Ordinales

Para intentar extender las propiedades de los números naturales a conjuntos infinitos,debemos considerar el orden. Los naturales son un conjunto ordenado muy especial, y sufunción como instrumento para contar está relacionada con una propiedad particular. Asaber, cuando se ha contado hasta n, aparece un número sucesor n + 1. En otras palabras,tenemos un conjunto ordenado A con la propiedad de que en cada desmontaje A = P +Q ,la parte finalQ (cuando no es vacía) tiene un primer elemento. Aquí la notación A = P +Qsignifica A = P ∪Q , donde los elementos de Q son mayores que los de P , P ,Q son ajenosentre sí. Transferiremos esta propiedad a conjuntos arbitrarios.

Con los resultados previos podemos decir que dos conjuntos bien ordenados A,B sepueden comparar de acuerdo a si existe una función que respeta el orden de A en B ,de B en A o son isomorfos. En cierto sentido, estos conjuntos son comparables por su«longitud», sin que realmente importe la naturaleza de sus elementos, sólo es relevante subuen orden.

Cantor (1897):Die Ordnungszahlen wohlgeordneter Mengen.

Nach §7 hat jede einfach geordnete Menge M einen bestimmten Ordnungstypus M ; esist dies der Allgemeinbegri�, welcher sich aus M ergibt, wenn unter Festhaltung derRangordnung ihrer Elemente von der Bescha�enheit der letzteren abstrahiert wird,so daß aus ihnen lauter Einsen werden, die in einem bestimmten Rangverhältnis zueinander stehen. Allen einander ähnlichen Mengen, und nur solchen, kommt ein undderselbe Ordnungstypus zu. Den Ordnungstypus einer wohlgeordneten Menge F nennenwir die ihr zukommende Ordnungszahl.

Los números ordinales de conjuntos bien ordenadosSegún el parágrafo 7, cualquier conjunto linealmente ordenado M tiene un tipo de orden M ; éstees la noción general que surge de M , cuando al mantener �ja la jerarquía respecto al orden de suselementos se extrae esta última, de tal suerte que se obtienen 1 (unos) que guardan entre sí una ciertajerarquía. Todo conjunto similar y sólo ellos tienen el mismo tipo de orden.

Expliquemos un poco estas ideas. Dos conjuntos linealmente ordenados son similares(Cantor) cuado existe una biyección entre ellos que preserva el orden. La idea expuesta

375

376 CAPÍTULO 39. ORDINALES

por Cantor es que uno toma un conjunto linealmente ordenado, cuya naturaleza puedeser arbitraria, se sutituyen sus elementos por 1 (unos) manteniendo la relación de ordendel conjunto original. A este nuevo conjunto se le otorga un tipo de orden que es aquellapropiedad abstracta que poseen todos y sólo aquellos conjuntos similares al conjunto deunos recién fomado.

Esta idea resulta compleja al inicio, pero es la base para la definición de lo númerosordinales. No nos queda más que maravillarnos de la enorme capacidad de abstración deCantor, quien literalmente de la nada desarrollo esas y otras nociones aún más generales.

Hausdor� se apartó del punto de vista de Cantor para definir a los ordinales. El tomóun «punto de partida formal» viendo a lo números ordinales como símbolos.

Felix Hausdor� (1914).Das den ähnlichen Mengen Gemeinsame bezeichnen wir als Ordnungstypus, wie wirdas den äquivalenten Mengen Gemeinsame als Mächtigkeit bezeichneten. Wir ordnennämlich jeder Menge A ein Zeichen α zu, derart, daß ähnlichen Mengen und nursolchen dasselbe Zeichen entspricht, daß also mit A ≃ B zugleich α = β und umgekehrtmit α = β zugleich A ≃ B ist. Dieses Zeichen α heißt der Ordnungstypus (oder Typus)der Menge A.

