os desafios da escola pÚblica paranaense … · montar com palitos de fósforo a figura e, usando...
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA – PDE/2013
TITULO: Espaço de conhecimento e criatividade construídos utilizando exercícios
da olímpiada de matemática
AUTOR: Silmara Fiori
Disciplina/área Matemática
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização
Colégio Estadual José de Anchieta, Rua
Juazeiro, 1501
Município da Escola Quedas do Iguaçu – PR
Núcleo Regional de Educação Laranjeiras do Sul
Professora Orientadora Prof.ª.: Ms. Maria Regina Carvalho Macieira
Lopes
Instituição de Ensino Superior UNICENTRO – Guarapuava
Relação Interdisciplinar
Resumo Neste trabalho é apresentada a unidade
didática destinada aos alunos do 6º e 7º anos
da rede Estadual de Ensino. A apreensão dos
conteúdos matemáticos é efetivamente
central na formação dos indivíduos e a
Olimpíada de Matemática, a OBMEP possui
um material de estudo que apesar de rico e
de grande valia é pouco utilizado nas escolas
estaduais. Pretende-se, então, trabalhar com
esse material de forma a ser possível tornar o
estudo mais interessante e prazeroso. Serão
abordados diversos conteúdos matemáticos
como: sistema de numeração decimal,
números inteiros, números decimais, fração,
potenciação, medidas, perímetro, área,
volume e geometria. Com alguns conteúdos
será possível confeccionar o material para
que o aluno perceba na prática como é mais
fácil a resolução. Dessa forma acredita-se
que é possível tornar o estudo dos conteúdos
uma fonte geradora de ideias e atitudes.
Palavras – chave Olimpíada de Matemática, Resolução de
Problemas.
Público alvo: Alunos do 6º e 7º anos da Rede Estadual de
Ensino
2. APRESENTAÇÃO:
A Matemática é uma forma de aprender sobre as coisas a partir de padrões
abstratos. Quanto mais diversificadas as maneiras de pensar sobre as situações,
melhor. A Matemática é algo humano, é uma maneira de resolver problemas
apenas pensando neles, é praticando e calculando que se pode chegar ao
resultado.
A Olimpíada de Matemática pode trazer para o processo ensino
aprendizagem grandes contribuições para o dia-a-dia escolar, por mostrar que é
praticando que se chega a solução.
Nas DCES (Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná), um dos desafios
no ensino de Matemática e a abordagem de conteúdos para a resolução de
problemas. Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem a
oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas
situações, de modo a resolver a questão proposta (DANTE, 2003).
A resolução de problemas segundo Polya (2006) envolve quatro fases:
A compreensão do problema: na qual é de fundamental importância
que o aluno seja capaz de identificar o que o problema está solicitando.
O estabelecimento de um plano: baseado no que já se conhece e
nas experiências já vivenciadas, o aluno escolhe o que acredita ser ideal
para a solução do problema. Se o plano não der certo, muda-se a
estratégia de pensamento para a resolução.
A execução do plano: é colocar em prática o procedimento escolhido
estabelecendo um plano que leva a desenvolver a resposta correta.
O retrospecto, ou examinar a solução obtida: é a revisão dos
procedimentos e cálculos efetuados.
O professor deve, com naturalidade, auxiliar os alunos para que os
mesmos adquiram determinação e capacidade, incluindo assim, oportunidade
para desenvolver operações, descobrindo e incutindo importante conhecimento
para solucioná-los, através de cálculos, desenho ou oralidade.
A resolução de problema é uma habilitação prática como, digamos, é a natação. Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática. Ao tentarmos nadar, imitamos o que os outros fazem com as mãos e os pés para manter suas cabeças fora d’água e, afinal, aprendermos a nadar pela prática da natação. Ao tentarmos resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus e por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os. (POLYA, 2006, p. 4)
Ao se pensar o ensino de Matemática e em como melhorar o desempenho
dos educadores, dos educandos e da própria escola é interessante lançar um
novo olhar sobre as Olimpíadas de Matemática, pois, é por meio dela que vamos
procurar transformar o ensino, incentivando a leitura, a interpretação e o gosto
pelos estudos.
Concomitantemente, a concepção de educação e a resolução de
problemas nos aspectos metodológicos, visa atender as necessidades dos
educadores e otimizar assim o trabalho docente. A resolução de problema é um
procedimento didático que pode dar conta das situações propostas, pois é
baseada no estudo de situações abertas e sugestivas que leva o educando a uma
atitude ativa com esforço para buscar suas próprias respostas.
A presente unidade didática será implementada com os alunos do 6º e 7º
ano do Colégio Estadual José de Anchieta-Ensino Fundamental e Médio de
Quedas do Iguaçu, no contraturno de suas aulas. Esta unidade contém uma
abordagem dos conteúdos com sugestões de atividades variadas: leitura,
interpretação, escrita de problemas, material prático e jogos.
Sugere-se que os alunos façam o registro dos recursos utilizados para a
resolução dos problemas, tais como: desenhos, gráficos, tabelas, esquemas,
apoio de materiais manipuláveis e uso da tecnologia, pois, assim irá possibilitar e
favorecer para a formação do pensamento matemático.
A produção didático pedagógica tem como objetivo geral mobilizar um
estudo de forma significativa desenvolvendo o raciocínio lógico na temática do
educando, fazendo com que busque uma formação mais completa, influenciando
na melhoria do ensino por meio de atividades das Olimpíadas de Matemática.
Este curso é proposto aos alunos e pode ser aplicado por outros
professores que demonstrarem interesse pelo mesmo.
Serão trabalhados 8 encontros de 4 horas, totalizando 32 horas de
atividades com resolução de problemas, reservando 15 minutos para o intervalo.
Os conteúdos são diversificados e foram distribuídos de forma que não se
tornassem cansativos e para não ficar muito tempo no mesmo tema, por isso, os
assuntos foram mudados e retomados novamente em alguns casos.
3. MATERIAL DIDÁTICO:
Primeiro dia (4 horas):
No primeiro encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos
por estarem participando do projeto. Serão explicados os objetivos do mesmo. (30
minutos).
Vídeo (documentário completo da OBMEP) (20 minutos) disponível no site
WWW.youtube.com/watch?v=sgiT4ayINGQ com objetivo de conscientizar e
envolver os alunos com mais interesse pelas Olimpíadas de Matemática.
Conversação e discussão sobre o vídeo (10 minutos).
Separar os alunos em grupos de 3 ou 4 participantes para dar início às
atividades matemáticas a serem desenvolvidas (2: 45 minutos).
Neste dia serão resolvidos problemas simples, sobre os quais o aluno terá
que pensar e testar suas habilidades lógicas e matemáticas. Cada situação será
lida e explicada para que permita uma relação de descobertas.
PROBLEMA 01 – Palitos de fósforo
Objetivo: Entender a lógica do problema.
Conteúdo: Raciocínio lógico e operações com números inteiros.
Pré-requisito: Ter noção de igualdade e saber as operações com números
inteiros.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, observar a figura, a posição dos
palitos. Montar com palitos de fósforo a figura e, usando o raciocínio lógico,
montar as igualdades corretamente movimentando alguns palitos.
