Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

CADERNO PEDAGÓGICO

A MODELAGEM MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO DE MAQUETES

GUARAPUAVA 2013

PARANÁ GOVERNO DO ESTADO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE UNICENTRO - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE

NÚCLEO REGIONAL DE LARANJEIRAS DO SUL

MARIA CZECHOWSKI

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA CADERNO PEDAGÓGICO

Produção didático-pedagógica apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE– SEED/PR, sob orientação da Prof. Ms. Emanueli Pereira do Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Centro-Oeste-UNICENTRO.

GUARAPUAVA 2013

FICHA DE IDENTIFICAÇÃO

Título: A Modelagem Matemática na Construção de Maquetes

Autor: Maria Czechowski

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual John Kennedy

Município da escola: Quedas do Iguaçu

Núcleo Regional de Educação:

Laranjeiras do Sul

Professor Orientador: Emanueli Pereira

Instituição de Ensino Superior:

UNICENTRO

Relação Interdisciplinar:

Resumo:

A Modelagem Matemática é uma

alternativa metodológica que pode

contribuir para despertar o interesse do

aluno pela disciplina, uma vez que se

desenvolve o conteúdo matemático a partir

de situações reais, com assuntos de

interesse dos alunos. Esta pesquisa

objetiva desenvolver uma atividade de

modelagem matemática com os alunos do

Ensino Médio tendo como tema

“Construção de Maquetes.” Com isso

pretende-se: apresentar a metodologia aos

alunos, como alternativa que contribui para

o ensino e aprendizagem de forma

dinâmica e motivadora; utilizar as etapas

propostas por Burak para o

desenvolvimento da Modelagem

Matemática; oportunizar aos estudantes a

compreensão dos conteúdos matemáticos

de forma significativa e relacionada com

seu cotidiano. A construção de maquetes

pode favorecer na contextualização dos

conteúdos, pois os estudantes percebem

sua utilidade.

Palavras-chave: Modelagem Matemática,

Construção de Maquetes, Educação

Matemática

Formato do Material Didático:

Caderno Pedagógico

Público:

Alunos do 2º Ano do Ensino Médio

1- INTRODUÇÃO

Este trabalho tem por finalidade desenvolver uma atividade de Modelagem

Matemática com os alunos do Ensino Médio com o tema Construção de

Maquetes, pretendendo assim apresentar uma das metodologias previstas nas

DCEs, considerando as experiências do aluno e a sua realidade. O objetivo final

será a construção da maquete de uma casa.

A Modelagem Matemática tem como pressuposto resolver problemas da

realidade do educando, com isso as aulas tornam-se mais atrativas e

significativas, facilitando o aprendizado.

De acordo com Burak (1992, p. 62) “a Modelagem Matemática constitui-se

como um conjunto de procedimentos, cujo objetivo é estabelecer um paralelo para

tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser

humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões”. Assim, o autor

acredita que com o uso da Modelagem na sala de aula facilita ao educando a

construção de conceitos e abstrações e os conteúdos surgem conforme os

problemas vão sendo resolvidos, dessa maneira os problemas indicam os

conteúdos a serem abordados.

Nessa perspectiva sabemos que a aprendizagem ocorre quando o

educando faz experimentações ou faz parte da construção dos conceitos sendo

sujeitos ativos desse processo.

Na aplicação desta metodologia o autor nos apresenta cinco etapas para

aplicar em sala de aula: 1. Escolha do tema. 2. Pesquisa exploratória. 3.

Levantamento dos problemas. 4. Resolução dos problemas e desenvolvimento do

conteúdo matemático relativo ao tema. 5. Análise crítica das soluções.

Nesses moldes o processo de ensino/ aprendizagem ocorre de forma

participativa, com maior interação entre professor/ aluno e aluno/ aluno. A

contextualização acontece naturalmente, pois os temas a serem estudados

podem ser de caráter social, econômico ou cultural, e ainda temas de interesse

dos educandos.

Depois da coleta dos dados os alunos farão o levantamento dos problemas

sendo estes os indicadores dos conteúdos a serem abordados.

