om2 praktikum v4v5 vezbe 2011
DESCRIPTION
OM2 Praktikum V4V5 Vezbe 2011TRANSCRIPT
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 1
9.5.2011., 21.05.2011.
STATIČKI NEODREĐENI PROBLEMI PRI AKSIJALNOM NAPREZANJU
1. Čelični cilindar površine 2cm 6cA se nalazi u aluminijumskoj cevi površine 2cm 10aA ,
prema skici. Ovako konstruisan stub nosi silu P preko idealno krute ploče. Odrediti sile u čeličnom i
aluminijumskom delu stuba. Modul elastičnosti čelika je GPa 210cE , a modul elastičnosti
aluminijuma je GPa 70cE .
2n broj nepoznatih
1r broj uslova ravnoteže 0X
112 rnsn stepen statičke neodreĎenosti
geometrijski uslov ca lll
aa
aa
AE
lSl
,
cc
cc
AE
lSl
→
cc
c
aa
a
AE
lS
AE
lS
→ c
cc
aaa S
AE
AES
cca S.SS
5560
610210
101070
9
9
(1) 0X PSS ca
→ P.Sc 6430 i P.Sa 3570
(2) ca S.S 5560
2. Prizmatičan štap kvadratnog poprečnog preseka postavljen je izmeĎu dve nepomerljive granične
ploče na rastojanju l . Štap je izložen spoljašnjim uticajima: jednako podeljenom opterećenju u
pravcu ose štapa qx i zagrevanju za t ºC. Odrediti najveći napon smicanja u štapu i pomeranje
poprečnog preseka na sredini raspona u pravcu ose štapa.
cm 4a , GPa 210E , 10512 6 . 1/ºC, kN/m 100xq , 30t ºC.
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 2
9.5.2011., 21.05.2011.
11 CxqCdxqxN xx
A
Cxqx x
x1
tAE
Cxqx x
x
1
xdx
dux → 2Cxxu x 21
2 1
2
1CxtC
AE
xq
AExu x
granični uslovi
00 u → 02 C
0lu → tAElq
C x
2
1
xlxAE
qxu x
2
AE
lqlu x
82
2
tAExl
qxN x
2
tAEl
qN x 2
0 tAEl
qlN x 2
kN 24N 1024N 1012615030105121016102102
3101000 33649
23
.AN
kN 276 BlN
0X → 0310027624
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 3
9.5.2011., 21.05.2011.
MPa 5172Pa 1051721016
10276 6
4
3
..max,x
MPa 2586
2
1.xmax
mm 3350m 10033501016102108
310100
2
2
49
23
..l
u
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 4
9.5.2011., 21.05.2011.
STATIČKI NEODREĐENI PROBLEMI PRI TORZIJI GREDE
Za gredu obostrano uklještenu, koja je opterećena jednako podeljenim momentima torzije prema
skici a) nacrtati dijagram momenata torzije b) odrediti max i max .
Geometrijske karakteristike:
Presek 1-1
43331 cm 15364182436
3
1
3
1 iit tbI
32221 cm 3844182436
3
1
3
1 tbW it
Presek 2-2
2b
c → 2290. 2460.
433
2 cm 7328040202290 .cbIt 3222 cm 393640202460 .cbWt
0tM → 050 l.mMM ttBtA (1)
0 ttA mA
MAA (2) geometrijski uslov
21
22
t
tA
t
tAMA GI
lM
GI
lM
tA
dxl
xmGI
l
l.
tt
mC
mA
tt
502 2
1
8482222
2
2
2222
250
2
2
l
GI
mllll
GI
mxlx
GI
m
t
t
t
t
l
l.t
t
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 5
9.5.2011., 21.05.2011.
8
222
221
l
GI
m
GI
lM
GI
lM
t
t
t
tA
t
tA
A
1
2
21
214
11
1
4
t
t
t
tt
t
ttA
I
I
lm
II
I
lmM
kNm 851
1536
7312014
660.M tA
kNm 151788516506050 ...Ml.mM tAttB
Naponi :
Presek 1-1
MPa 824Pa 1082410384
10851 6
6
3
1
11 ...
W
M
t
tAmax
Presek 2-2
MPa 1745Pa 101745103936
1015178 6
6
3
2
22 ...
W
M
t
tBmax
MPa 174522 .Bmaxmaxmaxmax
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 6
9.5.2011., 21.05.2011.
