orismoi 8 05_2016

Παλαιοπωλείο Μαθηματικών mathkanavis.blogspot.com

Επιμέλεια για μη κερδοσκοπικούς διδακτικούς σκοπούς

1

Όλοι οι ορισμοί μέσα από το

σχολικό βιβλίο 2015-2016

1.2 ΤΝΑΡΣΗΕΙ

Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης

ΟΡΙΜΟ

Πρέπει να γνωρίζεις επίσης:

— Σο γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη

μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται

εξαρτημένη μεταβλητή.

— Σο σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα Ax , λέγεται

σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με )(Af . Είναι δηλαδή:

)(|{)( xfyyAf για κάποιο }Ax .

Έστω Α ένα υποσύνολο του . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο

ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο

αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Σο y ονομάζεται τιμή της f

στο x και συμβολίζεται με


2

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Πρέπει να γνωρίζεις ότι:

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων

στο επίπεδο. Σο σύνολο των σημείων ),( yxM για τα οποία ισχύει )(xfy ,

δηλαδή το σύνολο των σημείων ))(,( xfxM , Ax , λέγεται γραφική παράσταση

της f και συμβολίζεται συνήθως με fC .

Ισότητα συναρτήσεων

OΡΙΜΟ Απολυτήριες 2007, Επαναληπτικές 2012

Πράξεις με συναρτήσεις


Ορίζουμε ως άθροισμα gf , διαφορά g-f , γινόμενο fg και πηλίκο g

f δύο

συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους:

)()())(( xgxfxgf

)()())(( xgxfxgf

Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:

έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και

για κάθε ισχύει .


3

)()())(( xgxfxfg

)(

)()(

xg

xfx

g

f

.

Σο πεδίο ορισμού των gf , gf και fg είναι η τομή BA των πεδίων ορισμού Α και

Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g

f είναι το BA ,

εξαιρουμένων των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή )(xg , δηλαδή το σύνολο

Axx |{ και Bx , με }0)( xg .

ύνθεση συναρτήσεων

ΟΡΙΜΟ

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε

σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με , τη συνάρτηση με τύπο


4

1.3 ΜΟΝΟΣΟΝΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ -

ΑΝΣΙΣΡΟΥΗ ΤΝΑΡΣΗΗ

Μονοτονία συνάρτησης

ΟΡΙΜΟ

Πρέπει να γνωρίζεις επίσης: (1)

Μια ζσνάρηηζη f λέγεηαι, απλώς,:

αύξουσα ζ’ ένα διάζηημα Δ, όηαν για οποιαδήποηε Δxx 21, με 21 xx ιζτύει

)()( 21 xfxf .

φθίνουσα ζ’ ένα διάζηημα Δ, όηαν για οποιαδήποηε Δxx 21, με 21 xx ιζτύει

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του

πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε

ονομάζουμε Μια συνάρτηση f λέγεται(1) :

γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για

οποιαδήποτε με ισχύει:

γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν

για οποιαδήποτε με ισχύει:


5

Ακρότατα συνάρτησης

ΟΡΙΜΟ


Σο (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα

της f.

υνάρτηση 11

ΟΡΙΜΟ Επαναληπτικές 2005- 2015

Επαναληπτικές 2010 , Απολυτήριες 2014

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:

Παρουσιάζει στο (ολικό) μέγιστο, το , όταν

για κάθε

Παρουσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο, το , όταν

για κάθε

Μια συνάρτηση λέγεται συνάρτηση , όταν για οποιαδήποτε

ισχύει η συνεπαγωγή:

αν , τότε .


6

Αντίστροφη συνάρτηση


Έστω μια συνάρτηση :f A . Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι 11 , τότε για

κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, )(Af , της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του

πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει yxf )( . Επομένως ορίζεται μια

συνάρτηση

: ( )g f A

με την οποία κάθε )(Afy αντιστοιχίζεται στο μοναδικό Ax για το οποίο

ισχύει yxf )( .

Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι:

— έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών )(Af της f,

— έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και

— ισχύει η ισοδυναμία:

xygyxf )()( .

Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y

στο x και αντιστρόφως . Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το

λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με 1f .


