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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE
II
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ – UNIOESTE
ALEXANDRA RUWER GEBARA
PRODUÇÃO DE UNIDADE DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
"O X DA QUESTÃO”: INTERPRETAÇÃO E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU
CASCAVEL- PR 2014
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA – TURMA 2014
Título: "O X da questão”: Interpretação e Resolução de Problemas Envolvendo
Equações de 1º Grau
Autor ALEXANDRA RUWER GEBARA
Disciplina/Área (ingresso no
PDE)
MATEMÁTICA
Escola de Implementação
do Projeto e sua
localização
Colégio Estadual de Jardim Santa Felicidade
Município da escola CASCAVEL
Núcleo Regional de
Educação
CASCAVEL
Professor Orientador Simone Aparecida Miloca
Instituição de Ensino
Superior
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE
Relação Interdisciplinar Matemática
Resumo
O objetivo deste trabalho é analisar a contribuição de duas
propostas diferentes de ensino, para o processo de ensino
aprendizagem dos alunos do 7° ano quanto ao assunto
equações do 1° grau. As propostas metodológicas
envolvem resolução de problemas, porém uma delas será
feito uso preferencialmente de material concreto e na
outra, livros didáticos. Espera-se despertar o interesse nos
alunos, contribuindo na interpretação e resolução de
problemas de modo que o aluno consiga traduzir as
sentenças apresentadas em linguagem algébrica, ler,
interpretar e resolver as equações, valorizando a razão
pela qual o aluno deve aprender matemática. Para
desenvolver e construir relações com as equações os
conteúdos envolvidos serão expressão algébrica,
simplificação de expressões algébricas, expressão
equivalente, operações inversas, cálculo mental, princípio
aditivo e multiplicativo.
Palavras-chave Equações de 1º Grau; Resolução de Problemas;
Expressão Algébrica
Formato do Material
Didático
Unidade Didática
Público Alvo Alunos dos 7ºAno do Ensino Fundamental
1. APRESENTAÇÃO
O objetivo deste trabalho é analisar a contribuição de duas propostas
diferentes de ensino, para o processo de ensino aprendizagem de alunos do 7°
ano quanto ao assunto equações do 1° grau.
Sabemos que a importância da escola está intimamente ligada às
necessidades e ao progresso da humanidade. Diante disso cada disciplina tem
seu papel na do conhecimento do aluno e esta construção acontece
gradativamente com o passar do tempo. E que o papel da Matemática no Ensino
Fundamental como meio facilitador para a estruturação e o desenvolvimento do
pensamento é necessário, além de outras capacidades como síntese, análise
comparação, abstração, ordenação e capacidades que favorecem o acesso ao
conhecimento. Segundo o PCN de Matemática (1998 p. 29):
É importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e
indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais,
na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do
aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e
atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de
conhecimentos em outras áreas curriculares (BRASIL, 1998).
Nos últimos anos, conforme pesquisa do SAEB o desempenho dos
estudantes da educação básica em testes de Matemática tem sido objeto de
debate entre pesquisadores da área. Esses testes revelam que apenas 10,3%
dos jovens brasileiros têm aprendizado adequado em matemática ao final do
ensino médio, segundo aponta o relatório. Os dados foram atualizados com base
nos resultados da Prova Brasil/SAEB 2011. Estes dados comprovam que existem
muitas dificuldades no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, tanto
por parte dos alunos quanto por parte dos professores. A maioria dos alunos
apresenta baixo nível de proficiência em relação a essa disciplina (BRASIL,
2011).
Diante deste fato a problemática é voltada para as possíveis dificuldades
que os alunos do 7º ano encontram na interpretação e resolução de problemas
envolvendo equações de 1º grau. A intervenção pedagógica será desenvolvida no
Colégio Estadual de Jardim Santa Felicidade. O público-alvo serão os alunos de
dois 7º anos do ensino fundamental.
Propõe-se uma unidade didática que contemple o desenvolvimento de um
trabalho diferenciado em relação às práticas pedagógicas tradicionais no ensino
da matemática. Objetiva-se buscar informações quanto as interpretações dos
alunos sobre as tarefas matemáticas propostas e as explicações dos processos
que utilizaram na resolução das mesmas. Para isso, duas abordagens serão
utilizadas, ambas envolvendo resolução de problemas preferencialmente
contendo situações do cotidiano, porém em uma delas será feito uso de material
concreto e em outra, livros didáticos.
Os conteúdos envolvidos abrangem expressão algébrica, simplificação de
expressões algébricas, expressão equivalente, operações inversas, cálculo
mental, princípio aditivo e multiplicativo.
2. A ÁLGEBRA NO ENSINO FUNDAMENTAL
A Álgebra é um ramo da Matemática que se ocupa da simbolização de
relações numéricas, de estruturas matemáticas e das operações sobre essas
estruturas. Dessa forma, o estudo da álgebra como enfatiza os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN, 1998), é um espaço significativo para que o aluno
amplie e exercite sua habilidade de abstração e generalização, além de lhe
permitir a aquisição de uma importante ferramenta para resolver situações
problema.
O Guia de livros Didático–PNLD (2013), enfatiza que:
O primeiro princípio metodológico amplamente reconhecido como
importante hoje é que o ensino e a aprendizagem da Matemática devem
estar baseados na resolução de problemas. Um problema não é uma
atividade de simples aplicação de técnicas e procedimentos já
exemplificados. Ao contrário, é uma atividade em que o aluno é
desafiado a mobilizar seus conhecimentos matemáticos, procurar
apropriar-se de outros, sozinho ou com a ajuda de colegas e do
professor, a fim de elaborar uma estratégia que o leve a uma solução da
situação proposta (BRASIL, 2013, p. 17).
Desta forma, é de fundamental importância segundo Costa (2008) que:
A ação didática realizada com os alunos deve ser permeada em situações práticas e, quando possível, divertidas, envolvendo a parte lúdica da matemática, com apresentação de problemas interessantes que envolvam o aluno, o desafiem e que, principalmente, o motivem a querer resolvê-las. Daí ser necessário que o próprio aluno manipule o material didático, pois é por meio de suas próprias experiências que eles aprendem.
O campo algébrico é organizado por diferentes conteúdos, entre eles se
encontram as equações do 1º grau. Os PCN (1998) afirmam que uma forma de
auxiliar os alunos a atingirem o patamar da generalização algébrica, é propondo
problemas, pois a exploração de situações-problema auxilia o aluno no
reconhecimento de diferentes funções da álgebra, na representação de
problemas por meio de equações e inequações e na compreensão das regras de
resolução de uma equação (BRASIL, 1998).
O estudo algébrico envolve uma interpretação de enunciados, o que
demanda a transposição da linguagem escrita para a linguagem matemática e,
muitas vezes, as dificuldades apresentadas pelos alunos nesta tradução residem
na compreensão. Não sendo capaz de interpretar, o aluno não conseguirá
representar formalmente a situação. Para Lochhead e Mestre (1995), muitos
alunos possuem dificuldades na resolução de problemas algébricos bastante
simples, principalmente quando estes necessitam da tradução da linguagem
corrente para a linguagem formal. Segundo estes mesmos autores, “sem a
capacidade de interpretar expressões, os alunos não dispõem de mecanismos
para verificar se um dado procedimento é correto” (LOCHHEAD e MESTRE,1995,
p.148).
Percebe-se que o aluno tem uma grande dificuldade em compreender os
procedimentos que fazem parte do estudo algébrico. Existem erros que se
repetem e persistem de um ano para outro. Estes conceitos que envolvem a
Álgebra são enfatizados na 7° ano do Ensino Fundamental e serão utilizados até
o final do Ensino Médio. Então, é importante que o aluno consiga apropriar-se
deles para que possa aplicá-los nas mais diversas situações.
Da mesma forma, é necessário que o trabalho de conceitos e
procedimentos algébricos também seja gradual no ensino, passando por uma
fundamentação verbal, a fim de que os conceitos, assim como sua representação
simbólica, sejam apropriados pelos alunos de forma efetiva para que o mesmo
não tenha dificuldades nos anos seguintes.
