UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ESCOLA DE MINAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PROGRAMA DE PSGRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL

OTIMIZAO TOPOLGICA DE ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS

AUTOR: HLIO LUIZ SIMONETTI

ORIENTADOR: Prof. Dr. Valrio S. Almeida Prof. Dr. Francisco de Assis Neves

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao do Departamento de Engenharia Civil da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em Cincias da Engenharia Civil, rea de concentrao: Construo Metlica.

Ouro Preto, maio de 2009.

II

Catalogao: sisbin@sisbin.ufop.br

S598o Simonetti, Hlio Luiz. Otimizao topolgica de estruturas bidimensionais [manuscrito] / Hlio Luiz Simonetti - 2009. xv, 153f.: il., color.; graf. Orientador: Prof. Dr. Valrio Silva Almeida. Co-orientador: Prof. Dr. Francisco de Assis Neves. Dissertao (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. Programa de Ps Graduao em Engenharia Civil. rea de concentrao: Construo Metlica.

1. Otimizao estrutural - Teses. 2. Topologia - Teses. 3. Mtodo dos elementos finitos - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Ttulo.

CDU: 624.014

III

minha esposa Jacqueline e s minhas filhas

Marcella e Brunna pelo incentivo concluso

desta dissertao.

IV

Agradecimentos

Em primeiro lugar, quero agradecer a Deus que me deu fora e sade para poder

concluir este trabalho.

Ao professor Valrio, pela confiana e pela oportunidade de ser seu orientado,

alis, foi muito mais que um orientador, um verdadeiro educador, que soube conduzir

de maneira inteligente e eficaz todo o trabalho.

Ao professor Francisco de Assis, meu coorientador, pelas observaes que muito

ajudaram no desenvolvimento do trabalho.

Aos meus pais Aylton e Maria Jos pelo carinho e incentivo.

Aos professores Marcilio, Ricardo, Ernani e Joo Batista que, tambm,

participaram da minha formao.

UFOP por ter me acolhido e me dado esta oportunidade.

Usiminas pela Bolsa de Estudos.

V

Resumo

A Otimizao Topolgica um mtodo numrico capaz de fornecer, de forma

automtica, o leiaute de uma estrutura mecnica para que esta atenda um determinado

critrio de projeto. Assim, este trabalho inicia-se com uma reviso da literatura sobre

otimizao estrutural procurando familiarizar-se com o tema e suas diversas

abordagens. O mtodo estudado baseia-se numa anlise de elementos finitos,

destacando-se o elemento finito triangular de formulao livre.

Neste trabalho, aborda-se o problema de otimizao topolgica mediante o uso

de duas tcnicas: o convencional ESO Evolutionary Structural Optimization; sob

critrio de tenso mxima da estrutura num processo denominado de hard-kill, cuja

retirada de material feita de forma discreta; e uma nova tcnica evolucionria

desenvolvida neste trabalho denominada de SESO Smoothing ESO; cuja filosofia,

baseou-se na observao de que se o elemento no for realmente necessrio estrutura,

naturalmente sua contribuio de rigidez vai diminuindo progressivamente, at que ele

no tenha influncia da estrutura, isto , sua remoo feita de forma suave.

Para investigao e comprovao das tcnicas implementadas, foram avaliados

exemplos clssicos da elasticidade bidimensional dentro deste contexto, mediante os

benchmarks, conforme descritos na literatura sobre este assunto. Durante a investigao

foram analisados exemplos como o de peso prprio e alguns problemas da otimizao

topolgica como a formao do tabuleiro de xadrez e a dependncia da malha.

Assim, foi implementado um filtro espacial de tenso que associado tcnica SESO,

mostrou-se eficiente na eliminao dos mesmos.

Ao final so apresentadas as principais concluses alm de sugestes para

trabalhos futuros dentro desta rea de pesquisa.

Palavras Chave:

- Otimizao Topolgica, Otimizao Evolucionria ESO, Tcnica SESO, Mtodo dos

Elementos Finitos.

VI

Abstract

The Topology Optimization is a numerical method which is able to provide in an

automatic way the layout of a mechanic structure which attends a specific project

criterion. In such case, this work begins with a revision of the literature about the

structural optimization searching for a familiarization with the theme and its

approaching. The studied method bases on an analysis of finite elements, detached the

triangular finite element of free formulation proposed by Bergan and Felippa (1985).

In this context, it is approached the topology optimization problem through the

use of two techniques: the conventional ESO Evolutionary Structural Optimization,

under criterion of maximum stress of a structure in a procedure called hard-kill, which

material is slowly removed in the finite element mesh, and a new and evolutionary

technique, designated SESO Smoothing ESO, which philosophy is based on the

observation that if the element it is not really necessary in the structure, naturally your

severity contribution reduces progressively, until it does not have any influence of the

structure, it means it will be removed in a smooth way.

For the research and verification of the implemented techniques, were valued

classic examples of 2D elasticity in this context, on the benchmarks, as described in the

literature on this subject. During the investigation some examples, like those with body

force, and some problems of topological optimization were analyzed as the formation of

the "checkerboard" and "mesh-dependence", so it was implemented a special filter of

stress which is associated at the SESO technique was efficient in the exclusion of the

same.

At the end are presented the main conclusions and suggestions to future works

that are included in this research area.

Keywords:

- Topology Optimization, Evolutionary Structural Optimization ESO, Smoothing ESO,

Finite Element Method

VII

Sumrio

Captulo 1 Introduo .................................................................................................... 1

1.1 Introduo ............................................................................................................... 1 1.2 Motivao e Justificativa ........................................................................................ 4 1.3 Organizao do Texto............................................................................................. 5

Captulo 2 Otimizao Estrutural Topolgica ............................................................... 6

2.1 Introduo ............................................................................................................... 6 2.2 Reviso Bibliogrfica ............................................................................................. 6 2.3 Mtodos de Otimizao Topolgica ..................................................................... 12

2.3.1 Mtodo de Otimizao Topolgica SIMP (Simple Isotropic Material with Penalization) ........................................................................................................... 13 2.3.2 Mtodo de Otimizao Topolgica TSA (Topological Sensitivity Method) 15 2.3.3 Mtodo de Otimizao Topolgica ESO (Evolutionary Structural Optimization) .......................................................................................................... 17

2.4 Problemas Numricos da Otimizao Topolgica................................................ 17 2.4.1 Tabuleiro de Xadrez (Checkerboard) ............................................................ 18 2.4.2 Dependncia da Malha................................................................................... 19 2.4.3 Mnimos Locais ............................................................................................. 20

Captulo 3 Otimizao Estrutural Evolucionria - O Convencional ESO................... 22

3.1 Introduo ............................................................................................................. 22 3.2 O Mtodo Convencional ESO .............................................................................. 23 3.3 O Mtodo ESO em Tenso de Von Mises............................................................ 25 3.4 Nibbling ................................................................................................................ 29 3.5 ndice de Performance .......................................................................................... 31 3.6 Elemento Finito Estado Plano de Tenses.........................................................33 3.7 Estudos de Caso.................................................................................................... 34

3.7.1 Problema de duas Barras............................................................................. 34 3.7.2 Mo-francesa .............................................................................................. 39

Captulo 4 Otimizao Estrutural Evolucionria Suavizada (SESO) ......................... 43

4.1 Introduo ............................................................................................................. 43 4.2 Otimizao Estrutural Evolucionria Suavizada (SESO)..................................... 44 4.3 Filtros .................................................................................................................... 46 4.3.1 Filtros de Densidade .................................................................................. 46 4.3.2 Filtros de Vizinhana Fixa......................................................................... 47

VIII

4.4 Eliminao do Tabuleiro de Xadrez ..................................................................... 48 4.5 Algoritmo da Suavizao...................................................................................... 51 4.6 Estudos de Caso.................................................................................................... 53

4.6.1 Problema de duas Barras................................................................................ 53 4.6.2 Mo-francesa ................................................................................................. 55 4.6.3 Viga Curta bi-apoiada com Carga Concentrada ............................................ 57

Captulo 5 Resultados Numricos................................................................................ 64

5.1 Introduo ............................................................................................................. 64 5.2 Exemplos com cargas concentradas ..................................................................... 65

5.2.1 Estrutura de Michell.................................................................................... 65 5.2.2 - Viga biengastada com carga concentrada.................................................... 70

5.3 Exemplos com vrios casos de cargas concentradas ............................................ 73 5.3.1 - Exemplo 1 - Viga biapoiada ........................................................................ 73 5.3.2 - Exemplo 2 - Viga biapoiada ........................................................................ 77

5.4 Estruturas com buracos no domnio .................................................................. 79 5.4.1 Aspectos Gerais .......................................................................................... 79 5.4.2 Exemplo 1 Problema de duas Barras .......................................................... 80 5.4.3 Exemplo 2 Viga biapoiada.......................................................................... 83 5.4.4 Exemplo 3 Viga biapoiada.......................................................................... 87 5.4.5 Exemplo 4 Chapa Parafusada ..................................................................... 91 5.4.6 Exemplo 5 Chapa Retangular ..................................................................... 97

5.5 Peso prprio ........................................................................................................ 101 5.5.1 Ma.......................................................................................................... 101 5.5.2 Exemplo 1 - Viga Biapoiada..................................................................... 106 5.5.3 Exemplo 2 Viga Biapoiada ....................................................................110 5.5.4 Viga MBB................................................................................................. 113

5.6 Aplicaes em engenharia civil e mecnica ....................................................... 114 5.6.1 Braadeira de formato U........................................................................... 115 5.6.2 Viga em Balano....................................................................................... 117 5.6.3 Estrutura de Ponte..................................................................................... 120 5.6.4 Estrutura bidimensional de uma bicicleta................................................. 125 5.6.5 Modelo de Strut-and-Tie - Formato T ...................................................... 128 5.6.6 Modelo de Strut-and-Tie - Console .......................................................... 132 5.6.7 Viga de Formato L.................................................................................... 136