Felix Hausdor� (1914).Lo común entre conjunto similares lo llamamos tipo de orden, al igual que hemosllamado cardinalidad lo que tienen en común los conjuntos equipotentes. A saber, leasociamos a cada conjunto linealmete ordenado A el símbolo α, de ta suerte que queconjuntos similares corresonden a un y sólo a un símbolo, esto es, con A ≃ B correspondeα = β y viceversa α = β corresponde a A ≃ B. Est símbolo α se llama el tipo de orden(o tipo) del conjunto A.

Hausdor� define número ordinal como el tipo de orden de los conjuntos bien orde-nados. Aunque las definiciones de Hausdor� y Cantor son distintas, en el fondo sonesencialmente iguales. De hecho, se puede trabajar con ambas en forma equivalente.

Un conjunto A es transitivo si para cualquier elemento x ∈ A y todo y ∈ x ocurrey ∈ A. Otra forma de decirlo es que todo elemento de A es un subconjunto de A. Estadefinición es el fundamento de la noción de ordinal. Un número ordinal, o simplemento unordinal es un conjunto transitivo cuyos elementos son conjuntos transitivos. Se acostumbra usarletras griegas minúsculas para denotar ordinales, α, β , γ, ν, γ, etc. Note que si α, β , γ sonordinales y α ∈ β ∈ γ, se sigue que α ∈ γ porque γ es transitivo. Esto justifica en parteque escribamos α < β en lugar de α ∈ β . Así, el orden entre ordinales se establece como

α < β ⇔ α ∈ β .

También definimos α ≤ β si α < β o α = β .

Proposición 39.0.1. El conjunto vacío � es un ordinal.

Demostración. Recuerde que un conjunto es un ordinal cuando es transitivo y cualquierelemento suyo es también un conjunto transitivo. Por tanto, un conjunto no es un ordinalcuando no es transitivo o alguno de sus elementos no es transitivo.

377

El conjunto vacío es transitivo, porque no existe algún x ∈ � que no esté contenido en�. Por un razonamiento similar, concluimos que no existe un elemeto de � que no seatransitivo. �

Así que, el conjunto vacío es un número, resulta que es el menor entero no negativo, elprimer ordinal, y el primer número cardinal. Por está razón muchos autores (y nosotrostambién) usan indistintamente 0 y �.

Proposición 39.0.2. Si α es un ordinal, también lo es α ∪ {α}.

Demostración. Como α es un ordinal, es transitivo y sus elementos son transitvos, así queα ∪ {α} tiene elementos transitivos. Resta verificar que es transitivo. Sean ξ ∈ α ∪ {α}

y ζ ∈ ξ . Entonces ξ ∈ α, en cuyo caso ζ ∈ α ⊆ α ∪ {α}, o bien ξ = α, e igualmeneζ ∈ α ⊆ α ∪ {α}. �

Denotamos α ∪ {α} por α ++1. Una vez que hayamos introducido la suma ordinal +,veremos qu α + 1 = α ++1 para cualquier ordinal α. Este ordinal α ++1 es el sucesor de α.Definimos 1 = 0 ++1, 2 = 1 ++1, etc.

Proposición 39.0.3. Si A es un conjunto de ordinales, entonces⋃A es un ordinal.

Demostración. Sea ξ ∈⋃A. Entonces, existe ζ ∈ A tal que ξ ∈ ζ con ζ un ordinal. Si η ∈ ξ ,

η ∈ ζ , porque este último es transitivo. Así,⋃A es transitivo y mediante un razonamiento

similar, se corrobora que los elementos de⋃A son transitivos. �

En ocasiones se escribe sup(A) en lugar de⋃A. De hecho,

⋃A es el menor ordinal

mayor o igual que cualquier miembro de A, como pronto veremos.

Proposición 39.0.4. Todo elemento de un ordinal es un ordinal.

Demostración. Sean α un ordinal y β ∈ α. Se sigue que β es transitivo, y si γ ∈ β , γ ∈ α,por lo que γ también es transitivo. �

Teorema 39.0.5. La colección Or de todos los ordinales no es un conjunto.