2.1 EQUAÇÕES DO 1º GRAU
A álgebra começa a ser apresentada na Europa para designar o estudo
das equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI, com a obra de
Al-Khwarizmi. Ele resolvia as equações de uma maneira semelhante à que
usamos hoje. A diferença é que tudo, até mesmo os números, eram expressos
por palavras. Ele escreveu um livro chamado Aljabr, que significa “restauração”.
Esse livro trazia explicações minuciosas sobre a resolução de equações. Da
expressão Al-jabr, originou-se a palavra Álgebra (EVES, 2004).
Diofante foi um matemático grego que viveu no século III d.C. Ele usou a
idéia de representar um número desconhecido por uma letra e, por isso, acredita-
se que tenha influenciado outros matemáticos. Ele escreveu três trabalhos:
Aritmética; Sobre Números Poligonais e Prismas. O primeiro se ocupa de
equações determinadas em uma incógnita e os demais de equações
indeterminadas de segundo grau. Uma parte do seu trabalho é dedicada a
resolução de 130 problemas, cujos modelos, são equações do primeiro e segundo
grau (EVES, 2004). A representação de quantidades desconhecidas de uma
equação pelas últimas letras do alfabeto ( x, y ) foi proposto pelo filósofo e
matemático francês René Descartes (1596-1650), na primeira metade do século
XVII.
Conforme Eves (2004) para se chegar ao que hoje chamamos de
“Equação do 1º grau”, foi necessário um longo período de construção e
desenvolvimento, para o qual contribuíram muitos matemáticos, entre os quais
destacamos: Al-Khwarizmi, Diofante, René Descartes, Paolo Ruffini, Niels Henrik
Abel, Luca Pacioli, Niccolo Fontana.
Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista
uma ou mais letras que representem números, é denominada equação. Cada
letra que representa este número desconhecido é chamada de variável ou
incógnita. A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é
denominada 1º membro da equação (ou igualdade). A expressão matemática
situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade (ou
equação) (MATEMATIQUES, 2014).
Portanto, utilizamos uma equação para calcular o valor de um termo
desconhecido que será representado por uma letra. As equações possuem sinais
operatórios como, adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e
igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são
compostos de elementos constituídos por dois tipos: Elemento de valor constante:
representado por valores numéricos e elemento de valor variável; representado
pela união de números e letras (NOÉ, 2014).
As Diretrizes Curriculares do Paraná (2009) articulam os conteúdos
estruturantes (Números e Álgebras, Grandezas e Medidas, Geometrias, Funções,
Tratamento de Informações), desdobramento o conteúdo Números e Álgebras
para o 7º ano em: Números Inteiros; Números Racionais; Equação e Inequação
do 1º grau; Razão e proporção e Regra de três simples.
2.2 EQUAÇÕES E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Segundo Ponte (2005), com a aprendizagem das equações os alunos
iniciam uma nova etapa no seu estudo da Matemática. O aparecimento de novas
expressões, que envolvem novos símbolos e novas regras de manipulação,
remete para outro nível de abstração, representando, para o aluno, uma ruptura
com a Matemática “concreta” da Aritmética.
Uma equação do 1º grau pode ser solucionada de diferentes maneiras.
Bernard e Cohen (1995) destacam quatro métodos de solução que podem
constituir também uma sequência de ensino evolutiva. Os métodos, na sequência
de ensino são: (1) gerar e avaliar, (2) esconder, (3) desfazer e (4) equações
equivalentes.
O método de gerar e avaliar consiste em gerar valores, primeiramente
aleatoriamente, e aplicá-los à equação verificando ou não a validade, ou seja,
trata-se de um método de tentativa e erro.
O método de esconder é aplicado na resolução de equações aritméticas
simples, consistindo em esconder à variável e fixar a atenção ao que a equação
pede (como os problemas resolvidos nos anos iniciais). Assim na situação 10 – x
= 7, esconder-se-ia a variável x e se perguntaria “dez menos quanto resulta em
sete?
Já o método de desfazer “baseia-se nas noções de inversos operacionais
e na reversibilidade de um processo envolvendo um ou mais passos invertíveis”
(BERNARD & COHEN, 1995, p. 116). “Assim, as operações, geralmente do
primeiro membro, são desfeitas”, através de operações inversas, buscando isolar
a incógnita e determinar seu valor.
O último e mais complexo método de resolução de equações pressupõe a
conceituação de equações equivalentes. Para isso, primeiramente deve haver
uma compreensão mais profunda do sinal de igualdade, que deve deixar de
pressupor um resultado, como frequentemente é compreendido pelo aluno e
passar a representar a existência de equivalência. Assim o método de equações
equivalentes é semelhante ao método de desfazer, mas pelo fato da equação
constituir uma equivalência, as operações devem ser desfeitas em ambos os
membros da equação (BOOTH, 1995).
2.3 O LIVRO DIDÁTICO
No processo de ensino e aprendizagem, o livro didático é um interlocutor
que dialoga com o professor e com o aluno. Nesse diálogo, o livro é portador de
uma perspectiva sobre o saber a ser estudado e sobre o modo mais eficaz de
aprendê-lo.
Para ser utilizado nas escolas públicas do Brasil, qualquer livro didático
precisa responder por alguns critérios, entre os quais, apresentar um conteúdo
acessível para a faixa etária destinada, estimular e valorizar no texto a
participação do aluno, combater atitudes e comportamentos passivos. O livro
deve também, promover uma integração entre os temas discutidos valorizando o
conhecimento do aluno e conter ilustrações atualizadas e corretas (ARRUDA;
MORETTI, 2002).
Traremos aqui um breve relato da pesquisa da Professora Rejane Melara
sobre os livros didáticos nas últimas décadas até a atualidade.
Melara (2009) diz que, não é intenção destacar o que cada livro traz de
maneira isolada e sim fazer uma análise de como este assunto é apresentado aos
alunos, desde a década de 70 até a atual. São analisados dois livros de cada
década, por ser este apenas um complemento de estudos, com o objetivo de
explicitar a forma como o assunto (equações de 1º grau) foi abordado nesse
tempo. São eles: Costa e Anjos (1970), Catunda (1971), Giovanni e Castrucci
(1985), Andrini (1989), Giovanni (1992), Jakubo e Lellis (1994), Lezzi, Doce e
Machado (2005) e Iracema e Dulce (2006).
De acordo com Melara (2009) conforme a análise dos livros da década de
70 observou-se que o conceito e exemplos de resolução de equações fazem à
introdução ao capítulo. Valoriza uma abordagem puramente algébrica e as
equações são resolvidas a partir das operações inversas. Não ocorrem
questionamentos nem situações significativas. Nos livros didáticos da década de
80, a terminologia e as definições fazem à introdução; apresentam-se exemplos
resolvidos e, em seguida, uma lista de equações para serem resolvidas.
Observou-se ainda uma valorização na abordagem puramente algébrica, sem
situações que dê algum significado a equação. Na década de 90, apesar de
muitos exemplos puramente algébricos, surgem problemas de natureza
geométrica; resolução de equações com a utilização da balança de dois pratos e
diversos problemas de natureza prática, acrescentando ou tirando valores para
que a introdução a equações e sua resolução ocorra de forma natural depois de
conhecer expressões algébricas.
As funções mais importantes do livro didático na relação com o aluno,
tomando como base Gérard & Roegiers (1998), são:
• favorecer a aquisição de conhecimentos socialmente relevantes;
• propiciar o desenvolvimento de competências cognitivas que contribuam
para aumentar a autonomia;
• consolidar, ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos;
• auxiliar na autoavaliação da aprendizagem;
• contribuir para a formação social e cultural e desenvolver a capacidade
de convivência e de exercício da cidadania.
3. METODOLOGIA
As aulas serão desenvolvidas segundo a dinâmica relacional indivíduo-
grupo-classe, que possibilita aos alunos elaborarem, num primeiro momento,
respostas individuais às problematizações dos nexos conceituais sugeridas por
uma determinada atividade. Em seguida, a resposta de cada um será
compartilhada em pequenos grupos. A partir das respostas individuais, cada
grupo elabora a sua resposta, para ser compartilhada no grupo classe.