Captulo 6 Concluses e Sugestes ........................................................................... 141

6.1 Introduo ........................................................................................................ 141 6.2 Concluses ....................................................................................................... 141 6.3 Sugestes ......................................................................................................... 143

Referncias Bibliogrficas.............................................................................................145

IX

Lista de Figuras

Figura 1.1-Principais abordagens da Otimizao Estrutural ............................................ 2 Figura 1.2-Procedimento bsico de um projeto de OT .................................................... 3 Figura 2.1-Modelo de material com microestrutura peridica de vazios retangulares... 14 Figura 2.2-Modelo de material com microestrutura artificial......................................... 14 Figura 2.3-Domnio perturbado ...................................................................................... 16 Figura 2.4- Tabuleiro de Xadrez presente na topologia.................................................. 18 Figura 2.5- Dependncia da malha no problema de OT................................................. 20 Figura 2.6- Grficos de funes representando diferentes topologias............................ 21 Figura 3.1- Ilustrao de Otimizao de Forma ............................................................. 24 Figura 3.2- Ilustrao da Otimizao Topolgica .......................................................... 24 Figura 3.3- Algoritmo Evolucionrio ............................................................................. 25 Figura 3.4- Procedimento ESO em TVM ....................................................................... 28 Figura 3.5- Atuao do Nibbling Convencional ............................................................. 29 Figura 3.6- Atuao do Nibbling neste Trabalho ........................................................... 30 Figura 3.7- Procedimento do ndice de Performance .....................................................32 Figura 3.8- Geometria e os 9 graus de liberdade do elemento de chapa ........................ 33 Figura 3.9- Problema de duas barras .............................................................................. 35 Figura 3.10- Configurao tima do problema de duas barras (ESO) ........................... 35 Figura 3.11- Configurao tima do problema de duas barras (ESO) ........................... 36 Figura 3.12- Configurao tima do problema de duas barras (ESO) ........................... 36 Figura 3.13- Configurao tima do problema de duas barras (ESO) ........................... 36 Figura 3.14- Configurao tima do problema de duas barras (ESO) ........................... 37 Figura 3.15- Configurao tima do problema de duas barras (ESO) ........................... 37 Figura 3.16- Configurao tima do problema de duas barras (ESO) ........................... 37 Figura 3.17- Viga curta biapoiada .................................................................................. 38 Figura 3.18- Configurao tima de uma viga biapoiada (ESO) .................................. 39 Figura 3.19- Mo Francesa ............................................................................................. 39 Figura 3.20- Configurao tima da Mo-francesa (ESO)............................................. 40 Figura 3.21- Configurao tima da Mo-francesa (ESO)............................................. 40 Figura 3.22- Configurao tima da Mo-francesa (MEC)........................................... 41 Figura 3.23- Configurao tima da Mo-francesa (ESO) .............................................41 Figura 3.24- Configurao tima da Mo-francesa (ESO) ........... ................................. 41 Figura 3.25- Configurao tima da Mo-francesa (ESO) .............................................42 Figura 3.26- Configurao tima da Mo-francesa (ESO)..............................................42 Figura 4.1- Ilustrao da suavizao do volume de elementos retirados na iterao i ... 45 Figura 4.2- Ilustrao da evoluo do volume com a variao da funo reguladora.... 46 Figura 4.3- Abrangncia do filtro espacial em malhar regular ....................................... 47 Figura 4.4- Elemento central i sofrendo influncia dos elementos vizinhos .................. 48 Figura 4.5- Elemento central sofrendo influncia dos elementos dentro de um crculo. 49 Figura 4.6- Fluxograma do SESO................................................................................... 52 Figura.4.6.1- Configuraes timas do problema de duas barras (SESO) ..................... 53 Figura.4.6.2- Configurao tima do problema de duas barras (SESO) ........................ 54 Figura.4.6.3- Configurao tima do problema de duas barras (SESO)......................... 54 Figura.4.6.4- Configurao tima do problema de duas barras (SESO)......................... 54 Figura.4.6.5- Configurao tima do problema de duas barras (SESO)......................... 55

X

Figura.4.6.6- Grfico RR por Nmero de Elementos ..................................................... 55 Figura.4.6.7- Configurao tima da Mo-francesa (SESO).......................................... 56 Figura.4.6.8- Configurao tima da Mo-francesa (SESO).......................................... 56 Figura 4.6.9- Configurao tima da Mo-francesa (SESO).......................................... 57 Figura 4.6.10- Configurao tima da Mo-francesa (SESO)........................................ 57 Figura.4.6.11- Viga curta biapoiada ............................................................................... 58 Figura.4.6.12- Configurao tima de uma viga curta biapoiada(SESO) ...................... 58 Figura.4.6.13- Configurao tima de uma viga curta biapoiada(SESO) ...................... 59 Figura 4.6.14- Evoluo do volume e ndice de performance por iterao .................... 59 Figura 4.6.15- Tenso de Von Mises por iterao (ESO)............................................... 60 Figura 4.6.16- Razo de Rejeio por iterao............................................................... 60 Figura.4.6.17- Configurao tima de uma viga curta biapoiada(SESO) ...................... 61 Figura.4.6.18- Configurao tima de uma viga curta biapoiada(SESO) ...................... 61 Figura 4.6.19- Evoluo do volume e ndice de performance por iterao(SESO)........ 62 Figura 4.6.20- Evoluo da tenso de Von Mises por iterao ...................................... 62 Figura 4.6.21- Evoluo de Razo de Rejeio por iterao .......................................... 63 Figura 5.1- Estrutura de Michell..................................................................................... 65 Figura 5.2-Domnio inicial para Estrutura de Michell.................................................... 66 Figura 5.3- Configurao tima para estrutura de Michell (ESO) ................................. 66 Figura 5.4- Configurao tima para estrutura de Michell (ESO) ................................. 66 Figura 5.5- Configurao tima para estrutura de Michell (ESO) ................................. 67 Figura 5.6- Configurao tima para estrutura de Michell (SESO) ............................... 67 Figura 5.7- Configurao tima para estrutura de Michell (SESO) ............................... 67 Figura 5.8- Configurao tima para estrutura de Michell (SESO) ............................... 68 Figura 5.9- Evoluo do volume e ndice de performance por iterao ......................... 68 Figura 5.10- Grfico da Razo TVM por Nmero de Iteraes ..................................... 69 Figura 5.11- Configurao tima (estrutura de Michell) obtida por Liang .................... 69 Figura 5.12- Configurao tima (estrutura de Michell) obtida por Querin .................. 69 Figura 5.13- Viga curta biengastada ............................................................................... 70 Figura 5.14- Configurao tima de uma viga curta biengastada(ESO) ........................ 71 Figura 5.15- Configurao tima de uma viga curta biengastada(ESO) ........................ 71 Figura 5.16- Configurao tima de uma viga curta biengastada(ESO) ........................ 71 Figura 5.17- Configurao tima de uma viga curta biengastada por Wang ................. 72 Figura 5.18- Configurao tima de uma viga curta biengastada(SESO)...................... 72 Figura 5.19- Configurao tima de uma viga curta biengastada(SESO)...................... 72 Figura 5.20- Configurao tima de uma viga curta biengastada(SESO).......................73 Figura 5.3.1- Viga curta biapoiada ................................................................................. 74 Figura 5.3.2- Configurao tima de uma viga biapoiada (ESO) .................................. 74 Figura 5.3.3- Configurao tima de uma viga biapoiada (ESO) .................................. 74 Figura 5.3.4- Configurao tima de uma viga biapoiada (ESO) .................................. 75 Figura 5.3.5- Viga curta biapoiada Configurao tima ............................................. 75 Figura 5.3.6- Configurao tima de uma viga biapoiada (SESO) ................................ 75 Figura 5.3.7- Configurao tima de uma viga biapoiada (SESO) ................................ 76 Figura 5.3.8- Configurao tima de uma viga biapoiada (SESO) ................................ 76 Figura 5.3.9- Configurao tima de uma viga biapoiada (SESO) ................................ 76 Figura 5.3.10- Configurao tima de uma viga biapoiada (SESO) .............................. 77 Figura 5.3.11- Configurao tima de uma viga biapoiada (SESO) .............................. 77

