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UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICASDEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA

COMPATIBILIDAD DE MTODOS DE CLCULO DE FLUJOSAC Y DC EN SISTEMAS DE POTENCIA

MEMORIA PARA OPTAR AL TTULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA

SEBASTIN JESS OLIVA HENRQUEZ

PROFESOR GUA:LUIS VARGAS DAZ

MIEMBROS DE LA COMISIN:OSCAR MOYA ARAVENA

GUILLERMO PREZ DEL RO

SANTIAGO DE CHILEENERO 2008

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Universidad de Chile

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RESUMEN DE LA MEMORIAPARA OPTAR AL TTULO DEINGENIERO CIVIL ELECTRICISTAPOR: SEBASTIN OLIVA H.FECHA: 10/01/2008PROF. GUA: Sr. LUIS VARGAS D.

COMPATIBILIDAD DE MTODOS DE CLCULO DE FLUJOS AC Y DC ENSISTEMAS DE POTENCIA

En los estudios de sistemas elctricos existen muchas aplicaciones en las que esnecesario utilizar flujos DC, debido fundamentalmente a su eficiencia en los tiempos decmputo. Sin embargo, en algunos casos sus resultados pueden ser poco confiables lo queconduce a anlisis y conclusiones errneas.

Esta memoria busca mejorar los resultados del flujo DC sin perjudicar su velocidad declculo, para lo cual se evalan distintas alternativas que intentan compatibilizar los mtodos

de flujo AC y DC, en cuanto a la confiabilidad de la solucin entregada y la eficiencia de lostiempos de proceso.

De los estudios realizados sobre el flujo DC se encuentra que incorporar lainformacin de la resistencia de las lneas no mejora los resultados, ni en casos de sistemascon altas razones R/X. Por otra parte, la modelacin de las prdidas en el flujo DC s mejora

bastante sus resultados, aunque el clculo toma cada vez ms tiempo al aumentar el tamaodel sistema. Sin embargo la ganancia en la precisin compensa este mayor tiempo.

As como el flujo DC es un simple modelo lineal para la potencia activa, tambin sedeseara tener lo mismo para la potencia reactiva, la cual est determinada fuertemente por lamagnitud de los voltajes de las barras. Se verific que utilizar ecuaciones aproximadas paraestimar la magnitud del voltaje de las barras, como lo son la conocida estimacin delgradiente de voltaje o las ecuaciones de inyeccin de reactivos de las ramas, no son una buenaalternativa dada la volatilidad de las variables involucradas.

Se concluy que la mejor alternativa de clculo de flujos de potencia es un mtododesacoplado robusto modificado, ya que ofrece una excelente estimacin de las potencias paratan slo pocas iteraciones, hecho que beneficia tanto a la eficiencia como a la precisin delclculo.

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Agradecimientos

Quiero agradecer a mi mam abuela Laura el apoyo incondicional brindado durante

el desarrollo de mi carrera; y dejar en claro que todo lo que he ganado en realidad lo ha

ganado ella. Adems quiero agradecer los consejos de mi abuelo Csar que en todo momento

me acompaan.

Agradezco el apoyo brindado por el profesor Luis Vargas durante la realizacin de

esta memoria quien siempre me mantuvo optimista ante los nuevos desafos. Tambin

agradezco al Profesor Marcelo Corts por su gran voluntad en la colaboracin de esta

memoria.

Adems agradezco a CHILECTRA el apoyo econmico y los recursos facilitados para

la realizacin de la memoria, en especial al Gerente de Regulacin de la compaa,

Guillermo Prez del Ro por la constante orientacin que me brind.

Finalmente quiero agradecer a mi polola Rosita quin siempre me apoyo y aconsej

en los momentos difciles.

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NDICE

1 INTRODUCCIN ................................................................................................................. 11.1 ANTECEDENTES Y CONTEXTO DEL ESTUDIO .................................................... 21.2 MOTIVACIN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................ 3

1.3 OBJETIVOS ................................................................................................................... 42 MTODOS DE FLUJO DE POTENCIA ............................................................................. 52.1 GENERALIDADES ....................................................................................................... 62.2 MTODOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES Y

RECTANGULARES ...................................................................................................... 72.2.1 Flujos de potencia en coordenadas polares.............................................................. 72.2.1.1 Flujo AC .................................................................................................................. 72.2.1.2 Mtodo desacoplado rpido XB .............................................................................. 92.2.1.3 Mtodo desacoplado rpido BX ............................................................................ 102.2.1.4 Mtodo desacoplado rpido para sistemas con altas razones R/X (FDLFR/X) ...... 102.2.1.5 Mtodo desacoplado rpido robusto (RFDPFM) .................................................. 112.2.1.6 Flujo DC ................................................................................................................ 142.2.2 Flujos de potencia en coordenadas rectangulares .................................................. 162.2.2.1 Mtodo de flujo de potencia de segundo orden (SOLF) ....................................... 172.2.2.2 Mtodo desacoplado .............................................................................................. 192.2.2.3 Mtodos para sistemas mal condicionados............................................................ 19

3 PRESICIN DE UN FLUJO DC ........................................................................................ 203.1 INTRODUCCIN ........................................................................................................ 213.2 INFLUENCIA DE ji .......................................................................................... 21

3.3 INFLUENCIA DE ijij XR

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6.2.1.1 Usando la Frmula del gradiente del voltaje ........................................................ 616.2.1.2 Usando las ecuaciones de inyeccin de reactivos ................................................ 62

7 CONCLUSIONES ............................................................................................................... 638 BIBLIOGRAFA ................................................................................................................. 669 ANEXOS ............................................................................................................................. 68A. MTODO DE NEWTON PARA LA POTENCIA REACTIVA ................................ 69B. EQUIVALENCIA ENTRE UN FLUJO DC Y EL CLCULO USANDO

FACTORES GGDF ...................................................................................................... 69C. DETALLE DE LOS RESULTADOS DE CONFIABILIDAD DE LOS MTODOS 73C.1 Casobase ................................................................................................................... 73C.2 Aumentando la resistencia ........................................................................................ 76C.3 Aumentando la demanda .......................................................................................... 80

D. DETALLE DE LAS SIMULACIONES DE FLUJO AC PARALOS CASOS BASE ..................................................................................................... 84

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NDICE DE TABLAS

Tabla 6.1: Caractersticas topolgicas de los sistemas en el caso base. ................................... 45Tabla 6.2: Caractersticas operacionales de los sistemas en el caso base................................. 46Tabla 6.3: Estimaciones de voltajes usando la frmula del gradiente de voltaje. .................... 61Tabla 6.4: Estimaciones de voltaje usando las ecuaciones de inyeccin de reactivos. ............ 62Tabla 9.1: Errores mximos en MW y su error porcentual correspondiente (MW/%). ........... 73Tabla 9.2: Errores mximos en % y su error absoluto correspondiente (%/MW)................... 73Tabla 9.3: Errores mximos en MVAR y su error porcentual correspondiente (MVAR/%). .. 74Tabla 9.4: Errores mximos en % y su error absoluto correspondiente (%/MVAR). .............. 74Tabla 9.5: Errores promedio absolutos en MW ........................................................................ 74Tabla 9.6: Errores promedio porcentuales de potencia activa .................................................. 74Tabla 9.7: Errores promedio absolutos en MVAR ................................................................... 75Tabla 9.8: Errores promedio porcentuales de potencia reactiva ............................................... 75Tabla 9.9: Errores mximos en MW, y su correspondiente porcentual (MW/%), ................... 76

al aumentar las resistencias. ................................................................................... 76Tabla 9.10: Errores mximos en %, y su correspondiente en MW (%/MW), .......................... 76

al aumentar las resistencias................................................................................... 76Tabla 9.11: Errores mximos en MVAR, y su correspondiente porcentual (MVAR/%), ........ 77

al aumentar las resistencias................................................................................... 77Tabla 9.12: Errores mximos en %, y su correspondiente en MVAR (%/MVAR), ................ 77

al aumentar las resistencias................................................................................... 77Tabla 9.13: Errores promedio en MW al aumentar la resistencia. ........................................... 78Tabla 9.14: Errores promedio porcentuales de potencia activa ................................................ 78

al aumentar la resistencia. ..................................................................................... 78Tabla 9.15: Errores promedio en MVAR al aumentar la resistencia. ....................................... 79Tabla 9.16: Errores promedio porcentuales de potencia reactiva al ......................................... 79

aumentar la resistencia.......................................................................................... 79Tabla 9.17: Errores mximos en MW, y su correspondiente porcentual (MW/%), ................. 80

al aumentar la demanda. ....................................................................................... 80Tabla 9.18: Errores mximos en %, y su correspondiente en MW (%/MW), .......................... 80al aumentar la demanda. ....................................................................................... 80

Tabla 9.19: Errores mximos en MVAR, y su correspondiente porcentual (MVAR/%), ....... 81al aumentar la demanda. ....................................................................................... 81

Tabla 9.20: Errores mximos en %, y su correspondiente en MVAR (%/MVAR), ................ 81al aumentar la demanda. ....................................................................................... 81

Tabla 9.21: Errores promedio en MW al aumentar la demanda. .............................................. 82Tabla 9.22: Errores promedio porcentuales de potencia activa ................................................ 82

al aumentar la demanda. ....................................................................................... 82Tabla 9.23: Errores promedio en MVAR al aumentar la demanda. ......................................... 83Tabla 9.24: Errores promedio porcentuales de potencia reactiva ............................................. 83

al aumentar la demanda. ....................................................................................... 83