Para Schliemann e Carraher e Carraher (1988, P.22) “o problema perde o

significado porque a resolução de problemas na escola tem objetivos que diferem

daqueles que nos movem para resolver problemas de matemática fora da sala de

aula”. Dessa forma, é necessário motivar os alunos para aprender e isto acontece

com a Modelagem, porque tais assuntos despertam o interesse dos alunos e os

conteúdos surgem naturalmente, os alunos resolvem os problemas como se

estivessem fora da sala de aula e isto torna as aulas dinâmicas. A Matemática é

vista com outro olhar, não tão formal como aparenta ser.

Lorenzato (2010) pontua a importância de se fazer uso de materiais

didáticos em sala de aula, na tentativa de desenvolver os conhecimentos

matemáticos e a formação geral do aluno, com isso será possível auxiliar o aluno

a: 1. Ampliar sua linguagem e promover a comunicação de idéias matemáticas; 2. adquirir estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações; 3. desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais; 4. iniciar-se nos métodos de investigação científica e na notação matemática; 5. estimular sua concentração, perseverança e criatividade; 6. promover a troca de idéias por meio de atividades em grupo; 7. estimular sua compreensão de regras, sua percepção espacial, discriminação visual e a formação de conceitos.

A Modelagem Matemática, assim como o uso de materiais didáticos em

sala de aula propicia aos estudantes atividades dinâmicas e de maior

envolvimento entre os alunos, pois geralmente são realizados em grupos, onde há

uma maior interação entre os estudantes, estimulando assim, a colaboração entre

eles, a troca de ideias, o respeito mútuo, a autonomia em resolver problemas e

tomar decisões. A Modelagem Matemática também estimula a criatividade, pois

possibilita o trabalho em grupos, envolve situações da realidade do aluno e de

seu interesse, e ainda o aluno resolve os problemas de outras formas, não

somente utilizando modelos prontos.

2. Etapas da Modelagem Matemática O desenvolvimento do trabalho será de acordo com as etapas propostas

por Burak:

2.1 Escolha do tema: O tema será sugerido pelo professor que irá motivar

os alunos sobre sua importância. Neste trabalho o tema proposto será ”A

construção da maquete de uma casa”. O tema pode ser sugerido pelos alunos e

nem sempre precisa estar ligado à matemática, pode abranger outras áreas

como: saúde, comércio, agricultura, entre outros. Inicialmente será feita a planta

baixa da sala de aula, depois a planta baixa de uma casa e depois de definir os

materiais será construída a maquete.

2.2 Pesquisa exploratória: Mediados pelo professor, os educandos irão

pesquisar tudo o que for pertinente ao tema. Poderão utilizar o laboratório de

Informática, pesquisa na biblioteca, bem como conversas com pessoas

especialistas no assunto.

2.3 Formulação dos problemas: Auxiliados pelo professor os alunos irão

fazer um levantamento dos problemas relacionados ao assunto. Na perspectiva

da Modelagem, os problemas são abertos e surgem a partir da pesquisa

realizada, portanto são contextualizados. Dentre os problemas levantados

teremos o da construção da maquete de uma casa, onde os alunos serão

questionados quanto ao material utilizado, custos, tempo de realização, entre

outros.

2.4 Resolução dos problemas: Na modelagem, conforme os problemas

listados é que serão indicados os conteúdos a serem trabalhados. Com isto o

professor fará as explicações necessárias para que os alunos possam solucionar

esses problemas. Como o tema indica a construção de maquetes, alguns

conteúdos serão indispensáveis, sendo: regra de três, proporcionalidade, escalas,

geometria plana e espacial.

2.5 Análise crítica das soluções dos problemas: Em cada etapa do

projeto os alunos irão fazer as reflexões sobre os resultados obtidos

anteriormente. Neste sentido poderão tomar decisões e validar ou não esses

resultados.

3. Sugestões de atividades Inicialmente o projeto será apresentado à direção, equipe pedagógica e

professores do Colégio. Em seguida será apresentado aos alunos, sendo

explanado os objetivos e sua metodologia de ensino adotada pelo professor, a

Modelagem Matemática.

Em cada atividade sugerida pelo professor os alunos percorrerão as etapas

propostas por Burak.

O trabalho será desenvolvido em grupos de 3 a 4 alunos onde irão

construir a maquete de uma casa, para isso farão as seguintes atividades.

3.1 Atividade 1 - História da Arquitetura – 1 aula

Objetivo:

• Despertar o interesse sobre o tema conhecendo sua história.