Demostración. Supong que Or es un conjunto. Considere la fórmula

Or (x) ≡ T rans (x) ∧ ∀ ξ ∈ x(T rans (ξ)),

que expresa que x es un ordinal. Sea B = {ζ ∈ Or : Or (ζ)}. Aquí,

T rans (x) ≡ ∀ y ∈ x∀ z (z ∈ y → z ∈ x)

es la LTC fórmula que afirma x es transitivo.Por Sep, deducimos que B es un conjunto.A�rmación 1. B es un ordinal.Supongamos cierta la afirmación 1, entonces B ∈ Or , por lo que B ∈ B , lo que se

opone al axioma de regularidad.Demostración de la a�rmación 1. Sea ζ ∈ B , entonces ζ es transitivo por ser

ordinal. Si ξ ∈ ζ , y ν ∈ ξ , deducimos que ν ∈ ζ por ser transitivo. En consecuecia, B estransitivo y sus elementos son transitivos. X (1) �

378 CAPÍTULO 39. ORDINALES

Se sigue que la colección Or es demasiado grande para ser un conjunto, es una clasepropia. ADemás, Or es una clase definible, pues

Or = {ξ : Or (xi )}.

Recuerde que α < β si α ∈ β . Con este orden, la clase Or se convierte en una claselinealmente ordenada, en el sentido del siguiente teorema.

Teorema 39.0.6. Si α, β son ordinales, entonces α = β , α ∈ β o β ∈ α.

Demostración. Supongamos que el teorema es falso. Que existen ordnales α, β tales queα , β , α < β , β < α, sea A = (α ++1) ∪ (β ++1) y defina B = {γ ∈ A : ∃ δ ∈ A(γ ,δ ∧ γ < δ ∧ δ < γ)}. En consecuencia, α ∈ B , pues podemos tomar δ = β , por lo queB , �. De acuerdo con el axioma de regularidad, escogemos γ ∈ B tal que γ ∩ B = �.Sea C = {δ ∈ A : γ , δ ∧ γ < δ ∧ δ < γ}. Como C , �, pues γ ∈ B , por regularidadescogemos δ ∈ C con δ ∩C = �

A�rmación 1. γ = δ.Si la afirmación 1 es cierta, tenemos una contradicción.Demostración de la a�rmación 1. Suponga que ξ ∈ γ. Entonces ξ < B y claramente

ξ ∈ A, por lo que ∀ η ∈ A(ξ = η ∨ ξ ∈ η ∨ η ∈ ξ)). Dado que δ ∈ A, tenemos ξ = δ o ξ ∈ δo δ ∈ ξ . Si ξ = δ, entonces δ ∈ γ, una contradicción. Si δ ∈ ξ , ocurre δ ∈ γ, pues γ estransitivo, una contradicción. En consecuencia, ξ ∈ δ, lo que verifica γ ⊆ δ.

Ahora suponga que ξ ∈ δ. Entonces, ξ < C y se deduce que γ = ξ o γ ∈ ξ o ξ ∈ γ. Siγ = ξ , concluimos γ ∈ δ, una contradicción. Si γ ∈ ξ , γ ∈ δ, dado que δ es transitivo, unhecho absurdo, por lo que ξ ∈ γ y confirmamos δ ⊆ γ. X (1) �

Con los resultados anteriores, (Or , <) es una clase linealmente ordenada. Pero nopierda de vista que Or no es un conjunto.

Proposición 39.0.7. Sean α, β ordinales. Entonces α ≤ β si y sólo si α ⊆ β .

Demostración. ⇒) Suponga que α ≤ β y x ∈ α. Entonces x < α ≤ β , por lo que x < βporque β es transitivo. En consecuencia, x ∈ β , de donde se sigue α ⊆ β .

⇐) Suponga que α ⊆ β . Si β < α, entonces β ∈ α ⊆ β , por lo que β ∈ β , un hechoabsurdo. Dado que α y β deben ser comparables de acuerdo con el teorema (39.0.6), sóloqueda como posibilidad α ≤ β . �

Proposición 39.0.8. Sean α, β ordinales. Ocurre que α < β si y sólo si α ⊂ β .

