SISTEMAS LINEALESCAPITULO 2º

OPERADORES Y ECUACIONES LINEALES

Ing. Diego A. Patiño G., M. Sc., Ph.D.

2

OPERADORES LINEALESLa operación de cambio de base no cambia al vector, simplemente cambia el sistema coordenado en el cual está representando.

Bxx =ˆ

Una operación lineal es una función en el espacio vectorial. Es un proceso por medio del cual un vector dado se transforma en

un vector totalmente diferente. Un operador lineal puede realizar un cambio de base, tomar un vector de un espacio y transformarlo a otro, etc.

3

OPERADORES LINEALES

Operador Lineal: es una regla que asocia a vectores diferentes que pueden estar o no en el mismo espacio vectorial.Un operador lineal A desde un espacio vectorial lineal X a un espacio vectorial lineal Y, A: X → Y, es lineal si

con y escalares.Xxx ∈21, 21,αα

( ) 22112211 AxAxxxA αααα +=+

4

OPERADORES LINEALES

La transformación u operación lineal A: X → Y produce un vector y ∈ Y que se puede escribir como Ax = y. El vector resultante de esta operación está en el rango del operador A y es la imagen de x en Y (x es la preimagen de Y).

Espacio Rango: El espacio rango de un operador A: X → Y, R(A), es el conjunto de todos los vectores yi ∈ Y tal que para cada yi ∈ R(A), existe un xi ∈ X tal que Ax = y.

5

OPERADORES LINEALES

X YA1x2x 1y

2yuno a uno

( )yA 1−

( )[ ]yAA 1−

( )1xA

( )2xAEspacio X R(A): Espacio rangoAx = y

6

OPERADORES LINEALESSi R(A) es todo Y, entonces A se define como “onto”, es decir que cada elemento en Y es la imagen de por lo menos un x ∈ X.

Si A transforma elementos de X a valores únicos en Y, esto es si x1 ≠ x2, entonces A(x1) ≠ A(x2), A es uno a uno o “injectivo”.

Si el operador A es simultáneamente uno a uno y “onto” se denomina “biyectivo”.

Un operador es invertible si y solo si existe otro operador notado A-1: Y → X tal que A-1 [A (x)] = x y A[A-1(y)] = y.

A-1A = Ix , AA-1 = Iy , son los operadores identidad en sus espacios respectivos.

7

OPERADORES LINEALES

Cuando A transforma un espacio en sí mismo A: X→X es igual a AA-1 = A-1A = I.Cuando R(A) está siempre contenido o es igual a Y :

A transforma a X into Y

YAR ⊆⇒ )(

Espacio Nulo: el espacio nulo de un operador A, denotado N(A), es el conjunto de todos los vectores x ∈ Xtales que A(xi) = 0.

( ) { }0/ =∈= ii AxXxAN

8

OPERADORES LINEALES

Representación Matricial de un Operador Lineal:Para propósitos computacionales cualquier operador lineal de dimensiones finitas se puede representar por medio de una matriz A.El espacio rango de A, R(A), es el subespacio Y, cuya dimensión es el rango de A. El espacio nulo de A, N(A), es un subespacio de X cuya dimensión es la nulidad de la matriz A.

9

OPERADORES LINEALESDados dos vectores, x y y, uno de un espacio de n dimensiones y otro de un espacio de m dimensiones, esto es x ∈ Xn, y ∈ Xm. Se desea obtener una representación para un operador A que transforma

A: Xn → Xm

Sean v y u bases para estos espacios:

{ } { } nnj Xvvvv para ,,, 21 L=

{ } { } mmi Xuuuu para ,,, 21 L=

Un vector x en Xn se puede expandir en función de la base como

∑=

=n

jjj

1

vx α

10

OPERADORES LINEALESy como el operador es lineal

El efecto del operador lineal A sobre cualquier vector x se puede evaluar calculando el efecto de A sobre los vectores base a partir de los cuales escribe x

( )∑∑==

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==n

jjj

n

jjj

11vAvAAxy αα

( ) ( ) ( )[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

nα

αα

ML 2

1

n21 vAvAvAAxy

11

OPERADORES LINEALESComo y pertenece a Xm entonces cada vector Avj es un vector en el espacio rango Xm. Los vectores en Xm se pueden expandir en términos de los vectores base {ui}

∑=

=m

iiijj a

1

uAv

pero también se puede expandir directamente en términos de su base

∑∑∑∑====

==→=m

iii

m

ijij

n

jj

m

iji a

1111

uuyuy βαβ

12

OPERADORES LINEALESComo la expansión es única y cambiando el orden de la sumatoria

∑∑ ∑== =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ m

iii

m

ii

n

jjija

11 1uu βα

entonces

mian

jjiji ,,1

1

L=∀= ∑=

αβ

La multiplicación de aijαj es el producto de una matriz y un vector.

