ANTHONY BROOKE . DAVID KENDRIKALEXANDER MEERAUS

oTtMtzAçÃoMODETO DEctsÃoPROG

rónuuHsrMunçÃovArrolçÃo

ESCoP0 OBJETIVO

SISTEMA

GAMSSISTEMAGERAL DE

MODELAGEMALGÉeRIcA

JMStern Pesquisa operacionat EDIroRA t""gf er-ücsER''or"

ANTHONY BROOKEDAVID KENDRICK

ALEXANDER MEERAUS

GAMSSIsTEnaa GEnNL DE MOOENGEM AI-CÉENICN

TraducãoJACOB Nr,gANõ SOBRINHO

Ph.D. pela Univesidade de São PauloProfessor adiunto do Instituto de Matemática da USP

Supervisão técnicaJULIO MICHAEL STERN

Ph.D. pela Univesidade de Cornell. EUADirètor do Centro de Matemática e

ComputaçãoAplicadas do IME - USP

JMStern Pesquisa Operacional

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EDITORA EDGAFID EIIJCHER TToI

O 1997 AnthonY BrookeDavid KendrickAlexander Meeraus

ls edição - 1997

É proíbida a reproilução total ou parcíal

Por quaisquer meiossem aú0rtgção escríta da editora

EDITORA EDGARD BLÜ CHER LTDA'Fax: (0/1) 852-2707

Caixa Postal545001061-970 - S. Paulo - SP - Brasil

Impresso no Brasil Printed in Brazil

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EDITORA AFILIADA

Conteúdo

coxrpúoopnpr'ÁcIo À notçÃo eneSILEIRApRpr'Ácto

PARTE I - Introdução

t rNTRoouçÃo1.1 t v to t ruaçÃo. . .\.2 cARAcTERÍsrlcns eÁstCAS DE gÁME

(a) Princípios Gerais(b) Documenüação(c) Portabilidade(d) A interface com o usuário(e) A Biblioteca de Modelos

1.3 oRGANIzAçÃo oo LIVRoL.4 PREPARANDO-SE PARA COMEçAR

2 UM TUTORIAL gAMEINTRODUçAOA ESTRUTURA DE UM MoDELo 9"41ì48C O N J U N T O S . . . .

I

viiviii

2.L2.22 .32.4

D

c

8I

DADOS 1 11 11313t4

(a) Enürada de dados(b) Entrada de dados(c) Entrada de dados

por meio de listaspor meio de üabelaspor meio de atribuição direta

2.52.6

VARIAVEIS . .EQUAçõES . . . . . _ . .

(a) Declaração de equações(b) A notação de soma e produto em 9"4M8

OS ENUNCIADOS DO TIPO MODEL e SOLVEOS ENUNCIADOS DO TIPO DISPLAYA BASE DE DADOS u.LO, .L, .UP, .M"(a) Atribuição do limite de variáveis e/ou valores iniciais

1515

(c) Definição de equaçõesFUNçAO OBJETIVO

15161818191919

2.72.82.92.L0

t l Conteúdo

(b) Tlansformação e display dos valores ótimos2.1L SAÍDA DO PROGRAMA 9"4Ìvt8

(a) Impressão de echo(b) Mensagens de erro(c) Mapas de referência(d) Listagens de equações(e) Estatísticas do modelo(f) Relatórios de status(g) Relatórios de solução

2.].2 CONCLUSÕES

PARTE II - A Linguasem $AÌVLS3 PROGRAMAS g"4I4E

3.1 A ESTRUTURA DOS PROGRAMAS 9-4}483.2 oRcANrzAçÃo Dos pRocRAMAS 9.4'vt83.3 DEFTNTçÕES E TIPOS DE DADOS3.4 Ítnus DE LINGUAGEM

(a) Caracteres(b) Palavras Reservadas e Tokens.(c) Identificadores(d) Rótulos(e) Texto(f) Números(g) Delimitadores(h) Comentários

