CALCULO DE AREAS ENTRE DOS CURVAS

En este apartado estudiaremos algunas aplicaciones de la integral definida. La usaremos para

calcular entre otras cosas el área bajo una curva y áreas entre curvas

Área bajo la curva

Sea f(x) una función continua en el intervalo [ a, b ], como se muestra en la gráfica

El área a calcular de la función f(x), delimitada en el eje de las x por el intervalo [a, b] se obtiene cpn

a fórmula:

A=∫ ( ) ( )

Hemos empleado la integral definida para calcular el área bajo una curva, extendamos un poco más

el tema ahora veremos una noción más compleja, supongamos que se tienen dos funciones

continuas ya no una como en el tema anterior

Dadas dos funciones f (x) y g(x), encontrar el área contenida entre sus graficas en el intervalo [a,b].

Dónde: f(x) y g(x) son las gráficas a y b es el intervalo que limita el área a calcular. Por tanto, se

necesita la siguiente formula

A=∫ ( ) ( )

Ejemplo:

Calcular el área delimitada por las funciones y=x3 y y=3x3 +3 entre los puntos x=-1 y x=1

Paso:1 obtener la gráfica para poder saber a quién se le asignara f(x) y g(x)

Como podemos observar la función y=3x3 +3 pasa por arriba por lo cual es f(x) y la función y=x3es

g(x) porque pasa por abajo así que obtenemos los siguientes datos

Datos

f(x)= 3x3 +3

g(x)=x3

a=-1

b=1

Paso 2: sustituir los datos en la formula teniendo en cuenta que f(x) sea la función que se encuentre

por arriba de las dos funciones y g(x) sea la función que pasa por abajo

A=∫ ( ) ( )

A=∫ (( ) ) ( )

Paso 3: realizar la reducción de términos semejantes puede ser sumar o restar términos semejantes

antes de integrar

3x3 +3-x3 =2x3 +3

A=∫

Paso 4: comenzar a integrar

Le sumamos 1 al exponente y a la variable la dividimos entre el resultado de la suma del exponente

no debemos olvidar que el termino independiente solo se le agrega la variable x

A=

=

por lo tanto

A=

+ 3x

Paso 5 sustituimos a x con b-a primero abrimos corchete y colocamos b entre paréntesis y lo

elevamos a la potencia que indica la x, luego colocamos el signo menos y entre paréntesis ponemos

a entre paréntesis y elevamos a la potencia indicada

A=

[( ) ( ) ] + [( ) ( )]

Paso 6: realizar las operaciones que indica

-1

1

1

g(x) f(x)

a

1 -1

1

b a b a

A=

[( ) ( ) ] + [( ) ( )]

A=

[ ] [ ]

A=

[ ] [ ]

A= 6u2

Por lo tanto el área que se encuentra entre las dos curvas será de 6 unidades cuadradas

Veamos más ejemplos

Encontrar el área de

Y=3x+2

Y=x

Entre los puntos x=0 y x=2

∫ ( ) ( )

∫ [( ) ( )]

3

0

3

0

∫ ( )

[( ) ( ) ] [( ) ( )]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Encontrar el área de

Y=x2 +5

y=x2+3

Entre los puntos x=-2 y x=2

∫ ( ) ( )

∫

2

-2

∫

( ) ( )

=

Encontrar el área de:

Entre los puntos x=-2 y x=1

∫ [ ]

[ ]

∫

dx

∫

=

[( ) ( ) ]

[( ) ( ) ] [( ) ( )]

=

[( ) ( )]

[( ) ( )] [( ) ( )]

=

[( ) ( )]

[( ) ( )] [( ) ( )]

1

-2

=

[ ]

[ ] [ ]

=-3.75-1.5+9

=3.75u2

ÁREA ENTRE DOS CURVAS CON CORTE

Ahora debemos saber el área entre dos graficas que se cortan es necesario primero conocer las

intersecciones de las funciones f(x) y g(x)

F(x) y g(x) son las graficas

a y b son los puntos donde se cortan las graficas

Se necesita la siguiente formula:

A=∫ ( ) ( )

Ejemplo

Determinar el área por las funciones y=2x2 -12x+5 y y=2x-7

Paso:1 obtener la gráfica para poder observar los datos

Como podemos observar la función y=2x-7 pasa por arriba por lo cual es f(x) y la función y=2x2 -