Demostración. Note que

α < β ⇔ α ≤ β ∧ α , β

⇔ α ⊆ β ∧ α , β Proposición (39.0.7)

⇔ α ⊂ β .

�

Proposición 39.0.9. Si α, β son ordinales, α < β si y sólo si α ++1 ≤ β .

379

Demostración. ⇒) Suponga que α < β . Si β < α ++1, entonces β ∈ α ∪ {α}, por lo queβ ∈ α o β = α. Como α ∈ β , esto implica que β ∈ β , lo que se opone al axioma deregularidad. Por el teorema (39.0.6), α ++1 ≤ β .

⇐) Suponga que α ++1 ≤ β . Entonces, α < α ++1 ≤ β , por lo que α < β . �

Proposición 39.0.10. No existen ordinales α, β tales que α < β < α ++1.

Demostración. Se sigue de que no existen conjuntos z ,w tales que z ⊂ w ⊂ z ∪ {z }. �

Teorema 39.0.11. Si A es un conjunto de ordinales, entonces α ≤⋃A para cada α ∈ A. Si

β es un ordinal tal que α ≤ β para todo α ∈ A, ocurre⋃A ≤ β .

Otra form de decir lo anterior es que⋃A es el supremo de A, o que es la mínima cota

superior de A.

Demostración. Sea γ el ordinal⋃A, y suponga que α ∈ A. Se sigue que α ⊆ γ, por lo que

α ≤ γ según la proposición (39.0.7).Ahora suponga que β es un ordinal tal que α ≤ β para cualquier α ∈ A. Tome ξ ∈ γ

y escoja η ∈ A con ξ ∈ η. Por tanto, η ≤ β , así que ξ < η, de donde se sigue ξ < β . Enconsecuencia, ξ ∈ β , lo que muestra que γ ⊆ β , esto es, γ ≤ β . �

Teorema 39.0.12. Si B es un conjunto no vacío de ordinales, entonces⋂B es un ordinal,

⋂B ∈ B y

⋂B ≤ α para todo α ∈ B.

Demostración. Los elementos de⋂B son evidentemente ordinales, por lo que basta con-

firmar que⋂B es transitivo para verificar la primera afirmación. Así que suponga que

α ∈ β ∈⋂B ; Dado que β pertenece a la intersección de B y todo elemento de B es un

ordinal, β es elemento de cada ordinal en B . Por consiguiente α es elemento de cadaordinal en B , pues los ordinales son transitivos. Esto corrobora que α ∈

⋂B y como α

fue arbitrario, deducimos que⋂B es transitivo, y por tanto, un ordinal.

Sea τ =⋂B . Para todo α ∈ B , τ ⊆ α, de donde se sigue que τ ≤ α. Ahora, suponga

que τ < B . Para cualquier α ∈ B , ocurre τ ⊆ α, por lo que τ ≤ α. En consecuencia, τ < α,ya que α ∈ B pero estamos suponiendo que τ < B . Esto significa que para cada α ∈ B ,τ ∈ α, lo que indica τ ∈ τ, un hecho absurdo. �

Los números naturales pueden ser de dos formas. Si n ∈ N, n puede ser 0 o el sucesorm ++1 de algún natural m. En general, los ordinales α pueden ser de tres clases. El ordinalα es el 0 o es el sucesor β + 1 de algún ordinal, o ser un ordinal límite, cuando no escero o el sucesor de algún ordinal. Ya vimos que el 0 es un ordinal, y que si α es ordinal,también lo es su sucesor α ++1. Por consiguiente, cualquier número natural n es un ordinal,los ordinales finitos. Así, 1, 2, 3, . . . son ordinales, ordinales sucesores.

Mencionamos a los ordinales límite, pero aún no los conocemos o sabemos si existen.En realidad, sí conocemos al menos uno de ellos, a saber, el dado por el axioma deinfinito.

Proposición 39.0.13. El conjunto ω de los números naturales es un ordinal.

