ondes électromagnétiques dans le vide chapitre vi...

Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1

Ondes électromagnétiques dans le vide

Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique

Objectifs :

• Rayonnement électromagnétique d’un dipôle

• Notions élementaires sur la diffusion

1. Position du problème

1.1. La source de rayonnement

Dans le chapitre précédent nous avons étudié la propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide sans nous préoccuperde leur production à partir de charges en mouvement.L’étude du rayonnement électromagnétique créé par des charges en mouvement est difficile, notamment en raison des condi-tions aux limites imposées aux équations de Maxwell.Nous étudions ici le dipôle de Hertz ; il est important pour plusieurs raisons :

• Il permet de donner une interprétation du rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d’oscillations descharges électriques autour de leur position moyenne ; la matière étant globalement neutre, on conçoit alors que lemoment dipolaire de ces charges ait un rôle déterminant dans l’interaction entre la matière et le rayonnement.

• Le champ rayonné par les antennes peut se ramener à la superposition des champs produits par un ensemble de dipôlesoscillants.

• La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien l’intérêt de l’étude, puisque l’on sait quetoute évolution temporelle peut se ramener, par une analyse de Fourier, à une somme de fonctions sinusoïdales.

1.2. Description du système

Considérons un doublet constitué de deux charges électriques opposées, q > 0 au point P et −q au point N , distantes dea > 0, et supposons que q varie au cours du temps selon une loi sinusoïdale :

q (t) = q0 cos (ωt)

Le moment dipolaire instantané p (t) de cette distribution est :

p (t) = q (t)−−→NP

Nous choisissons l’origine O du système d’axe au milieu du segment [NP ] et l’axe (Oz) de telle sorte que−−→NP = auz. Nous

avons alorsp (t) = aq0 cos (ωt)uz

En raison de la symétrie de révolution du système autour de (Oz) nous adoptons les coordonnées sphériques (r, θ,ϕ) avec

(r, θ) coordonnées polaires dans le plan méridien(Oz,

−−→OM

)(même système de coordonnées que pour l’étude du dipôle

électrostatique en 1ere année).

Remarque fondamentale : On réalise un dispositif ayant un comportement analogue au dipôle de Hertz (moment dipolairep (t) variable dans le temps) soit :

• en considérant deux charges constantes +q0 et −q0 séparées par une distance variable :

D (t) = a cos (ωt)⇒ p (t) = q0D (t)uz = q0a cos (ωt)uz

• en considérant un élément de courant iauz avec i = dqdt soit :

i = −ωq0 sin (ωt)⇒ p (t) = qauz =

(∫idt

)auz = q0a cos (ωt)uz

Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 2

1.3. Mise en équation

Nous voulons déterminer le champ électromagnétique rayonné par ce dipôle, donc résoudre les équations de Maxwell. Nous

savons qu’il existe un couple de potentiels(A,V

)tel que :

• Avec le choix de jauge de Lorentz div A+ 1c2∂V∂t = 0, les potentiels scalaire V et vecteur

A sont liés aux charges et auxcourants par les équations :

V = ∆V − 1

c2∂2V

∂t2= − ρ

ε0

−→ A = ∆ A− 1

c2∂2 A

∂t2= −µ0j

• le champ électromagnétique est alors donné par :

B =−→rot A et E = −−−→gradV − ∂

A

∂t

1.4. Potentiels retardés (dits de Liénard-Wiechert)

Nous admettons que A et V sont donnés par les formules de Liénard et Wiechert :

V (M, t) = 14πε0

∫∫∫D

ρ(P,t− rPMc )dτ

rPMet A(M, t) =

µ04π

∫∫∫D

j(P,t− rPMc )dτ

rPMavec c = 1√

ε0µ0Potentiels retardés

Ces expressions font intervenir un décalage temporel ∆t = rPMc : les potentiels au point M, à l’instant t, sont liés aux

valeurs de ρ et j aux instants t− rPMc . Ce décalage correspond à la durée de propagation de l’information à la vitesse de la

lumière c.