Encaminhamentos: O professor passará um vídeo sobre o tema, onde mostra os períodos da

História da Arquitetura, fará comentários e curiosidades sobre o assunto.

Resultado esperado: Observar as mudanças nas construções no decorrer

do tempo.

Questionamentos sobre os problemas levantados. Questionar os alunos sobre o que é necessário para construir a maquete

de uma casa. Os alunos irão concluir que é necessário fazer a planta ou projeto

da casa. Se alguém tiver a planta de sua casa poderá trazer para ajudar nos

questionamentos posteriores. Se surgir entre os questionamentos a ideia de

conversar com um engenheiro, será feita. Vai surgir no levantamento dos

problemas a planta da casa, mas para um início de trabalho o professor irá

solicitar que eles façam a planta baixa da sala de aula.

3.2 Atividade 2 – Planta baixa da sala de aula - 2 aulas Objetivo:

• Verificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre medidas e geometria

plana.

Encaminhamentos: Os alunos irão construir a planta baixa da sala usando seus

conhecimentos, podendo fazer as medidas com o uso do metro, de réguas e

esquadros, fazendo uso de escalas ou não. Ficarão livres para tomar suas

decisões.

Resultado esperado: Utilizar seus conhecimentos e construir a planta da

sala.

3.3 Atividade 3 – Planta baixa de uma casa – 9 aulas Na atividade anterior o professor observou as dificuldades enfrentadas

pelos alunos quanto às medidas e escalas, portanto é tempo de explanar os

conteúdos envolvidos nesse processo.

Na seqüência serão apresentados alguns conteúdos essenciais para essa

atividade.

Objetivos:

• Investigar quais conteúdos matemáticos se utiliza para construir a planta

baixa de uma casa.

• Desenhar a planta baixa de uma casa.

Encaminhamentos: Retomar alguns conteúdos que serão importantes para a realização dessa

atividade.

3.3.1 Medidas e áreas As medidas estão presentes em tudo o que fazemos, por exemplo: medir o

tempo para chegar à escola, medir a dosagem certa de um remédio, medir a

velocidade, medir a temperatura e outros.

Assim também as medidas estão presentes na vida profissional de muitas

pessoas, mas principalmente dos engenheiros, arquitetos, pedreiros,

marceneiros, entre outros.

Quando medimos algo fazemos a comparação entre duas grandezas, por

isso elas devem estar na mesma medida padrão.

Conversar com os alunos sobre o sistema de medidas, como podemos

fazer as conversões, questionar sobre o cálculo de áreas e suas fórmulas.

Objetivo:

• Compreender a importância das unidades de medidas e o uso da unidade

padrão.

• Calcular a área das figuras planas.

Encaminhamentos: O professor passará o vídeo sobre unidades de medidas do Novo

Telecurso do Ensino Fundamental - aula 16. Depois do vídeo serão feitas

algumas transformações de medidas.

1) Uma barra de ferro com 8 m será repartida em 32 pedaços do mesmo

tamanho.Quanto medirá cada pedaço?

2) Faça a conversão de:

a) 8,3 km em m

b) 5,9 m em cm

c) 76 dm em cm

d) 2,8 m em mm

e) 691 cm em dm

f) 5786 m em km

g) 856 cm em mm

h) 2,93 dm em cm

i) 164 cm em m

j) 0,84 m em cm

l) 0,82 cm em dm

m) 3,78 cm em m

Depois de concluída a atividade, levar os alunos ao laboratório de

Informática para acessar o WebCalc conversor de medidas para conferir suas

respostas.

Logo após as atividades, os alunos irão calcular a área da sala de aula.

Área do Retângulo

A = base. Altura

Retomar as fórmulas das áreas das figuras planas:

Área das figuras planas

Retângulo

Quadrado

Triângulo

Paralelogramo

Trapézio

Losango

Triângulo equilátero

FONTE: http://www.somatematica.com.br/areas.php

Questionar os estudantes sobre as unidades de medidas de área, da sala

de aula, por exemplo, de ambientes maiores e menores.

Após as conclusões dos alunos o professor fará explanação sobre a

unidade fundamental de área que se chama metro quadrado. O metro quadrado

(m²) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 (um) metro

de lado.

Atividades:

1) Construir o metro quadrado usando jornais ou papel pardo.