As atividades didáticas serão desenvolvidas, com os conteúdos
abordados que contemplam as Diretrizes Curriculares do Paraná, dando ênfase
ao conteúdo Estruturante Números e Álgebras.
Serão aplicadas questões com resolução de problemas que envolvam
principalmente as situações do cotidiano, as quais envolverão a equação do 1º
grau que é o tema principal, no qual iremos utilizar duas propostas diferentes, a
serem aplicadas em turmas distintas, para isso iremos chamar 7º ano I e 7º ano II.
A intenção é averiguar o desenvolvimento do aluno apontando os
resultados e analisando se uma proposta é mais eficaz que a outra. Para o 7º ano
I na resolução das situações problemas iremos utilizar o material concreto
Algeplan. Com a outra turma o 7º ano II será através de resolução de problemas
dos livros didáticos.
3.1 PROPOSTA I - Consiste em apresentar as sugestões didáticas utilizando o
material Algeplan, jogos e o laboratório de informática.
Ao relacionar estes materiais com a matemática, é muito provável que as
qualidades intelectuais a serem obtidas com a manipulação possam auxiliar no
desenvolvimento cognitivo dos alunos.
Propõe-se trabalhar com a resolução de equação do 1º grau de forma
simples, através da modelagem, utilizando as peças do Algeplan (quadrados e
retângulos), o qual se busca trazer para a sala de aula possibilidades de
aprendizagem com a interação entre o material manipulável e os conteúdos
Matemáticos, buscando facilitar o ensino – aprendizagem.
Pretende-se com a implementação desta proposta pedagógica, analisar a
importância do Algeplan para o desenvolvimento dos conteúdos previstos. Para
uma melhor prática pedagógica, acreditamos na necessidade de uma retomada
teórica, frente aos possíveis problemas que porventura surgirão durante a
aplicação.
O primeiro momento será voltado para a introdução de Equação de
Primeiro Grau através da solução de problemas com monômios e
polinômios.
O segundo momento será voltado para a introdução teórica com
pesquisa na internet, sobre o Algeplan;
Em seguida seleção do material a ser utilizado na produção dos
mesmos, e envolvimento na confecção do material;
Aplicação de atividades utilizando o material confeccionado.
A intenção é que ao proporcionar atividades com material manipulável, o
aluno possa perceber que através do envolvimento com os mesmos estarão
desenvolvendo operações básicas como soma, subtração, multiplicação e divisão
de polinômios de grau, etc.
Monômios - Expressão algébrica que contém parte literal (letras),
chamada de variáveis e coeficientes, (Números).
Polinômios - Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios
com a existência de operações entre eles.
Objetivo: Através da solução de problemas efetuar as operações aritméticas com
monômios e polinômios.
Material: Cadernos, folhas para anotações e material xerocado.
Avaliação: será feita de modo a observar a participação dos educandos durante
a aula, na execução da resolução do problema cada contribuição e interesse
serão levados em consideração.
Desenvolvimento: Formar grupos onde os mesmos terão que achar a melhor
forma de resolver as situações dos problemas propostos, instigando o aluno a
refletir que caminhos poderiam ser percorridos para se chegar `a sua solução.
Após a solução cada grupo irá evidenciar a classe que caminhos utilizou para
chegar ao resultado obtido.
1) Cinco alunos ganharam um concurso. Quando souberam da notícia,
telefonaram uns aos outros a felicitarem-se. 1
1 Atividade retirada do texto: “O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos primeiros
anos”. CANAVARRO, Ana Paula. Universidade de Évora e CIEFCUL, 2007.
Atividade 1 – 7º I: Conceito Monômio, Polinômio e Equação
a) Descubra quantas chamadas tiveram que fazer os cinco amigos para se
felicitarem todos entre si.
b) E se fossem seis amigos, quantas chamadas fariam?
c) E se fossem sete amigos, quantas chamadas fariam?
d) Consegue descobrir alguma regra para qualquer número de amigos em
forma de equação?
2) Leia e solucione o problema: 2
Estamos três mil anos atrás. Os escravos estão trabalhando, carregando pedras
para a construção da pirâmide do faraó. Na tenda do arquiteto Amon Toado,
encarregado geral da obra, chega o chefe do depósito de pedras:
Mandou-me chamar, senhor?
- Sim, mandei, Tuc Anon. Preciso saber quantas pedras temos no depósito para levantar a coluna
mestra da pirâmide.
- Temos 60, senhor.
- Quantas pedras os escravos já colocaram até hoje?
- 12, senhor.
- Tudo bem, Tuc Anon, pode ir embora.
- Com sua permissão, senhor.
Amon Toado virou-se para os seus papiros e pensou:
"Pois é, colocamos já 12 pedras na coluna mestra. Temos, no depósito, 60 pedras que podem ser
usadas nessa coluna. Acontece que o faraó ainda não decidiu qual será a altura de sua pirâmide.
Dessa forma, não posso indicar quantas pedras no total terá a coluna mestra. Porém, preciso deixar
escrita aqui no projeto à altura da pirâmide para que os encarregados da obra fiquem com os
dados registrados e não se confundam. Este é o meu problema: como escrever a altura da coluna,
considerando as 12 pedras já colocadas, as 60 pedras do depósito que podem ser usadas todas ou
não, e a altura que eu ainda desconheço?
a) Como escrever isso de forma matemática, quer dizer, da forma mais
simples possível e utilizando a linguagem das quantidades, isto é, a
linguagem numérica?
b) Pois é, pessoal, temos aí o problema do arquiteto das pirâmides:
2 ZETETIKÉ – Cempem – FE – Unicamp – v. 16 – n. 30 jul./dez. - 2008
COMO ESCREVER, UTILIZANDO A LINGUAGEM NUMÉRICA, UMA FRASE
ONDE APAREÇA UM NÚMERO DESCONHECIDO?
3) Fazendo quadrados com palitos de fósforos como mostra a figura: 3
a) Quantos palitos são necessários para fazer 25 quadrados?
b) Quantos quadrados se fazem com 210 palitos?
c) Ache a fórmula que expresse a quantidade de palitos para n quadrados.
4) Curiosidades sobre a tabuada: 4
Você já conhece todas as tabuadas.
Talvez as saiba todas de cor. Mas talvez não tenha observado que há
muitas coisas que podemos descobrir nas tabuadas…
Vejamos um exemplo na tabuada do 3.
- Escolhe a segunda linha 2 × 3 = 6.
- Escolhe a quinta linha 5 × 3 = 15.
- Adiciona os números relativos à ordem das linhas: 2 + 5 = 7.
3 Atividade retirada do livro “Iniciação ao estudo didático da álgebra” (SESSA, p.60,2009).
4 Atividade retirada do texto: “O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos primeiros
anos”. CANAVARRO, Ana Paula. Universidade de Évora e CIEFCUL, 2007.
- Observe na sétima linha da tabuada: 7 × 3 = 21.
Agora responda:
a) Tem alguma coisa a ver com a segunda e a quinta linhas?
b) Que relações observa entre os números destas três linhas da tabuada?
Veja um outro exemplo na tabuada do 3.
- Escolha uma linha desta tabuada.
- Escolha uma outra linha desta tabuada.
- Adicione os números relativos à ordem das linhas.
- Observe na linha com o número obtido na alínea anterior. Que relações
observa entre os números destas três linhas da tabuada?
Com certeza já você já tem uma hipótese.
c) Qual é a hipótese acerca do que se passa nos dois exemplos
anteriores?
d) Agora faça com outros exemplos de linhas escolha (pode repetir linhas,
por exemplo, linha 4 e linha 4 para comparar com linha 8).
e) A sua teoria é sempre verdadeira? Por quê?
Será que a hipótese é geral? Explique.
f) E se em vez da tabuada do 3 tente com outra tabuada?
Será que se passa o mesmo?
Tente e explique as suas conclusões.