XI

Figura 5.3.12- Viga curta biapoiada Configurao tima ........................................... 77 Figura 5.3.13- Viga biapoiada ........................................................................................ 78 Figura 5.3.14- Configurao tima viga biapoiada (SESO)........................................... 78 Figura 5.3.15- Viga biapoiada Configurao tima ....................................................79 Figura 5.4.1- Problema de duas barras Domnio com buraco ..................................... 80 Figura 5.4.2- Problema de duas barras Configurao tima........................................ 81 Figura 5.4.3- Configurao tima do problema de duas barras com buraco (ESO)....... 81 Figura 5.4.4- Configurao tima do problema de duas barras com buraco (ESO)....... 81 Figura 5.4.5- Configurao tima do problema de duas barras com buraco (ESO)....... 82 Figura 5.4.6- Configurao tima do problema de duas barras com buraco (SESO)..... 82 Figura 5.4.7- Configurao tima do problema de duas barras com buraco (SESO)..... 83 Figura 5.4.8- Configurao tima do problema de duas barras com buraco (SESO)..... 83 Figura 5.4.9- Viga biapoiada .......................................................................................... 84 Figura 5.4.10- Configurao tima de uma viga biapoiada com buracos (ESO) ........... 84 Figura 5.4.11- Configurao tima de uma viga biapoiada com buracos (ESO) ........... 85 Figura 5.4.12- Configurao tima de uma viga biapoiada com buracos (ESO) ........... 85 Figura 5.4.13- Configurao tima de uma viga biapoiada com buracos (SESO)......... 85 Figura 5.4.14- Configurao tima de uma viga biapoiada com buracos (SESO)......... 86 Figura 5.4.15- Configurao tima de uma viga biapoiada com buracos (SESO)......... 86 Figura 5.4.16- Viga biapoiada Configuraes timas ................................................. 87 Figura 5.4.17- Viga biapoiada ........................................................................................ 88 Figura 5.4.18- Configurao tima de uma viga biapoiada com buraco (ESO)............. 88 Figura 5.4.19- Configurao tima de uma viga biapoiada com buraco (ESO)............. 89 Figura 5.4.20- Configurao tima de uma viga biapoiada com buraco (ESO)............. 89 Figura 5.4.21- Configurao tima de uma viga biapoiada com buraco (SESO) .......... 89 Figura 5.4.22a- Configurao tima de uma viga biapoiada com buracos (SESO) ....... 90 Figura 5.4.22b- Configurao tima de uma viga biapoiada com buracos (SESO) ....... 90 Figura 5.4.23- Viga biapoida Configurao tima ...................................................... 90 Figura 5.4.24- Chapa Parafusada.................................................................................... 91 Figura 5.4.25- Chapa Parafusada.................................................................................... 91 Figura 5.4.26- Configurao tima de uma chapa parafusada (ESO) ............................ 92 Figura 5.4.27- Configurao tima de uma chapa parafusada (ESO) ........................... 92 Figura 5.4.28- Configurao tima de uma chapa parafusada (ESO) ............................ 93 Figura 5.4.29- Configurao tima de uma chapa parafusada (SESO) .......................... 93 Figura 5.4.30- Configurao tima de uma chapa parafusada (SESO) .......................... 94 Figura 5.4.31- Configurao tima de uma chapa parafusada (SESO) .......................... 94 Figura 5.4.32- Michell truss............................................................................................ 94 Figura 5.4.33- Configurao tima de uma chapa parafusada (ESO) ............................ 95 Figura 5.4.34- Configurao tima de uma chapa parafusada (ESO) ............................ 95 Figura 5.4.35- Configurao tima de uma chapa parafusada (ESO) ............................ 95 Figura 5.4.36- Configurao tima de uma chapa parafusada (SESO) .......................... 96 Figura 5.4.37- Configurao tima de uma chapa parafusada (SESO) .......................... 96 Figura 5.4.38- Configurao tima de uma chapa parafusada (SESO) .......................... 96 Figura 5.4.39- Michell truss............................................................................................ 97 Figura 5.4.40- Chapa biapoiada...................................................................................... 98 Figura 5.4.41- Chapa biapoiada Configurao tima.................................................. 98 Figura 5.4.42- Configurao tima de uma chapa biapoiada (ESO) .............................. 99

XII

Figura 5.4.43- Configurao tima de uma chapa biapoiada (ESO) .............................. 99 Figura 5.4.44- Configurao tima de uma chapa biapoiada (ESO) .............................. 99 Figura 5.4.45- Configurao tima de uma chapa biapoiada (SESO).......................... 100 Figura 5.4.46- Configurao tima de uma chapa biapoiada (SESO).......................... 100 Figura 5.4.47- Configurao tima de uma chapa biapoiada (SESO).......................... 100 Figura 5.5.1- Ma........................................................................................................ 102 Figura 5.5.2- Configurao tima ma (ESO) ............................................................ 102 Figura 5.5.3- Configurao tima ma (ESO) ............................................................ 103 Figura 5.5.4- Processo evolucionrio ESO................................................................... 103 Figura 5.5.5- Configurao tima ma(SESO)...........................................................104 Figura 5.5.6- Configurao tima ma (SESO) .......................................................... 104 Figura 5.5.7- Processo evolucionrio SESO................................................................. 105 Figura 5.5.8- Topologia semelhante a uma ma .........................................................105 Figura 5.5.9- Fluxo de Tenso ...................................................................................... 106 Figura 5.5.10- Configurao tima viga biapoiada ......................................................107 Figura 5.5.11- Viga curta biapoiada ............................................................................. 107 Figura 5.5.12- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(ESO)........ 108 Figura 5.5.13- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(ESO)........ 108 Figura 5.5.14- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(ESO)........ 108 Figura 5.5.15- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(SESO) ..... 109 Figura 5.5.16- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(SESO) ..... 109 Figura 5.5.17- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(SESO) ..... 109 Figura 5.5.18- Viga curta biapoiada ............................................................................. 110 Figura 5.5.19- Viga curta biapoiada - domnio............................................................. 110 Figura 5.5.20- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(ESO)........ 111 Figura 5.5.21- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(ESO)........ 111 Figura 5.5.22- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(ESO)........ 111 Figura 5.5.23- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(SESO) ..... 112 Figura 5.5.24- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(SESO) ..... 112 Figura 5.5.25- Configurao tima de uma viga biapoiada (peso prprio)(SESO) ..... 112 Figura 5.5.26- Domnio viga MBB(peso prprio)........................................................ 113 Figura 5.5.27- Viga MBB Configurao tima ......................................................... 113 Figura 5.5.28- Configurao tima de uma viga MBB (peso prprio) (SESO) ........... 114 Figura 5.5.29- Configurao tima de uma viga MBB (peso prprio) (SESO) ........... 114 Figura 5.5.30- Configurao tima de uma viga MBB (peso prprio) (SESO) ........... 114 Figura 5.6.1- Braadeira em formato U........................................................................ 115 Figura 5.6.2- Configurao tima de uma Braadeira em U(SESO)............................ 116 Figura 5.6.3- Configurao tima de uma Braadeira em U(SESO)............................ 116 Figura 5.6.4- Configurao tima de uma Braadeira em U(SESO)............................ 116 Figura 5.6.5- Evoluo volume por iterao................................................................. 117 Figura 5.6.6- Evoluo tenso Von Mises por iterao................................................ 117 Figura 5.6.7- Viga em balano...................................................................................... 118 Figura 5.6.8- Viga em balano Configurao tima.................................................. 118 Figura 5.6.9- Configurao tima de uma viga em balano (SESO) ........................... 119 Figura 5.6.10-Configurao tima de uma viga em balano (SESO) .......................... 119 Figura 5.6.11- Configurao tima de uma viga em balano (SESO).......................... 119 Figura 5.6.12- Evoluo do volume por iterao.......................................................... 120

XIII

Figura 5.6.13- Evoluo da Tenso por iterao .......................................................... 120 Figura 5.6.14- Domnio de projeto inicial com suporte fixo ........................................ 121 Figura 5.6.15- Configurao tima de uma estrutura de ponte (SESO) ....................... 121 Figura 5.6.16- Configurao tima de uma estrutura de ponte (SESO) ....................... 122 Figura 5.6.17- Configurao tima de uma estrutura de ponte (SESO) ....................... 122 Figura 5.6.18- Estrutura de ponte - Querin................................................................... 122 Figura.5.6.19- Configurao tima de uma estrutura de ponte (SESO) ....................... 123 Figura.5.6.20- Configurao tima de uma estrutura de ponte (SESO) ....................... 123 Figura.5.6.21- Configurao tima de uma estrutura de ponte (SESO) ....................... 124 Figura 5.6.22- Evoluo da tenso de Von Mises por iterao .................................... 124 Figura 5.6.23- Evoluo do volume por iterao.......................................................... 124 Figura 5.6.24- Evoluo Razo de Rejeio por iterao............................................. 125 Figura 5.6.25- Evoluo do ndice de performance por iterao.................................. 125 Figura 5.6.26- Domnio inicial de projeto de uma bicicleta ......................................... 126 Figura.5.6.27- Configurao tima de uma bicicleta (SESO) ...................................... 127 Figura.5.6.28- Configurao tima de uma bicicleta (SESO) ...................................... 127 Figura.5.6.29- Configurao tima de uma bicicleta (SESO) ...................................... 127 Figura 5.6.30- Modelo de Strut-and-Tie Formato T.................................................. 128 Figura 5.6.31- Modelo de Strut-and-Tie Configurao tima ................................... 129 Figura 5.6.32- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie (ESO) .......................... 129 Figura 5.6.33- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie (ESO)........................... 130 Figura 5.6.34- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie (ESO)........................... 130 Figura 5.6.35- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie (SESO)......................... 131 Figura 5.6.36- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie (SESO)......................... 131 Figura 5.6.37- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie (SESO)......................... 132 Figura 5.6.38- Modelo de Strut-and-Tie - Console ......................................................133 Figura 5.6.39- Modelo de Strut-and-Tie Configurao tima ................................... 135 Figura 5.6.40- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie - console (ESO) ........... 134 Figura 5.6.41- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie - console (ESO) ........... 134 Figura 5.6.42- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie - console (ESO) ........... 135 Figura 5.6.43- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie - console (SESO)......... 135 Figura 5.6.44- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie - console (SESO)......... 136 Figura 5.6.45- Configurao tima Modelo de Strut-and-Tie - console (SESO)......... 136 Figura 5.6.46- Geometria de formato L........................................................................ 137 Figura 5.6.47- Configurao tima da Geometria de formato L (ESO) ....................... 138 Figura 5.6.48- Configurao tima da Geometria de formato L (ESO) ....................... 138 Figura 5.6.49- Configurao tima da Geometria de formato L (ESO) ....................... 138 Figura 5.6.50- Configurao tima da Geometria de formato L (SESO)..................... 139 Figura 5.6.51- Configurao tima da Geometria de formato L (SESO)..................... 139 Figura 5.6.52- Configurao tima da Geometria de formato L (SESO)..................... 140 Figura 5.6.53- Fluxo de tenso (ESO) .......................................................................... 140 Figura 5.6.54- Fluxo de tenso (SESO)........................................................................ 140

XIV

Lista de Abreviaturas

OT Otimizao Topolgica

OTEE Otimizao Topolgica Estrutural Evolucionria

MOT Mtodo de Otimizao Topolgica

SIMP Solid Isotropic Microstructure with Pernalization

ESO Evolutionary Structural Otimization

SESO Evolutionary Structural Otimization Smoothing

MEC Method Element Boundary

IP Performance Index

TSA Topological Sensitivity Analysis

BCBTOA Bacterial Chemotaxis Based Topology Optimization Algorithm

SA Simulated Anneling

DAS Design Sensitivity Analysis.

