p dictaat toegepaste mechanica / draagconstructies...

P DICTAAT TOEGEPASTE MECHANICA / DRAAGCONSTRUCTIES

BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT AFDELING BOUWKUNDE

VAKGROEP TOEGEPASTE MECHANICA / / DRAAGCONSTRUCTIES

1 PROF.IR. D. DICKE / IR. W.A. EISMA

1 FEBRUARI 19 78

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.0.1 INLEIDING

1

BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES

Onder een bi j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c t i e v e r

staan we een c o n s t r u c t i e d i e i n het a l g e

meen n i e t wordt opgebouwd u i t een een

voudig systeem van vl o e r e n , balken en

kolommen.

Voorbeelden van zo'n b i j z o n d e r e draagcon

s t r u c t i e z i j n de k a b e l c o n s t r u c t i e s en de

pneumatische c o n s t r u c t i e s , d i e kortweg

pneus worden genoemd.

We gaan ons bezig houden met deze k a b e l

c o n s t r u c t i e s en pneus en z u l l e n nagaan

hoe de k r a c h t s v e r d e l i n g i n deze co n s t r u c

t i e s kan worden bepaald.

Bijzondere d r a a g c o n s t r u c t i e s worden v e e l a l

toegepast voor het overspannen van g r o t e

k o l o m v r i j e ruimten. Deze c o n s t r u c t i e s wor

den b i j voorkeur zo ontworpen dat ze een

ge r i n g eigen gewicht b e z i t t e n .

De k r a c h t s v e r d e l i n g i n een b i j z o n d e r e draag

c o n s t r u c t i e i s meestal n i e t gemakkelijk t e

bepalen. Een u i t z o n d e r i n g h i e r o p vormen de

k a b e l c o n s t r u c t i e s en de pneus d i e een een

voudig evenwichtssysteem hebben. We z u l l e n

d i t nagaan en enkele voorbeelden u i t w e r k e n .

15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.0,2 INLEIDING

2

15 15 15.1.1

BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES KABELCONSTRUCTIES

3

1. KABELCONS TRUCTIES

S t a l e n k a b e l s z i j n zeer s l a p p e bouwelemen

t e n . Ze z i j n i n h e t algemeen zo s l a p d a t we

v e r w a a r l o z e n d a t ze i n w e n d i g e b u i g e n d e momen

t e n kunnen l e v e r e n . Dan kunnen ze ook geen

d w a r s k r a c h t e n opnemen.

Kabels kunnen a l l e e n n o r m a a l k r a c h t e n opnemen

en dan nog s l e c h t s t r e k k r a c h t e n .

A l s d r a a g c o n s t r u c t i e z i j n s t a l e n k a b e l s h e t

e e r s t t o e g e p a s t b i j bruggen.

Hangbrug over de Conway hij Conway Castle Mes 1826

; .

\ J

Pas l a t e r z i j n s t a l e n k a b e l s t o e g e p a s t v o o r

h e t overspannen van g r o t e k o l o m v r i j e r u i m t e n .

K a b e l c o n s t r u c t i e s worden o.a. t o e g e p a s t v o o r

hangen t u i d a k e n . Deze d a k c o n s t r u c t i e s wor

den u i t g e v o e r d i n v e r s c h i l l e n d e vormen.

B i j een hangdak w o r d t h e t dak d i r e c t gedragen

door de k a b e l s , b.v. z o a l s aangegeven i n de

f i g u u r .

B i j een t u i d a k w o r d t h e t dak opgehangen aan

de k a b e l s .

De c o n s t r u c t i e v o r m v o l g e n s de e e r s t e f i g u u r

v e r t o o n t v e e l overeenkomst met de vorm v an

de c o n s t r u c t i e van een hangdak. Het maakt

v o o r de b e r e k e n i n g v an de k a b e l k r a c h t e n

n a u w e l i j k s e n i g v e r s c h i l o f h e t dak w o r d t

gedragen door o f i s opgehangen aan de

k a b e l s .

De c o n s t r u c t i e v o r m v o l g e n s de tweede f i g u u r

d a a r e n t e g e n i s een d u i d e l i j k e vorm van een

tüidak-constructie.

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.2 KABELCONSTRUCTIES

We z u l l e n ons bezi g h o u d e n met eenvoudige

hangen t u i d a k e n w a a r b i j de k a b e l s i n êên

r i c h t i n g p a r a l l e l l o p e n . Deze daken b e z i t t e n

s l e c h t s i n êên r i c h t i n g een gekromd v l a k .

We sp r e k e n i n d i t g e v a l van l i n e a i r e hang

en t u i d a k e n .

De k a b e l c o n s t r u c t i e van deze l i n e a i r e daken

h e e f t een ee n v o u d i g e v e n w i c h t s s y s t e e m w a a r b i

de vorm van de k a b e l w o r d t b e p a a l d door de

st a n g e n v e e l h o e k t e n g e v o l g e van de b e l a s t i n g

van deze k a b e l .

dx

ds

I n d i e n de k a b e l a l l e e n z i c h z e l f moet d r a g e n

dan i s de b e l a s t i n g van de k a b e l - h o r i z o n

t a a l gemeten - n i e t g e l i j k m a t i g v e r d e e l d .

We kunnen d i t a l s v o l g t v e r k l a r e n .

S t e l de k a b e l weegt g N/m"*".

B e k i j k e n we een d e e l t j e van de k a b e l met een

l e n g t e d s , gemeten l a n g s de k a b e l , dan weegt

d i t g.ds N.

De h o r i z o n t a l e p r o j e c t i e v a n de l e n g t e ds

i s dx.

Dus h o r i z o n t a a l g e z i e n i s de b e l a s t i n g g^

g e l i j k aan:

1 g.ds dx cos ^

N/m"

B i j de ophangpunten A en B van de k a b e l i s

hoek (j) h e t g r o o t s t en dus cos (}) h e t k l e i n s t

Daarom i s i n deze p u n t e n g^ h e t g r o o t s t . I n

h e t midden van de k a b e l i s (}) = O en dus de 1

b e l a s t i n g g. g N/m

We z i e n d a t g n i e t c o n s t a n t i s . !K1

15 15 15.1.3


5

Tengevolge van de b e l a s t i n g g^ = ^

neemt de k a b e l de vorm aan van een zogeheten

k e t t i n g l i j n .

(De w i s k u n d i g e vorm van deze l i j n i s een

c o s i n u s h y p e r b o l i c u s f u n c t i e ) .

Zouden we re k e n e n met een g e l i j k m a t i g v e r

d e e l d e b e l a s t i n g g N/m"*" - h o r i z o n t a a l geme

t e n - dan neemt de k a b e l de vorm aan van

een p a r a b o o l .

Omdat h e t g e w i c h t van de k a b e l s i n h e t a l

gemeen k l e i n z a l z i j n t e n o p z i c h t e van h e t

g e w i c h t van de t o t a l e d a k c o n s t r u c t i e , maken

we geen g r o t e f o u t i n d i e n we h e t k a b e l g e w i c h t

- h o r i z o n t a a l gemeten - a l s g e l i j k m a t i g v e r

d e e l d beschouwen.

_ ^ Het kan voorkomen d a t h e t g e w i c h t v an de

t o t a l e d a k c o n s t r u c t i e h o r i z o n t a a l gemeten -

n i e t g e l i j k m a t i g v e r d e e l d i s . D i t i s b.v.

h e t g e v a l wanneer de d i k t e d van h e t dak

c o n s t a n t w o r d t gehouden.

Ook i n d i t g e v a l maken we geen g r o t e f o u t

i n d i e n we v o o r h e t b e p a l e n v an de o r d e van

g r o o t t e v a n de k r a c h t e n i n de k a b e l s en de

ophangpunten i n p l a a t s v a n de w e r k e l i j k e

b e l a s t i n g u i t g a a n van een g e l i j k m a t i g v e r

d e e l d e b e l a s t i n g p e r s t r e k k e n d e m e t e r ,

h o r i z o n t a a l gemeten.

We z u l l e n i n h e t v o l g e n d e de k a b e l s s t e e d s

a l s q e w i c h t s l o o s beschouwen en nagaan hoe

de g r o o t t e v a n de k r a c h t e n i n de k a b e l s

kan worden b e p a a l d b i j i

a. ophangpunten op g e l i j k e h o o g t e

b. ophangpunten n i e t op g e l i j k e h o o g t e

We z u l l e n v e r d e r nagaan hoe de k r a c h t e n i n

de ophangpunten kunnen worden a f g e v o e r d

naar de v a s t e g r o n d s l a g , a f h a n k e l i j k van

Co de o n d e r s t e u n i n g s c o n s t r u c t i e


a. Ophangpunten op g e l i j k e h o o g t e

A l s e e r s t e v o o r b e e l d beschouwen we een ka

b e l d i e i n A en B i s b e v e s t i g d en i n h e t

midden C w o r d t b e l a s t door een massa met

een g e w i c h t G.

I n h o o f d s t u k 13 hebben we a l aangetoond

d a t de k a b e l i n d i t g e v a l een d r i e h o e k i g

v e r l o o p z a l hebben.

De g r o o t t e van de k r a c h t e n i n de k a b e l en

i n de ophangpunten z a l a f h a n k e l i j k z i j n

van de p i j 1 f van de k a b e l . We z u l l e n d i t

nagaan.

I n de ophangpunten A en B o n t s t a a n t e n g e

v o l g e van h e t g e w i c h t G de r e a c t i e k r a c h t e n

\ en Rg.

U i t EV = O en EM = O ( o f u i t de symmetrie)

v o l g t d a t de v e r t i c a l e componenten van deze

r e a c t i e k r a c h t e n moeten z i j n :

= = I °

U i t EH = O v o l g t d a t v o o r de h o r i z o n t a l e

componenten g e l d t :

HA = = H

U i t de f i g u u r kunnen we a f l e i d e n d a t :

f tg(j) =

H en tgcf) =

H i e r u i t v o l g t v o o r de g r o o t t e van k r a c h t H:

H =

15 15 15,1.5


7

We kunnen de g r o o t t e van k r a c h t H ook be

p a l e n d o o r t u s s e n de ophangpunten een v e r -

b i n d i n g s s t a a f AB aan t e bren g e n .

K r a c h t H w o r d t dan opgenomen door deze ver-

b i n d i n g s s t a a f . Daardoor o n t s t a a n i n de op

hangpunten A en B s l e c h t s de v e r t i c a l e

r e a c t i e k r a c h t e n en waarvoor g e l d t :

V A

= V. = 2 < ^

We beschouwen nu k a b e l en v e r b i n d i n g s s t a a f

a l s êên c o n s t r u c t i e d i e i s t e v e r g e l i j k e n

met een l i g g e r op twee s t e u n p u n t e n A en B

( z i e h o o f d s t u k 1 3 ) .

