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Due variabili aleatorie X ed Y si dicono in-
dipendenti se comunque dati due numeri reali
a e b si ha
P{X = a, Y = b} = P{X = a}P{Y = b}
Una variabile aleatoria χ che assume i soli valori
1, 2, ..., n e detta binomiale con parametri
(n, p) se
p(i) = P{X = i} =
(ni
)pi(1− p)n−i.
Il valore atteso di una tale variabile binomiale
e np; la varianza e np(p− 1).
La variabile aleatoria Xi che vale 1 se l’i-esima
prova ha successo e 0 altrimenti, e una variabile
di Bernoulli. Chiaramente
X = X1 + .... + Xn
e una somma di variabili indipendenti.
Ebbene si ha
np = E[X] =n∑
i=1
E[Xi] =n∑
i=1
p = np.
Una variabile aleatoria χ che assume i soli valori
1, 2, ... e detta di Poisson con parametro λ
se
p(i) = P{X = i} = e−λλi
i!, i = 0,1,2, ...
La variabile di Poisson ha valore atteso e vari-
anza uguali a λ.
Se X1 e X2 sono due variabili di Poisson in-
dipendenti con parametri λ1 e λ2, allora X1 +
X2 e una variabile di Poisson con parametro
λ1 + λ2
In generale la somma di due variabili aleato-
rie X ed Y ha media uguale alla somma delle
medie. Affinche la medesima cosa capiti per
la varianza e necessario che le variabili in ques-
tione siano indipendenti. Se questo non capita,
interviene un fattore di correzione che dipende
da una quantita detta covarianza delle due
variabili:
V ar(X +Y ) = V ar(X)+V ar(Y )+2Cov(X, Y ).
Sia F un fenomeno per il quale:
1. La probabilita che F si verifichi esattamente
una volta in un intervallo di tempo pari ad h
sia uguale a λh + o(h).
2. La probabilita che F si verifichi due o piu
volte in un intervallo di tempo pari ad h sia
uguale a o(h).
3. Siano n e j1, ..., jn numeri naturali. Dati n
intervalli di tempo disgiunti, indichiamo con Ei
l’evento “nel i-esimo intervallo di tempo F si e
verificato ji volte”. Ebbene gli eventi E1, ...,
En sono indipendenti.
Diremo allora che F e un processo di Poisson.
Il numero di volte N(t) che F si verifica in un
intervallo di tempo t e una variabile aleatoria
di Poisson con parametro λt. La costante λ,
che indica il numero di volte che F si verifi-
ca nell’unita di tempo, deve essere verificata
empiricamente.
In California si e valutato empiricamente che
si verificano due terremoti al mese. Supponi-
amo che il verificarsi di un terremoto soddisfi
le proprieta di un processo di Poisson.
Determinare la probabilita che vi siano almeno
quattro terremoti nei prossimi tre mesi e che
ve ne sia almeno uno nella prossima settimana.
Diciamo geometrica ogni variabile aleatoria
alla quale corrisponde una densita discreta del
tipo
p(n) = (1− p)n−1p.
Corrisponde alla ripetizione di una prova, che
ha probabilita p di successo, sino a quando non
si ottiene un successo.
Determinare il valore atteso di una variabile
aleatoria geometrica.
Diciamo ipergeometrica ogni variabile aleato-
ria alla quale corrisponde una densita discreta
del tipo
p(i) =
(mi
)(N −mn− i
)(
Nn
)per fissati N , n, m. Corrisponde alla estrazione
di n palline da un’urna contenente N palline,
di cui m bianche e le altre nere, e la variabile
aleatoria conta il numero di palline bianche
selezionate.
Diciamo continua una variabile aleatoria X
per la quale esiste una funzione non negati-
va f : R → R con la proprieta che per ogni
sottoinsieme misurabile B di R
P{X ∈ B} =∫B
f(x)dx
La funzione f e detta densita continua di X.
Il numero di ore che un computer funziona pri-
ma di rompersi e una variabile aleatoria con-
tinua con densita continua del tipo
f(x) =
{λe−
x100 x ≥ 0
0 x < 0
Determinare il parametro λ e quindi determinare
la probabilita che il computer funzioni tra 50 e
150 ore prima di rompersi, e che funzioni per
meno di 100 ore.
Il valore atteso di una variabile continua con
densita continua f e
E[X] =∫ ∞−∞
xf(x)dx.
Se g : R → R e una funzione e X una variabile
aleatoria continua, allora
E[g(X)] =∫ ∞−∞
g(x)f(x)dx
Calcolare il valore atteso di eX con X variabile
aleatoria continua con densita continua
f(x) =
{2x 0 ≤ x ≤ 10 altrimenti
La varianza di una variabile aleatoria continua
X e
V ar(X) = E[(X − µ)2].
Continua a valere la formula
V ar(X) = E[X2]− (E[X])2.
Calcolare il valore atteso e la varianza della
variabile aleatoria continua X con densita con-
tinua
f(x) =
{2x 0 ≤ x ≤ 10 altrimenti
La somma di due variabili aleatorie continue X
ed Y ha media uguale alla somma delle medie.