7

1.4 ΟΡΙΟ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΟ x 0

Πεπερασμένο όριο ακολουθίας

ΟΡΙΜΟ

ΟΡΙΜΟ

1.8 ΤΝΕΦΕΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ

Ορισμός της συνέχειας

ΟΡΙΜΟ Επαναληπτικές 2009, Απολυτήριες 2015

Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση

Θα λέμε ότι η ακολουθία έχει όριο το και θα γράφουμε

, όταν για κάθε , υπάρχει τέτοιο, ώστε για κάθε

να ισχύει

Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα

λέμε ότι η f είναι συνεχής στο , όταν


8


Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα

λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση.

ΟΡΙΜΟ


ΘΕΩΡΗΜΑ Bolzano διατύπωση Επαναληπτικές 2014

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα . Αν:

η f είναι συνεχής στο ],[ βα και, επιπλέον, ισχύει

0)()( βfαf ,

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον , ),(0 βαx τέτοιο, ώστε

0)( 0 xf .

Δηλαδή , υπάρχει μια, τουλάχιστον , ρίζα της εξίσωσης 0)( xf στο ανοικτό

διάστημα ),( βα .

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα

, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του .

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα

, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του και επιπλέον

και

Απολυτήριες 2008 - 2012


9

Θεώρημα του Bolzano – Γεωμετρική ερμηνεία

το διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική

παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο

],[ βα . Επειδή τα σημεία ))(,( αfαA και

))(,( βfβB βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα

xx , η γραφική παράσταση της f τέμνει τον

άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών – Διατύπωση

Σο επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι

γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα .

Αν:

η f είναι συνεχής στο ],[ βα και

)()( βfαf

τότε , για κάθε αριθμό η μεταξύ των )(αf και )(βf υπάρχει ένας, τουλάχιστον

),(0 βαx τέτοιος, ώστε

ηxf )( 0

x0 x0

x0

y

B(β, f (β))

Α(α, f (α)) f (a)

f (β)

O β

a x

64


10

2 ΔΙΑΥΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ

ΟΡΙΜΟ

Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο

ΟΡΙΜΟ Απολυτήριες 2004, Απολυτήριες 2009

Έστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο της . Αν υπάρχει το

και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

εφαπτομένη της στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και

έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο του πεδίου ορισμού

της, αν υπάρχει το

και είναι πραγματικός αριθμός.

Σο όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο και συμβολίζεται με .

Δηλαδή:

.


11


Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή 0t , είναι η παράγωγος της

συνάρτησης θέσης )(tSx τη χρονική στιγμή 0t . Δηλαδή, είναι

)()( 00 tStυ .

Η παράγωγος )( 0tυ λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή 0t και

συμβολίζεται με )( 0tα . Είναι δηλαδή

)()()( 000 tStυtα .

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της fC μιας παραγωγίσιμης

συνάρτησης f, στο σημείο ))(,( 00 xfxA είναι η παράγωγος της f στο 0x .

Δηλαδή, είναι

)( 0xfλ ,

οπότε η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε είναι:

))(()( 000 xxxfxfy

Σην κλίση )( 0xf της εφαπτομένης ε στο ))(,( 00 xfxA θα τη λέμε και κλίση της fC στο

Α ή κλίση της f στο 0x .

την οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ

εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι, η

παράγωγος )( 0xΚ παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την

ποσότητα x, όταν 0xx και λέγεται οριακό κόστος στο 0x . Ανάλογα, ορίζονται

και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο 0x και οριακό κέρδος στο 0x .


12

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ -

ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΤΝΑΡΣΗΗ


Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι:

— H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε

κάθε σημείο Ax 0 .

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ),( βα του πεδίου ορισμού της, όταν

είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ),(0 βαx .

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα του πεδίου ορισμού της, όταν

είναι παραγωγίσιμη στο ),( βα και επιπλέον ισχύει

( ) ( )limx

f x f

x

και ( ) ( )

limx

f x f

x

.

Επαναληπτικές 2010, Απολυτήριες 2013

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και 1A τo σύνολο των σημείων του Α

στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε 1Ax στο )(xf ,

ορίζουμε τη συνάρτηση

),(

: 1

xfx

RAf

η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f.

Αν υποθέσουμε ότι το 1Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της f ,

αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f .

Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, με 3ν , και συμβολίζεται με )(νf .

Δηλαδή, ][1)()( νν

ff , 3ν .


13

2.4 ΡΤΘΜΟ ΜΕΣΑΒΟΛΗ

ΟΡΙΜΟ

2.5 ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ROLLE - ΜΕΗ ΣΙΜΗ

ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) – Διατύπωση Επαναληπτικές 2012

Αν μια συνάρτηση f είναι:

συνεχής στο κλειστό διάστημα ],[ βα

παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ),( βα και

)()( βfαf

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),( βαξ τέτοιο, ώστε:

0)( ξf

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη συνδέονται με τη σχέση , όταν f είναι

μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως

προς το x στο σημείο την παράγωγο .


