os desafios da escola pÚblica paranaense na … · função exponencial dos alunos do 1º ano do...
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
Universidade Estadual de Maringá
PRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGICA
NEIDE MASSARENTI NORONHA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
Maringá ─ Paraná
2013
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
Universidade Estadual de Maringá
UNIDADE DIDÁTICA
NEIDE MASSARENTI NORONHA
Produção Didática Pedagógica, apresentada à Secretaria de Estado da Educação ─ SEED, na disciplina de Matemática, com subsídio metodológico para o conteúdo específico Função Exponencial, parte dos requisitos do Programa de Desenvolvimento Educacional ─ PDE, 2013/2014, em parceria com a Universidade Estadual de Maringá ─ UEM.
Orientador IES: Prof. Dr. Marcelo Carlos de Proença
Maringá ─ Paraná
2013
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA
TURMA PDE/2013
Título: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
Autora
NEIDE MASSARENTI NORONHA
Disciplina/ Área MATEMÁTICA
Escola de Implementação do Projeto
COLÉGIO ESTADUAL PAIÇANDU - ENSINO FUNDAMENTAL, MÉDIO, NORMAL E PROFISSIONALIZANTE
Município da Escola PAIÇANDU
Núcleo Regional de Educação
MARINGÁ
Professor Orientador PROFESSOR DR. MARCELO CARLOS DE PROENÇA
Instituição de Ensino Superior
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ- UEM
Relação Interdisciplinar NÃO
Resumo
Este trabalho tem como base a utilização da resolução de problemas para favorecer a compreensão sobre o conteúdo de função exponencial dos alunos do 1º ano do Ensino Médio. Destaca-se que grande parte dos problemas que os alunos resolvem em sala de aula, devido ao contexto de definição e execução, reduz esse processo a uma simples exercitação, na qual o aluno vai se tornando mais ou menos especializado. Quando surge um problema que é necessário questionar, levantar hipóteses, apresentar estratégias, o aluno se depara com grandes dificuldades, não conseguindo resolvê-lo. Nesse sentido, o objetivo deste Projeto é analisar as dificuldades dos alunos no momento de elaborar estratégias para resolver problemas matemáticos bem como estimular a curiosidade e sua aproximação com a realidade do cotidiano. A estratégia de ação respalda-se na resolução de problemas, a qual dá suporte para implementar conceitos do conteúdo abordado.
Palavras- Chave RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS; MATEMÁTICA; ESTRATÉGIAS; ENSINO-APRENDIZAGEM.
Formato do Material Didático
UNIDADE DIDÁTICA
Público-Alvo ALUNOS DO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO
1. APRESENTAÇÃO
O estudo da função exponencial é, em geral, mal compreendido pelos alunos
devido a não compreensão das propriedades referentes à potenciação. Muitas
vezes, isso se deve também ao fato de esse conteúdo ser deixado para o final do
ano, quando não há muito tempo para uma forma de ensino diferenciada, como, por
exemplo, a aplicação de resolução de problemas, em que o aluno construirá
conceitos matemáticos articulados com outros conceitos por meio de uma série de
retificações e generalizações.
Destaca-se que o trabalho com base na abordagem da resolução de
problemas ganha significado quando os alunos se deparam com situações
desafiadoras e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.
Diante disso, indaga-se: 'O trabalho fundamentado na abordagem da
resolução de problemas ajuda os alunos a superar essas dificuldades?'; 'Quais as
dificuldades apresentadas pelos alunos do 1º ano do Ensino Médio no momento de
desenvolver as estratégias para resolver problemas matemáticos com o tema função
exponenciais?'.
Na sala de aula, é possível trabalhar qualquer tema, o desafio reside
justamente em como abordá-lo com cada grupo de alunos e em especificar o que
podem aprender com ele. Salienta-se que podem ser trabalhadas as diferentes
possibilidades e interesses dos alunos de forma que ninguém fique desconectado e
cada um encontre um lugar para sua implicação e participação na aprendizagem.
Ao chegar ao Ensino Médio, geralmente os alunos estão acostumados com o
professor do Ensino Fundamental, que trazia tudo pronto e com o estudo isolado de
cada disciplina. Ademais, geralmente os conteúdos são repassados de forma
mecânica, através de repetições que se tornam cansativa e sem sentido. Ressalta-
se ainda que os pré-requisitos da Educação Fundamental causam enormes
dificuldades nos alunos para acompanharem o Ensino Médio de maneira eficaz.
A Matriz de Referência do Sistema de Avaliação da Educação Básica –
SAEB – e da Prova Brasil, avaliações que fornecem indicadores sobre a qualidade
da educação brasileira, estruturadas com foco em revoluções de problemas,
assinala que “o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm
situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de
resolução” (BRASIL, 2008, p.106). Esses sistemas avaliativos têm gerado
preocupação por parte dos professores e gestores escolares, já que os índices
apresentados pelos meios de comunicação apontam para a fragilidade do ensino da
Matemática em nossas escolas.
Essa constatação leva à observação de que é necessária a implementação
de ações mais aprofundadas, considerando a mudança dessa situação indesejável,
a qual se traduz nos resultados do processo de ensino aprendizagem da Matemática
atualmente.