13

OPERADORES LINEALES

Si α = [α1 α2 … αn]T es la representación de x ∈ Xn

respecto a la base {vi} y β = [β1 β2 … βm]T es la representación de y ∈ Xm respecto a la base {ui}, entonces y se puede representar como la multiplicación matricial β = Ax con

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

............

..

..

21

22221

11211

A

14

OPERADORES LINEALES

El elemento (i,j)- ésimo de A corresponde al coeficiente aij y describe como el operador A transforma los vectores base de un espacio en los vectores base del espacio rango.En resumen, la j- ésima columna de la representación matricial de un operador lineal A: Xn → Xm se construye como la representación del vector resultante de Aactuando sobre el j- ésimo vector base de Xn, respecto a la base del espacio rango

15

OPERADORES LINEALES

La j- ésima columna de A es Avj representado respecto a la base {ui} del espacio rango Xm

De esta forma se puede representar cualquier operador lineal como una matriz y toda matriz se puede interpretar como un operador lineal. Por ejemplo la operación lineal y = Ax se puede representar numéricamente como

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmnmm

n

n

x

xx

aaa

aaaaaa

M

L

MOMM

L

L

2

1

21

22221

11211

y

16

OPERADORES LINEALES

La columna ai representa la i – ésima columna de la matriz A y xi es la i- ésima componente del vector x.Como el espacio rango es el espacio de todos los posibles valores de Ax, se puede representar como el “span” de todos las columnas de A.

17

OPERADORES LINEALES

El rango de la matriz A es igual a la dimensión del espacio rango del operador lineal A.

( ) ( )[ ]AΑ Rdim=ρPor su parte el espacio nulo del operador A se puede representar como el espacio de todas las soluciones de

0Ax =Entonces la dimensión del espacio nulo del operador A es igual a la nulidad de la matriz A

( ) ( )[ ]AA Ndim=η

18

OPERADORES LINEALESEjemplo: Considerar un operador lineal, A: R2 → R2, que toma un vector x y lo rota en en el sentido contrario al de las manecillas del reloj un ángulo θ. Encontrar la representación matricial del operador lineal que logra la rotación planar sobre vectores arbitrarios en R2, y probar la matriz resultanate rotando el vector x = [1 2]T un ángulo de 30º.

θ

x

Axy =

19

OPERADORES LINEALESPara encontrar la representación matricial de cualquier operador, son necesarias las bases de cada espacio, así como el efecto del operador en dichas bases. En este caso usaremos los vectores bases del plano cartesiano como se muestra en la siguiente figura

θ

θ1Ae

1e

2Ae 2e Descomponiendo los vectores rotados Ae1 y Ae2 a lo largo de las direcciones de las bases originales tenemos

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅+⋅=

θθ

θθsincos

sincos 21211 eeeeAe

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⋅+⋅−=

θθ

θθcossin

cossin 21212 eeeeAeTomado de 1. Cap. 3

20

OPERADORES LINEALESEntonces la matriz de representación es

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

θθθθ

cossinsincos

A

Aplicando esto al vector x = [1 2]T , se tiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

23.2134.0

21

º30cosº30sinº30sinº30cos

Ax

21

OPERADORES LINEALES

22

OPERADORES LINEALES EN DIFERENTES BASES

En las aplicaciones de sistemas descritos por variables de estado y en el diseño de sistemas de control resultan de gran utilidad las transformaciones de un espacio dentro de si mismo, esto es

nn ℜ→ℜ:AEsto implica que A es cuadrada y se está haciendo un cambio de base.La matriz A que transforma Xv → Xv es una transformación de la base original {vi}.

El operador que transforma vectores expresados en una base diferente se denota Â.}ˆ{ iv

23

OPERADORES LINEALESUtilizando esta notación

xAyAx y ˆˆˆy ==con representados en la base . yx ˆ,ˆ { }iv

¿Como se transforma una representación matricial de un operador de una base a otra?

