PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan

painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa.

Jos ajatellaan kappaleen koko massa sijoitetuksi painopisteeseen, pysyy kappaleen

painovoima samana ja kappaleen potentiaalienergia säilyy. Massakeskipiste on

kappaleen massan keskimääräinen paikka. Homogeenisessa gravitaatiokentässä

kappaleen painopiste on samassa kohdassa kuin kappaleen massakeskipiste.

Painopistettä sanotaan usein massakeskipisteeksi. Kappaleen painopiste on painon

ajateltu vaikutuspiste. Painopisteestä tuettu kappale pysyy tasapainossa missä

asennossa tahansa.

�� � ���

Painopisteen paikan laskeminen

Jos kappale voidaan jakaa osiin, joiden painopisteet tunnetaan, kappaleen

painopiste voidaan määrittää laskemalla.

Tarkastellaan koordinaatistossa

kolmesta osasta muodostuvaa

kappaletta. Osien massat ovat

m1, m2 ja m3 sekä kokonaismassa m.

Osien painopisteiden koordinaatit

ovat (x1, y1), (x2, y2) ja (x3, y3) sekä

kappaleen painopisteen koordinaatit

(x0, y0). Kappale on tasapainossa, jos

sen painopisteeseen kohdistetaan

ylöspäin kappaleen painon suuruinen

voima. Tällöin voiman momenttien

summa origon suhteen on nolla.

∑�� � ��� ����� ����������� � 0

Ratkaistaan painopisteen x-koordinaatti:

��� � ���� ���������� ∣ : mg

�� � ��� ��������

�

��� ��������

� �� ��

Vastaavasti saadaan painopisteen y-koordinaatti:

∑�� � ��� ����� ����������� � 0

��� � ���� ���������� ∣ : mg

�� � ��� ��������

�

��� ��������

� �� ��

Yleistäen voidaan todeta, että monista osista muodostuneen systeemin

painopisteen koordinaatit ovat:

�� � ∑���

∑�

� ��� ���� �⋯����

� �� �⋯��

�� � ∑���

∑�

� ��� ���� �⋯����

� �� �⋯��

(MAOL s. 126 (118)

Homogeenisesta aineesta tehdyn kappaleen painopiste on symmetriapisteessä, jos

kappaleella on sellainen.

(Lehto-Luoma: Fysiikka 3, Tammi, 5-9. uud. painos, Helsinki, 2002, s. 167-173,

Hatakka-Saari- et. al: Physica 5, s. 88-89).

Painopiste voi sijaita myös kappaleen ulkopuolella, esim. rengas.

Kolmion painopiste on keskijanojen

eli mediaanien leikkauspiste.

Kolmion keskijana on jana, joka yhdistää kolmion kärjen vastaisen sivun

keskipisteeseen. Kaikki kolme keskijanaa leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka

jakaa jokaisen keskijanan suhteessa 1 : 2. (MAOL s. 25 (29).

Painopiste voidaan määrittää 1) kokeellisesti ns. ripustusmenetelmällä

2) symmetriaan perustuen ja 3) laskemalla.

Kun määritetään homogeenisen kappaleen painopistettä, osien massat voidaan

korvata tilavuuksilla, sillä massat ja tilavuudet ovat suoraan verrannolliset;

m = ρV. Jos kappale koostuu homogeenisista tasapaksuista levyistä, massat voidaan

korvata pinta-aloilla, sillä massa ja pinta-ala ovat suoraan verrannollisia;

m = ρV = ρAh.

Maan pinnan läheisyydessä olevien kappaleiden painopiste on niiden

massakeskipisteessä. Tarkkaan ottaen kappaleen massakeskipiste ja painopiste ovat

kuitenkin eri asioita. Jos kappale on niin suurikokoinen, että gravitaation aiheuttama

kiihtyvyys poikkeaa kappaleen eri osissa, niin massakeskipiste poikkeaa

painopisteestä. Esimerkiksi Kuun painopiste on Maan painovoimakentässä

lähempänä Maata kuin sen massakeskipiste.

Kappale kaatuu, kun painon vaikutussuora (painopisteestä lähtevä luotisuora)

joutuu tukipinnan ulkopuolelle. Kappale on sitä vakaampi, mitä suurempi tukipinta

sillä on ja mitä matalammalla sen painopiste on. Esim. nelijalkaisen tuolin tukipinta

on suurempi kuin kolmijalkaisen tuolin. Vapaasti gravitaatiokentässä liikkuva, ilmaan

heitetty kappale pyörii massakeskipisteensä ympäri.

Esine kaatuu, kun painon

vaikutussuora joutuu

tukipinnan ulkopuolelle

TASAPAINOLAJIT: A = ripustuspiste, P = painopiste

A

1) Stabiili eli vakaa tasapaino

- kappaleen potentiaalienergia

on pienimmillään P

Ep, min

2) Labiili eli horjuva tasapaino P

- kappaleen potentiaalienergia

on suurimmillaan

Ep, max A

3) Indifferentti eli epämääräinen tasapaino

- kappaleen potentiaalienergia

ei muutu

P A

Ep = vakio

Auton pyörät tasapainotetaan, jotta pyörä ei täristä ajon aikana. Tällöin tukipiste ja

painopiste yhtyvät ja vallitsee indifferentti eli epämääräinen tasapainotila.

Tehtävä 1.

Miksi nuorallakävelijän ja –pyöräilijän on edullista käyttää apunaan

painavahkoa tankoa, jonka päät taipuvat alaspäin? (YO-S90-4a).