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NDICE DE FIGURAS

Figura 2.1: ijijijij tGBtBG ++ / versus ijij xr / . ................................................................... 13Figura 2.2: Equivalente de una lnea de transporte de energa elctrica. .............................. 14Figura 2.3: Circuito equivalente de una red lineal.................................................................... 15Figura 3.1: Diferencias angulares entre barras directamente conectadas. ................................ 22Figura 3.2: Consecuencias de las aproximaciones de seno y coseno. ...................................... 22Figura 3.3: Influencia de la razn X/R en el error de un flujo DC. .......................................... 23Figura 3.4: Influencia de asumir un perfil plano de voltajes para distintas .............................. 24

desviaciones estndar de los voltajes..................................................................... 24Figura 4.1: Modelo de una rama. ........................................................................................... 27Figura 4.2: Modelo de rama de un flujo DC con prdidas. ...................................................... 28Figura 4.3: Modelo de rama considerado en la estimacin del gradiente de voltaje. ............... 30Figura 4.4: Diagrama fasorial del modelo. ............................................................................... 30Figura 4.5: Corrientes en el modelo de una lnea. ................................................................. 33Figura 5.1: Diagrama de flujo del flujo DC con modelamiento ............................................... 39

de las prdidas. ...................................................................................................... 39Figura 5.2: Diagrama de flujo de los mtodos desacoplados XB y BX. .................................. 40Figura 5.3: Diagrama de flujo del mtodo desacoplado rpido ................................................ 41

robusto RFDPFM. ................................................................................................. 41Figura 6.1: Tiempos de clculo en segundos para 5000 flujos de potencia. ............................ 47Figura 6.2: Tiempos de clculo de los mtodos en relacin a un flujo AC. ............................. 47Figura 6.3: Errores mximos absolutos de potencia activa con respecto ................................. 49

a un flujo AC ......................................................................................................... 49Figura 6.4: Errores promedio absolutos de potencia activa...................................................... 50

con respecto a un flujo AC .................................................................................... 50Figura 6.5: Errores promedio porcentuales de potencia activa con respecto ........................... 51

a un flujo AC ......................................................................................................... 51Figura 6.6: Errores mximos y promedios absolutos de potencia reactiva con respecto ........ 52

a un flujo AC ......................................................................................................... 52Figura 6.7: Errores promedio porcentuales de potencia activa ................................................ 53

con respecto a un flujo AC .................................................................................... 53Figura 6.8: Errores mximos absolutos de potencia activa con respecto ................................. 54

a un flujo AC al aumentar la resistencia ................................................................ 54Figura 6.9: Errores promedio absolutos de potencia activa con respecto a un flujo AC al. 54

aumentar la resistencia........................................................................................... 55Figura 6.10: Errores promedio porcentuales de potencia activa con respecto ......................... 55

a un flujo AC al aumentar la resistencia .............................................................. 55Figura 6.11: Errores mximos y promedio absolutos de potencia reactiva con respecto ......... 56

a un flujo AC al aumentar la resistencia .............................................................. 56Figura 6.12: Errores promedio porcentuales de potencia activa con respecto ......................... 56

a un flujo AC al aumentar la resistencia .............................................................. 56

Figura 6.13: Errores mximos absolutos de potencia activa con respecto ............................... 57a un flujo AC al aumentar la demanda ................................................................ 57

Figura 6.14: Errores promedio absolutos de potencia activa con respecto .............................. 58a un flujo AC al aumentar la demanda ................................................................ 58

Figura 6.15: Errores promedio porcentuales de potencia activa con respecto ......................... 58a un flujo AC al aumentar la demanda ................................................................ 58

Figura 6.16: Errores mximos y promedio absolutos de potencia reactiva con respecto ......... 59a un flujo AC al aumentar la demanda ................................................................ 59

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Figura 6.17: Errores promedio porcentuales de potencia reactiva con respecto ...................... 59a un flujo AC al aumentar la demanda ................................................................ 59

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SIMBOLOGA

AC : Newton Raphson, algoritmo de Newton para resolver flujos de potencia encoordenadas polares.

DC : Mtodo de flujo de potencia lineal (direct current).XB : Mtodo desacoplado rpido estndar.

BX : Mtodo desacoplado rpido general.FDLFR/X :Mtodo desacoplado rpido para sistemas con altas razones R/X.

RFDPFM : Mtodo desacoplado rpido robusto.VNM : Mtodo de normalizacin de los voltajes del sistema.SOLF : Mtodo de flujo de potencia de segundo orden desarrollado en coordenada

rectangulares.DLFR : Mtodo desacoplado en coordenadas rectangulares.DCPL : Flujo DC con modelamiento de las prdidas.DCBX : Flujo DC que incorpora la informacin de las resistencias.2XB : Mtodo consistente en slo dos iteraciones de mtodo XB.2BX : Mtodo consistente en slo dos iteraciones de mtodo BX.2 RFDPFM : Mtodo consistente en slo dos iteraciones del mtodo RFDPFMS& : Fasor de potencia aparenteV& : Fasor de voltaje de una barra.I& : Fasor de corriente.

V : Fasor de voltaje expresado en coordenadas polares.

BUSY : Matriz de admitancia nodal.

G : Parte real de la matriz de admitancia nodal.B : Parte imaginaria de la matriz de admitancia nodal.

'B : Matriz asociada a las iteraciones P de un flujo desacoplado.''B : Matriz asociada a las iteraciones Q V de un flujo desacoplado.

J : Jacobiano asociado al flujo AC. Matriz de derivadas parciales de las

ecuaciones de flujo de potencia.PJ : Submatriz del Jacobiano. Derivadas de P con respecto a los ngulos.

PVJ : Submatriz del Jacobiano. Derivadas de P con respecto a la magnitud de los

voltajes.

QJ : Submatriz del Jacobiano. Derivadas de Q con respecto a los ngulos.

QVJ : Submatriz del Jacobiano. Derivadas de Q con respecto a la magnitud de los

voltajes.LU : Algoritmo para solucionar sistemas del tipo bAx= , obteniendo una

factorizacin LUA= V : barra de referencia

PV : barra de generacin.PQ : barra de carga.WSCC9 : Sistema del oeste norteamericano.

14IEEE : Sistema estndar IEEE de 14 barras30IEEE : Sistema estndar IEEE de 30 barras57IEEE : Sistema estndar IEEE de 57 barras118IEEE : Sistema estndar IEEE de 118 barras300IEEE : Sistema estndar IEEE de 300 barras

45SING : Modelo equivalente de 45 barras del sistema interconectado del norte grande

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chileno.92SIC : Modelo equivalente de 92 barras del sistema interconectado central chileno.

CHILECTRA : Modelo de 299 barras del anillo de subtransmisin de la compaaCHILECTRA.

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1 INTRODUCCIN

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1.1 ANTECEDENTES Y CONTEXTO DEL ESTUDIO

El clculo de flujos de potencia es una herramienta indispensable en el estudio de lossistemas elctricos de potencia. Se le pueden encontrar una gran cantidad de aplicaciones,tanto en la planificacin de la expansin futura del sistema como en la determinacin de lasmejores condiciones de operacin, entre otras. Es por ello que cualquier mejora a los mtodosde clculo de flujos de potencia tanto en ahorro de memoria computacional, rapidez delclculo o mayor confiabilidad de la solucin entregada, es de gran valor.

Los primeros mtodos de flujos de potencia fueron desarrollados durante los aoscincuenta, mtodos ahora conocidos como Gauss Seidel y Ward Hale. A pesar de que sonmuy simples y confiables, ambos presentan problemas en los tiempos de computacin cuandoson aplicados a sistemas muy grandes. El mtodo de Newton fue un hito que, bsicamente,comprende en encontrar las soluciones de un gran nmero de ecuaciones lineales de unproceso iterativo. Si stas son resueltas, teniendo en cuenta la dispersin de la matrizJacobiana, los tiempos de cmputo aumentan slo linealmente con el tamao del sistema. Esas como la fuerte convergencia cuadrtica y el estallido de la dispersin han hecho de este

mtodo el ms general y ms utilizado.

Con el avance en el estudio de los sistemas de potencia, nuevas aplicaciones ibannecesitando de cientos o miles de simulaciones de flujos de potencia como por ejemplo en losestudios de la seguridad del sistema o en la planificacin de la expansin de las redes.Sumando a esto el problema de lentitud del clculo para sistemas de grandes dimensiones sedio una gran necesidad por obtener mejoras a los mtodos de clculo.

En 1974 B. Stott y O. Alsa desarrollaron el mtodo desacoplado rpido en el cual serealizan varios supuestos vlidos para la mayora de los sistemas elctricos, lo que permite

obtener una solucin en mucho menor tiempo y con menor requerimiento de memoria. Sinembargo, existen sistemas en los cuales no se cumplen del todo las hiptesis supuestas parallegar a la formulacin desacoplada, con lo que el sistema se torna mal condicionado y losmtodos tardan mucho en converger a la solucin o incluso divergen.

Es as como desde ese momento hasta nuestros das se han desarrollado mltiplesmejoras a los mtodos desacoplados los que intentar lidiar con las distintas caractersticas queproducen el mal condicionamiento como los son los sistemas sobrecargados, los sistemas contopologa longitudinal o de operacin cerca de los lmites de estabilidad operacional.