3.6 SUMÁRIO

202 I2 t23252627272830

34

343537373738383 9 r4040474t42

4 DEFINIçOES DE CONJUNTOSCONJUNTOS SIMPLESO ENUNCIADO ALIAS: NOMES MULTIPLOS PARA CONJUNTOSSUBCONJUNTOS E VERIFICAçÃO DE DOMÍNrO . .CONJUNTOS MULTIDIMENSIONAIS E FUNçÕES . .SUMÁRIO

ENTRADA DE DADOS: PARÂMETROS, ESCALARES& TABELAS5.1 PARÂMETROS .5 . 2 E S C A L A R E S . . .5.3 TABELAS SIMPLES5.4 TÂBELAS CONTINUADAS .5.5 TABELAS COM MAIS DE DUAS DIMENSÕES. . .6.6 RELAToS DE ERRoS DURANTE A CoMPILAçÃo5-7 ENTTNCIADOS DO TIPO PARAMETER E TABLE QUE NÃO POSSUEM

vERrFrcAçÃo oo DoMÍNro5.8 CONCLUSÕES

4.14.24.34.44.5

43

4346474750

52

525454c c

co

58

5960

Conteúdo i l l

6 MANTPULAçÃO DE DADOS COM PARÃMETROS

6 . 1 O E N U N C T A D O D E A T R I B U I ç Ã O . . . 6 26 . 2 O E N U N C I A D O D I S P L A Y . . . . . . . 6 56 . 3 E X P R E S S Õ E S S I M P L E S . . . . . . . . . 6 7

(a) Operações aritméticas padrão 67(b) Operações Indexadas 68(c) Funções 69(d) Aritmética Estendida e Tlatamento de Erros 71

6.4 TRATAMENTO DE EXCEçOES 72(a)OperadoresRelac iona is - . . - 72( b ) O O p e r a d o r D ó l a r ' . . - . . 7 2

6.5 INTEGRIDADE DE DADOS E ENUNCIADO ABORT 766.6 UM EXEMPLO FINAL 776 . 7 C O N C L U S Ã O . . . 8 0

VARIÁVEIS 81

7.t DECLARAçÃo np vARIÁvEIS 817.2 LIMITES EM VARIÁVEIS . 847.3 vARrÁvEIS EM DIsPLAY E ENUNCIADos DE ATRIBUIçÃo . . . . . . 847.3 SUMÁRIO 86

EQUAçOES 87

8 . 1 D E C L A R A ç Ã O D E E Q U A ç Õ E S . . . . . . . . . 8 78.2 DEFiNIÇÕES SIMPLES DE EQUAçÕES 88

8.3 DEFTNIçÕES DE EQUAçOBS INDEXADAS . . . s18.4 FUNçÕES E OPEEADORES ARITMÉTICOS UTILIZADOS EM DEFINI-

ÇÕES DE EeuAçÓES e2

8.5 -opBn,q.ÇÕES

DOLAR EM DEFINIçÕES DE EQUAçÕES . e3

(a) Controle das operações de índice pelo Dólar 93(b) Operadores Dólar internos à Algebra " " 93(c) O Controle do Domínio de Definição de uma Equação pelo -operador Dólar 95

8.6 ASPECTOS DO TRATAMENTO DE DADOS NAS EQUAçÕES . . . . ' . 96

8.7 SUMÁRIO 96

ENUNCIADOS TIPO MODEL & SOLVE 98

62

9.1 O ENUNCIADO TIPO MODEL9.2 CLASSTFICAçÃO DE MODELOS9.3 O ENUNCIADO SOLVE9.4 PROGRAMAS COM VÁNTOS ENUNCIADOS DO TIPO SOLVE . . . . . .

