on static charged black holes - yukawa.kyoto-u.ac.jp
TRANSCRIPT
日本物理学会 2012年秋季大会 (京都産業大学) 2012年9月14日
On Static Charged Black Holes
in Type IIA on a Nearly-Kahler Cosetbased on arXiv:1108.1113arXiv:1108.1113arXiv:1108.1113, arXiv:1203.1544arXiv:1203.1544arXiv:1203.1544
木村哲士 (立教大学)
はじめに
以下の流れでお話をします
動機
ストリング理論のコンパクト化とAdSブラックホール
AdSブラックホール
nearly-Kahler coset space G2/SU(3)
AdS真空
静的条件と解
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 2 -
動機
ストリング理論のコンパクト化において
Reissner-Nordstrom AdSブラックホール解を考えたい
動機
Reissner-Nordstrom AdSブラックホール解を考えたい
理由 • ハイパー多重項がある N = 2 gauged SUGRAの探索
• 「AdS/CMT」の設定 (?):'
&
$
%
荷電粒子が AdSブラックホールに落ちていく過程をみる
Einstein + Λc.c. + Maxwell + charged matters
この設定 (に近いもの)をストリング理論で与えるには?
フラックスコンパクト化を用いたシナリオで考えたい
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 4 -
動機 (本音)
コンパクト化された幾何学の一般化を世に知らしめる
• 2005年から「広報」活動
Flux compactications in heterotic string
Index theorem of torsionful manifolds
AdS vacua via generalized geometries in type IIA string
D-branes in doubled geometries
Intersecting five-branes, etc.
• なかなか浸透しない
抽象的すぎる?
ありがたみが見えない?
この頃ようやく日本の方々も「torsion」「nongeometric backgrounds」を触っているが...
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 5 -
障害
設定を超重力理論に埋め込むときの障害
• 宇宙項 vs物質場 vs超対称性
物質場がある系で負の宇宙「定数」をそのまま超対称作用積分に導入することはできない
• 4D宇宙項 vsコンパクト化
4Dで負の宇宙項を持つ真空解を与えるには超重力をゲージ化すべし
ゲージ化するにはフラックスコンパクト化すべし
フラックスを乗せるにはトーションを用意すべし
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 6 -
SU(3)-structure manifolds
non-CY manifold M6
Ricci 2-formがゼロのまま、トーションを許す
(SU(3)-structure manifold)
dJ = 0 and/or dΩ = 0
CYからのズレ:
dJ =3
2Im(W1Ω) +W4 ∧ J +W3 , dΩ = W1J ∧ J +W2 ∧ J +W5 ∧ Ω
W1 , W2 , W3 , W4 , W5 : intrinsic torsion classes
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 7 -
4D N = 2 gauged SUGRA
10次元 II型作用 (democratic formulation) S(10D)II = SNS + SR:
SNS + SR =1
2
∫e−2ϕ
R ∗ 1+ 4dϕ ∧ ∗dϕ− 1
2H3 ∧ ∗H3
− 1
8
∫ [F ∧ ∗F
]10
“自己双対 F = λ(∗F)” と “場の方程式 (d + H∧) ∗ F = 0 ⇔ (d− H∧)F = 0”
SU(3)-structure manifolds ↓↓↓ SU(3)-structure manifolds
4次元 N = 2ゲージ化された超重力理論
ポテンシャル項が現れる (期待値が宇宙項になる)
(可換ゲージ群に限られる)
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 8 -
AdSブラックホール
in 4D N = 2 gauged SUGRA with B-field
from massive type IIA on a nearly-Kahler coset space G2/SU(3)
a nearly-Kahler coset space G2/SU(3)
D. Cassani and A.K. Kashani-Poor [arXiv:0901.4251]
NSNS-sector : torsion and H-flux
RR-sector : 2-, 4-form and Romans’ mass (0-form)
dJ =3
2Im(W1Ω) , dΩ = W1 J ∧ J
dωΛ = eΛα , dα = 0 , dβ = eΛ ωΛ , dωΛ = 0
eΛmΛR = 0
1 vector multiplet with cubic prepotential F =X1X1X1
X0
1 universal hypermultiplet (no other HMs) → hyper-tensor multiplet
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 10 -
4D N = 2超対称多重項
4D multiplets from NSNS from RR fermions
supergravity multiplet gµν A0µ ψi
µ
1 vector multiplet t A1µ λi
1 hyper-tensor multiplet φ, Bµν ξ0, ξ0 ζα
A0µ : from RR one-form C1
t : from complexified “Kahler” modulus t = X1/X0 = b+ iv
