OPERADORES MATEMÁTICOS II

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OPERADORES MATEMÁTICOS II (TABLAS)

En lugar de una fórmula para hallar resultados, la operación binaria puede presentar estos resultados en una

tabla, que se consulta siguiendo pautas establecidas.

a b c d

a c d a b

El ser humano aprendió primero a contar, para más tarde dar una representación gráfica a los números que así obtuvo. Contemos juntos hasta 10 y veamos su representación en los diferentes idiomas…

¡Contemos hasta 10!

Si hablas español, empezarás a contar: “Uno, dos, tres, …”. Si hablas inglés, dirás: “One, Two, Three…”. Si hablas ashanti, un idioma africano, contarás: “Eko, eno, esa …” Hay nombres especiales para los primeros diez números, en casi todos los idiomas. Junto al nombre escrito de cada número, puedes ver cómo se pronuncia.

El que no se equivoca nunca, es

que nunca hace nada.

A. VALDÉS

OBJETIVOS

Comprender las propiedades de las operaciones matemáticas. Potenciar la aptitud de reconocimiento y manejo adecuado de nuevas estructuras simbólicas relacionadas con las operaciones matemáticas.

OPERADORFila de entrada

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b d a b c

c a b c d

d b c d a

Para operar de forma básica se realiza:

Nºcolumna (Nºfila) = Intersección en la tabla

Ejemplos:

1. Dada:

1 2 3 41 2 4 1 32 4 1 3 23 1 3 2 44 3 2 4 1

Calcular : 3 2

Solución.-

1 2 3 41 2 4 1 32 4 1 3 23 1 3 2 44 3 2 4 1

Luego: 3 2 = 3

2. De acuerdo a:

1 2 3 # 1 2 31 1 2 3 1 1 1 12 2 3 1 2 2 2 23 3 1 2 3 3 3 3

Calcular: A =

Rpta : ___________

PROPIEDADES

I. Clausura o Cerradura :

En tablas: Veamos los ejemplos:

En : A = {1, 2, 3, 4}Se define:

∆ 1 2 3 41 1 1 1 12 2 2 2 23 3 3 3 34 4 4 4 4

La operación “∆” es cerrada en A.

En M = {a, b, c, d}Se define:

a b c da b c d eb a b c dc b c d ad c d e a

La operación () no es cerrada en M.

II.CONMUTATIVIDAD

En caso de tablas: Dada:

m n p qm p q m nn q n n pp m n p qq n p q m

La operación () es conmutativa.

# a b ca c a bb b c ac c a b

La operación (#) no es conmutativa.

Columna de

entrada

Cuerpo de la tabla (son los

resultados)

Elementos que han participado en

la operación.

1º elemento

2º elemento

a b A a b A

Aquí están todos los resultados y todos ellos

pertenecen al conjunto A.

Están todos los elementos de “A”

Este resultado no pertenece al

conjunto “M”

Están todos los

elementos de “M”

a b A a b =b a

Se observa una distribución simétrica

Mantén el mismo orden

No seda simetría por que los elementos

son diferentes.

Si: Mantienen el mismo orden

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III. ELEMENTO NEUTRO ( e )

En tablas (Criterio de intersección)

Veamos:

a b c da d a b cb a b c dc b c d ad c d a b

e = b

Ejemplo: Tiene elemento neutro () la siguiente tabla?

2 4 62 4 6 24 2 6 46 2 4 6

Rpta: e = _____________

IV. ELEMENTO INVERSO (a-

1)

e = Elemento neutro

a-1 = Elemento inverso de a

En tablas: De acuerdo a la operación mostrada en la siguiente tabla definida en A = {a, b, c}

a b ca b c ab c a bc a b c

Calcular: a-1 , b-1 , c-1 a-1 = Elemento inverso de “a” Solución.- 1. Hallemos “e”

a b ca b c ab c a bc a b c

2.Por definición a a-1 = c b b-1 = c c c-1 = c de inversosDe la tabla a b = c b a = c c

c = c

a-1 = b b-1 = a c-1

= c

Ejemplo: Se define: A = {1, 3, 5, 7}

1 3 5 71 5 7 1 33 7 1 3 55 1 3 5 77 3 5 7 1

Calcular: 1-1 , 3-1 , 5-1 , 7-1

Rpta : _________

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Sea: A = {0, 1, 2, 3} y definimos la operación #.

# 0 1 2 30 0 3 2 11 1 2 3 02 2 3 1 03 3 1 0 2

Calcular: (0 # 1) # (3 # 2)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) F.D.

e A / a A a e = e a = a

Filas iguales

Mantén el mismo orden

Columnas iguales

e A, a A, a-1 A a a-1 = a-1 a = e

e = c

Elemento Neutro

Ya conoces todo lo referente a operadores

definidos por tablas y sus propiedades, ahora

práctica desarrollando los siguientes ejercicios.

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2. En base a la operación anterior:

I. ¿Es abierta o cerrada?________________________________

II. ¿Es conmutativa?________________________________

III. ¿Tiene elemento neutro?________________________________

IV. ¿Es Asociativa?________________________________

3. Dada la siguiente tabla:

m n p qm q p m nn p m n qp m n q pq n q p m

Calcular: E =

a) q/n b) q/m c) p/md) p/q e) p/n

4. Si: 4 5 6

4 14 18 225 18 23 286 22 28 34

Hallar: 7 8

a) 48 b) 50 c) 54d) 51 e) 38

5. Si: 1 2 31 3 5 72 5 8 113 7 11 15

a) 261 b) 253 c) 249d) 287 e) 276

6. Hallar: (3) 23 Dada la operación ()

a b c da a b c db d a b cc c d a bd b c d a

¿Cuál es el elemento neutro ?

a) a b) b c) cd) d e) No tiene

7. ¿Cuál es elemento inverso de “c”?

a) a b) b c) c d) d e) F.D.