ODREĐIVANJE POMERANJA PRIMENOM DRUGOG CASTIGLIANO-VOG STAVA
(MOHR-OV POSTUPAK)
dsIE
MM
IE
MM
IG
MM
AG
TT
AG
TT
AE
NN
s z
zz
y
yy
t
tt
z
zz
y
yyi
___obično se___
zanemaruje _
dsIE
MMds
IE
MMds
IG
MMds
AG
TTds
AG
TTds
AE
NN
s z
zz
s y
yy
s t
tt
s z
zz
s y
yy
s
i
za izračunavanje integrala u gornjim izrazima koristi se najčešće Vereščaginov postupak.
za rešetkaste nosače
i
n
i ii
ii
s
i lAE
NNds
AE
NN
1
z,y,t,z,y MMMTT,N - sile u presecima usled zadatog opterećenja
z,y,t,z,y MMMTT,N - sile u presecima usled delovanja generalisane sile 1P
Generalisane sile koje odgovaraju pojedinim traženim pomeranjima:
komponenta pomeranja u odreĎenom pravcu
obrtanje preseka
promena odstojanja preseka
promena ugla izmeĎu preseka
okretanje štapa
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 7
9.5.2011., 21.05.2011.
ZADACI
1. Naći ugao obrtanja , horizontalno i vertikalno pomeranje tačke (preseka) C. 2MNm 10EI , kN 100P , m 3a
dsIE
MMds
IE
MM
ss z
zzi
dsMMIE
s
ii
Dijagrami momenata od spoljašnjeg opterećenja i od generalisanih sila koje odgovaraju pojedinim
traženim pomeranjima
M 1M 2M 3M
211
2
311
2aPaPaaP
adsMMIEIE
s
c
rad 135010
31010
2
3
2
3
7
2322
.IE
aPc
322
2
1
2aPaaP
adsMMuIEIE
s
c
cm 13.5m 135010
31010
2
1
2
1
7
3323
.
IE
aPuc
333
2
4
3aPaaPaaaP
adsMMvIEIE
s
c
cm 63m 36010
31010
3
4
3
4
7
3323
.
IE
aPuc
cm 438036513 2222 ...vus
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 8
9.5.2011., 21.05.2011.
2. Odrediti obrtanje i vertikalno pomeranje preseka C.
1281
831
831
882
1 2
1lPlPllPllPl
dsMMIE
s
c
IE
lPc
128
2
15368838838883
1 3
2lPllPlllPlllPl
dsMMvIE
s
c
IE
lPvc
1536
3
3. Odrediti obrtanje preseka C oko ose i vertikalno pomeranje (u pravcu ose ) preseka D.
52.IG
IE
t
dsIE
MMds
IG
MM
ss t
tti
dsMMdsMMIG
IEIE
ss
ttt
i
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 9
9.5.2011., 21.05.2011.
255125212
aP.aPa.aPa
dsMMIG
IEdsMMIE
s
ttts
c
IE
aP.c
255
3675225233
aP.aaP.aaPa
aaPa
dsMMIG
IEdsMMwIE
s
twtts
wD
IE
aP.wD
3675
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 10
9.5.2011., 21.05.2011.
STATIČKI NEODREĐENI PROBLEMI PRI SAVIJANJU GREDE SILAMA
Izbor osnovnog sistema:
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 11
9.5.2011., 21.05.2011.
ZADACI:
Za dati nosač nacrtati dijagram momenata savijanja.Dato je 2m 51.A
I y
1n
Za statičku nepoznatu usvajamo silu S u prostom štapu BD
Geometrijski uslov u ovom slučaju glasi da je razmicanje tačaka K-K' presečenog štapa BD jednako nuli
0)S()P(
KK (a)
PP,)PP(,dsMMEI
s
)P()P(y 44642
2
326242
6
4
20,94SS151,542423
34242
3
4
S,,S,,
dsNNA
IdsMMEI
s s
)S(y)S()S(y
P,SS,P 120942044
Vrednosti momenata u karakterističnim tačkama nosača odreĎujemo superpozicijom:
)S(
i)P(
ii MMM
PMM,P,),(,PM,PM,M EDCBA 69601242620
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 12
9.5.2011., 21.05.2011.
ZADACI
1.
- Nacrtati dijagram momenata savijanja usled zadatog opterećenja
- Odrediti graničnu vrednost parametra opterećenja P* direktnom
metodom (metodom inkrementalne plastifikacije odnosno metodom
korak po korak (u funkciji od M*).
- Proveriti dobijenu vrednost kinematičkim postupkom.
PB
XBB vvv
PM
XM
M
X.XXvEI xB 3310144544
3
4
33997033254642
542222426
6
222
2
2.PP.PPPPPPvEI P
B
98033101
33991 .
.
.X
M *max MP.M 1922 → *M.P 342401
PM
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 13
9.5.2011., 21.05.2011.
** MPM.. 534240082
*M.P 05760
**** M.M.M.P 400576034240
Kinematička metoda :
Plan pomeranja:
B** uPM 2
5 Bu !
*** M.MP 40
5
2
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 14
9.5.2011., 21.05.2011.
2.
- Nacrtati dijagram momenata savijanja usled zadatog
opterećenja
- Odrediti graničnu vrednost parametra opterećenja P*
direktnom metodom (metodom inkrementalne plastifikacije
odnosno metodom korak po korak (u funkciji od M*).