AESO Additive Evolutionary Structural Optimization

BESO Bi-directional Evolutionary Structural Optimization

TVM Tenso de Von Mises

BGMMA Gradient Based Method of Moving Asymptotes

PBO Performance-based Optimization

DFE Domnio Fixo Estentido

MEF Mtodo de Elementos Finitos

HCA Hybrid cellular automata

AG Algoritmo Gentico

XV

Lista de Smbolos E Mdulo de Elasticidade

iV Volume do elemento i na i-sima iterao

0V Volume da estrutura na primeira iterao VM0 Tenso mxima de Von Mises na primeira iterao VMi Tenso mxima de Von Mises do elemento i na i-sima iterao (j) Funo ponderadora

Coeficiente de Poisson ponderadoi Tenso de Von Mises ponderada do elemento i

iA rea do elemento i

jA rea do elemento j VMj Tenso de Von Mises do elemento j

w Peso NV Nmero de elementos cujos centrides esto no interior da circunferncia

MAXR Raio mximo da circunferncia

ijR Distncia entre os centrides dos elementos i e j

0D Matriz constitutiva inicial do projeto

D(j) Matriz constitutiva do ponto j Densidade volumtrica Domnio da estrutura ( )f Funo reguladora

Conjunto dos elementos que sero removidos da estrutura Conjunto dos elementos que no sero removidos da estrutura

x Componente normal do tensor de tenses na direo x

y Componente normal do tensor de tenses na direo y

xy Componente de tenso de cisalhamento

i Tenso do elemento i

n Tenso do elemento j u Deslocamento horizontal v Deslocamento vertical

z Rotao azimutal VMe Tenso de Von Mises mxima do elemento MXVM Tenso de Von Mises mxima da estrutura

RR Razo de rejeio ER Razo evolucionria VI Volume da estrutura na iterao i VRI Volume retirado por iterao

1

Captulo 1

1.1 Introduo

Neste primeiro captulo, destacada a importncia da Otimizao Topolgica

(OT), tema deste trabalho dentro do contexto atual de projeto, assim como, a relevncia

e motivao para desenvolv-lo. Por fim, ser feita uma descrio geral dos tpicos

abordados em cada um dos captulos subsequentes.

A Otimizao Topolgica (OT) um campo de pesquisa da engenharia que tem

o objetivo de encontrar um projeto (estrutura) com melhor desempenho e que satisfaa

as restries impostas ao mesmo. A avaliao do desempenho esta associada a algum

critrio, que pode ser: a distribuio de tenses ao longo da estrutura, descartando

regies do domnio, onde no haja o fluxo de tenses, ou este seja de muito baixo valor,

mxima carga de flambagem crtica, mnima freqncia crtica.

A OT um tema recente no campo da otimizao estrutural. Entretanto, os

conceitos bsicos que do suporte terico ao mtodo foram estabelecidos h mais de um

sculo, Rozvany et al. (1995) faz uma boa reviso desses conceitos. A grande vantagem

da Otimizao Topolgica (Topology Optimization) em contraste com os mtodos

tradicionais de otimizao, como a Otimizao de Forma (Shape Optimization) ou a

Otimizao Paramtrica (Size Optimization), que esses so capazes de alterar o

leiaute da estrutura original, auxiliando o projeto conceitual da estrutura. A seguir,

feito uma abordagem entre os trs tipos de otimizao que possvel realizar numa

estrutura.

Na primeira abordagem, a estrutura apresenta a forma e a topologia fixa, ou seja,

variam-se as dimenses da seo transversal de seus componentes tais como: dimetro

espessura, altura, por exemplo. Este tipo de abordagem denominado de otimizao

paramtrica, Vanderplaats (1994). Desta forma, uma vez estabelecido que certa seo

transversal da estrutura seja circular, esta geometria no se altera, apenas o valor de seu

dimetro otimizado, segundo as funes de restries. A figura 1.1a mostra o

problema de otimizao paramtrica para uma estrutura de trelia.

2

Na segunda abordagem, um pouco mais genrica, a estrutura apresenta forma

varivel e a topologia fixa, no ocorrendo insero de buracos. Nesta abordagem, as

variveis de projeto definem o contorno do domnio, cuja forma alterada durante o

processo de otimizao. Este mtodo denominado Otimizao de Forma, Haftka e

Grandhi (1986), ver figura 1.1b.

Diferentemente da otimizao de forma na qual as variveis de projeto que

definem o contorno so alteradas em cada iterao durante o processo de otimizao, a

OT, terceira e ltima abordagem apresenta como principais caractersticas a insero de

buracos e domnio fixo estendido (dimenses do projeto so mantidas fixas durante todo

o processo iterativo), Bendse e Kikuchi (1988). Na procura pela soluo tima, a OT

distribui o material por todo o domnio, de tal forma que se possa otimizar um

determinado critrio como o de tenso mxima da estrutura.

Na OT so obtidos os melhores resultados, pois a insero de buracos confere

estrutura um melhor desempenho se comparado s otimizaes de forma e

paramtrica, ver figura 1.1.c. Pode-se dizer que a otimizao de forma e a paramtrica

so casos particulares da OT.

Figura 1.1 Principais Abordagens, 1.1a Otimizao Paramtrica,

1.1b Otimizao de Forma e 1.1c Otimizao Topolgica

Bendse e Sigmund (2002)

A soluo tima encontrada usando a OT resulta na topologia de uma estrutura

com vazios, normalmente a imagem desta topologia fornece um resultado primrio, uma

a)

b)

c)

3

vez que o nvel de refinamento da malha de elementos finitos e a possvel presena de

regies decorrentes de instabilidades numricas, como por exemplo, instabilidade de

tabuleiro de xadrez (checkeboard) e a dependncia da malha inviabilizam a fabricao

da estrutura sintetizada. Deste modo, o resultado precisa ser interpretado usando

otimizao de forma ou tcnicas de processamento de imagem. As modificaes

decorrentes desta interpretao alteram a performance da estrutura, o que torna

indispensvel uma anlise por elementos finitos deste resultado. O procedimento

descrito est esboado na figura 1.2.

Figura 1.2 Procedimento caracterstico de um projeto de otimizao topolgica

Silva (2001).

Finalizando, a OT valiosa e til na etapa inicial do desenvolvimento estrutural,

de forma a auxiliar o engenheiro na busca por um produto otimizado, capaz de

satisfazer as condies de projeto e conferir a este uma maior eficincia e se possvel

com um custo menor com material. A OT encontra aplicao em diversas reas como

automotiva, aeronutica, naval, mecnica, civil, dentre outras.

4

1.2 Motivao e Justificativa

A otimizao estrutural envolve um processo de integrao de vrias reas do

conhecimento entre elas a Engenharia, Matemtica e a Computao. A maioria dos

mtodos de otimizao trata o problema de forma matemtica onde se procura

maximizar ou minimizar uma funo objetivo, satisfazendo ao mesmo tempo

determinadas restries.

Em contramo ao rigor matemtico, o mtodo de otimizao ESO, um

processo de otimizao, feito de forma intuitiva e heurstica Xie e Steven (1997)

baseado no simples conceito de remoo gradual de material ineficiente da estrutura,

sendo que o restante tende a se comportar como uma estrutura com melhor perfomance.

Vrios problemas de otimizao estrutural forma resolvidos usando o mtodo

ESO, como exemplo pode citar: minimizar peso tornando a estrutura mais eficiente

usando critrio de tenso, maximizar ou minimizar frequncias naturais e minimizar

peso mantendo limites de rigidez e deslocamentos.

Este mtodo possui algumas caractersticas importantes como: facilidade de

implementao, base terica simples, possibilita, simultaneamente, a otimizao de

forma, dimenso e de topologia. Alm disso, este mtodo ganhou muito espao nos

ltimos anos com a possibilidade de aplicaes na rea da Engenharia Civil, Engenharia

Aeroespacial, Mecnica e Automotiva, tais caractersticas motivam esta pesquisa sobre

a Evolutionary Structural Optimization (ESO).

Entretanto, sabe-se que o ESO um procedimento que possui alguns gargalhos,

que surgem em funo da retirada de elemento do modelo. Este procedimento

conhecido como hard-kill, pois a retirada de material feita de forma discreta; isto ,

os elementos com tenses baixas, que esto sendo usados ineficientemente tm suas

matrizes constitutivas bruscamente reduzidas. Para diminuir os efeitos negativos dessa

retirada, o presente trabalho prope um procedimento de retirada menos agressivo, isto

, mais suave, onde ao invs de eliminar o elemento, diminui-se sua influncia no

modelo de maneira a diminuir seus parmetros de rigidez. Assim, cria-se uma

5

alternativa ao ESO, denominado de SESO, que indica a Suavizao do ESO, ou

Smoothing ESO, o qual apresentado no capitulo quatro.