La formulacin lineal de las ecuaciones de flujo de potencia conocida como flujo DC(direct current) fue un hito dada su tremenda eficiencia en los tiempos de clculo ya que slose limitaba a resolver un sistema lineal, por lo que rpidamente adquiri una gran cantidad deaplicaciones sobre todo en los casos en que se necesitaban simular miles de flujos de potencia.Sin embargo existen sistemas donde las hiptesis asumidas por un flujo DC no se cumplenpor lo que sus resultados son poco confiables.

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Es as como en un extremo se tiene el mtodo de Newton Raphson completo, tambinconocido como flujo AC, como el ms confiable pero el ms ineficiente en cuanto a tiempo deproceso, y en otro extremo se tiene el flujo DC con las caractersticas opuestas. De ah, y dadala gran cantidad de aplicaciones que requieren de confiabilidad en la solucin y eficiencia enlos tiempos de proceso, la necesidad de encontrar una compatibilidad entre los dos mtodospara as poder integrar estas dos grandes habilidades.

1.2 MOTIVACIN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Existen mltiples estudios en donde se requiere simular miles de flujos de potenciacomo ocurre en la determinacin del predespacho de unidades de generacin, en laplanificacin de la expansin futura de redes de transporte y parques generadores, en elanlisis de confiabilidad de los sistemas elctricos, etc.

La cantidad de flujos de potencia a simular para resolver este tipo de problemas puedehacer que los tiempos de proceso computacional sean inaceptables. Por ejemplo, en la

determinacin del predespacho ptimo de las unidades generadoras de un sistema elctrico, sedeberan simular todas las combinaciones posibles de generacin de las unidades. As, siNesel nmero de unidades generadoras disponibles del sistema, la cantidad de flujos de potencia asimular para una determinada condicin de demanda seran 2N-1.SiN fueran treinta unidadesla cantidad de flujos a simular seran aproximadamente 109. Por supuesto las tcnicas deoptimizacin usadas en la actualidad siempre viajan por un subconjunto de soluciones quegaranticen al menos un ptimo local haciendo que el nmero de simulaciones disminuya. Sinembargo, de todas maneras el nmero de simulaciones resultantes an resulta grande.A loanterior se le conoce como la maldicin de la dimensionalidad. Otras aplicaciones querequieren de muchas simulaciones, es el anlisis de confiabilidad de los sistemas de potenciaya sea porque se emplear el mtodo de Montecarlo o se simularn contingencias de modoexhaustivo. La optimizacin de la expansin de redes de transporte es tambin un anlisis querequiere del proceso de varios miles de flujos de carga. Por esta razn es de suma importanciadisponer de mtodos de flujos de potencia que sean eficientes en cuanto a los tiempos deproceso.

Para estas aplicaciones se utiliza el modelo lineal de flujos de potencia conocido comoflujo DC (direct current) el cual erradica la no linealidad de las ecuaciones de flujo depotencia a travs de una serie de supuestos vlidos para la mayora de los sistemas elctricos.En definitiva un flujo DC se limita a resolver un simple sistema lineal. Ello transforma a estemodelo en una herramienta ideal para ser empleada en aquellos casos que se requiere procesarmuchos flujos de carga en tiempos reducidos. Por cierto, esta velocidad tiene como

contrapartida un sacrificio en la precisin de los resultados, sacrificio que es aceptable en lamedida que la prdida de precisin est dentro de rangos razonables y que no incida en lasconclusiones del anlisis. En este sentido, la gran desventaja del flujo DC se encuentra en labaja confiabilidad de sus resultados en algunos sistemas mal condicionados donde se puedencometer grandes errores al estimar el flujo de potencia.

Por esta razn en esta memoria se buscarn y evaluarn mtodos que entreguenresultados ms confiables que un flujo DC y en tiempos de proceso razonables.

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1.3 OBJETIVOS

El objetivo general del tema de memoria es buscar y evaluar metodologas de clculode flujos de potencia que intenten ser ms confiables que un flujo DC y cuya eficiencia en lostiempos de proceso sea mucho mayor a la de un flujo AC. De este modo se buscar lacompatibilidad entre los flujos AC y DC.

Para lo anterior la estrategia con la que se enfrentar el problema ser por una partedesarrollar propuestas de clculo y por otra realizar modificaciones a los principales mtodosdesarrollados con el objeto de mejorarlos.

La evaluacin de estos mtodos a estudiar consistir en medir la confiabilidad de lasolucin y su eficiencia en cuanto a tiempo de proceso. Estas variables se compararn con lasde un flujo AC, cuyo resultado se considerar el resultado exacto.

Los objetivos especficos de esta memoria son:

1. Evaluar mtodos que intenten mejorar los resultados de un flujo DC manteniendo lalinealidad del modelo y la eficiencia en los tiempos de proceso.

2. Proponer y evaluar metodologas para la estimacin de los voltajes de las barras delsistema y el flujo de potencia reactiva por las ramas, de modo tal que el clculo seams eficiente en cuanto a tiempo de proceso que un flujo AC.

3. Evaluar los principales mtodos desacoplados desarrollados y compararlos con lasmetodologas de los puntos 1 y 2 en cuanto a tiempo de proceso y confiabilidad de lasolucin para un nmero fijo de iteraciones.

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2 MTODOS DE FLUJO DE POTENCIA

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2.1 GENERALIDADES

Los mtodos de flujo de potencia han sido un tema de investigacin por dcadas.Muchas tcnicas han sido desarrolladas; el mtodo de Gauss Seidel fue uno de los primerosen ser implementado en un computador digital, sin embargo las investigaciones indican que elmtodo de Newton es numricamente ms eficiente que el mtodo de Gauss Seidel, por locual es el mtodo ms utilizado hoy en da [2]. Muchas variantes al mtodo de Newton seencuentran en la actualidad, logrando mejorar la convergencia, adquiriendo as mayor rapidezen el clculo.

Sin embargo, en sistemas que operan en torno a sus lmites de estabilidad y/o sistemascon altas razones R/X en sus lneas de transmisin, los mtodos convencionales presentandificultades para converger. Esto ltimo es caracterstico de sistemas longitudinales como loes el chileno. Otro problema que causa una lenta convergencia es la sobrecarga de un sistemadado que se producen bajas tensiones [3].

En trminos generales cualquier mtodo de solucin de flujo de potencia se basa enresolver las ecuaciones determinadas a partir de un conjunto de igualdades definidas comoecuaciones de inyeccin de potencia a la red. Para cualquier barra i, estas ecuaciones puedenescribirse como:

*iiiii IVjQPS && =+= (2.1)

Donde iS es la potencia aparente inyectada a la barra i, iP y iQ son las inyecciones de

potencia activa y reactiva respectivamente, iV& es el voltaje complejo en la barra i, e iI& es la

corriente compleja inyectada en la barra i, donde el asterisco indica el conjugado.

Descomponiendo la ecuacin (2.1) en potencia activa y potencia reactiva se tiene

{ }*Re iii IVP && = (2.2){ }*Im iii IVQ && = (2.3)

En todos los nodos de un sistema de potencia existen cuatro variables involucradas: lasinyecciones de potencia activa y reactiva, y el voltaje complejo. Este ltimo puede serrepresentado por su magnitud y ngulo de fase, o por su parte real e imaginaria. De aqusurgen los planteamientos de las ecuaciones de flujo de potencia en coordenadas polares yrectangulares.

Para encontrar la solucin al sistema de ecuaciones definido por (2.2) y (2.3) se debencumplir dos condiciones necesarias (pero no suficientes). La primera es que al menos unabarra debe tener los valores de potencia activa y reactiva libres (no necesariamente en lamisma barra), es decir, que no se encuentren pre especificadas. Con esto se cumple con quela potencia total inyectada al sistema es nula. Debe mencionarse que cada barra que no tengala potencia reactiva especificada debe tener un valor especificado en la magnitud de suvoltaje, y viceversa. La segunda condicin es que es necesario definir una referencia para elngulo de fase del voltaje.

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Dependiendo de las variables especificadas, las barras se clasifican en los siguientestipos:

Barras PQ: En estas barras los valores de P y Q son conocidos. Tambin sonconocidas como barras de carga.

Barras PV: En estas barras los valores de P y V son conocidos. Tambin sonconocidas como barras de voltaje controlado. Cuando en una barra PV el lmite depotencia reactiva es violado entonces esta barra cambia a PQ y su valor de Q se fijaen el del lmite violado mientras que su voltaje queda libre.

Barra V: En esta barra el voltaje completo es completamente especificado. Engeneral slo una barra del sistema es de este tipo, sin embargo el flujo de potenciapuede generalizarse para sistemas con ms de una de estas barras.

2.2 MTODOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES Y

RECTANGULARES

Los mtodos de flujos de potencia en coordenadas polares y rectangulares difieren enla representacin compleja del voltaje. Es as como dependiendo de esta representacin elmtodo utilizado puede tener convergencias cuadrticas para el caso del mtodo de Newtonen coordenadas polares o una convergencia ms lenta para el caso del uso de las coordenadasrectangulares.

En coordenadas polares el voltaje complejo se representa como

( )ijijii senjVV += cos& (2.4)

mientras que en coordenadas rectangulares, el voltaje es representado como

iii jfeV +=& (2.5)

2.2.1 Flujos de potencia en coordenadas polares

2.2.1.1 Flujo AC

Este mtodo, tambin conocido como de Newton Raphson, es la versin completadel mtodo de Newton, sin realizar ninguna simplificacin.