2) Depois determinar a área de alguns ambientes da escola como: Secretaria,

biblioteca, cozinha, ginásio Poliesportivo, etc.

3) Com o uso do Google Maps, você deve localizar o bairro onde está localizada a

escola, a quadra e a rua. Pesquisar a área da cidade.

4) Calcular a área da capa do seu caderno.

Resultados esperados: Através de atividades significativas espera-se que

o estudante compreenda o cálculo de área e suas unidades de medidas.

3.3.2 Escalas: Ao planejar a construção de uma casa ou de um prédio os engenheiros e

arquitetos usam para auxiliar seus trabalhos as plantas e maquetes em que são

utilizadas as escalas. Sendo esta a razão entre a medida do comprimento do

desenho e a medida correspondente ao comprimento real.

Objetivo:

• Compreender a importância do uso de escalas na resolução de problemas. Encaminhamentos: Retomar o conceito de escala e a importância da compreensão dos

números, para que os alunos utilizem corretamente esses dados na elaboração

da planta.

Solicitar aos alunos que meçam o comprimento e a largura da sala e

representem os segmentos encontrados numa folha de papel. Os alunos irão perceber que não conseguem representar estes segmentos

no papel com a medida real, então começam a utilizar as escalas para melhor

representá-los.

A partir dos questionamentos e conhecimentos prévios dos alunos, solicitar

que um aluno que sabe como calcular uma medida em escala explique no quadro

aos demais. O professor pode auxiliar o aluno quando necessário.

Caso seja necessário o professor fará a seguinte explicação: vamos iniciar

identificando MR como medida real e MD como medida no desenho.

Questionar os alunos sobre as seguintes situações:

a) Se uma sala de aula tem as seguintes dimensões: 6,4 m de

comprimento e 4,8 m de largura, como ficariam suas dimensões usando a escala

1: 100?

Então concluindo:

1:100 aplica-se a regra de três simples para saber a medida no desenho do

comprimento da sala:

MD (cm) MR (cm)

1 100

X 640

100.X = 640.1

X = 640/100

X = 6,4 cm

Atenção 1:100 significa que para cada 1 cm no desenho é preciso tomar 1m na medida real.

Agora a medida da largura:

MD (cm) MR (cm)

1 100

X 480

100.X = 480.1

X = 480/100

b) Desta vez, vamos calcular como ficam as dimensões da sala de aula na

escala 1: 50.

Comprimento da sala de aula

MD (cm) MR (cm)

1 50

X 640

50.X = 640.1

X = 640/ 50

Largura da sala de aula

MD (cm) MR (cm)

1 50

X 480

50.X = 480.1

X = 480/ 50

X = 4,8 cm

X = 12,8 cm

X = 9,6 cm

Atividades:

1) Numa maquete, a altura de um edifício é de 80 cm. Qual é a altura real do

prédio sabendo-se que a maquete foi construída na escala 1:50?

2) A figura abaixo mostra um terreno retangular dividido em três outros terrenos

menores. Se a escala do desenho é 1 : 1000, calcule a área real de cada uma das

partes.

3,0 cm

3,0 cm 2,0 cm

2,5 cm

4,0 cm 5,0 cm

Resultados esperados: Espera-se que os estudantes compreendam os

conteúdos de forma significativa, para que possam utilizá-los no cotidiano.

Planta baixa de uma casa Depois da compreensão dos conteúdos acima, cada grupo de alunos

escolhe as dimensões de uma casa e a divisão dos cômodos, bem como a escala

a ser utilizada e inicia-se o desenho da planta baixa.

Agora é com você:

B

A C

Primeiramente devemos localizar portas e janelas, depois anotamos a

espessura das paredes. Vamos considerar as paredes externas com 20 cm de

espessura e as internas com 15 cm de espessura.

Depois que os grupos tiverem realizado a atividade, o professor

questionará sobre o telhado. Como fazer o telhado? Qual deve ser a altura da

cumeeira? Quantas telhas cada casa irá precisar? Entre outros.

Para exemplificar os cálculos sobre o telhado, será desenvolvido uma

atividade com os alunos que consta no livro Telecurso 2000: Matemática-2º Grau-

volume 2, conforme segue:

Problema do telhado. Determinar a altura da cumeeira da

casa.