1.3 Organizao do Texto

Em seguida introduo, motivao e justificativa abordada neste capitulo, o

capitulo dois apresenta uma reviso bibliogrfica a respeito da otimizao estrutural e os

mtodos de otimizao topolgica SIMP, TSA e ESO. Foi feita tambm, uma breve

explanao dos problemas numricos enfrentados pela otimizao topolgica, tais

como: tabuleiro de xadrez (checkerboard), dependncia da malha e mnimos locais.

Aps a apresentao dos mtodos de otimizao topolgica, o capitulo trs faz

uma explicao do Clssico ESO tendo como base o critrio de tenso mxima da

estrutura, sua implementao computacional, sendo apresentados dois estudos de caso

para ilustrar o conceito de otimizao topolgica (ESO) para problemas de elasticidade

plana linear.

No capitulo quatro, proposto uma nova tcnica de otimizao (SESO), que

uma suavizao do ESO, sua formulao e implementao. apresentada, tambm,

uma sequncia de trs exemplos numricos, dos quais dois so resolvidos apenas com a

tcnica SESO, o outro foi resolvido com as duas tcnicas para fazer uma comparao

entre eles. Assim, foram apresentados alguns grficos, com o objetivo de analisar

algumas das variveis de projeto.

O captulo cinco apresenta uma sequncia de resultados numricos aplicados a

OT, considerando: carga pontual, mltiplos casos de carga, efeitos da restrio da

geometria da estrutura, peso prprio, estrutura com buracos e aplicaes na engenharia

civil para as formulaes mencionadas, em Estado Plano de Tenso, considerando

material isotrpico, comportamento linear, sendo os mesmos avaliados e comparados

entre si.

No captulo seis, so feitas as consideraes finais sobre o presente trabalho e

tambm algumas sugestes para trabalhos futuros.

6

Captulo 2

Otimizao Estrutural Topolgica

2.1 Introduo

Neste capitulo apresentado o estudo bibliogrfico acerca do tema discutido

nesta dissertao, envolvendo a otimizao estrutural baseada no mtodo de elementos

finitos (MEF) com nfase na otimizao topolgica estrutural evolucionria (OTEE).

Esta reviso bibliogrfica apresenta, inicialmente, a trajetria da otimizao

estrutural, destacando-se seus tipos e mtodos. Em seguida, feita uma breve

explanao dos principais mtodos de otimizao topolgica SIMP, ESO e TSA.

2.2 Reviso Bibliogrfica

A otimizao estrutural tem origem com a otimizao de leiaute, evoluindo para

as otimizaes paramtricas e de forma, respectivamente, que por sua vez contriburam

para o surgimento da otimizao topolgica.

Pode-se dizer que, os primeiros passos da otimizao estrutural foram

introduzidos no final do sculo XIX, com o precursor trabalho de Maxwell (1872) apud

Coutinho (2006) no qual buscava o menor volume para estruturas uniaxiais submetidas

a carregamentos. Segundo Coutinho (2006), em 1904, Michell deu continuidade ao

trabalho de Maxwell, suas famosas estruturas ainda hoje so citadas na teoria moderna

de Otimizao Topolgica. Michell projetou estruturas treliadas, nas quais buscava o

menor peso, observando as tenses nas barras para cada caso de carga. Mas, somente no

final dos anos 50, com o trabalho de Cox (1958) o seu trabalho foi contemplado.

Nos anos 60, os estudos sobre otimizao de leiaute avanam e conseguem

determinar tanto a localizao dos membros estruturais como a disposio e seo

transversal tima, Zhou e Rozvany (1991).

7

S nos anos 70, alguns problemas de leiaute foram, tambm, resolvidos, como os

de Hemp (1973) e o de Prager (1974), ambos para uma classe muito restrita de

estruturas, vistos como uma extenso do conceito de otimizao de estruturas de

trelias, desenvolvido por Michell (1904).

Na dcada de 80, com a utilizao do MEF, varias publicaes foram feitas,

podendo ser citados Cheng e Olhoff (1981), Khon e Strang (1986a) que investigaram a

natureza do problema, correspondente maximizao da rigidez de placas delgadas

considerando a espessura como varivel de projeto, e concluram que para este

problema de otimizao existem vrias solues timas locais. Rozvany et al. (1982)

tambm chegaram mesma concluso.

Em meados dos anos 80, os resultados das otimizaes de forma e paramtricas

comeam a ser questionados, pois estes apresentavam grandes problemas quando se

deseja alterar a topologia (ou distribuio de material) de uma estrutura, uma vez que a

mudana da topologia implica constante alterao, durante o processo de otimizao, do

modelo de elementos finitos associados estrutura no inicio do processo, isto , a cada

iterao o problema fsico modificado e o algoritmo deve prever a atualizao da

malha de elementos finitos a cada iterao, o que complexo. Com a necessidade de se

aprimorar a otimizao de forma, surge no final da dcada, a Otimizao Topolgica

(OT), Bendse e Kikuchi (1988) com uma metodologia de domnio fixo estendido,

inicialmente no mtodo da Homogeneizao.

A metodologia criada por Bendse e Kikuchi para OT foi inspirada nos

trabalhos de Cheng e Olhoff (1981) e de Cheng e Olhoff (1982) que tratavam da

otimizao de espessuras de chapas e placas, Lurie et al. (1982), Goodman et al. (1986),

Kohn e Strang (1986a) que estudaram a otimizao para projetos de barras de toro

construdas com dois materiais com diferentes propores volumtricas e Rozvanay et

al. (1982), que investigaram a formulao matemtica para o problema de maximizao

da rigidez (com restrio de volume) de placas delgadas, onde a varivel de projeto a

espessura e concluram para este problema de otimizao que existem vrios timos

locais.

Tal metodologia capaz de fornecer, simultaneamente, topologia e forma timas

estrutura, ressaltando que tal topologia tima resulta em uma configurao no suave

da forma tima exata do contorno da estrutura. O que se tem uma forma tima

8

preliminar. A idia que a otimizaao topolgica seja utilizada, inicialmente, sendo em

seguida empregado uma dos mtodos clssicos de otimizao de forma. Esta segunda

etapa passa a ser realizada de forma mais rpida e eficiente, uma vez que j se parte de

uma topologia tima e de uma forma j bem prxima da exata, conforme Porto (2006).

Assim, alguns trabalhos no sentido de integrar os mtodos de otimizao foram

desenvolvidos, entre eles pode-se destacar: Olhoff et al. (1991) onde os mtodos so

integrados em um sistema, em que a topologia serve como um pr-processador das

otimizaes de forma e paramtrica conferindo a estes resultados finais bem melhores.

Tambm, pode-se destacar nesta mesma vertente os trabalhos de Sienz e Hilton (1997),

Tang e Chang (2001) e Kikuchi et al. (1995) que usaram a otimizao topolgica para

maximizar frequncia de ressonncia de estruturas, obtidas a partir de meios contnuos.

A Otimizao Topolgica (OT) pode ser dividida em duas classes distintas: A

OT a partir de um meio discreto e a OT a partir de um meio contnuo. A primeira

subdivida em dois grupos: a OT de estruturas de malha contnua (gridlike continua)

que trabalha com um nmero infinito de barras rgidas separadas por um espao

infinitesimal, cuja soluo obtida, analiticamente, e a OT de estruturas discretas

(ground structural), que considera o domnio de projeto com vrios pontos

distribudos, que podem ser uma possvel ligao de trelias, cuja soluo obtida

numericamente, segundo Lima (2002).

Com o desenvolvimento da otimizao topolgica, vrios trabalhos surgiram no

meio acadmico. Em Canfield e Frecker (2000) pode-se encontrar uma formulao do

problema de OT e o mtodo de soluo (Programao Linear Seqencial e Critrio de

Otimalidade) num domnio discretizado com elementos de trelia via MEF. Cho e Choi

(2005) utilizam otimizao topolgica combinada com a termo-elasticidade, o mtodo

de otimizao topolgica foi formulado aplicando o mtodo DSA, Design Sensitivity

Analysis.

Dentre os mtodos de otimizao de leiaute que consideram malhas variveis

durante o processo esto os mtodos de otimizao estrutural evolutiva, conhecidos na

literatura como (ESO), do ingls Evolutionary Structural Optimization. A idia

principal destes mtodos consiste na proposio de um critrio eficiente, capaz de

avaliar a contribuio de cada elemento na resposta do sistema; e na ttica de remoo

dos elementos que possuem a menor sensibilidade, ver Hilton e Sienz (1995), Xie e

9

Steven (1996), Chu et al. (1996), Christie et al. (1998), Reynolds et al. (1999), Querin et

al. (2000a), Querin et al. (2000b), Rong et al. (2000).

O mtodo ESO sofre grande influncia da taxa de remoo e isso traz algumas

desvantagens, como: a ocorrncia de extremidades dentadas e de interconexes

estruturais, dando origem a mecanismos e concentrao de tenso, Coutinho (2006).

Uma evoluo do ESO o AESO do ingls Additive Evolutionary Structural

Optimization, ver Querin et al. (2000a), como o nome sugere, no (AESO) mtodo de

otimizao estrutural evolucionaria aditiva, os elementos so inseridos nos domnios da

estrutura onde so necessrios. A introduo desses elementos na estrutura feita

usando uma otimizao evolutiva semelhante ao clssico (ESO).

Uma combinao do ESO com o AESO d origem ao mtodo BESO do ingls

Bi-directional Evolutionary Structural Optimization, proposto em Querin (2000a).

Neste mtodo, o material pode ser acrescentado ou removido segundo combinaes de

equaes do ESO e AESO.

Liang, Xie e Steven (2000a) propem em seu trabalho, uma maneira de

monitorar a eficincia estrutural das configuraes encontradas ao longo do processo

evolucionrio de otimizao estrutural, que tem como critrio de projeto a rigidez, e

com isso, determinar o momento de encerrar o processo evolucionrio. Um ndice de

performance estrutural inserido para avaliao da eficincia estrutural da nova

topologia encontrada a cada iterao. Quando este parmetro atinge o valor mximo

tem-se o trmino do processo evolucionrio.