(Edição Especial OBMEP – 2009)1 Redesenhar as figuras 1, mexendo apenas um
palito, para tornar corretas as igualdades.
Figura 1: Palitos de fósforos
Resposta: A partir do desenho dado, mexendo apenas um palito a resposta será:
II – I = I
I – III = - II
II – I = I
1 Edição Especial OBMEP – Volume 2 da coleção Explorando o Ensino de Matemática – 2009, P. 165, n. 2.
PROBLEMA 02: - Áreas dos triângulos
Objetivo: Estabelecer relações de medidas fazendo estimativas simples entre os
dois triângulos.
Conteúdo: Medida de comprimento e área.
Pré-requisitos: Entender como medir, achar a altura e a área dos triângulos.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, observar os desenhos, explicar
aos alunos a área do triângulo, como achar a altura e com o auxílio de uma régua
e compasso desenhar os triângulos, observando que as alturas têm medidas
diferentes; calculando a área, o que é possível observar?
(Edição Especial OBMEP – 2009)2 Na figura 2. Qual é a área maior?
Figura 2: Áreas dos triângulos
Resposta: O triângulo de base 30, a altura é 20.
O triângulo de base 40, a altura é 15.
As áreas são iguais a 300.
PROBLEMA 03: A lagarta
Objetivo: Levar o aluno a perceber através de dedução, desenho e cálculo a
solução para o problema.
Conteúdo: Medidas de comprimento.
Pré-requisito: Ter noção de medidas de comprimento.
2 Edição Especial OBMEP – Volume 2 da Coleção Explorando o Ensino de Matemática – 2009, P. 163, n. 7.
Desenvolvimento da atividade: Ler e entender os dados do problema. Desenhar o
mastro em mm, para que se possa compreender como a lagarta vai chegar ao
topo do mastro.
(A Experiência Russa)3 Uma lagarta, saindo do solo, sobe um mastro com 75 cm
de altura. Cada dia ela sobe 5 cm e cada noite ela escorrega 4 cm. Quando ela
vai chegar pela primeira vez no topo do mastro?
Resposta: A maior parte das pessoas iria achar que, como a lagarta consegue
subir um total de 1cm por dia, levaria 75 dias. Entretanto, cinco dias antes, no
septuagésimo dia, ela terá subido 70 cm e o esforço do próximo dia fará com que
ela suba os 5 cm finais. Portanto, a lagarta estará no topo do mastro ao final de
71 dias (antes do início da septuagésima primeira noite).
PROBLEMA 04: A gata de Pedrinho
Objetivo: Desenvolver o raciocínio lógico para a solução do problema.
Conteúdo: Raciocínio lógico e tratamento da informação.
Pré-requisito: Saber deduzir e ter a noção de como argumentar e entender o que
está no problema.
Desenvolvimento da atividade: Ler e compreender a situação do problema,
raciocinar de maneira a tornar certo ou errado o que está dizendo o problema.
(A Experiência Russa)4 A gata de Pedrinho sempre espirra antes de uma chuva.
Ela espirrou hoje. Pedrinho pensou: “Isto significa que vai chover”. Ele está certo?
Resposta: Não, ele não está certo. O fato de que o evento A (a chuva) sempre
causa o evento B (o espirro da gata) não significa que o evento B causa o evento
3 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo
Zero, P. 2, n. 5. 4 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo
Zero, P. 2, n. 10.
A. Este é um exemplo de um tipo de erro lógico muito comum, confundir uma
proposição lógica com sua recíproca.
PROBLEMA 05: O filho do pai
Objetivo: Estimular o raciocínio lógico.
Conteúdo: Raciocínio lógico e tratamento da informação.
Pré-requisito: Saber deduzir o raciocínio lógico e atenção.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema quantas vezes for necessário,
substituir a pessoa por um nome qualquer.
Usar o nome de um homem, e na sequência, trocar esse nome usando nome de
mulher; ler várias vezes o problema substituindo o nome feminino, masculino, até
conseguir chegar a uma explicação, se é possível ou não.
(A Experiência Russa)5 O filho do pai de uma pessoa está falando com o pai do
filho desta pessoa e esta pessoa não está participando da conversa. Isto é
possível?
Resposta: Sim, é possível, se a pessoa for uma mulher.
PROBLEMA 06: Figuras semelhantes
Objetivo: Desenvolver a habilidade para dividir em figuras geométricas
semelhantes.
Conteúdo: Geometria plana.
Pré-requisito: Precisa ter noção de tamanho, espaço, igualdade, de formas e
semelhança.
5 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo
Zero, P. 2, n. 12.
Desenvolvimento da atividade: Com o auxílio de uma régua fazer o desenho dado
no problema e tentar achar uma maneira de dividir a figura em 4 partes
semelhantes.
(A Experiência Russa)6 Corte a figura 3 ilustrada em quatro figuras, cada uma
semelhante à original com dimensões pela metade.
Figura 3: Figuras semelhantes
Resposta:
Segundo dia (4 horas):
No segundo encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos
por estarem presentes e participando das atividades. (10 min.)
6 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo
Zero, P. 229, n. 129.
Neste dia os alunos irão resolver problemas de análise combinatória, e
surgirá várias perguntas como: “Quantas maneiras existem de dirigir de um ponto
A até um ponto B? Quantas maneiras existem para combinar? Quantos caminhos
existem?” Estas e muitas outras perguntas surgirão no decorrer de cada situação
problema. Será necessário que os alunos registrem com atenção através de
desenhos e esquemas, pois, desta forma favorecerá a formação do pensamento.
Serão resolvidos os problemas num período de (3:35 min.)
PROBLEMA 01: A festa do chá
Objetivo: Ler e compreender o problema.
Conteúdo: Análise combinatória
Pré-requisito: É preciso saber interpretar o problema e definir uma formação de
pensamento que ajude na resolução.
Desenvolvimento da atividade: Após a leitura, através de conversação o aluno
deve entender o esquema e representar através de desenho. A solução também
é possível através de uma multiplicação.
(A Experiência Russa)7 Existem cinco tipos diferentes de xícaras de chá e três
tipos diferentes de pires na loja “A Festa do Chá”. De quantas maneiras você
pode formar um conjunto de xícara com pires?
Resposta: Vamos escolher uma xícara primeiro. Então para completar o conjunto,
podemos escolher qualquer um dos três pires. Logo temos 3 conjuntos diferentes
com a mesma xícara. Como existem cinco xícaras diferentes, temos 15 conjuntos
diferentes ou seja: (5 x 3 = 15)
7 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo
Zero, P. 11, n. 1.
PROBLEMA 02: A festa do chá 2
Objetivo: Ler e compreender o problema.
Conteúdo: Análise combinatória.
Pré-requisito: É preciso saber interpretar o problema e definir uma formação de
pensamento que ajude na resolução.
Desenvolvimento da atividade: Após a leitura, através de conversação, o aluno
deve entender o esquema e representar através de desenho. A solução é
possível através da multiplicação de três fatores.