Devem-se levar os alunos a perceber que é possível aprender a resolução de
problemas de forma lúdica, questionando, elaborando estratégias, cientes do por
que do processo de resolução e não apenas a aplicação de fórmulas para obter
resultado que não signifique nada para ele.
Carvalho et al. (2010) realizaram uma experiência com os alunos do segundo
ano do Ensino Médio com o tema Função Exponencial, o qual apontou que o ensino
baseado na resolução de problemas, diferentemente do ensino tradicional, propiciou
um ambiente altamente dinâmico e reflexivo, e os alunos continuaram com o mesmo
interesse quando passaram a tratar do conteúdo desejado.
Realça-se que uma alternativa viável para desenvolver o tema função
exponencial é usar como estratégia a resolução de problemas, tendo em vista que o
ensino tradicional comumente inibe os alunos a construírem seus conhecimentos.
Nesse sentido, essa atividade didática, realizada na segunda etapa do
PDE/2013 da Secretaria de Educação do Estado do Paraná, difere atividades
relacionadas à resolução de problemas envolvendo função exponencial, elaboradas
com a orientação do professor Dr. Marcelo Carlos de Proença, da UEM.
Esta unidade tem como objetivo geral favorecer a compreensão de alunos do
1º ano do Ensino Médio acerca do conteúdo de função exponencial mediante a
resolução de problemas com vistas a buscar novas estratégias de resolução,
levando estes a pensar e a maximizar o seu fazer quando engajados ativamente no
enfrentamento de desafios.
Podemos afirmar que, na escola de hoje, sem dúvida, há espaço para
aprendizagem mútua, em que professores e alunos são ao mesmo tempo
aprendentes e ensinantes; basta que estejamos dispostos a fazer cada vez melhor e
diferente.
2. OBJETIVOS
2.1 Objetivo Geral
Analisar, por meio da abordagem da resolução de problemas, as
estratégias utilizadas pelos alunos bem como os procedimentos de
resoluções.
2.2 Objetivos Específicos
Identificar os conhecimentos dos alunos por meio da abordagem de um
problema envolvendo conceito de função exponencial;
Elaborar e desenvolver uma sequência didática referente à abordagem
da resolução de problemas;
Analisar as dificuldades dos alunos em encontrar estratégias nas
resoluções de problemas.
3. RECURSOS/MATERIAIS
Quadro de giz, giz
Caderno
Laboratório de Biologia
Computador
Canetas, lápis, borracha
4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Os educadores matemáticos, atualmente, se preocupam com a questão de
resolução de problemas considerando a grande importância não só no ensino da
Matemática, como também no de outras disciplinas (PCN, 1997).
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – (BRASIL, 1998, p.40) consta
que:
[...] o ponto de partida matemática não é a definição, mas o problema, porque no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, e idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisam desenvolver algum tipo de estratégias [...].
E ainda que:
[...] o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada (BRASIL, 1997, p.43).
Cada vez que se tem uma pergunta, se tem um problema, pois para
responder a qualquer pergunta se pratica o ato de pensar. A esse respeito, as
Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica do Paraná (2008,
p.63) propalam que:
O professor deve fazer o uso de práticas metodológicas para a resolução de problemas, como exposição oral e resolução de exercícios. Isso torna as aulas mais dinâmicas e não restringe o ensino da matemática a modelos clássicos.
Os métodos de ensino ganharam muita ênfase na resolução de problemas.
Recomendam-se atividades em pequenos grupos, com a utilização de material
didático, bem como ambientes de sala de aula estimulantes para que os alunos
possam construir o conceito matemático a partir de situações vivenciadas por eles,
reais.
Acerca dessa questão, Echeverría (1998, p.480) pontua que
[...] para que possamos falar da existência de um problema, a pessoa que está resolvendo essa tarefa precisa encontrar alguma dificuldade que a obrigue a questionar-se sobre qual seria o caminho que precisaria seguir para alcançar a meta.
Entretanto, as situações-problemas propostas aos alunos devem ter
estruturas mais complexas que as de sua vivência cotidiana, pois ele consegue
resolver estas últimas à sua maneira.
Segundo Sternberg (2000, p.494),
Empenhamo-nos na resolução de problemas, quando precisamos superar obstáculos, a fim de responder a uma pergunta ou alcançar um objetivo. Se pudermos recuperar rapidamente uma resposta da memória, não temos um problema. Se não pudermos recuperar uma resposta imediata, então temos um problema para ser resolvido.
Pode-se assinalar que o exercício é uma atividade de adestramento no uso
de alguma habilidade/conhecimento matemático, enquanto o problema
necessariamente envolve invenção ou/ e criação significativa.
De acordo com Echeverría (1998, p.46),
[...] a idéia de que o raciocínio nesta matéria reflete e estimula o raciocínio em outras áreas do conhecimento e, por outro lado, á idéia de que um maior aprofundamento nos conhecimentos e procedimentos ajudaria o avanço em outras áreas científicas e tecnológicas e, inclusive, a resolução mais eficiente das tarefas cotidianas.