2. Potentiels A et V du dipôle

2.1. Potentiel vecteur A du dipôle

D’après le paragraphe 1.3. le potentiel vecteur A est

A(M, t) =µ04π

∫∫∫

D

j(P, t− rPM

c

)dτ

rPM

Nous nous plaçons dans le cas où le dipôle est constitué d’une charge +q fixe en O et d’une charge mobile −q placée en P etanimée d’une vitesse v.Dans une telle situation le potentiel vecteur est donné par :

A(M, t) =µ04π

−qv(P, t− rPM

c

)

rPM

en remarquant que•−→p = ∂p

∂t = −qv le potentiel vecteur s’écrit :

A(M, t) =µ04π

•−→p(t− rPM

c

)

rPM

Nous effectuons alors deux approximations :

• l’approximation dipolaire :la distance d’observation r = OM est très grande devant les dimensions de la distribution d :

r d⇒ A(M, t) =µ04π

•−→p(t− rPM

c

)

rPM≈ µ04π

•−→p(t− rPM

c

)

r

• l’approximation non relativiste :nous supposons que la particule −q effectue des oscillations sinusoïdales à la pulsation ω = 2π

T .


Nous pourrons écrire•−→p(t− rPM

c

)≈

•−→p(t− r

c

)si le décalage temporel entre

(t− rPM

c

)et(t− r

c

)qui est de l’ordre de

dc est négligeable devant l’échelle de temps caractéristique de l’évolution de

•−→p donc du moment dipolaire −→p :

d

c T

dans le modèle sinusoïdal, la vitesse v de la particule est de l’ordre de v ≈ d/T d’où

d

c T ⇒ d

c d

v⇒ v ccas non relativiste

ou de manière équivalented

c T ⇒ d

c λ

c⇒ d λ

Nous admettons la généralité du résultat précédent :

Soit un dipôle électrique variable p (t), d’extension spatiale de l’ordre de d, situé au voisinage d’unpoint O et évoluant à une échelle de temps caractéristique T . Dans le cadre :

• de l’approximation dipolaire : OM = r d• de l’approximation non relativiste : λ = cT d

le potentiel vecteur A en M à la date t est :

A(M, t) ≈ µ04π

•−→p (t− rc )

r

2.2. Potentiel scalaire V du dipôle

Le potentiel scalaire V est donné par la condition de jauge de Lorentz :

div A+1

c2∂V

∂t= 0

Après calcul nous obtenons :

V (M, t) = 14πε0

[−→p (t−r

c ).urr2 +

•−→p (t− rc ).urrc

]= 1

4πε0cos θ

[p(t− r

c )r2 +

•p(t− r

c )rc

]

Remarque : Le terme 14πε0

−→p (t− rc ).urr2 correspond au potentiel du dipôle électrostatique alors que le terme 1

4πε0

•−→p (t− rc ).urrc est

un terme de rayonnement.

3. Champs E et B du dipôle

Nous sommes toujours en coordonnées sphériques de base (ur, uθ, uϕ).

3.1. Symétries du champ électromagnétique

Tout plan contenant l’axe (Oz), donc le dipôle, est plan de symétrie de la distribution de charges.

• Le champ électrique est un vecteur polaire et appartient donc à tous ces plans méridiens :

Eϕ = 0

• Le champ magnétique est un vecteur axial et est donc perpendiculaire à tous ces plans méridiens :

B = Bϕuϕ

3.2. Champ magnétique B du dipôle

Le champ magnétique B est donné par la relation :B =

−→rot A

soit après calcul :

B(M, t) = µ04π sin θ

[ •p(t− r

c )r2 +

••p (t−r

c )rc

]uϕ


3.3. Champ électrique E du dipôle

Pour le champ électrique E nous pouvons soit :

• calculer E à partir des potentiels : E = −−−→gradV − ∂ A∂t

• intégrer l’équation de Maxwell-Ampère (M-A) : −→rot B = µ0ε0 ∂E∂t

Après calcul nous obtenons :

E(M, t) =

Er =2 cos θ4πε0

[p(t− r

c )r3 +

•p(t− r

c )r2c

]

Eθ =sin θ4πε0

[p(t− r

c )r3 +

•p(t− r

c )r2c +

••p (t− r

c )rc2

]

Eϕ = 0

3.4. Les différentes zones

Nous supposons toujours que le moment dipolaire p est une fonction sinusoïdale :

p (t) = p0 cos (ωt)

Les termes pr3 ,

•pr2c ,

••prc2 apparaissant dans les expressions de

E et B ont alors des amplitudes différentes :

terme pr3

•pr2c

••prc2

amplitude p0r3

ωp0cr2 = 2π

p0r3

(rλ

)ω2p0rc2 = 4π2 p0r3

(rλ

)2

Selon les valeurs de r par rapport à λ le terme prépondérant change.