Para iniciar, precisamos saber o que é inclinação do telhado. A inclinação do telhado é definida por um número obtido da seguinte forma. Construímos um triangulo retângulo

O número 0,32 é igual a 32/100, ou seja, 32%. Assim

dizemos que a inclinação deste telhado é de 32%.

A inclinação ideal de cada telhado depende também

da telha que se decide usar. Em nossa casa vamos usar

telhas francesas, que pedem uma inclinação de cerca de

40%.

Para determinar, então, a altura da cumeeira da casa

será feita o desenho do seu lado esquerdo.

A largura da casa é 8m aproximadamente.

Se desejamos uma inclinação de 40%, devemos obter

um resultado da divisão do cateto vertical pelo cateto

horizontal igual a 0,4.

4y = 0,4 ou y = 4. 0,4 = 1,6 m

Portanto, a cumeeira será construída a 1,6 m acima do

teto da casa que está, por sua vez, a 2,80 m do chão. Logo, a

altura total da casa será de 1,60 + 2,80 = 4,40 m.

Vamos agora, finalmente, calcular a área do telhado

para podermos calcular o número de telhas que vamos

precisar.

Nesta figura, o ponto C é a cumeeira e o ponto A é o

encontro do teto com a parede, ou seja, é o ponto onde o

telhado se apoia.

Podemos calcular o comprimento de CA usando o

Teorema de Pitágoras:

Atividades relacionadas a planta feita pelos grupos:

1) Calcule o comprimento total da casa.

2) O piso de uma casa pode ser feito de várias formas: com tacos, lajotas, de

cerâmica, de tábuas, etc. Calcule a área total do piso da casa.

Resultados esperados: Saber utilizar corretamente os cálculos necessários para

fazer o telhado da maquete.

CA 2 = 4,0 2 + 1,6 2

CA 2 = 16 + 2,56 = 18,56

CA = 56,18 31,4≅ m

O telhado deve ser prolongado cerca de 30 cm

para formar um beiral que proteja as janelas da chuva.

Sendo AB = 30 cm, temos o comprimento de cada face

do telhado: 4,31 + 0,30 = 4, 61 m, aproximadamente.

Observe que o comprimento da cumeeira é igual

ao da casa, ou seja 11,15 m. Logo, a área do telhado ( as

duas faces ) será de:

2. 4,61. 11,15 = 102,8 m 2

A quantidade de telhas que devemos usar

depende da área do telhado e do tipo de telha. Com a

telha francesa, gastamos 15 telhas em cada m 2 de

telhado. Um primeiro cálculo indica que devemos gastar

em todo telhado, de 102,8 m 2 , uma quantidade de telhas

igual a 102,8.15 = 1542. Entretanto, devemos evitar ao

máximo cortar telhas, pois essa quantidade pode ser

maior.

3.4 Atividade 4 - Construção da maquete de uma casa – 20 aulas Levar o grupo de alunos a refletirem sobre o que precisa para fazer a

maquete de uma casa, qual é o material mais barato e a durabilidade da maquete.

Para confeccionar a maquete os alunos irão utilizar-se dos conhecimentos

desenvolvidos anteriormente, dando vida ao trabalho, ou seja, materializando - o.

A maquete construída é a casa em miniatura, ou seja, traduz com exatidão

como ficará a casa na realidade.

Objetivos:

• Reconhecer e aplicar os conhecimentos anteriores para a confecção da

maquete de uma casa.

• Introduzir noções de geometria espacial.

• Reconhecer as figuras planas na decomposição das representações dos

sólidos.

Encaminhamentos: Para motivar os estudantes na construção das maquetes e para aprender

sobre geometria espacial, iremos ter uma conversa com um ex - aluno do nosso

colégio, Rafael, que trabalha com projetos de móveis e usa o Google SketchUp. O

aluno Rafael fará uma breve exposição do uso dessa ferramenta para a

construção dos móveis e que pode ser utilizado para construir maquetes também,

irá contar ainda como aprendeu trabalhar com o programa e se os conteúdos por

ele estudado ajuda ou ajudou no início do seu trabalho, o que despertará a

curiosidade do aluno em aprender os conteúdos, bem como sua utilidade no dia –

a – dia.

Os alunos poderão questionar o aluno Rafael sobre suas diversas

curiosidades.