(A Experiência Russa)8 A loja “A Festa do Chá” também tem quatro tipos
diferentes de colheres de chá. Quantos conjuntos diferentes podem ser
comprados considerando em uma xícara, um pires e uma colher de chá?
Resposta: Começamos com qualquer um dos 15 conjuntos do problema anterior.
Existem quatro maneiras diferentes de completá-lo com uma colher de chá.
Portanto, o número de todos os conjuntos possíveis é 60 pois: (5 x 3 = 15 e 15 x 4
= 60).
PROBLEMA 03: País das Maravilhas
Objetivo: Ler e compreender o problema.
Conteúdo: Análise combinatória.
Pré-requisito: É preciso saber interpretar o problema e definir uma formação de
pensamento que ajude na resolução.
Desenvolvimento da atividade: Após a leitura, através de conversação, o aluno
deve entender o esquema no desenho para solucionar. Deve compreender
também que precisa multiplicar.
8 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo
Zero, P. 11, n. 2.
(A Experiência Russa)9 No País das Maravilhas existem três cidades A, B e C.
Existem seis estradas ligando A a B e quatro estradas ligando B a C (veja a figura
1). De quantas maneiras é Possível dirigir de A a C?
Figura 01: País das Maravilhas
Resposta: 6 x 4 = 24
PROBLEMA 04: País das Maravilhas 2
Objetivo: Ler e compreender o problema.
Conteúdo; Análise combinatória.
Pré-requisito: É preciso ler, observar o desenho e ter a formação de um plano
para solucionar.
Desenvolvimento da atividade: Após a leitura, através de conversação, o aluno
deve entender o esquema do desenho para saber que deverá multiplicar e somar
para chegar a resposta.
(A Experiência Russa)10 Foi construída uma cidade nova D e diversas estradas
novas no País das Maravilhas (veja a figura 2). E agora, de quantas maneiras é
possível dirigir de A a C.
9 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo
Zero, P. 11, n. 3. 10
FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo Zero, P. 12, n. 4.
Figura 2: País das Maravilhas 2
Resposta: Considere dois casos: nosso trajeto passa por B ou D. Em cada caso é
bem fácil calcular o número de trajetos possíveis; se o trajeto passar por B,
existem 24 maneiras de dirigir de A a C; caso contrário, existem seis maneiras.
Para obter a resposta, basta somar estes dois números. Assim, existem 30
trajetos possíveis.
PROBLEMA 05: A festa do chá 3
Objetivo: Ler e compreender o problema.
Conteúdo: Análise combinatória.
Pré-requisito: Saber como será montado o esquema para desenhar a situação do
problema dado.
Desenvolvimento da atividade: Após a leitura, através de conversação, entender
que para chegar a solução serão feitas três multiplicações e somar os resultados.
(A Experiência Russa)11 Na loja “A festa do chá” são vendidos cinco tipos
diferentes de xícaras de chá, três tipos de pires e quatro tipos de colheres de chá.
Quantas compras diferentes de dois itens com nomes diferentes podem ser
feitas?
11
FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo Zero, P. 12, n. 5.
Resposta: Existem três casos possíveis: uma xícara e um pires, uma xícara e
uma colher ou um pires e uma colher. Então, o número de possibilidades em cada
um destes três casos: (3 x 5 = 15 ; 3 x 4 = 12 ; 5 x 4 = 20) somando os resultados
15 + 12 + 20 = 47
PROBLEMA 06: Tocaia
Objetivo: Ler e compreender o problema.
Conteúdo: Análise Combinatória.
Pré-requisito: Ler o problema, saber quem são as consoantes e as vogais para
definir a formação do pensamento que ajude a solucionar.
Desenvolvimento da atividade: Formar um esquema com as consoantes e as
vogais para perceber que o resultado pode também ser obtido através da
multiplicação dos fatores.
(A Experiência Russa)12 De quantas maneiras é possível escolher uma vogal e
uma consoante da palavra “TOCAIA”?
Resposta: Existem oito maneiras diferentes. Pois as consoantes são T e C; as
vogais são O, A, I e A. Então (2 x 4 = 8).
Terceiro dia (4 horas):
No terceiro encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos
por estarem presentes e participando das atividades (10 min.)
Neste dia serão resolvidos problemas envolvendo Geometria Plana, uma
oportunidade para o desenvolvimento do pensamento lógico e consistente. A
12
FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo Zero, P.18, n.29.
geometria é uma parte da matemática que tem diversos elos, com ótimas
oportunidades de demonstrar a integridade da Matemática. (3:35 min.)
PROBLEMA 01 Tábuas
Objetivo: Descobrir uma maneira para atravessar o rio usando a atenção e o
raciocínio.
Conteúdos: geometria, grandezas e medidas.
Pré-requisito: o aluno precisa entender o ângulo de 90 graus e medidas de
comprimento.
Desenvolvimento da atividade: em uma folha de papel cartolina confeccionar o
desenho em (cm). Explicar para o aluno o ângulo de 90 graus e a transformação
das medidas que no problema estão em metros.
Recortar o rio e as tábuas. Com o material confeccionado em mãos, tentar achar
uma maneira (movimentando as tábuas em cima do rio) para atravessá-lo
(A Experiência Russa)13 Um rio com 4 metros de largura faz uma curva de 90º
(veja a figura 1). É possível cruzar o rio usando duas tábuas com 3,9 m de
comprimento cada?
Figura 1: Tábuas
Resposta: veja figura 2.
13
FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo Zero, P. 3, n. 21.
Figura 2: Tábuas
PROBLEMA 02 Figuras no vazio
Objetivo: Aguçar o estímulo visual através da atenção, dobradura e recorte.
Conteúdo: Geometria
Pré-requisito: ter a noção para dobrar a folha em partes iguais e recortar.
Desenvolvimento da atividade: cada aluno receberá uma folha de papel, lápis,
régua e tesoura. Ler o problema com atenção e pôr em prática através de
dobradura e recorte para chegar a solução.
(OBMEP Banco de Questões 2012)14 Joãozinho dobrou duas vezes uma folha de
papel quadrada, branca de um lado e cinza do outro, e depois recortou um
quadradinho como na figura 3.
Figura 3: Figuras no vazio
14
OBMEP 2012 – Nível 1 – Somando Novos talentos para o Brasil – Banco de Questões – Geometria, P. 19, n. 30.
Qual das figuras ele encontrou quando desdobrou completamente a folha?
Resposta: A alternativa correta é a letra E.
PROBLEMA 03 Tesoura e papel
Objetivo: Obter formas geométricas a partir de dobradura e recorte.
Conteúdos: Geometria e área de figuras planas.
Pré-requisito: Saber medidas de comprimento, entender a maneira de dobrar a
folha de papel corretamente e saber calcular a área de figuras planas.
Desenvolvimento da atividade: Ler atentamente o problema para entender o que
está pedindo e após conversação sobre o mesmo, com uma folha de papel, fazer
as medidas indicadas no problema, fazer a dobradura conforme o desenho,
recortar onde está indicado, desdobrar o que ficou dobrado e calcular as áreas
das novas figuras.