• r λ définit la zone ”statique”

• r ≈ λ définit la zone ”intermédiaire”

• r λ définit la zone ”de rayonnement”.

4. Rayonnement dipolaire électrique

4.1. Champ de rayonnement

4.1.1. Expression du champ rayonné

Dans la pratique nous aurons très souvent r λ : la distance à laquelle on détecte le champ électromagnétique est trèssupérieur à la longueur d’onde λ (≈ 1µm dans le visible par exemple).Les expressions du paragraphe précédent se simplifient pour donner :

Erayon(M, t) =sin θ

4πε0

••p(t− r

c

)

rc2uθ et Brayon(M, t) =

µ04πsin θ

••p(t− r

c

)

rcuϕ

soit sous forme intrinsèque

Erayon(M, t) =1

4πε0

(••−→p (t−rc )∧ur

)∧ur

rc2 et Brayon(M, t) =µ04π

••−→p (t− rc )∧urrc

4.1.2. Structure du champ rayonné

D’après le paragraphe précédent :

Erayon(M, t) =1

4πε0

(••−→p(t− r

c

)∧ ur

)∧ ur

rc2=

1

4πε0

(4πµ0rc Brayon(M, t)

)∧ ur

rc2

=1

ε0µ0

1

cBrayon(M, t) ∧ ur = c Brayon(M, t) ∧ ur

• Les champs E et B sont en phase.


• Les champs E et B sont nuls sur l’axe du dipôle et maximals dans le plan équatorial (Oxy) (voir figures ci-dessous).

Dans le voisinage d’un point M situé à grande distance du dipôle (champ rayonné), le champ(E, B

)est pratiquement

uniforme. Comme E, B et ur forment un trièdre orthogonal (direct) avec E = cB, la structure locale de l’onde émise par ledipôle est celle d’une onde plane transversale, le plan d’onde étant tangent à la sphère en M .

Dans le cadre de l’approximation dipolaire (r d) et de l’approximation non relativiste (λ d),le champ électromagnétique émis par une dipôle électrique dans sa zone de rayonnement (r λ) :

• décroît comme 1r ;

• est proportionnel à ••p(t− r

c

)donc à l’accélération de la particule ;

• présente localement une structure d’onde électromagnétique plane progressive dans le videse propageant radialement à partir du dipôle :

Erayon(M, t) = c Brayon(M, t) ∧ ur ⇔ Brayon(M, t) =urc ∧ Erayon(M, t)

Remarque : Contrairement au champ électrique produit par un dipôle électrostatique, qui varie comme 1/r3, le champ

électromagnétique(E, B

)produit à grande distance par le dipôle électrique varie comme 1/r.

4.2. Energie électromagnétique rayonnée

4.2.1. Le vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting associé au champ rayonné est :

Πrayon =Erayon ∧ Brayon

µ0=

Erayon ∧(urc ∧ Erayon

)

µ0=E2rayonµ0c

ur

⇒ Πrayon =1

µ0c

(sin θ

4πε0

••p(t− r

c

)

rc2

)2ur

⇒ Πrayon =1

16π2ε0c3

••p2 (t− r

c

)

r2sin2 θur


Le vecteur de Poynting est radial et toujours dirigé vers l’extérieur :le système de charge en mouvement rayonne de l’énergie.

4.2.2. Puissance rayonnée par unité d’angle solide

La puissance rayonnée à travers un élément de surface dS = r2dΩ de la sphère de centre O et de rayon r, vu sous l’anglesolide élémentaire dΩ = sin θdθdϕ vaut

dP = Πrayon.dS = Πrayon.r2dΩurLa puissance rayonnée par le dipôle par unité d’angle solide est indépendante de la distanced’observation et proportionnelle au carré de l’accélération :

dPdΩ =

116π2ε0c3

••p2 (t− r

c

)sin2 θ

4.2.3. Diagramme de rayonnement

Pour représenter graphiquement la répartition spatiale du rayonnement émis par un dipôle électrique nous pouvons tracer,pour une direction (θ,ϕ) donnée, un segment OH dirigé dans cette direction et de longueur proportionnelle à la puissancerayonnée par unité d’angle solide. Nous obtenons alors une surface de révolution autour de l’axe (Oz).