O ALGEPLAN É UM MATERIAL MANIPULATIVO
UTILIZADO PARA AUXILIAR O ENSINO E A
APRENDIZAGEM DE SOMA, SUBTRAÇÃO,
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO. ESTE RECURSO
FAVORECE AO ALUNO, ATRAVÉS DA MANIPULAÇÃO
DAS SUAS PEÇAS, A APRENDIZAGEM DAS REGRAS
QUE REGEM AS OPERAÇÕES CITADAS.
Objetivo: Conhecer o Algeplan.
Material: Laboratório de informática, cadernos.
Avaliação: Será feita de modo a observar a participação dos educandos durante
a aula, cada contribuição e interesse serão levados em consideração.
Desenvolvimento: Levar os alunos no laboratório de informática para pesquisar
e fazer o registro no caderno do que significa, para que serve, como é composto o
Algeplan.
O “jogo” Algeplan é formado por 40 peças/figuras geométricas dos
seguintes tipos: Quadrados e Retângulos.
Quadrados: Quatro quadrados grandes de lados x, x > 0 (onde um valor para x
pode ser variável), de área x², representando cada um deles o
elemento/expressão do tipo x²), quatro quadrados médios de lados y (com y < x),
representando cada um deles um elemento/expressão do tipo y², e doze
quadrados pequenos de lados 1, a unidade (representando o elemento/expressão
do tipo 1 = 12). No total são 20 quadrados.
Retângulos: Quatro retângulos de lados x e y (representando cada um o
elemento/expressão do tipo xy), oito retângulos de lados x e 1 (representando
cada um o elemento/expressão do tipo x = x.1) e oito de lados y e 1
(representando cada o elemento y = y.1). Totalizando 20 retângulos.
Atividade 2 – 7º I: O Material Algeplan
As peças são identificadas pelas suas áreas. Pode-se utilizar uma cor para
cada tipo de peça ou ainda, tomar todas da mesma cor. Nesse caso usa-
se, por exemplo, a cor amarela, azul e vermelha para os quadrados
grandes, médios e pequenos, respectivamente. Para os retângulos as
cores usadas são lilás, verde e laranja. No entanto outras cores podem ser
usadas.
Atividades retiradas http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=583, acessado em setembro de 2014.
Objetivos: Apresentar aos alunos o Algeplan; Destacar as peças: formas,
tamanhos e cores; Confecção do conjunto com papel EVA.
Material: Folhas de papel ofício, lápis de cor, tesoura.
Avaliação: A avaliação é um processo contínuo, e vai sendo observada em cada
aula com aplicação de atividades. Nesta aula será observada a participação dos
alunos durante a aula e as contribuições destacadas por cada um durante o
processo da confecção do material.
Desenvolvimento:
1) Fazer com que os alunos exponham a pesquisa que realizaram no
laboratório de informática;
2) Em seguida apresentação do material Algeplan;
3) Confecção do material;
4) Dividir a turma em seis grupos, onde cada grupo deverá construir os
itens a seguir:
a) Quatro quadrados grandes de cor amarelo de lados 8 cm.
b) Quatro quadrados médios de cor azul de lados 6 cm.
c) Doze quadrados pequenos de cor vermelho de lados 3,5 cm.
d) Quatro retângulos de cor verde de lados 8 cm por 6 cm.
e) Oito retângulos de cor laranja de lados de 8 cm por 3,5 cm.
f) Oito retângulos de lilás de lados 6 cm por 3,5 cm.
Atividade 3 – 7º I: Confecção do Material Manipulável
Representação das figuras que compõe o Algeplan.
Fonte: Fanti, 2006).
Atividades retiradas http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=583, acessado em setembro de 2014.
Objetivos: Construir expressões algébricas através do uso do material
manipulável; Resolver expressões algébricas com as operações de adição e
subtração por meio do material manipulável e do modo escrito; Possibilitar a
construção do conhecimento do conteúdo estudado.
Material: Um conjunto de peças do material Algeplan por equipe, uma folha de
oficio por aluno e caderno individual para os registros.
Avaliação: Será observado o raciocínio, a interpretação e a maneira que o aluno
utilizou os conhecimentos matemáticos e como o assimilou, bem como sua
participação durante a aula.
Desenvolvimento: Equipe de três alunos.
Atividade 4 – 7º I: Álgebra Geométrica com Material Manipulável
1) Montar cinco figuras geométricas com a utilização do material Algeplan.
2) Desenhe as figuras que você elaborou.
3) Escolha uma delas e responda:
a) Qual a sentença matemática que representa o perímetro da figura
escolhida?
b) Como fica a expressão algébrica da sentença?
c) É possível reduzir a expressão algébrica do perímetro, numa expressão
com menor extensão?
d) Com suas palavras, relate o que você fez no processo todo.
e) Com régua faça as medições, transforme a expressão algébrica em
expressão numérica e reduza o perímetro num valor numérico.
f) Numa folha de ofício, represente:
a figura;
a sentença matemática que representa o perímetro da mesma;
a expressão algébrica resultante da redução dos termos
semelhantes;
a expressão numérica e o perímetro do polígono, num único valor
numérico expresso em unidade de medida com padrão adequado.
g) Expor as produções feitas no mural da escola.
Atividades retiradas http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=583, acessado em
setembro de 2014.
Representação da expressão x² - 2x.
Fonte: Bertoli, 2013.
Objetivo: Resolver expressões algébricas com as operações de adição e
subtração por meio do material manipulável e do modo escrito; possibilitar a
construção do conhecimento do conteúdo estudado.
Material: Utilização do Algeplan construído na aula anterior, lápis, borracha e
caderno para registros das atividades.
Avaliação: Nesta aula será observado o raciocínio, a interpretação e a maneira
que o aluno utilizou os conhecimentos matemáticos e como o assimilou, bem
como sua participação durante a aula.
Desenvolvimento: Com o material completo iniciamos as operações fazendo
indagações do tipo:
1) Juntando duas figuras x² o que obtemos?
2) Retirando-se três de quatro figuras xy qual será o resultado?
3) Adicionando-se quatro figuras 1 a uma figura y qual resultado obtemos?
Assim sucessivamente, de modo que o professor instigue os alunos a
relacionarem figuras e quantidades.
Cabe ao docente utilizar de criatividade nas indagações e também na
condução da aula, pois o material pode ser aproveitado de diferentes
formas.
Neste primeiro momento é importante que os alunos percebam a união das
peças de mesmo símbolo, ligada ao conceito de termos semelhantes.
Observe a Figura abaixo.
Atividade 5 – 7º I: Representações das expressões com Material Manipulável
4) Representação da expressão: x² +2y² +xy + 2x + 4
Fonte: Bertoli, 2013.
5) Representação da expressão 2x2+ y2+ 2xy + x + 3.
Fonte: Bertoli, 2013.
A solução consiste essencialmente em identificar, para cada parcela,
quais e quantas “peças” do Algeplan estão envolvidas e agrupá-las.
6) Utilizando o Algeplan determine (Simplificação, Adição e Subtração)
(x2+ 2x- 4) + (- 3x + 2).
Para isso, primeiro modela-se, com as diferentes peças, as expressões x2+2x - 4
e -3x + 2.
A seguir, efetua-se os cancelamentos/simplificações (de acordo com a regra
estabelecida) e obtém-se o resultado desejado: x2- x – 2.
Fonte: Bertoli, 2013.
Note que a subtração recai no caso da adição após considerar os simétricos de
cada elemento. Por exemplo, (x2+2x- 4) - (-3x +2) = (x2+2x- 4) + (3x -2).
Atividades retiradas http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=583, acessado em
setembro de 2014.
Objetivo: Trabalhar com Algeplan com recurso tecnológico.
Material: Laboratório de informática; webquest 14645, p. 1; Atividades interativas
de equações de 1 º grau; Atividade Racha Cuca; Balança algébrica, conforme
endereços citados.
Avaliação: Será observado a participação, o interesse e a maneira que o aluno
utilizou os conhecimentos matemáticos para resolver as atividades propostas.
Desenvolvimento: No Laboratório de Informática, trabalhar em duplas, com
revezamento do aluno digitador acompanhando os passos da Webquest ou
simuladores.
