OTTICA GEOMETRICA

L’ottica geometrica si occupa di tutta quella branca della fisica che ha a che fare con lenti,

specchi, vetri e cose simili. Viene chiamata “geometrica” in quanto non interessa la natura

della luce o dei raggi luminosi, ma solo la loro direzione. In altre parole, tutti i problemi

dell’ottica geometrica possono essere risolti grazie a costruzioni geometriche o simili.

RIFLESSIONE

Iniziamo citando le leggi fondamentali della riflessione, che dobbiamo tenere ben presenti,

in quanto sono indispensabili per la risoluzione di pressoché tutti i problemi ottici.

1. Il raggio riflesso giace nel piano determinato dal raggio incidente e dalla normale1 alla superficie

riflettente.

2. L’angolo di riflessione è uguale all’angolo di incidenza.

La prima legge ci dice che raggio riflesso e incidente sono sullo stesso piano, e che quindi

possono essere disegnati su una

superficie (i problemi quindi saranno

tutti bidimensionali).

La seconda legge invece ci dice che una

volta disegnato il raggio incidente,

sappiamo con precisione disegnare il

raggio riflesso (figura 1).

SPECCHI PIANI

Gli specchi piani sono la tipologia di specchi più semplice. Sono costruiti da lastre piane

ricoperte da una sottile pellicola riflettente, di solito alluminio. Hanno la peculiarità di

conservare le dimensioni dell’oggetto, ovvero possiede un ingrandimento uguale a 1.

Per formare l’immagine di uno specchio piano (che è sempre virtuale, in quanto si

costruisce con i prolungamenti dei raggi luminosi), si inviano alcuni raggi e si fanno

riflettere sullo

specchio. L’immagine

sarà data dai

prolungamenti dei

raggi dalla parte

opposta dello

specchio (figura 2).

1 Ovvero la retta perpendicolare alla superficie riflettente.

α α

Figura 1

Figura 2

SPECCHI SFERICI

Gli specchi sferici sono costruiti ricoprendo una superficie sferica con uno strato sottile

di materiale riflettente. A seconda della superficie trattata, lo specchio può essere

classificato come concavo o come convesso.

Viene definita apertura

dello specchio l’angolo

compreso dalle rette che

uniscono il centro di

curvatura con i punti

esterni dello specchio

stesso (figura 3).

Si definisce inoltre

“vertice dello specchio” il

punto dello specchio che si trova sull’asse ottico, ovvero il vertice della calotta. Il “fuoco”

è invece il punto situato a metà strada fra il centro di curvatura e il vertice dello specchio.

Possiamo, riferendoci alla figura 4, determinare alcune leggi di validità generale che ci

serviranno per risolvere moltissimi esercizi.

I raggi che sono paralleli

all’asse ottico vengono

riflessi nel fuoco;

I raggi passanti per il

centro di curvatura non

subiscono deviazione,

quindi ritornano

esattamente lungo il

percorso del raggio

incidente.

La totalità degli esercizi di ottica si possono risolvere utilizzando la legge dei punti

coniugati:

1

𝑑𝑜+

1

𝑑𝑖=2

𝑟

Dove con do abbiamo indicato la distanza dal vertice dell’oggetto, con di la distanza

dell’immagine e con r il raggio di curvatura.

In modo analogo, dato che sussiste la relazione 𝑟 = 2𝑓:

1

𝑑𝑜+

1

𝑑𝑖=1

𝑓

Angolo

apertura

Figura 3

centro

fuoco

vertice Asse ottico

Figura 4

Da tenere presente i segni delle distanze. Non ci sono regole precise, ma occorre

mantenere rigore durante le definizioni. Ovvero potremmo indicare come positive tutte le

distanze che misuriamo all’interno dello specchio, ovvero dalla parte concava. In tal maniera,

se l’immagine presenterà una distanza negativa, allora potremo asserire che l’immagine

sarà virtuale2.

Abbiamo una immagine reale nel seguente caso:

- SPECCHIO CONCAVO. L’immagine è reale quando l’oggetto si trova più lontano

del fuoco.

Abbiamo invece una immagine virtuale nei seguenti casi:

- SPECCHIO CONCAVO. L’immagine è virtuale quando l’oggetto si trova più

vicino del fuoco;

- SPECCHIO CONVESSO. L’immagine è sempre virtuale.

Tuttavia si potrebbe pensare che sia impossibile vedere una immagine virtuale, ma la

denominazione è solo fuorviante. Infatti le immagini virtuali sono perfettamente visibili ai

nostri occhi, in quanto il cristallino funge da lente convergente, creando quindi una

immagine reale della immagine virtuale.