Le rayonnement du dipôle n’est pas isotrope :il est nul suivant l’axe du dipôle et maximal suivanttoute direction contenue dans le plan (Oxy).

4.2.4. Puissance totale rayonnée

La puissance totale rayonnée s’obtient par intégration sur toutes les directions de la puissance rayonnée par unité d’anglesolide :

P =∫ π

θ=0

∫ 2π

ϕ=0

(d℘

dΩ

)dΩ =

∫ π

θ=0

∫ 2π

ϕ=0

(1

16π2ε0c3••p2 (t− r

c

)sin2 θ

)dΩ

⇒ P = 16πε0c3

••p2 (t− r

c

)

Remarque : ∫ π

θ=0

sin3

θdθ =

∫ π

θ=0

(1− cos2 θ

)d (− cos θ) =

[− cos θ+ cos

3 θ

3

]π

0

=4

3


4.2.5. Cas d’un dipôle sinusoïdal

Nous supposons que le dipôle est une fonction sinusoïdal du temps :

p (t) = p0 cos (ωt) avec p0 = cste⇒••p2(t) =

(−ω2p0 cos (ωt)

)2 ⇒ ••p2(t) = ω4p20 cos

2 (ωt)

La puissance totale rayonnée s’écrit alors :

P = 1

6πε0c3••p2 (t− r

c

)=

1

6πε0c3ω4p20 cos

2(ω(t− r

c

))

La puissance moyenne rayonnée est donc :

〈P〉t =⟨

1

6πε0c3ω4p20 cos

2(ω(t− r

c

))⟩

t

=1

6πε0c3ω4p20

⟨cos2

(ω(t− r

c

))⟩t

⇒ 〈P〉t =1

6πε0c3ω4p20

(1

2

)

En faisant aparaître la longueur d’onde λ = 2πcω nous obtenons :

〈P〉t = 4π3

3cp20ε0

1λ4

Cette formule en 1/λ4 joue un rôle très important dans le processus de diffusion de la lumière par de petites particules. Lalumière incidente engendre des mouvements électroniques dans ces particules (molécules d’air par exemple) qui rayonne àleur tour de l’énergie. Cette diffusion de la lumière incidente suit la loi en 1/λ4 et est donc plus importante vers les courteslongueurs d’onde : le ciel est bleu et le soleil couchant donne une lumière ”rouge”.

5. Diffusion du rayonnement électromagnétique

Nous nous proposons de retrouver les résultats précédents à partir du modèle de l’électron élastiquement lié.

5.1. La diffusion

De petites particules de soufre, obtenues par précipitation lente à partir de thiosulfate de sodium et d’acide sulfurique peuventsous l’action d’un champ électromagnétique (ici de la lumière) jouer le rôle de dipôle électromagnétique.On éclaire avec un faisceau parallèle venant d’une lampe puissante une cuve à faces bien planes remplie d’une solution trèslimpide, c = 1

4 mol. l−1 par exemple, de thiosulfate de sodium ; une lentille L (distance focale de l’ordre de 30 cm) donne sur

un écran E placé à quelques mètres une image d’un diaphragme circulaire D.Quelques gouttes d’acide sulfurique dilué déclenchent l’apparition de soufre : conformément à la loi en 1/λ4, la lumièrediffusée est bleue tandis que l’image sur l’écran E devient rouge. À la fin, la solution devient blanchâtre : les particules desoufre ont maintenant des dimensions notables vis-à-vis de λ, la condition d λ n’est plus respectée et la diffusion ne suitplus la loi en 1/λ4.