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Para calcular los flujos de potencia en coordenadas polares las ecuaciones (2.2) y (2.3)se pueden escribir como

( ) nisenBGVVPn

jijijijijjii ,...,1cos

1

=+= =

(2.6)

( ) niBsenGVVQn

j

ijijijijjii ,...,1cos1

== =

(2.7)

, donde ijijij jBGY += es el i jelemento de la matriz de admitancia nodal, jiij = ; y n

es el nmero de barras del sistema.

Aplicando serie de Taylor a las ecuaciones (2.6) y (2.7) y despreciando los trminos desegundo orden y mayores, se obtienen las siguientes ecuaciones lineales utilizadas en losmtodos iterativos de Newton:

=

+

+=

n

j

kj

k

j

ikj

k

j

ikii V

PPPP1

(2.8)

=

+

+=

n

j

kj

k

j

ikj

k

j

ikii V

QQQQ

1

(2.9)

, donde kjk

jk

j +=+1 ; kj

kj

kj VVV +=

+1 ; y kiP ykiQ son calculados a travs de las

ecuaciones (2.6) y (2.7) respectivamente, y el superndice kindica la k sima iteracin.

Por lo general se asume una partida plana de voltajes, es decir, para las barras devoltaje no especificado el valor inicial del voltaje para comenzar las iteraciones se asume conmagnitud 1 p.u. y ngulo de fase 0.

La ecuacin (2.8) debe validar los valores especificados de potencia activa de lasbarras de tipo PQ y PV. Asimismo la ecuacin (2.9) debe validar la potencia reactivaespecificada en las barras PQ. En forma matricial las ecuaciones (2.8) y (2.9) pueden serescritas como:

=

=

k

k

kQVkQ

kPV

kP

k

k

k

k

VJJ

JJ

QQ

PP

Q

P

(2.10)

, donde los kJ son las submatrices Jacobianas de las derivadas de primer orden de las

ecuaciones (2.8) y (2.9) con respecto a la magnitud del voltaje y a los ngulos de fasecalculadas en la iteracin k.La solucin de la ecuacin (2.10) es obtenida cuando en alguna

iteracin todos los componentes del vector de error [ ] Tkk QP , son menores que unatolerancia aceptable.

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9

La matriz Jacobiana de un problema de flujo de potencia es real, bastante rala, nosimtrica, definida positiva y con un nmero de condicionamiento grande que crece con eltamao del sistema.

En general este es el mtodo ms confiable y lento de todos ya que en cada iteracin

se debe actualizar y factorizar la matriz Jacobiana.

2.2.1.2 Mtodo desacoplado rpido XB

Con el objeto de simplificar los clculos y obtener una solucin mucho ms rpida ycon menos requerimiento de memoria se desarrollo el mtodo desacoplado rpido [4] (Fast

Decoupled Load Flow o FDLF, mtodo XB en adelante) en el cual se asumen ciertossupuestos vlidos para la mayora de los sistemas de potencia. Los supuestos son:

Se desprecian las submatrices kPVJ y kQJ de la ecuacin (2.10); as la ecuacin sedesacopla en dos sistemas: uno que relaciona P con , y otro que relaciona Q con V .

1cos ij , ijijij BsenG

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10

Adems [ ]''B es simtrica y de orden igual al nmero de barras que tenganespecificada su potencia reactiva. La matriz [ ]'B es del orden igual al nmero de barrasmenos uno, y es simtrica para sistemas sin transformadores cambiadores de fase.

2.2.1.3 Mtodo desacoplado rpido BX

Una variante al mtodo XB es realizada en [5], en donde las principales diferenciasestn en la forma en que se desprecian las resistencias y en el esquema en que se llevan a cabolas iteraciones. En el mtodo XB las resistencias son despreciadas slo cuando se construye lamatriz [ ]'B . Esta nueva variante, conocida como la versin desacoplada rpida BX (mtodoBX en adelante), desprecia las resistencias serie slo al construir la matriz [ ]''B .

El mtodo desacoplado rpido logra el desacoplamiento debido a dos condiciones: Laprimera es que las resistencias en serie son pequeas en comparacin con las reactancias, y lasegunda es que los ngulos de los voltajes son pequeos entre barras directamente conectadas.

Con las condiciones anteriores es posible obtener un desacoplamiento como el de lasecuaciones (2.11) y (2.12), pero se pueden hacer ms aproximaciones a las matrices [ ]'B y[ ]''B , primero despreciando las reactancias shunt cuando se construye [ ]'B y duplicndolas en[ ]''B , luego omitiendo los transformadores cambiadores de fase cuando se construye [ ]''B y lainfluencia de los transformadores cambiadores de tap que se encuentren en un tap no nominalen [ ]'B . Las aproximaciones anteriores son las mismas que las realizadas en el mtodo XB,sin embargo al despreciar la resistencia slo en [ ]''B (mtodo BX) la convergencia es muchoms rpida para sistemas con altas razones R/X. Adems en el esquema tradicional delmtodo XB existe la posibilidad de saltar iteraciones para uno o ms Py/o Q, cuando paraalguna barra el error es pequeo. Esta opcin puede producir una conducta cclica queperjudica la convergencia, por lo que el mtodo BX utiliza un esquema de iteracionessucesivas estrictas, y cuando Py Qconvergen el procedimiento termina.

2.2.1.4 Mtodo desacoplado rpido para sistemas con altas razones R/X (FDLFR/X)

Para sistemas con altas razones R/X, las aproximaciones realizadas en el mtodo XBya no son vlidas, por lo cual en muchos casos los flujos de potencia tardan demasiado enconverger o simplemente no convergen. El mtodo desacoplado rpido para sistemas con altasrazones R/X (Fast Decoupled Load Flow for systems with high R/X ratios o FDLFR/X) [6]mejora la convergencia ya que incorpora informacin de las resistencias serie de las ramas de

transmisin, que para sistemas con altas razones R/X no deben ser despreciadas, manteniendoel mismo desacoplamiento entre P y V y entre Q y . Las modificaciones son:

ijijijijij BGGBB /3,04,0'2= para ji (2.13)

=ij

ijii BB '' (2.14)

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11

Donde los coeficientes 0,4 y 0,3 fueron encontrados experimentalmente [6]. Losefectos de las resistencias en serie son considerados en la ecuacin (2.12) al sumar lasecuaciones (2.6) y (2.7):

) ) )[ ]

+++=+ji

ijijijijijijjiiijijii senBGBGVVVBGQP cos2 (2.15)

Asumiendo que 1cos ij y ( ) ijijijijij senBGBG >> , la ecuacin (2.12) esreemplazada por:

[ ] kkkkk VBVQVP =+ '''// (2.16)

, donde [ ]'''B est dada por:

ijijij BGB =''' ji, (2.17)

Resolviendo las ecuaciones (2.11) y (2.16) con el mismo procedimiento usado para lasecuaciones (2.11) y (2.12) del mtodo XB, con la excepcin de que [ ]'B es reemplazada conlos valores determinados segn (2.13) y (2.14), se encuentra la solucin por este mtodo.

2.2.1.5 Mtodo desacoplado rpido robusto (RFDPFM)

Otro mtodo eficiente y rpido para calcular flujos de potencia en sistemas con altastasas de R/X y/o bajos niveles de tensin es el mtodo desacoplado rpido robusto (RobustFast Decoupled Power Flow Method o RFDPFM) [3].

A causa de las bajas tensiones la convergencia de los mtodos desacoplados esdeteriorada debido a que en ellos se asume que los voltajes se encuentran cercanos a susvalores nominales, lo cual no ocurre en barras sobrecargadas. Esto ltimo, ms los problemasde altas razones R/X llevan a los mtodos desacoplados a una convergencia lenta para lasiteraciones Q V, las cuales son un factor dominante en el proceso de convergencia [3]. Estemtodo introduce una cantidad P en las iteraciones Q V de tal modo de reducir elacoplamiento entrey V, para as mejorar la convergencia de estas iteraciones en el caso desistemas con altas razones R/X. La cantidad P introducida est dado por Pt , donde elparmetro test determinado por el promedio de las tasas R/X en el sistema. Este ajuste fuepropuesto basado en una justificacin heurstica [7] y en este mtodo es desarrollado a travs

del camino de Monticelli [15]. Adems, para mejorar la velocidad de convergencia parasistemas con bajos niveles de tensin, como lo son los sistemas sobrecargados, este mtodo escomplementado con un mtodo de normalizacin de voltajes conocido como VNM(Voltage

Normalization Method) el cual fue desarrollado en [8].

Con el ajuste el sistema de ecuaciones resulta:

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12

=

+

VJJ

JJ

QPt

P

PQVPQ

PVP

(2.18)

, donde PQJ y PQVJ son las nuevas submatrices Jacobianas.

Y as, mediante las aproximaciones usuales realizadas en los mtodos desacoplados, sepuede obtener el siguiente sistema:

[ ] [ ][ ][ ][ ]= VBVP ' (2.19)[ ] [ ][ ][ ]VBVQPt =+ '' (2.20)

, donde los elementos de las nuevas matricesB yBestn dados por:

ijijij xrt

B+

=1' (2.21)

=ij

ijii BB'' (2.22)

ijijij GtBB ='' (2.23)

( )

=ij

ijiiii BtgbB'''' 2 (2.24)

Donde ig y ib son la conductancia y susceptancia shunt de la barra i(suma de todas

las ramas shunt conectadas a la barra i), ijr es la resistencia de la rama i-j, ijG es lacomponentei-jde la matriz G la cual es la parte real de la matriz de admitancia. El parmetrotpuede tomar cualquier valor, pero un rango entre 0 y 1 es recomendado. Si bien este mtodorequiere un leve mayor tiempo de computacin, si se almacena en memoria tBG+ y

BtG+ , el tiempo se reduce llegando a cerca del tiempo de computacin del mtodo XB. Elmtodo RFDPFM se reduce al mtodo desacoplado XB para t = 0.