A1µ : from RR three-form C3
ξ0, ξ0 : from RR three-form C3
Expansion Lagrangian
FΛ2 = dAΛ
1 +mΛRB2:Stuckelberg-type deformation
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 11 -
真空
in arXiv:0901.4251
in arXiv:0901.4251
Appendix ひとつの N = 1 AdS真空 と ふたつのN = 0 AdS真空 Appendix
[NOTE]
type IIA弦理論から 4D N = 1 AdS vacuaを導出するには Romans’ massが必要
D. Lust and D. Tsimpis, hep-th/0412250
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 12 -
RN-AdSブラックホール計量での場の配位
Reissner-Nordstrom AdSブラックホールの下、物質場の配位を調べる:'
&
$
%
ds2 = −e2A(r)dt2 + e−2A(r)dr2 + r2dΩ2
e2A(r) = 1− 2η
r+
Z2
r2+r2
ℓ2, Z2 = Q2 + P 2 , Λc.c. = − 3
ℓ2
vector fields AΛµ の電荷・磁荷: pΛ =
∫FΛ2 , qΛ =
∫F2Λ
↓FΛθϕ ≡ fΛ(θ, ϕ) sin θ , FΛ
tr ≡ e−2C(r)
r2gΛ(θ, ϕ)
時間依存性がない解を探そうとすると、
AΛµ , Bµν, gµν の運動方程式から「すべての場の共変定数性」が示される:
Appendix 0 = ∂µt = ∂µφ = Dµξ0 = Dµξ0 = ∂[µBνρ] = FΛ
µν Appendix
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 13 -
ブラックホール電荷
ブラックホール電荷 Z2 = Q2 + P 2は
次の様に記述される:
Z2 = −1
2
[pΛµΛΣ p
Σ + (qΛ − νΛΓ pΓ)(µ−1)ΛΣ(qΣ − νΣ∆ p
∆)]
e−1L = 12R+ 1
2µΛΣFΛ ∧ ∗FΣ + 1
2νΛΣFΛ ∧ FΣ + . . .
一方で、ゲージ場と電荷 (pΛ, qΛ)の関係は
次の様に与えられる:
0 = FΛθϕ = pΛ sin θ , 0 = FΛ
tr = − 1
r2(µ−1)ΛΣ(qΣ − νΣΓp
Γ)
つまり、
pΛ = 0 = qΛ → Z2 = 0
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 14 -
結果
結果
Massive type IIA on G2/SU(3)から得られる
4D N = 2 gauged SUGRA with B-fieldは、
Reissner-Nordstrom AdSブラックホール解を持ち得ない (Z2 = 0に退化)。
ブラックホール質量・電荷・宇宙項などをコンパクト化の情報で記述するために、もう少し非自明なブラックホール解を考える必要がある?
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 15 -
おわりに
おわりに
以下の流れでお話をしました
動機
ストリング理論のコンパクト化とAdSブラックホール
AdSブラックホール
nearly-Kahler coset space G2/SU(3)
AdS真空
静的条件と共変定数解
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 17 -
Appendix
4D N = 2 gauged SUGRA
Coset spaces
Gauged SUGRA from type IIA on G2/SU(3)
Analysis on static AdS black holes
Geometric flux compactification in type IIA
10D type IIA action S(10D)IIA = SNS + SR = SNS + SR + SCS: (democratic form)
SNS =1
2
∫e−2ϕ
R ∗ 1+ 4dϕ ∧ ∗dϕ− 1
2H3 ∧ ∗H3
, SR = −1
8
∫ [F ∧ ∗F
]10
with “constraint F = λ(∗F)” and “EoM (Bianchi) (d +H∧) ∗ F = 0 ⇔ (d−H∧)F = 0”
SU(3)-structure with mΛR = 0↓↓↓ SU(3)-structure with mΛ
R = 0
4D N = 2 abelian gauged SUGRA (with ξIII ≡ (ξI, ξI)T):
S(4D) =
∫d4x
√−g[1
2R+
1
4ImNΛΣF
ΛµνF
Σµν − ϵµνρσ
8√−g
ReNΛΣFΛµνF
Σρσ − gab ∂µt
a∂µtb − giȷ ∂µzi∂µzȷ
−∂µφ∂µφ+e2φ
2(MH)IIIJJJDµξ
IIIDµξJJJ − e2φ
4
(Dµa− ξIII(CH)IIIJJJDµξ
JJJ)2 − V (t, t, q)
]'
&
$
%
• (eΛI, eΛI) : geometric flux charges & eRΛ : RR-flux charges ←− non-CY data
(with constraints eΛIeΣI − eΛIeΣI = 0)
• ta ∈ SKGV and zi ∈ SKGH ⊂ HM are ungauged (in general)
• DµξI = ∂µξ
I − eΛIAΛ
µ & DµξI = ∂µξI − eΛIAΛµ
• Dµa = ∂µa− (2eRΛ − ξIeΛI + ξIeΛI)AΛ
µ
• V (t, t, q): scalar potential D. Cassani, arXiv:0804.0595
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 19 -
Generic form of 4D N = 2 gauged SUGRA with B-field
Non-vanishing mΛR dualizes the axion field a in standard SUGRA to B-field.