Ratkaisu.

Koska tangon päät taipuvat alaspäin, systeemin painopiste alenee.

Tällöin painovoiman momentti tukipisteen suhteen pienenee.

Tangon ansiosta nuorallakävelijän hitausmomentti J kasvaa, mikä

pyörimisliikkeen peruslain M = Jα mukaan pienentää

kulmakiihtyvyyttä α.

Tehtävä 2.

Määritä kuvassa olevan homogeenisen levyn massakeskipiste.

Tehtävä 2. RATKAISU.

Levy on jaettu kahteen osaan, joiden massat ja

(1,0; 3,0) massakeskipisteiden koordinaatit voidaan

(4; 1,5) määrittää. Lopuksi lasketaan koko levyn

massakeskipisteen paikka.

Olkoon yhden ruudun (1,0 cm2) massa mo.

Osalevyjen massat ja massakeskipisteiden

koordinaatit ovat:

m1 = 12mo x1 = 1,0 cm y1 = 3,0 cm

m2 = 12 mo x2 = 4,0 cm y2 = 1,5 cm

Kokonaisen levyn massakeskipisteen koordinaatit ovat:

�� � ��� ����

� ��

� 12� ∙ 1,0� � 12� ∙ 4,0�

12� � 12�

� 60�

24� 2,5�

�� � ��� ����

� ��

� 12� ∙ 3,0� � 12� ∙ 1,5�

12� � 12�

� 54�

24� 2,25�

Vastaus:

Levyn massakeskipisteen koordinaatit ovat xo = 2,5 cm ja yo = 2,3 cm.

HUOM! Koordinaatiston voi valita toisinkin, mutta valinta kannattaa tehdä

viisaasti. Kappaleen sijainnista koordinaatistossa riippuu tietenkin lopputulos.

Massakeskipisteen koordinaatit voivat olla erilaisia riippuen siitä, miten kappale

on sijoitettu koordinaatistoon. Symmetriaa kannattaa hyödyntää tehtävissä,

mikäli se on vain mahdollista.

ks. myös Hiukkasjoukon massakeskipiste: http://www.kotiposti.net/ajnieminen/mkp.pdf

Tehtävä 3.

Homogeenisen (tasa-aineisen) tasapaksun levyn yläosasta on poistettu

ympyränmuotoinen pala, jonka säde on 1,0 cm. Laske levyn

massakeskipisteen paikka.

Tehtävä 3. RATKAISU.

Koordinaatisto voidaan valita monella eri tavalla, mutta lasketaan

tehtävä niin, että kappale on sijoitettu koordinaatistoon kuvan

osoittamalla tavalla.

Merkitään yhden ruudun eli 1,0 cm2:n suuruisen alueen massaa mo:lla.

Osakappaleiden massat ja massakeskipisteiden koordinaatit ovat:

m1 = 28mo x1 = 2,0 cm y1 = 3,5 cm

m2 = 9mo x2 = 5,5 cm y2 = 1,5 cm

Poisleikatun ympyrälevyn massa ja massakeskipisteen koordinaatit

ovat:

m3 = π∙1,02mo x3 = 2,0 cm y3 = 5,0 cm

Huom! Poisleikattu ympyrälevy otetaan laskuissa negatiivisena.

(2,0; 5,0)

(2,0; 3,5)

(5,5; 1,5)

Jäljelle jääneen levyn massakeskipisteen koordinaatit ovat

�� � $%&%'$(&()$*&*

$%'$()$+�

�,$-∙�,�.$'/$-∙0,0.$)12,34�5∙4,36�

�,$-'/$-)12,34�5

7 2,93�

�� � $%9%'$(9()$*9*

$%'$()$*�

�,$-∙�,0.$'/$-∙�,0.$)12,34�5∙:,36�

�,$-'/$-)12,34�5

7 2,83�

Vastaus:

Levyn massakeskipisteen koordinaatit ovat xo = 2,9 cm ja yo = 2,8 cm.

Tehtävä 4.

Kuvassa on vesimolekyylin H2O rakenne.

Laske vesimolekyylin massakeskipisteen paikka. (Lehto-Luoma: Fysiikka 3, Tammi, 5-9. uud. painos Helsinki, 2002, 2-44b, s. 173).

Tehtävä 4. RATKAISU.

Sijoitetaan koordinaatisto siten, että happiatomi sijaitsee origossa O (kuten

kuvassa on tehty). Merkitään A = 10-10 m.

y

75o

x

Tällöin atomien massat ja koordinaatit ovat:

massa x/m y/m

Happi 16,0 u 0 0

Vety1 1,01 u -0,958A∙cos75o 0,958A∙sin75o

Vety2 1,01 u 0,958A 0

Massakeskipisteen paikan x-arvoksi saadaan (A = 10-10 m):

�� = $%&%'$(&('$*&*

$%'$('$*

=�<,�=∙� ) �,��=⋅�,/0,?∙@ABC0D ' �,��E⋅�,/0,?

�<,�= ' �,��= ' �,��=≈ 0,040F

ja y-arvoksi

�� = $%9%'$(9('$*9*

$%'$('$*

=�<,�=∙� ' �,��=⋅�,/0,?∙BGHC0D ' �,��E⋅�

�<,�= ' �,��= ' �,��=≈ 0,052F .

Vastaus:

Vesiatomin massakeskipiste on kohdassa (0,040∙10-10m; 0,052∙10-10m).