We bre n g e n een snede aan d i r e c t l i n k s v a n

h e t midden van de c o n s t r u c t i e .

Het moment i n deze middendoorsnede i s :

M = " l G

Omdat k a b e l en v e r b i n d i n g s s t a a f z e l f geen

momenten kunnen opnemen moet d i t moment M

v o l l e d i g worden opgenomen door h e t k o p p e l

gevormd door de k r a c h t e n H.

Het moment van d i t k o p p e l i s H.f

Nu g e l d t : H.f = \ G.l

Of: H =

Hal e n we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB weer weg

dan v o l g t u i t de voorwaarde EH = O v o o r

h e t k a b e l d e e l l i n k s van de middendoorsnede

1 G.l

H^ = H =

U i t EH = O v o l g t dan v e r d e r d i r e c t d a t

H, = H, A

15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.6 KABELCONSTRUCTIES

Zodra de g r o o t t e van k r a c h t H bekend i s

kunnen de k r a c h t e n i n de ophangpunten en

de k a b e l worden b e p a a l d .

Voor de r e a c t i e k r a c h t e n i n A en B v i n d e n we

\ = ^B = + (| G l ^

V e r d e r g e l d t v o o r de k r a c h t S i n de k a b e l s

We z i e n d a t de g r o o t t e v a n de k r a c h t e n S,

R^ en Rg mede w o r d t b e p a a l d door de g r o o t t e

van k r a c h t H. De g r o o t t e v a n deze k r a c h t i s

a f h a n k e l i j k v an de waarde van de p i j l f .

D i t b e t e k e n t dus d a t de k r a c h t e n i n de k a b e l

en i n de ophangpunten ook a f h a n k e l i j k z i j n

van de p i j l f van de k a b e l .

Door h e t aanbrengen van d e . v e r b i n d i n g s s t a a f

AB ( s l u i t l i j n ) o n t s t a a t de d r i e h o e k ABC.

Deze d r i e h o e k i s t e beschouwen a l s een ge

s l o t e n s t a n g e n v e e l h o e k d i e , op een bepaalde

s c h a a l , de j u i s t e vorm w e e r g e e f t van h e t

momentenvlak van de t o t a l e c o n s t r u c t i e ( z i e

ook h o o f d s t u k 1 3 ) .

D i t b e t e k e n t d a t we omgekeerd u i t h e t

momentenvlak de j u i s t e k a b e l v o r m en de

g r o o t t e van de h o r i z o n t a l e componenten

van de k r a c h t e n i n de k a b e l kunnen a f l e i

den. We z u l l e n d i t nagaan aan de hand van

een v o o r b e e l d .

15 15 15.1.7


9

•

We gaan de vorm b e p a l e n van een k a b e l

waarvan de ophangpunten A en B 6 m u i t

e l k a a r l i g g e n .

De k a b e l w o r d t i n C b e l a s t door een massa

met een g e w i c h t G = 3 0 kN.

De p i j l v a n de k a b e l mag maximaal 1,6 m

bedragen.

Voor h e t b e p a l e n v an de m o m e n t e n l i j n v e r

vangen we k a b e l c o n s t r u c t i e door een l i g g e r

op twee s t e u n p u n t e n A en B.

De o p l e g r e a c t i e s z i j n s

en V^ = 20 kN A

V^ = 10 kN B

Het maximum moment i s :

M = 20 . 2 = 40 kNm max

We z e t t e n de m o m e n t e n l i j n u i t op een be

p a a l d e s c h a a l , b.v. 1 mm = 2 kNm.

De vorm van de k a b e l t e n g e v o l g e v an de

b e l a s t i n g door de massa met g e w i c h t G

komt o v e r e e n met de gevonden momenten

l i j n . We geven de k a b e l de maximale p i j l

omdat dan de k r a c h t e n i n de k a b e l en i n

de ophangpunten zo k l e i n m o g e l i j k z i j n .

Brengen we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB aan dan

v i n d e n we v o o r de g r o o t t e van k r a c h t H:

M H = max 40 = 25 kN

f 1,6

De r e a c t i e k r a c h t e n i n A en B z i j n :

20^ + 25^ = 32,0 kN

R, ^ + 25^ = 26,9 kN

De g r o o t s t e k r a c h t i n de k a b e l i s dus 32 kN

Tekenen we nog een k r a c h t e n d r i e h o e k met de

k r a c h t e n G, en R^ dan kunnen we daarmee

de gevonden waarden c o n t r o l e r e n .

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES ' 10 15.1.8 KABELCONSTRUCTIES

i

A l s tweede v o o r b e e l d beschouwen we nog een

k a b e l d i e i n A en B i s b e v e s t i g d , maar d i e

w o r d t b e l a s t door een - h o r i z o n t a a l gemeten

g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q kN/m"^.

De k a b e l h e e f t een p i j l f .


komt de m o m e n t e n l i j n v o o r deze c o n s t r u c t i e

( k a b e l + v e r b i n d i n g s s t a a f ) o v e r e e n met de

m o m e n t e n l i j n v an een l i g g e r AB op twee

s t e u n p u n t e n .

De v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n z i j n i

Voor de m o m e n t e n l i j n g e l d t s

M^ = | q . l . x - | q . x 2 = ^ q . x . ( l - x )

D i t i s de v e r g e l i j k i n g van een p a r a b o o l .

Het maximum moment i s :

M = -H" q. 1 max 8 ^


11

Het k a b e l v e r l o o p t e n g e v o l g e van de b e l a s

t i n g q komt o v e r e e n met de gevonden momen

t e n l i j n .

D i t k a b e l v e r l o o p i s dus p a r a b o l i s c h .

Brengen we een snede aan i n h e t midden dan


M H =

max 8

Dus % H = ^ 8f

De t o t a l e r e a c t i e k r a c h t e n i n A en B z i j n s

^A " ^B " ,1 -, X 2 ^ ., q . l V 2 (2 +

De g r o o t s t e waarde v o o r de k r a c h t i n de

k a b e l i s g e l i j k aan de g r o o t t e v an de

k r a c h t e n en R^. A ±5

De k l e i n s t e waarde v o o r de k r a c h t i n de

k a b e l i s g e l i j k aan de g r o o t t e v an k r a c h t H

Opmerking

Voor de h e l l i n g s h o e k b i j A en B g e l d t

V. 1 ,

A q . l ^ 8 f

2 f

D i t b e t e k e n t d a t de r a a k l i j n e n i n A en B

aan de k a b e l e l k a a r s n i j d e n op een a f s t a n d

van 2 f onder de l i j n AB. D i t i s een belang

r i j k e e i g e n s c h a p v an de p a r a b o o l .

i


12

b. Ophangpunten n i e t op g e l i j k e h o o g t e

A l s e e r s t e v o o r b e e l d beschouwen we eens een

k a b e l d i e i n A en B i s b e v e s t i g d en i n h e t

midden C w o r d t b e l a s t door een massa met

een g e w i c h t G. De ophangpunten l i g g e n nu

n i e t op g e l i j k e h oogte ( h o o g t e v e r s c h i l = 2a)

De g r o o t t e van de k r a c h t e n i n de k a b e l en

i n de ophangpunten z a l weer a f h a n k e l i j k

z i j n van de p i j l f van de k a b e l . We z u l

l e n d i t nagaan.

Tengevolge van h e t g e w i c h t G o n t s t a a n i n

de ophangpunten A en B de r e a c t i e k r a c h t e n

\ ^B-

I n d i e n we deze r e a c t i e k r a c h t e n o n t b i n d e n

i n een v e r t i c a l e component en een compo

n e n t R^g d i e de v e r b i n d i n g s l i j n AB a l s

w e r k l i j n h e e f t , dan i s de g r o o t t e van deze

v e r t i c a l e component g e l i j k aan G.

D i t v o l g t d i r e c t u i t de voorwa a r d e : o f EMg = O


worden de componenten R^^ van de r e a c t i e

k r a c h t e n R^ en Rg opgenomen door deze s t a a f ,

z o d a t i n de ophangpunten A en B nog s l e c h t s

de v e r t i c a l e r e a c t i e s G o p t r e d e n .

We v e r g e l i j k e n de c o n s t r u c t i e - k a b e l met

v e r b i n d i n g s s t a a f - weer met een l i g g e r AB

op twee s t e u n p u n t e n .

15 15 15.1.11


13

Ha^h

"N We brengen een snede aan d i r e c t l i n k s van

h e t midden v an de c o n s t r u c t i e en o n t b i n d e n

de b e i d e k r a c h t e n d i e i n deze snede werken

i n een h o r i z o n t a l e en een v e r t i c a l e compo

n e n t .

U i t EH = O v o l g t v o o r h e t - d e e l l i n k s van

de snede d a t de h o r i z o n t a l e componenten

van beidé k r a c h t e n g e l i j k maar t e g e n g e s t e l d

g e r i c h t z i j n .

We d u i d e n deze componenten aan a l s k r a c h t H,

Het moment van h e t k o p p e l gevormd door de

k r a c h t e n H i s g e l i j k aan H.f

Omdat h e t moment M d a t door de middendoor

snede moeten worden o v e r g e b r a c h t i s

M = i G . i l = i G . l


H . f = ^ G . 1 H =

Halen we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB weg en

brengen we weer een snede aan d i r e c t l i n k s

van h e t midden, dan v i n d e n we u i t de v o o r

waarde EH = O v o o r h e t k a b e l d e e l l i n k s van

deze snedes'

= H =

U i t de voorwaarde EH = O v o o r de g e h e l e

k a b e l v o l g t dan d a t H^ = H. = H. B

Van de r e a c t i e k r a c h t e n R.. en R„ i n de A rs

ophangpunten z i j n nu de h o r i z o n t a l e com

ponenten H^ en Hg bekend.

De v e r t i c a l e componenten V en V„ z i j n 1

n i e t meer g e l i j k aan •2 G. De g r o o t t e van

deze r e a c t i e k r a c h t e n kan op v e r s c h i l l e n d e

m a n i e r e n worden b e p a a l d .


14

Methode 1

We berekenen de k r a c h t e n V_ en V„ u i t de A D

meetkundige gegevens van de f i g u u r .

V tgcf.^ = H

A . f + a

A

Of. v ^ = H . i ^ = i

XT ^ 1 r f + a

G.l

V t ^ * 2 =

B f - a

2^

j G.l

2^

f + a

f - a

V - i r f " ^

We z i e n d a t zowel de g r o o t t e van de h o r i z o n

t a l e a l s van de v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n i n

A en B a f h a n k e l i j k i s van de waarde van de

p i j l f van de k a b e l . D i t b e t e k e n t d a t ook de

g r o o t t e van de t o t a l e r e a c t i e k r a c h t e n R^ en ,

Rg a f h a n k e l i j k i s van deze waarde.