1 - Equações Algébricas, Resolução de exercícios, Applets e informações... Completa. Disponível em: http://www.webquestbrasil.org/ criador/ webquest/ soporte_tabbed_w.php?id_actividad=14645&id_pagina=1 Acesso em: 10/07/2014. 2 - Atividades interativas para resolver as equações de 1º Grau. Disponível em: http://www.rpedu. pintoricardo.com/Actividades_ interactivas/e quacoes_ 1_grau.php Acesso em: 20/08/2014. 3 - Resolver as 10 atividades com 5 alternativas online sobre equações 1º grau. Disponível em: http://rachacuca.com.br/quiz/2717/equacao-de-1-grau/ Acesso em 08/07/2014. 4 - Calculando e verificando as atividades com Equações algébricas de 1º grau, na calculadora online. Disponível em: http://www.Matematicadidatica .com.br/CalculadoraEquacaoPrimeiroGrau.aspx Acesso em 30/10/ 2014.
Atividade 6 – 7º I: Laboratório de Informática
Objetivos: Praticar operações de soma e subtração; Compreensão do conceito
de número oposto; Desenvolver cálculos mentais.
Material: Material impresso para todos os alunos. Para cada grupo 1 cartolina
branca; 1/2 cartolina azul para as fichas; 1/2 cartolina rosa para as fichas; Régua;
Canetas hidrocor; Lápis de cor para colorir; 1 moeda; 1 dado; 1 ampulheta.
Avaliação: Avaliar a participação, o interesse, a colaboração entre os grupos e o
conhecimento construído durante as aulas anteriores.
Desenvolvimento:
Em uma cartolina inteira construir a trilha dos inteiros, como uma
“escadinha” de 4x2 cm, conforme a Figura 1.
Dentro de cada quadrado de 2x2 será escrito um número, de -20 a 20,
sendo que o zero ficará sozinho, bem no centro da escada.
Na cartolina azul cortar 18 fichas de 4x10cm.
O mesmo deverá ser feito na cartolina rosa.
Serão 36 fichas no total. Nessas fichas constarão as tarefas que os
jogadores deverão cumprir e que serão sorteadas a cada rodada.
As tarefas serão do tipo: “vá para o oposto deste número”; “some -10”;
“subtraia 15”.
Embora o tabuleiro apresente 40 "casas" foram construídas 36 fichas
porque em 4 "casas" aleatórias forma colocadas instruções diretamente no
tabuleiro.
Na Figura 1 pode-se perceber que nas casas -18 e 9 está escrito "Passe a
vez" e nas casas -11 e 14 "Fique uma rodada sem jogar".
Atividade 7 – 7º I: Trabalhar com Material Manipulativo
Iniciando o Jogo:
Em grupos de até 5 jogadores, cada grupo receberá um tabuleiro, um
marcador por jogador, uma ampulheta, uma moeda, um dado e 36 fichas com as
tarefas.
O dado indicará o número de casas que irá caminhar e a moeda a
direção, sendo cara “subir” e coroa “descer”. Como a moeda que dá a direção do
marcador é trabalhado também o conceito de módulo de um número.
Cada aluno lança o dado e a moeda e tira uma ficha.
O aluno deverá realizar o cálculo e ir até a casa correspondente ao
resultado antes do tempo da ampulheta acabar.
Vence a partida aquele que chegar primeiro ao fim, os alunos deverão
fazer o registro das atividades em uma folha. A partida do jogo será do zero.
Por exemplo: o Jogador A tira no dado o número 3 e na moeda coroa. Ele
andará até a casa -3.
Depois que os jogadores jogarem, ele novamente lançará o dado e a
moeda, dessa vez saíra 5 no dado e Cara na moeda, logo ele deverá ir até a casa
número 2.
Solicitar para que os alunos registrem no caderno o que fizeram em cada
jogada.
Atividade retirada do SiTE: http://aprendendomatematica-3.blogspot.com.br/2012/10/etapa-2-abacp.html.
Objetivo: Exercícios das quatro operações de modo escrito como forma de fixar o
conhecimento adquirido.
Material: Lápis, borracha e caderno para anotações.
Avaliação: Avaliar o conhecimento construído durante as aulas anteriores.
Desenvolvimento: Fazer alguns exercícios com o intuito de fixar o conteúdo
estudado na aula anterior. Fazer os exercícios calmamente, orientando-se pelos
exemplos que já vimos. Neste momento a professora fica à disposição da classe,
auxiliando na resolução dos exercícios.
Exercício 1:
Resolva as equações:
a) 2x + 10= 18
b) 5x - 8 = 12
c) - 3x + 20= -1
d) 5x + 10 = 4x – 5
e) 4a - 5 = a + 1
f) 7y - 19 = - 5
g) 6x - 1 = 8x + 5
Exercício 2:
Verifique se 8 é raiz da equação: 2(x + 3) - x/4 = x + 12.
Exercício 3:
Paula e Mariana são irmãs e a soma de suas idades é igual a 37. Qual a idade de
Paula, se Mariana é 5 anos mais nova?
Exercício 4:
Atividade 8 – 7º I: Exercícios de Fixação
Qual é o número que dividido por 5 é igual a 8?
Exercício 5:
Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 21?
Exercício 6:
Qual é o número que somado com 6 é igual a 19?
Exercício 7:
Qual é o número que somado com 5 é igual a -15?
Exercício 8:
O quíntuplo de um número inteiro somado com 7 é igual a 22. Qual é esse
número?
Exercício 9:
Para comprar um tênis que custa R$ 138,00, Pedro necessita do dobro da quantia
que possui e mais R$ 20,00. Quanto Pedro possui?
Exercício 10:
Escreva uma equação para a seguinte situação:
a) Quantos ovos são vendidos, na granja do José, por dia?
b) Quantos ovos são vendidos, na granja do José, por semana? Quantas
dúzias são?
3.2 PROPOSTA II – Consiste em apresentar os conteúdos que envolvem
equações de 1° grau utilizando como ferramenta principal livros didáticos
utilizados pelo colégio. Sugestões didáticas que serão apresentadas de maneira
O dobro do número de ovos
vendidos na granja do José, por
dia, é o quádruplo de 48.
que os alunos do 7º ano possam por meio do conhecimento obtido, resolver as
questões com seus próprios conceitos de aprendizagem adquiridos ao longo do
processo de ensino e do seu cotidiano, onde serão utilizados recursos didáticos
tradicionais como: quadro, giz, cartolina, papel bobina, canetões, régua e livro
didático; Tecnológicos: calculadora e laboratório de informática; socioculturais:
jornais e balança.
No primeiro momento, iniciaremos pesquisando, lendo com os alunos e
explicando sobre História da Matemática e Equação de Primeiro Grau.
No segundo momento iremos propor atividades sobre equações que
envolvem adição, subtração, divisão, multiplicação, utilização de incógnitas para
observar o conhecimento adquirido do aluno. Em seguida explicação e resolução
das atividades do livro didático. Depois usaremos a balança para explicar sobre a
igualdade, enfim distribuiremos textos xerocados com dez problemas propostos
para o aluno resolver.
O livro didático que iremos utilizar neste trabalho é: Vontade de Saber
Matemática Editora: FTD 2012. 7º ano. Joamir Souza & Patricia Moreno Pataro.
Objetivo: Proporcionar a introdução à História da Matemática e introdução das
Equações do 1º Grau.
Material Didático: No laboratório de informática pesquisar sobre História das
Equações do 1º Grau e introdução da resolução.
Avaliação: Avaliar a participação do aluno e o interesse em desenvolver a
atividade.
Desenvolvimento: Após a pesquisa fazer uma explanação com os alunos de
como surgiu às Equações do 1º Grau. Em seguida introdução das equações
explicando qual é o conceito de uma equação, 1º e 2º termo e o que é uma
incógnita dentro de uma equação.
Atividade 1 – 7º II: História da Matemática
Entendendo Equações:5
O professor de uma turma do 7° ano fez a seguinte pergunta aos seus
alunos:
Para responder à pergunta, podemos escrever uma sentença matemática
chamada equação. Uma equação é uma igualdade em que há pelo menos uma
letra que representa um número desconhecido.