Chen e Kikuchi (2001) investigam, tambm, o problema de otimizao com

cargas dependentes do projeto. Ao invs das superfcies de carga serem parametrizadas,

um carregamento trmico fictcio, simulando a carga dependente, proposto. O modelo

de material isotrpico com penalidade , novamente, empregado. O problema de

otimizao transformado em um problema de distribuio de material trifsico

constitudo de slido, vazio e fluido hidrosttico. A programao linear sequencial

(PLS) utilizada para resolver o problema de otimizao.

Em Cardoso e Fonseca (1999) a formulao adotada por estes autores na

otimizao estrutural, impe uma restrio aos gradientes das variveis de projeto no

problema de minimizao de volume, com restries de flexibilidade mdia

(complience). Foi criado um filtro independente da malha aplicado sobre os limites-

10

mveis da programao linear sequencial capaz de contornar alguns problemas da

otimizao topolgica como o tabuleiro de xadrez (checkerboard), que se caracteriza

pela formao na topologia tima de regies contendo vazios e elementos slidos, que

se alternam de forma semelhante a um tabuleiro de xadrez, e a dependncia da malha.

Proos (2002) desenvolve e analisa o conceito de otimizao topolgica com

multicritrio ESO. Nesta abordagem utilizou vrios critrios entre eles: anlise esttica

linear, freqncias naturais, momento de inrcia e maximizao de regidez.

Labanowski et al. (2004) investigam uma comparao entre os mtodos de

otimizao topolgica SIMP, TSA e ESO. O mtodo SIMP baseado na utilizao de

um material artificial intermedirio, cujo comportamento constitutivo definido por um

parmetro associado densidade do material. O mtodo ESO baseado no clculo da

funo objetivo, quando um elemento removido da malha de elementos finitos. A

TSA resulta em uma funo escalar, denominada Derivada Topolgica, que fornece

para cada ponto do domnio de definio do problema a sensibilidade de uma dada

funo custo quando um pequeno furo criado.

Tovar (2005) estudou uma tcnica que combina regras de evoluo de clulas

autmatas, com anlise estrutural por elementos finitos, do ingls hybrid cellular

automata (HCA). Esta tcnica mostrou ser eficiente na resoluo de problemas de

otimizao topolgica para obteno de estruturas mais leves com mxima rigidez.

Pereira (2006) fez uma explanao sobre a otimizao topolgica em problemas

de elasticidade envolvendo no-linearidade geomtrica (grandes deslocamentos e

rotaes) e no-linearidade de material, no caso, hiperelasticidade no-linear quase-

incompressvel, aplicando o conceito de Anlise de Sensibilidade Topolgica (TSA)

atravs de uma formulao Lagrangiana Total.

Porto e Pavanello (2007) investigam a influncia dos parmetros da otimizao

estrutural topolgica, baseada na teoria da homogeneizao, sobre seus resultados

timos. Neste trabalho, estudada uma clula-base quadrada unitria de vazio central

retangular, suas propriedades mecnicas so determinadas a partir de uma abordagem de

homogeneizao e do mtodo de elementos finitos. O tensor elstico definido para

cada elemento finito do modelo estrutural global e a soluo tima do problema de

11

maximizao da energia potencial total obtida atravs de um algoritmo iterativo

baseado nos critrios de otimalidade.

A fim de encontrar o mnimo absoluto de uma funo objetivo sem ser sensvel

posio de partida, um mtodo de otimizao global tem de ser empregado nos

problemas de otimizao estrutural. As tcnicas de otimizao Estocsticas so muito

adequadas a este respeito. Estas tcnicas no so sensveis ao ponto de partida, pois elas

podem escapar dos pontos de timo local, pois permitem o movimento aleatrio para

cima o que constitui uma grande vantagem. Outra vantagem dessas tcnicas so que elas

no requerem as derivadas da funo objetivo ou restries, sendo um algoritmo de

ordem zero.

Sonmez (2008) investiga as duas tcnicas estocsticas mais populares de

otimizao: o Algoritmo Gentico (AG) e Simulated Annealing (SA). O AG um

algoritmo de busca probabilstica baseado no processo de seleo natural e na gentica,

ou seja, na sobrevivncia do mais adaptado (teoria de Darwin). Inicialmente,

considerada uma populao vivel de solues para o problema. Tal populao capaz

de se reproduzir e sofrer mutaes, criando-se, desta forma, uma nova gerao de

possveis solues. Contudo, apenas as solues mais adaptadas passam prxima

gerao, sendo descartadas aquelas solues que menos se ajustam ao objetivo do

problema, de forma semelhante evoluo natural, e, eventualmente, conduzindo

soluo tima.

AG so algoritmos de busca baseados no mecanismo de seleo natural das

espcies. Combinam a sobrevivncia do indivduo mais adequado com um intercmbio

estruturado e aleatrio de informaes para formar um algoritmo de busca. A cada

gerao, um novo conjunto de indivduos criado usando parte dos antigos. As

principais caractersticas deste mtodo so: codificao dos parmetros, a busca feita a

partir de uma populao de pontos e no em um nico ponto como dos algoritmos

determinsticos, utiliza somente a funo custo e usa regras probabilsticas de transio.

O Simulated Anneling (SA) recozimento simulado, o qual simula o processo

de recozimento e teve seu algoritmo inspirado por estudos na mecnica estatstica que

trata do equilbrio de um grande nmero de tomos em slidos e lquidos a uma dada

temperatura.

12

Simulated Anneling (SA) um algoritmo de otimizao confivel para encontrar

o timo global, isto , tem maior probabilidade de encontrar o timo global, mesmo

com um grande nmero de variveis de projeto. A principal desvantagem destas

tcnicas a exigncia de um nmero muito grande de iteraes para a convergncia.

Guzmn et al. (2008) usam uma nova metologia de otimizaao topolgica que

combina anlise estrutural pelo MEF com uma estratgia de otimizaao inspirada no

bacterial chemotaxis. O principio do BCBTOA (Bacterial Chemotaxis Based

Topology Optimization Algorithm) bem simples. A estrutura evolui para uma

configurao tima por uma redistribuio sistemtica de material no interior do

domnio de projeto, reforando as reas de sobrecarga e removendo o material onde este

no requerido. Inspirou-se no comportamento coletivo autnomo organizado mostrado

pelas bactrias marinhas thiovulum majus. O domnio de projeto construdo pelo MEF

e representa o ambiente, onde uma colnia de bactrias pode movimentar. O objetivo

que um nmero mximo de bactrias da colnia sobreviva. Assim, para aumentar a

chance de sobrevivncia de um nmero mximo de indivduos da colnia, a cada

iterao elas trocam informaes sobre a concentrao de nutrientes na sua atual

localizao, com base nestas informaes as bactrias localizadas em posies com

baixas concentraes de nutrientes movem-se para posies mais favorveis.

2.3 Mtodos de Otimizao Topolgica

Os mtodos de otimizao topolgica buscam a soluo tima atravs da

variao do domnio, isto , topologia da estrutura e no que diz respeito a estruturas

contnuas, so divididos em duas grandes classes de abordagens, conforme Eschenauer

e Olhoff (2001) a abordagem micro, ou baseado no material, e abordagem macro, ou

baseada na geometria.

A abordagem micro, a primeira desenvolvida, baseada na existncia de uma

micro estrutura porosa, que define as relaes constitutivas do material em funo da

sua geometria e da densidade volumtrica de uma clula unitria representativa do

material que por sua vez representada por variveis contnuas, sucessivamente

distribudas, no espao do domnio fixo estendido, que consiste numa regio do espao

13

onde pode existir a estrutura, um dado carregamento, uma dada fixao e certa

quantidade de material, Stump (2006).

O domnio fixo estendido discretizado por uma malha de elementos finitos que

no se altera ao longo do processo de otimizao e permite calcular as respostas

mecnicas. A otimizao consiste em determinar quais pontos da estrutura devem

possuir ou no material; deste modo, a distribuio das densidades parametrizada de

modo que cada ponto do domnio fixo estendido possa variar entre (0) e (1),

respectivamente, para ausncia de material e presena de material. Os algoritmos

baseados nesta tcnica buscam a melhor forma de distribuir o material minimizando ou

maximizando a funo custo. Um exemplo para este grupo o mtodo SIMP (Simple

Isotropic Material with Penalization) Bendse (1989), Rozvany et al. (1992).

Na abordagem macro (geomtrica), a topologia da estrutura modificada

atravs da insero de vazios no domnio. Como exemplo deste grupo de OT pode-se

citar o ESO (Evolutinary Structural Optimization) que baseado no clculo da funo

objetivo quando um elemento removido da malha de elementos finitos e TSA

(Topological Sensitivity Analysis) que baseado em uma funo escalar, denominada

Derivada Topolgica, que fornece para cada ponto do domnio de definio do

problema a sensibilidade da funo custo quando um pequeno furo criado,

Labanowski et al. (2004).

O foco deste trabalho est relacionado ao processo de otimizao topolgica,

sendo apresentado a seguir um breve comentrio sobre alguns destes mtodos.

2.3.1 Mtodo de Otimizao Topolgica SIMP (Simple Isotropic Material with Penalization)

Nesta abordagem, a existncia ou no de material tratada atravs do uso de um

modelo de material fictcio, que pode adotar comportamento intermedirio entre slido

e vazio. Assim, o processo de otimizao pela tcnica SIMP definido pela equao:

[ ] [ ] xe 0,1 ,E(x)E(x) 0n = (2.1) onde n um nmero denominado coeficiente de penalizao, cujo valor deve ser maior

que 1(um) para penalizar o aparecimento de densidades intermedirias. Esta idia foi,

14

inicialmente, proposta por Bendse e Kikuchi (1988) baseada no conceito de

microestruturas e de homogeneizao, ver figuras 2.1 e 2.2.

