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Ondaletas: Uma Necessidade?!
Por
MSc. Augusto César Barros Barbosa - 5333348
Métodos Observacionais em Climatologia e Meteorologia de Mesoescala
Professora: Dra. Leila Maria Vespoli de Carvalho
São Paulo
16 outubro 2008
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Objetivo
Mostrar dentro de um contexto histórico, à necessidade de se utilizar a transformada em ondaletas como uma ferramenta (técnica) importante na investigação de fenômenos não-estacionários, onde a análise de Fourier tradicional não é recomendável (Farge, 1992).
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Uma Breve História: Fourier, Joseph
Físico e Matemático Francês.
Nasceu em 21 de Março de1768 em Auxerre (França).
Faleceu em 16 de Maio de 1830 em Paris aos 62 anos.
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Joseph Fourier afirmou que qualquer função periódica f(x) poderia ser expressa por uma somatória de senos e cossenos da seguinte forma:
onde a0, ak e bk são os coeficientes de Fourier da série.
2
0
2
0
2
0
0
10
.)()(1
,)cos()(1
,)(2
)()cos()(
dxkxsenxfb
dxkxxfa
dxxfa
kxsenbkxaaxf
k
k
kkk
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A Transformada de Fourier (TF) é uma ferramenta útil para saber a contribuição para a energia total da série temporal (estacionária), de cada função seno e cosseno que estão presentes nesta série.
A TF é definida da seguinte forma:
dxexfFx
xi
2)()(
onde ω é a freqüência e f(x) é a série temporal. Note que ocorre o que se chama de “Convolução”. Princípio importante para o entendimento da teoria das ondaletas.
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A Convolução
“Toda transformação linear que seja invariante por translação, pode ser escrita sob a forma de uma convolução.”
Define-se a convolução contínua unidimensional entre duas funções f(x) e g(x), no ponto t como:
dttxgtftxgxft
)()()()()(
Onde:1. f(x) representa uma série temporal qualquer.2. g(x) representa um filtro que tem o papel de identificar e selecionar o período de cada componente oscilatória presente em f(x).
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A Linearidade da TF
dqc
wgcwfdxexgcdxexf
dxexcgxfxcgxf
xi
xx
xi
xi
x
..
)()()()(
)()()()(
22
2
Demonstração da linearidade da transformada de Fourier em funções unidimensionais f(x) e g(x), onde c é uma constante qualquer.
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A Linearidade da Convolução
dqc
txhxgcII
e
txhxfI
onde
dttxhtgcdttxhtf
dttxhtcgtftxhxcgxf
II
t
I
t
t
..
)()()(
)()()(
:
)()()()(
)()()()()()()(
Demonstração da linearidade da convolução para as funções unidimensionais f(x), g(x) e uma função fixa h(x), onde c é uma constante pertencente aos reais.
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Relação entre a TF e a ConvoluçãoA seguinte propriedade básica relaciona a operação de convolução com a transformada de Fourier. Onde f(x) e g(x) são funções quaisquer.
dqcwgwftxgxf
ementeConsequent
dkkgdttf
Assim
dxdkdx
dt
dx
dx
dx
dktxk
setemespaçonotodeslocamenPelo
dxdttxgtftxgxf
wg
k
ki
wf
t
ti
xi
x t
ee
e
..),()()()()(
:
)()(
:
:,___
)()()()()(
)(
2
)(
2
2
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Aplicação da TFComo exemplo ilustrativo será mostrado três séries temporais de funções senos com 16s de duração e de amplitudes e freqüências diferentes (1, 5 e 10Hz).
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O Espectro de Energia
A figura mostra a presença das três freqüências promovidas pelas funções senos presentes na série temporal.
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A Transformada de Fourier Janelada
Gabor em 1946, percebeu a deficiente aplicabilidade da TF em séries temporais não-estacionárias.
Problemáticas:
1. Janela Fixa.
2. Energia Infinita (-∞ & +∞).
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A Transformada em Ondaleta Contínua
A transformada em ondaletas contínua é uma transformada linear que pode ser utilizada na análise de sinais não-estacionários para extrair informações das variações em freqüência desses sinais.
Para que uma função seja denominada de Função Ondaleta (FO), representada pela letra psi, deve satisfazer a duas propriedades distintas, descritas abaixo:
1ª) A integral dessa função deve ser zero, ou seja:
t
dtt 0)(
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Continua...
2ª) A FO deve possuir energia unitária, isto é:
De um modo geral as funções denominadas de ondaletas, possuem a propriedade básica de dupla localização em tempo e em freqüência, onde:
Tempo: Ocorre por ser localizada em um intervalo finito.
