overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
DESCRIPTION
Hellinggrafieken schetsen. y. top v.d. grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x -as. Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. top. stijgend. dalend. stijgend. x. top. O. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/1.jpg)
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal
laagste punt
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen.
stijg
end dalend
stijgend
stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen
hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen
hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top v.d. grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
pos.
pos.
Hellinggrafieken schetsen
6.1
![Page 2: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/2.jpg)
a x < -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op ⟨ , -3 ⟩
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op ⟨ -3 , 0 ⟩d hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 4
6.1
![Page 3: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/3.jpg)
m.b.v. GRTI MATH – MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN – CALC – menuoptie d/dxvb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8
en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)
of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio)
Hellinggrafiek plotten
6.1
![Page 4: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/4.jpg)
[ ]
a voer in y1 = -0,1x³ + x² - 2x + 5
en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)
of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio)
kies Xmin = -2 , Xmax = 10 , Ymin = -10 , Ymax = 10
b helling = = y2(7) = -2,7
y
xO
helling
xO
dalend
top
0 0
top
dalend
stijg
end
top
dydx
x = 7
opgave 7
![Page 5: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/5.jpg)
a voer in y1 = (5x² - 38)/(x² + 4)
en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)
of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio)
kies Xmin = -5 , Xmax = 5 , Ymin = -10 , Ymax = 5
b voer in y3 = 3
optie intersect met y2 en y3 geeft
x ≈ 0,458 en x ≈ 2,354aflezen helling > 3 voor 0,458 < x < 2,354
y
xO
O x
helling
3
0,458 2,354
opgave 9
![Page 6: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/6.jpg)
De afgeleide functie
Bij een functie hoort een hellingfunctie.i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie : f’ (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x :- de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt
3.4
![Page 7: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/7.jpg)
Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het differentiecoëfficiënt van f(x) op het interval [ x, x + h ] , dus naar
∆y ∆x
=f(x + h) – f(x)
=x + h - x
f(x + h) – f(x) h
Neem je op het interval [ x,x + h ] de waarde van h heel klein, dan geeft
f(x + h) – f(x) h een goede benadering van de r.c. van de raaklijn van de grafiek van f
in het bijbehorende punt.
O x x+h x
yf(x+h)
f(x)h
f(x+h) – f(x)
O x x+h x
y
f(x+h)f(x)
h
f(x+h) – f(x)h klein
f(x + h) – f(x) h
de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide f’(x)
de definitie van de afgeleide f’ van een functie f is
f’(x) = lim f(x + h) – f(x) h h 0 3.4
![Page 8: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/8.jpg)
1242)( 2 xxxf
h
xxhxhx
hx
y
h
xfhxf
hx
y
)1242()12)(4)(2(
0
lim
)()(
0
lim
22
h
xxhxhhxx
hx
y 12421244)2(2
0
lim 222
h
hhhx
hx
y
h
xxhxhhxx
hx
y
424
0
lim
12421244242
0
lim
2
222
4240
lim
hxhx
y
44
xx
y
Voorbeeld limietstelling. Neem de functie :
![Page 9: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/9.jpg)
Bij een functie hoort een hellingfunctie.i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax
De afgeleide functie
6.2
![Page 10: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/10.jpg)
f(x) = (2x – 7)(8 + x)f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7xf(x) = 2x² + 9x – 56f’(x) = 2 · 2x + 9f’(x) = 4x + 9
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van differentiëren
opgave 14a
6.2
![Page 11: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/11.jpg)
h(x) = 5(x – 3)² + 5(x – 1) + 8h(x) = 5(x – 3)(x – 3) + 5x – 5 + 8h(x) = 5(x² - 6x + 9) + 5x + 3h(x) = 5x² - 30x + 45 + 5x + 3h(x) = 5x² - 25x + 48h’(x) = 2 · 5x – 25h’(x) = 10x - 25
opgave 15c
![Page 12: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/12.jpg)
k(x) = -3(x – 1)(5 – 2x) – 8(x – 7)k(x) = -3(5x – 2x² - 5 + 2x) – 8x + 56k(x) = -15x + 6x² + 15 – 6x – 8x + 56k(x) = 6x² - 29x + 71k’(x) = 2 · 6x – 29k’(x) = 12x - 29
opgave 15d
![Page 13: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/13.jpg)
f(x) = ax3
f’(x) = 3ax²g(x) = ax4
g’(x) = 4ax3
h(x) = ax5
h’(x) = 5ax4
algemeen geldt:k(x) = axn
k’(x) = n · axn-1
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 – 1 = 3)
De afgeleide van f(x) = axn
![Page 14: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/14.jpg)
f(x) = 5x4 – 3x3 + 2xf’(x) = 4 · 5x3 – 3 · 3x2 + 2f’(x) = 20x3 – 9x2 + 2
opgave 17a
![Page 15: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/15.jpg)
g(x) = 7(3x – 2)(x² + 2x)g(x) = 7(3x3 + 6x2 - 2x2 – 4x)g(x) = 21x3 + 42x2 – 14x2 – 28xg(x) = 21x3 + 28x2 – 28xg’(x) = 3 · 21x2 + 2 · 28x – 28g’(x) = 63x2 + 56x - 28
opgave 18b
![Page 16: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/16.jpg)
h(x) = 3px8 – px4
h’(x) = 8 · 3px7 – 4 · px3
h’(x) = 24px7 – 4px3
opgave 18d
![Page 17: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/17.jpg)
Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoff’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt.