380 CAPÍTULO 39. ORDINALES

Demostración. Recuerde que ω = {0, 1, 2, 3, . . .}. Sea n ∈ ω. Si n = 0, tenemos � ⊆ ω. Encaso de que m ∈ n, se sigue que m ∈ ω, pues recuerde que l + 1 = {0, . . . , l } ⊆ ω. Portanto, ω es transitivo, y como recién vimos, cualquier elemento l + 1 de ω es el conjuntode los naturales menores o iguales que l , por lo que l + 1 es transitivo. El 0 también estransitivo, pues 0 = �. �

Es claro que ω siendo el conjunto de todos los naturales, no puede ser el sucesor deun ordinal menor, pues si n < ω, n ++1 ∈ ω.

Teorema 39.0.14. ω es el primer ordinal límite.

Demostración. Sea C = {y ∈ ω : y no es un ordinal límite}. Es claro que 0 ∈ ω. Supongaque y ∈ C , entonces y ++1 ∈ C , de donde se deduce que C −ω = �, por lo que para todoα < ω, α no es un ordinal límite.

Dado que 0 ∈ ω, ω , �. Si ω = y ++1, y ∈ ω, por lo que ω = y ++1 ∈ ω, un hechoabsurdo. Se sigue que ω es un ordinal límite. �

Proposición 39.0.15. Las siguientes a�rmaciones son equivalentes.

1. α es un ordinal límite.

2. α , 0 y para cada β < α existe un ordinal γ con β < γ < α.

3. α =⋃α , 0.

Demostración. (i)⇒(ii). Supongamos que α es un ordinal límite, por lo que α , 0 pordefinición y tome β < α. Según la proposición (39.0.9), β ++1 ≤ α, pero no puede ocurrirβ = α ++1, pues α es límite. En consecuencia, β < β ++1 < α.

(ii)⇒(iii). Sabemos que α , 0 por hipótesis. Así que, existe β ∈ α y por hipótesistenemos γ ∈ α con β < γ < α, lo que trae aparejado que

⋃α no sea vacía. Sea ξ ∈

⋃α,

y ζ ∈ α con ξ ∈ ζ . Dado que α es transitivo, ξ ∈ α, lo que indica⋃α ⊆ α. Por otro lado,

si ζ ∈ α, escogemos γ < α con ζ < γ < α. Por consiguiente, ζ ∈⋃α.

(iii)⇒(i). Suponga que α = β ++1. Entonces, β ∈ α =⋃α, así que escogemos γ ∈ α

tal que β ∈ γ. En consecuencia, β < γ ≤ β , por lo que β < β , inaudito. �

Proposición 39.0.16. Si α es un ordinal y α = β ++1, entonces⋃α = β .

Demostración. Suponga que γ ∈⋃α y escogemos δ ∈ α tal que γ ∈ δ, por lo que γ < δ < α,

así que δ ≤ β , de donde se sigue γ ∈ β . Esto confima que⋃α ⊆ β . Si γ ∈ β , entonces

γ ∈ β ∈ α, por lo que γ ∈⋃α, lo que da lugar a

⋃α = β . �

Teorema 39.0.17. Las siguientes a�rmaciones son equivalentes.

(i) ξ es un ordinal.

(ii) ξ es transitivo y (x, {(η, ζ) ∈ ξ × ξ : η ∈ ζ}) es un conjunto bien ordenado.

• ξ es transitivo y para cualesquier η, ζ ∈ ξ , η = ζ o η = ζ o η ∈ ζ o ζ ∈ η.

39.1. ALGO DE HISTORIA 381

• Para toda η, si η ⊂ ζ y η es transitivo, entonces η ∈ ξ .

• Se cumplen las siguientes condiciones.

(a) Para toda η ∈ ξ , η ∪ {η} = ξ o η ∪ {η} ∈ ξ .

(b) Para cada η ⊆ ξ ,⋃η = ξ o

⋃η ∈ ξ .