Portanto, é errôneo pensar que a resolução de problemas é uma questão
exclusiva da Matemática. O desafio é saber como se pode incentivar o aluno a
pensar e a raciocinar. Infelizmente, o aluno não é ensinado a desenvolver o
raciocínio lógico-dedutivo, mas sim a copiar modelos, padrões de respostas,
resultados. Assim, a Matemática tem um caráter tanto formativo, que auxilia na
estruturação do pensamento e do raciocínio lógico, quanto instrumental, utilitário, de
aplicação no dia-a-dia, em outras áreas dos conhecimentos e nas atividades
profissionais.
A solução de problemas, conforme Chi e Glaser (1992, p.250), “é uma
habilidade cognitiva complexa que caracteriza uma das atividades humanas mais
inteligentes”.
Destarte, auxiliar os alunos a aprender a aprender consiste em uma tarefa
que envolve tempo, pois é um processo longo de desenvolvimento de habilidades e
construção de conhecimentos.
Dante (2009, p.36) propõe que:
Ensinar a resolver problema è uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um mecanismo direto de ensino, mas uma variedade de processos de pensamentos que precisam ser cuidadosamente desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor.
Nesse sentido, além se garantir o clima de confiança em sala de aula, o
professor pode adotar várias estratégias para que o aluno se sinta à vontade para
lidar com o referido problema.
Na perspectiva de Echeverría (1998, p.45),
[...] aprender e resolver problemas matemáticos e a analisar como os especialistas e os não-especialistas resolvem esse tipo de tarefas pode contribuir para um aumento do conhecimento científico e tecnológico de maneira geral.
Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um
conhecimento significativo e habilidoso é importante. Desta maneira, seria possível
mudar “a visão estreita de que a matemática é apenas uma ferramenta para resolver
problemas, para uma visão mais ampla de que a matemática é um caminho de
pensar e um organizador de experiências” (ONUCHIC, 1999, p.208).
Trata-se de uma percepção que entende a compreensão como um processo
de aprendizagem, gerada pelo aluno a partir de seu engajamento em construir
relações entre as várias ideias da Matemática contidas em um problema e a uma
variedade do contexto. Em outras palavras, significa que o professor deve solucionar
e / ou elaborar e propor os problemas que agucem o interesse dos alunos em querer
resolvê-los.
Para Onuchic (1999, p.216), ao abordar o ensino da 'Resolução de
Problemas' nas aulas, “o papel do professor muda de comunicador de conhecimento
para o de observador, organizador, consultor, mediador da aprendizagem”. Dessa
forma, é importante considerar as diferentes formas e os variados caminhos que os
alunos podem apresentar para a solução de uma mesma situação-problema.
Em consonância com Chi e Glaser (1992), “o problema é uma situação na
qual um indivíduo atua com o propósito de alcançar uma meta utilizando para tal
alguma estratégia em particular”. A partir dessa concepção, entende-se que existe
um problema quando há um objetivo a ser alcançado, mas ainda se enfrentará um
problema se ainda não se dispor dos meios para atingi-los.
De acordo com Polya (2006, p.5):
[...] uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentara a tensão e gozara o
triunfo da descoberta.
Diariamente, o ser humano lida com resolução de problemas, dos mais
simples aos mais complexos. Hoje, com o avanço da psicologia cognitiva e sua
relação com a ciência, a resolução de problemas é entendida como uma
competência que pode e deve ser aprendida.
No entendimento de Musser e Shaughnessy (1997, p.188), a ênfase do
trabalho da Matemática na escola do passado recaía na aprendizagem de
algoritmos devido ao forte domínio da aritmética existente na época; porém na era
eletrônica a prioridade deve ser para o desenvolvimento e o uso de algoritmos para
resolver problemas. Nesse contexto, os autores citam cinco estratégias de
resoluções de problemas:
Tentativa e erro: aplicação de operações pertinentes às informações dadas.
Padrões: resoluções de casos particulares, encontrando padrões que podem
ser generalizados.
Resolver um problema mais simples: resolução de um caso particular ou um
recuo temporário de um problema complicado para uma versão resumida,
podendo vir acompanhado do emprego de um padrão.
Trabalhar em sentido inverso: partindo do resultado, realizar operações que
desfazem as originais.
Simulação: utilizada quando a solução do problema envolve a realização de
um experimento e executá-lo não seja prático.
Destaca-se que trabalhos pautados na Resolução de Problemas podem ser
desenvolvidos a partir de várias possibilidades.
A resolução de problemas, segundo Polya (2006, p.05-12), é desencadeada
pela passagem de quatro fases:
A compreensão do problema- refere-se à identificação do que o problema
está pedindo / perguntando; quais dados / informações são apresentados no
problema;
Estabelecimento de um plano: o aluno deve elaborar um plano, ou seja, criar
um plano de ação de modo a relacionar os dados do problema com o que ele
está pedindo;
A execução do plano: constitui-se no momento da efetivação de todas as
estratégias pensadas para a resolução do problema;
Retrospecto ou reflexão sobe a resolução: analisar a solução obtida,
repassando todo o problema para que os alunos possam fazer como
pensaram inicialmente a estratégia selecionada e o caminho trilhado para se
obter a solução.