4D gauged action is different from the standard one:
S(4D) =
∫ [1
2R(∗1) + 1
2ImNΛΣF
Λ2 ∧ ∗FΣ
2 +1
2ReNΛΣF
Λ2 ∧ FΣ
2 − gab dta ∧ ∗dtb − giȷ dz
i ∧ ∗dzȷ
−dφ ∧ ∗dφ− e−4φ
4H3 ∧ ∗H3 −
e2φ
2(MH)IIIJJJDξ
III ∧ ∗DξJJJ − V (∗1)
+1
2dB ∧
[ξIII(CH)IIIJJJDξ
JJJ +(2eRΛ − ξIeΛI + ξIeΛ
I)AΛ
1
]− 1
2mΛ
ReRΛB2 ∧B2
]
Constraints among flux charges:
eΛIeΣI − eΛIeΣ
I = 0, mΛReΛ
I = 0 = mΛReΛI
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 20 -
Scalar potential
Scalar potential from (non)geometric flux compactifications:
V = g2[4huvk
ukv +3∑
x=1
(gabDaPxDbPx − 3|Px|2
)]= . . . ≡ VNS + VR (abelian: kaΛ = 0)
VNS = gabDaP+DbP+ + giȷDiP+DȷP+ − 2|P+|2
= −2 g2e2φ[ΠT
H QTMV QΠH +ΠT
V QMHQTΠV + 4ΠT
H CTHQ
T(ΠVΠ
TV +ΠVΠ
TV)QCH ΠH
]VR = gabDaP3DbP3 + |P3|2
= −1
2g2e4φ
(eRΛ − eΛIξ
I + eΛI ξI)(ImN )−1|ΛΣ
(eRΣ − eΣIξ
I + eΣI ξI)
'
&
$
%
ΠV = eKV/2(XΛ,FΛ)T
ta = Xa/X0
a = 1, . . . , nV
SKGV of vector-moduli
P+ ≡ P1 + iP2 = 2eφΠTV QCH ΠH
P− ≡ P1 − iP2 = 2eφΠTV QCH ΠH
P3 = e2φΠTV CV(cR + Qξ)
'
&
$
%
ΠH = eKH/2(ZI,GI)T
zi = Zi/Z0
i = 1, . . . , nH
SKGH of hyper-moduli
CV,H =
(0 1
−1 0
); Q =
(eΛ
I eΛI
mΛI mΛI
), Q = CT
HQCV cR =
(mΛ
R
eRΛ
)
Cassani et.al., arXiv:0804.0595, arXiv:0911.2708 App.top
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 21 -
Coset spaces with SU(3)-structure
D. Cassani and A.K. Kashani-Poor, arXiv:0901.4251 App.top
M6
G2
SU(3)= S6 Sp(2)
S(U(2)× U(1))= CP 3 SU(3)
U(1)× U(1)= F(1, 2; 3)
SM = SKGVSU(1, 1)
U(1): t3
(SU(1, 1)
U(1)
)2: st2
(SU(1, 1)
U(1)
)3: stu
HM = SQGSU(2, 1)
U(2): UHM
SU(2, 1)
U(2): UHM
SU(2, 1)
U(2): UHM
SKGH ⊂ HM — — —
matters 1 VM + 1 UHM 2 VM + 1 UHM 3 VM + 1 UHM
Each SKGV has a cubic prepotential: F =1
3!dabc
XaXbXc
X0
