(p11) bentuk bilinier dan bentuk kuadrat-1.ppt
DESCRIPTION
STATISTIKTRANSCRIPT
![Page 1: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/1.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
P11. BENTUK
BILINIER DAN BENTUK
KUADRAT
![Page 2: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/2.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
1. Bentuk bilinier2. Bentuk kuadrat3. Reduksi Lagrange
Materi Pembelajaran
![Page 3: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/3.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BILANGAN REAL dan KOMPLEKS
Bilangan real (R) menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal.
Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan .
Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir.Bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang.
2
![Page 4: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/4.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Bilangan kompleks (C) adalah bilangan yang berbentuk a + bidimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1.
Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil;
Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C
BILANGAN REAL dan KOMPLEKS
![Page 5: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/5.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Misalkan V adalah ruang vektor. Bentuk bilinier
pada V adalah fungsi pemetaan f : V x V K,
sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b K
dan semua ui, vi V.
(i)f(au1 + bu2, v) = a f (u1, v) + b f (u2, v)
(ii)f(u, av1 + av2) = a f (u, v1) + b f (u, v2)
![Page 6: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/6.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
f (x, y) = x + y adalah fungsi LINEAR
f (x, y) = xy adalah fungsi BILINEAR
Secara umum:
f (x, y) = xy adalah fungsi bilinear untuk
semua ∈R
![Page 7: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/7.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Diberikan sebuah matriks bujur sangkar A,
maka bentuk bilinear adalah
n
1j,ijiji
t wavwAv)w,v(f
n
2
1
v
v
v
v
n
2
1
w
w
w
w
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
......................
a...aa
a...aa
A
![Page 8: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/8.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Contoh:
, maka bentuk bilinear-nya adalah
2
211
2
2
1
1
y
x
43
21yx
y
x,
y
xf
43
21A
= x1x2+2x1y2+3y1x2+4y1y2
![Page 9: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/9.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
1. Misalkan f adalah hasil kali titik pada Rn;
yaitu untuk u = (ai) dan v = (bi), maka
bentuk biliniernya adalah:
f(u, v) = u . v = a1b1 + a2b2 + …. + anbn
2. Misalkan dan adalah sebarang
fungsional linier pada V. Misalkan f : V x V
R, maka bentuk bilinier-nya adalah: f(u,
v) = (u) (v)
![Page 10: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/10.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Matriks Bujur Sangkar A dapat diidentifikasi
sebagai BENTUK BILINEAR dimana X=[xi]
dan Y=[yi] adalah vektor-vektor kolom dalam
bentuk Polinomial Bilinear:
f (x,y) = a11x1y1 + a12x1y2 + ... + a1nx1yn +
a21x2y1 + a22x2y2 + ... + a2nx2yn +
.................................................. +
an1xny1 + an2xny2 + ... + annxnyn
![Page 11: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/11.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
n
1j,ijiij yxa)y,x(f
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n21
y
y
y
a...aa
......................