Na visão de Sternberg (2000, p.310), as etapas do ciclo de resolução de
problema são:
Identificação do Problema: precisa-se tomar cuidado no momento de se
conhecer o objetivo para não falhar. Na maioria das vezes, as soluções dadas
aos problemas parecem ineficientes e não são capazes de resolvê-los. É
preciso fazer uma observação bem detalhada dos fatos para que se possa
enxergar e separar o que são problemas, suas causas e seus efeitos;
Definição e representação do problema: quando identificado o problema, é
preciso defini-lo e representá-lo para sua solução. Formulação de estratégia:
após a compreensão do problema, faz-se necessário planejar uma estratégia
para resolvê-lo, podendo envolver a análise e a síntese do problema. Não existe
uma única estratégia para tratar de um problema, depende muito das
preferências pessoais de quem está resolvendo. Para resolver um problema,
podem-se estabelecer planos diferentes que resultarão na mesma resposta;
Organização da Informação: para realizar a estratégia formulada, é necessário
organizar e reorganizar toda a informação disponível. Essa atividade é
desenvolvida durante todo o processo de resolução de problemas;
Alocação de recursos: os recursos existem e muitas vezes são limitados. É
necessário identificar quais os recursos a serem utilizados em todo o momento.
Se forem usados de forma incorreta, como mostram alguns estudos, resultarão
em frustrações no planejamento do trabalho em questão;
Monitoração: é fundamental que o aluno confira tudo ao longo do caminho se o
objetivo a ser atingido está próximo. Caso perceba que não está, deverá
reavaliar e tomar novos caminhos;
Avaliação: como se monitoriza um problema, é necessário avaliar a solução que
visa a obter resultados satisfatórios que nem sempre ocorrem imediatamente.
Mediante a avaliação, novos problemas podem ser reconhecidos, redefinidos e
poderão surgir novas estratégias que poderão ser usadas com maior eficiência.
Em se tratando de um problema em sala de aula, fazem-se necessários
alguns procedimentos para sua melhor compreensão.
Cabe ao professor propor aos alunos um problema que tenha mais de uma
solução. Deve-se trabalhar com os alunos, incentivando-os a se expressarem
livremente, pois além de garantir o clima de respeito e confiança, o professor poderá
auxiliar os grupos, tirando as dúvidas. O professor discutirá com os grupos de alunos
as estratégias de resoluções, validando se as mesmas são adequadas, verificando
também a racionalidade da resposta.
Caso não ocorra, possibilitar que seja revista a estratégia de resolução para
localizar o erro e reorganizar os dados em busca de nova resolução. Isso deverá
ocorrer em sala de aula, antes de abordar o conteúdo desejado pelo professor.
5. UNIDADE DIDÁTICA
Pretende-se desenvolver a Unidade Didática com os alunos do primeiro ano
do Ensino Médio, um grupo de aproximadamente quarenta alunos, no período da
manhã. A abordagem de ensino do Projeto terá por base a resolução de problemas.
Para tal, as aulas a serem desenvolvidas seguem as sequências de atividades: Aula
1 – Revisão de potenciação; Aula 2 – Apresentação do Projeto; Aula 3 – Visita à
Pastoral da Saúde, pesquisa de lactobacilos; Aula 4 – Medidas de capacidade; Aula
5 – Equações exponenciais; Aula 6 – Introdução de situação problemas; Aula 7 –
Função exponencial; Aula 8 – Resolução de novos problemas, envolvendo a
preparação do iogurte caseiro; Aula 9 – Avaliação do conteúdo para analisar por
meio da abordagem da resolução de problemas, as estratégias de procedimentos de
resolução dos alunos.
5.1 – Aula 1 – Revisão da Potenciação (02 h/aulas)
Objetivo: Rever a potenciação e suas respectivas propriedades para dar base
aos alunos antes do trabalho envolvendo o conceito de função exponencial.
Nessa aula, a professora pretende revisar as potências com expoentes
naturais, inteiros, racionais e suas respectivas propriedades.
Atividades
1 - Resolva a potenciação – Expoentes naturais:
2 - Sendo a base um número real não-nulo e o expoente um número
natural, tem-se: , e , calcule:
a)
e)
a)
f)
b)
g)
c)
h)
d)
i)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
3 - Resolva as propriedades das potências, cujo expoente é um número inteiro.
a) e)
b)
f)
c) g)
d) h)
4 - Considerando , tem-se que: não existe raiz em quando
e é par; a raiz é um número negativo quando e é ímpar. A
expressão é uma potência cuja base é um número real positivo, e o
expoente é um número racional, sendo e números inteiros e positivos.
a)
f)
b)
g)
c)
d)
e)
5 - Resolva as propriedades das potências, cujo expoente é um número racional.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
5.1 – Aula 2 - Apresentação do Projeto (02 h/aulas)
Objetivo: Compreender o desenvolvimento do Projeto e elaborar a
autorização a ser enviada aos pais e ou responsáveis.
A professora dessa Unidade Didática fará a apresentação dos objetivos
pretendidos no trabalho a ser desenvolvido com a participação dos aprendizes, e
através da fabricação do iogurte caseiro desenvolverão um trabalho sobre tal
iogurte.
