operador laplaciano.docx

7/25/2019 Operador laplaciano.docx

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Operador laplacianoEn clculo vectorial, el operador laplacianoo laplacianoes un operador diferencialelpticode segundo orden, denotado como , relacionado con ciertos problemas de minimizacin deciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimientoa Pierre-Simon Laplaceue estudi soluciones de ecuaciones diferencialesen derivadasparciales en las ue apareca dic!o operador.

E"presado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundasderivadasparcialesno mixtasdependientes de una variable. #orresponde a div$grad%&, de donde el

uso del smbolodelta$& o nablacuadrado $ & para representarlo. Si , son un campoescalar ' un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse ent(rminos del operador nabla como)

ndice

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Problemas relacionados con el operador laplaciano

otivacin de la ubicuidad del operador laplaciano

/Propiedades del operador laplaciano

01perador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas

o 0.#oordenadas cartesianas

o 0.#oordenadas cilndricas

o 0./#oordenadas esf(ricas

o 0.0#oordenadas curvilneas ortogonales

23uncin armnica

45eneralizaciones del Laplaciano

o 4.1perador de Laplace-6eltrami

o 4.1perador de Laplace-de7!am

o 4./1perador laplaciano para funciones no diferenciables

89(ase tambi(n

:Enlaces e"ternos
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplacehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttps://es.wikipedia.org/wiki/%CE%94https://es.wikipedia.org/wiki/%CE%94https://es.wikipedia.org/wiki/%CE%94https://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Problemas_relacionados_con_el_operador_laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Motivaci.C3.B3n_de_la_ubicuidad_del_operador_laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Propiedades_del_operador_laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Operador_laplaciano_en_diversos_sistemas_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Coordenadas_cil.C3.ADndricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Coordenadas_esf.C3.A9ricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Coordenadas_curvil.C3.ADneas_ortogonaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Funci.C3.B3n_arm.C3.B3nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Generalizaciones_del_Laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Operador_de_Laplace-Beltramihttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Operador_de_Laplace-deRhamhttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Operador_laplaciano_para_funciones_no_diferenciableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Enlaces_externoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplacehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttps://es.wikipedia.org/wiki/%CE%94https://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Problemas_relacionados_con_el_operador_laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Motivaci.C3.B3n_de_la_ubicuidad_del_operador_laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Propiedades_del_operador_laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Operador_laplaciano_en_diversos_sistemas_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Coordenadas_cil.C3.ADndricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Coordenadas_esf.C3.A9ricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Coordenadas_curvil.C3.ADneas_ortogonaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Funci.C3.B3n_arm.C3.B3nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Generalizaciones_del_Laplacianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Operador_de_Laplace-Beltramihttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Operador_de_Laplace-deRhamhttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Operador_laplaciano_para_funciones_no_diferenciableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Enlaces_externoshttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial


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Problemas relacionados con el operador laplaciano*editar+

En fsica,el laplaciano aparece en m;ltiples conte"tos como la teora del potencial,la propagacin de ondas, la conduccin del calor, la distribucin detensionesen un slidodeformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un lugar destacado enla electrosttica' en la mecnica cuntica. En la electrosttica, el operador laplaciano aparece

en la ecuacin de Laplace' en la ecuacin de Poisson. ientras ue en la mecnicacunticael laplaciano de la funcin de ondade una partcula da laenerga cin(ticade lamisma. Enmatemticas, las funciones tales ue su laplaciano se anula en un determinadodominio, se llamanfunciones armnicassobre el dominio. Estas funciones tienen unae"cepcional importancia en la teora de funciones de variable compleodge' los resultados de la co!omologade ?e 7!am.

Vanse tambin:ecuacin de LaplaceyEcuacin de Poisson.

Motivacin de la ubicuidad del operador laplaciano*editar+

@na de las motivaciones por las cuales el Laplaciano aparece en numerosas reas de la fsica

es ue las soluciones de la ecuacin en una reginUson funciones ue minimizanel funcional de energa)

Para ver esto supngase ue es una funcin, ' es unafuncin ue se anula sobre la frontera de U. Entonces,

donde la ;ltima igualdad se sigue usando la primera identidad de 5reen. Este clculo

muestra ue si , entonces el funcional de energa Ees estacionarioalrededor de f. 7ecprocamente, si Ees estacionario alrededor de f,

entonces por elteorema fundamental del clculo integral.

1tra razn de su ubicuidad es ue cuando uno escribe la ecuacin de Laplace enforma diferencias finitas se aprecia ue el Laplaciano en un punto es la diferenciaentre el valor de la funcin en el punto ' el valor de la funcin alrededor. Es decir,cualuier magnitud ue puede e"presarse como una magnitud flu


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Operador laplaciano en diversos sistemas decoordenadas*editar+Coordenadas cartesianas*editar+

Encoordenadas cartesianas$plano& bidimensionales, el laplaciano de una

funcin fes)

En coordenadas cartesianas tridimensionales)

En coordenadas cartesianas en )

Coordenadas cilndricas*editar+

Encoordenadas cilndricas )

Coordenadas esfricas*editar+

Encoordenadas esf(ricas )

Coordenadas curvilneas ortogonales*editar+

Encoordenadas ortogonalesgenerales )

?onde son los factores de escaladel sistema de coordenadas,ue en general sern tres funciones dependientes de las tres coordenadascurvilneas.

Funcin armnica*editar+

@na funcin se dice ue es armnica en Esi)
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=5https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=6https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=7https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=8https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttps://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=9https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=9https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=5https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=6https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=7https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=8https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=9


4/5

E


5/5

?onde se !a usado ue la codiferencial puede reescribirse en t(rminosde la diferencial e"terior ' el operador dual de >odge)

?onde nes la dimensin de la variedad $seudo&riemanniana ' kes elorden de la k-forma C.

Operador laplaciano para funciones nodiferenciables*editar+

En el laplaciano puede generalizarse a funciones ue no seandiferenciables pero ue sean integrables sobre un crculo unidadcontenido en cierta regin. =s se define el laplaciano generalizado)

Puede demostrarse ue para una funcin definida en un entornode se tiene ue)
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=13https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_laplaciano&action=edit&section=13

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