Generalmente, la resistencia y reactancia de una lnea de transmisin son mayores quecero, lo cual significa que 0ijB . Este mtodo tiene la habilidad de lidiar con altas

razones R/X al escoger un tapropiado que permita que la aproximacin de QVJ sea menos

sensible a las altas razones R/X. Para llegar al sistema desacoplado (2.19) y (2.20) sedesprecia ijijij sentBG + con respecto a ijijij tGB cos+ en PQVJ con lo que es ahora la

razn ijijijij tGBtBG ++ / la que afecta a la exactitud de la aproximacin. La idea es

controlar esta razn a travs de la eleccin de un t apropiado. La Figura 2.1 muestra la

relacin entre las razones ijijijij tGBtBG ++ / y ijij xr / . En general se cumple la siguiente

relacin:

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13

( )tttGB

tBG

ijij

ijij/1,max

+

+ ijij xr / (2.25)

Es claro que para valores altos de t la razn ijijijij tGBtBG ++ / se hace ms

pequea para altas razones R/X, sin embargo un tmuy alto no es una buena opcin para bajas

razones R/X.

Figura 2.1: ijijijij tGBtBG ++ / versus ijij xr / .

Este mtodo adems disminuye el acoplamiento entre las iteraciones P y lasiteraciones VQ . Generalmente t se escoge de la siguiente forma:

= 1,1Lneas

lasTodas ij

ij

l x

r

nMnt (2.26)

, donde ln es el nmero total de lneas.

Este mtodo comienza calculando el parmetro t y luego sigue con las iteracionessegn el sistema (2.19) y (2.20). Luego de unas pocas iteraciones se observan los niveles devoltaje de las barras y si alguna barra presenta bajos niveles con respecto a su valor nominal,entonces se realiza la normalizacin de voltajes del sistema VNM, la que consiste en latransformacin del sistema en otro equivalente con respecto a la solucin del flujo de

potencia, pero cuyos niveles de tensin son ms cercanos a los valores nominales, de modotal de erradicar el mal condicionamiento para las siguientes iteraciones. Una vez realizada latransformacin se contina con las iteraciones hasta que el sistema converga partiendo lasnuevas iteraciones con el ltimo voltaje actualizado obtenido antes de aplicar el VNM.

El mtodo RFDPFM en la mayora de los casos, para sistemas normales, tienecaractersticas de convergencia similares a las de las otras versiones de los mtodosdesacoplados. Sin embargo, para sistemas con altas razones R/X y barras con bajos niveles de

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14

tensin, RFDPFM es mucho mejor que todas las otras versiones desacopladas y mucho mejorque el flujo AC completo, salvo en pocas excepciones.

2.2.1.6 Flujo DC

Se considerar una lnea de transporte de un sistema de potencia representada por suequivalente como se muestra en laFigura 2.2

Figura 2.2: Equivalente de una lnea de transporte de energa elctrica.

La expresin de los flujos de potencia, activa y reactiva, desde el nudo i al j son:

( )ijijijijjiiijij senbgVVVgP += cos2 (2.27)

( )ijijijijjiiijij sengbVVVbQ += cos2'

(2.28)

, donde

22ijij

ijij xr

rg

+= es la conductancia del tramo

22ijij

ijij

xr

xb

+

= es la susceptancia del tramo y

22'

2 ijij

ijijCij

xr

xbb

+=

Si la resistencia del tramo es mucho ms pequea que la reactancia, lo que se cumplesin dificultad en lneas de transmisin de alta tensin, la conductancia se aproxima a cero y lasusceptancia al inverso de la reactancia por lo que la ecuacin(2.27) queda reducida a:

ijijjiij senVVP = (2.29)

donde

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15

ijij x

1=

Se aprecia que en la ecuacin de flujo de potencia activa (2.27) no aparece reflejada lasusceptancia capacitiva de la lnea. Si se asume un perfil plano para las tensiones e igual a 1p.u., una diferencia angular entre los nodos i j tan pequea que se cumpla 1cos ij y

ijijsen y se desprecian las admitancias conectadas en derivacin a tierra, la potenciareactiva se hace despreciable y la potencia activa se obtiene de la ecuacin (2.30).

ij

jiijijij x

P

== (2.30)

Esta ltima ecuacin, es ampliamente usada para estudios de planificacin por realizaren general una buena estimacin de los flujos de potencia activa. Tambin, es posibleasociarle un circuito equivalente elctrico en el cual, los ngulos corresponderan a voltajes denudos, las reactancias a resistencias y los flujos de potencia activa a corrientes. Esta red seexcitara con fuentes de corrientes continua equivalentes a las potencias activas netas

inyectadas a los nudos. Es por esta razn, que a esta aproximacin se la conoce como DC(direct current) y ms recientemente modelo lineal. La Figura 2.3 muestra el circuitoequivalente del modelo lineal de la red.

Figura 2.3: Circuito equivalente de una red lineal

Este modelo tiene un equivalente a las redes elctricas en el cual, los nguloscorresponderan a voltajes de nudos, las reactancias a resistencias y los flujos de potencia acorrientes.

Tomando la primera ley de Kirchhoff en cada nodo (sin tomar en cuenta el nudo de

tierra) y la ecuacin (2.30) para cada elemento, (anlogo a la ley de Ohm) se obtiene unmodelo matricial de la red.

dg PPAP = (2.31)

0= tAP (2.32)

donde

gP vector de potencias activas generadas

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dP vector de potencias activas demandadas

matriz diagonal de susceptancias de cada elemento vector de ngulos de las tensiones de los nudosA matriz incidencia nudo elemento

Reemplazando la ecuacin (2.32) en la ecuacin (2.31) se obtiene el siguiente sistemade ecuaciones:

[ ] dgt PPBAA == (2.33)

A la matriz B se le denomina matriz de susceptancias y no es difcil demostrar quesus elementos se obtienen de las siguientes relaciones:

ikikB = , si ki (2.34)

=ik

ikiiB , si ki= (2.35)

donde i es el conjunto de nudos conectados directamente al nudo i.

La matriz de incidencia se ha planteado para cada barra de la red (no se considera elnudo de tierra), de modo que el sistema de ecuaciones resultante en la ecuacin (2.33) es detamao n ,donde nes el nmero de barras del sistema. Este sistema tiene rango (n 1), (estoes resultado de que se despreciaron los elementos paralelos), de modo que existe dependencialineal entre las ecuaciones. Para obtener una solucin nica, es necesario reducir la base delsistema a (n 1)incgnitas. Por lo tanto, se elige en forma arbitraria una barra en la cual seasume un valor conocido del ngulo (habitualmente cero), esta barra ser la barra dereferencia. La reduccin de las incgnitas, cambia la referencia respecto de la cual se midenlos ngulos de los voltajes, de modo que ahora los ngulos quedan referidos con respecto a la

barra de referencia.

Por supuesto se llegara al mismo sistema lineal si se realizarn las simplificacionesdirectamente en (2.6).

2.2.2 Flujos de potencia en coordenadas rectangulares

Representando el voltaje en su parte real e imaginaria, e introduciendo en las

ecuaciones (2.2) y (2.3), se obtienen las siguientes expresiones:

( ) ( )[ ] niBeGffBfGeePn

jijjijjiijjijjii ,...,1

1

=++==

(2.36)

( ) ( )[ ] niBfGefBeGfeQn

jijjijjiijjijjii ,...,1

1

=++==

(2.37)

Como ahora la magnitud del voltaje es una funcin de la parte real e imaginaria delvoltaje complejo, su correspondiente ecuacin debe estar incluida:

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22iii feV += (2.38)

2.2.2.1 Mtodo de flujo de potencia de segundo orden (SOLF)

El mtodo de segundo orden (Second Order Load Flow Method o SOLF), desarrolladoen [9], tiene la ventaja de que las ecuaciones (2.36), (2.37) y (2.38) son funciones cuadrticasde las componentes real e imaginaria del voltaje. La expansin en serie de Taylor de estas tresecuaciones termina con los trminos de segundo orden, esto significa que la expansin deTaylor completa de las ecuaciones (2.36), (2.37) y (2.38) termina en los trminos de segundoorden, sin errores de truncacin.Se definen los vectores dependiente e independiente del problema como sigue:

=

=f

ex

V

Q

P

y , (2.39)

Donde P denota al vector de las inyecciones de potencia activa a cada barra delsistema, excepto a la barra de referencia V ; Qes el vector con las inyecciones de potenciareactiva a las barras PQ; V es el vector de voltaje de las barras PV y V ; e y f son losvectores, con la parte real e imaginaria respectivamente, del voltaje complejo de todas lasbarras a excepcin de la barra de referencia V .

La expansin en serie de Taylor de las ecuaciones (2.36), (2.37) y (2.38), conduce a lasiguiente ecuacin escrita en forma matricial:

( ) ( )xyxJxyy estespec ++= (2.40)

Donde los superndices especy estdenotan especificado y estimacin inicial.