Nessa aula, será confeccionado, juntamente com os alunos, o termo de
autorização que deverá ser assinado pelos pais e pela direção da escola para a
busca da receita do iogurte caseiro bem como dos lactobacilos na Pastoral da
Saúde.
5.3 – Aula 3 – Visita à Pastoral da Saúde – Pesquisa dos lactobacilos
(02h/aulas)
Objetivo: Reconhecer os benefícios dos lactobacilos para a saúde e coleta da
receita do iogurte caseiro.
Com autorização dos pais e da escola, professor e alunos irão à Pastoral da
Saúde para a busca da receita do iogurte caseiro e dos lactobacilos. Em seguida, os
alunos irão ao laboratório de biologia para pesquisarem em dupla sobre os
lactobacilos e seus benefícios à saúde.
A professora deverá respeitar a iniciativa dos alunos e se necessário ajudá-
los a encontrar o site para a pesquisa. Os alunos farão um resumo do assunto,
registrando nos cadernos. A professora e os alunos discutirão o assunto exposto no
quadro, enfatizando os tópicos mais relevantes.
Os lactobacilos são importantes para o sistema digestivo e imunológico. Os
chamados alimentos probióticos representam saúde e proteção ao organismo.
Milhares de micro-organismos vivos agem permanentemente em nossa flora
intestinal e são responsáveis pela absorção dos nutrientes ingeridos através da
alimentação.
Esses “bichinhos” melhoram a integridade da parede intestinal e assimilam
alguns nutrientes importantes para o organismo, como o cálcio e o ferro; pontua-se
que de nada adianta seguir alimentação saudável se a flora intestinal não estiver
sadia.
Alimentos como o leite, iogurte, queijo fresco e a coalhada são fundamentais
em nosso dia-a-dia, porque contêm o melhor dos probióticos, os lactobacilos vivos,
os mesmos encontrados no leite fermentado.
Pesquisas mostram que os lactobacilos equilibram o funcionamento intestinal,
impedem a multiplicação de bactérias nocivas; inibem a produção de toxinas,
melhoram a digestão, fortalecem o sistema imunológico, além de prevenir o câncer
de colón (localizado no intestino grosso).
5.4 – Aula 4 – Medidas de capacidade (02 h/aulas)
Objetivo: Rever os conceitos de medidas de capacidades para favorecer a
compreensão dos alunos no trabalho com o iogurte caseiro.
De acordo com a receita do iogurte caseiro, para a qual são necessários 100
ml de lactobacilos para 1 litro de leite, faz-se necessária uma revisão de conteúdos
sobre medidas de capacidade para transformações de unidades.
Os múltiplos e submúltiplos do litro são obtidos multiplicando-se ou dividindo-
se o litro por 10, 100 ou por 1000.
Os múltiplos do litro (decalitro, hectolitro e quilolitro) são unidades pouco
usadas. São submúltiplos do litro: decilitro - equivale a ; centilitro –
equivale a ; mililitro – equivale a .
Atividades
Usando os submúltiplos do litro, resolva:
1- Expresse em mililitros.
2- Em uma jarra, havia 2 litros de leite. Retirei 350 ml de leite para fazer um doce.
Quantos litros de leite restaram na jarra?
Restaram de leite na jarra.
3 - Transformes as unidades:
a) d)
b) e)
c) f)
5.5 – Aula 5 – Equações Exponenciais (03h/aulas)
Objetivo: Favorecer a ampliação do conceito de potenciação por meio da
resolução de equações exponenciais.
Nessa aula, a professora apresentará aos alunos equações exponenciais em
que as incógnitas aparecem nos expoentes que podem ser resolvidos reduzindo-se
o 1º e 2º membros à potência de mesma base e outras usando alguns artifícios.
Resolva em as seguintes equações exponenciais.
a)
b)
5.6 – Aula 6 – Introdução de Situações Problemas (06h/aulas)
Objetivo: Propor problemas para posteriormente identificar as
dificuldades dos discentes em encontrar as estratégias.
No início da aula, será proposto aos alunos o seguinte problema
elaborado pela professora:
1 – Certa indústria pretende fabricar 256 litros de iogurte. Sabe-se que para um
litro de leite serão necessários 100 ml de lactobacilos. Qual a quantidade
necessária de lactobacilos para fabricar essa quantidade de iogurte?
Os alunos trabalharão em grupos para que possam trocar ideias e
experiências de como resolver o problema. A professora será a mediadora
entre os alunos, e estes registrarão nos cadernos as estratégias encontradas.
Em seguida, os alunos irão até a lousa para fazer o registro das estratégias
que utilizaram na resolução do problema proposto, o que permitirá identificar
suas dificuldades no processo de resolução.
Para se ter uma visão geral das estratégias, foram elaboradas possíveis
estratégias que poderão ser utilizadas pelos alunos. Seguem, abaixo, duas
delas:
1ª Estratégia: Regra de três.
Leite(l) Lactobacilos(ml)
1 - 100
256 - x
Resposta: Serão necessários 25.600 ml de bactérias.
2ª Estratégia: Tentativas e erros.