O professor questionará os alunos sobre as formas da maquete e

começará os conteúdos de geometria espacial. Para iniciar e motivar os alunos,

solicitará que desenhem uma caixa, desafiará os estudantes a construírem um

cubo com papel dobradura. Deixará que pesquisem e tentem confeccionar um

cubo. Em seguida apresentará a confecção de um cubo usando dobraduras.

Questionará os alunos sobre arestas, vértices e faces, em seguida

questionará também sobre a área do cubo e seu volume. Ainda com dobraduras,

construirá o tetraedro e o octaedro.

Após a explanação do assunto os alunos irão assistir a vídeos do site dia a

dia Educação onde são demonstradas as representações dos sólidos de Platão,

tendo a oportunidade de uma melhor visualização para formar assim um conceito

mais amplo das figuras.

Depois dos vídeos o professor fará a dedução das fórmulas relacionadas a

área e o volume dos sólidos Geométricos e passará algumas atividades do Livro

Didático relacionadas ao conteúdo.

Em seguida os grupos irão escolher o material para a confecção da

maquete, que poderá ser de isopor, papelão, palitos de picolé, madeira, etc. Pode

ser escolhido o material mais acessível.

Com as medidas reais da casa realizada na atividade anterior cada grupo

irá optar por uma escala calculando os valores correspondentes da maquete.

Os grupos irão anotar os materiais que utilizaram na construção da

maquete, suas quantidades e valores em reais.

Após a construção das maquetes os grupos irão organizar um painel com o

esboço da planta baixa, uma tabela com os materiais utilizados e seus

respectivos valores, fotos e depoimentos dos componentes do grupo.

Com a conclusão das maquetes e do painel será marcada uma exposição

do projeto para a comunidade escolar, onde os grupos irão apresentar seus

trabalhos fazendo a explanação do projeto e as conclusões.

Resultados esperados: Com a conclusão do projeto espera-se que os alunos compreendam a

importância da Matemática na nossa vida e que a metodologia apresentada

favoreça o estudante em sua aprendizagem.

4. Avaliação O desempenho do grupo será avaliado através dos seguintes critérios:

Criatividade

Cumprimento das atividades

Procedimentos utilizados para resolver as atividades

Apresentação do trabalho

Relatórios

Referências BURAK, Dionísio. A modelagem matemática e a sala de aula. In: - I EPMEM –

Anais... I Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, 2004.

Londrina, PR, 2004. p.1-10.

BURAK, Dionísio. Uma perspectiva de modelagem matemática e a aprendizagem

da matemática. In: BRANDT, C. F (Org.); BURAK, D. (Org.); KLÜBER, T. E.

(Org.). Modelagem Matemática: Uma perspectiva para a Educação Básica. 1ª.

ed. Ponta Grossa: Ed. UEPG, 2010. p.15-38.

BURAK, Dionísio; KLUBER, Tiago Emanuel. Modelagem Matemática na

Educação Básica Numa Perspectiva de Educação Matemática. In: BURAK, D.

(Org.); PACHECO, E. R. (Org.); KLÜBER, T. E. (Org.). Educação Matemática: Reflexões e Ações. 1. ed. Curitiba, PR: CRV, 2010. v. 1. p.147-164.

FUNDAÇÃO, Roberto Marinho. Telecurso 2000: Matemática-2º Grau.V 2.

Editora Globo. São Paulo, 2000.

IMENES, Luiz Márcio. Geometria das dobraduras. Coleção: Vivendo a

Matemática. 7ª ed. São Paulo, Scipione, 1997.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede

Pública do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

RÊGO, Rômulo Marinho do, RÊGO, Rogéria Gaudêncio do. Desenvolvimento e uso de materiais didáticos no ensino de matemática. In: LORENZATO, Sergio. (org.): O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. 3ª ed. Campinas. São Paulo: Autores Associados, 2010. p.39-56.

SCHLIEMANN, Analúcia Dias; CARRAHER, David William; CARRAHER,

Terezinha Nunes. Na vida dez, na escola zero. 2ª ed. São Paulo, Cortez, 1988.

Sites Consultados:

PARANÁ, Portal Educacional do Paraná. Disponível em:

<http//www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/> Acesso em: 15/09/2013.

http://www.somatematica.com.br/. Acesso em: 04/11/2013