(a) Vários Modelos(b) Análise de Casos e Sensibilidade, e Relatórios(c) Implementação Iterativa de Algoritmos Não-standard

9.5 OPçOES USADAS COM ENUNCIADOS SOLVE(a) Detalhe de Controle de Saída(b) Controle dos Recursos do Computador Usado pelo Solver(c) Controle de Ações tomadas pelo Solver(d) O Controle pelo qual o Solver é Usado

9899

100101101101103104104105106r07

IV Conteúdo

9.6 TORNANDO NOVOS SOLVERS COMPATÍVEIS COM 9"4MS . . IO7

10 sAÍDA gc]lr's 1oe10.1 SAÍDA DE COMPTLAçÃO . . loe

(a) Impressão de Echo do Arquivo de Entrada . . . 109( b ) M a p a s p r o d u z i d o s . . . . . . 1 1 3(c) Diretivas Usuais de Controle tipo Dólar . . . . 115

10.2 SAÍDANAEXECUçÃO . . . . 11610.3 SAÍDA PRODUZIDA POR UM ENUNCIADO DO TIPO SOLVE . . . . . . 117

( a ) A l i s t a g e m d a E q u a ç ã o . . . L 1 7( b ) A l i s t a g e m d a s C o l u n a s . . . 1 1 9( c ) E s t a t í s t i c a s d o M o d e l o . . . . 1 1 9( d ) O s u m á r i o d o S o l v e . . . . . L 2 0( e ) A l i s t a g e m d a S o l u ç ã o . . . . 1 2 3

10.4 RELATÓNTO DE ERROS . . . T25(a) Erros de Compilação . . . L26( b ) E r r o s d e E x e c u ç ã o . . . . . . L 2 7(c) Erros de Solve

l o .scoNcLUSÃO . . . . . r2s

].1 CONJUNTOS DINÂMICOS

1 1 . 1 C O N J U N T O S E S T Á T I C O S E D I N Â M I C O S . . . 1 3 01.1.2 ATRTBUIçÕES DE CONJUNTOS . . . 13011.3 oPERAçÕES DE CONJUNTOS: UNrÕES, TNTERSECçÕES E COMPLF-

M E N T O S . . . 1 3 311.4 vERrFrcAÇÃO DE DOMÍNIOS COM CONJUNTOS DrNÂMICOS . . . . 134

12 CONJUNTOS COMO SEQUENCIAS:MODELOS DINÂMICOS12.1 CONJUNTOS ORDENADOS ENAOORDENADOS . . . . . . . . T37L 2 . 2 C P " D E C A R D . . . . . 1 3 81 2 . 3 o P E R A ç Õ E S D E A V A N ç O E R E T R O C E S S O . . . . . . 1 3 e

(a) Atribuições de Avanços e Retrocessos . 139( b ) A v a n ç o e R e t r o c e s s o e m E q u a ç õ e s . . . . L 4 1 .

L 2 . 4 O E N U N C I A D O L O O P . . . . . 1 4 3L 2 . 5 C O N C L U S Ã O . . . . . L 4 4

PARTE III - Tópicos especrars

13 O ENUNCIADO DISPLAY

130

L37

146

13.1 A ORDEM DOS RóTULOS EM DISPLAYS . . . T4713.2 ENIJNCTADOS DE OPçÕES QUE CONTROLAM DTSPLAYS . . . . . . . r4s13.3 EXPORTÂçÃO DE DADOS PARA OUTROS PROGRAMAS . . . . . . . . 151

Conteúdo

L4 SALVANDO E RECOMEÇANDO: O ARQUIVO DE TRABALHO 153

1 4 . 1 o C o N C E I T o D E A R Q U I V O D E T R A B A L H O . . . . . . 1 5 3

I 4 . 2 S A L V A N D O O S A R Q U I V O S D E T R A B A L H O . . . . . . . 1 5 4I 4 . 3 R E I N I C I A N D O . . . . 1 5 5

14.4 MANETRAS DE APROVEITAR OS ARQUIVOS DE TRABALHO . . . . . 156(a) Programa de Desenvolvimento Incremental . . 156(b) Lidando com Seqüências de Solves Difíceis . . . 156( c ) C e n á r i o s m ú l t i p l o s . . . . . . 1 5 7

l 4 .5suMÁRro . . . . . . .1 .57

L5 PROGRAMAçAO NAO-LINEAR

15.1 ASPECTOS GERATS DE PROGRAMAçÃO NÃO-lWeeR . . .

(a) Valores Iniciais(b) Limites(c) Escalonamento(d) Reformulação da F\rnção Objetivo(e) Derivadas Descontínuas e Ótimos Múltiplos

15.2 ASPECTOS PARTICULARES A RESPEITO DE GAMS/MINOS(a) O Sumário do Solve GAMS/MINOS(b) Confronto com a não Viabilidade não-linear(c) O Sumário da Tela(d) Desconsiderando a Base(e) O Uso dos Arquivos de Op,ções GAMS/MINOS ' .