Leite
(litros) Lactobacilos (ml)
1.100 100
2.100 200
3.100 300
... ...
256.100 25600
Resposta: Serão necessários 25.600 ml de bactérias.
Em seguida, será proposto aos alunos outro problema:
2 – Sabendo que para fabricar 256 litros de iogurte são necessários 25600 ml
de lactobacilos, qual o intervalo (dias) necessário para a sua reprodução?
Os alunos trabalharão em grupos para discussão de como resolver o
problema proposto, apresentando suas estratégias. A professora será a
mediadora para auxiliá-los se necessário. Após os grupos terem resolvido o
problema, deverão apresentar suas estratégias na lousa. Desta forma, será
possível uma localização entre os alunos a respeito dos conhecimentos que
possuem de matemática e as estratégias que foram utilizadas.
Nessa aula, a professora terá a possibilidade de avaliar o processo de
resolução de problemas seguido pelos grupos. Assim, professora e alunos
poderão discutir sobre os aspectos que envolvem a compreensão do problema,
a apresentação de uma estratégia, a realização de cálculos matemáticos e a
apresentação de uma resposta ao problema.
Buscando antecipar as possíveis estratégias de resolução que os alunos
podem apresentar, elencaram-se duas delas:
1ª Estratégia: Tentativas e erros.
- 1º Instante=100ml - 2º Instante=200ml
Então, o segundo instante dividido pelo primeiro instante é 2, tem-se:
100.2=200 800.2=1600 6400.2=12800
200.2=400 1600.2=3200 12800.2=25600
400.2=800 3200.2=6400 25600.2=51200
Resposta: O tempo necessário para sua reprodução está no 8º dia.
2ª Estratégia: Tabela
A professora proporá uma estratégia de resolução, a da montagem de
uma tabela tal que uma coluna constitui-se no número de dias (d), e a outra
coluna no número de volume de lactobacilos (v). A professora solicitará aos
alunos que apresentem valores para a tabela. Estando por base apenas
valores de até cinco dias, a professora pedirá aos alunos para analisar a
sequência formada pelos números de volumes de bactérias e perguntará se
existe alguma relação matemática entre esses números. Abaixo, segue a
tabela.
Dias Volume(ml)
0 100
1 200
2 400
3 800
4 1600
5 3200
... ...
d v
Espera-se que os alunos percebam que os números da tabela poderiam
ser elevados a um expoente; se não conseguirem, a professora dará dicas para
continuarem os cálculos da tabela, pedindo que façam alguma relação entre os
dados iniciais de modo a obter a expressão
matemática.
Segue abaixo como ficará a obtenção da expressão.
Dias Volume(ml)
0 100
1 200
2 400
3 800
4 1600
Padrão:
Resposta: O tempo necessário para sua reprodução está no 8º dia.
5 3200
... ... ...
d v
Pretende-se que os alunos percebam que os dias podem ser
transformados em potência de base 2. Por meio da expressão matemática,
pode-se dar resposta ao problema.
Desse modo, será possível ter condições de apresentar aos alunos um
exemplo de função exponencial.
5.7 – Aula 7 – Função Exponencial (06h/aulas)
Objetivo: Apresentar o conteúdo de função exponencial e favorecer a
sua identificação, leitura e interpretação por meio de seus gráficos.
Para uma expressão do tipo , denominados: base, ao numero real ;
expoente, ao número natural ; potência ao resultado da operação.
O estudo da função exponencial será feito em dois casos:
1º Caso – Função crescente
A base é um número real maior que 1: a>1
2º Caso – Função decrescente
A base é um número real, maior que 0 e menor que 1: 0<a<1
A função exponencial tem como características:
A curva da função passa pelo ponto (0,1).
O seu domínio é o conjunto dos reais .
O seu conjunto imagem é
A função é crescente para a base maior que .
A função é decrescente para a base maior que 0 e menor que
Após o desenvolvimento do conceito sobre função exponencial, a
professora incentivará os alunos a construírem os gráficos, os quais são
representações das coordenadas e curvas que ligam os pontos das ordenadas
(y) e abscissas (x) para representação de um fenômeno qualquer.
Em seguida, a professora solicitará aos alunos para que construam os
gráficos em grupos, tendo a professora como mediadora. Após a construção, a
professora pedirá para analisar nos gráficos o domínio, conjunto imagem e o
porquê o gráfico não intercepta o eixo horizontal: Os alunos farão o registro nos
cadernos. A professora fará uma discussão desse conteúdo juntamente com os
alunos, chegando à conclusão de que o domínio é o eixo das abscissas (x)
representado pelo conjunto dos números reais, enquanto a imagem é o eixo
das ordenadas (y), em que os números são sempre positivos com ausência do
zero, porque a representação do gráfico não corta e nem tangencia o eixo x.
Com isso, não há existência de zeros ou raízes da função.
Por exemplo, para que os alunos compreendam que o gráfico da função
não corta o eixo x, a professora proporá valores de
e x=- 1000 para que eles percebam que os valores de y estão
tendendo a resultar no valor zero.