(OBMEP Banco de Questões 2013)15 Uma folha de papel é retangular, com base
igual a 20 cm e altura 10 cm. Esta folha é dobrada nas linhas pontilhadas
conforme mostra a figura 4, e no final recortada por uma tesoura na linha
indicada, a qual é paralela à base e está na metade da altura do triângulo.
Figura 4: Tesoura e papel
15
OBMEP 2013 – Nível 3 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 54, n. 3.
a) Depois de cortar no local indicado, em quantas partes a folha ficou
dividida?
b) Qual é a área da maior parte?
Figura 4: Tesoura e papel
Resposta: A folha foi dividida em três pedaços. Os dois quadrados recortados nos
cantos superior esquerdo e superior direito tem lado igual a 5 cm. Como a área do
quadrado é 5 x 5 = 25. A folha é um retângulo de 20 x 10 = 200. Subtraindo a
área total pela área dos dois quadrados nos cantos, concluímos que a área do
pedaço maior da folha após o corte pela tesoura é 200 – 2 x 25 = 200 – 50 = 150
cm2.
PROBLEMA 04 Polígono
Objetivo: Obter a partir do desenho dado novas formas geométricas para
encontrar a área.
Conteúdos: Geometria, perímetro e área de figuras planas.
Pré-requisito: Ter noção de como é calculado o perímetro e a área de figuras
planas e a partir do desenho saber o processo para achar a área.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção, observar o desenho,
o perímetro do mesmo e descobrir a área. Poderão ser confeccionados 25
quadrados de 2 cm de lado em papel cartolina e recortados, para que seja
possível montar a figura 5 dada e assim ter a certeza de que está correta a
resposta.
(OBMEP nível1 2013)16 A figura 5 representa um polígono em que todos os lados
são iguais horizontais ou verticais e tem o mesmo comprimento 2 cm. O perímetro
desse polígono é 56 cm. Qual é a sua área?
Figura 5: Polígono
Resposta: Seu perímetro é a soma dos comprimentos, como são 28 segmentos e
cada lado 2 cm, então 28 x 2 = 56. A área de cada quadra do é 2 x 2 = 4 e a do
polígono é 25 x 4 = 100 cm2
PROBLEMA 05 Três pontos colineares
Objetivo: Estimular a observação por meio da atenção visual.
Conteúdo: Geometria.
Pré-requisito: Saber o que são pontos colineares.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema e a partir do desenho dado
observar e ir traçando quantas maneiras é possível três pontos colineares.
(OBMEP Banco de Questões 2013)17 Nove pontos são desenhados em uma folha
de papel, como mostrados na figura 6. De quantas maneiras é possível escolher
três pontos colineares?
16
Prova OBMEP 2013 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 2, n. 9. 17
OBMEP 2013 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 16, n. 8.
Figura 6: Três pontos colineares
Resposta: Existem 8 maneiras de se escolherem três pontos colineares.
PROBLEMA 06 Círculos e círculos
Objetivo: Calcular a área do círculo.
Conteúdo: Geometria e área.
Pré-requisito: saber calcular a área do círculo.
Desenvolvimento da atividade: primeiramente explicar ou relembrar como calcular
a área do círculo, observar e entender metade e inteiro. Ler atentamente o
problema e descobrir os cálculos que terá que realizar para chegar a solução do
mesmo, analisando que se sobrepor a região pintada de cinza na parte não
pintada vai se obter um círculo completo cinza.
(OBMEP Banco de Questões 2013)18 Na figura 7 veem-se círculos grandes e
pequenos. Os círculos grandes tem raio 2, e os círculos pequenos tem raio 1.
Qual é a área da região pintada de cinza?
18
OBMEP 2013 – Nível 2 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 38, n. 8.
Figura 7: Círculos e círculos
Resposta: A área da região pintada de cinza é a área de um círculo de raio 2,
logo, r é igual a .
Quarto dia (4horas):
No quarto encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos
por estarem presentes. (15 min.) Continuarão resolvendo problemas envolvendo
geometria por ser um conteúdo intrigante e que precisa analisar cada situação
com bastante atenção e interesse. (3:30 min.).
PROBLEMA 01 Triângulos com palitos de fósforo
Objetivo: Compreender através da observação a sequência dada.
Conteúdo: Sequência lógica e geometria.
Pré-requisito: Através da observação, ter a noção de como será a sequência para
dar continuidade e chegar a solução.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema, observar os
desenhos, montar os desenhos dados com palitos de fósforo, dar sequência com
os palitos até chegar ao quinto triângulo e contar quantos palitos de fósforo foram
usados para montar a sequência.
(OBMEP nível1 2012)19 Renata montou uma sequência de triângulos com palitos
de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura 1. Quantos palitos ela vai usar
para construir o quinto triângulo da sequência?
Figura 1: Triângulos com palitos de fósforo
A)36 B)39 C)42 D)45 E)48
Resposta: Observe que o primeiro triângulo é formado por 3 palitos, o segundo
por 3 + 6 = 9 palitos e o terceiro por 3 + 6 + 9 = 18 palitos. Seguindo esse padrão,
o quinto triângulo será formado por 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 palitos.
PROBLEMA 02 Quantos quadrados?
Objetivo: Sistematizar o conhecimento construído a partir da atenção e
observação.
Conteúdo: Geometria
Pré-requisito: Ter noção de vértice e de formação de quadrados.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e a partir do desenho
dado, traçar quadrados com o lápis para descobrir quantos quadrados com vértice
nos pontos é possível desenhar.
19
Prova OBMEP 2012 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1 , n. 2.
(OBMEP Banco de Questões 2013)20 O professor Ciconete desenhou no
quadrado os seguintes pontos: (veja a figura2).
.
Figura 2: Quantos quadrados?
Em seguida, ele perguntou aos seus alunos quantos quadrados com vértices em
tais pontos é possível desenhar. Qual é a resposta correta para a pergunta do
professor Ciconete?
Resposta: Considere primeiramente os quadrados de lado 1 que são seis
quadrados. Podemos também desenhar quadrados de lado 2 cujos vértices são
pontos do reticulado que é um quadrado.
É possível desenhar quadrados orientados em uma direção diferente que são três
quadrados. Assim concluímos que a resposta para a pergunta do professor
Ciconete é 6 + 1 + 3 = 10.
PROBLEMA 03 Azulejos de Pedro
Objetivo: Desenvolver a atenção e a observação assim como ter noção de
espaço.
Conteúdo: Geometria.
Pré-requisito: Ter noção de espaço e atenção. 20
OBMEP 2013 – Nível 2 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 42, n. 14.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema, observar os
desenhos das peças e o espaço que terá que encaixar as mesmas sem sobrar ou
faltar espaço. A partir de uma malha quadriculada desenhar, colorir e recortar as
peças para encaixar no tabuleiro dado com as medidas do problema.
(OBMEP Bando de Questões 2011)21 Pedro é um pedreiro. Ele tem um grande
número de azulejos de três tipos, como mostrado na figura 03:
Figura 3: Azulejos de Pedro
O menor lado de cada azulejo mede 10 cm. Ele quer ladrilhar completamente uma
bancada de uma cozinha sem cortar qualquer azulejo.
a) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um
retângulo de 60 cm x 50 cm.
b) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um
quadrado de 60 cm x 60 cm.