Se per esempio disponiamo di uno specchio concavo, esso crea una immagine reale. Se

posizioniamo uno schermo, riusciremo a vedere l’immagine. Se invece abbiamo uno

specchio convesso, sul nostro schermo non risulterà alcuna immagine, segno che essa è

virtuale e non reale (figura 5).

2 L’immagine si definisce reale se è formata proprio dai raggi riflessi. Si definisce virtuale se è formata dai prolungamenti degli stessi.

????

schermo

Figura 5

RIFRAZIONE

Passiamo ora al fenomeno complementare alla riflessione. La rifrazione permette di

modificare la direzione dei raggi luminosi, che viaggiano sempre in linea retta. Anche in

questo caso raggio incidente e raggio rifratto giacciono sullo stesso piano.

Da verifiche sperimentali risulta che l’angolo di incidenza3 e l’angolo di rifrazione sono

legati da una relazione matematica molto semplice:

sin 𝑖

sin 𝑟= 𝑛

Dove i indica l’angolo di incidenza, r

l’angolo di rifrazione ed n l’indice di

rifrazione, una caratteristica tipica di ogni

materiale trasparente (figura 6, notare che

comunque una piccola parte del raggio

viene anche riflessa – indicata dalla freccia

tratteggiata).

Ufficialmente l’indice di rifrazione indica

il rapporto fra la velocità della luce nel

primo mezzo e quella nel secondo, quindi:

𝑛 =𝑣1𝑣2

Quindi possiamo inserire le velocità all’interno della formula precedente (chiamiamo vi la

velocità della luce nel mezzo in cui c’è il

raggio incidente, e con vr la velocità della

luce nel mezzo in cui c’è il raggio rifratto:

sin 𝑖

𝑣1=sin 𝑟

𝑣𝑟

LA RIFLESSIONE TOTALE

E’ possibile dimostrare che esiste un angolo di incidenza oltre il quale la luce non passa

più da un mezzo all’altro, ovvero non viene più rifratta, ma solo riflessa. Tale angolo si

chiama “angolo limite” (figura 7).

L’angolo limite possiamo trovarlo con la seguente formula:

sin 𝑟0 =1

𝑛

3 Ovvero l’angolo formato dal raggio e dalla normale alla lente.

n

i

r

Figura 6

Ovvero il seno dell’angolo limite è uguale

all’inverso dell’indice di rifrazione.

Su tale principio si basa la fibra ottica,

dove un lungo tubo di materiale plastico

viene attraversato da un segnale luminoso.

Le dimensioni fisiche del tubo fanno sì

che la luce sia sempre incidente contro le

pareti interne con un angolo superiore

all’angolo limite. In questo modo la luce

viene confinata all’interno e può essere

spedita da un capo all’altro del tubo.

LENTI SOTTILI

Le lenti sottili possono dividersi in due grandi categorie:

- Lenti convergenti;

- Lenti divergenti.

Le prime fanno convergere i raggi verso un punto detto fuoco, le seconde invece

allontanano ulteriormente i raggi l’uno dall’altro.

Anche in questo caso vale la legge dei punti coniugati, con lo stesso significato dei simboli:

1

𝑑𝑜+

1

𝑑𝑖=1

𝑓

Da notare come il rapporto 1 𝑓⁄ venga anche chiamato “potere diottrico”, misurato in

“diottrie”, ovvero m-1. In altre parole una lente con distanza focale 0.2 metri avrà un potere

diottrico di 1/0.2 = 5 diottrie. In figura 8 invece sono riportate alcune costruzioni

geometriche con le lenti.

Figura 8

convergente

divergente

n

I > angolo limite

Figura 7

PROBLEMI

1) Disponiamo di uno specchio concavo da 5 diottrie. Poniamo un oggetto ad una

distanza di 50 cm dal vertice. A quale distanza si forma l’immagine?

2) Posso mettere un oggetto davanti ad uno specchio in modo che si formi una

immagine di dimensione nulla?

3) Consideriamo una lastra piana di materiale trasparente, che ha un indice di

rifrazione n. Dimostrare che il raggio incidente alla lastra e il raggio rifratto all’uscita

della lastra sono paralleli.

4) Consideriamo la figura sottostante. Abbiamo una lente biconvessa, che presenta

raggi di curvatura diversi, uno per ogni faccia. Inoltre sulla destra c’è uno specchio

piano che riflette l’immagine. Calcolare la nuova immagine che si forma dopo la

riflessione dello specchio, sapendo che l’indice di rifrazione della lente è 1.5, e che

la faccia destra ha un potere diottrico di 4 diottrie, mentre la faccia sinistra ha un

potere diottrico di 2 diottrie. L’oggetto viene posto ad una distanza di 100 cm sulla

sinistra.