Figura 2.1 Modelo de material com microestrutura peridica de vazios retangulares

Porto (2006).

Uma vez utilizado o modelo de material com vazios retangulares, as variveis de

projeto do problema de otimizao passam a ser as dimenses geomtricas do vazio

central, a e b, assim como a orientao da clula-base, , no meio heterogneo.

Figura 2.2 Modelo de material com microestrutura artificial

Porto (2006).

O mtodo SIMP, basicamente, prope que a microestrutura desconhecida

(da

a denominao artificial), mas sua rigidez conhecida, Pereira (2001). O mtodo da

homogeneizao conduz a um problema de otimizao muito caro computacionalmente,

pois, dependendo da geometria da clula unitria, muitos parmetros devem ser

otimizados. Devido a isso, vrios autores tm utilizado microestruturas artificiais, nas

15

quais a nica varivel de projeto a densidade de material ( )x . O uso de microestruturas artificiais, alm de garantir a existncia da mistura entre os dois

materiais isotrpicos de base, conduz, naturalmente, a projetos mais simples,

principalmente se forem utilizadas em conjunto com alguma tcnica de filtragem,

Sant'Anna (2002).

Um critrio de tenso para o modelo SIMP deve ser simples tal como a relao

entre densidade e rigidez. A isotropia das propriedades de rigidez devem ser estendidas

para o modelo de tenso. A restrio de tenso aplicada no modelo SIMP a restrio

de tenso de Von Mises VM :

0 se 1 > n

VM (2.2)

Esta restrio reflete a atenuao de fora de um meio poroso que surge quando

uma tenso mdia est distribuda na microestrutura local, o que significa que as tenses

permanecem finitas e no nulas para as densidades zero, Bahia (2005). A OT com

restrio de tenso est sujeita ao fenmeno de instabilidade que ocorrem devido

degenerao do espao de projeto ento, o algoritmo no consegue atingir o timo sem

violar a restrio de tenso, este tema foi abordado por Kirsch (1990), Cheng e Jiang

(1992) e Cheng e Guo (1997) que propuseram uma relaxao nas regies de baixa

densidade (altamente deformadas).

2.3.2 Mtodo de Otimizao Topolgica TSA (Topological Sensitivity Method)

A derivada topolgica uma funo escalar, estabelecida em todo o domnio de

definio do problema, que fornece a sensibilidade de uma determinada funo custo

quando um pequeno furo criado em determinado ponto, Novotny (2003), veja figura

2.3.

16

(a) (b)

Figura 2.3 - (a) Domnio original (sem furo), (b) Domnio perturbado (com furo).

Novotny (2003)

No caso especfico de problemas estruturais, objetiva-se modificar o domnio

e seu contorno, atravs do clculo da sensibilidade da funo custo introduo de um

vazio, que corresponde a impor condies de contorno de Neumann homognea sobre a

fronteira do furo introduzido. Se o domnio perturbado mediante a introduo de

um pequeno furo centrado no ponto escolhido arbitrariamente x , tem-se um novo

domnio ee B= , cujo contorno denotado por ee B= , onde eee BBB =

um crculo de raio centrado no ponto x . Dessa forma, tem-se um domnio

sem furo e outro e com um pequeno furo eB . Considerando uma funo custo , a

Derivada Topolgica definida matematicamente, conforme a equao abaixo

encontrada em Garreau et al. (2001).

( ) ( ) ( )( )

fxD eT

=

0lim (2.3)

Onde ( )f uma funo regularizadora negativa, monotnica e decrescente, tal que ( ) 0f com ( )100

17

2.3.3 Mtodo de Otimizao Topolgica ESO (Evolutionary Structural Optimization)

Em funo do grande nmero de operaes envolvidas nos algoritmos baseados

em programao matemtica, tcnicas alternativas surgiram na literatura. Xie e Steven

(1993) desenvolveram uma maneira bem simples de impor modificaes na topologia

da estrutura, feita mediante heurstica de remoo gradual de elementos finitos da

malha, correspondentes a regies que no contribuem, efetivamente, para a boa

performance da estrutura. Esta tcnica, denominada ESO, foi primeiramente aplicada no

processo de otimizao topolgica para a minimizao das tenses em componentes

mecnicos.

O critrio escolhido para a Otimizao Evolucionria Estrutural neste trabalho

a diminuio da massa em um critrio de tenso mxima da estrutura. Assim, o

processo de otimizao usando a tcnica ESO definido pela inequao:

RR. vmmaxvm

e< (2.4)

Desta forma os elementos que satisfazem a inequao (2.4) sero removidos da

estrutura, pois so considerados ineficientes. Na inequao (2.4) RR o atual raio de

rejeio, ele usado para retardar o processo de remoo dos elementos e s ser

atualizado por ER (razo de evoluo) depois que um estado de equilbrio seja

alcanado. Uma explicao deste mtodo ser apresentada no capitulo 4.

O critrio de otimilidade usado por ESO incluiu a rigidez, Chu et al. (1996),

minimizao da tenso Li et al. (1999a), deformao Xie e Steven. (1997), formao de

ondas Manickarajah et al. (1998), rigidez a toro Li et al. (1999b), entre outros.

2.4 Problemas Numricos da Otimizao Topolgica

Com a consolidao do processo de Otimizao Topolgica surgiram vrias

linhas de pesquisas e aplicaes. Parte da comunidade cientfica dedicou-se ao estudo

dos problemas inerentes sua formulao e outra s aplicaes em problemas de

engenharia.

18

As principais contribuies relacionadas aos problemas de instabilidades

numricas como: tabuleiro de xadrez, dependncia da malha e os mnimos locais, foram

dadas por: Jog e Haber (1996), Haber et al. (1996), Sigmund (1997), Sigmund e

Peterson (1998), Cardoso e Fonseca (1999), Zhou et al. (2001), Stolpe e Svanberg

(2001.a), Bourdin (2001), Pousen (2002), Zhang e Duysinx (2003) e Matsui e Terada

(2004).

Os problemas mencionados acima sero brevemente comentados a seguir.

2.4.1 Tabuleiro de Xadrez (Checkerboard)

O problema numrico da instabilidade de tabuleiro, conhecido na literatura como

checkerboard, caracteriza-se pela formao na topologia tima de regies contendo

vazios (sem material) e slidos (com material), que alternam de forma semelhante a um

tabuleiro de xadrez conforme indica a figura 2.4.

Figura 2.4 Tabuleiro de xadrez presente na topologia

Porto (2006).

So muitos os trabalhos sobre este assunto, mas no existe um consenso entre os

pesquisadores sobre qual a melhor explicao para tal fenmeno. Existem duas

abordagens que aparecem com mais aceitao dentro da comunidade cientfica,

propostas por Diaz e Sigmund (1995). A primeira defendem a idia de que esta

Tabuleiro de Xadrez

19

instabilidade ocorre devido s aproximaes numricas utilizadas pelo Mtodo de

Elementos Finitos.

Segundo estes autores, a configurao em forma de tabuleiro apresenta uma

rigidez maior do que a homognea, quando comparada em termos de deformao de

cisalhamento e volume constante. Esta abordagem tambm defendida por Bendse e

Sigmund (2003) e sugerem como tcnica para eliminao desta instabilidade que ocorre

quando se utilizam na formulao de elementos finitos, os elementos com funes de

interpolao bi-lineares, por exemplo, elementos quadrilteros de quatro ns ou

triangulares de trs ns, a implementao com elementos de alta ordem (8 e 9 ns), pois

estes elementos poderiam simular de forma mais precisa o campo dos deslocamentos

podendo, ento, reduzir a ocorrncia deste problema.

A segunda abordagem defendida por Jog e Haber (1996) que utilizaram a teoria

de elementos finitos mistos para expressar o problema da OT, com dois campos fsicos:

campo dos deslocamentos e das densidades, de forma similar ao problema de Stokes

(problema de distribuio das presses em problemas de escoamento de fludos no qual

distribui dois campos fsicos: campo das velocidades e das presses) ver Oden et al.

(1982). Entretanto, todas as combinaes demandam elementos de alta ordem, pelo

menos na interpolao dos deslocamentos. Devido dificuldade de implementao e o

alto custo computacional nestas duas abordagens surgem os filtros como alternativa de

reduo da instabilidade de tabuleiro que ser comentado a seguir.

2.4.2 Dependncia da Malha

O problema da dependncia da malha, que ocasiona diferentes solues finais

para diferentes discretizaes surge justamente do fato de discretizar o domnio. Quando

o domnio contnuo discretizado, o espao das solues passa a ter dimenso finita.

Assim, a cada nova discretizaao, uma nova soluo mais refinada pode ser encontrada,

SantAnna (2002).

Na Otimizao Topolgica seria esperado que quanto mais refinada a malha

melhores seriam os resultados, entretanto, observa-se que com o aumento da

discretizao a topologia tima tende a se alterar, aumentando o nmero de buracos e

20

de membros da estrutura e o resultado qualitativamente diferente de um modelo com

uma malha mais grosseira, ver figuras 2.5. Assim, alguns trabalhos para a

independncia da malha foram propostos como controle do permetro (restrio dos

permetros dos buracos formados na topologia), Haber e Jog (1996), restries dos

gradientes local e global, Bendse e Sigmund (2004), controle do gradiente local e

global modificado, Zhou et al. (2001), filtros independentes da malha, Bendse e

Sigmund (2004), Sigmund e Peterson (1998). Vale ressaltar que esta tcnica tem um

comportamento heurstico, portanto uma filosofia diferente da anterior e tem capacidade

de eliminar o aspecto de tabuleiro.