Resposta: a) Serão cinco peças em formato de L e duas peças em formato de +.
b) Serão quatro peças em formato de L e e quatro peças em formato de +.
PROBLEMA 04 RETÂNGULO 9 x 4
Objetivo: Relembrar seus conhecimentos de medidas para chegar a solução
exata do problema.
21
OBMEP 2011 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – Geometria - P. 16, n. 8.
Conteúdos: Medidas de comprimento e geometria.
Pré-requisito: Ter noção de espaço e medidas de comprimento.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o que está pedindo o problema e
em folha de cartolina desenhar com lápis e régua o retângulo de 9 x 4 cm e tentar
descobrir como terá que fazer para chegar ao quadrado de 6 x 6 com três peças e
com duas peças. Quando descobrir a maneira correta, recortar as figuras
montando corretamente como fala o problema e colar no espaço da resposta.
(OBMEP Banco de Questões 2011)22 A) Divida um retângulo de 9 x 4 cm em três
peças e remonte-as de modo a formar um quadrado de 6 x 6 cm. B) Divida um
retângulo de 9 x 4 cm em duas peças e remonte-as de modo a formar um
quadrado de 6 x 6 cm.
Resposta: A) Dividimos o retângulo 9 x 4 em dois retângulos 2 x 3 e em um
retângulo de 4 x 6 como mostra a figura 4.
Figura 4: Retângulo 9 x 4
B) Dividimos o retângulo 9 x 4 em duas figuras iguais em forma de L e as
agrupamos como mostra a figura 5.
Figura 5: Retângulo 9 x 4
22
OBMEP 2011 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 83, n. 15.
PROBLEMA 05 Herança para 5 filhos
Objetivo: Dividir em partes iguais.
Conteúdo: Geometria
Pré-requisito: Ter noção de espaço e igualdade.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, entender o processo de divisão
em partes iguais e a partir do desenho dado, com o lápis descobrir uma maneira
de dividir em cinco partes iguais e que em cada parte fique um quadrado cinza.
(OBMEP Banco de questões 2011)23 Divida a figura 6 em cinco partes do mesmo
formato e com áreas iguais de tal modo que cada parte contenha exatamente um
quadrado cinza.
Figura 6: Herança para 5 filhos
Resposta: A figura 7 mostra a solução do problema Herança para 5 filhos.
Figura 7: Herança para 5 filhos
23
OBMEP 2011 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – Desafios - P. 21, n. 30.
PROBLEMA 06 Contando quadrados
Objetivo: Observar e traçar corretamente os quadrados.
Conteúdo: Geometria
Pré-requisito: Saber ligar os pontos e formar quadrados.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e com o lápis ligar os
pontos contando os quadrados formados.
(OBMEP Banco de Questões 2011)24 Doze pontos são marcados sobre uma
grade de pontos, como mostra a figura 8. Quantos quadrados podem ser
formados ligando quatro desses pontos?
Figura 8: Contando quadrados
Resposta: São cinco quadrados pequenos, quatro quadrados médios e dois
quadrados grandes. Então, no total são 5 + 4 + 2 = 11 quadrados.
Quinto dia (4 horas):
No quinto encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos
por estarem presentes em mais uma tarde de atividades. Em seguida
responderão exercícios variados envolvendo operações com números inteiros,
números decimais, frações, porcentagem e medidas de capacidade.(3:45 min.).
24
OBMEP 2011 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – Desafios - P. 24, n. 36.
PROBLEMA 01 Esqueleto do Cubo
Objetivo: Encontrar uma maneira para efetuar o problema através de operações
matemáticas.
Conteúdos: Geometria e operações matemáticas.
Pré-requisito: Saber observar a figura e imaginar o real da mesma, entendendo
que através de operações matemáticas chegará ao resultado.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção e através de conversação com os
demais colegas e professora, entender a figura desenhada, para que através das
operações matemáticas se chegue ao processo de resolução.
(OBMEP Banco de Questões 2011)25 O esqueleto de um cubo 6 x 6 x 6 é formado
por cubinhos 1 x 1 x 1 como na figura 1. Quantos cubinhos formam este
esqueleto?
Figura 1: Esqueleto do cubo
Resposta: O esqueleto do cubo é formado por uma camada superior e uma
inferior com 20 cubinhos cada e quatro colunas com 4 cubinhos cada. Assim o
total de cubinhos é 2 x 20 + 4 x 4 = 56 cubinhos.
25
OBMEP 2011 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – Desafios - P. 38, n. 64.
PROBLEMA 02 Tira retangular
Objetivo: Desenvolver a atenção e a observação por meio de interpretação.
Conteúdo: Conjuntos numéricos.
Pré-requisito: Saber interpretar o problema e através de rascunho com uma tira
de papel e lápis chegar a solução do mesmo.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, desenhar e recortar uma tira de
papel para ir rascunhando os números conforme o enunciado do problema e
chegar a solução.
(OBMEP nível1 2012)26 A figura mostra parte de uma tira retangular de papel
dividida em quadrinhos numerados a partir de 1. Quando essa tira é dobrada ao
meio, o quadradinho com o número 19 fica em cima do que tem o número 6.
Quantos são os quadradinhos? (veja figura 2 )
Figura 2: Tira retangular
A)24 B)25 C)26 D)27 E)28
Resposta: Quando a tira é dobrada ao meio, o último quadradinho fica em cima
do quadradinho do número 1. Como o quadradinho 19 caiu em cima do 6, o 20
caiu em cima do 5, o 21 em cima do 4, o 22 em cima do 3, o 23 em cima do 2 e o
24 em cima do 1. Logo a tira de papel tem 24 quadradinhos.
PROBLEMA 03 Professora Luísa
Objetivo: Calcular corretamente o menor número possível.
26
Prova OBMEP 2012 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 2.
Conteúdos: Números decimais, frações e porcentagem.
Pré-requisito: Ter noção dos conteúdos utilizados para solucionar o problema.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção e através de conversação
interpretar o problema para resolver corretamente.
(OBMEP nível1 2012)27 A professora Luísa observou que o número de meninas
de sua turma dividido pelo número de meninos dessa mesma turma é 0,48. Qual
é o menor número possível de alunos dessa turma?
A)24 B)37 C)40 D)45 E)48
Resposta: O número 0,48 pode ser escrito na forma de uma fração decimal como
48/100. Simplificando esta fração de modo que o numerador e o denominador
seja os menores possíveis, obtemos
. Os números 12 e 25
representam respectivamente o número de meninas e de meninos; logo 12 + 25 =
37 alunos.
PROBLEMA 04 Muro em 15 dias
Objetivo: Interpretar corretamente o problema
Conteúdo: Número inteiro
Pré-requisito: Efetuar multiplicações com números inteiros.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção, interpretar e calcular
corretamente.
(OBMEP Banco de Questões 2010)28 Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros
de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em
15 dias?
27
Prova OBMEP 2012 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 2, n. 6.
A)104 B)110 C)120 D)128 E)112
Resposta: Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentará 15 x 8 =
120 metros. A opção correta é a C.