14

Θεώρημα του Rolle – Γεωμετρική ερμηνεία Επαναληπτικές 2007

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα,

τουλάχιστον, ),( βαξ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη

της fC στο ))(,( ξfξM να είναι παράλληλη στον

άξονα των x.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Σιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Σ.) – Διατύπωση Απολυτήριες 2013

Αν μια συνάρτηση f είναι:

συνεχής στο κλειστό διάστημα ],[ βα και

παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ),( βα

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),( βαξ τέτοιο, ώστε:

αβ

αfβfξf

)()()(

Θεώρημα Μέσης τιμής – Γεωμετρική ερμηνεία Επαναληπτικές 2008

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα,

τουλάχιστον, ),( βαξ τέτοιο, ώστε η

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο

σημείο ))(,( ξfξM να είναι παράλληλη της

ευθείας ΑΒ.

y

O x β ξ΄ ξ α

Μ(ξ,f (ξ))

Β(β,f (β)) Α(α,f (α))

18

Β(β,f (β))

β ξ΄ ξ a x

y

Ο

M(ξ,f (ξ))

A(a,f (a))

20


15

2.7 TOΠΙΚΑ ΑΚΡΟΣΑΣΑ ΤΝΑΡΣΗΗ

Η έννοια του τοπικού ακροτάτου

ΟΡΙΜΟ Απολυτήριες 2012


ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat) – Διατύπωση Επαναληπτικές 2013

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ.

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό,

τότε:

0)( 0 xf

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο

τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει , τέτοιο ώστε

για κάθε .

Σο λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το τοπικό μέγιστο της

f.

Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο

τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει , τέτοιο ώστε

, για κάθε .

Σο λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το τοπικό ελάχιστο

της f.


16


Σα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής, ενώ τα

σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων.

Σο μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής.

ΦΟΛΙΟ

Οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ’ ένα

διάστημα Δ είναι:

1. Σα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.

2. Σα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

3. Σα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Σα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της

είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

Επαναληπτικές 2013


17

2.8 KΤΡΣΟΣΗΣΑ – ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΤΝΑΡΣΗΗ

Κοίλα - κυρτά συνάρτησης

ΟΡΙΜΟ Απολυτήριες 2006 – 2010 – 2014

ημεία καμπής

ΟΡΙΜΟ

Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η

στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι:

Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η

είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η

είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα , με εξαίρεση ίσως

ένα σημείο του . Αν

η f είναι κυρτή στο και κοίλη στο , ή αντιστρόφως, και

η έχει εφαπτομένη στο σημείο ,

τότε το σημείο ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης

της f.


18


Ο ι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ

είναι: i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται, και

ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f

2.9 ΑΤΜΠΣΩΣΕ - ΚΑΝΟΝΕ DE L’ HOSPITAL

Aσύμπτωτες

ΟΡΙΜΟ Απολυτήριες 2010, Επαναληπτικές 2016


ΟΡΙΜΟ Απολυτήριες 2005 – 2011

Η ασύμπτωτη βxλy είναι οριζόντια αν 0λ , ενώ αν 0λ λέγεται πλάγια.

Η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο

, αντιστοίχως στο , αν

Αντιστοίχως, αν .

Αν (αντιστοίχως , τότε η ευθεία λέγεται

οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (αντιστοίχως στο

).

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια , είναι ή , τότε η

ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.


19

2 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ

3.1 ΑΟΡΙΣΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Αρχική συνάρτηση

ΟΡΙΜΟ Επαναληπτικές 2006 – 2011 - 2014


Ορισμός εμβαδού

“Σο όριο του αθροίσματος νS , δηλαδή το

ν

κ

κν

Δxξf1

)(lim (1) υπάρχει στο

και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων κξ ”.

Σο παραπάνω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης

f από το α στο β, συμβολίζεται με β

αdxxf )( και διαβάζεται “ολοκλήρωμα της f

από το α στο β”. Δηλαδή ,

α

β

ν

κ

κν

xΔξfdxxf1

)(lim)(

Το άθροιζμα ασηό ονομάζεηαι ένα άθροιζμα RIEMANN.

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή

παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη

στο Δ και ισχύει

, για κάθε .

orismoi 8 05_2016

Education