La solucin de x de la ecuacin (2.40) puede ser determinada mediante la iteracinde:

( ) ( )kestespeck xyxyyxJ = +1 (2.41)

donde 0=x para k= 0, e ( )estxy e ( )kxy son calculadas utilizando las ecuaciones (2.36),(2.37) y (2.38). Es importante notar que J es constante y es calculado una sola vez con elestimador inicial estx . La ecuacin (2.41) es simplificada a:

( )( )( )

=

kPV

kPQ

k

VeVeVf

QeQeQf

PePePf

kkespec

kkespec

kkespec

e

e

f

JJJ

JJJ

JJJ

efVV

efQQ

efPP

PQPQ

PVPQ

PVPQ

,

,

,

22

(2.42)

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18

Los valores actualizados de ey f son: kkk eee +=+1 y kkk fff +=+1 .Debido a que el Jacobiano es constante durante el proceso iterativo es importante

escoger apropiadamente los valores estimados iniciales. El valor inicial del voltaje de todaslas barras se escoge igual al voltaje de la barra de referencia V , esto es, 0+= jeV swV& .

Los elementos de la matriz Jacobiana son:

( )

==

jiparaBe

jiparaBejiJ

ijsw

ijijsw

Pf , (2.43)

( )

=

+

= jiparaGe

jiparaGGejiJ

ijsw

ijijiisw

PePQ

2, (2.44)

( )

==

jiparaGe

jiparaGejiJ

ijsw

ijijsw

Qf , (2.45)

( )

=

+

=

jiparaBe

jiparaBBejiJ

ijsw

ijijiisw

QePQ

2, (2.46)

( ) ( ) nijiJjiJPQVeVf

,..,.10,, === (2.47)

( )

==

jipara

jiparaejiJ swVePV 0

2, (2.48)

La ecuacin (2.47) muestra que el sistema de la ecuacin (2.42) puede ser desacopladoen dos sistemas de ecuaciones, estos son:

[ ]

=

kPQ

kTkPV

swk

swk

e

f

BG

GBe

B

G

eQ

eP

21

11

'

'

(2.49)

( ) [ ]kPVswk eeV =2

21

(2.50)

El orden de la matriz Jacobiana de este mtodo es el mismo que en el mtodo deNewton Raphson. El mtodo iterativo SOLF calcula kPVe de la ecuacin (2.50), y luego se

resuelve la ecuacin (2.49). Los valores de ey f son actualizados y utilizados para calcularP , Q y 2V para una nueva iteracin.

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19

2.2.2.2 Mtodo desacoplado

La versin desacoplada en coordenadas rectangulares (Decoupled Load Flow Methodin Rectangular Coordinates o DLFR), descrita en [10], esta basada en supuestos similares alos realizados para los mtodos desacoplados en coordenadas polares, esto es,

ijiiji GfBe >> y ji ee si la barra iest directamente conectada con la barra j.Con esto

se forma el siguiente sistema:

( )( )

=

k

kT

k

k

e

f

BG

GB

eQ

eP'2

'1

'1

'1 (2.51)

donde '1G est formado por los elementos de la matriz G , y las matrices'1B y

'2B estn

formadas por los elementos de la matriz B , donde G y B son la parte real e imaginariarespectivamente de la matriz de admitancia nodal. En la referencia [10] desprecian lasubmatriz '1G , obteniendo el desacoplamiento.

( ) [ ] [ ]kk fBeP = '1 (2.52)( )[ ] [ ] [ ]kk eBeQ = '2 (2.53)

En este mtodo, la expansin en serie de Taylor ya no es considerada completa, ya queen DLFR se desprecian los trminos de segundo orden al igual que en el mtodo de Newton Raphson. Este mtodo requiere recalcular las matrices Jacobianas en cada iteracin, aunqueesta condicin no es muy estricta y muchas veces la actualizacin es realizada mediante laactualizacin de la parte real del voltaje que divide la parte izquierda de las ecuaciones (2.52)y (2.53).

2.2.2.3 Mtodos para sistemas mal condicionados

Los mtodos en coordenadas rectangulares para sistemas con mal condicionamientointroducen un multiplicador ptimo en los mtodos SOLF y DLFR [2]. Este multiplicador

puede ser obtenido de distintas formas, ya sea por mnimos cuadrados o minimizando lanorma infinita.

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20

3 PRESICIN DE UN FLUJO DC

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21

3.1 INTRODUCCIN

De todos los mtodos de flujos de potencia vistos, el DC es una aproximacin.Interesa por lo tanto conocer que tan confiables son sus resultados.

Para obtener las ecuaciones lineales de flujo de potencia se deben realizar lassiguientes aproximaciones:

ji : Las diferencias angulares entre barras directamente conectadas son pequeas.

ijij XR

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22

Frecuentemente se dice que esta condicin se cumple bien para sistemas dbilmentecargados. Con el objeto de chequear los valores de las diferencias angulares actuales de unsistema de potencia real se tom como ejemplo un sistema de alta tensin de Blgicaconformado por ms de 900 lneas, con niveles de tensin de 70 KV a 380 KV y en unescenario punta de invierno de 13 GWde demanda. Los resultados se aprecian en la Figura3.1

Figura 3.1: Diferencias angulares entre barras directamente conectadas.

Se aprecia que las ms altas diferencias de voltaje se encuentran en el rango de 6 7y que en el 94% de las lneas la diferencia angular no supera los 2.

En la Figura 3.2 se muestra el error asociado a las aproximaciones (3.1) y (3.2).

Figura 3.2: Consecuencias de las aproximaciones de seno y coseno.

De ac se puede concluir que suponer diferencias angulares pequeas no deberacausar errores significativos en la solucin final entregada por un flujo DC.

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3.3 INFLUENCIA DE ijij XR

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24

desviacin estndar de los voltajes de las barras con respecto a un valor predefinido nominal,es decir

( )=

=30

1

2

130

1

iiU UUs (3.4)

donde iU son los voltajes de las barras y Ues el valor nominal. Los resultados se muestranen la Figura 3.4

Figura 3.4: Influencia de asumir un perfil plano de voltajes para distintasdesviaciones estndar de los voltajes.

Aunque el error promedio se mantiene por lo general bajo el 5%, el error mximollega ser muchas veces ms grande. De ah que suponer un perfil plano de voltaje sea la mscrtica de las aproximaciones realizadas, y la mayor fuente de error en la estimacin de la

potencia activa travs de un flujo DC.

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25

4 MTODOS DESARROLLADOS

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4.1 INTRODUCCIN

Se ha buscado compatibilizar los mtodos de flujo AC y DC mediante la bsqueda ydesarrollo de mtodos que permitan calcular los flujos de potencia de tal modo que el clculono sea tan costoso en tiempo de proceso como ocurre en un flujo AC y a la vez cuyaestimacin de las potencias no sea tan errnea como en algunos casos ocurre con un flujo DC.

En este captulo, en una primera parte, se tratan mtodos para estimar el flujo depotencia activa. stos consisten bsicamente en realizar modificaciones al flujo DC con elobjeto de mejorar sus resultados, primero incorporando la informacin de las resistencias delas lneas de transmisin y segundo incorporando la informacin de las prdidas. Adems sedemuestra que calcular la potencia activa a travs de los factores GGDF es equivalente alclculo realizado por un flujo DC si es que se mantienen constantes los perfiles de demanda.

Luego se pasa a analizar la estimacin de la potencia reactiva a travs del uso defrmulas aproximadas y a partir de los resultados de un flujo DC (o sus posibles versiones

mejoradas). Para esto se intenta calcular la magnitud de los voltajes de las barras, primeroutilizando la conocida estimacin de gradiente de voltaje, y segundo desarrollandoaproximaciones para la inyeccin de reactivos de la lneas.

Finalmente se estudia la utilizacin de los mtodos desacoplados en sus versiones msimportantes, es decir la versin estndar XB, la versin general BX y la versin robustaRFDPFM, analizando la calidad de la estimacin de las potencias para un nmero fijo deiteraciones, para as comparar el error cometido con el error de un flujo DC, y teniendo encuenta que los tiempos de proceso en este caso sern ms comparables.

4.2 MODELOS DE POTENCIA ACTIVA

4.2.1 Flujo DC versin BX

Es fcil ver que la matriz Butilizada en un flujo DC es idntica a la matriz Bde unflujo desacoplado rpido versin XB. Adems se sabe que las ecuaciones lineales de un flujoDC se pueden deducir aplicando las aproximaciones directamente a la ecuacin (2.6). En estaversin no se despreciar la resistencia ijr al construir la matriz B sino slo el elemento ijG

con lo que se tendr

( ) ( ) niBsenBGVVPn

jjiij

n

jijijijijjii ,...,1cos

11

=+= ==

(4.1)

Con esto se tendr un flujo DC en el cual si se consideran las resistencias y cuyamatrizBser idntica a la matrizBdel mtodo desacoplado rpido BX.

= BXBP (4.2)

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27

Dado que el mtodo BX es una versin mejorada al mtodo estndar XB, se estudiarel efecto que tiene considerar su matrizBen la estimacin de la potencia activa a travs deun flujo DC.

4.2.2 Flujo DC con modelamiento de las prdidas

Las suposiciones de un flujo DC implican que las prdidas resistivas no se evalen.Sin embargo, dada la importancia que stas tienen en la decisin de las nuevas inversiones, sehan desarrollados nuevos modelos para su aplicacin en problemas de planificacin yoperacin [11]. En esta versin la idea es incorporar la informacin de las prdidas en laresolucin de un flujo DC.

El modelo de una rama y la demanda de potencia activa de sus barras se aprecia enla Figura 4.1

Figura 4.1: Modelo de una rama.