PROBLEMA 05 Quanto pesa?
Objetivo: Interpretar e calcular o peso corretamente.
Conteúdos: Grandezas e medidas.
Pré-requisito: Ter noção de medidas de massa e divisão de números inteiros.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção e interpretar a
operação matemática que terá a resolução do problema.
(OBMEP Banco de Questões 2010)29 A balança da figura 3 está em equilíbrio
com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas
iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso
de quantas bolas?
Figura 3: Quanto pesa?
A)1 B)2 C)3 D)5 E)6
Resposta: O peso de três saquinhos é igual ao peso de seis bolas. Daí
concluímos que o peso de um saquinho é igual ao peso de duas bolas. A opção
correta e a B.
28
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 1, n. 2. 29
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 1, n. 4.
PROBLEMA 06 Qual é o volume?
Objetivo: Desenvolver a percepção visual e a noção de quantidade.
Conteúdos: Grandezas e medidas.
Pré-requisito: Ter a base sobre as noções de grandezas e medidas, entender a
representação através de frações e ser bom observador.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, observar o desenho e através do
mesmo, interpretar quanto representa o volume de cada alternativa.
(OBMEP Banco de Questões 2010)30 Três frascos, todos com capacidade igual a
um litro, contem quantidades diferentes de um mesmo líquido, conforme a figura
4. Qual das alternativas melhor expressa o volume do líquido contido nos frascos
A, B e C, nessa ordem?
Figura 4: Qual é o volume?
A)
;
;
B)
;
;
C)
;
;
D)
;
;
E)
;
;
30
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 1, n. 6.
Resposta: As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos
correspondem, aproximadamente, a mais do que da metade do frasco A, o que
elimina as opções (a) e (e), à metade no frasco B e a menos da metade no frasco
C, o que elimina (c) e (d). O único grupo de frações que corresponde a essas
estimativas é 2/3 ( mais do que a metade), ½ ( metade ) e ¼ (menos do que a
metade). A opção correta é B.
Sexto dia (4 horas):
No sexto encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos por
estarem presentes em mais um encontro (15 min.).
Neste dia resolverão problemas com porcentagem, média aritmética, geometria,
potenciação e medidas de comprimento; isto por se tratarem de problemas
variados, mas de grande importância para o aprendizado dos alunos. (3:30min.)
PROBLEMA 1 Descontos e descontos
Objetivo: Calcular o desconto através de operações.
Conteúdo: Porcentagem
Pré-requisito: Saber fazer cálculos com porcentagem.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e através de
conversação com o grupo descobrir que operações darão a resposta correta para
o problema.
(OBMEP Banco de Questões 2010)31 Uma farmácia dá desconto de 30% sobre o
preço de tabela de todos os medicamentos que vende. Ao adquirir um remédio
cujo preço de tabela é R$ 120,00, quantos reais uma pessoa irá pagar?
A) 36 B) 84 C) 64 D) mais do que 116 E) 94
31
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 2, n. 7.
Resposta: 30% de 120 ou seja, 30/100 = 0,3 então: 0,3 x 120 = 36. Assim a
pessoa 120 – 36 = 84 reais
OU 100 – 30 = 70% de 120 ou seja, 0,7 x 120 = 84 reais.
PROBLEMA 02 Consumo de água
Objetivo: Calcular a média do consumo de água.
Conteúdo: Média aritmética.
Pré-requisito: Saber fazer operações matemáticas e ter noção de média entre os
números.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e entender que a
média aritmética entre os números é dada a partir da soma dos números e
dividido pela quantidade de valores.
(OBMEP Banco de Questões 2010)32 Na tabela 1 vemos o consumo mensal de
água de uma família durante os 5 primeiros meses de 2004. Qual é o consumo
mensal médio de janeiro a maio dessa família em m3?
Tabela 1: Consumo de água
A)11,3 B)11,7 C)12,7 D)63,5 E)317,5
32
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 2, n. 11.
Resposta: O consumo mensal médio é a soma dos consumos mensais dividida
pelo número de meses. Então:
m3
PROBLEMA 03 Desenhando o cubo
Objetivo: Estimular o visual através da atenção.
Conteúdo: Geometria.
Pré-requisito: Ter atenção e saber analisar a situação dada.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema; em folha de cartolina, com lápis e
régua, desenhar a planificação do cubo e os desenhos existentes na posição
correta das faces do cubo. Recortar, montar e colar o cubo, analisando a
alternativa correta.
(OBMEP Banco de Questões 2010)33 A figura 1 foi desenhada em cartolina e
dobrada de modo a formar um cubo.
Figura 1: Desenhando o cubo
Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?
A)
33
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 3, n. 14.
B)
C)
D)
E)
Resposta: Alternativa B
PROBLEMA 04 Mosaicos quadrados
Objetivo: Estimular a curiosidade através do raciocínio.
Conteúdos: Geometria e potenciação.
Pré-requisitos: Saber desenhar quadradinhos e quantos quadradinhos brancos e
pretos vão aumentar em cada desenho da sequência dada de mosaicos.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção e com régua e lápis continuar
desenhando a sequência de mosaicos para chegar a 80 azulejos pretos e através
da contagem dos quadradinhos brancos chegar a resposta do problema. Também
pode-se chegar a resposta através da potenciação do número de azulejos
brancos em cada mosaico.
(OBMEP Banco de Questões 2010)34 Uma sequência de mosaicos é construída
com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o
primeiro formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo
por quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos e assim,
sucessivamente, como indica a figura 2. Se numa sequência de mosaicos
formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos
serão os azulejos brancos utilizados?
Figura 2: Mosaicos quadrados
A)55 B)65 C)75 D)85 E)100
Resposta: Através do desenho da sequência de mosaicos é possível ir contando
os quadradinhos pretos e depois os brancos para chegar a 55 azulejos brancos.
Ou o número total de azulejos brancos nesta sequência de cinco mosaicos é:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 azulejos brancos.
PROBLEMA 05 Quatro formiguinhas
Objetivo: Descobrir através de cálculos matemáticos a distância
percorrida.Conteúdo: Medidas de comprimento.
Pré-requisito: Saber calcular com medidas de comprimentos com atenção.
34
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 4, n. 20.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção, observar o desenho
dado as distâncias percorridas pelas formigas, quanto mede cada espaço
percorrido e através de cálculos ir somando os trajetos.
(OBMEP Banco de Questões 2010)35 Quatro formigas atravessam o piso de uma
sala coberto de lajotas retangulares, segundo os trajetos indicados na figura 3.
Qual é o comprimento do trajeto percorrido por Biloca.
Figura 3: Quatro formiguinhas
A)30 dm B)35dm C)55dm D) 24dm E)48dm
Resposta: 3 diagonais 3 x 5 = 15
4 larguras 4 x 3 = 12
2 comprimentos 2 x 4 = 8
Então: 15 + 12 + 8 = 35dm
PROBLEMA 06 Dominós
Objetivo: Entender o processo da multiplicação através das peças do dominó.
Conteúdo: Números
Pré-requisito: Saber o processo simples da multiplicação.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema e através de uma multiplicação
simples entender o processo usado na figura com as peças do dominó.