Mediante isso, os alunos resolverão individualmente os gráficos da
função exponencial:
a)
x
2 4
1 2
0 1
-1
-2
-3
b)
x
3
2
1
0 1
-1 2
-2 4
c)
x
1
0 1
3
-1 9
5.8 – Aula 8 – Resolução de novos problemas envolvendo a preparação
do iogurte caseiro (06h/aulas)
Objetivo: Promover problemas relacionados com a experiência do
iogurte caseiro, e os alunos poderão resolvê-los por meio de diferentes
estratégias.
A atividade inicial dessa aula será baseada na retomada do problema da
aula 6, problema 2, cujo enunciado informa que para fabricar 256 litros de
iogurte são necessários 25600 ml de lactobacilos. Querendo saber o tempo
necessário para a reprodução dos lactobacilos, os alunos construirão o gráfico
desse problema, individualmente, mediante a tabela já confeccionada, que foi
uma das estratégias do problema da aula mencionada. Os alunos farão o
registro do gráfico no caderno, em seguida a professora discutirá com eles
acerca do domínio dessa função, pois esta trata de problema do cotidiano e
não de caráter matemático. A docente fará indagações aos alunos “sobre o
porquê” dos domínios serem diferentes e pedirá a eles que registrem em seus
cadernos as respostas para chegarem a uma conclusão. Seguidamente, a
professora verificará quais respostas foram mais condizentes com o assunto e
fará o registro na lousa.
Em seguida, serão apresentadas aos alunos três atividades, que
seguem abaixo. A professora solicitará aos alunos que tentem resolvê-las por
meio da estratégia da tabela, encontrando, assim, a fórmula matemática, e que
utilizem os conhecimentos específicos de função exponencial aprendidos até
então nas aulas.
A professora proporá a construção dos gráficos, discutindo com os
alunos o domínio, a imagem e se a função é crescente ou decrescente.
A condução dessas atividades se dará levando-se em consideração o
processo de resolução seguido pelos alunos. Assim, busca-se verificar a
compreensão, o uso da estratégia da tabela, a execução de cálculos com a
função exponencial e os conceitos previamente estudados e como apresentar a
resposta. Os alunos serão orientados a resolver essas atividades com base no
processo de resolução de problemas.
Atividades
Atividade 1
“Os alunos do primeiro ano do Colégio Estadual Paiçandu pretendem fabricar
iogurte caseiro. Sendo 40 alunos matriculados, qual a quantidade necessária de
iogurte que terão que fabricar, sabendo que cada aluno receberá 200 ml de
iogurte?”.
Seguem abaixo as possíveis estratégias encontradas pelos alunos:
1ª Estratégia – Regra de três
1 aluno – 200ml do iogurte
40 alunos – x
X=8000 ml ou 8 litros
Resposta: Serão necessários 8 litros de iogurte.
2ª Estratégia – Quadro ou tabela.
Poderá acontecer, também, dos alunos usarem a tabela.
Aluno Iogurte
1 200ml
2 400ml
3 600ml
Fórmula matemática:
Resposta: Serão necessários 8000 ml ou 8 litros de iogurte.
... ...
40 8000ml
... ...
a i
Atividade 2
“Para preparar oito litros de iogurte, qual a quantidade necessária de
lactobacilos?”.
Seguem as possíveis estratégias encontradas pelos alunos:
1ª Estratégia – Regra de três.
1 litro de iogurte – 100ml de lactobacilos
8 litros de iogurte – x
X=800ml+100ml (matriz)
X=900ml de lactobacilos
Resposta: Para 8 litros de iogurte, serão necessários 900ml de lactobacilos.
2ª Estratégia - Quadro ou tabela.
Essa atividade poderá ser resolvida pelos alunos também através de uma
tabela. A professora terá que lembrá-los de não se esquecerem de reservar a
matriz dos lactobacilos, que no caso, seriam 800ml de lactobacilos mais 100ml
da matriz.
Iogurte
(litros) Lactobacilos
1 100 ml 1x100=100
2 200 ml 2x100=200
Fórmula matemática:
E=i x 100
3 300 ml 3x100=300 Resposta: Para 8 litros, serão necessários 800ml de lactobacilos + 100ml da matriz, totalizando, então, 900ml.
4 400 ml 4x100=400
5 500 ml 5x100=500
6 600 ml ...
7 700 ml
8 800 ml
... ...
i e E=i x 100
Atividade 3
“Qual o tempo necessário para a reprodução dos lactobacilos para a
fabricação do iogurte?”.
Seguem as estratégias encontradas pelos alunos bem como a
construção do gráfico, domínio, imagem e se a função é crescente ou
decrescente.
1ª Estratégia – Tentativas e erros.
Se o primeiro instante 0 é 100ml, no 1º dia serão necessários 200ml.
Dividindo o 2º termo pelo 1º termo, são dois.
Então:
100.2=200
Resposta: O tempo necessário para a reprodução de 900ml de lactobacilos está entre o 3º e 4º dia.
200.2=400
400.2=1600
1600.2=3200
2ª Estratégia – tabela / tentativas e erros.
Intervalos de
tempo (dias)
Volume de
bactérias (ml)
0 100
1 200 Fórmula matemática:
Resposta: O tempo necessário para a reprodução de 900ml de lactobacilos está entre o 3º e o 4º dia.