La prdidas de potencia activa para un tramo de la red, tal como la definida en laFigura 2.2, se pueden calcular por la siguiente relacin:

jiijij PPPL += (4.3)

Tomando la ecuacin (2.27) se obtiene una expresin para las prdidas en funcin delos voltajes y ngulos de las barras.

( ) )ijjiijjiijij VVgVVgPL cos222 += (4.4)

La ecuacin (4.4) corresponde a un modelo de corriente alterna, que posee bastanteexactitud, pero requiere del conocimiento del mdulo de las tensiones en las barras. Dichomodelo no es compatible con la representacin lineal, por lo que se requiere hacer lasaproximaciones del modelo DC. Para esto se asume un perfil plano de voltajes e igual 1 en

por unidad, de la cual se deriva la expresin cosenoidal de la ecuacin (4.5)

))jiijij gPL = cos12 (4.5)

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Otra aproximacin es la denominada cuadrtica. En este caso, se hace un desarrolloen series de Taylor a la ecuacin (4.5) hasta el segundo orden. Realizando esto se tiene lasiguiente estimacin para las prdidas

( )2jiijij gPL (4.6)

Entonces el mtodo se basa en que una vez resuelto un flujo DC se tendr unaestimacin de los ngulos del sistema con la cual se podr estimar las prdidas en cada una delas ramas. Finalmente se puede dividir estar prdidas a la mitad y se pueden incorporar comoun consumo adicional a cada una de las barras de la rama. De este modo se puede nuevamentecalcular el flujo DC pero ahora con el modelo de la Figura 4.2.

Figura 4.2: Modelo de rama de un flujo DC con prdidas.

Este proceso se puede realizar iterativamente, aunque por lo general con una iteracines suficiente ya que los resultados no mejoran mucho para las siguientes iteraciones. De todosmodos, a travs de este proceso iterativo no se converge nunca a la solucin de un flujo AC yaque ms factores aparte de despreciar las prdidas se requieren para llegar al modelo DC.

Es importante notar que la matriz de susceptancias Bslo se invierte una vez por loque el costo en clculo adicional al realizar este mtodo es de slo una multiplicacinmatricial.

4.2.3 Clculo de Flujo de Potencia activa utilizando los factores GGDF

La expresin de la potencia activa utilizando los factores GGDF est dada por:

=g

ggijij GDP , (4.7)

donde g considera todos los generadores del sistema, gijD , es el factor GGDF asociado a la

rama que une los nodos i y j (rama ij en adelante), y al generador g ; y gG es potencia activa

generada por el generador g [12].

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29

Se sabe que los factores GGDF no varan al variar el despacho de las unidadesgeneradoras y adems tambin se mantienen constantes al realizar cambios parejos en lademanda.

Como la mejora de los resultados de flujo DC se busca, entre otras aplicaciones, pararesolver problemas de planificacin en los cuales se suelen mantener constantes los perfiles de

demanda, se tendr que los factores GGDF se mantendrn constantes por lo que se puedecalcular la potencia activa a travs de la expresin (4.7).

Se demostr que calcular los flujos de potencia activa con un flujo DC es equivalentea calcularlos a travs de la expresin (4.7) si es que la condicin de operacin mantiene el

perfil de demanda con la que se calcularon inicialmente los factores GGDF (ver anexosseccin B). La cantidad de clculos entre los dos mtodos vara por una simple multiplicacinescalar en el caso que ya se haya factorizado la matriz B del flujo DC. De este modo losresultados del clculo de la potencia activa usando los factores GGDF son idnticos a losresultados de un flujo DC por lo que no se considerarn en la parte de resultados de esteinforme.

Por supuesto si se tienen disponibles los factores GGDF (y el flujo DC essuficientemente confiable) y se quiere calcular la potencia activa para perfiles de demanda

parejos y sin cambios de topologa de la red, es una buena alternativa utilizar la expresin(4.7) ya que es ms eficiente en tiempo de proceso que resolver un sistema lineal dado por elflujo DC.

4.3 MODELOS DE POTENCIA REACTIVA

Otro modo de buscar compatibilidad entre los flujos AC y DC es desarrollando algnmtodo que estime la potencia reactiva de manera sencilla y rpida ya que un flujo DC es unmtodo lineal simple pero que slo estima potencia activa, lo que es una limitante importanteen muchos estudios, como por ejemplo, al momento de determinar la sobrecarga de lascomponentes del sistema ya que en sta participa tanto la potencia activa como la reactiva.

Es conocida la estricta dependencia entre la potencia reactiva y los mdulos de lastensiones de las barras. Para estimar la potencia reactiva se intentar primero estimar lamagnitud de los voltajes a travs de dos maneras distintas. La primera mediante la utilizacinde la frmula de gradiente de voltaje (ampliamente utilizada en tcnicas de compensacin dereactivos) y la segunda aprovechando aproximaciones en las ecuaciones de inyeccin de

reactivos de las lneas de transmisin.

4.3.1 Utilizacin de la frmula del gradiente

Dentro de los mtodos de regulacin de tensin es conocida la aproximacin para elgradiente de voltaje entre barras directamente conectadas al considerar transmisionesdespreciando ramas Shunt. La Figura 4.3 muestra el modelo a considerar en esta oportunidad.

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Figura 4.3: Modelo de rama considerado en la estimacin del gradiente de voltaje.

De este modelo se tiene que

**j

jj

i

iiij V

jQP

V

jQPI

&&&

=

= (4.8)

Adems la cada de tensin en el tramo es

( ) ( ) ( )

+=

+=+=

**j

jjijij

i

iiijijijijijij V

jQPjxr

V

jQPjxrIjxrV

&&&& (4.9)

Desarrollando se tendr que

+

+==

**i

jijjij

i

jijjijjiij V

QrPxj

V

QxPrVVV

&&&&& (4.10)

Si se fija, sin prdida de generalidad, 0=j , se tiene el diagrama fasorial de la Figura 4.4.

Figura 4.4: Diagrama fasorial del modelo.

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Por lo general la diferencia angular entre las barras i y j es pequea, por lo que secumplir la siguiente aproximacin:

{ }

+=

j

jijjijjiji V

QxPrVValVV &&&& Re (4.11)

En general se puede demostrar que

+=

+

i

iijiij

j

jijjijji V

QxPr

V

QxPrVV (4.12)

Si la barra ifuera una barra PVy la barraj fuera una barraPQ, y la consigna de la PV,sin prdida de generalidad, fuera 1 p.u. se tendr la ecuacin (4.13)

j

jiijjiijijijijijj V

QxPrQxPrV

+=

+

11 (4.13)

y

)ijijijijj QxPrV +1 (4.14)

De ac se puede tener una estimacin directa para la tensin jV si se tuvieran los

valores de las potencias ijP y ijQ utilizando la expresin (4.14) o resolviendo la ecuacin

cuadrtica para jV obtenida de la expresin (4.13). Una vez obtenida la aproximacin para jV

se pueden obtener los voltajes de las barras PQdirectamente conectadas a la barra j a travsdel mismo procedimiento donde ahora la tensin conocida ser jV . De este modo se pueden

estimar los mdulos de los voltajes de todas las barras PQ realizando este procedimientoreiterativamente. La expresin aproximada para el voltaje de una barra k directamenteconectada a la barra jes:

j

jkjkjkjkjk V

QxPrVV

+ (4.15)

donde jV se calcul previamente a travs de una barra PV.

El flujo de potencia activa ijP se puede obtener del resultado de un flujo DC (o de sus

posibles versiones mejoradas). La expresin exacta para el flujo de potencia reactiva de labarraja la barra kest dado por:

( ) ( ) 222

cos jj

jkjkkjjkjkkjjjkjk Vb

bVVsengVVVbQ += (4.16)

En general, como se desea estimar kV usando la expresin (4.15), donde ya se conoce

la tensin jV (ya sea porque es una barra PV o porque es una PQ a la cual se le calcul

previamente su tensin a travs del mismo procedimiento en descripcin) se puede

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reemplazar la ecuacin (4.16) en (4.15) teniendo en cuenta que la expresin para jkQ ser

slo funcin de la tensin kV . Con esto se plantea una simple ecuacin lineal para obtener

una estimacin de kV . Los ngulos a usar se obtienen del resultado del flujo DC ya realizado.

Finalmente se tendr que si se conoce la tensin jV :

( )

j

kjkjkjkjkjk V

VQxPrVV

+

(4.17)

Y despejando kV

( ) ( )jkjkjkjkjkjkj

jjkjkjkjkjkj

k bxsengxV

bxbxPrV

V cos

22

+

++ (4.18)

Si la barraj llegase ser una barra PV de consigna 1 p.u. y los parmetros de la rama j a

k fueran 0=jkr y 0=jb , jV sera cero (ya que 22jkjk

jkjk xr

x

b += ) por lo que para estos casos

la ecuacin (4.18) no tendr sentido.

En definitiva el algoritmo planteado para estimar las tensiones del sistema consta de lossiguientes pasos:

1. Contar con la estimacin del flujo de potencia activa y los ngulos en las barras apartir de un flujo DC.

2. Calcular la magnitud de los voltajes para las barras PQ directamente conectadas a lasbarras de tensin controlada (barras PV o de referencia) a travs de la expresin(4.18).

3. Calcular la magnitud de los voltajes de las barras PQ directamente conectadas a lasbarras PQ cuyos voltajes fueron calculados en el paso 2 a travs de la expresin(4.18).

4. Calcular la magnitud de los voltajes de todas las barras PQ realizando el paso 3reiterativamente hasta calcular todos los voltajes.

