap onsite sebagai

fungsi terhadap .

5. Kesimpulan Pada makalah ini, metode variasional telah digunakan untuk mengaproksimasi solusi

soliton gelap onsite pada persamaan Schrdinger nonlinier diskrit. Fungsi ansatz yang

dipakai pada metode ini adalah bentuk limit dari fungsi tanh dimana penjumlahan tak-

hingga pada Lagrangian dari sistem dapat ditentukan bentuk tutupnya. Hasil dari

perbandingan antara solusi variasional dan solusi numerik menunjukkan kesesuaian yang

sangat baik antara keduanya, dimana keakuratannya semakin baik untuk nilai konstanta

pengikat yang semakin kecil, yaitu untuk kasus limit anti-kontinum.

Metode variasional yang dikembangkan dalam makalah ini dapat dilanjutkan untuk

memeriksa kestabilan dari soliton gelap. Di samping itu, perlu juga dikembangkan teori

untuk memvalidasi metode variasional sehingga dapat dijustifikasi secara matematis.

Untuk soliton cerah, validasi metode AV sudah diformulasi oleh Chong dkk [13].

Daftar Pustaka

[1] Kevrekidis, P. G. (Ed), Discrete Nonlinear Schrdinger Equation: Mathematical Analysis, Numerical Computations and Physical Perspectives, Springer, Berlin,

2009.

[2] H. Goldstein, C. Poole, and J. Safko, Classical Mechanics (Addison-Wesley, San Francisco-Calif, 2002).

[3] D. J. Kaup and T. K. Vogel, Quantitative measurement of variational approximations, Phys. Lett. A 362, 289 (2007).


[4] B. Aceves, C. De Angelis, T. Peschel, R. Muschall, F. Lederer, S. Trillo, and S. Wabnitz, Discrete self-trapping, soliton interactions, and beam steering in nonlinear

waveguide arrays, Phys. Rev. E 53, 1172 (1996).

[5] J. Cuevas, G. James, P. G. Kevrekidis, B.A. Malomed, and B. Snchez-Rey, Approximation of solitons in the discrete NLS equation, J. Nonlinear Math. Phys. 15

124 (2008).

[6] D. J. Kaup, Variational solutions for the discrete nonlinear Schrdinger equation, Math. Comput. Simulat. 69, 322 (2005).

[7] Kivshar, Y. S. dan Krlikowski, W., Lagrangian approach for dark solitons, Opt. Comm. 114, 353-362, 1995.

[8] R. S. MacKay and S. Aubry, Proof of existence of breathers for time-reversible or Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators, Nonlinearity 7, 1623 (1994).

[9] P. G. Kevrekidis, K. . Rasmussen and A. R. Bishop, The discrete nonlinear Schrdinger equation: a survey of recent results, Internal. J. Modern Phys. B 15,

2833 (2001).

[10] D. Hennig and G. Tsironis, Wave transmission in nonlinear lattices, Phys. Rep. 307, 333 (1999).

[11] C. Chong, D. E. Pelinovsky, and G. Schneider, On the validity of the variational approximation in discrete nonlinear Schrdinger equations, Physica D 241, 115

(2011).

[12] Hennig, G. D. dan Tsironis G., Wave transmission in nonlinear lattices, Phys. Rep. 307, 333-432, 1999.

[13] C. Chong, D. E. Pelinovsky, and G. Schneider, On the validity of the variational approximation in discrete nonlinear Schrdinger equations, Physica D 241, 115

(2011).


7

paper

Documents