].6 PROGRAMAçÃO INTEIRA MISTA

16.1 ASPECTOSGERAIS A RESPEITO DE PROGRAMAçAO INTEIRA EMiSTA

159

159160160161r62L62t62163t64r b b

165165

L67

t67

(a) As'folerâncias de Término em 9,4M8 . . . . . 167

( b ) R e i n i c i a n d o a s e x e c u ç õ e s M I P . . . . . 1 6 8

16.2 ASPECTOS PARTICULARES A RESPEITO DE GAMSIZOOM . . . . . . 168

17 MODELOS DE GRANDE PORTE

17.1 PORQUE MODELOS DE GRANDE PORTE DEVEM SER EVITADOS . . 170

17.2 COMO LIDAR COM MODELOS DE GRANDE PORTE . . . . . . 171

17.3 LIMITAçÕNS DE TAMANHO EM 9'4MS E SEUS SOLVERS . . . I7T

17.4 coNsrDERAçõESARESPEIToDEEFIcIÊNCIA . . . . . . . . t74

L8 PONTUAçÃO ENFRAQUECIDA L76

1 8 . 1 P O N T O E V Í R G U L A . . . . . , T 7 6

l 8 . 2 V Í R G U L A . . 1 7 7

18.3 FINAL DE LINHA . . T77

1 8 . 4 A S P A S . . . . . . . . . r 7 7

170

Conteúdo

19 A BIBLIOTECA DE MODELOS L79

19 .1 TNTRODUçÃO . . . . 17s19 .2 OSMoDELOS . . . . . 180lg .3REFERÊNCIAS . . . . 184

APÊNDICES

A A CHAMADA 9"4ì48 leo4.1 A CHAMADA GENERICA Sil]YfS "SEM XABU,, . . .A.2 A cHAMADA GENÉRIcA DE "oPçÃo"4.3 EXEMPLoS DE SEQüENCIAS DE CHAMADA PARA MICROS MS-DOSA.4 EXEMpLos oe snqtlÊNCHS DE cHAMADA PARA SISTEMAS IBM

CMS .4.5 EXEMPLOS DE SEQTJENCIAS DE CHAMADA PARA SISTEMAS VAX

v M S . . . . . . 1 9 3

B oPÇoES DE coNTRoLE PELo DoLAR L94

8.1 coNTRoLES DE FoRMATAçÃo oa ENTRADA8.2 coNTRoLES DE FoRMATAçÃo oa seba8.3 coNTRoLES DAS A^ET.SRÊTqCIAS DE MAPAS8.4 EXEMPLO

C O ENUNCIADO OPTION

D sÃ\/tglurNosD.l UMA DEScntçÃo cERAL DE9AMEIMINoSD.2 o FoRMATo DE uM ARQUrvo DE oPçoES g/Ms/MINos .D.3 oeçÕes g"4Ms/MINos . .D.4 REFEnÊlucns

E gAiltE/zooM8.1 uue vtsÃo cERAL DE zooM8.2 oeçons gAmslzooM ESPECIFICADAS EM sEU PRoGRAMA . . . . .E.3 FORMATO DO ARQUIVO DE OeçOnS S"LMS/ZOOM . . .8.4 oeçoes sAms/zooM . .E.5 DrcAS eARA coNTRoLAR A RAMIFIcaçÃo E PoDA