- Proveriti dobijenu vrednost kinematičkim postupkom.
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 15
9.5.2011., 21.05.2011.
3. Odrediti granićnu vrednost sile P* . Zadato *M , a .
PB
XBB vvv
PM
SM
M
Xaaa
vEI xB 32
3
82
3
2
3
6
522
6aPaaPa
avEI P
B
P
a
aP
X
16
5
3
86
5
3
3
M
Formiranje prvog plastičnog zgloba
*
max MM
*MaP 116
6
a
M
a
MP
**
3
8
6
161 1PM
Formiranje drugog plastičnog zgloba
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 16
9.5.2011., 21.05.2011.
PM *max MPMPMM 1
** MaP
M
26
5 →
a
MP
*
3
1
a
M
a
MPPP
***
3
3
1
3
81
Dijagram momenata u pri lomu
*PM
Kinematička metoda
Plan pomeranja :
vPM ** 3
av
aPM **3
a
MP
** 3
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 17
9.5.2011., 21.05.2011.
4. Odrediti granično opterećenje P* zadatog nosača.
0)S()P(
KK
PM
SM ,
SN
M , N
291210333
3S.S,SdsNN
A
IdsMMEI
s s
)S(yyy
)S(y
)S(
PPPdsMMEIs
y
)P(
y
)P(
y 182523
6
3
P..
PS
9571
29
18
M
Prva plastifikacija (formiranje prvog plastičnog zgloba)
ili *max NN 609571 1 'P. → kN 66301 .P'
ili *max MM 1502 1 ''P → kN 751 ''P
kN 6630111 .)P,Pmin(P
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 18
9.5.2011., 21.05.2011.
PM
Druga plastifikacija (formiranje drugog plastičnog zgloba)
*max MPMPMM 1
15022 1 'PP → 150266302 'P. → kN 3444.P'
15087105 1 P.P" → 150663087105 ..P" → kN 3435.P"
kN 6630 .)P,Pmin(P "'
kN 66343566301 ..PPP*
Kinematička metoda
Plan pomeranja:
*** MNP 35
kN661503605
1*P
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 19
9.5.2011., 21.05.2011.
5. Za zadati nosač konstantnog poprečnog preseka odrediti:
a) Intenzitet opterećenja 1qq pri kome dolazi do formiranja prvog plastičnog zgloba u nosaču.
b) Intenzitet graničnog opterećenja *qq pri kome dolazi do loma nosača.
c) Nacrtati dijagram momenata savijanja koji odgovara graničnom stanju.
Zadata je vrednost momenta loma kNm 100*M .
a)
Nosač je jedanput statički neodreĎen.
Uslovna jednaćina :
q.M 23221
q.q.q
A
05425
2322
2
5
0 oxqAT → m 05420542
.q
q.xo
→ q.
q.xqxAM o
oqmax
1092
2
0542
2
22
*max Mq.MM 23221 → kN/m 8044
2322
1001 .
.q
b) kinematička metoda
Nije poznat tačan položaj drugog plastičnog zgloba (u polju) z
Plan pomeranja
zzv 51
z
z
51
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 20
9.5.2011., 21.05.2011.
zz
qzz
qM*
52
5
22 11
zz
zzq
zq
z
zM *
5
52
5
252
2
22 52
1
5
25zzzq
z
zzM *
zqz
zM *
2
5
5
5
Za stvaranje mehanizma loma potrebno je minimalno q
25
5
5
2
5
5
5
2
zz
zMM
zz
zzq **
0dz
dq
2v
uvvu
v
u
05255 2 zzzz
025102 zz
2552
1001001021
,z
0712.z
*** M.M
..
.q
46630
071250712
07125
5
2
kN/m 634610046630 ..q*
*qM
mehanizam loma
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 21
9.5.2011., 21.05.2011.
6. a) Nacrtati sve moguće mehanizme loma.
b) Kinematičkom metodom odrediti graničnu vrednost parametra opterećenja P* (u funkciji od
M*).
c) Nacrtati dijagram momenata (u funkciji od M*) za *P.P 50 i *P.P 950 .
d) Za zadati poprečni presek odrediti M* .
a) b)
c) Rešavanje dva puta statički neodeĎenog nosača
OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 22
9.5.2011., 21.05.2011.
Rešavanjem dva puta statički neodreĎenog nosača dobija se da je najveći moment (dijagram A)
ispod sile 2P (mesto prvog plastičnog zgloba) i da je P1=0.2275 M* (ili 0.91 P*).
Rešavanjem, u sledećem koraku, jedanput neodreĎenog nosača dobija se (dijagram B) da će se
drugi plastični zglob formirati iznad srednjeg oslonca pri ΔP=0.0225 M*.
P=P1+ ΔP= 0.25 M*, kako je dobijeno i kinematičkom metodom.