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Optimisation topologique de formeset adaptation de maillage
Frédéric GOLAY
Pierre SEPPECHER
Mikaël STEHLY
Laboratoire ANAM
Analyse Non linéaire Appliquée et Modélisation
Université de Toulon et du Var
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Plan
Approche matériaux à blocage
Formulation numérique
Quelques exemples
Validation analytique
Raffinement de maillage
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dvFMin
1:D:
.A.Cv
duFMin
MdVh0)x(h
élasticité'dpbduSolutionu
Approche matériaux à blocage
u
Déplacement solution du pb d ’élasticité
vv2
1 Tv
Tenseur des déformations
D Tenseur d ’élasticité
épaisseur de plaque)x(h
Domaine de conception
F
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Soient : Le volume dx)x(hV v un champ de déplacement C.A.
L’énergie élastique dxh:D:2
1)h( uu
L’énergie potentielle dlv.Fdxh:D:2
1)h,v(J vv
le champ de déplacement solution du problème d’élasticité u minimise J(v,h)
dlv.F2
1dxh:D:
2
1)h,u(J)h( uu
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)h(InfPOP
Vdx)x(h0h
)h,v(JSupInfv
Vdx)x(h0h
Théorème du MinMax
)h,v(JInfSup
Vdx)x(h0hv
dlv.Fdxh:D:2
1SupInf vv
Vdx)x(h0hv
On pose s
vw et
vv :D:s
dlw.Fs:D:2
VsInf ww
2
1:D:s,w
ww
On concentre h où l’énergie est la plus élevée
dlv.F:D:
2
VInf vvv
2
1:D:w
dlw.FInfV2
1
ww
L’inf sur s est atteint pour dlw.FV
1s
2
1:D:w
dlw.FV2
1Inf
ww
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Formulation numérique
On approxime la norme infinie
p
1p
vvpdx:D:lim
ww :D:
dlv.F2:D:VInf vvv
dlv.F2dx:D:V)v(J
p
1p
vvp
Vv).u(Jp
dx:D::D:2 vu
1p
uu
dlv.F2
1
dx:D:
1pp
uu
Problème d’élasticité non-linéaire en contraintes planes
avec
1
p
1
p
uu
1p
uu dx:D::D:V)u(H
dlv.F
dx:D:)u(H vu
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Formulation analogue
:D:
1p
uuOn pose h(u)=
h(u)
dx:D: vu
dlv.F
V
dx :D: uu
1p
1
h(u)
dlv.F
dlv.Fdx:D:dx:D:V vu
:D:
1p
uu
1p
1
p
uu
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Formulation Eléments Finis
Avec les notations vectorielles habituelles
uB u)x(N)x(u et
e elte elte
T1p FNuBDBH)u(R
On réécrit le problème sous la forme
0Fu)u(K)u(R Soit à résoudre le problème non-linéaire
avec
e elt
T1p
eT
e BDBuBDBu)u(K
Le problème est fortement non-linéaireDonc, à partir de la solution élastique, on incrémente la valeur de p
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)1i()i(
)1i()1i(
uuu
)u(Ru)u(u
R
v:wDHv:uDw:uDH)1p(2 ss1pssss2p
Résolution par Newton-Raphson
Dérivée seconde
Ecriture matricielle
H)1p(2u
R T2p BDBHT1p
uBDB
T
uBDBT
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Validation Analytique
F
F
F
F
44 2y
1
2x
1h
2x2y
1p
2y2x
1p
x
y
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Validation Analytique
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1 10 100
Paramètre p
Nor
me
L2
de l'
erre
ur s
ur l'
épai
sseu
r
Maillage 20x20
Maillage 40x40
Maillage 80x80
Ecart relatif
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Quelques exemples
p=5p=25
p=109
Th
ick
nes
s
BA
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e1 e1 e2
e1e1
e2e3
e4
e1e1
e2? Un Elt créé ?
Elt conforme ?
Elt à raffiner ?
Boucle sur les éléments
Fin de boucle sur les éléments
raffinement
Essai de découpage
Oui
Non
OuiNon
Oui
Non
Raffinement de maillage
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e1
e1 e2
e3e4
e1
e1
e1
e2e1 e1
e2
e3
e1 e1
e2
e3
e1
e2e3
e4
e1
Méthode:Par permutation on se replace dans les cas élémentaires
Difficulté:Comment discerner les nœuds non conformes
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P=0,2,4
Raf
P=4,6
Raf
P=6,8,12,16Raf
P=16,20,24,28
Qualité ?Critère ?Stratégie ?
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A
B
C
a
b
c ricba
aire2ri
rccba
aire4rc
Qualité
20rcri
On maîtrise la qualité du maillage
50riMax
ri
elt
On maîtrise l’évolution du maillage
1 2
3
4
1 2
3
4
1 2
3
4+
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Critère
On applique la méthodologie de Zienkiewicz
L’épaisseur est un champ discontinu hd, on cherche donc le champ continu hc qui l’approche au mieux:
0d, hh dc
On approche le champ continu par une discrétisation éléments finis iic h)y,x(N)y,x(h
elt e
edjelt e
eiij dvhNdvhNN
elt e ed
elt e edvhNhdvN N
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Critères utilisés ….
e cdeh
e
1
e
2dehe
1c
cehMax
e
cc dehhe
1
e
2
cd dehhe
1
cdehhMax
e d deh
e
1
e
2
d dehe
1
dehMax
+ Normalisation
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P = 2Nelt = 130Nnoe=399
P = 4Nelt=244Nnoe=679
P = 6Nelt=357Nnoe=956
P = 8Nelt=510Nnoe=1353
P = 10Nelt=759Nnoe=1898
P = 12Nelt=947Nnoe=2282
P = 14Nelt=1170Nnoe=2723
P=2
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Temps de calcul avec remaillage: 1166 sTemps de calcul sur maillage optimisé: 1262 s
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Critère épaisseur moyenne Critère épaisseur max
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Critère différence moyenne Critère gradient maximal
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Calcul d’erreur a posteriori
eface e
2
u dlD)u(h2
1e
2ece deR 22
e r
2
1
e
2eKerreur
R. Verfürth (2000)
dlAAuerreur 2l
2'p
arêtes arêtel
1p
areteh
2p
harete
h
2p
hl uuuuA
1'p
1
p
1
avec
0uudiv2p
W. Liu & N. Yan (2001)
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Conclusions et perspectives
Mise en œuvre simple
Résolution numérique validée en 2D
Un bon outil initial de dimensionnement
Raffinement validé
Critères intuitifs efficaces
Erreurs a posteriori en cours d’étude
SIC2002