Omdat de g r o o t t e van de k r a c h t e n S^ en S2 i n

de b e i d e d e l e n van de k a b e l d i r e c t w o r d t a f

g e l e i d u i t d i e van de r e a c t i e k r a c h t e n R^ en

R„ i s ook deze g r o o t t e a f h a n k e l i j k van de

waarde f van de p i j 1 .

Methode 2

We b e p a l e n de k r a c h t e n en u i t de

e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n .

U i t = O v o l g t :

H . 2a - G . -Jl = O

_ 1 ^ 2a 1 1 f + a

U i t EM = O v o l g t :

. 1 - H . 2a + G . 1 = O

2 a f - a

15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1,13 KABELCONSTRUCTIES

15

Methode 3

We gaan b i j deze methode u i t van de con

s t r u c t i e met v e r b i n d i n g s s t a a f AB. Deze

c o n s t r u c t i e i s i n e v e n w i c h t . I n de ophang

p u n t e n A en B t r e d e n de v e r t i c a l e r e a c t i e

k r a c h t e n V^' = Vg' = " l G op.

We h a l e n nu de v e r b i n d i n g s s t a a f AB weg.

Daardoor o n t s t a a n i n A en B de h o r i z o n t a l e

r e a c t i e k r a c h t e n

= Hg = H = f 0.1

Omdat de w e r k l i j n e n van de k r a c h t e n en

n i e t s a m e n v a l l e n w o r d t er op de k a b e l -B

c o n s t r u c t i e een k o p p e l u i t g e o e f e n d met een

moment M = - H . 2a. Daardoor i s deze con

s t r u c t i e n i e t meer i n e v e n w i c h t .

Voor e v e n w i c h t i s n o d i g een tegenwerkend

moment d a t kan worden g e l e v e r d door de

v e r t i c a l e k r a c h t e n V^'' = V^'' = V.

U i t de voorwaarde EM

H . 2a = V . 1

W a a r u i t : V^'' = ''

DUS-. V ^ " = Vg

= O v o l g t dan;

2a V = H . — = — .

2 ^ • f

2a

Voor de t o t a l e v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n

v i n d e n we dan:

V. = V , . . V , . . = i G . i G . | = | G . ^ - ^

VB = ^ B ' " ^ B " = i°"i^-t = i ^ "

f

f - a

Opmerking

Wé kunnen a l s c o n t r o l e ook d i r e k t de k r a c h

t e n G, R en R^ u i t z e t t e n i n een k r a c h t e n -A JD

d r i e h o e k van h e t p u n t C. De g r o o t t e van

R en R worden dan door opmeten b e p a a l d .


16

1 ^ = -/^ k^/h^"^

40O hij.

A

ï

I

A

6 o o

A l s tweede v o o r b e e l d beschouwen we nog een

k a b e l d i e i n A en B i s b e v e s t i g d en d i e

w o r d t b e l a s t door een g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e

b e l a s t i n g q = 100 kN/m ( h o r i z o n t a a l gemeten)

De ophangpunten A en B z i j n a a n g e b r a c h t met

een h o o g t e v e r s c h i l van 3 m. De p i j l van de

k a b e l b e d r a a g t 8 m.

We gaan p r o b e r e n de h o r i z o n t a l e en v e r t i

c a l e r e a c t i e s H^, H^, en Vg s n e l t e be

rek e n e n .

We brengen d a a r t o e de v e r b i n d i n g s s t a a f AB

aan, v e r g e l i j k e n de c o n s t r u c t i e met een

l i g g e r op twee s t e u n p u n t e n en v i n d e n dan:

V^' = V g ' = I q . 1 = I . 100 . 12 = 600 kN

= = è q • 1 ^ = i . 100 . 12^ = 1800 kNm max O O


17

Brengen we een snede aan i n h e t midden dan

v i n d e n we de g r o o t t e van k r a c h t H u i t :

H . f = M = 1800 kNm max

Dus; H = 1800 8 = 225 kN

De g r o o t t e van de v e r t i c a l e component V.

van de b e i d e k r a c h t e n d i e i n de midden

doorsnede werken w o r d t b e p a a l d door de

h e l l i n g van de v e r b i n d i n g s s t a a f AB.

Dus; V = 225 . = 56 kN m 12

m

H a len we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB weer weg

dan o n t s t a a n d a a r d o o r i n de ophangpunten

A en B de h o r i z o n t a l e r e a c t i e k r a c h t e n ;

H^ = Hg = H = 225 kN

Door deze r e a c t i e k r a c h t e n w o r d t op de

k a b e l c o n s t r u c t i e een k o p p e l u i t g e o e f e n d

met een moment M = H . 3 = 225 . 3 = 675 kNm,

De c o n s t r u c t i e i s d a a r d o o r n i e t meer i n

e v e n w i c h t .

Voor e v e n w i c h t i s een tegenwerkend moment

n o d i g d a t kan worden g e l e v e r d door de v e r

t i c a l e k r a c h t e n V^'' = Vg''

We v i n d e n :

^A' ' " '^B'' " " ^ ; 12 = 56 kN;

g e l i j k dus met de waarde van V^.

De t o t a l e v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n z i j n

dus:

V^ = Vj,' + V^ ' ' = 600 + 56 = 656 kN r\. ra

V = v^' - V^'' = 600 - 56 = 544 kN B B B

Opmerking

Ga z e l f eens na waarom V.. ' ' = V„ ' ' = V , A B m

3


18

We b e p a l e n nog h e t s n i j p u n t C van de werk

l i j n van de r e a c t i e k r a c h t R^ met de v e r t i

c a a l door h e t midden van de c o n s t r u c t i e .

We v i n d e n v o o r hoek

CD

656 225

CD

= 2,92

= AD = X

Dan i s : CD = 6 . 2,92 = 17,5 m

We gaan na öf de w e r k l i j n van de r e a c t i e k r a c h t R„ ook door h e t p u n t C g a a t .

B We v i n d e n v o o r hoek

2'

4- A 'B 544

4- A CE t g (1)2 = ^ =

225

CE

= 2,42

BE 6

Dan i s s CE = 6 . 2,42 = 14,5 m

U i t de waarden v o o r CD en CE v o l g t d a t

DE = CD - CE = 17,5 - 14,5 = 3 m.

D i t i s j u i s t ? de w e r k l i j n van R^ g a a t

dus ook door h e t p u n t C.


19

U i t de gevonden waarden v o o r CD en CE.

b l i j k t d a t we p u n t C g e m a k k e l i j k kunnen

v i n d e n door de p i j l f van de k a b e l t e v e r

d u b b e l e n . D i t i s een ei g e n s c h a p v a n de

p a r a b o o l , z o a l s we d i e a l e e r d e r vonden.

H i e r b l i j k t d a t deze ook g e l d t v o o r een

p a r a b o o l op een s c h u i n e b a s i s (de l i j n AB)

Omgekeerd kunnen we van deze e i g e n s c h a p

g e b r u i k maken b i j h e t t e k e n e n van de

k r a c h t e n d r i e h o e k gevormd door de k r a c h t e n

R^, R^ en Q = q . 1 = 12 . 100 = 1200 kN.

Door opmeten v i n d e n we u i t deze d r i e h o e k

de g r o o t t e van R^en R^.

— 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.18 KABELCONSTRUCTIES

20

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

c. O n d e r s t e u n i n g s c o n s t r u c t i e s

De a c t i e k r a c h t e n en F„ d i e door de A B

k a b e l worden u i t g e o e f e n d op de ophangpun

t e n A en B moeten worden a f g e v o e r d naar de

a a r d k o r s t . Daarvoor z i j n o n d e r s t e u n i n g s

c o n s t r u c t i e s n o d i g .

Voor deze c o n s t r u c t i e s z i j n v e l e goede

o p l o s s i n g e n m o g e l i j k ; we z u l l e n e r twee

geven.

Een eenvoudige c o n s t r u c t i e i s de st e u n b o k ,

samengesteld u i t twee s t a a f v o r m i g e elemen

t e n . We kunnen de h e l l i n g e n van deze e l e

menten w i l l e k e u r i g k i e z e n .

De g r o o t t e van de k r a c h t e n èn R2 i n de

elementen kan o.a. worden b e p a a l d met be

h u l p v an een k r a c h t e n d r i e h o e k en i s a f

h a n k e l i j k van deze h e l l i n g e n , z o a l s b l i j k t

u i t de f i g u r e n .

Hoe we de h e l l i n g e n van de elem e n t e n ook

k i e z e n , a l t i j d z a l i n êên van de elementen

een t r e k k r a c h t o n t s t a a n .


21

T r e k k r a c h t e n kunnen s l e c h t worden opgenomen

door de a a r d k o r s t .

Om t r e k k r a c h t e n t e v e i m i j d e n kunnen we een

b a l l a s t aanbrengen aan de b o v e n z i j d e van

de steunbok. Door h e t g e w i c h t van deze b a l

l a s t o n t s t a a t een d r u k k r a c h t i n h e t g e t r o k

ken e l e m e n t . Deze d r u k k r a c h t moet g r o t e r

z i j n dan de door de k a b e l r e a c t i e opgewekte

t r e k k r a c h t .

I s h e t aanbrengen van een b a l l a s t n i e t moge

l i j k dan kunnen we een t e g e n w i c h t i n de g r o n d

aanbrengen.

Een tweede c o n s t r u c t i e v e o p l o s s i n g v i n d e n we

door de k a b e l op t e hangen aan i n g e k l e m d e

kolommen o f s c h i j f v o r m i g e wanden. Het i n -

klemmingsmoment kan i n d i t g e v a l b.v. worden

g e l e v e r d door een k o p p e l gevormd door h o r i

z o n t a l e k r a c h t e n i n de twee v l o e r e n (begane

g r o n d en k e l d e r v l o e r ) van een k e l d e r c o n s t r u c

t i e .

Spanwijdte 163 m; kraageinden 43 m. j breedte 30 m.

Een c o m b i n a t i e van b e i d e gegeven o p l o s s i n g e n

v i n d e n we i n h e t door de a r c h i t e c t / c o n s t r u c

t e u r N e r v i o n t w o r p e n p a p i e r f a b r i e k t e Mantua.

!