Affinche la medesima cosa capiti per la vari-
anza e necessario che le variabili in questione
siano indipendenti. Se questo non capita, in-
terviene un fattore di correzione che dipende
da una quantita detta covarianza delle due
variabili:
V ar(X +Y ) = V ar(X)+V ar(Y )+2Cov(X, Y ).
Diciamo che una variabile aleatoria X e uni-
formemente distribuita su un intervallo [α, β]
della retta reale se la sua densita continua f e
costante nell’intervallo [α, β] e 0 altrove. Nec-
essariamente f deve valere 1/(β−α) nell’inter-
vallo [α, β].
L’autobus numero 9 parte dalla stazione og-
ni 15 minuti a partire dai minuti 00. Se la
mattina uno arriva alla fermata in un momen-
to uniformemente distribuito tra le 7 e le 7.30,
determinare la probabilita che attenda meno di
5 minuti la partenza dell’autobus. E qual’e la
probabilita che attenda la partenza per piu di
10 minuti?
Diciamo che X e una variabile aleatoria nor-
male con parametri (µ, σ2) se la sua densita
continua e data da
f(x) =1√2π
e−(x−µ)2/2σ2
σ, x ∈ R.
I parametri µ e σ2 rappresentano il valore at-
teso e la varianza della variabile normale.
Se X e una variabile normale con parametri µ
e σ2, allora dati a, b ∈ R, la variabile Y = aX+b
e normale con parametri aµ + b e a2σ2.
In particolare Z =X − µ
σe una variabile nor-
male con parametri 0 e 1; una tale variabile
normale e detta avere distribuzione standard.
La funzione di distribuzione di una variabilealeatoria normale X con distribuzione standardsi indica tradizionalmente con Φ:
Φ(y) = P{X ≤ y} =∫ y
−∞
1√2π
e−x2/2
A pag. 203 del libro avete la tabella. Si ten-ga presente che Φ(−x) = 1 − Φ(x), pertantoΦ(−2) = 1−Φ(2).
Se Y e una variabile normale con parametri µe σ2, con funzione di distribuzione F , allora
F (a) = P{Y ≤ a} = P{Y − µ
σ≤
a− µ
σ} = Φ(
a− µ
σ)
Sia X una variabile normale con parametri µ =
3 e σ2 = 9. Determinare P{2 < X < 5}, P{X >
0} e P{|X − 3| > 6}.
Sia X una variabile continua uniformemente
distribuita su (0,1). Si consideri la variabile
Y = Xn. Determinare la funzione di distribuzione
e la densita continua di Y .
Diseguaglianza di Markov Se X e una vari-
abile aleatoria che assume solo valori non neg-
ativi, allora per ogni a > 0 si ha
P{X ≥ a} ≤E[X]
a
Diseguaglianza di Chebyshev Se X e una
variabile aleatoria con valore atteso µ e varian-
za σ2, allora per ogni k > 0 si ha
P{|X − µ| ≥ k} ≤σ2
k2
Teorema. (Legge debole dei grandi numeri)
Siano X1, ..., Xn variabili aleatorie indipenden-
ti con la medesima funzione di distribuzione,
ciascuna con media e varianza finite E[Xi] = µ
e V ar(Xi) = σ2. Allora, per ogni ε > 0 si ha
P
{∣∣∣∣X1 + ... + Xn
n− µ
∣∣∣∣ ≥ ε
}→ 0 n →∞.
Teorema del limite centrale
Sia X1, X2, ... una sequenza di variabile aleato-rie indipendenti con la medesima funzione didistribuzione, con media µ e varianza σ2. Al-lora la funzione di distribuzione di
X1 + ... + Xn − nµ
σ√
n
tende alla distribuzione normale standard pern → ∞. Pertanto per −∞ < a < ∞, si ha cheper n →∞
P
{X1 + ... + Xn − nµ
σ√
n≤ a
}→
1√2π
∫ a
−∞e−x2/2dx
Quando n e grande, una variabile binomiale X
con parametri (n, p) puo essere approssimata
con una variabile normale XN con parametri
E[X] = np e V ar(X) = np(1− p).
Un astronomo deve misurare in anni luce ladistanza di una stella. Il subitaneo cambio dicondizioni atmosferiche, normali errori di mis-urazione etc. fanno si che piu che una misura,riesca ad ottenere una stima della reale distan-za. Supponendo che diverse misurazioni sianovariabile aleatorie tra loro indipendenti, con lamedesima distribuzione, aventi media comuned (la distanza reale della stella), e varianza co-mune pari a 4 anni luce, quante misure e nec-essario fare per poter essere ragionevolmentesicuri che la distanza stimata abbia un marginedi errore inferiore a 0.5 anni luce?
Il numero di studenti che fanno il primo com-
pitino di Matematica D in teledidattica e una
variabile aleatoria di Poisson con media 90.
Decido che se i partecipanti sono almeno 100,
ho bisogno di due aule, altrimenti ne basta
una sola. Qual’e la probabilita che vengano
utilizzate davvero due aule?