Freqüência: Se dá ao fato da TF da FO poder ser interpretada como um filtro passa-banda.
1)(2
dttt
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Localização Tempo - Freqüência
Arbitrado pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg
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A Função Ondaleta
A análise por ondaletas baseia-se na CONVOLUÇÃO do sinal em estudo f(t) com sucessivas funções representativas de escalas diferentes, as funções ondaletas ψj,k(t).
A função ondaleta pode ser definida da seguinte forma:
A Transformada em ondaleta de uma função f(t) é definida como se segue:
0;1
)( 0,
j
j
kt
jtkj
dtj
kttf
jtW
N
t
kj
1
*0, )(
1)(
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Continua...
As funções são funções ondaletas derivadas da ondaleta base por translações e por mudanças de escala.
j
kt0
0;__1
)(
)()(
jescaladeMudançaj
t
jt
e
Translaçãoktt
j
k
Assim a transformada em ondaletas contínua de uma série temporal f(t) é definida como a convolução da função (série) com o complexo conjugado da ondaleta mãe escalonada e normalizada.
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A Função Ondaleta Base de MorletA função ondaleta base de Morlet é definida da seguinte forma:
Logo a transformada em ondaletas utilizando a FO de Morlet será:
GaussianoEnvelopeI
eetI
ttio
_
)(2
0 2
1
4
1
dteetfjj
ktW j
kt
t
j
tki
kj
20 )(2/1)(4/1
, )(
Como em geral a operação de convolução é mais complexa de calcular do que a TF, usa-se o teorema da convolução para determinar as integrais das funções convoluídas, calculando-se o produto das TF das funções envolvidas.
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Sinal da Função Ondaleta de Morlet
Parte Real (Linha Sólida) e Parte Imaginária (Linha Pontilhada), parte da Ondeleta de Morlet com ω0=6. Figura tirada de D. Maraun & J. Kurts (2004).
(a) Sinal da ondeleta de Morlet com largura e amplitude arbitrária, (b) Construção da ondeleta de Morlet (azul tracejado) a partir de uma onda seno (verde), modulada por um pacote gaussiano (vermelho), Torrence & Compo (1998).
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Significância Estatística Pk
Para a significância estatística da ondeleta, pode-se utilizar a ‘hipótese nula’ em que o sinal é ruído vermelho com dado ‘Background Power Spectrum (Pk)’ Allen & Smith (1996), em que se encontra:
221
21
iαe
αkP
Onde:
1. α é a autocorrelação da série com o ruído vermelho.
2. k são os índices da freqüência de Fourier.
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Sinal Escalonado e Deslocado
Exemplo de uma Função Ondaleta escalada e transladada, utilizando-se a ondaleta-base de Morlet (Parte superior). Sinal não normalizado. Figuras tiradas da dissertação de Regis Rossi Alves Faria, EPUSP - 1997.
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Janelas de Análise no Plano Tempo – Freqüência para TEF e Ondaletas
Figuras tiradas da dissertação de Regis Rossi Alves Faria, EPUSP - 1997.
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A Translação e a Dilatação no Espaço
O termo ondaletas refere-se a um conjunto de funções com forma de pequenas ondas geradas por dilatações Ψ(t)→Ψ(2t) e, translações, Ψ(t)→Ψ(t+1),de uma função geradora base.
Suponhamos uma série temporal com comprimento s de 1024 pontos de tal forma que tenhamos:
Logo a 1ª escala será:
2n-1 2n-1
2n
)(1010242 períodosescalasnns n
pontosn 512291 9
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Continua...Em seguida teremos:
pontosn
pontosn
pontosn
2219
.
.
.
128273
256282
1
7
8
A representação de “Multiresolução” fornece uma moldura hierárquica simples para interpretação de informação da série temporal. A diferentes resoluções, os detalhes de um sinal geralmente caracterizam diferentes estruturas do mesmo.
Em seguida teremos: 2n-2 2n-2 2n-2 2n-2
2n
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Continua...O processo mostrado anteriormente proporcionará um diagrama conhecido como “Periodograma de Ondaletas”, como mostrado logo abaixo:
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Resultados...Note que, através do periodograma, podemos identificar exatamente quais as freqüências predominantes em uma série temporal qualquer. Tal fato, é extremamente importante na análise de séries temporais não-estacionárias.