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.1 VOORGESPANNEN KABELS

22

2. VOORGESPANNEN KABELS

Het zonder meer t o e p a s s e n van k a b e l c o n s t r u c

t i e s h e e f t i n h e t algemeen g r o t e bezwaren

omdat:

- k a b e l s geen d r u k k r a c h t e n kunnen opnemen

- k a b e l s zeer s l a p p e elementen z i j n

- k a b e l s v e r v o r m i n g e n ondergaan t e n g e v o l g e

van de t r e k k r a c h t e n d i e er i n o p t r e d e n

A

Kabels kunnen geen d r u k k r a c h t e n opnemen.

D i t b e t e k e n t d a t we o.a. moeten oppassen

v o o r o m k e r i n g van de b e l a s t i n g e n , b.v. t e n - (

ge v o l g e van een omhoog g e r i c h t e w i n d b e l a s t i n g

( w i n d z u i g i n g ) op de d a k c o n s t r u c t i e .

We kunnen o m k e r i n g van de b e l a s t i n g e n voor

komen door de d a k c o n s t r u c t i e zo zwaar t e

maken d a t de w i n d b e l a s t i n g k l e i n i s t e n op

z i c h t e van h e t e i g e n g e w i c h t van deze con

s t r u c t i e .

K a b e l s z i j n zeer s l a p p e elementen. Daardoor

z i j n k a b e l c o n s t r u c t i e s van hangen t u i d a k e n

e r g g e v o e l i g v o o r v e r a n d e r l i j k e b e l a s t i n g e n

( b . v . w i n d en sneeuw), v o o r a l a l s deze

n i e t - s y m m e t r i s c h a a n g r i j p e n .

Omdat h e t e i g e n g e w i c h t m e e s t a l k l e i n i s i n

v e r h o u d i n g t o t de l e n g t e van de o v e r s p a n n i n g

z u l l e n deze daken b i j e l k e b e l a s t i n g v e r a n

d e r i n g a l gauw een daaraan aangepaste vorm

aannemen.

15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.2 VOORGESPANNEN KABELS

23

' I ' L i J

l

Zo kunnen b.v. de k a b e l s v an een d a k c o n s t r u c

t i e t e n g e v o l g e van een b e l a s t i n g door de w i n d

de i n de f i g u u r aangegeven vorm aannemen.

Ook t e n g e v o l g e van een n i e t - s y m m e t r i s c h e be

l a s t i n g ondergaan k a b e l s v o r m v e r a n d e r i n g e n .

S t e l eens d a t twee b o l v o r m i g e r e s e r v o i r s z i j n

opgehangen aan een k a b e l .

I n d i e n de b e i d e r e s e r v o i r s v o l z i j n h e e f t deze

k a b e l de getekende vorm.

I n d i e n êên r e s e r v o i r l e e g i s dan k r i j g t de

k a b e l nevenstaande vorm a l s we h e t e i g e n

g e w i c h t van de r e s e r v o i r s gemakshalve v e r

w a a r l o z e n .

K a b e l s ondergaan een l e n g t e v e r a n d e r i n g i n d i e n

e r t r e k k r a c h t e n i n o p t r e d e n .

Zo o n d e r g a a t b.v. een k a b e l , samengesteld u i t

een e l a s t i s c h m a t e r i a a l , waaraan een b l o k met

een g e w i c h t G w o r d t opgehangen een l e n g t e v e r

a n d e r i n g .

A l = G.l E.A

a l s 1 de l e n g t e en A de doorsnede v an de k a b e l

i s (aangenomen d a t de v l o e i s p a n n i n g n i e t w o r d t

o v e r s c h r e d e n ) .


24

We kunnen aan de genoemde bezwaren van h e t

toe p a s s e n van k a b e l c o n s t r u c t i e s i n b e l a n g

r i j k e mate tegemoet komen door de k a b e l s d i e

de b e l a s t i n g d ragen - de d r a a g k a b e l s - v o o r a f

onder s p a n n i n g t e brengen met b e h u l p van

sp a h k a b e l s .

Deze s p a n k a b e l s worden dus nog v o o r d a t de

d r a a g k a b e l s hun b e l a s t i n g k r i j g e n t e dra g e n

onder s p a n n i n g g e b r a c h t . D i t kan g e s c h i e d e n

door aan b e i d e e i n d e n v an de k a b e l s t e t r e k

ken met b e h u l p van h y d r a u l i s c h e v i j z e i s .

Spankabels moeten zo worden a a n g e b r a c h t d a t

door h e t spannen van deze k a b e l s ook de

d r a a g k a b e l s onder s p a n n i n g worden g e b r a c h t .

Daarom moet de kromming v an deze s p a n k a b e l s

t e g e n g e s t e l d z i j n aan d i e van de d r a a g k a b e l s .

Omdat de spa n n i n g i n de d r a a g k a b e l s v o o r a f

w o r d t a a n g e b r a c h t s p r e k e n we o v e r h e t geven

van een v o o r s p a n n i n g aan deze k a b e l s .

We z u l l e n aan de hand van een e e n v o u d i g

v o o r b e e l d h e t e f f e c t van h e t voorspannen

van een k a b e l eens nagaan.

I I

hi pc

+40

1 4 .

l i l

777777777

We hangen aan een k a b e l AB een b l o k met een

g e w i c h t G = 40 kN. Door d i t g e w i c h t o n t s t a a t

i n de k a b e l een n o r m a a l k r a c h t van 40 kN d i e

een v e r l e n g i n g A l v e r o o r z a a k t .

We h a l e n h e t b l o k weg en b e v e s t i g e n aan

k a b e l AB een andere k a b e l BC. L e n g t e , d o o r

snede en m a t e r i a a l van k a b e l BC z i j n g e l i j k

aan d i e van k a b e l AB.

Brengen we h e t b l o k weer aan dan z a l

k a b e l AB d e z e l f d e v e r l e n g i n g A l k r i j g e n .

Omdat k a b e l s geen d r u k k r a c h t e n kunnen op

nemen g a a t k a b e l BC s l a p hangen.


25

10

B ^

C i ^2S

+ m

-2o

\2o

c i

kso

O

We h a l e n h e t b l o k weer weg en brengen i n

k a b e l BC (de sp a n k a b e l ) een v o o r s p a n n i n g

aan v an 25 kN. Daardoor o n t s t a a t ook i n

k a b e l AB (de d r a a g k a b e l l een v o o r s p a n n i n g

van 25 kN.

Brengen we nu h e t b l o k v/eer aan dan z a l

k a b e l AB l a n g e r worden e n ' k a b e l BC even v e e l

k o r t e r . Omdat de k a b e l s AB en BC volkomen

g e l i j k z i j n z a l h e t g e w i c h t G van h e t b l o k

z i c h g e l i j k o v e r b e i d e k a b e l s v e r d e l e n .

De k a b e l s AB en BC k r i j g e n dus e l k 20 kN t e

drag e n . Daardoor g r o e i t de n o r m a a l k r a c h t i n

k a b e l AB aan van 25 kN t o t 45 kN en neemt de

n o r m a a l k r a c h t i n k a b e l BC a f van 25 kN t o t

5 kN.

Door h e t ophangen van h e t b l o k o n d e r g a a t

k a b e l AB een v e r l e n g i n g d i e nu n i e t A l

( t . g . v . 40 kN) maar 0,5 A l ( t . g . v .

45 - 25 = 20 kN) i s .

Brengen we een b l o k aan met een g e w i c h t

G = 50 kN dan o n t s t a a t i n k a b e l AB een

n o r m a a l k r a c h t van 25 + 2 - ^0 kN en

l o o p t de n o r m a a l k r a c h t i n k a b e l BC t e r u g

t o t 25 - - 1 0 = 0.

Kabe l AB z a l een v e r l e n g i n g ondergaan van

50 - 25 40

. A l = 0,625 A l

Brengen we een b l o k aan met een g e w i c h t

G = 60 kN dan zou de n o r m a a l k r a c h t i n

k a b e l BC t e r u g moeten l o p e n t o t

2 5 - i G = - 5 k N . Het m i n t e k e n b e t e k e n t

d a t de n o r m a a l k r a c h t een d r u k k r a c h t i s

geworden. D i t kan n i e t , k a b e l BC z a l dus

s l a p gaan hangen. Het t o t a l e g e w i c h t v an

h e t b l o k w o r d t nu opgenomen door k a b e l AB

Daardoor o n d e r g a a t deze k a b e l een v e r

l e n g i n g van

60 -- 25 40

. A l = 0,875 A l

Zonder v o o r s p a n n i n g zou i n d i t g e v a l de

v e r l e n g i n g v a n k a b e l AB z i j n geweest:

60 40

. A l = 1,5 A l .

O )


26

B

U i t h e t gegeven v o o r b e e l d b l i j k t d u i d e l i j k

d a t i n k a b e l s d i e z i j n voorgespannen

- d r u k k r a c h t e n kunnen worden opgenomen zo

l a n g e r t r e k (door de v o o r s p a n n i n g ) i n z i t

- k l e i n e r e v e r v o r m i n g e n o p t r e d e n

Door h e t aanbrengen van v o o r s p a n n i n g w o r d t

een k a b e l c o n s t r u c t i e ook s t i j v e r .

G r i j p t een h o r i z o n t a l e k r a c h t aan op h e t

b l o k van h e t v o o r b e e l d dan z a l d i t gaan

s l i n g e r e n a l s h e t a l l e e n i s opgehangen aan

k a b e l AB. Wordt ook k a b e l BC a a n g e b r a c h t

dan i s n a u w e l i j k s beweging m o g e l i j k .

We z i e n dus d a t door h e t aanbrengen van

v o o r s p a n n i n g i n een k a b e l c o n s t r u c t i e de

ee r d e r genoemde bezwaren g r o t e n d e e l s kun

nen worden opgeheven.

Het aanbrengen van v o o r s p a n n i n g i n de

kabélconstructies van hangen t u i d a k e n

A « ó^a^kah-eA door m i d d e l v an span k a b e l s kan g e s c h i e d e n

door deze k a b e l s t e p l a a t s e n i n de r i c h

t i n g v a n de d r a a g k a b e l s .


27

Luohtvaartoentmm Schiphol 'Arah. E.A. Riphagen

1967

Een bekend v o o r b e e l d van een l i n e a i r e

h a n g d a k c o n s t r u c t i e w a a r b i j d r a a g - en span

k a b e l s worden t o e g e p a s t i s h e t J a w e r t h -

systeem.

De d r a a g - en spankabels worden b i j d i t

systeem o n d e r l i n g verbonden door d i a g o n a a l

g e p l a a t s t e s t a v e n . V i a deze s t a v e n worden

•beide k a b e l s naar e l k a a r t o e g e t r o k k e n en

zo onder s p a n n i n g g e b r a c h t .

De b e l a s t i n g e n van h e t dak kunnen zodoende

door b e i d e k a b e l s worden gedragen. Er i s

a l s h e t ware een k a b e l l i g g e r o n t s t a a n .