Figura 2.5 Dependncia da malha no problema de OT com restrio de tenso VM: (a)

malha com 3840 elementos triangulares (b) malha com 19200 elementos triangulares.

2.4.3 Mnimos Locais

Refere-se ao problema da obteno de diferentes solues para o mesmo

problema ao se escolher diferentes parmetros para o algoritmo. A no-convexidade do

problema leva a possibilidade de encontrar muitos mnimos locais e diferentes solues

para a mesma discretizao quando so utilizados diferentes parmetros iniciais no

algoritmo de otimizao. Isto ocorre porque as provas de convergncias dos algoritmos

funcionam para programao convexa, enquanto que para programao no convexa

apenas garante-se a convergncia para pontos estacionrios, que no so

necessariamente mnimos globais. Os algoritmos de otimizao global disponveis so,

21

em sua maioria, incapazes de lidar com uma grande quantidade de variveis de projetos,

o que o caso da otimizao topolgica.

As tcnicas descritas, anteriormente, para controlar o aparecimento de

instabilidades como tabuleiro de xadrez e dependncia da malha tendem a tornar o

problema convexo, fazendo com que, dessa forma, no alterados os parmetros, a

topologia final possa ser reproduzida, Sigmund e Petersson (1998).

Este o grande problema da OT que extremamente sensvel a pequenas

modificaes em seus parmetros, como nmero de elementos, geometria inicial, RR

(raio de rejeio), ER (razo de evoluo), por exemplo. A anlise experimental

mostrou que modificaes nestes parmetros podem causar a no convergncia do

problema.

As funes e funcionais envolvidos no problema de otimizao topolgica,

geralmente, so no-convexas, tanto devido no-linearidades na funo objetivo

quanto nas restries, podendo dessa forma possuir inmeros mnimos locais,

SantAnna (2002). A figura 2.6 ilustra os tipos de soluo em problemas de otimizao

topolgica.

Figura 2.6 (a) funo no-convexa, onde A e B representam duas diferentes

topologias; (b) funo no estritamente convexa: existe um valor mnimo (C e D), que

correspondem a vrios conjuntos distintos de valores para a varivel de projeto x; (c)

Funo convexa com unicidade de soluo (ponto E).

SantAnna (2002)

22

Captulo 3

Otimizao Estrutural Evolucionria - O Convencional ESO

3.1 Introduo

O principal objetivo da otimizao estrutural encontrar a melhor distribuio

de material dentro de um domnio de projeto fixo, e que satisfaa as restries impostas

ao mesmo. A distribuio de material modificada, levando em considerao alteraes

em algum comportamento mecnico da estrutura, tal como tenso, frequncias naturais,

rigidez, flexibilidade, mnima massa, entre outros.

Em termos matemticos, procura-se uma soluo pertencente ao espao nR , que

extremize uma funo objetivo, isto , determina os extremos dessa funo (mximo ou

mnimo, dependendo do problema) dentro de uma regio de projeto denominada regio

vivel ou factvel. Esta regio rene os pontos de projeto que atendem restries de

projeto, frequentemente classificadas em restries de igualdade ou desigualdade.

A seleo da funo objetivo muito importante para o processo, deve sempre

ser funo das variveis de projeto, e muitas vezes, est relacionada com a questo

financeira, por exemplo, quando o funcional a ser minimizado o volume da estrutura,

est-se minimizando o material gasto, que por sua vez, pode acarretar uma diminuio

nos custos.

Neste captulo, ser apresentado o Mtodo de Otimizao Evolucionria (ESO)

tendo como base o critrio de mxima tenso da estrutura, pois esse mtodo apresenta

algumas vantagens devido a sua heurstica evolutiva, uma vez que apresenta uma base

terica simples, possui fcil implementao, possibilita otimizar forma, topologia e

dimenso, simultaneamente, e ainda se contrapem ao rigor matemtico dos mtodos de

otimizao clssicos como BFGS, Lagrangiano Aumentado e Newton Rhapson,

Nocedal e Wright (1999).

A principal vantagem do ESO, quando comparado com os mtodos estocsticos

mais populares Algoritmo Gentico (AG) e Simulated Annealing (AS), a

convergncia mais rpida, j que os mtodos estocsticos por serem algoritmos de

23

ordem zero, tambm, possuem fcil implementao, mas demandam um nmero muito

grande de iteraes para convergir.

Finalmente, em relao ao mtodo de homogeneizao que extremamente

dependente da geometria da clula unitria utilizada, por isso, apresenta muitos

parmetros a serem otimizados, proporcionando um alto custo computacional. O

mtodo ESO foi escolhido por apresentar todas as vantagens citadas acima e ainda

apresentar uma formulao matemtica que proporciona robustez e eficincia ao

mtodo, tal formulao pode ser encontrada em Querin (1997).

3.2 O Mtodo Convencional ESO

O mtodo de otimizao estrutural evolucionria ESO foi desenvolvido a partir

de observaes das estruturas na natureza tais como ossos, rvores e conchas, numa

tentativa de se analisar como essas estruturas adquiriram forma ao longo do processo de

evoluo natural, Xie e Steven (1993).

O mtodo ESO um mtodo de otimizao de forma e topologia baseado no

conceito de remoo do material ineficiente, sendo que o material no removido tende

a se comportar como uma estrutura melhor adaptada as suas funes, Xie e Steven

(1997). um processo heurstico que para remover os elementos de forma gradual e

iterativa, necessita da criao de um critrio de rejeio. Este critrio uma maneira de

avaliar a contribuio de cada elemento na estrutura de modo a determinar quais

elementos sero removidos e quais permanecero a cada iterao.

O mtodo convencional ESO tem um procedimento que conhecido como

hard-kill (mata todos os elementos que atendem a inequao 2.4) e pode ser

interpretado como segue:

= j se 0

j se )( 0

DjD (3.1)

onde )( jD a matriz constitutiva do ponto j , 0D a matriz constitutiva inicial do

projeto, += o domnio da estrutura e

= RR

MAXVM )(

/ e

o conjunto

24

dos elementos que no sero removidos da estrutura (slido)

25

3.3 O Mtodo ESO em Tenso de Von Mises

Entre os muitos mtodos de otimizao que tem sido desenvolvido, um continua

muito atrativo devido sua simplicidade e vem se desenvolvendo cada vez mais nos

ltimos anos. o mtodo de Otimizao Estrutural Evolucionrio (ESO). Desde a sua

criao em 1992 por Xie e Steven, ESO um mtodo de otimizao que usa um critrio

de remoo de elementos baseado em tenses (Von Mises) de cada elemento em

componentes estruturais. Neste caso, os elementos finitos sujeitos aos menores valores

de tenso so removidos da malha, ver figura 3.3, a estrutura novamente analisada e o

processo repetido. Este procedimento prossegue at que se atinja uma saturao no

campo de tenses da estrutura, ou seja, o valor de tenso atuante em todo domnio seja,

praticamente constante e muito prximo da tenso admissvel do material ou que seja

atingido o limite de remoo de material.

Fig. 3.3 Algoritmo Evolucionrio: baseado na

retirada de elemento da malha

O critrio de rejeio usado para selecionar os elementos com os menores

valores de tenso em toda a estrutura. Para o caso de estado plano de tenso,

bidimensional e material isotrpico, a tenso utilizada a tenso equivalente de Von

Mises, calculada no centride de cada elemento e dada pela expresso:

xy3 2yyx

2x

vmmax ++= (3.2)

Retirada do e-simo elemento

26

Onde x e y so respectivamente, as componentes normais do tensor de tenses nas

direes x e y e xy a componente de tenso de cisalhamento.

A determinao dos elementos a serem removidos foi feita comparando a tenso

de Von Mises de cada elemento vme tenso de Von Mises mxima que existe em toda

a estrutura vmmax . No fim de cada anlise, todos os elementos que satisfazem a inequao

(3.3), sero removidos. A forma de retirada dos elementos que foi implementada neste

trabalho foi a de inutilizar o elemento alterando as suas propriedades estruturais. Assim

foi imposto um mdulo de Young 1210E = , valor bem prximo de zero, tal que a

contribuio desses elementos na rigidez do sistema passa a ser desprezvel, ou seja, os

elementos so considerados desativados estruturalmente, mas no sendo retirados do

sistema para que no haja necessidade de remalhamento.

RR. vmmaxvm

e< (3.3)

Aqui, RR a atual razo de rejeio. Ela usada para retardar o processo da

remoo do elemento e est restrita condio (0,0 RR 1,0). O mesmo ciclo de

remoo dos elementos usados pela desigualdade (3.3) repetido at que os elementos

no possam mais ser removidos (com o RR dado). Quando esta situao ocorre, um

estado de equilbrio alcanado. O processo evolucionrio definido adicionando a

0RR uma razo de evoluo ER. Assim, um novo ciclo de evoluo inicia-se, at que

no existam mais elementos a serem eliminados com esta nova razo de rejeio

)( 0 ERRRRR += . A razo de rejeio ser atualizada conforme a equao 3.4, at a

obteno de uma configurao otimizada.

,...3,2,1,0i ERRRRR i1i =+=+ (3.4)

Os valores escolhidos para RR e ER devem ser pequenos, aproximadamente 1%,

para que se tenha uma melhor convergncia e no seja retirado muito material a cada

iterao, semelhana do que ocorre no processo evolutivo natural, Querin (1997) e

27

Pross (2002). A cada etapa evolutiva de RR possvel observar a nova forma e

topologia determinada. O processo evolutivo em tenso pode ser determinado como

segue:

1) Discretizar o domnio de anlise com uma malha refinada de elementos

fin