nilmanifolds and solvmanifolds: M. Grana, R. Minasian, M. Petrini and A. Tomasiello, hep-th/0609124coset spaces with SU(3)- or SU(2)-structure: P. Koerber, D. Lust and D. Tsimpis, arXiv:0804.0614
a pair of SU(3)-structures with (mΛI,mΛI): D. Gaiotto and A. Tomasiello, arXiv:0904.3959
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 22 -
4D N = 2 gauged SUGRA from type IIA on G2/SU(3)
10D type IIA onG2
SU(3)with fluxes
↓↓↓4D N = 2 abelian gauged SUGRA with B-field (Λ = 0, 1 and ξ000 ≡ (ξ0, ξ0)
T)
S =
∫ [1
2R (∗1) +
1
2µΛΣF
Λ ∧ ∗FΣ +1
2νΛΣF
Λ ∧ FΣ − gtt dt ∧ ∗dt
− dφ ∧ ∗dφ − e−4φ
4dB ∧ ∗dB − e2φ
2
(Dξ0 ∧ ∗Dξ0 + Dξ0 ∧ ∗Dξ0
)+ dB ∧ ξ0 dξ0
+ dB ∧(eRΛ − eΛ0 ξ
0)AΛ − 1
2mΛ
R eRΛB ∧B − V (∗1)]
'
&
$
%
• gµν, t, Bµν, φ; (eΛ0, eΛ0) : NS-NS sector Precise data onG2
SU(3):
e10 = 0, m0R = 0, eR0 = 0
eΛ0 = 0 = e00
m1R = 0 = eR1
• AΛµ , ξ0, ξ0; (mΛ
R, eRΛ) : R-R sector
• GM : (gµν, A0µ), VM : (Aa
µ, t), UHM → TM : (φ,Bµν, ξ0, ξ0)
• Dξ0 = dξ0 − eΛ0AΛ
1 , Dξ0 = dξ0 − eΛ0AΛ1
• FΣ2 = dAΣ
1 +mΣRB2
• V (t, φ, ξ0) = VNS(t, φ) + VR(t, φ, ξ0)
µΛΣ ≡ ImNΛΣ, νΛΣ ≡ ReNΛΣ D. Cassani, arXiv:0804.0595 Main
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 23 -
Equations of motion
Rµν − 1
2Rgµν =
1
4gµν µΛΣF
ΛρσF
Σρσ − µΛΣFΛµρF
Σνσ g
ρσ − gµν gtt∂ρt∂ρt+ 2gtt ∂µt∂νt
(δgµν)−gµν ∂ρφ∂ρφ+ 2∂µφ∂νφ− e−4φ
24gµνHρσλH
ρσλ +e−4φ
4HµρσHν
ρσ
−e2φ
2gµν
(Dρξ
0Dρξ0 +Dρξ0Dρξ0
)+ e2φ
(Dµξ
0Dνξ0 +Dµξ0Dν ξ0
)− gµνV ,
0 =1√−g
∂µ
(√−g µΛΣF
Σµσ)− ϵµνρσ
2√−g
∂µ
(νΛΣF
Σνρ
)+ϵµνρσ
2√−g
∂µBνρ(eRΛ − ξ0eΛ0)− e2φQΛ000Dσξ000 , (δAΛ
µ)
0 =1√−g
∂µ
(√−g gtt gµν∂νt
)+
1
4∂t(µΛΣ)F
ΛµνF
Σµν − ϵµνρσ
8√−g
∂t(νΛΣ)FΛµνF
Σρσ − ∂tgtt ∂µt∂
µt− ∂tV , (δt)
0 =2√−g
∂µ
(√−g gµν∂νφ
)+
e4φ
6HµνρH
µνρ − e2φ(Dµξ
0Dµξ0 +Dµξ0Dµξ0
)− ∂φV , (δφ)
0 =1√−g
∂µ
(e−4φ√−gHµρσ
)+ϵµνρσ√−g
[Dµξ
000(CH)000000Dνξ000 + (eRΛ − ξ0eΛ0)F
Λµν
](δBµν)
+2mΛRµΛΣF
Σρσ − ϵµνρσ√−g
mΛRνΛΣF
Σµν ,
0 = − 2√−g
∂µ
(√−g e2φgµνDνξ