a...aa
a...aa
x....xx
AYX T
![Page 12: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/12.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
3
2
1
321
100
011
101
y
y
y
xxx
AYX T
Contoh1: Bentuk bilinear
x1y1 + x1y3 + x2y1 + x2y2 + x3y3
![Page 13: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/13.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Contoh 2:
Misalkan
Nyatakan dalam bentuk matriks, dimana
Jawab:
321321 yyyvdanxxxu
33233222123111 6487523),( yxyxyxyxyxyxyxvuf
3
2
1
321T
y
y
y
640
875
203
xxxAYXv,uf
![Page 14: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/14.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR SIMETRIS
Misalkan f adalah bentuk linier pada V,
maka f dikatakan simetris jika untuk setiap
u, v V,
f (u, v) = f (v, u)Misalkan A adalah matriks simetris atas K,
maka A kongruen terhadap suatu matriks
diagonal, yaitu terdapat matriks
nonsingular P sedemikian rupa sehingga D
= Pt AP (matriks diagonal)
![Page 15: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/15.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Perubahan BASIS
Misalkan P adalah matriks perubahan basis
dari basis S ke S’ yang berbeda. Jika A
adalah matriks yang merepresentasikan
bentuk bilinear f dalam basis asal S, maka B
= PtAP adalah matriks yang merepresenta-
sikan bilinear f dalam basis asal S’
![Page 16: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/16.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR Contoh 3:
Misalkan f adalah bentuk bilinear pada R2
yang definisikan oleh:
1.Tentukan matriks A dari f dalam basis
[u1 = (1, 0), u2 = (1, 1)]
2.Tentukan matriks B dari f dalam basis
[v1 = (2, 1), v2 = (1, -1)]
2221112121 yx4yx3yx2y,y,x,x f
![Page 17: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/17.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR Jawab:
1. A = [aij], dimana aij = f (ui, uj)
Ini menghasilkan: a11 = f (u1, u1) = f ((1, 0), (1, 0)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 0 x 0) + (4 x 0 x
0) = 2a12 = f (u1, u2) = f ((1, 0), (1, 1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 1) + (4 x 0 x
1) = -1a21 = f (u2, u1) = f ((1, 1), (1, 0)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 0) + (4 x 1 x
0) = 2a22 = f (u2, u2) = f ((1, 1), (1, 1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 1) + (4 x 1 x
1) = 3
![Page 18: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/18.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Jadi:
adalah matriks f dalam
basis [u1, u2]
32
12A
![Page 19: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/19.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
2. B = [bij], dimana bij = f (vi, vj)
Ini menghasilkan: b11 = f (v1, v1) = f ((2, 1), (2, 1)) = (2 x 2 x 2) - (3 x 2 x 1) + (4 x 1 x
1) = 6b12 = f (v1, v2) = f ((2, 1), (1, -1)) = (2 x 2 x 1) - (3 x 2 x -1) + (4 x 1
x -1) = 6b21 = f (v2, v1) = f ((1, -1), (2, 1)) = (2 x 1 x 2) - (3 x 1 x 1) + (4 x -1
x 1) = -3b22 = f (v2, v2) = f ((1, -1), (1, -1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x -1) + (4 x -1
x -1) = 9
![Page 20: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/20.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Jadi:
adalah matriks f dalam
basis [v1, v2]
93
66B
![Page 21: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/21.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Perubahan basis
Contoh :
Dari contoh di atas, tentukan matriks
perubahan basis P dari basis [ui] ke basis
[vi], dan buktikan bahwa B = PtAP.
Jawab:
Dengan menulis v1 dan v2 dalam suku ui,
akan diperoleh: v1 = u1 + u2 dan v2 = 2u1
– u2
![Page 22: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/22.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Perubahan basis
Maka:
Terbukti.
11
21P
12
11PT
B93
66
11
21
32
12
12
11APP t
![Page 23: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/23.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS
Dua matriks A dan B berordo nxn disebut kongruen (A B) jika terdapat suatu matriks non singular P sedemikian sehingga:
B = PTAPBila P diekspresikan sebagai hasilkali matriks kolom elementer, maka PT adalah hasilkali matriks elementer baris yg sama dalam urutan terbalik
![Page 24: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/24.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
A dan B kongruen dengan syarat A dapat
direduksi menjadi B dengan memakai
sebarisan pasangan transformasi
elementer.
Tiap pasang terdiri atas suatu
transformasi elementer baris yang diikuti
transformasi elementer kolom yang sama
DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS
![Page 25: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/25.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Setiap matriks simetris A dengan rank r kongruen terhadap suatu matriks diagonal yang r elemen pertama adalah tak nol dan elemen lain nol.