Teniendo en cuenta que

ByyBxx == ˆy ˆentonces

( )xBAByBxAByxAy 1 ˆ ˆ ˆˆˆ −=→=→=

24

OPERADORES LINEALESB-1 debe existir dado que es una matriz (n × n) de cambio de base y de rango completo.

Comparando con la expresión original y = Ax

ABABBABA 11 ˆ o ˆ == −−

si hacemos

AMMAMAMAMB 111 −−− ==→= ˆ o ˆ

La operación anterior se denomina una transformación similar y corresponde, por ejemplo, al proceso de desarrollar diferentes representaciones para variables de estado.

25

OPERADORES LINEALESEstas transformaciones se puede relacionar con el siguiente grafico

Bxx =ˆ

y

Axy =

x

AMMBABA 11 −− ==ˆ

Representado respecto a la nueva base

Representado respecto a la base original { }iv{ }iv

B

BA

Diferentes trayectorias de transformación llevan al mismo resultado.

26

OPERADORES LINEALESOperadores como Espacios:

( )xAAxAxA 2121 +=+

Como el conjunto de los operadores es un espacio, debe satisfacer los demás requisitos de los espacios lineales. Por ejemplo, los operadores tiene las operación de adición, la cual toma la forma de la adición matricial (elemento a elemento),

Dado que los operadores lineales se representan por medio de matrices, entonces el espacio de los operadores es un espacio matricial y, además, es un Álgebra Lineal porque está definida la operación de multiplicación.

El conjunto de todos los operadores lineales desde un espacio hacia otro, o desde un espacio hacia si mismo, es un espacio vectoriallineal.

27

NORMAS OPERADORES

Una norma sobre una matriz es “a matrix norm” si además de las 4 propiedades de las normas de vectores:

Cumple la propiedad multiplicativa o de consistencia:21

escalar

00

0

AA

αAαA

AA

A

+≤+

=

=⇔=

≥

21 AA

α

BAAB ≤

28

NORMAS OPERADORES

Las siguientes normas cumplen todas las propiedades y son “Matrix Norms”

La “Max element norm” no cumple consistencia

NORM" MATRIX SUM" ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

n

jiijsum

aA

( )[ ]

diagonal la de elementos los de suma

Norm" Frobenius"2

1

,

221

∑

∑

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

ii

n

jiij

TF

a trace

aAAtrA

ijjiMAXaA

,max=

29

NORMAS INDUCIDAS

NORMAS INDUCIDAS: intuitivamente se interpretan como una medida de la amplificación en sistemas. Dado un sistema con relación entrada – salida dada por:

La ganancia del sistema se define como la relación.

x

y

Axy =

30

NORMAS INDUCIDAS

La máxima ganancia para todas las direcciones posibles de la entrada está dada por la NORMA INDUCIDA:

donde es la norma del vector de entrada.La norma inducida es la mayor “amplificación”posible de la matriz

p

p

xip x

AxA

0max

≠=

p

i

pip

wx1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

31

NORMAS OPERADORES

Las normas inducidas son:

Las normas inducidas son “matrix norms”

A de propior mayor valo espectral radio )(max r(A)

norm svor spectral )()(

sum row maximum max

sumcolumn maximum max

ii

2

1

==

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

∑

∑

∞

A

AArA

a

a

Ti

jijii

iijji

λ

σA

A

A

32

OPERADORES LINEALES

Operador Adjunto: de un operador lineal A se denota como A* y debe satisfacer:

A* es igual a la transpuesta conjugada en una base ortonormal, esto es:

Para A real y representada en una base ortonormal

yxyAxyAx , *,, ∀=

( )TAA =*

( )TAA =*

33

OPERADORES LINEALES

Matriz (Operador) Hermitian: matriz (operador) cuya adjunta es igual a si misma.Para matrices definidas sobre el campo de los complejos:

Para matrices definidas sobre el campo de los reales:

la matriz es simétrica

*AAA T ==

TAA =

34

ECUACIONES LINEALESLa solución de sistemas de ecuaciones lineales algebraicas simultaneas es una aplicación importante de la teoría de espacios y operadores lineales.La solución de dichos sistemas se puede analizar desde el punto de vista de los espacios vectoriales.Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas,

mnmnmm

nn

nn

yxaxaxa

yxaxaxayxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

M

L

L

2211

22222121

11212111

35

ECUACIONES LINEALESEn notación matricial :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmnmm

n

n

y

yy

x

xx

aaa

aaaaaa

MM

L

MOMM

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

la anterior relación se puede escribir como Ax = y, donde x ∈ ℜ n, y ∈ ℜ m y A es un operador lineal A: ℜ n → ℜ m

La pregunta: ¿cuantas soluciones existen para este sistema de ecuaciones? es equivalente a: ¿está el vector y en el espacio rango del operador A, R(A)?