écran (E)lentille (L)diaphragme (D)

image dudiaphragme rougie

lumière diffusée bleue

5.2. Modèle de l’électron élastiquement lié

5.2.1. Hypothèses

• Nous étudions l’action d’une onde électromagnétique sur un atome.D’après le paragraphe 2.5. du chapitre I : Ondes électromagnétiques dans le vide : ”Lorsqu’une onde progressiveinteragit avec des particules chargées, la force magnétique est négligeable devant la force électrique”.Nous ne considérons donc que l’action du champ électrique sur les électrons (le noyau dont la masse est beaucoup plusimportante est supposé immobile).Enfin nous supposerons le champ électrique incident uniforme à l’échelle de l’atome (λ ≈ µm d ≈ 0, 1nm) :E = E0 cosωt


• Nous étudions le cas particulier d’un atome à un électron. Soit P le barycentre des positions successives de l’électron.Nous affectons à ce point P la masse m et la charge q = −e de l’électron.

• Au repos, le point P est confondu avec le noyau repéré par le point O. Hors équilibre, nous notons r le vecteur −−→OP .

• Nous pouvons interpréter les phénomènes expérimentaux en postulant que le mouvement de P obéit à l’équationdifférentielle d’un oscillateur harmonique amorti :

— l’électron est soumis à une force de rappel (de type ressort) de la part du noyau :

Frappel = −k−−→OP = −mω20

−−→OP = −mω20 r

— l’électron est soumis à une force de type frottement visqueux (lors de son déplacement, l’électron rayonne uneénergie électromagnétique prélevée sur son énergie mécanique) :

Fvisq = −hd−−→OP

dt= −mω0

Q

d−−→OP

dt= −mω0

Q

•r avec Q facteur de qualité

5.2.2. Mise en équation

Appliquons la deuxième loi de Newton : ma =∑ F

⇒ m••r = Frappel + Fvisq + q E ⇒m

••r +m

ω0Q

•r +mω20 r = q

E

Nous nous intéressons uniquement au régime forcé. L’excitation étant sinusoïdale nous utilisons la notation complexe

E = E0 cosωt⇒ E = E0e−jωt et r = r0e

−jωt

L’équation différentielle s’écrit alors−mω2r0 − jωm

ω0Qr0 +mω

20r0 = q

E0

⇒ r0 =q

mω20 −mω2 − jωmω0Q

E0 =

qmω20

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

) E0

L’expérience montre que l’absorption d’une onde électromagnétique par un atome est particulièrement efficace lorsque lafréquence de l’onde incidente est proche de l’une des fréquences du spectre électromagnétique de l’atome. Pour rendrecompte de cette observation nous choisissons pour ω0 une pulsation du spectre atomique et nous donnons au facteur dequalité Q une valeur très élevée.

r0 =

qmω20

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

) E0 ⇒ r0 =

emω20√(

1−(ωω0

)2)2+(1Q

(ωω0

))2

5.3. Les différents types de diffusion

5.3.1. Expression générale de la puissance moyenne diffusée

Nous choisissons l’axe (Oz) tel que E0 = E0uz

⇒ r0 =

qmω20

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

)E0uz

Le moment dipolaire s’écrit alors (en notation complexe) :

p = qr0e−jωt = q

qmω20

1−(ωω0

)2− j 1Q

(ωω0

)E0e−jωtuz = p0e−jωtuz

D’après le paragraphe 4.2.4. 〈P〉t = 112πε0c3

ω4p20 avec p0 =∣∣∣p0

∣∣∣

⇒ 〈P〉t =q4/m2

12πε0c3

(ωω0

)4

(1−

(ωω0

)2)2+(1Q

(ωω0

))2E20


Nous pouvons alors tracer les variations de cette puissance moyenne en fonction de la pulsation ω de l’onde incidente :

xω0

ω

diffusionRayleigh

diffusionThomson

diffusion résonnante<P>

5.3.2. Diffusion résonnante

Réalisons l’expérience suivante :

Hg Na

vapeur de sodium vapeur de sodium

Nous vaporisons du sodium à l’état atomique par chauffage, avec un bec Bunsen, d’une ampoule à vide contenant un peude sodium.Eclairons cette vapeur atomique avec une lampe spectrale :

• Avec une lampe à vapeur de mercure (contenant un doublet jaune λ = 577nm et λ = 579 nm) nous observons une trèslégère émission jaune de la vapeur contenue dans l’ampoule.