2 400
3 800
4 1600
5 3200
... ... ...
d V
5.9 – Aula 9 – Avaliação (03h/aulas)
Objetivo: Avaliar os conhecimentos adquiridos pelos alunos bem como
as estratégias utilizadas por eles.
Para avaliar o trabalho desenvolvido na sequência didática, em especial
no trabalho na abordagem da resolução de problemas, foi montada uma
avaliação contendo três problemas, os quais foram elaborados para avaliar os
conhecimentos adquiridos pelos alunos no uso da estratégia para obtenção das
fórmulas matemáticas (padrão), o uso do conceito de função exponencial e a
construção de gráficos.
A elaboração dos problemas se deu de forma diferente do que
comumente se encontra nos livros didáticos, em cujos enunciados das
atividades se apresenta uma lei da função que pouco contribui no
entendimento desse conceito.
Volumes de Bactérias
X dias
Será comunicado aos alunos que utilizem as estratégias discutidas nas
aulas, como o uso das tabelas e do conceito de função exponencial, assim
como deverão encontrar a expressão matemática.
Seguem os problemas que comporão a referida avaliação, bem como as
estratégias e gráficos que os alunos poderão utilizar, sendo possível encontrar
caminhos não pensados para resolver os problemas propostos.
1) Resolva as atividades:
a) Certo tipo de vegetal se desenvolve dobrando a sua altura mensalmente.
Compreende-se que sua altura inicial é de 1mm; sendo assim, determine a
expressão exponencial, a altura y(mm) em função do tempo t (meses) e
construa o gráfico cartesiano dessa função.
Segue abaixo a estratégia – tabela
Período(t) Altura(y)
t=0 1mm
t=1 mês 2mm
t=2 meses 4mm
t=3 meses 8mm
t=4 meses 16mm Resposta: A expressão exponencial
, que representa o
crescimento do vegetal em função
do tempo.
t=5 meses 32mm
... ...
t=x meses mm
Gráfico
A união dos pontos é
possível, pois o vegetal
cresce continuamente.
b) Um professor de Biologia acompanhou o crescimento de uma planta circular
que tinha 1 cm de diâmetro. Durante suas observações, a planta triplicava
mensalmente. Qual será seu diâmetro no final do terceiro mês? Construa o
gráfico.
Segue abaixo a estratégia – tabela
Tempo(meses) Diâmetro(cm)
0 1
Padrão:
1 3
2 9
3 27
Resposta: O diâmetro da folha no
final do 3º mês é 81 cm de
diâmetro.
4 81
... ...
x
X(meses)
Y(mm)
Gráfico
c) No dia 1º de março, dois amigos formaram uma comunidade no facebook. No
dia posterior, cada um dos “fundadores” convidou três novos amigos para se
incluírem à comunidade. No terceiro dia, cada novo integrante convidou três
novos amigos para participarem da comunidade e assim respectivamente, até o
final do mês, de forma que todos os convidados aceitem a proposta de
comunidade e que ninguém receba o convite de mais de uma pessoa.
1- Quantos membros ingressarão na comunidade no dia 4? E no dia 5?
2- Qual o total de membros que a comunidade possuirá no dia 5?
3- Qual a fórmula matemática que relaciona o número de membros (y) que
ingressarão na comunidade (x)?
X(meses)
Diâmetro(cm)
4 – Construa o gráfico.
Seguem as estratégias.
1ª estratégia - diagrama
1º de janeiro 2º de janeiro 3º de janeiro 4º de janeiro 5º de janeiro
} 9 } 27
} 9 } 27
} 9 } 27
} 9 } 27
} 9 } 27
} 9 } 27
6. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
O presente Projeto fundamenta-se na utilização da abordagem de
ensino baseada na resolução de problemas para a explanação sobre o
conteúdo de função exponencial.
Primeiro, serão apresentados exercícios para revisão de potenciação e
unidades de capacidade, requisitos necessários para a introdução da função
exponencial.
Na sequência, serão apresentados aos alunos o Projeto e a coleta de
informações a serem feitas sobre a receita do iogurte. A Pastoral da Saúde,
entidade que cuida da saúde e da alimentação das pessoas carentes, será
acionada para fornecer a receita do iogurte caseiro, pois este é fabricado com
lactobacilos e se objetiva saber quais bactérias executam a função láctica, cujo
produto final é o ácido láctico.
Os alunos serão levados ao laboratório de Biologia, onde pesquisarão os
benefícios dos lactobacilos para a saúde após homogeneizados ao leite.
No decorrer desta Unidade Didática, serão propostos problemas aos
alunos, que deverão resolvê-los encontrando pelos seus próprios meios um
caminho de resolução. Cada grupo relatará para a turma as estratégias
utilizadas para resolver os problemas, apontando as dificuldades encontradas.
O professor será o mediador para a discussão dos alunos e fará uma nova
abordagem para a resolução caso estes não consigam chegar à resposta
correta.
Finalmente, o professor elaborará uma avaliação que servirá para
analisar os conhecimentos dos alunos e para averiguar as estratégias
utilizadas, principalmente se houve a apropriação do conteúdo por parte dos
alunos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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