000)+∂V
∂ξ000− ϵµνρσ
2√−g
∂µBνρDσξ000(CH)000000 . (δξ000)
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 24 -
(Non)-SUSY AdS vacua
Vacuum I : N = 1 t∗ = −±1 + i
√15
2
[3
5 (e10)2
∣∣∣∣ eR0
m0R
∣∣∣∣]1/3 , ξ0∗ = −2
5
[2√3m0
R(eR0)2
5 e10
]1/3, exp(φ∗) =
4
3
[ √5 e10√
3m0R(eR0)2
]1/3V∗ = −5
√5
2
[5 (e10)
4
2√3 |m0
R(eR0)5|
]1/3≡ ΛI
c.c. < 0
Vacuum II : N = 0
t∗ =(± 1− i
√3) [ 3
5 (e10)2
∣∣∣∣eR0
m0R
∣∣∣∣]1/3 , ξ0∗ =
[9m0
R(eR0)2
25 e10
]1/3, exp(φ∗) =
2
3
[25 e10√
3m0R(eR0)2
]1/3V∗ = −80
27
[25 (e10)
4
√3 |m0
R(eR0)5|
]1/3≡ ΛII
c.c. < 0
Vacuum III : N = 0
t∗ = −i
[12√
5 (e10)2
∣∣∣∣ eR0
m0R
∣∣∣∣]1/3 , ξ0∗ = 0 , exp(φ∗) =√5
[5 e10
18m0R(eR0)2
]1/3V∗ = −25
√5
6
[5 (e10)
4
18 |m0R(eR0)5|
]1/3≡ ΛIII
c.c. < 0
Note: m0
R > 0 ; ξ0 is not fixed ; ΛIIc.c. < ΛI
c.c. < ΛIIIc.c. arXiv:0901.4251 jump App.top
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 25 -
Analysis on static AdS black holes
静的:
0 = ∂t(任意の場)
計量:
ds2 = −e2A(r)dt2 + e−2A(r)dr2 + e2C(r)r2(dθ2 + sin2 θdϕ2
)電荷・磁荷:
pΛ =1
4π
∫FΛ2 , qΛ =
1
4π
∫FΛ2 with FµνΛ =
√−g2
ϵµνρσ∂L
∂FΛµν
FΛθϕ ≡ fΛ(θ, ϕ) sin θ , FΛ
tr ≡ e−2C
r2gΛ(θ, ϕ)
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 26 -
Analysis on static AdS black holes
Equation of motion for AΛµ (FΛ
µν = 2∂[µAΛν] +mΛ
RBµν):
0 =ϵσµνρ
2√−g
∂µFΛνρ −ϵσµνρ
2√−g
∂µBνρ(eRΛ − eΛ0ξ0)− e2φeΛ0D
σξ0
Hrθϕ = 0 , Hθϕt = 0 ,
Hϕtr =(∂ϕBtr + ∂rBϕt
)=
1
mΣReRΣ
e−2C
r2∂ϕ
[eRΛg
Λ(θ, ϕ)],
0 = ∂r
[νΛΣf
Σ(θ, ϕ)− µΛΣ gΣ(θ, ϕ)
],
0 = ∂ϕ,θ
[(mΛ
RµΛΣ)fΣ(θ, ϕ) +
(mΛ
RνΛΣ − eRΣ
)gΣ(θ, ϕ)
].
→
0 = Dtξ0 = −eΛ0AΛt → eΛ0F
Λtr = 0 → eΛ0g
Λ(θ, ϕ) = 0 ,
0 = Drξ0 = ∂rξ0 − eΛ0AΛr ,
0 =e−2C
r2∂ϕ
[µΛΣf
Σ(θ, ϕ) +(νΛΣ − eRΛ − eΛ0ξ
0
mΓReRΓ
eRΣ
)gΣ(θ, ϕ)
]+ eΛ0 e
2φ sin θDθξ0 ,
0 =e−2C
r2∂θ
[µΛΣf
Σ(θ, ϕ) +(νΛΣ − eRΛ − eΛ0ξ
0
mΓReRΓ
eRΣ
)gΣ(θ, ϕ)
]− eΛ0
e2φ
sin θDϕξ0 .