F GRAMÁTICA

G GLOSSÁRIO

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

INDICE

190191192

t94195L97198

20L

204

20421021.2230

23L

23r24024L242245

247

254

263

280

PREFÁCIOEDrçAO BRASTLETRAA

Tem sido um grande prazer para a J.M.Stern Pesquisa Operacional representar no Brasilo Software 9"4MS (Sistema Genérico de Modelagem Algébrica). 9r4ME é hoje o sistemade Programação Matemática mais utilizado em todo o mundo para modelagem em PesquisaOperacional. Varios fatores contribuem, a nosso ver, para tal sucesso:

1. A Linguagem $ÁMS possui uma sintaxe simples, intuitiva e poderosa, que permitedescrever com facilidade modelos complexos de Otirnização.

2. O Sistema 9,ÁME tem uma filosofia aberta, sendo compatível com uma grande va-riedade de soluers, i.e., programas resolventes paÍa os problemas de ProgramaçãoMatemática gerados pelo modelo de Pesquisa Operacional.

3. A existência de uma ampla bibüoteca de modelos, já desenvolvidos e testados, facilitao desenvolvimenüo de novos progriìm.ìs.

A tradução deste guia para o Português é parte do esforço da J.M.Stern-P.O. de darsuporte para a crescente comunidade de usuários 9"4MS no Brasil. Esperamos tambémque a tradução do guia contribua p.ua o ensino de Pesquisa Operacional e todas as suasáreas de aplicação. Os interessados poderão obter uma versão estudantil de 9"4ME e algunssolvers, juntamente com uma pequena biblioteca de exemplos. Para tanto, contacte-nos nomdereço eletrônico abaixo. Somos gratos a vários alunos e professores da USP, UNICAMPe PUC-CAMP, por suas sugestões no trabalho de revisão desta tradução.

A biblioteca que acompanha a versão estudantil inclui exemplos nas áreas de Admi-nistração, Agro-Indústria, Comunicações, Desenvolvimento, Ecologia, Economia, Energia,Engenharia, Estatística, Finanças, Matemática, Nutrição, Planejamento, e Política de Co-mercio, Militar, de Tlansporte, Tlibutária, Urbana, etc.

J.M.Stern Pesquisa Operacional eEquipamentos de Informática Ltda.Rua Marcelino Ritter L, Pacaembu,01246-090, São Paulo, Brasil.Tel/Fax: (+55-1 1)-259-1217 3159-227 IBmail: stent@uso.net

I

I

tvll

PREFACIO

Este guia de estudos descreve os principais aspectos de 9"4ME (a sigla abrevia Gene-

ral Algebraic Modelling System) e ensina como usá-lo. gÁMS foi projetado para fazer a

construção e resolução de modelos matemáticos amplos e complexos de forma mais direta

para programadores, e mais inteligível para usuários de modelos em outras disciplinas, e.g.,

economisüas. Pelo fato de poder efetuar enunciados concisos de modelos em uma linguagem

que pode ser facilmente lida tanto por especialistas como por computadores, $ÁME pode

aumentar substancialmente a produtividade dos modelistas e expandir bastante a extensão

e o uso das aplicações de programação matemática em análise de políticas e tomadas de

decisão.O ímpeto para o desenvolvimento de $ÁMS adveio das experiências frustrantes de um

grupo de modelagem ecouômica do Banco Mundial. Mesmo as técnicas disponíveis mais

evoluídas para desenvolver e resolver, e.g., modelos econômicos multi-setoriais em larga

escala ou ainda modelos amplos de simulação e otimização em setores tais como agricultura,

siderurgia e fertilizantes, possuiam sérios defeitos. Os programadores do grupo escreviam

programas em FORTRAN para preparar a solução de cada modelo; o trabalho era entediante,

exigindo muitos esforços, e os erros eram fáceis de fazer e difíceis de achar. Além disso,

os economistas envolvidos freqüentemente achavam as representações computadorizadas de

seus modelos complicadas, consumindo muito tempo para a compreensão e o trabalho; o

programador do modelo, às vezes, era a única pessoa que conhecia exatamente como o modelo

funcionava. Assim, a demissão de um programador fazia com que demorassem meses até que