Chamando de x a idade do professor, escrevemos a seguinte equação.
Podemos resolver essa equação por meio de um esquema.6
Fonte: Vontade de Saber Matemática. 7º ano, 2012.
Para determinar o valor de X podemos utilizar a operação inversa da
adição (subtração) e a inversa da multiplicação (divisão exata), isto é, ao efetuar
81 – 9 obtemos 72, que corresponde ao valor de e ao efetuar 72: 2 obtemos
36, que corresponde ao valor de X.
5 Texto retirado do Livro Didático: Vontade de Saber Matemática Editora: FTD 2012. 7º ano. Joamir Souza &
Patricia Moreno Pataro. 6 Esquema retirado do Livro Didático: Vontade de Saber Matemática Editora: FTD 2012. 7º ano. Joamir
Souza & Patricia Moreno Pataro
Incógnita
1° membro 2° membro
X + 3 = 5 2ª + b =
45
X² + 6 = -5x
O dobro da minha idade, mais
9 é igual a 81. Qual é a minha
idade?
2 . X + 9 = 81
Dobro da idade
Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade em que há pelo
menos uma letra que representa um número desconhecido chamada incógnita.
Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido da incógnita, ou seja, obter a
solução ou a raiz da equação. Em uma equação podemos destacar os seguintes
elementos.
3 x + 2 = 95
Veja alguns exemplos de equações.
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
Fonte: Vontade de Saber Matemática. 7º ano, 2012.
Assim, X = 36, ou seja, a idade do professor é de 36 anos.
Agora, veja como podemos encontrar a raiz da equação 2x + 5 = 13 por
tentativa. Para isso vamos substituir a incógnita X por alguns números até obter
uma sentença verdadeira.
Incógnita
1° membro 2° membro
X+ 3 = 5 2ª + b = 45 X² + 6 = 5x
Fonte: Livro didático - Vontade de Saber Matemática.7º ano.2012.
Objetivo: Proporcionar resolução de problemas utilizando balança - Equações,
Inequações e Expressões Algébricas.
Material Didático: Atividades do livro didático; balanças de dois pratos; lousa e
giz colorido, diversos objetos com pesos diferentes ou sem valores expressos de
pesos e materiais de matemática para anotações.
Avaliação: Avaliar a participação do aluno e o interesse em desenvolver a
atividades.
Desenvolvimento: No pequeno grupo, na gangorra de mesa, utilizando
diferentes objetos com pesos bem diversos, alguns conhecidos e outros
desconhecidos, os alunos devem fazer um ou mais equilíbrios (Equações) e
desequilíbrios (Inequações) para possíveis deduções, conjecturas e soluções.
Atividade 2 – 7º II: Manipulação de Materiais Significativos
Equações: Igualdades matemáticas, representando equilíbrio em uma gangorra, expressas pelo símbolo de igualdade. Inequações: Podem ser demonstradas pelos desequilíbrios em uma gangorra o seja pelas desigualdades matemáticas expressas pelos símbolos: maior, menor, maior ou igual e menor ou igual. Os valores desconhecidos em uma equação ou inequação podem ser representados por uma letra definida como incógnita ou variável. Expressões algébricas: Podem ocorrer quando trabalhamos com um ou mais do que um valor desconhecido, além de valores conhecidos. As letras utilizadas passam ser variáveis, quando representam valores diferentes em função de outro valor conhecido ou desconhecido (LONGO, 2010).
Exercício 1:
a) Representar com sentenças matemáticas pelo menos um equilíbrio
e um desequilíbrio feito pelo grupo.
b) Encontrar a lei de um equilíbrio, representando algebricamente
(equação).
c) Encontrar a lei de um desequilíbrio (inequações), representando
algebricamente.
d) Com o material, fazer tentativas para definir os possíveis valores
desconhecidos.
O grupo representa com desenhos em cartaz a equação ou a inequação, a
qual foi demonstrada no material de mesa, com explicações e
demonstrações dos resultados encontrados.
Exercício 2:
a) No grande grupo, em forma de círculo, cada equipe deve fazer a
representação com o material manipulável e apresentar o cartaz, o qual
vai para o mural da sala de aula.
b) O membro relator do grupo colocará a equação ou inequação
representada pela equipe no quadro.
c) Com auxílio do professor e dos demais alunos da sala, se fará a
analise da conjectura, validação ou definição dos possíveis
encaminhamentos a serem retomados.
d) Todos anotam as conclusões encontradas, para as colocações de
cada grupo.
Objetivo: Proporcionar resolução de problemas utilizando Equações do Primeiro
Grau, adição e subtração.
Material Didático: Balança e material para anotações.
Avaliação: Nesta aula será observado o raciocínio, a interpretação e a maneira
que o aluno utilizou os conhecimentos matemáticos e como o assimilou, bem
como sua participação durante a aula.
Desenvolvimento: Resolução de exercícios envolvendo adição e subtração de
equações de 1° grau.
Utilizando-se das ideias do equilíbrio da gangorra, as formas de resolução
das equações, demonstram ser compreensíveis. Podemos utilizar qualquer
operação básica da matemática adequada no momento, para efetuar
Atividade 3 – 7º II: Resolução de Equações de 1º grau com uma incógnita
interferências nos dois membros da equação, mantendo a gangorra em
equilíbrio (a igualdade). Vejamos:
Resolvendo equações pelos princípios aditivo e multiplicativo:7
A balança de dois pratos a seguir está em equilíbrio, ou seja, as massas
existentes em cada um dos pratos são iguais. Se tirarmos ou acrescentarmos
objetos de mesma massa nos dois pratos da balança, ela se manterá em
equilíbrio.
Obs: A massa de cada esfera é a mesma.
Chamando de x a massa de cada esfera, escrevemos uma equação associada a essa balança e calculamos a massa de cada uma delas.
3x + 5 = x + 15
Fonte: Livro didático - Vontade de Saber Matemática.7º ano.2012.
Retiramos 5 kg de cada prato da balança e subtraímos 5 unidades de cada membro da equação.
3x + 5 – 5 = x + 15 – 5
3x = x + 10
Fonte: Livro didático - Vontade de Saber Matemática.7º ano.2012
7 Fonte: Vontade de Saber Matemática Editora: FTD 2012. 7º ano. Joamir Souza & Patricia Moreno Pataro. p.169.
Ao adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número nos dois membros de uma equação, a
igualdade não se altera. Esse é o princípio aditivo da igualdade. De maneira semelhante, ao
multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma equação por um mesmo número
diferente de zero, a igualdade também não se altera. Esse é o princípio multiplicativo da
igualdade.
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012, p. 169.
Retiramos uma esfera de cada prato da balança e subtraímos x de cada membro da equação.
3x – x = x + 10 – x
2x = 10
Fonte: Livro didático - Vontade de Saber Matemática.7º ano.2012
Observando a balança notamos que duas esferas juntas têm 10 kg. Assim para obtermos a massa de cada esfera dividimos os dois membros da equação por 2.
2x = 10 2 2
x = 5
Fonte: Livro didático - Vontade de Saber Matemática.7º ano.2012
Assim a massa de cada esfera é 5 kg.
Resolva:8
1) Associe cada balança a uma das equações, escrevendo a letra e o símbolo
romano correspondente.
8 Atividades retiradas do Livro didático: Vontade de Saber Matemática Editora: FTD 2012. 7º ano. Joamir Souza &
Patricia Moreno Pataro. p.170, 171.
Depois resolva cada uma das equações.
I) 4x + 1 = x + 7 II) 3x + 3 = 12 III) x + 5 = 2x + 4
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
2) Escreva uma equação para determinar a massa de cada caixa nas
balanças. Depois resolva as equações.
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
3) Leia o problema.
Entre as equações a seguir, copie aquela que corresponde ao problema
apresentado, sendo x o preço de cada pulseira.
I) 20+ 3x = 6,20 III) 3x – 6,20 = 20
II) 3x – 20 = 6,20 IV) 20 – 3x = 6,20
Agora, resolva a equação que você copiou e determine o preço de cada
pulseira.