8. Calcular:

a) b/a b) b/c c) c/ad) c/b e) No se puede

9. ¿Cuáles es el elemento neutro?

∆ 1 2 3 41 3 1 4 22 1 2 3 43 4 3 2 14 2 4 1 3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) No hay

10.Según el prob. Anterior, calcular:

E =

a) 1,5 b) 1 b) 2d 0,5 e) 0,6

11.Según el prob. 9, calcular:

P =

a) 0,5 b) 1 c) 2d) 1,3 e) 4

12.Dada la tabla: a b c

a c b ab b c ac a c b

Y además se sabe que: (x a) b = (a b) c

Hallar “X”

a) a b) b c) c d) a ó b e) No hay solución posible

13.Si:

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1 2 3 41 2 4 3 12 1 2 3 43 1 3 2 44 3 2 4 1

Hallar “x”, en: (x 1) 2 = (3 4) 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e No hay solución posible

14.En: A = {a, b, c, d} se define la operación () en la siguiente tabla:

a b v da b c d ab c d a bc d a b cd a b c d

Responder: I. ¿La operación es correcta? II. ¿La operación es conmutativa?

Calcular “x” en:

[(x-1 a-1 ) (b-1 a)] a = c-1 d-1

Rpta: _______________

15.En los naturales se define:

∆ 1 3 5 71 3 5 7 13 5 7 1 35 7 1 3 57 1 3 5 7

Calcular : E = [(3-1 7-1) (1-1 5-1)]-1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA Nº71. Si:

4 5 64 5 6 45 4 5 66 6 4 5

Hallar: [(64) (56)] [(94) (66)]

a) 4 b) 6 c) 5d) 0 e) 1

2. Se tiene: 1 3 51 10 3 53 3 30 05 5 0 50

Hallar: 315

a) 330 b) 300c) 333

d) 303 e) 301

3. En: A = {1, 2, 3, 4}, se define:

1 2 3 41 1 2 3 42 2 1 1 13 3 1 1 44 4 2 3 4

DESAFIOLo que tienes en el gráfico adjunto es la representación de 16 fósforos que forman 5 cuadrados. El desafió consiste en formar 4 cuadrados de igual tamaño, cambiando de posición dos fósforos, sin dejar de utilizar uno sólo.No es válido sacar los fósforos, ni partirlos.

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Hallar el valor de verdad de:

1) x 2 = 1; tiene solución única. 2) x,y A x y = y x3) (2 3) [3 (4 1) ] = 4

a) VFF b) FFF c) VVVd) FVF e) FFV

4. Si la tabla es conmutativa

2 5 8 02 5 805 8 208 50 2 80 2 5 0

Hallar la suma de cifras de: 255882 225585

a) 10 b) 18c) 22d) 20 e) 24

5. Si : 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 102 2 3 10 113 3 10 11 12

Hallar: 123321 132213

a) 322200 d) 33200b) 232200 e) 233300c) 222200

6. Si: 1 31 1 33 3 31

Hallar : 1331 3133a) 13311 b) 31113 c)

13331d) 31131 e) 11331

7. Si: A = {0, 1, 2, 3, 4}

0 1 2 3 40 4 3 2 1 01 3 4 3 2 12 2 3 4 3 23 1 2 3 4 34 0 1 2 3 4

Hallar el número de relaciones verdaderas:

1) es conmutativa2) es cerrada3) Tiene “e” 4) Tiene elemento inverso

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 1

8. Se define : A = {a, b, c, d, e}

a b c d ea e d c b ab d c b a ed b a e d ae a e d a b

¿Cuáles son ciertas?

I. Es conmutativaII. [(ab) c] [a (bc)] = b

III.

a) Sólo I b) I y II c) I y IIId) I, II y III e) N.A.

9. En R se define:

0 1 2 30 0 2 4 61 3 1 1 32 6 4 2 03 9 7 5 3

Hallar el valor de: 27 16

a) 49 b) 48 c) 46d) 52 e) 53

10. Si: # 0 1 2 30 0 1 2 31 1 3 0 22 2 0 3 13 3 2 1 0

resolver, y hallar “x” (3 # x) # (2 # 0) = (3 # 3) # 0

a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

11. La tabla: 0 1 20 0 1 2

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1 1 1 12 2 1 0

corresponde a la ley de formación para (a b)

a) b) c) a +

b – 1 d) a + b – ab e) 2a – 3b + ab

12. Dada:

1 2 3 4 51 5 3 4 1 22 1 4 5 2 33 2 5 1 3 44 3 1 2 4 55 4 2 3 5 1

Hallar: [(3-1 5-1) -1 2-1] 4-1

13. Si:

1 2 31 1 2 32 2 3 13 3 1 2

Hallar:[(2-1 3-1) -1 2-1]-1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e9 5

14. En el conjunto: A = {0, 1, 2,3}

0 1 2 30 2 3 0 11 2 3 0 12 0 1 1 13 3 1 1 0

1 2 3 41 1 1 1 12 2 4 1 23 1 1 4 24 1 2 2 4

Hallar “x” en:

(x 1) (3 1) = (4 3) (4 )

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

15. Se define en : A = {a, b, c, d} La operación:

a b c da a b c db b a d cc c d a bd d c b a

Hallar el valor de:

[(d a-1)]-1 b-1] -1

a) a b) b c) cd) 0 e) 1