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A Transformada em Ondaletas Cruzada
Assim como na TF é possível definir a ondaleta cruzada de duas séries temporais, como Wn
XY=WXWY*, onde (*) denota o complexo conjugado e (n=1,...N); além disso, define-se o espectro de energia da ondaleta cruzada como sendo:
YkPX
kPν
(p)νZp
YX
(s)Y*n(s)WX
nWD
onde Zν(p) é o nível de confiança associado com a probabilidade p para o Probability Density Function (PDF) definido pela raiz quadrada do produto de duas distribuições Q2. Por exemplo, os 5% do nível de significância nos gráficos das OC deve ser utilizado Z2(95%).
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O Ângulo de Fase da Ondaleta Cruzada
A média circular de um conjunto de ângulos (ai, i =1...n) é definido de acordo com (Zar et al., 1999).
n
i)isen(aYe
n
i)i(aXXYama
1__
1cos,2tan
O Transforma em Ondaletas CoerênciaDe acordo com Torrence & Webster (1999), pode-se definir a Ondaleta Coerência entre duas séries temporais como:
2121
212
(s)YnWs.S(s)X
nWsS
(s))XYnWS(s
(s)nR
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Continua...É útil pensar em ondaletas coerência como um coeficiente de correlação localizado em tempo-freqüência-espaço. A definição de S se dá da seguinte forma:
(s)))n(Wtempo(SescalaSS(W)
s
st
c(s)nWs(W)|tempoS
22
2
1
onde Sescala denota a suavização ao longo da escala dos eixos das ondaletas e Stempo no tempo. Para a ondaleta base de Morlet, um operador de suavização é dado de acordo com Torrence & Webster (1999).
ss))|.Π(c(s)n(Ws(W)|escala
S 602
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Áreas de Aplicação
1. Turbulência Atmosférica (C. Rodrigues Neto et al.,2001)Processamento de Sinais (M. Vertteli & C. Herley, 1992)
2. Sistemas Hidrológicos (D. J. R. Nordemann, 1998)
3. Geofísica Espacial (M. J. A. Bolzan, 2005 )
4. Interação Oceano-Atmosfera (Barbosa & Camargo, 2006)
5. Convecção Tropical (Weng & Lau, 1994)
6. O ENSO (Gu & Philander, 1995)
7. Frentes Frias Atmosféricas (Gamage & Blumen, 1993)
8. Estruturas coerentes em fluxos turbulentos (Farge, 1992)
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AplicaçãoA figura mostra uma língua fria (Ondas de Instabilidade Tropical - OIT)
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Diagrama de Hovmöller da TSM no Equador, 1ºN, 2ºN, 3ºN e 4ºN; para o ano de 2001. Temperatura em ºC.
TSM filtrada em 20-60 dias. Anomalias em ºC.
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1. TSM e o vento completamente em fase.
2. Vento avançado 45º da TSM. A TSM responde em 1/8 do período.
3. Vento avançado 90º da TSM. A TSM responde em 1/4 do período.
4. Vento avançado 135º da TSM. A TSM responde em 3/8 do período.
5. Vento e TSM em fase completamente opostas.
6. Vento defasado 225º da TSM, ou a TSM avançada 135º do vento. O vento responde com 3/8 do período.
7. Vento defasado 90º da TSM. O vento responde em 1/4 do período.
8. Vento defasado 45º da TSM. O vento responde em 1/8 do período.
A Interpretação Física
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Dias Juliano:
50: 19/02
100:10/04
150:30/05
200:19/07
250:07/09
300:27/10
350:16/12
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Dias Juliano:
50: 19/02
100:10/04
150:30/05
200:19/07
250:07/09
300:27/10
350:16/12
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Dias Juliano:
50: 19/02
100:10/04
150:30/05
200:19/07
250:07/09
300:27/10
350:16/12
XWTTSMxUU
1ºN19ºW
2001.
WTCTSMxUU
1ºN19ºW
2001.
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Dias Juliano:
50: 19/02
100:10/04
150:30/05
200:19/07
250:07/09
300:27/10
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XWTTSMxVV
1ºN19ºW
2001.
WTCTSMxVV
1ºN19ºW
2001.
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Existe a Necessidade de um Filtro?É útil pensar em ondaletas como consecutivos filtros passa-banda, mas até quando isso é viável?
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Considerações Finais...
A TRANSFORMADA WAVELETS (ONDALETAS), REVELA NO TEMPO QUAL PARTE DO SINAL ANALISADO TRANSPORTA ENERGIA SIGNIFICATIVA E, EM QUAIS FREQÜÊNCIAS (ESCALAS). TODAVIA, A UTILIZAÇÃO DE UM FILTRO EM ALGUNS CASOS TORNA-SE BASTANTE VIÁVEL.
Augusto Barbosa.
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Obrigado!!!