4) A Oceania é o continente com o menor número de países. Já a África, cujo
número de países equivale ao triplo do da Oceania mais 12, é o continente
com o maior número de países.
Considere que as balanças estão
em equilíbrio e que as caixas com
a mesma cor têm massas iguais.
Em uma papelaria, Célio comprou três lapiseiras
iguais e pagou com uma cédula de R$ 20,00.
Sabendo que ele recebeu R$ 6,20 de troco, qual o
preço de cada pulseira?
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
Chamando de x o número de países da Oceania e sabendo que juntas,
África e Oceania têm 68 países:
a) Escreva uma equação para representar essa situação.
b) Resolva a equação que você escreveu no item a e determine quantos
países têm a Oceania e a África.
5) Mariana tem R$ 18,00 a mais que Pedro e juntos eles têm exatamente a
quantia necessária para comprar os dois DVDs a seguir. Quantos reais tem
cada um deles?
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
6) Raquel alugou um carro popular na locadora indicada no cartaz.
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
Sabendo que Raquel alugou o carro por um dia e pagou pela locação R$
142,00, determine quantos quilômetros ela percorreu.
7) Leia o que as pessoas estão dizendo.
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
a) Chamando de p a idade de Beatriz, qual das equações permite calcular
a idade correta de Beatriz?
I) 2p – 8 = 12 – (p – 3)
II) 2p – 8 = 12 + (p – 3)
III) 3p – 8 = 12 + (p – 3)
IV) p – 8 = 12 + (2p + 3)
b) Qual a idade de Beatriz? E a de Luiz?
Objetivo: Proporcionar resolução de problemas utilizando Equações de 1° Grau,
envolvendo multiplicação e divisão.
Material Didático: Material para anotação.
Avaliação: Será observado o raciocínio, a interpretação e a maneira que o aluno
utilizou os conhecimentos matemáticos e como o assimilou, bem como sua
participação durante a aula.
Desenvolvimento: Resolução de exercícios simples multiplicação e divisão.
Solucione os problemas:9
1- Em uma escola há uma quadra esportiva cujo perímetro é 96 m, sendo a
mesma medida do comprimento da quadra de 12 m maior que a da largura.
Quais as dimensões dessa quadra?
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
9 Atividades retiradas do Livro didático: Vontade de Saber Matemática Editora: FTD 2012. 7º ano. Joamir Souza &
Patricia Moreno Pataro. p.172, 173.
Atividade 4 – 7º II: Resolução de Equações de 1º Grau: Multiplicação e Divisão
2- Observe a tabela.
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
A partir da tabela calcule quantos alunos havia em cada nível de ensino no
município de Caseara (TO).
3- Ao multiplicarmos o sucessor de um número x por 3, obtemos como
resultado esse mesmo número x adicionado a 37. Qual é o número x?
4- Laércio preparou em seu sítio dois canteiros retangulares de mesmo
perímetro. Em um deles plantou cenouras e no outro morangos.
Fonte: Livro didático Vontade de Saber Matemática – 7° ano, 2012.
a) Escreva uma equação para representar a igualdade dos perímetros
dos canteiros.
b) Qual o valor de x?
c) Calcule o perímetro dos canteiros.
d) Qual a área de cada canteiro?
5- Para ir da casa ao trabalho Mônica leva 85min. Parte desse trajeto ela
percorre de ônibus e o restante, de metrô. Sabendo que a parte do trajeto
que Mônica percorre de ônibus leva 15min a mais que a parte que ela
percorre de metrô, determine em quantos minutos Mônica faz a parte do
trajeto que:
a) Percorre de ônibus
b) Percorre de metrô
6- Para realizar um passeio com saída de São Luís (MA) e destino à cidade
histórica de Alcântara (MA), uma agência de turismo contratou um barco
que tem capacidades para 65 passageiros. Para realizar esse passeio, o
barqueiro cobra R$ 13,00 por passageiro mais R$ 3,00 para cada lugar que
ficar vago no barco.
a) Quantos reais deverão ser pagos ao barqueiro se forem transportados
54 passageiros? E 39 passageiros?
b) Chamamos de x o número de passageiros que utilizarão o barco, qual
das expressões algébrica a seguir corresponde à quantia a ser paga ao
barqueiro?
I) 13. (x + 3x) III) 13x + 3 . (65 – x)
II) 13x + 3 . (65x) IV) 13x – 3 . (65 + x)
c) Determine quantos passageiros foram transportados, sabendo que
foram pagos R$ 625,00 ao barqueiro.
7- Contexto:
O Jequitibá é uma arvore nativa da Mata Atlântica brasileira. Seu nome, que em tupi-guarani significa gigante da floresta, deve-se a suas grandes dimensões, podendo atingir até 45 m de altura. Algumas dessas árvores chegam a viver milhares de anos. O pau-brasil é uma arvore de grande altura que deu nome a nosso país. Essa árvore foi a fonte do primeiro ciclo econômico brasileiro, ainda na época da colonização. O Pau-Brasil, que em 1500 podia ser encontrado em abundante quantidade por todo litoral brasileiro, atualmente corre risco de extinção.
Sabendo que o pau-brasil pode atingir uma altura equivalente ao quádruplo
da altura do jequitibá menos 140 m, determine quantos metros de altura
pode atingir o pau-brasil.
8- De acordo com o gráfico e sabendo que em 2006 o número de brasileiros
no Japão era de 312976 pessoas, determine o número de brasileiros no
Japão em:
a) 2004
b) 2005
c) 2007
d) 2008
Fonte: Livro didático - Vontade de Saber Matemática.7º ano.2012
Objetivo: Recapitular do que foi viso.
Material Didático: Material para anotação.
Avaliação: Momento de realização e desenvolvimento da situação problema, em
que cada um pensou, refletiu, criou hipóteses e desenvolveu a resolução para a
situação apresentada.
Desenvolvimento: Dividir a turma em grupos.
Cada grupo deve dar um nome ao seu grupo para facilitar a organização
nos momentos de socialização, de apresentações das ideias e conclusões
obtidas pelo grupo.
Iniciamos a atividade evidenciando algumas relações importantes como a
importância do registro escrito da resolução desenvolvida pelo grupo, o
pensamento realizado e o registro das diferentes ideias produzidas pelos
Atividade 5 – 7º II: Pensamento Algébrico - Recapitulação
grupos (verdades provisórias que o grupo teve para chegar à conclusão
apresentada em sua resposta final).
1) Considere a balança em equilíbrio na figura:
O valor representado pela letra x é _______.
2) Considere que as balanças a seguir estão em equilíbrio. Determine o
“peso” de cada lata.
Peso lata __________ Peso lata_________
Peso lata____________
3) Todas as garrafas têm o mesmo peso e cada caixa pesa 2 kg. Quanto pesa cada garrafa?
(Considere que as balanças estão em equilíbrio)
4) O esquema abaixo representa uma balança em equilíbrio. Calcule o valor
de m.
5) O esquema mostra uma balança em equilíbrio.
a) Determine a equação que a balança está representando.
b) Qual é a massa de cada cubo?
6) As caixas abaixo têm o mesmo número de canetas coloridas:
a) Qual equação determina o número de canetas em cada caixa?
b) Quantas canetas há em cada caixa?
7) Em um pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.
.
8) Cinco alunos ganharam um concurso. Quando souberam da notícia,
telefonaram uns aos outros a felicitarem-se.
a) Descubra quantas chamadas tiveram que fazer os cinco amigos para se
felicitarem todos entre si.
b) E se fossem seis amigos, quantas chamadas fariam?
c) E se fossem sete amigos, quantas chamadas fariam?
d) Consegue descobrir alguma regra para qualquer número de amigos? Qual?
9) Três amigos, o Alberto, o Basílio e o Casimiro, encontram-se na rua e
cumprimentam-se todos dois a dois com um abraço. Responda:
a) Quantos abraços foram dados?
Os três amigos lembraram-se de fazer uma festa e convidaram o amigo
Diogo. No início da festa, todos se cumprimentaram dois a dois com um
grande abraço.
b) Quantos abraços foram dados desta vez?