Demostración. (i)⇒(ii) Por definición, ξ es transitivo. Sea R = {(η, ζ) ∈ ξ × ξ : η ∈ ζ},que obviamente es una relación binaria y que R ⊆ ξ × ξ . R es asimétrica por regularidady transitiva porque ξ es un conjunto transitivo. Además, R es lineal en ξ por el teorema39.0.6. Que es buen orden es una consecuencia del teoema 39.0.12.

(ii)⇒(iii). Es obvio a partir de (i).(iii)⇒(iv) Suponga que η ⊂ ξ y que η es transitivo. Escogemos ζ ∈ ξ − η tal que

ζ ∩ (ξ − η) = �. Si ν ∈ η, ν ∈ ξ pues η ⊂ ξ . Así, ν, ζ ∈ ξ , y por hi �potesis ν ∈ ζ ∨ ν =

ζ ∨ ζ ∈ ν. Pero ν , ζ pues ζ < η y ν ∈ η. Más aún, ζ < ν, ya que ζ ∈ ν implicaría ζ ∈ η,porque η es transitivo y ν ∈ η. Sin embargo, ζ ∈ η es falso, de donde se sigue que ν ∈ ζ yesto se cumple para toda ν ∈ η. En consecuencia, η ⊆ η y como también es evidente queζ ⊆ η, concluimos η = ζ ∈ ξ .

(iv)⇒(i) Sea η = {ζ ∈ ξ : Or (ζ)}, por tanto η ⊆ ξ . Suponga que η ⊂ ξ .A�rmación 1. η es transitivo.Demostración de la a�rmación 1. Tomamos ζ ∈ η, por lo que ζ ∈ ξ y ζ es un

ordinal. Tome µ ∈ ζ . Entonces, µ ∈ ξ pues ξ es transitivo y µ es un ordinal porque ζes un ordinal. En consecuencia, µ ∈ η y η es transitivo. Por hipótesis, η ∈ ξ . Dado queη es un conjunto transitivo, cuyos elementos son conjuntos transitivos, lo que indica queη es un ordinal. En consecuencia, η ∈ η, una contrdicción, que prueba ξ = η, y ξ es unordinal.

(i)⇒(v). (a) se cumple por la proposición (39.0.9). Suponga que η ⊆ ξ . Si ζ ∈⋃η,

escogemos µ ∈ η tal que ζ ∈ µ, por lo que µ ∈ ξ , así que ζ ∈ ξ ya que ξ es transitivo. Estoconfirma que

⋃η ⊆ ξ . Por la proposición (39.0.3),

⋃η es un ordinal y por la proposición

(39.0.7),⋃η ≤ ξ .

(v)⇒(i) Por el teorema (39.0.5) existe un ordinal α que no pertenece a ξ , y por elteorema (39.0.12), existe un menor β ∈ α ∪ {α} con β < α. Tenemos dos posibilidades.

Caso 1. β =⋃β . Como β ⊆ ξ , por (v)(b), como

⋃β = β < ξ , tenemos ξ =

⋃β , por

lo que ξ es un ordinal, como se busca.Caso 2. β = (

⋃β ) ++1. Entonces,

⋃β es un ordinal menor que β , por lo que está en

ξ . Por (a), dado que β =⋃β ++1 < ξ , se cumple ξ = (

⋃β ) ++1, de donde se deduce que ξ

es un ordinal. �

39.1 Algo de historia

A principios del siglo XX, circuló la llamada paradoja de Burali-Forti en el mundo de lasmatemáticas. Esta se deriva de suponer queOr es un conjunto. Varios «matemáticos» malinterpretaron una famosa frase de Cantor que parecia definir la noción de conjunto,

382 CAPÍTULO 39. ORDINALES

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmtenwohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens(welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen

Por un conjunto entendemos cualquier colecciónM de objetosm determinadosy distinguibles entre sí según nuestra experiencia o pensamiento (que se llamanelementos de M ) para formar un todo.