Het J a w e r t h - s y s t e e m i s o.a. t o e g e p a s t b i j

h e t l u c h t v r a c h t c e n t r u m S c h i p h o l .

V e e l i n g e w i k k e l d e r z i j n de i n twee r i c h

t i n g e n gekromde k a b e l n e t t e n .

Op de b e r e k e n i n g van deze n e t t e n w o r d t dan

ook n i e t i n g e g a a n .

Eén van de meest bekende t o e p a s s i n g e n v an

zo'n n e t i s h e t Olympische dak t e München.

Otympisah dak MUnoheriy 1972


2

"Das ktassisahe Konstmiktionsprinsip von nur auf Zug be-anspruahten Speiahen in der Fahrradfelge diente erst viel spater als Anregung su weitgespannten Haltenkonstruktio-yi&n

Konrad "Maohsmann, 1959

Tentoonstellingsgebouw U.S.A. Expo-Brusselj 1958 Arah. E.D. Stone

Een r u i m t e l i j k e t o e p a s s i n g van k a b e l s v i n

den we i n de w i e l v o r m i g e hangdaken. B i j

deze daken b e s t a a t de opha n g i n g u i t een

a a n t a l i n v e r t i c a l e v l a k k e n g e l e g e n k a b e l s

d i e worden gespannen t u s s e n een b u i t e n r i n g

en een b i n n e n r i n g .

Deze b e i d e r i n g e n nemen de h o r i z o n t a l e

componenten van de k a b e l k r a c h t e n op.

Een v o o r b e e l d van zo'n d a k c o n s t r u c t i e was

h e t dak van h e t Amerikaanse p a v i l j o e n op

de Expo t e B r u s s e l . We merken nog op d a t

deze c o n s t r u c t i e v e e l overeenkomst ver-^-

t o o n t met de " c o n s t r u c t i e " van een f i e t s

w i e l .

A A

Opmerking

I n de moderne b e t o n t e c h n i e k w o r d t soms

v o o r s p a n n i n g t o e g e p a s t i n b a l k e n . Door i n

de "balk p a r a b o l i s c h gevormde k a b e l s t e

p l a a t s e n en deze t e spannen kunnen i n deze

b a l k i n w e n d i g e k r a c h t e n (spanningen) wor

den opgewekt d i e t e g e n g e s t e l d g e r i c h t z i j n

aan de k r a c h t e n (spanningen) v e r o o r z a a k t

door h e t e i g e n g e w i c h t en de v e r a n d e r l i j k e

b e l a s t i n g .

Door h e t spannen van de k a b e l s w o r d t Immers

op h e t b e t o n van de b a l k een g e l i j k m a t i g

v e r d e e l d e b e l a s t i n g u i t g e o e f e n d . Deze b e l a s

t i n g w e r k t i n o p w a a r t s e r i c h t i n g , dus t e g e n

de z w a a r t e k r a c h t i n .

J5 15 15.3.1

BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES PNEUS

29

3. PNEUS

B i j d r a a g c o n s t r u c t i e s i n de g e b r u i k e l i j k e

b o u w m a t e r i a l e n b e t o n , s t a a l en h o u t s p e e l t

h e t e i g e n g e w i c h t van de c o n s t r u c t i e t e n

o p z i c h t e van de o v e r i g e b e l a s t i n g e n m e e s t a l

een n i e t t e v e r w a a r l o z e n r o l .

Een h o u t e n v l o e r , d i e a l s zeer l i c h t Wordt

beschouwd, weegt i n c l u s i e f de h o u t e n b a l k -2

l a a g , c i r c a 500 N/m . Een v l o e r van b e t o n weegt a l gauw 4000-6000 N/m

2

Door de o n t w i k k e l i n g e n op h e t g e b i e d van

de k u n s t s t o f f e n z i j n b o u w m a t e r i a l e n o n t

w i k k e l d d i e h e t m o g e l i j k maken zeer l i c h t e

d r a a g c o n s t r u c t i e s t e ontwe r p e n met een 2

e i g e n g e w i c h t van 10 §. 50 N/m .

K'inders'piethülle

Een v o o r b e e l d van zo'n zeer l i c h t e d r a a g

c o n s t r u c t i e i s de pneumatische c o n s t r u c t i e ,

k o r t w e g pneu genoemd.

B i j een pneu w o r d t l u c h t a l s een w e z e n l i j k

e l e m ent i n de d r a a g c o n s t r u c t i e opgenomen.

Omdat l u c h t goed d r u k k r a c h t e n kan opnemen

i s deze l u c h t h e t d r u k e l e m e n t van de d r a a g

c o n s t r u c t i e . De h u i d van de pneu, d i e de

l u c h t o m s l u i t , f u n g e e r t d a a r b i j a l s t r e k -

e l e m e n t .

Een bekend v o o r b e e l d van een pneu i s de

f i e t s b a n d . Het g e w i c h t van de f i e t s en

z i j n b e r i j d e r w o r d t gedragen door de

l u c h t i n deze band.

J 'ü)

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.2 PNEUS

30

Jm

A l s d r a a g c o n s t r u c t i e z i j n pneus bekend i n

hun t o e p a s s i n g b i j de d r a a g l u c h t h a l l e n .

Telstar antenna shelter

Deze l u c h t b a l l e n kunnen b o l v o r m i g z i j n zo

a l s de T e l s t a r antenna s h e l t e r t e Andover

U.S.A.

Andover,USA, 1962

L u c h t b a l l e n kunnen ook c y l i n d e r v o r m i g z i j n ,

Deze h a l l e n worden dan aan de e i n d e n b o l

v o r m i g a f g e s l o t e n .

De b o l en de c y l i n d e r z i j n e e nvoudige v o r

men v o o r een pneu met een zeer d u i d e l i j k

e v e n w i c h t s s y s t e e m . We z u l l e n d i t nagaan..

We beschouwen d a a r t o e e e r s t eens een b a l l o n (

g e v u l d met h e l i u m d i e z w e e f t i n de l u c h t .

De g a s d r u k i n deze b a l l o n i s g r o t e r dan de

d r u k van de b u i t e n l u c h t . Er h e e r s t dus i n

de b a l l o n een o v e r d r u k . S t e l d i e o v e r d r u k

IS p N/m .

Ten g e v o l g e van deze o v e r d r u k i n de b a l l o n

o n t s t a a n spanningen i n de h u i d van de b a l

l o n .

D e z e l f d e spanningen z u l l e n o p t r e d e n wanneer 2

i n de b a l l o n een ga s d r u k van p N/m h e e r s t

en de d r u k van de b u i t e n l u c h t n u l i s . We

z u l l e n v o o r d i t e e n v o u d i g e r g e v a l nagaan

hoe g r o o t deze spanningen i n de h u i d z i j n .

We beschouwen d a a r b i j deze h u i d a l s een

membraan.

15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.3 PNEUS

31

De d r u k van p N/m i s a l z i j d i g . Voor h e t

be p a l e n van de sp a n n i n g i n h e t membraan

kunnen we daarom h e t e v e n w i c h t beschouwen

van een h a l v e b a l l o n .

I n h e t m e r i d i a a n v l a k h e e r s t dan een d r u k 2

van p N/m . A l s de b a l l o n , e e n s t r a a l R

h e e f t dan i s de t o t a l e d r u k k r a c h t i n d i t

v l a k : D = TT . R' P

I n h e t membraan van de b a l l o n h e e r s t een

t r e k k r a c h t van n N/m"*". De t o t a l e t r e k

k r a c h t i n h e t m e r i d i a a n v l a k i s dan:

T = 2TrR . n

Er moet e v e n w i c h t z i j n , dus D = T. Dan i s 2

TTR . P = 2TTR . n

o f : n = f . p . R (N/m^)

Een m e r i d i a a n - d o o r s n e d e van de b o l kunnen

we i n a l l e r i c h t i n g e n aanbrengen. Daarom

z a l o v e r a l i n h e t membraan van de b a l l o n

e e n z e l f d e t r e k k r a c h t aanwezig z i j n van

n = i . p . R N/m"*"

Een b o l v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l w o r d t o v e r e i n d gehouden door een k u n s t m a t i g e o v e r -

2

d r u k v an p N/m . Zouden we d i t n i e t doen

dan z a k t de h u i d van de h a l i n e l k a a r .

De vorm van zo'n h a l i s n o o i t een v o l

l e d i g e b o l , z o a l s de b a l l o n , maar een

g e d e e l t e d a a r v a n . Ook i n d i t g e v a l w e r k t 2

de o v e r d r u k van p N/m a l z i j d i g en o n t

s t a a n i n de h u i d t r e k s p a n n i n g e n

n = I . p . R N/m^.

Halen we een k l e i n e l e m e n t j e dA u i t de

h u i d van een b o l v o r m i g e h a l dan w o r d t

d i t i n e v e n w i c h t gehouden door de span

n i n g s k r a c h t j e s n i n de v i e r r a nden t e n

g e v o l g e van de op t r e d e n d e s p a n n i n g

n = i . p . R.

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.4 PNEUS

32

B i j een c y l i n d e r v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l

w o r d t de o v e r d r u k t e g e n een e l e m e n t j e

dA s l e c h t s gedragen door de s p a n n i n g s

k r a c h t j e s n i n twee r a n d e n . De s p a n n i n g s

k r a c h t j e s n' i n de b e i d e andere randen

worden v e r o o r z a a k t door de o v e r d r u k t e g e n

de a f s l u i t i n g e n i n de e i n d v l a k k e n van de

c y l i n d e r . Déze k r a c h t j e s n' z i j n met e l

k a a r i n e v e n w i c h t .

Beschouwen we h e t e v e n w i c h t van een h a l v e

c y l i n d e r met een l e n g t e van 1 m dan v i n d e n

we:

D = 2R . p

T = n . 1

U i t de e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e D = 2T v o l g t

dan:

n = p . R N/m

Omdat een c y l i n d e r door een w i l l e k e u r i g e

snede kan worden g e h a l v e e r d z a l i n h e t

membraan van de c y l i n d e r o v e r a l een

t r e k k r a c h t n = p . R N/m""" aanwezig z i j n .


33

A l s v o o r b e e l d van de b e r e k e n i n g v a n een

pneu z u l l e n we ons bezighouden met h e t

ont w e r p v o o r een s t a d aan de n o o r d p o o l ,

gemaakt door de a r c h i t e c t F r e i O t t o .

D i t o n t w e r p w o r d t b e s p r o k e n i n z i j n boek

"Zugbeanspruchte K o n s t r u k t i o n e n " .

Deze s t a d aan de n o o r d p o o l i s on t w o r p e n

onder een pneu gevormd door een b o l

segment. De s t r a a l van de b o l b e d r a a g t

R = 2200 m.