Contoh: Tentukan matriks non singular P sehingga D =
PTAP adalah diagonal
843
452
321
A
DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS
![Page 26: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/26.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
100
010
001
843
452
321
IA
103
012
001
120
210
321
-2b1 + b23b1 + b3
-2c1 + c2 3c1 + c3
OBE untuk A dan I
OKE untuk A saja
103
012
001
120
210
001
kmd
DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS
![Page 27: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/27.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
KONGRUENSI
-2c2 + c3
103
012
001
120
210
001
kmd
-2b2 + b3
127
012
001
500
210
001
127
012
001
500
010
001
D PT
![Page 28: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/28.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
KONGRUENSI
127
012
001
PT
100
210
721
P
500
010
001
APPD T
![Page 29: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/29.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT Pemetaan q: V K berada dalam bentuk kuadratik
jika:q(v) = f (v, v)
Misalkan f merepresentasikan matriks simetris A = [aij] dan X =[xi] adalah vektor kolom, maka q :
ji
jiiji
2iii
j,ijiij
T xxa2xaxxaAXXX,XXq f
Yang koefisien-koefisien aij adalah elemen bentuk kuadrat dalam peubah-peubah x1, x2, …, xn.
![Page 30: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/30.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT Contoh:
q = x12 + 2x2
2 – 7x32 – 4x1x2 + 8x1x3
Matriks simetris A = [aij] disebut matriks dari bentuk kuadrat dan rank A disebut rank bentuk kuadrat. Jika rank r < n maka bentuk kuadrat singular dan jika tidak, non singular
XX T
704
022
421
![Page 31: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/31.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT
Latihan:Tentukan matriks invers yang yang bersesuaian dg setiap bentuk kuadratik berikut ini:
1. q(x, y, z) = 3x2 + 4xy – y2 + 8xz + 6yz + z2
2.q(x, y, z) = 3x2 + xz – 2yz3.q(x, y, z) = 2x2 - 5y2 - 7z2
Tentukan bentuk kuadrat q(X) yang bersesuaian dengan setiap matriks berikut ini:
83
35A
987
865
754
A
1985
0361
8674
5142
A
![Page 32: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/32.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT TRANSFORMASI
Transformasi X = BY akan membawa bentuk kuadrat dengan matriks A ke dalam bentuk kuadrat;
Dengan matriks simetris BTABContoh: reduksi
YABBYBYABYAXXq TTTT )()()(
XXq T
704
022
421
![Page 33: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/33.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT Contoh:
Bentuk kuadratik q(x, y) = 3x2 + 2xy - y2 dan subsitusi linier x = s - 3t dan y = 2s + ta.Nyatakan q (x, y) dalam notasi matriks, dan tentukan matriks A yang mempresentasikan q(x, y)b.Nyatakan subsitusi linier dengan notasi matriks, dan tentukan matriks P yang bersesuaian.c.Tentukan q(s,t) dengan menggunakan subsitusi langsungd.Tentukan q(s,t) dengan menggunakan notasi matriks
![Page 34: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/34.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT jawab:
a. Jadi dan q(X)=XtAX , dimana X = (x, y)
b.
jadi
y
xyxyxq
11
13,,
11
13A
t
s
y
x
12
31
PYX t
sY
y
xXP
dan ,dan
12
31
![Page 35: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/35.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRATc. q(s,t) = 3(s-3t)2+2(s-3t)(2s+t)-(2s+t)2
= 3(s2-6ts+9t2) + 2(2s2-5ts-3t2) - (4s2+4ts+t2) = 3s2-32ts+20t2
d. Disini q(X)=XTAX dan X=PY, Jadi Xt =YtPt
22 20323s
2016
163,
12
31
11
13
13
21,
)(,
tst
t
sts
t
sts
APYPYYqtsq tt
![Page 36: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/36.jpg)
Latihan
1. Misalkan f adalah bentuk bilinear pada R2
yang definisikan oleh:
Tentukan matriks A dari f dalam basis
[u1 = (1, 1), u2 = (1, 0)]
1221112211 yxyx3yx2y,x,y,x f
![Page 37: (P11) Bentuk Bilinier dan Bentuk Kuadrat-1.ppt](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061309/55721421497959fc0b93d52f/html5/thumbnails/37.jpg)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Terima kasih
Sampai jumpa di pertemuan berikutnya