• Avec une lampe à vapeur de sodium (contenant un doublet jaune λ = 589, 0nm et λ = 589, 6nm) nous observons unetrès forte émission jaune de la vapeur contenue dans l’ampoule.

Dans la deuxième expérience nous observons un phénomène de diffusion résonnante : le rayonnement incident aexactement la pulsation propre des atomes de sodium. Cette diffusion correspond au maximum de la courbe précédente (§5.3.1.).

5.3.3. Diffusion de Rayleigh

Pour de nombreux atomes ou molécules le spectre électromagnétique se situe essentiellement dans l’ultraviolet. Une ondeincidente dans le domainde du visible correspond donc à des valeurs de la pulsation ω très inférieures aux pulsations propresω0. Cette diffusion, appelée diffusion de Rayleigh, correspond à la partie croissante du tracé du paragraphe 5.3.1..Dans une telle situation ω ω0 ; donc

〈P〉t =q4/m2

12πε0c3

(ωω0

)4

(1−

(ωω0

)2)2+(1Q

(ωω0

))2E20 ≈

q4/m2

12πε0c3

(ω

ω0

)4E20

En introduisant la longueur d’onde λ = 2πcω :

〈P〉t =q4/m2

12πε0c3

(ω

ω0

)4E20 =

q4/m2

12πε0c3

( 2πcλ

ω0

)4E20

⇒ 〈P〉t =[q4/m2

12πε0c3

(2πc

ω0

)4E20

]× 1

λ4

Nous retrouvons bien la dépendance en 1λ4: dans le spectre du visible, l’atmosphère diffuse nettement plus les radiations

bleues (λ = 400nm) que les radiations rouges (λ = 800nm).


Remarque : il est possible d’obtenir l’expression de la puissance rayonnée dans la limite de la diffusion Rayleigh par uncalcul ”direct” :

diffusion Rayleigh⇒ ω ω0 ⇒m••r +m

ω0Q

•r +mω20 r = q

E

m••r +m

ω0Q

•r +mω20 r = q E s’écrit alors mω20 r ≈ q E

⇒ r ≈ q

mω20E

⇒ p = qr =q2

mω20E

⇒••p = −ω2 q2

mω20E car E est sinusoïdal

Comme la puissance rayonnée par le dipôle par unité d’angle solide est proportionnelle au carré de l’accélération (ou dumoment dipolaire de manière équivalente) nous avons bien une puissance variant comme ω4 soit 1

λ4.

5.4. Polarisation du rayonnement par diffusion

5.4.1. Cas d’une onde incidente polarisée rectilignement

Soit une onde incidente dirigée suivant l’axe (Ox) telle que le champ électrique E soit polarisé rectilignement suivant (Oz).D’après le paragraphe 5.2. nous savons qu’il apparaît un moment dipolaire p = qr colinéaire à uz (car colinéaire à E).Ce dipôle induit est, à son tour, source d’un rayonnement électromagnétique dont les champs E et B sont nuls sur l’axe dudipôle (Oz) et maximals dans le plan équatorial (Oxy). De plus, dans la zone de rayonnement, le champ électrique est portépar le vecteur uθ ; dans le plan équatorial E est donc dirigé suivant (Oz) :

Lorsque le champ électrique incident est polarisé rectilignement l’onde diffuséeest essentiellement polarisée rectilignement dans la même direction.

5.4.2. Cas d’une onde incidente non polarisée

Si l’onde incidente n’est pas polarisée, les dipôles induits ont des directions aléatoires (perpendiculairesà la direction de propagation (Ox)) :

• le champ rayonné dans la direction (Ox) n’est pas polarisé.• le champ rayonné perpendiculairement à (Ox) en un point M est polarisé rectilignement le longde la perpendiculaire au plan (MOx).

6. Exercices

Exercice n 01 (Centrale)Le mouvement d’un électron dans un atome de centre O est modélisé par celui d’un oscillateur harmonique spatial de centre O,

de pulsation propre ω0, associé à un point matériel de masse m et de charge q = −e. On envoie sur cet atome (de centre O fixe)une OPPM dont le champ électrique est donné par E = E0 ex cos (ωt− kz) où k = ω/c. Déterminer la section efficace totale dediffusion de l’électron σT définie comme le rapport de la puissance totale moyenne rayonnée à l’intensité I0 de l’onde incidente.Donner sa valeur σ0 dans le cas de l’électron libre. On rappelle que l’expression du champ magnétique rayonné, à grande distance,

par un système dipolaire électrique situé en O : Bray =µ04πcr

(··p (t∗) ∧ u

); où t∗ = t− r

c et r =−−→OM = r u.