36

ECUACIONES LINEALESUna visión adicional se obtiene considerando cada columna de la matriz A como un vector ai en el espacio de m – tuplas ℜ m :

El vector y es una combinación lineal de las columnas de A. Si este es el caso, y conforma un conjunto linealmente dependiente con las columnas de A.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

|

|

|

|

|

|

|

|

2211 yxaxaxaAx nnL

El problema se puede reducir a comprobar la independencia lineal de vectores.

37

ECUACIONES LINEALESLa prueba de independencia se realiza formando una nueva matriz aumentada

Si y es dependiente de las columnas de A, entonces el rango de Aes igual al rango de W: ρ(A) = ρ(W) y y ∈ R(A).

[ ]yAW =

ρ(A) = ρ(W) → Existe por lo menos un solución para Ax = y.

Si y es independiente de las columnas de A, entonces el rango de W es igual al rango de A mas uno: ρ(W) = ρ(A) + 1.

Resumiendo

ρ(W) = ρ(A) + 1 → No existe solución para Ax = y.

38

Ecuaciones Lineales

Cuando los rangos son iguales puede existir una solución o un número infinito de soluciones. Todo depende de la relación entre ρ(A) y la dimensión del espacio ℜn o sea n.

Si ρ(A) = n la solución del sistema Ax = y es única:Las columnas de la matriz A son LI y forman una base para ℜn. Como y está en el espacio rango de A, R(A), la representación de y en esta base es única y esta dada por el conjunto de coeficientes xi que se está buscando.

Ecuaciones Lineales

39

Si ρ(A) < n, menos de n columnas de A son LI: el conjunto {ai} aún cubre “span” el subespacio en el cual se encuentra y, pero como hay mas ai de los necesarios para formar una base, la representación de y a partir del conjunto {ai} no es única.¿Por qué existen infinitas soluciones?

La nulidad de la matriz A es:

( ) ( )AnA ρη −=

dado que ρ(A) < n, entonces η(A) > 0.

ECUACIONES LINEALES

40

La nulidad de la matriz corresponde a la dimensión del espacio nulo del espacio correspondiente. Entonces η(A) > 0 implica que el operador A no tiene espacio nulo trivial.Por lo tanto existe al menos un vector x0 tal que Ax0 = 0, con x0 ≠ 0. Además como ℜn es un campo α x0 también es miembro del espacio nulo de A.

41

ECUACIONES LINEALESAdemás a cualquier solución de Ax = y se le puede adicionar un vector del espacio nulo, generando así una solución distinta

( ) yAxAxxAAxxxA ==+=+=+ 000 αα

Como encontrar el Espacio NuloEl espacio nulo se determina fácilmente reduciendo la matriz a la forma triangular superior por medio de las operaciones básicas entre filas.

[ ][ ]

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

××××××××××

0000000000

0000

[x] → Elemento Pivote.

42

ECUACIONES LINEALES

El número de filas LI (no ceros) es igual al rango de la matriz A

Si la matriz A anterior es la matriz del problema Ax = y, entonces

( ) ( ) 336 3 =−=→= AA ηρ

Como los elementos pivote ocurren en las columnas 2, 4 y 5, las variables x2, x4 y x5 se conocen como variables pivote y x1, x3 y x6son las variables libres.

43

ECUACIONES LINEALES

Para obtener una base de N(A) se genera un conjunto de vectores de variables libres LI y se resuelve el sistema de ecuaciones reducidas por filas para las variables pivote.

Los η(A) vectores se generan asumiendo un valor de 1 para una variable libre y cero para las demás, luego se resuelve para las variables pivote.

El procedimiento se repite η(A) veces y de esta forma se genera la base para N(A), y en definitiva N(A) mismo.

ECUACIONES LINEALES

44

Ejemplo: dado el sistema

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−28

021211

3

2

1

xxx

Calculando los rangos de las matrices A y W

[ ] [ ][ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==

102108211

20218211

yAW

Entonces ρ(W) = 2

45

ECUACIONES LINEALESPara la matriz A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

210211

021211

A

Entonces ρ(A) = 2

Dado que ρ(A) = ρ(W) = 2 → existe por lo menos una solución.