De s t r a a l van de c i r k e l v a n d i t b o l s e g m e n t

i s r = 1000 m en de ho o g t e b e d r a a g t 240 m.

De pneu h e e f t een dubbele h u i d . Om t e

g r o t e t r e k k r a c h t e n i n h e t membraan van

de pneu t e voorkomen z i j n om de 10 m i n

twee r i c h t i n g e n k a b e l s o v e r de pneu ge

spannen.

Het t o t a l e g e w i c h t , van h e t dak be s t a a n d e 2

u i t pneu en k a b e l s , b e d r a a g t 82 N/m .

Om de pneu o v e r e i n d t e kunnen houden w o r d t

i n de pneu k u n s t m a t i g een o v e r d r u k gehand

h a a f d van 350 N/m^. D i t komt o v e r e e n met

35 mm Wk. 2

(1 mm Wk = 1 mm w a t e r k o l o m = 10 N/m 1.

Voor de b e r e k e n i n g van de t r e k k r a c h t e n i n

de pneu nemen we aan d a t h e t e i g e n g e w i c h t

van h e t dak w e r k t i n de r i c h t i n g v a n h e t

m i d d e l p u n t v an de b o l i n p l a a t s v an h e t

m i d d e l p u n t van de aar d e . We maken met deze

aanname s l e c h t s een zeer g e r i n g e f o u t .

De pneu w o r d t dan b e l a s t d o o r een o v e r

d r u k van:

p = 350 - 82 = 268 N/m^

Door deze o v e r d r u k zouden i n h e t membraan

van de pneu t r e k k r a c h t e n o n t s t a a n v a n :

1 1 ^ = 2

p . R = . 268 . 2200

= 294800 N/m- = 295 kN/m"^


34

Door h e t aanbrengen van k a b e l s worden de

t r e k k r a c h t e n g e c o n c e n t r e e r d i n deze k a b e l s .

Omdat de k a b e l s om de 10 m z i j n a a n g e b r a c h t

b e d r a a g t de t r e k k r a c h t N i n deze k a b e l s s

N = 10 , 295 = 2950 kN

De k a b e l k r a c h t e n worden afgegeven aan een

betonnen r i n g b a l k . Deze b a l k i s a l s de

f u n d e r i n g van de pneu t e beschouwen.

We o n t b i n d e n k r a c h t N i n een v e r t i c a l e com

ponent N^ en een h o r i z o n t a l e component N .

De g r o o t t e van e l k e component i s :

1000 N = 2950 v

= 13 40 kN

s i n a = 2950

N„ = 2950 n

= 2620 kN

cos a = 2950

2200

1960 2200

Deze k r a c h t e n werken op e l k e 10 m van de

r i n g b a l k . Per s t r e k k e n d e m r i n g b a l k wer

ken dus:

n^ = 1340 10 = 134 kN/m"

= 2620 : 10 = 262 kN./m

We kunnen de g r o o t t e v an n^ n a t u u r l i j k ook

d i r e c t b e p a l e n u i t h e t v e r t i c a l e e v e n w i c h t

van de pneu.

We v i n d e n dan:

2 O TTr . p = n . 7T2r

. p . r

= i . 268 . 1000 N/m = 134 kN/m

Dan i s : n^ = . 134 = 262 kN/m^

15 15 15.3.7

BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES PNEUS

35

Tengevolge van n w o r d t de r i n g b a l k i n op

w a a r t s e r i c h t i n g b e l a s t . D i t b e t e k e n t d a t

h e t e i g e n g e w i c h t g van deze b a l k g r o t e r

moet z i j n dan 134 kN/m""". I s d i t n i e t h e t

g e v a l dan w o r d t de r i n g b a l k omhoog g e t r o k

ken i n de pneu.

De massa van b e t o n i s 250Q kg/m , h e t 3

g e w i c h t dus 2 5 kN/m .

A l s h e t g e w i c h t g p e r s t r e k k e n d e meter

r i n g b a l k g r o t e r moet z i j n dan 134 kN,

dan moet de doorsnede A v a n deze b a l k

g r o t e r z i j n dan: A > 134 25 > 5,4 m'

Een b a l k dus met een doorsnede van b.v.

3,3 . 1,7 m.

Tengevolge van n^ w o r d t de r i n g b a l k

a l z i j d i g naar b i n n e n g e t r o k k e n . Daar

door o n t s t a a n i n deze b a l k d r u k k r a c h t e n .

De g r o o t t e van deze d r u k k r a c h t e n kunnen

we b e p a l e n door h e t e v e n w i c h t t e beschou

wen van een h a l v e r i n g . We v i n d e n :

2 D = n^ . 2r ^ D = n^ . r

Dus: D = 262 . 1000 = 262.000 kN

I n de r i n g b a l k w e r k t dus een n o r m a a l k r a c h t

van 262.000 kN. Tengevolge van deze k r a c h t

o n t s t a a t een s p a n n i n g i n h e t b e t o n van de

b a l k i

c b e t o n 2^2-000 = 49.000 kN/m2= 49 N/mm^

Deze s p a n n i n g i s e r g g r o o t v o o r b e t o n .

Normaal l a t e n we een s p a n n i n g t o e v an

c i r c a 10 N/iran en b i j een zeer goede 2

b e t o n k w a l i t e i t gaan we w e l t o t 20 N/mm .

Om een l a g e r e s p a n n i n g i n h e t b e t o n t e

b e r e i k e n zouden we dus de doorsnede v an

de r i n g b a l k 3 §. 4 maal zo g r o o t moeten

k i e z e n .


36

Opmerking

1. F r e i O t t o koos v o o r de vorm van de pneu

h e t bolsegment, g e f u n d e e r d op een c i r k e l

v o r m i g e r a n d b a l k .

De vorm van d i t segment i s i d e n t i e k aan d i e

van een z e e p v l i e s onder o v e r d r u k , gespannen

op een c i r k e l v o r m i g raampje van i j z e r d r a a d .

Het h u i d o p p e r v l a k van h e t bolsegment i s ,

e v e n a l s d a t van h e t z e e p v l i e s m i n i m a a l , b i j

een b epaalde i n h o u d aan b i n n e n r u i m t e en b i j

de gekozen vorm van de r a n d b a l k .

De a l d u s gevormde pneu - " k r a p i n z'n j a s j e "

h e e f t de m i n s t e u i t w i j k m o g e l i j k h e d e n b i j

w i n d b e l a s t i n g en i s daarom h e t meest s t a b i e l

2, Om f a b r i c a g e - t e c h n i s c h e redenen i s een

s t a n d a a r d h a l v e e l a l een sa m e n s t e l van een

h a l v e c y l i n d e r ( a l l e e n r e c h t e banen) en

twee k w a r t b o l l e n ( a l l e e n s p i e v o r m i g e banen

van g e l i j k e g r o o t t e ) .

Het h u i d o p p e r v l a k van zo'n s t a n d a a r d h a l i s

e c h t e r - u i t g a a n d e van een be p a a l d e i n h o u d

aan b i n n e n r u i m t e en van de vorm van de r a n d

b a l k - n i e t m i n i m a a l .

7801MB

Oversïchtsfoto's^van een in 1971 op de TH-Bouwkunde gehouden Vneu-seminar

(aaneengesloten periode van 14 dagen) o.l.v. Gemot Minke en Fieter Euyhers

Vanuit een model (sohaal 1:12^5} werd de realiteit opgebouwd: een membraam

werd gespannen over een samenstel van twee bollen (diameter 1200 mm) en een

halve torus (straal + 4000 mm).

15 15.4,1

BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES ZELFTOETS

38

4 , ZELFTOETS

VRAGEN

1, Noem twee v o o r b e e l d e n van een b i j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c

t i e , d i e n i e t i s opgebouwd u i t een e e n v o u d i g systeem

van v l o e r e n , b a l k e n en kolommen.

2. Waar worden b i j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c t i e s v e e l a l t o e

g e p a s t .

Hoe worden deze c o n s t r u c t i e s o n t w o r p e n .

3. Welke k r a c h t e n kunnen de k a b e l s van een k a b e l c o n s t r u c t i , | '

opnemen.

4. Voor w e l k e d a k c o n s t r u c t i e s worden o.a. k a b e l c o n s t r u c

t i e s t o e g e p a s t ,

5. Wanneer s p r e k e n we van l i n e a i r e hangen t u i d a k e n .

6. I s h e t e i g e n g e w i c h t van een k a b e l - h o r i z o n t a a l ge

meten - een g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g .

Welke vorm neemt een k a b e l t e n g e v o l g e van de b e l a s t i n g

door z i j n e i g e n g e w i c h t aan.

7. Een k a b e l w o r d t i n h e t midden b e l a s t door een massa /

met een g e w i c h t G.

Hoe g r o o t i s de h o r i z o n t a l e k r a c h t H d i e deze k a b e l

u i t o e f e n t op de ophangpunten a l s de k a b e l een p i j l f

h e e f t .

Maakt h e t v o o r de g r o o t t e van k r a c h t H v e r s c h i l u i t

o f de ophangpunten w e l o f n i e t op g e l i j k e h o o g t e l i g -

8. Een k a b e l w o r d t b e l a s t door een - h o r i z o n t a a l gemeten -

g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q.

Hoe g r o o t i s de h o r i z o n t a l e k r a c h t H d i e deze k a b e l

u i t o e f e n t op de ophangpunten a l s deze k a b e l een p i j l f

h e e f t .

gen.

15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.4.2 ZELFTOETS

39

ANTWOORDEN

1. K a b e l c o n s t r u c t i e s en pn e u m a t i s c l i e c o n s t r u c t i e s

( k o r t w e g pneus). z i j n b i j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c t i e s

d i e n i e t worden opgebouwd u i t een e e n v o u d i g s y s

teem van v l o e r e n , b a l k e n en kolommen.

2. B i j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c t i e s worden v e e l a l t o e g e

p a s t v o o r h e t overspannen van g r o t e k o l o m v r i j e

r u i m t e n .

Deze c o n s t r u c t i e s worden zo ontworpen d a t ze een

g e r i n g e i g e n g e w i c h t b e z i t t e n .

3. De k a b e l s van een k a b e l c o n s t r u c t i e kunnen a l l e e n

n o r m a a l k r a c h t e n opnemen.

4. K a b e l c o n s t r u c t i e s worden o.a. t o e g e p a s t v o o r hang

en t u i d a k e n en w i e l v o r m i g e hangdaken.

5. I n de k a b e l c o n s t r u c t i e van l i n e a i r e hangen t u i d a k e n

l o p e n de k a b e l s i n êên r i c h t i n g p a r a l l e l .