Exercice n 02 : Durée de vie d’un état excité d’un atomeOn adopte ici un modèle planétaire de l’atome pour lequel l’électron d’un atome d’hydrogène est assimilé à une particule de

masse m et de charge −e qui gravite sur une trajectoire circulaire de rayon R autour d’un proton, considéré comme infinimentmassif, fixe à l’origine O.1) Exprimer en fonction de R, m et e, la vitesse v, l’accération a de l’électron, la période T et l’énergie mécanique E du

système. Les évaluer pour R = 53pm, et discuter le caractère relativiste ou non de l’électron.Données : m = 9, 1.10−31 kg, e = 1, 6.10−19C et 1

4πε0= 9.109 F−1.m.

À une distance r très grande devant l’extension spatiale R de son mouvement, une particule non relativiste, de charge q etd’accélération a, émet un champ électromagnétique de rayonnement, dont le champ magnétique est :

B =µ04π

qa(t− r

c

)∧ er

rc

2) Discuter la polarisation de l’onde émise dans le plan de l’orbite de l’électron ou sur son axe de révolution.3) Établir la formule de Larmor donnant la puissance rayonnée par l’électron décrivant sa trajectoire circulaire.4) Quelle est la conséquence de cette émission de rayonnement sur le mouvement de l’électron ? Discuter la rapidité de cette

évolution en évaluant le rapport entre l’énergie rayonnée pendant une révolution et l’énergie mécanique obtenue à la question 1).5) En utilisant les conclusions précédentes, proposer une loi d’évolution du rayon R de la trajectoire électronique en fonction du

temps. En déduire une évaluation de la durée de vie τ du niveau excité 2p de l’atome d’hydrogène, sachant que l’atome retombe,par émission de rayonnement, dans l’état 1s. On rappelle que les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont donnés par la loi dequantification En =

−13,6n2 eV, où n désigne le nombre quantique principal. Comparer la valeur obtenue à la valeur expérimentale

de ce temps de vie qui est T = 1, 6ns.

Exercice n 03 : Rayonnement d’une antenne demi-ondeL’expression du champ de rayonnement (r λ) d’un dipôle placé à l’origine du système de coordonnées est :

E (r, t) = c B (r, t) ∧ er avec B =µ04π

••p(t− r

c

)∧ er

rc

Une antenne est constituée d’un fil d’épaisseur négligeable,de centre O et de longueur L, coïncidant avec l’axe (Oz),auquel un système électronique impose un courant oscillanti(z, t) = I0 cos

(πzL

)cos(ωt) soit en notation complexe :

i(z, t) = I0 cos(πzL

)ejωt.

On observe le rayonnement de cette antenne en un point M , repéré par ses coordonnées sphériques (r, θ).1) Expliquer l’expression du courant i(z, t) dans l’antenne. Indiquer la relation liant la longueur L de l’antenne et la longueur

d’onde λ, associée au courant i(z, t).2) Dans la zone de rayonnement r λ peut-on supposer aussi que la longueur d’onde est très grande devant les dimensions

de la source, comme dans le cas du rayonnement dipolaire ? Déterminer le champ dE créé en M par un élément de longueur dzsitué en un point P d’abscisse z de l’antenne, puis son amplitude complexe dE.3) Calculer le champ électrique E rayonné au point M .4) Montrer que le vecteur de Poynting moyen peut se mettre sous la forme Kf(θ) rr3 , où f(θ) (fonction dont la valeur maximale

est 1) est appelée indicatrice de rayonnement de l’émetteur.


5) Donner l’allure du diagramme de rayonnement de l’antenne.

6) Calculer la puissance moyenne totale rayonnée ainsi que la résistance de rayonnement R de l’antenne, définie par 〈P〉 = RI202 .

Calculer I0 pour une antenne qui rayonne une puissance moyenne de 1 kW.

ondes électromagnétiques dans le vide chapitre vi...

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