seu sucessor dominasse o programa. Os modelos também eram difíceis e caros demais para

serem mudados, especialmente se a mudança contemplada não houvesse sido planejada ou

prevista. Nas apresentações em seminários, os modeladores tinham que defender as versões

existentes dos modelos, algumas vezes irracionalmente, porque o tempo e dinheiro envolvidos

em mudanças tornavam as modificações própostas proibitivas. Esses modelos não podiam ser

adaptados a novos ambientes, não apenas pelo conhecimento especializado de programação

necessário, mas também porque os formatos de dados e os métodos de solução não eram

portáveis. gÁMS foi projetado para mudar essa situação, fornecendo uma estrutura de

sistemas e uma linguagem de programação na qual concisão de expressões, generalidade e

portabilidade são passíveis de facil manutenção, além de usar o computador para rastrear

tantos detalhes de programação quantos possíveis.

Tendo em vista as origens do sistema, não se consititui em surpresa que as pessoas que

desenvolveram 9,4MS devam considerável gratidão ao Banco Mundial. A pesquisa e desen-

volvimento de 9ÁMS foram custeados pela Comissão de Pesquisa do Banco (RPO671-58 e

623-06), e foram executados sob a direção de Alexander Meeraus no Centro de Pesquisa e De-

senvolvimento (mais tarde Departamento) em Washigton D.C. Muitas pessoas participaram

do projeto e da implementação do sistema em tempos diversos; uma vez que a atribuição

exata de cada um dos mesmos é impossível, nós simplesmente os listamos em órdem al-

façtica: Masood Ahmad, John Ayler, Jan Bisschop, Pete Bleyendaal, Tony Brooke, Henrik

vlll

Prefácio tx

Dú1, Arne Drud, Paul van der Eijk, Richard Inman, David Kendrick, Mohammed Ketabchi,yonatan Levi, Alex Meeraus, Soren Nielsen, Sethu Palaniappan, Helen Patton, Skip Paules,peter Pellemans, Mohammed Pourghadiri, e Ardy Stoutjesdijk. Os auüores principais do

sofiuaresão: Tony Brooke, Paul van der Eijk e Alexander Meerhaus'

Sem o apoio, compreensão, e compromisso da administração senior, o projeto seria

impossível. Em órdem cronológica, J. Duloy, A. Stoutjesdijk, e G. Ingram, foram os dire-

torls responsáveis pelo departamento, e Hollis B. Chennery e Anne O' Kreuger, os vice-

presidentes. B. Balassa, B. King e D. Lal foram administradores de pesquisa' Nós todos

muito lhes devemos.

Também muito devemos a Allan Manne e Michael Saunders. Eles revisaram incansavel-

mente sucessivas versões deste liwo e contribuirÍrm para torná-lo mais claro, menos prolixo

e mais didático. Peter Bocock fez um excepcional trabalho de edição e de arte final, e

também recebemos comentários e sugestões de J. Coüas, P. Manouchehri-Adib, B' McCul-

lough, B. Paulin, S. Rogers, e R. Rosenthal-

Somos também gratos a Roy Marsten e Micüael Saunders por cederem seu tempo gra-

tuitamente enquanto ZOOM e MINOS estavam sendo modificados para rodar com 9ÁMS.Também somos gratos àqueles que escreyeram partes deste livro: Rick Rosenthal, pelo

Capítulo 2, o tutorial; Philip Gill, Walter Murray, Bruce Murtagh, Michael Saunders e Mar-

g"r"tl Wright, pelo Apêndice D sobre 9/$I{S/MINOS; Roy Marsten e Jaya Singhal, pelo

Ápêndice Eìobre }AMSIZOOM. Um muito obrigado a todos os usuários de 9"4M8, que são

em demasiado número para serem mencionados individualmente, que fizeram comentários

sobre o softwore, nos mostrareÍn seus modelos, e relataram alguns erros.

Anthony BrookeThe Worlil Bank

David KendrickThe Uniuersity of Teras

Alexander MeerausThe World Bonk