12x+5 es g(x) y los puntos a y b es donde se intersectan a= 1 y b=6 se ordenan a es el número

menor y b es el número mayor

O bien podemos conocer sus intersecciones mediante la igualación de f(x) y g(x) y obtenemos lo

siguiente

2x2 -12x+5=2x-7

2x2 -12x+5-2x+7=0

2x2 -14x+12=0

Una vez obteniendo la igualación factorizar

2x2 -14x+12=0

(2x-2)(x-6)=0

2x-2=0 x-6=0

2x=2 x=6

x=2/2 x=6

x=1 x=6

Obtenemos los siguientes datos

Datos

f(x)=2x-7

g(x)= 2x2 -12x+5

a=1

b=6

Paso 2: sustituir los datos en la formula

A=∫ ( ) ( )

A=∫ ( ) ( ) ( )

Paso 3: realizar la resta antes de integrar

2x2 -12x+5-2x+7 =-2x2 +14x-12

A=∫

Paso 4: comenzar a integrar

g(x) f(x)

a

Le sumamos 1 al exponente y a la variable la dividimos entre el resultado de la suma del exponente

no debemos olvidar que el término independiente solo se le agrega la variable x

A=

A=

Paso 5 sustituimos a x con b-a primero abrimos corchete y colocamos b entre paréntesis y lo

elevamos a la potencia que indica la x, luego colocamos el signo menos y entre paréntesis ponemos

a entre paréntesis y elevamos a la potencia indicada

A=

[( ) ( ) ] + [( ) ( ) ] [( ) ( )]

Paso 6: realizar las operaciones que indica

A=

[( ) ( )] + [( ) ( )] [ ]

A=

[ ] + [ ] [ ]

A=-143.33+245-60

A=41.66u2

Podemos concluir que el área delimitada por esas dos funciones es de 41.66u2

-1

1

1

1

-1

1

b a b

a

a a b

a

Veamos más ejemplos

3

0

Ejercicio 1

Calcular el área de las siguientes funciones

∫ [( ) ( )]

∫ ( )

∫ ( )

[ ( )

( )

] [

( )

( )

]

[

]

Ejercicio 2

2

-2

√

X1= 2 x2= - 2

∫ [( ) ( )]

∫ ( )

∫ ( )

[( )

( )] [

( )

( )]

[

] [

]

( ) (

)

Ejercicio 3

( )( )

∫ [( ) ( )]

∫ ( )

∫ ( )

[ ( )

( )

( )] [

( )

( )

( )]

[

] [

]

4

1

Calcular el área entre dos graficas recuerda que unas se intersectan en las cuales tienes que

encontrar los valores de a y b antes de empezar a factorizar

1.

Y= 5x2-2x2+x

Y= 2x3+x2+3x+4

Entre los puntos x= -1 y x=1

2.

Y= x3-5x2+x-2

Y= x2-2

3.

5x3-2x2+x-2

x=-1 y x=1

Y= x2 -5x+2

4.

4x3-5x2+2

x=-2 y x=2

X3-x2+x+2

5.

-3x2+6x-2

entre los puntos x=-1 y x=2

x3-x2+x+2

6.

7x2+3

x3-x2-10

7.

6x3+x2-12

entre los puntos x=0 y x=2

2x2-10x+3

8.

x3-5x2-3

5x2+4

9.

7x3+10x2+x

x=-1 y x=1

3 x3-4x2+3

10.

x3-x2+3x

x=0 y x=2

2x3-x2+x-10

11.

8x3-2x2+2x

x=-1 y x=1

-2x3+x2+3x

12.

6x2-7x+5

x=-1 y x=2

-2x3+x2+5

13.

2x3-4x+3

x=-2 y x=2

5x+2x+3

14.

8x2-3x+2

x3-x2-5

15.

x3-2x-3

7x2+x

16.

x3-x2-5

6x2+2

17.

x3-3x-5

4x2+4

18.

x3-2x2-4

2x2+x

19.

x3-3x2-2

2x2+x

20.

x3-2x2-3

3x2+2

Bibliografía

Calculo integral, Lorenzo Escalante Pérez, editorial Book Mart

Matemáticas 6 calculo integral, Arturo Ortiz Cedano y Guillermo Fox Rivera, editorial nueva imagen

http://personales.unican.es/gonzaleof/#

http://personales.unican.es/gonzaleof/sociales_2/areas2.pdf