Si bien Cantor escribió esta «definición», él mismo advirtió que solo eran admisiblescomo conjuntos aquellas colecciones que no daban pie a contradicciones. Él mismo habíaencontrado ya la situación descrita por Burali-Forti, por lo que sabía que se debía ser cuida-doso con la definición de conjunto. A diferencia de los ataques de pánico que sufrieronFrege y Dedekind cuando supieron de las paradojas (la de Burali-Forti y la de Russell),Cantor no se manifestó ni un poco preocupado. La razón de este comportamiento es queCantor conocía estas «paradojas» años antes que Russell y Burali-Forti. Esto se sabe porsus cartas a Hilbert. En una carta a Hilbert del 26 de septiembre de 1897 aparecen lasideas más importantes en este escenario,

Die Totalität aller Alefs ist nämlich eine solche, welche nicht als eine bestimmte,wohlde�nierte fertige Menge aufgefaßt werden kann. Wäre dies der Fall, so würdeauf diese Totalität ein bestimmtes Alef der Größe nach folgen, welches daher sowohlzu dieser Totalität (als Element) gehören, wie auch nicht gehören würde, was einWider-spruch wäre.... Totalitäten die nicht als Mengen von uns gefaßt werden können (wovonein Beispiel die Totalität aller Alefs ist, wie oben bewiesen wurde) habe ich schon vorvielen Jahren absolut unendliche Totalitäten genannt und sie von den trans�nitenMengen scharf unterschieden

La totalidad de los álef es una que no se puede considerar como un conjuntobien definido y terminado. Si este fuese el caso, seguiría en magnitud a estatotalidad un álef bien determinado, que por tanto pertenecería a esta totalidad(como elemento), y a su vez no pertenecería, lo que sería una contradicción...Totalidades que que no podemos considerar como conjuntos (de las que unejemplo es la totalidad de los álef como se mostró arriba) hace mucho añoslas llame totalidades absolutamente infinitas y las distinguí fuertemente de losconjuntos transfinitos.

Si Rusell, Dedekind y otros de su ralea hubiésen sabido de estas ideas de Cantor,habrían dejado a un lado sus timoratos razonamientos contra la teoría de conjuntos. Quizáesto es la que distingue a los gigantes de los enanos.

En cualquier caso, el teorema 39.0.5 deja fuera de la jugada la paradoja de Burali-Fortiy empleándola también podemos eliminar la de Russell.

39.2 Ejercicios

1. Sea I la definición de ordinal que dimos en esta lectura. Considere la siguiente defini-ción II: diremos que α es un ordinal si es transitivo y (α, ∈) está bien ordenado. El

39.2. EJERCICIOS 383

propósito de este ejercicio es mostrar que I y II son equivalentes, es decir, podemosdefinir ordinal usando cualquier de las definiciones. En realidad, esto lo hicimos enla lectura, pero aquí pretendemos dar un ligeri cambio. La prueba es sencilla peroantes, sería conveniente para el lector deducir algunas propiedades de losordinalessegún II.

(a) Muestre que las siguientes aseveraciones son ciertas, donde ordinal se refierea la definición II.

i. � es un ordinal.ii. Si α es un ordinal, α < α.iii. Si α es un ordinal y γ ∈ α, γ es un ordinal. [Sugerencia: primero pruebe

que γ es transitivo. Sean η ∈ ν y ν ∈ γ y confirme que η ∈ γ. Como α estransitivo y η ∈ ν ∈ γ ∈ α, deduzca que η, ν, γ ∈ α. Ya que (α, ∈) es unbuen orden, en particular es un orden lineal, por lo que η ∈ γøη = γøγ ∈ η;si η = γ, tendría γ = η ∈ ν ∈ γ y por transitividad del orden ∈, γ ∈ γ,absurdo. Si γ ∈ η, otra vez γ ∈ η ∈ ν ∈ γ, deduzca γ ∈ γ. Por tanto, sóloqueda η ∈ γ. Ahora, cconsidere (γ, ∈). Ya que γ ∈ α, γ ⊆ α y γ hereda elbuen orden de α. De modo que, (γ, ∈) está bien ordenado.]

iv. Si α es un ordinal, α ++1 también es ordinal. [Sugerencia: recuerde queα ++1 = α ∪ {α}. Como en la lección, α + 1 es transitivo. Considere (α ++1, ∈); lo único que lo distingue de (α, ∈) es la aparición de α en el primero.Pero α es el mayor elemento de (α ++1, ∈) por definición del orden entreordinales (entre ordinales según I, y también según II por la definición II).Deduzca que (α ++1, ∈) está bien ordenado.]