6. Het e i g e n g e w i c h t van een k a b e l i s - h o r i z o n t a a l

gemeten - geen g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g . De

k a b e l neemt daarom t e n g e v o l g e van de b e l a s t i n g door

z i j n e i g e n g e w i c h t geen p a r a b o o l maar een k e t t i n g l i j n

aan,

7. A l s een k a b e l i n h e t midden w o r d t b e l a s t d o o r een

massa m met een g e w i c h t G dan o e f e n t deze k a b e l op

de ophangpunten, a l s f de p i j l van deze k a b e l i s , een

k r a c h t H = ' ^ u i t .

De g r o o t t e v a n k r a c h t H i s o n a f h a n k e l i j k van de l i g

g i n g van de ophangpunten ( w e l o f n i e t op g e l i j k e

h o o g t e ) .

8. A l s een k a b e l w o r d t b e l a s t door een - h o r i z o n t a a l

gemeten - g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q dan

o e f e n t deze k a b e l op de ophangpunten een

8 ^

k r a c h t H = — ^ — u i t , a l s f de p i j l van deze k a b e l i s

De g r o o t t e van deze k r a c h t H i s o n a f h a n k e l i j k van de

l i g g i n g van de ophangpunten (wel o f n i e t op g e l i j k e

h o o g t e ) .

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 40 15.4.3 ZELFTOETS

VRAGEN

Een k a b e l met een p a r a b o l i s c h e vorm h e e f t een p i j l f .

I n de ophangpunten A en B van deze k a b e l worden r a a k

l i j n e n aan de k a b e l g e t r o k k e n .

I n w e l k p u n t s n i j d e n deze r a a k l i j n e n e l k a a r .

10, Een k a b e l w o r d t b e l a s t door een - h o r i z o n t a a l gemeten -

g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q.

Hoe g r o o t z i j n de v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n V^ en V^

i n de ophangpunten A en B a l s :

a, A en B op g e l i j k e h oogte l i g g e n

b. A een a f s t a n d a hoger l i g t dan B

11. Hoe kunnen we t r e k k r a c h t e n i n de elementen van een

steunbok v e r m i j d e n .

12. Waarom h e e f t h e t zonder meer t o e p a s s e n van k a b e l

c o n s t r u c t i e s i n h e t algemeen g r o t e bezwaren.

Hoe kunnen we aan deze bezwaren tegemoet komen.

13, Wat i s h e t e f f e c t v a n h e t geven van een v o o r s p a n n i n g

aan k a b e l s .

14. Op w e l k e w i j z e kan door m i d d e l van sp a n k a b e l s v o o r

s p a n n i n g worden a a n g e b r a c h t i n de d r a a g k a b e l s .

15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 41 15.4.4 ZELFTOETS

ANTWOORDEN

9. De r a a k l i j n e n i n de p u n t e n A en B van een p a r a b o o l met

p i j l f s n i j d e n e l k a a r i n h e t midden op een a f s t a n d 2 f

onder de l i j n AB.

D i t g e l d t zowel v o o r h e t g e v a l d a t de p u n t e n A en B

op g e l i j k e hoogte l i g g e n a l s v o o r h e t g e v a l d a t ze

n i e t op g e l i j k e h oogte l i g g e n .

10. De v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n i n de ophangpunten A

en B van een k a b e l d i e w o r d t b e l a s t door een

- h o r i z o n t a a l gemeten - g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e be

l a s t i n g q z i j n

a. a l s A en B op g e l i j k e h o o g t e l i g g e n :

b. a l s A een a f s t a n d a hoger l i g t dan B:

^A = i g l ^ = i (4 ^ 1 ^B = i g l - = i g l (4 - | i

1 1 . T r e k k r a c h t e n i n de elementen van een steunbok kunnen

we v e r m i j d e n door h e t aanbrengen van een b a l l a s t .

12. Het zonder meer t o e p a s s e n van k a b e l c o n s t r u c t i e s

h e e f t i n h e t algemeen g r o t e bezwaren omdat:

- k a b e l s geen d r u k k r a c h t e n kunnen opnemen

- k a b e l s zeer s l a p p e elementen z i j n

- k a b e l s v e r v o r m i n g e n ondergaan t e n g e v o l g e van de

t r e k k r a c h t e n d i e e r i n o p t r e d e n

We kunnen aan deze bezwaren i n b e l a n g r i j k e mate

tegemoet komen door de k a b e l s d i e de b e l a s t i n g

d r a gen - de d r a a g k a b e l s - v o o r a f onder s p a n n i n g

t e b r e n g e n m.b.v. s p a n k a b e l s .

13. I n k a b e l s d i e z i j n voorgespannen kunnen d r u k k r a c h t e n

worden opgenomen ( z o l a n g e r t r e k i n z i t ) ên t r e d e n

k l e i n e r e v e r v o r m i n g e n op.

Door h e t aanbrengen van v o o r s p a n n i n g w o r d t een k a b e l

c o n s t r u c t i e ook s t i j v e r .

14. Het aanbrengen van o v e r s p a n n i n g i n de d r a a g k a b e l s

kan g e s c h i e d e n door s p a n k a b e l s t e p l a a t s e n

- i n de r i c h t i n g van de d r a a g k a b e l s

- i n een r i c h t i n g l o o d r e c h t op de r i c h t i n g van de

d r a a g k a b e l s

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.4.5 ZELFTOETS

42

VRAGEN

15. Hoe v e e l weegt ongeveer een h o u t e n v l o e r , i n c l u s i e f

de h o u t e n b a l k l a a g .

En een betonnen v l o e r ?

16. Noem een v o o r b e e l d van een zeer l i c h t e d r a a g c o n

s t r u c t i e .

17. Hoe worden b i j een pneu t r e k - en d r u k k r a c h t e n op

genomen.

18. Hoe v i n d e n pneus a l s d r a a g c o n s t r u c t i e hun t o e p a s s i n g .

Hoe w o r d t zo'n pneu o v e r e i n d gehouden.

19. Hoe g r o o t i s de t r e k k r a c h t i n de h u i d van een b o l

v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l met s t r a a l R a l s h i e r i n een 2

o v e r d r u k h e e r s t van p N/m .

20. Hoe g r o o t i s de t r e k k r a c h t i n de h u i d van een

c y l i n d e r v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l .

15 15.4.6

BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES ZELFTOETS

43

ANTWOORDEN

15. Een h o u t e n v l o e r , i n c l u s i e f de h o u t e n b a l k l a a g , 2

weegt c i r c a 500 N/m . 2

Een be t o n n e n v l o e r weegt a l gauw 4000-6000 N/m .

16. Een pneumatische c o n s t r u c t i e , k o r t w e g pneu genoemd,

i s een v o o r b e e l d van een zeer l i c h t d r a a g c o n s t r u c -2

t i e met een e i g e n g e w i c h t van 10-50 N/m .

17. B i j een pneu worden d r u k k r a c h t e n opgenomen door de

l u c h t , t e r w i j l de h u i d van de pneu de t r e k k r a c h t e n

opneemt.

18. A l s d r a a g c o n s t r u c t i e s z i j n pneus bekend i n hun t o e

p a s s i n g b i j de zogeheten d r a a g l u c h t h a l l e n .

Om deze d r a a g l u c h t h a l l e n o v e r e i n d t e kunnen houden

w o r d t een k u n s t m a t i g e o v e r d r u k gehandhaafd van

c i r c a 300 N/m^.

19. I n de h u i d van een b o l v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l , w a a r i n 2

een o v e r d r u k van p N/m w o r d t gehandhaafd, h e e r s t

een a l z i j d i g e t r e k s p a n n i n g n:

20. I n de h u i d van een c y l i n d e r v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l ,

h e e r s t een t r e k s p a n n i n g n:

Deze t r e k s p a n n i n g w e r k t l o o d r e c h t op de r i c h t i n g

v an de as van de c y l i n d e r .

De g r o o t t e v an de t r e k s p a n n i n g i n de r i c h t i n g van

de as v a n de c y l i n d e r i s a f h a n k e l i j k van de w i j z e

waarop de c y l i n d e r aan z i j n e i n d e n w o r d t a f g e s l o t e n .

n = 4 . p . R (N/m^

n = p . R

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.5.1 VOORBEELDEN

44

^ 1

H

5. VOORBEELDEN

V o o r b e e l d 1

Om een g r o t e r u i m t e k o l o m v r i j t e kunnen

overspannen i s een h a n g d a k c o n s t r u c t i e ont

worpen .

We w i l l e n de g r o o t s t e k r a c h t i n de k a b e l s

van de k a b e l c o n s t r u c t i e v o o r d i t hangdak

weten en de r e a c t i e k r a c h t e n i n de s t e u n -

bokken. •

We b e k i j k e n e e r s t h e t e v e n w i c h t v an k a b e l EF.

Brengen we v e r b i n d i n g s s t a a f EF aan en een

snede i n h e t midden dan v i n d e n wes

i . , 1 ^ = H . f

I . 10 . 40 = H . 4

H = 500 kN.

U i t de h e l l i n g van s t a a f EF v o l g t :

% = é • « = é • = 75 kN

Dan i s (we h a l e n s t a a f EF weg):

Vg = i q . 1 + V^ = 200 + 75 = m

= I . 10 . 40 + 75 = 275 kN

= H = 500 kN E

V^ = i q . 1 - V_ = 125 kN F 2 ^ m

«F = H = 500 kN

15 15 15.5.2

BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES VOORBEELDEN

45

Voor de o p l e g r e a c t i e v i n d e n wes

} R ^ = 1300 kN = H = 500 kN

V, = ~ . 500 = 1200 kN A

Vb = V, + 275 = 1200 + 275 = 1475 kN B A

Hp = H =• 500 kN

V = - i ^ . 500 = 1200 kN' } R^ = 1300 kN

V^ = Vj^ + 125 = 1200 + 125 = 1325 kN

k 4o

Bh

HO

+

Ho

21

r 13 L 6 I

k

-30

i

30

\i/0

V o o r b e e l d 2

Een k a b e l AB met l e n g t e 1 w o r d t voorgespannen

door een k a b e l AC met l e n g t e 2 1 . De g r o o t t e

van de v o o r s p a n n i n g b e d r a a g t 4 0 kN. Overi g e n s

i s de doorsnede en h e t m a t e r i a a l v an b e i d e

k a b e l s g e l i j k . Aan deze k a b e l c o n s t r u c t i e w o r d t

i n B een b l o k gehangen met een g e w i c h t G = 90 kN

We w i l l e n de g r o o t t e van de r e a c t i e k r a c h t e n i n

A en C weten.

