packing

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2016/03/19第 6 回プログラマのための数学勉強会 LTs.t.@simizut22

Packing にまつわるあれこれ

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内容

こういう話 (3D bin-packing)


内容

じゃなくてこういう話 (circle packing)

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曲面のパラメータ表示と Ricci flow


内容

1. 目的意識

2. 曲面の ricci flow の概略

3. 離散化

※ 曲面と書いたけど、実際には大脳皮質の表面とかの話です


目的意識

MRI 画像が同じものか (scale の変換 / 回転などの操作をして ) を判断したい

→ 二つの画像が共形的に同じか調べたい大脳皮質の表面を平らな空間にあてはめたい

これらは同じ？高い次元だと難しくない？？


離散 Ricci Flow の利点

1.穴あき (punctured)/ 境界の持ち方が様々 , 種数が高い空間などを統一的に扱うことができる

2.位相的な性質を調べるので、 noise に強い(robust)

least squares conformal maps(LSCM) とか言う手法は穴を埋める必要がある


surface Ricci flow の概略

: を滑らかな曲面

誘導されたリーマン計量

を用いてと表される新しい計量 ( これは角度を保つ変換 ) を以下考えていく曲面内部で ( ガウス ) 曲率 0 、境界で測地的曲率

が定数であるような計量を見つけたい…



Yamabe Equation を解きましょう！！！



Def(Yamabe equation)

ここで , (isothermal coordinate とか言う座標系で書くと )



Yamabe Equation は ricci flow を用いて解くことができる i.e.

曲面に対する ricci flow は ( 高次元と異なって )特異点などが存在しない。すなわち、 Gausse 曲率は有界に抑えられている

Ricci flow の収束 ( 定曲率になる ) の速度は exp order


離散化

曲面が３角形分割 ( 仮定 ) Def(Circle packing metric) が circle packing metric は余弦定理を用いて、

で与える

を単にと略記している。他も同様


離散化

Def(Discrete Gauss Curvature)ガウス曲率を各頂点において以下で与える

Def( 離散版 Gauss-Bonne の定理 )

ここで、は曲面の面積、は euler 標数、はの幾何構造に応じて

オイラー標数・ Gauss-Bonne などに関しては、第三回プログラマのための数学勉強会「つながり方・まがり方・大きさ」 by matsumoring などを参考に

http://www.slideshare.net/matsumoring/ss-48534392

http://www.slideshare.net/matsumoring/ss-48534392


離散化

Surface Ricci flow のアナロジーで

ここで、　は頂点における目標の曲率 ( 境界では測地曲率 ) Ricci Energy ：

を用いて、 ricci energy function が次で定まる

この定義が path-independent であることが分かる ( 略 )


離散化

Ricci Flow の結果を用いると、次の共形変換が作れる

( 凸関数を最小化することで得られる )二つの曲面が与えられた場合 ( もともとの目的 )それぞれの曲面で　 ricci flow を行うと次が作れる


離散化

2 次元に対してはうまく共形変換を計算できる i.e.

は比較的求めやすい


離散化

𝑤 /𝜙≔𝜏2∘𝜙∘𝜏2−1


sample

一番最初に載せた例はそれぞれ次のように 3-hole disk にマップされる

packing

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