Dado que ρ(A) = 2 < 3 → existen infinitas soluciones.

La variable libre es x3

46

ECUACIONES LINEALESBase para el Espacio Nulo: la solución homogénea Ax = 0

0210211

021211

3

2

1

3

2

1

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

xxx

xxx

Entonces

42

1

0202

1

2

3

32

321

−=−=

=→

=+=+−

xxx

xxxxx

El vector x0 = [-4 -2 1]T es una base para el espacio nulo N(A).

47

ECUACIONES LINEALESLa solución particular: a partir de la forma escalada reducida par W

Se tiene que xP = [18 10 0]T, entonces la solución completa es

18100

102

82

1

2

3

32

321

===

→=+

=+−

xxx

xxxxx

ℜ∈∀⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=+= ααα ,

124

01018

0xxx P

Si α = 1 se tiene que x = [14 8 1]T.

48

ECUACIONES LINEALESEjemplo: Encontrar la solución de los sistemas, si existe

Se construye W para el primer sistema

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

432

654321

174

123212321

3

2

1

3

2

1

xxx

yxxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

625.31005.4010

25.21001

112372124321

W

Entonces ρ(A) = ρ(W) = 3 = n → Solución única.

[ ]Tx 625.35.425.21 −=

49

ECUACIONES LINEALESSe construye W para el segundo sistema

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

465343221

W

Entonces ρ(A) = 2 ≠ ρ(W) = 3 → No hay Solución.

50

ECUACIONES LINEALES

El caso especial A cuadrada (n x n) y ρ(A) = ρ(W) = n, la única solución se encuentra como

yAx 1−=

como A es de rango completo A-1 existe.

51

ECUACIONES LINEALES

Mas Incógnitas que Ecuaciones (m < n) → Subdeterminado

En este caso no hay una solución única

ρ(A) ≤ min(m,n) = m < n

¿Que criterio se puede emplear para seleccionar una solución?

Si A no es cuadrada hay dos posibilidades: m < n y m > n

ECUACIONES LINEALES

52

Minimizando ½ ||x||2 se minimiza ||x||, de tal forma que el problema se puede plantear como:

Una opción es escoger la solución con la mínima norma, lo cual resulta de gran utilidad cuando el vector xrepresenta una cantidad física con un costo asociado: energía, consumo, costos, señal de control, etc.

53

ECUACIONES LINEALESDe todos los vectores x que son solución encontrar el x que minimice ½xTx, sujeta a la restricción

Ax = y o Ax – y = 0

Para minimizar una función sujeta a una restricción de igualdad se define un multiplicador de LaGrange, γ, para formar la función Hamiltoniano:

( )yAxγxx21H TT −+=

El vector γ de orden (m-1) es una incógnita y se emplea para crear un criterio de óptimización escalar para la expresión vectorial Ax – y.

54

ECUACIONES LINEALES

Hamiltoniano: en mecánica clásica representa la suma de la energía potencial y de la cinética.La restricción se adjunta o adiciona a la función de costo original usando un vector de multiplicadores de Lagrange de dimensión n.

55

ECUACIONES LINEALESMinimizar H sobre todas las x y γ posibles:

( ) γAxγAxAγxH TTT −=→=+=+=∂

∂ 0TT

x

Esta restricción se debe mantener siempre, entonces

definiciónpor 0yAxγHT

=−=∂

∂

( ) yAA γγ AAAxy 1TT −−=→−==

y la solución óptima es

( ) yAAAx γ Ax 1TTopt

T −=→−=

56

ECUACIONES LINEALES

La matriz AAT es cuadrada de dimensiones (m×n)(n×m) = (m×m) y tiene inversa si es de rango completo ρ(AAT) = m.Si ρ(AAT) < m hay ecuaciones que linealmente dependientes y se deben descartar hasta lograr que AAT sea de rango completo.La matriz:

Es una “seudo inversa”, no es única y es una de las soluciones posibles

( ) 1−+ = TT AAAA

57

ECUACIONES LINEALESMas Ecuaciones que Incógnitas (m > n) → Sobredeterminado

Para que la solución exista el vector y (de m componentes) debe expresarse como una combinación lineal de las n columnas de A.

Si ρ(A) = ρ(W) entonces y se puede escribir como una combinación lineal de las columnas de A y existe una solución.