Tengevolge van de v o o r s p a n n i n g i s de n o r m a a l

k r a c h t i n de b e i d e k a b e l s AB en AC g e l i j k aan

40 kN.

Hangen we i n B h e t b l o k op dan z a l h e t ge

w i c h t G van d i t b l o k z i c h z o d a n i g over de

k a b e l s AB en BC v e r d e l e n d a t de l e n g t e v e r

a n d e r i n g e n van b e i d e k a b e l s g e l i j k worden.

Omdat k a b e l BC tweemaal zo l a n g i s a l s 2

k a b e l AB k r i j g t k a b e l AB dus 3 - 0 = 6 0 kN

en k a b e l AC ^ G = 30 kN t e d r a g e n .

De r e a c t i e k r a c h t e n i n A en C worden;

R = 4 0 + 6 0 = 1 0 0 k N A

R ^ = 4 0 - 3 0 = 1 0 k N

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 46 15.5.3 VOORBEELDEN

V o o r b e e l d 3

Twee b o l v o r m i g e pneus ( s t r a a l R = 10 m) z i j n

t e g e n e l k a a r g e p l a a t s t en o n d e r l i n g h e c h t

verbonden. Ter p l a a t s e van de v e r b i n d i n g

w o r d t een k a b e l o v e r de pneu g e l e g d .

We w i l l e n de g r o o t t e van de t r e k k r a c h t i n deze

k a b e l weten a l s i n de pneu een o v e r d r u k h e e r s t

van 4 00 N/m^.

We s n i j d e n de pneu i n h e t midden door en v i n

den voor de t r e k k r a c h t n i n de snede:

R = I . 400

0

10 = 2000 N/m

Omdat a = 30 i s :

n = i n/3 = 1000/3 N/m

^h = 2 n = 1000 N/m

We maken v e r v o l g e n s een snede over de k a b e l .

Op deze k a b e l werken de t r e k k r a c h t e n n^. De

h o r i z o n t a l e componenten van deze k r a c h t e n

houden e l k a a r i n e v e n w i c h t . De k a b e l w o r d t

dus i n z i j n e i g e n v l a k b e l a s t door een ge

l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g

2n^ = 2000/3 N/m'.

Beschouwen we h e t e v e n w i c h t van de k a b e l dan

g e l d t :

2T = 10 . 2000 . /3

Dus: T = 10000/3 N = 10/3 kN

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 4 7 15.5.4 VOORBEELDEN

i

1 ^

8óó

V o o r b e e l d 4

Een b e t o n b a l k h e e f t een l e n g t e 1 = 12 m en

een doorsnede A = 300 . 800 mm.

Deze b a l k moet b e h a l v e z i j n e i g e n g e w i c h t

nog een v e r a n d e r l i j k e b e l a s t i n g p = 16 kN/m'

dr a g e n .

I n de b a l k worden p a r a b o l i s c h gevormde k a b e l s

g e p l a a t s t d i e na h e t s t o r t e n en v e r h a r d e n

van h e t b e t o n worden gespannen en v e r a n k e r d

aan de e i n d e n van de b a l k .

We w i l l e n de g r o o t t e van de s p a n k r a c h t i n

deze k a b e l s weten a l s deze een p i j l f = 240 mm

hebben en e r geen t r e k s p a n n i n g e n i n de b a l k

mogen o p t r e d e n .

We b e k i j k e n e e r s t eens h e t e v e n w i c h t s s y s t e e m

van de k a b e l s . S t e l d a t aan de e i n d e n w o r d t

g e t r o k k e n met een k r a c h t V. Daardoor worden

de k a b e l s t e g e n de b o v e n z i j d e van de c i r k e l

v o r m i g e b u i s , w a a r i n z i j z i c h b e v i n d e n , ge

d r u k t .

Omgekeerd o e f e n t deze b u i s , d i e g e h e e l i s om

s l o t e n door b e t o n , een k r a c h t u i t op de k a b e l s

De g r o o t t e van deze k r a c h t , d i e g e l i j k m a t i g i s

v e r d e e l d o v e r de l e n g t e van de kabèls i s een

v o u d i g t e b e p a l e n .

Deze i s : 1 2

H . f = q l ' ^ q = 8 Hf ,2

a l s H de h o r i z o n t a l e component i s van k r a c h t V

Omdat de p i j l f van de k a b e l zeer k l e i n i s t . o

de l e n g t e van deze k a b e l kunnen we s t e l l e n

'H = V.

Dan i s dus: q 3 Vf . 2

Door de a c t i e k r a c h t e n t e n g e v o l g e v an h e t

spannen van de k a b e l s worden r e a c t i e k r a c h

t e n op h e t b e t o n van de b a l k u i t g e o e f e n d .

Omdat a c t i e = r e a c t i e g e l d t :

8 Vf q^ = q = en

1'


48

Het e i g e n g e w i c h t van de b a l k i s

g = 0 , 3 . 0 , 8 . 2 5 = 6 kN/m

Ve r d e r i s : p = 16 kN/m"*"

T o t a l e b e l a s t i n g q = 22 kN/m^

- 3,^

4-

- f2,

Tengevolge van g i s :

M = ^ . 6 max 8

12 = 108 kNm

,6 a = - a, = O b

108 . 10

300 . 800' - = 3,4 N/mm^

Tengevolge van g + p i s :

M = i . 22 . 12^ = 396 kNm max 8

, = ^ = • : ^ ^ 12,4 N/mm2 ° ^ 300 . 800^

We b e p a l e n de g r o o t t e van V en dus van q.^

z o d a n i g d a t q.^ = g + - l p.

Dan i s : q ^ = 6 + i . 16 = 14 kN/m'

rr 1 2 2

V = = tr^^ = ^050 kN

Tengevolge van = g + ^ p i s :

= 10

= 252 kNm

M = i q^ . 1^ = V . f = 1050 . 0 , 24 max 8 ^v

Dan i s : M V " max

^O = - A - "W"

1050000 300 800

252 . 10

300 800'

^b =

- 4,4 - 7,9

- 4,4 + 7,9

= - 12,3 N/mm'

= + 3,5 N/mm'


49

»0

ZO

De spanningen i n de b a l k t e n g e v o l g e van de

v o o r s p a n n i n g en h e t e i g e n g e w i c h t worden:

a_ = - 12,3 + 3,4 = - 8,9 N/mm^ O

= + 3,5 - 3,4 O

De span n i n g i n de b a l k t e n g e v o l g e van de

v o o r s p a n n i n g , h e t e i g e n g e w i c h t en de

v e r a n d e r l i j k e b e l a s t i n g worden:

= + 12,4 - 12,3 - O

aj^ = - 1 2 , 4 + 3,5 = 8,9 N/min^

We z i e n dus d a t door h e t aanbrengen van

k a b e l s i n een b e t o n b a l k en h e t spannen

d a a r v a n t r e k s p a n n i n g e n kunnen worden v e r

meden. D i t i s g u n s t i g omdat b e t o n immers

geen t r e k s p a n n i n g e n kan opnemen.

15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.6.1 VRAAGSTUKKEN

50

È

3 M

6. VRAAGSTUKKEN

1. Tussen de p u n t e n A en B w o r d t een k a b e l

a a n g e b r a c h t waaraan twee l a s t e n worden op

gehangen. De g r o o t s t e p i j l i n de k a b e l be

d r a a g t 2,5 m. Teken de j u i s t e vorm van de

k a b e l en be r e k e n de g r o o t s t e k a b e l k r a c h t .

2. Een k a b e l h a n g t t u s s e n de p u n t e n A en B.

Deze p u n t e n z i j n de t o p p e n van twee s t i j f

i n g eklemde kolommen.

Aan de k a b e l z i j n twee massa's van 5 t o n op

gehangen .

Hoe g r o o t i s de g r o o t s t e k r a c h t i n de k a b e l ?

Bepaal de M-, D- en N - l i j n v o o r kolom AC.

8^

3. Een k a b e l met een p i j l v an 4 m w o r d t op

gehangen t u s s e n de p u n t e n A en B. Deze punter,

l i g g e n h o r i z o n t a a l gemeten 8 m en v e r t i c a a l

gemeten 4 m u i t e l k a a r .

De b e l a s t i n g van de k a b e l b e d r a a g t 40 kN/m',

h o r i z o n t a a l gemeten. Bepaal l a n g s g r a f i s c h e

weg de g r o o t t e van de t o t a l e r e a c t i e k r a c h t e n

i n A en B. C o n t r o l e e r de u i t k o m s t v o l g e n s

een a n a l y t i s c h e methode.

: " ) )


51

-LiA

36 r -"1 l i l

4. Een k a b e l AB w o r d t voorgespannen door een

k a b e l BC. De doorsnede van k a b e l AB i s twee

maal zo g r o o t a l s d i e van k a b e l BC.

Ov e r i g e n s i s de l e n g t e en h e t m a t e r i a a l van

b e i d e k a b e l s g e l i j k . Bepaal de g r o o t t e van

de r e a c t i e k r a c h t e n i n A en C a l s i n B aan

de k a b e l c o n s t r u c t i e een b l o k w o r d t gehangen

met een g e w i c h t G = 60 kN.

De g r o o t t e van de v o o r s p a n n i n g b e d r a a g t

20, 30 resp.' 4 0 kN.

5. I n een b o l v o r m i g e pneu met s t r a a l R 2

h e e r s t een o v e r d r u k van p N/m .

Bepaal: a) de t r e k s p a n n i n g i n de pneu b i j

de p u n t e n A en B.

b) de v e r t i c a l e r e a c t i e s n^.

6. Een h a l f - c y l i n d e r v o r m i g e pneu ( l e n g t e 40m;

b r e e d t e 1-6 m) w o r d t aan de e i n d e n b o l v o r m i g e

a f g e s l o t e n . 2

I n de pneu h e e r s t een o v e r d r u k van 3 00 N/m .

Bepaal de t r e k k r a c h t e n d i e i n de h u i d v an h e t

c y l i n d r i s c h e g e d e e l t e werken i n de l e n g t e

r i c h t i n g van de pneu.

I

I


52

ANTWOORDEN

3o

io

20

50

1. De g r o o t s t e k a b e l k r a c h t w e r k t i n

d e e l AC; S ^ = 100 kN

ÓÓO ioö so N

2. De g r o o t s t e k r a c h t i n de k a b e l t r e e d t

op i n h e t s c h u i n e d e e l en h e e f t de

g r o o t t e : 50/5 = 112 kN

. v o o r s p . t r e k k r a c h t

kN SAB ^BC

20 60 0

30 70 10

40 80 20

5. a. n = i . p . R N/m"

b. = i . p . R . /3 N/m"

6. n = 1200 N/m"'"

p dictaat toegepaste mechanica / draagconstructies...

Documents