Um mês depois, foi o Diogo a organizar uma festa. Convidou os seus três
amigos Alberto, Basílio e Casimiro, mas também convidou o Edmundo.
Como habitualmente, no início da festa todos se cumprimentaram dois a
dois com um grande abraço.
c) E desta vez, quantos abraços foram dados?
d) Qual equação determina o número de abraços cada vez que se
cumprimenta mais um amigo novo?
Atividades retiradas do site: http://pt.scribd.com/doc/218533007/6%C2%AA-Lista-de-Exercicios-Complementar-de-Matematica-Equacoes-do-1%C2%BA-grau-com-uma-incognita-Professora-Michelle-7%C2%BA-ano-B-Unidade-II
Atividade 6 – 7º II: Manipulação do Material Dourado
Objetivo: Usando peças no lugar de números, mostrar aos alunos que os
números também têm o seu lado concreto.
Material: Material dourado e atividades para os componentes do grupo, Material
impresso da atividade e material dourado para o grupo.
Avaliação: Nesta aula será observada a interação em grupo, o raciocínio, a
interpretação e a maneira que o aluno utilizou os conhecimentos matemáticos e
como o assimilou, bem como sua participação durante a aula.
Desenvolvimento: Formar grupos onde os mesmos terão que achar a melhor
forma de resolver as situações propostas, instigando o aluno a refletir que
caminhos poderiam ser percorridos para se chegar a sua solução. Após a solução
cada grupo irá evidenciar a classe que caminhos utilizou para chegar ao resultado
obtido.
1) Observando a sequência de cubos, considere as três dimensões e
responda:
Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e
a aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as operações
fundamentais (ou seja, os algoritmos).
Figura (1) Figura (2) Figura (3)
Quantidade de
cubos visíveis
Quantidade total
de cubos
Quantidade de
faces visíveis
Quantidade total
de faces
Quadro 1: Atividade a.
a) Desenhe a próxima figura sendo denominada figura (3).
b) Complete o que se pede no Quadro 1.
c) Como você explicaria a maneira de prever o número de cubos de cada
figura nesta sequência?
d) Qual o número de sólidos geométricos que terá o cubo formado por 45
cubos?
2) Observe as figuras e responda as questões a seguir:
a) O grupo seria capaz de continuar a sequência, desenhando até a 5ª
posição?
b) Como poderia fazer outra sequência, iniciando com três objetos,
colocando-os de forma diferente? Descreva.
c) No grupo, escolham a sequência de figuras que mais lhes agrada e
escrevam como seria a sua 10ª posição.
d) Qual seria a regra que representa o número de cubinhos de uma posição
qualquer da sequência?
Atividade retirada de Maria Noemi Backes Longo: Iniciação À Álgebra Com Significado – Modelagem Matemática E Materiais Manipuláveis (2010).
Objetivo: Trabalhar com resolução de problemas envolvendo situação real por
meio de conta de água; Discutir o tema que envolve questões governamentais e
ambientais.
Material Didático: Material para anotação, conta de água.
Avaliação: Momento de realização e desenvolvimento da situação problema, em
que cada dupla pensou, refletiu, criou hipóteses e desenvolveu a resolução para a
situação apresentada.
Desenvolvimento: Formar duplas para solucionar as questões.
Atividade 7 – 7º II: Trabalhando com a Conta de Água
http://site.sanepar.com.br/sites/site.sanepar.com.br/files/guia_cliente_2014.pdf
http://site.sanepar.com.br/informacoes/conheca-sua-conta-de-agua
De acordo com a Tabela de Tarifas de Saneamento Básico de Serviços Prestados
a partir de março de 2014, responda:
1) Quanto uma família pagaria na conta de água e esgoto se consumisse:
a) 8 m³ cúbicos de água;
b) 26 m³ cúbicos de água;
c) 40 m³ cúbicos de água.
d) Indique em cada alternativa a equação que expressa tal consumo.
2) Vamos trabalhar com o hidrômetro:
A leitura do hidrômetro é simples. O equipamento tem seis números –
quatro pretos e dois vermelhos. Para acompanhar o consumo,
concentre-se nos dígitos pretos. Eles mostram quantos metros cúbicos
de água foram consumidos.
http://site.sanepar.com.br/informacoes/
Considerando que os valores abaixo sejam somente os dígitos pretos,
responda:
a) Supondo que o marcador do relógio esteja marcando na última leitura
1755 e na leitura atual 1768 qual foi o consumo em m³?
b) Supondo que o marcador do relógio esteja marcando na última leitura
0462 e na leitura atual 0469 qual foi consumo em m³?
c) Supondo que o marcador do relógio esteja marcando na última leitura
3789 e na leitura atual 3804 qual foi o consumo em m³?
3) Solicitar para os alunos trazerem uma conta de água para fazer a seguinte
analise.
a) Qual foi o consumo/m³ do último mês da sua residência?
b) Qual foi o histórico de consumo/m³ da sua residência nos últimos três
meses?
c) Qual foi a diferença de consumo de um mês para outro?
d) Qual é a média de consumo/m³ dos últimos 5 meses?
e) Compare a sua fatura com a de outro colega e verifique quais as
diferenças ou semelhanças entre elas.
f) Saberia dizer por que da diferença?
g) No seu ponto de vista você acha que o consumo de água da sua
residência é normal?
h) Você acha que seria possível diminuir o consumo? De que forma?
4) Leia a matéria publicada em 04/11/2014 no site globo.com e responda:
Matéria disponível em: http://g1.globo.com/sp/campinas-regiao/noticia/2014/11/raciona mento -de-agua-atinge-cinco-cidades-da-regiao-de-campinas-sp.html
a) Você acha que a multa para quem não economizar água é uma medida
correta para ser adotada? Justifique?
b) Que outras medidas podem ser tomadas pela população para reduzir o
consumo de água?
c) Em sua opinião, por que está acontecendo esta falta de água?
d) Você acha que esta situação poderá chegar em nosso estado, em
nossa cidade? Por quê?
e) Você acha que as campanhas de conscientização para evitar o
desperdício de agua estão funcionando?
Objetivo: Exercícios das quatro operações de modo escrito como forma de fixar o
conhecimento adquirido.
Material: Lápis, borracha e caderno para anotações.
Avaliação: Avaliar o conhecimento construído durante as aulas anteriores.
Desenvolvimento: Fazer alguns exercícios com o intuito de fixar o conteúdo
estudado na aula anterior. Fazer os exercícios calmamente, orientando-se pelos
exemplos que já vimos. Neste momento a professora fica à disposição da classe,
auxiliando na resolução dos exercícios.
Exercício 1:
Resolva as equações:
a) 2x + 10= 18
b) 5x - 8 = 12
c) - 3x + 20= -1
d) 5x + 10 = 4x – 5
e) 4a - 5 = a + 1
f) 7y - 19 = - 5
g) 6x - 1 = 8x + 5
Exercício 2:
Verifique se 8 é raiz da equação: 2(x + 3) - x/4 = x + 12.
Exercício 3:
Paula e Mariana são irmãs e a soma de suas idades é igual a 37. Qual a idade de
Paula, se Mariana é 5 anos mais nova?
Atividade 8 – 7º II: Exercícios de Fixação
Exercício 4:
Qual é o número que dividido por 5 é igual a 8?
Exercício 5:
Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 21?
Exercício 6:
Qual é o número que somado com 6 é igual a 19?
Exercício 7:
Qual é o número que somado com 5 é igual a - 15?
Exercício 8:
O quíntuplo de um número inteiro somado com 7 é igual a 22. Qual é esse
número?
Exercício 9:
Para comprar um tênis que custa R$ 138,00, Pedro necessita do dobro da quantia
que possui e mais R$ 20,00. Quanto Pedro possui?
Exercício 10:
Escreva uma equação para a seguinte situação:
a) Quantos ovos são vendidos, na granja do José, por dia?
b) Quantos ovos são vendidos, na granja do José, por semana? Quantas
dúzias são?
O dobro do número de ovos
vendidos na granja do José, por
dia, é o quádruplo de 48.
REFERÊNCIAS
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