Para determinar dicha solución se define el error

Axye −=

Se buscará una solución x que minimice la mitad de la norma de e, esto es

Hallar x tal que ½ eTe sea mínima y si existe una solución el error deberá ser cero.

58

ECUACIONES LINEALESEntonces

( ) ( )AxyAxyeeT −−= T

21

21

( )( )AxyAxy TTT −−=21

( )AxAxAxyyAxyy TTTTTT +−−=21

Los términos centrales son iguales dado que

( ) escalaresson ademásy AxyyAx TTTT =

Entonces

( )AxAxyA2xyy21ee TTTTTT +−=

21

59

ECUACIONES LINEALESEl mínimo error cuadrático sería

( ) 02221

21

=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ AxAyAee TTT

x

Entonces AxAyA TT =

y por lo tanto

( ) yAAAx T1Topt

−=

60

ECUACIONES LINEALESEjemplo: Encuentre la solución del siguiente sistema

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

134

012122

2

1

xx

Tenemos que ρ(A) = ρ(W), entonces

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−==

−

11

134

21

210

32

31

31

1 yAAAx TT

61

ECUACIONES LINEALESPara demostrar que la solución es exacta se calcula el error:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−=

000

11

012122

134

Axye

62

ECUACIONES LINEALES

Aplicación práctica: encontrar el vector x más cercano a una solución de y = Ax, cuando ρ(A) ≠ ρ(W) y por lo tanto no existe una solución exacta. Objetivo: evaluar el vector que minimiza el error cuadrático. Este vector es la proyección ortogonal de y sobre el subespacio de Rm cubierto (spanned) por las columnas de A.La seudo inversa del caso ya analizado se obtuvo sin asumir error cero, se puede emplear para encontrar MINIMO ERROR CUADRÁTICO

63

ECUACIONES LINEALES

Los datos de un experimento se pueden tabular como:

Cualquier error de medición o ruido hace que ρ(A) ≠ ρ(W)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

=+

=+=+

mmm

mmm

y

yy

xx

aa

aaaa

yxaxa

yxaxayxaxa

2

1

2

1

21

2221

1211

2211

2222121

1212111

Ax

M

64

ECUACIONES LINEALES

El problema exige que el vector y de m componentes sea combinación lineal de solamente DOS vectores.La seudo inversa:

Permite calcular X .La norma del error se calcula como:

( ) T1T AAA −

Axye −=

65

ECUACIONES LINEALES

“Recursive Least Square”:A medida que se repite el experimento el número de filas de la matriz A aumenta.Si el error es muy alto es necesario tomar mas medidas y recalcular la seudo inversa.Para reducir los cálculos se necesita un procedimiento recursivo.

66

ECUACIONES LINEALES

1. Obtener solución básica con k datos:

2. Cuando se toma el dato (k+1) se aumenta la matriz A:

( ) kT

k

1

kT

kk yAAAX−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

++

1k

k1k a

AA

67

ECUACIONES LINEALES

3. La nueva seudo inversa:

LEMA: para matrices B, C, D, E dimensionalmente compatibles la siguiente identidad es válida:

( )[ ] [ ]

( ) ( )1

1

1111

+

−

+

−

++

−

++

++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

k

k

k

kkkkk

y

y

yX

Tk

Tk

1Tk

Tk

TTk

1kTT

k

T1T

ayAaaAA

ya|A

aA

a|A

AAA

( ) ( ) EBDEBCBCBCDEB 1111 −−−− +−=+

68

ECUACIONES LINEALES

Equiparando:

El término enmarcado es igual a:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]1k

TT

kTT1

kTk

T1k

Tk

1k

T

Tk

Tk

1

yaA

AAa1aAAaaAAAA

aEIDaC

AAB

k

kk

+

−−−−−

+

−

+

•⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−=

⇔⇔⇔

⇔

k

k

y

x

11

1

( ) 1−

++ 1kT

1k AA

69

ECUACIONES LINEALES

Se calcula con los valores existentes hasta la muestra k y se emplea para calcular x(k+1)Para cada nueva muestra se debe calcular el escalar:

El término:

Será el término:

Para el siguiente paso

( )[ ] 1−−+ 1aAAa T1

kTk

[ ] 1++ kyTk

Tk ayA

y 1k++T

1kA

70

REFERENCIAS

1. BAY J.S. Fundamentals of Linear State Space Systems. New York: McGraw Hill International Edition. 1999. Chapter 3

2. CHEN C.T. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999. Chapter 3