(b) Demuestre que la definición de ordinal que dimos en la lección es equivalente ala siguiente. Un conjunto α es un ordinal si y sólo si α es transitivo y (α, ∈) estábien ordenado. [Sugerencia: llame I a la definicion dada en el texto y II a larecién mencionada. Debe comprobar I⇔II. Para I⇒II, tome α ordinal según I.Por I α es transitivo, resta probar que (α, ∈) es un buen orden. En la lectura sedemuestra que cualesquier ordinales γ, ζ son comparables, en particular estose cumple para los elementos de α. Que se trata de un buen orden es unaconsecuencia del axioma de regularidad.En cuanto a II⇒I considere un α ordinal según II. Entonces, α es transitivo yfalta verificar que sus elementos son transitivos, lo cual se sigue de los incisosprevios.]

2. Suponga que α es un ordinal tal que ω ∈ α o ω = α. Muesre que α debe ser unconjunto infinito. Esto es, confirme que α no puede ser un conjunto finito, donde xes finito si y sólo si existe una biyección entre x y un número natural n.

3. Sean β un ordinal y ξ ∈ β . Deuestre que O (ξ) = ξ .

4. Suponga que (A, �) es un cbo y sean H ,G funciones con dominio A que satisfacen,

H (u) = {H (x) : x ≺ u} ∀u ∈ A

G (u) = {G (x) : x ≺ u} ∀u ∈ A

384 CAPÍTULO 39. ORDINALES

Constate que H = G .

5. Pruebe que si α, β son ordinales y α ∈ β , entonces α ∩ β = α.

6. Confirme que si α, β son ordinales y α ++1 = β ++1, entonces α = β .

7. Sean C un conjunto no vacío de ordinales y γ el menor elemento de C . Confirmeque γ = inf(C ).

8. Sea S la colección de todos los ordinales sucesores y L la colección de todos losordinales límite. Cerciórese de que S y L no son conjuntos.

9. Establezca cúales de las siguientes aseveraciones son ciertas. Pruebe o proporcioneun contraejemplo.

(a) Si x, y son conjuntos transitivos, así lo es x ∪ y .

(b) Si x, y son conjuntos transitivos, así lo es x ∩ y .

(c) Si x ∈ y y y es tansitivo, así lo es x .

(d) Si x ⊆ y y y es transitivo, también x lo es.

(e) Si y es transitivo y s ⊆ Pot (y), entonces y ∪ s es transitivo.

10. Corrobore que un ordinal α es un número natural si y sólo si cualquier subconjuntono vacío de α tiene mayor elemento.

11. Cerciórese de que si x es un conjunto de ordinales que no tiene mayor elemento,entonces sup(x) es un ordinal límite.

12. Demuestre las siguientes aseveraciones.

(a) Si x, y ∈ Vω, entonces {x, y} ∈ Vω.

(b) Si x ∈ Vω, entonces⋃x,Pot (x) ∈ Vω.

(c) Si a, b ∈ Vω, entonces a × b ∈ Vω.

(d) Si A ∈ Vω y f es una función con dominioA y rango ⊆ Vω, entonces f [A] ∈ Vω.

(e) Si X es un subconjunto finito deVω, entonces X ∈ Vω.

Basado en estos incisos, decida que axiomas de ZFE se cumplen enVω.

13. Sea α un ordinal. Muestre que cualquier segmento inicial de α es un ordinal.

14. Sea α un ordinal. Considere la colección C = {ξ : Or (ξ) ∧ α < ξ}. Pruebe que C noes un conjunto.