algemeen:f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f’(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
6.3
![Page 18: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/18.jpg)
a f(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x f’(x) = 1,5x2 – 4xstel k : y = ax + bxA = 4
a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8dit geeft k : y = 8x + by = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2
dus k : y = 8x - 30
2 = 8 · 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 20
6.3
![Page 19: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/19.jpg)
b stel m : y = ax + bxB = -1
a = f’(-1) = 1,5 · (-1)2 – 4 · -1 = 5,5dit geeft m : y = 5,5x + by = f(-1) = 0,5 · (-1)3 – 2 · (-1)2 + 2 = -0,5
dus m : y = 5,5x + 5
-0,5 = 8 · -1 + b-0,5 = -5,5 + bb = 5
opgave 20
![Page 20: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/20.jpg)
a h(x) = (x – 1)(x – 4)h(x) = x2 – 4x – 1x + 4 h(x) = x2 – 5x + 4h’(x) = 2x - 5stel k : y = ax + bxA = 6
a = h’(6) = 2 · 6 - 5 = 7dit geeft k : y = 7x + by = h(6) = 5 · 2 = 10
dus k : y = 7x - 32
10 = 7 . 6 + b10 = 42 + bb = -32
opgave 23
![Page 21: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/21.jpg)
b stel m : y = ax + bde grafiek h snijdt de y-as in punt B xB = 0
a = h’(0) = 2 · 0 - 5 = -5dit geeft m : y = -5x + by = f(0) = 4B(0, 4)dus m : y = -5x + 4
opgave 23
![Page 22: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/22.jpg)
c de grafiek h snijdt de x-as y = 0h(x) = 0 (x – 1)(x – 4) = 0
x = 1 ⋁ x = 4 stel de raaklijn in (1, 0) is m : y = ax + ba = h’(1) = 2 · 1 – 5 = -3dit geeft n : y = -3x + b (1, 0)dus n : y = -3x + 3
stel de raaklijn in (4, 0) is p : y = ax + ba = h’(4) = 2 · 4 – 5 = 3dit geeft p : y = 3x + b
(4, 0)dus p : y = 3x - 12
0 = -3 · 1 + bb = 3
0 = 3 · 4 + bb = -12
opgave 23
![Page 23: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/23.jpg)
Teken f(x) = x² - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eén van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is B.Bereken de coördinaten van Brc = 2 dus f’(xB) = 2
xB berekenen
f’(x) = 2 oplossenf’(x) = 2x – 3f’(x) = 2
xB = 2,5
yB = f(2,5) = -0,25
B(2,5; -0,25)
2x – 3 = 22x = 5x = 2,5
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
y
B●
x
Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient
6.3
![Page 24: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/24.jpg)
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
y
x
f(x) = -x² + 2x + 3a rcraaklijn = 4
dus f’(x) = 4f’(x) = -2x + 2
xA = -1
yA = f(-1) = 0
A(-1, 0)b k : y = -6x + 8
rcraaklijn = -6
dus f’(xB) = -6
f’(x) = -2x + 2
xB = 4
yB = f(4) = -5
B(4, -5)
-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1
A●
f
k
-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4
opgave 25
6.3
![Page 25: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/25.jpg)
a f(x) = -x³ + x² + 1f’(x) = -x² + 2xstel l : y = ax + bxA = 3
a = f’(3) = -3² + 2 · 3 = -3l : y = -3x + bf(3) = 1
dus l : y = -3x + 10b rcm = rcl = -3 f’(x) = -3
-x² + 2x = -3x² - 2x – 3 = 0(x + 1)(x – 3) = 0x = -1 v x = 3xB = -1
yB = 2
1 = -3 . 3 + b1 = -9 + bb = 10
m : y = -3x + b B(-1, 2 )
dus m : y = -3x -
2 = -3 · -1 + b2 = 3 + bb = -
opgave 27
![Page 26: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/26.jpg)
werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden
1 Bereken f’(x)2 Los algebraïsch op f’(x) = 03 Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4 Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …
raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide
6.3
![Page 27: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/27.jpg)
f(x) = x³ + 3½x² + 10x + 5f’(x) = x² + 7x + 10f’(x) = 0 geeftx² + 7x + 10 = 0(x + 2)(x + 5) = 0x = -2 ⋁ x = -5voer f in op je GRoptie maximummax. is f(-5) = enoptie minimum min. is f(-2) = -3 O-2-5
x
y
●
●
opgave 30a
![Page 28: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/28.jpg)
a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10f’(x) = -3x² - 6x + 24f’(x) = 0 geeft-3x² - 6x + 24 = 0x² + 2x – 8 = 0(x + 4)(x – 2) = 0x = -4 ⋁ x = 2voer f in op je GRoptie minimummin. is f(-4) = -70optie maximummax. is f(2) = 38
b f(x) = -50 3 oplossingeny = -50 snijdt de grafiek van f 3 keerf(x) = 50 1 oplossingy = 50 snijdt de grafiek van f 1 keer
O 2-4x
y
●
●
-50
50
c f(x) = p 3 oplossingen-70 < p < 38
d f(x) = p 1 oplossingp < -70 ⋁ p > 38
-70
38
opgave 32
![Page 29: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/29.jpg)
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:• Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?• Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ?• Bij welke route horen de laagste kosten ?
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
6.4
![Page 30: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/30.jpg)
a stel AD = xCD + 2x = 40CD = 40 – 2xO = AD · CDO = x(40 – 2x)O = 40x – 2x²
b = 40 – 4x
= 040 – 4x = 0-4x = -40x = 10AD = 10 m.CD = 40 – 20 = 20 m.
dO dx
dO dx
Ox
O
10
200
opgave 35
6.4
![Page 31: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/31.jpg)
Extra opgaveDe totale lengte van het hekwerk is 160 meter.
Druk de oppervlakte van het perceel uit in x?
Voor welke x is de oppervlakte van het grasland maximaal?
![Page 32: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/32.jpg)
a 4 · lengte + 4 · hoogte + 4 · breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 – 5x
b I = l · b · hI = 4x · x · (3 – 5x)I = 4x²(3 – 5x)I = 12x² - 20x³
c = 24x – 60x² = 024x – 60x² = 012x(2 – 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 – 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 0,4
dl dx
dl dx
:4
Ox
l
0,4
0,64
x = 0,4 lmax = 0,64 m³
bij x = 0,4 hoort h = 3 – 5 · 0,4 h = 1 m.
opgave 42
![Page 33: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/33.jpg)
y = 9 - x²op de parabool ligt punt P met xP = p
PQ = yP
PQ = 9 - p²O(∆OPQ) = ½ · OQ · PQO(∆OPQ) = ½p · (9 - p²)O(∆OPQ) = 4,5p – 0,5p³ = 4,5 – 1,5p²
= 04,5 – 1,5p² = 0-1,5p² = -4,5p² = 3p = √3 ⋁ p = -√3
yP
dO dpdO dp
Omax = 4,5 · √3 – 0,5 · (√3)³
Omax = 4,5√3 – 0,5 · 3√3
Omax = 4,5√3 – 1,5√3 = 3√3
Op
O
√3
3√3
opgave 44
![Page 34: overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062408/568141e9550346895dadc962/html5/thumbnails/34.jpg)
f(x) = 1 - x²g(x) = 1 - x³verticale lijn : x = pO = O(∆OPR) – O(∆OPQ)O = O(∆OQR)O = ½ · OP · QRO = ½ · p · ((1 - p³) – (1 - p²))O = ½p(p²- p³)O = ½p³ - ½p4
= 1½p² - 2p³
= 01½p² - 2p³ = 0p²(1½ - 2p) = 0p = 0 ⋁ 1½ - 2p = 0
dO dp
dO dp
p = 0 ⋁ 2p = 1½p = 0 ⋁ p = ¾O is maximaal voor p = ¾
Op
O
¾
0,05
1
opgave 45