35
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 12, n. 75.
(OBMEP Banco de Questões 2010)36 Juliana representou uma multiplicação com
5 dominós. Seu irmão Bruno trocou 2 dominós de posição (veja a figura 4) e
agora a multiplicação ficou errada. Troque de volta a posição de dois dominós
para que a multiplicação fique novamente correta.
Figura 4: Dominós
Resposta: veja a figura 5.
Figura 5: Dominós
Sétimo dia (4 horas):
No sétimo encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos
por estarem presentes em mais um dia de atividades e responderão problemas de
36
OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões –- P. 19, n. 123.
contagem que podem ser resolvidos com raciocínios simples ou com operações
matemáticas. (3:45 min.)
PROBLEMA 01 Possíveis Bandeiras
Objetivo: Habituar o aluno a trabalhar com problemas de contagem.
Conteúdo: Geometria e números inteiros.
Pré-requisito: Entender o processo de contagem para solucionar o problema.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema, observar que o
modelo da bandeira usa apenas duas cores para colorir e que são três cores para
combinar; então, quais serão as possíveis combinações de bandeiras que
poderão ser desenhadas e coloridas? Após conversação no grupo desenhar as
mesmas e colori-las.
(OBMEP Métodos de Contagem e Probabilidade PIC 2012)37 Uma bandeira com
a forma mostrada na figura 1 vai ser pintada utilizando duas das cores dadas.
Figura 1: Possíveis bandeiras
Resposta: São seis possíveis combinações. Preta e cinza; preta e branca; cinza e
preta; cinza e branca; branca e preta; branca e cinza.
37
OBMEP – PIC 2012 – Métodos de Contagem e Probabilidade – Capítulo 1 – P. 1, n. 1.
PROBLEMA 02 Líder e vice-líder
Objetivo: Desenvolver a imaginação para problemas simples.
Conteúdo: Probabilidade
Pré-requisito: Ter noção de combinar e atenção para chegar a solução correta.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e observar as
possíveis possibilidades de combinação através de conversação com o grupo.
(OBMEP Métodos de Contagem e Probabilidade PIC 2012)38 Um grupo de quatro
alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) tem que escolher um líder e um vice-
líder para um debate.
A) Faça uma lista de todas as possíveis escolhas. Organize a sua lista do
seguinte modo: primeiro escreva todas as possibilidades em que Alice é a
presidente, depois, aquelas em que Bernardo é presidente, e assim por
diante.
B) Conte o número de possíveis escolhas e verifique que o Princípio
Multiplicativo fornece a mesma resposta.
Resposta: Alice e Bernardo; Alice e Carolina; Alice e Daniel.
Bernardo e Alice; Bernardo e Carolina; Bernardo e Daniel.
Carolina e Alice; Carolina e Bernardo; Carolina e Daniel.
Daniel e Alice; Daniel e Bernardo; Daniel e Carolina. Então: 3 x 4 = 12
possibilidades
PROBLEMA 03 Quatro contas
Objetivo: Despertar o aluno para cálculos mentais.
Conteúdo: Operações com números inteiros.
Pré-requisito: Saber efetuar operações simples e o processo de contagem.
38
OBMEP – PIC 2012 – Métodos de Contagem e Probabilidade – Capítulo 1 – P. 11, n. 1.
Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção, observar a figura e
efetuar os cálculos pedidos.
(OBMEP nível1 2009)39 Partindo do número 2 na figura 2 e fazendo as quatro
contas no sentido da flecha o resultado é 12, porque 2x24=48, 48:12=4, 4x6=24 e
24:2=12.
Se fizermos a mesma coisa partindo do maior número que aparece na figura, qual
será o resultado?
Figura 2: Quatro contas
A) 18 B) 32 C) 64 D)72 E) 144
Resposta: Alternativa E – 144
PROBLEMA 04 Acampamento
Objetivo: Desenvolver habilidades para raciocinar.
Conteúdo: Probabilidade.
Pré-requisito: Ter noção de combinação.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção os dados do problema e imaginar
a situação, através de conversação com seus colegas de grupo descobrir a
solução. Se cada nome apareceu na lista três vezes e o nome de cada um é
39
Prova OBMEP 2009 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 3.
diferente; são seis noites e a cada noite dois amigos ficavam de vigia, então como
é preciso pensar para chegar a solução?
(OBMEP nível 1 2009)40 Um grupo de amigos acampou durante seis noites e,
toda noite, dois deles vigiaram o acampamento. Cada um ficou de guarda três
vezes, nunca com o mesmo amigo. Quantos eram os amigos?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18
Resposta: São seis noites, cada noite dois amigos ficavam de vigia, então 6 x 2 =
12 nomes. Mas cada nome apareceu na lista três vezes, então 12 : 3 = 4 amigos.
Chamando os amigos de A, B, C e D a lista de vigias será: A e B; A e C; A e D; B
e C; B e D; C e D.
PROBLEMA 05 Discos de papelão
Objetivo: Ordenar corretamente os discos através da observação.
Conteúdo: Geometria.
Pré-requisito: Saber analisar através da observação a ordem correta em que os
discos estão sobrepostos.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção a situação do problema. Com
folha de cartolina e compasso desenhar os discos, recortá-los e identificá-los com
as letras indicadas. Então tentar pôr em ordem os discos.
(OBMEP nível1 2006)41 Cinco discos de papelão foram colocados um a um sobre
uma mesa, conforme mostra a figura 3. Em que ordem os discos foram colocados
na mesa?
40
Prova OBMEP 2009 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 3, n. 11. 41
Prova OBMEP 2006 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 4.
Figura 3: Discos de papelão
A) V, R, S, U, T
B) U, R, V, S, T
C) R, S, U, V, T
D) T, U, R, V, S
E) V, R, U, S, T
Resposta: Alternativa A
PROBLEMA 06 A soma
Objetivo: Desenvolver habilidades para cálculos simples.
Conteúdo: Números inteiros.
Pré-requisito: Ter noção e soma entre os números.
Desenvolvimento da atividade: Ler o exercício e calcular a resposta mentalmente
ou através de rascunhos.
(OBMEP nível1 2006)42 Quanto é 99 + 999 + 9 999?
A) 10 997
B) 11 007
42
Prova OBMEP 2006 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 1.
C) 11 097
D) 99 997
E) 99 999
Resposta: Alternativa C.
Oitavo dia (4 horas):
No oitavo e último encontro os alunos serão recepcionados com
agradecimentos por estarem presentes (5min.). Neste dia os alunos responderão
problemas variados e será explicado aos mesmos que será uma pequena
Olimpíada de Matemática e eles deverão chegar a uma solução sem discutir com
o grupo ou com a professora sobre os problemas dados. Os problemas serão
respondidos individualmente e após a resolução dos problemas, será feita a
correção e também marcado o número de acertos. Os alunos que obtiverem mais
acertos serão premiados com homenagem e lembrancinhas. (3:40min).
PROBLEMA 01 Terreno
Objetivo: Determinar o perímetro através de cálculo.
Conteúdo: Medidas de comprimento.
Pré-requisito: Saber somar medidas.