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 27 -
Analysis on static AdS black holes
Equation of motion for Bµν:
0 =1√−g
∂µ
(e−4φ√−gHµρσ
)+ϵµνρσ√−g
[Dµξ
0Dν ξ0 −Dµξ0Dνξ0 + (eRΛ − eΛ0ξ
0)FΛµν
]+2mΛ
RµΛΣFΣρσ − ϵµνρσ√
−gmΛ
RνΛΣFΣµν
→
0 = − 1
mΣReRΣ
e−2C
r2∂θ
[e−4φ sin θ ∂θ
(eRΛg
Λ(θ, ϕ))]
− 1
mΣReRΣ
e−2C
r2 sin θ∂ϕ
[e−4φ∂ϕ
(eRΛg
Λ(θ, ϕ))]
+2[(mΛ
RνΛΣ − (eRΣ − eΣ0 ξ0))fΣ(θ, ϕ)− (mΛ
RµΛΣ)gΣ(θ, ϕ)
]sin θ
−2(Dθξ
0Dϕξ0 −Dθξ0Dϕξ0),
0 =sin θ
mΣReRΣ
∂θ
(eRΛg
Λ(θ, ϕ))∂r
(e−4φ−2C
r2
)+ 2Drξ
0Dϕξ0 ,
0 =1
mΣReRΣ
1
sin θ∂ϕ
(eRΛg
Λ(θ, ϕ))∂r
(e−4φ−2C
r2
)− 2Drξ
0Dθξ0 ,
0 =2e−4C
r4 sin θ
[(mΛ
RµΛΣ)fΣ(θ, ϕ) + (mΛ
RνΛΣ − eRΣ)gΣ(θ, ϕ)
]
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 28 -
Analysis on static AdS black holes
Equation of motion for gµν:
Rµν −1
2Rgµν =
1
4gµν µΛΣF
ΛρσF
Σρσ − µΛΣFΛµρF
Σνσ g
ρσ − gµν gtt∂ρt∂ρt+ 2gtt ∂µt∂νt
− gµν ∂ρφ∂ρφ+ 2∂µφ∂νφ− e−4φ
24gµνHρσλH
ρσλ +e−4φ
4HµρσHν
ρσ
− e2φ
2gµν
(Dρξ
0Dρξ0 +Dρξ0Dρξ0
)+ e2φ
(Dµξ
0Dνξ0 +Dµξ0Dν ξ0
)− gµνV
From now on we focus on
e2A(r) = 1− 2η
r+
Z2
r2+r2
ℓ2, e2C(r) = 1
Tetsuji KIMURA : On Static Charged BH in Type IIA on a Nearly-Kahler Coset - 29 -
Analysis on static AdS black holes
gttEtt − grrErr = 0 = −2e2A(r)[gtt|∂rt|2 + (∂rφ)
2 +e2φ
2(Drξ
0)2]
grrErr + gθθEθθ =6
ℓ2= − 2
r2 sin2 θ
[gtt|∂ϕt|2 + (∂ϕφ)
2 +e2φ
2(Dϕξ
0)2 +e2φ
2(Dϕξ0)
2]− 2V
grrErr − gθθEθθ = −2Z2
r4=
1
r4µΛΣ
[fΛ(θ, ϕ)fΣ(θ, ϕ) + gΛgΣ
]− 2
r2
[gtt|∂θt|2 + (∂θφ)
2 +e2φ
2(Dθξ
0)2 +e2φ
2(Dθξ0)
2]
gθθEθθ − gϕϕEϕϕ = 0 =1
r2
[gtt|∂θt|2 + (∂θφ)
2 +e2φ
2(Dθξ
0)2 +e2φ
2(Dθξ0)
2]
− 1
r2 sin2 θ
[gtt|∂ϕt|2 + (∂ϕφ)
2 +e2φ
2(Dϕξ
0)2 +e2φ
2(Dϕξ0)
2]
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0 = ∂rt = ∂θt = ∂ϕt , 0 = ∂rφ = ∂θφ = ∂ϕφ
0 = Drξ0 = Dθξ
0 = Dϕξ0 , 0 = Dθξ0 = Dϕξ0
0 = Htrθ = Htrϕ
and fΛ = pΛ , gΛ = −(µ−1)ΛΣ(qΣ − νΣΓ p
Γ)
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