Desenvolvimento da atividade: Cada aluno vai ler o problema e tentar entender a
maneira correta para efetuar o mesmo.
(OBMEP nível1 2005)43 Daniela quer cercar o terreno representado pela figura 1.
Nessa figura dois lados consecutivos são sempre perpendiculares e as medidas
43
Prova OBMEP 2005 –Nível 1 – 1ª Fase – P. 2, n. 8.
de alguns lados estão indicadas em metros. Quantos metros de cerca Daniela
terá que comprar?
Figura 1: Terreno
A) 140 B) 280 c) 320 D) 1 800 E) 4 800
Resposta: Alternativa B
PROBLEMA 02 Litros de gasolina
Objetivo: Desenvolver o raciocínio através de cálculos.
Conteúdo: Medida de capacidade
Pré-requisito: Entender que operação terá que usar para encontrar a solução.
Desenvolvimento da atividade: Ler individualmente e tentar interpretar o mesmo
através de cálculos para se chegar a solução.
(OBMEP nível1 2005)44 A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é
de 50 litros. As figuras 2 e 3 mostram o medidor de gasolina do carro no momento
de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos
litros de gasolina João gastou nesta viagem?
44
Prova OBMEP 2005 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 2, n. 7.
Figura 2: Litros de gasolina Figura 3: Litros de gasolina
A) 10 B) 15 C)18 D) 25 E) 30
Resposta: Alternativa D. As figuras mostram que o tanque de gasolina do carro
continha ¾ no momento da partida e ¼ no momento de chegada. Deste modo
João gastou ¾ - ¼= ½ do tanque na viagem. Como o tanque tem capacidade para
50 litros, metade de 50 é 25 litros.
PROBLEMA 03 Aninha
Objetivo: Interpretar e calcular corretamente.
Conteúdo: Números decimais.
Pré-requisito: Ter noção de peso e operações com números decimais.
Desenvolvimento da atividade: Ler e interpretar o problema.
(OBMEP nível1 2006)45 Aninha nasceu com 3,250 quilos. A figura 4 mostra
Aninha sendo pesada com um mês de idade. Quanto ela engordou, em gramas,
em seu primeiro mês de vida?
45
Prova OBMEP 2006 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 2.
Figura 4: Aninha
A)550 B)650 C)750 D)850 E)950
Resposta: Alternativa D. 4100 – 3250 = 850 gramas.
PROBLEMA 04 Partes iguais
Objetivo: Identificar a figura correspondente.
Conteúdo: Geometria e proporção.
Pré-requisito: Saber identificar partes de um todo.
Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção para interpretar e identificar a
alternativa correta.
(OBMEP nível1 2008)46 Cada uma das figuras está dividida em 16 partes iguais.
Em qual delas a parte cinza correspondente a 5/8 da área total?
46
Prova OBMEP 2008 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 2.
A)
B)
C)
D)
E)
Resposta: Alternativa D. Todas as figuras são formadas por 16 partes iguais e
5/8=10/16. Logo, a única figura que serve é a que tem 10 partes de cor cinza.
PROBLEMA 05 Praça de Quixajuba
Objetivo: Analisar com atenção que horas o relógio estava marcando.
Conteúdo: Medidas de tempo.
Pré-requisito: Ter noção de medidas de tempo e saber interpretar o problema
dado.
Desenvolvimento da atividade: Ler e analisar o desenho, tentando assim
interpretar o mesmo.
(OBMEP nível1 2009)47 Benjamim passava pela Praça de Quixajuba, quando viu
o relógio da praça pelo espelho da bicicleta, como na figura 5. Que horas o relógio
estava marcando?
Figura 5: Praça de Quixajuba
A)5h 15min B)5h 45min C)6h 15min
D)6h 45min E)7h 45min
Resposta: Alternativa A. 5h 15min.
47
Prova OBMEP 2009 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 1.
PROBLEMA 06 Expressões
Objetivo: Proporcionar aos alunos a oportunidade de calcular com atenção.
Conteúdo: Expressões numéricas.
Pré-requisito: Ter habilidades com as operações.
Desenvolvimento da atividade: Observar as expressões numéricas e calculá-las.
(OBMEP nível1 2007)48 Qual das expressões tem maior resultado?
A) (6 + 3) x 0
B) 6 x 3 x 0
C) 6 + 3 x 0
D) 6 x (3 + 0)
E) 6 + 3 + 0
Resposta: Alternativa D
4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS:
Acredita-se que as atividades propostas por meio da resolução de
problemas sejam uma busca interessante de interpretação e diálogo para que o
grupo sinta-se desafiado e motivado em resolver.
A implementação da unidade didática representa uma etapa de
responsabilidade e muitos desafios. O objetivo deste material é aprimorar e
oportunizar novos talentos ajudando-os em sua formação crítica e reflexiva.
Durante a aplicação do Projeto de Intervenção Pedagógica, o docente
avaliará e observará continuamente os progressos dos alunos. Por se tratar de
crianças com níveis diferentes e ritmos próprios de aprendizagem, pode ser
necessário fazer alterações nos problemas propostos, visando o aperfeiçoamento
48 Prova OBMEP 2007 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 2.
do trabalho e a concretização dos objetivos almejados nesta experiência
inovadora.
REFERÊNCIAS
__________Sobre a Resolução de Problemas de Matemática na High Shool. In: Krilik, S; Reys, R.E.A. Resoluções de Problema na Matemática escolar. São Paulo: atual, 1997.
BUTHS, Thomas. Formulando Problemas Adequadamente. In: Krulik, S; Reys, R. E. Escolar. São Paulo: Atual, 1997.
DANTE. Luiz Roberto, Didática de Resoluções de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2005.
Edição Especial OBMEP - Volume 2 da coleção Explorando o Ensino de Matemática – 2009.
FORMIN. Dmitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG Ilia, Círculos Matemáticos - Experiência Russa.
OBM – Olimpíada Brasileira de Matemática. Disponível em www.obm.obm.org.br. Acesso em 05 de novembro de 2013.
OBMEP 2005 – nível 1–1ª fase - Somando Novos Talentos para o Brasil.
OBMEP 2006 – nível 1 – 1ª fase - Somando Novos Talentos para o Brasil.
OBMEP 2008 – nível 1 – 1ª fase - Somando Novos Talentos para o Brasil.
OBMEP 2009 – nível 1 – 1ª fase - Somando Novos Talentos para o Brasil.
OBMEP 2010 – nível 1 - Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de questões.
OBMEP 2011 – nível 1 - Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de questões.
OBMEP 2012 – nível 1 – 1ª fase - Somando Novos Talentos para o Brasil.
OBMEP 2013 – nível 1 – 1ª fase - Somando Novos Talentos para o Brasil.
OBMEP. Regulamento 2012.s.d. disponível em: >http:/www.obmep.org.br/regulamento.html>acesso em 28 de outubro de 2013.
OMEP- PIC 2012 - Métodos de Contagem e Probabilidade http://www.obmep.org.br/docs/Apostila2-contagem.pdf (dia 06/11/2013).
PARANÀ, Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática, Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Curitiba PR, 2008.
POLYA. G. A Arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.