Es importante notar que a medida que se avanza en el clculo de los voltajes de lasbarras PQ el clculo va recibiendo valores que dependen de mayor nmero de aproximacionesya que los voltaje jV de la expresin (4.18) ya es un valor aproximado. Por ejemplo para las

barras PQdirectamente conectadas a al PVla consigna de esta barra es conocida por otro lado

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para la ltima barra PQcalculada jV es un valor calculado a partir de valores sucesivamente

aproximados.

4.3.2 Ecuaciones de inyeccin de reactivos de las ramas

En esta oportunidad se desea utilizar la expresin de inyeccin (o consumo) dereactivos de las ramas del sistema con el objeto de obtener una estimacin para el mdulo delas tensiones de las barras, y as luego calcular la potencia reactiva circulante del sistema.

Segn el modelo de las ramas se tienen las siguientes variables involucradas:

Figura 4.5: Corrientes en el modelo de una lnea.

La expresin exacta para el consumo de reactivos de la rama es:

22

22

22IxV

bV

bQQ ijj

ji

ijiij +=+ (4.19)

, sin embargo tambin se puede tener esta expresin exacta escribindola slo en funcin delos voltajes.

( ) ( )ijijjijiijjj

ii

jiij bVVVVbVb

Vb

QQ cos222

2222 ++=+ (4.20)

As, se tiene la siguiente igualdad:

( ) ( )ijijjijiijij bVVVVbIx cos22222 ++= (4.21)

Suponiendo los resultados de un flujo DC disponibles se realizan las siguientesaproximaciones:

ijIIII >> 212 (4.22)

ijijiijij PIpuVQP >> 1 (4.23)

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DCFLUJOijij PP __ (4.24)

DCFLUJOijij __ (4.25)

De este modo por cada rama del sistema se tiene la siguiente ecuacin cuadrticaaproximada:

( ) ) 2__22 cos2 DCijijDCijijjijiij PxbVVVVb =++ (4.26)

Se desea calcular las tensiones de las barras PQ por lo que el nmero de incgnitas essiempre menor que el nmero de ecuaciones. Siguiendo la misma idea de estimacin devoltajes utilizando la expresin de gradiente de voltaje; en este caso se calcularn primero losvoltajes de las barras PQdirectamente conectadas a barras con voltaje controlado, es decirbarrasPV o de referencia, a travs de la expresin cuadrtica (4.27). Entonces si la barra iesuna barra de voltaje 1 p.u. jV se calcula a travs de (4.27). As, luego de obtenida la solucin

de jV de la ecuacin (4.27), se calcular el voltaje de las barras PQdirectamente conectadas a

la barraj; ahora a travs de la expresin (4.28).

( ) ( ) 2__2 cos121 DCijijDCijijjjij PxbVVb =++ (4.27)( ) ( ) 2__22 cos2 DCijijDCijijjijiij PxbVVVVb =++ (4.28)

Esto se puede realizar sucesivamente de manera anloga al caso en que se us laexpresin de gradiente de voltaje, hasta calcular todas los voltajes de las barras PQ. De estemodo los pasos del algoritmo son los siguientes:

1. Contar con la estimacin del flujo de potencia activa y los ngulos en las barras apartir de un flujo DC.

2. Calcular la magnitud de los voltajes para las barras PQ directamente conectadas a lasbarras de tensin controlada (barras PV o de referencia) a travs de la expresin(4.27).

3. Calcular la magnitud de los voltajes de las barras PQ directamente conectadas a lasbarras PQ cuyos voltajes fueron calculados en el paso 2 a travs de la expresin(4.28).

4. Calcular la magnitud de los voltajes de todas las barras PQ realizando el paso 3reiterativamente hasta calcular todos los voltajes.

Otro planteamiento posible, pero que no es desarrollado en esta memoria, es utilizar laexpresin (4.26) para calcular los voltajes de las barras PQ directamente conectadas a barrasde voltaje controlado resolviendo la ecuacin cuadrtica mientras que para las otras barras PQresolver usando (4.26) a travs del mtodo de Newton. En este caso la matriz Jacobiana es

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extremadamente rala teniendo slo dos elementos por fila independiente del tamao delsistema. Adems sus elementos son lineales por lo que su actualizacin y factorizacin nodebera ser tan costosa computacionalmente. El detalle del planteamiento se aprecia en losanexos.

4.4 MTODOS DESACOPLADOS

Se sabe que los mtodos desacoplados por lo general siempre convergen a la solucindel flujo de potencia. Esta demostrado que son mucho ms eficientes que el flujo AC encuanto a los tiempos de proceso, principalmente porque las matrices con las que trabaja semantienen constantes durante todo el proceso iterativo, y no requieren de actualizacin ni defactorizacin, como s ocurre en un flujo AC. En definitiva los mtodos desacoplados son unaprimera muestra de compatibilidad entre los flujos AC y DC. Sin embargo, los tiempos deproceso de los mtodos desacoplados an siguen siendo bastante altos en comparacin a losde un flujo DC en los casos en que se impongan tolerancias de convergencia muy pequeas,por lo que en esta oportunidad se estudiar su confiabilidad de la solucin para un nmero fijode iteraciones, con el objetivo de comparar sus resultados con los de un flujo DC, y haciendo

a la vez ms comparables sus tiempos de proceso. De este modo se podr determinar si es unabuena alternativa en cuanto a eficiencia de clculo utilizar mtodos desacoplados paratolerancias mucho menores a los errores que pueda cometer un flujo DC.

Los mtodos desacoplados estudiados son las versiones estndar XB, la general BX yla robusta RFDPFM, los que son los principales de acuerdo a la literatura [3]. La evaluacinse realizar para slo una y dos iteraciones de los mtodos desacoplados. Hay que notar que alrealizar slo una iteracin de estos mtodos pueden analizarse los resultados para la potenciaactiva y reactiva por separado, ya que no alcanza a haber influencia de la iteracin Q Ven laP , y viceversa. Ya para dos iteraciones s existe influencia de una en la otra, por lo queaunque se requiera, por ejemplo, slo del resultado de la potencia activa, siempre se deben

factorizar tantoB comoB.

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5 IMPLEMENTACIN DE LOS MTODOS

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La implementacin de los mtodos se realiz en MATPOWER 3.0 el cual es unpaquete de MATLAB (m files) para resolver problemas de flujo de potencia y flujo depotencia ptimo. El estndar ha sido desarrollado por Ray D. Zimmerman, Carlos E. Murillo-Snchez y Deqiang (David) Gan de la PSERC (Power Systems Engineering Research Center)de la escuela de ingeniera elctrica de la Universidad de Cornell, y su objetivo es ser unpaquete de libre uso y modificacin para fines de investigacin [13].

La implementacin de los mtodos consisti tanto en la modificacin del cdigo delprograma y en la programacin de nuevas funciones. Finalmente el paquete, con lasmodificaciones y nuevas funciones implementadas, qued con los siguientes mtodos de flujode potencia:

Flujo AC Flujo DC Flujo DC versin BX Flujo DC con modelamiento de las prdidas Flujo GGDF Mtodo desacoplado rpido XB Mtodo desacoplado rpido BX Mtodo desacoplado rpido robusto RFDPFM

5.1 FORMULACIN AC Y DC EN MATPOWER

EnMATPOWERlas cargas son modeladas por sus constantes de consumo de potenciaactiva y reactiva. La admitancia de cualquier elemento shunt de impedancia constante esespecificadas por su demanda a voltaje nominal (potencia activa demandada y potencia

reactiva inyectada), es decir

BASE

INYNOMDEMNOMSHUNT S

jQPY __

+= (5.1)

Adems se escriben las ecuaciones de ramas que relacionan los voltajes y corrientesdesde las barrasD(desde) hasta las barrasH(hasta) usando la matriz de admitancia de ramascomo sigue:

[ ]

=

H

DBranch

H

D

V

VY

I

I (5.2)

donde

[ ]

+

+

=

2

1

11

2 2

csjs

jsc

s

Branch BjY

eY

eY

BjY

Y

shift

shift

yjXR

Ys+

=1

(5.3)

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Donde R y X son la resistencia y reactancia series de las ramas del sistemarespectivamente, Bc es la capacidad total de la rama, y shift son el tap no nominal y el

ngulo desfasador de los transformadores intercambiadores de tap y desfasadoresrespectivamente. Por supuesto todo el tratamiento es matricial.

Cada rama, ya sea lnea de transmisin, transformador o desfasador, es modelado porsu equivalente ,con resistenciaRy reactanciaXserie y capacidad totalBc.

Los elementos de la matriz de admitancia de ramas y los del vector de admitanciasshunts son combinados por MATPOWER para formar la matriz de admitancia nodal BUSY ,

tenindose finalmente:

BUSBUSBUS VYI = (5.4)

Para la formulacin DC los mismos parmetros son usados, con la excepcin de que sedesprecian las resistencias, las capacitancias shunt, los voltajes se asumen como un perfil

plano e igual a 1 p.u. y las diferencias angulares se asumen pequeas entre barrasdirectamente conectadas de modo que ijijsen . Combinando estas suposiciones con la

ecuacin (5.2) se tiene

[ ]

+

=

shiftH

shiftD

H

DBranch

H

D

P

PB

P

P

,

,

(5.5)

donde

[ ]

=

11

111

XBBranch y

=

1

1

,

,

XP

P shift

shiftH

shiftD (5.6)

Por supuesto nuevamente todo el tratamiento es matricial.

Finalmente los elementos de las ramas desfasadoras y los de la matriz [ ]BranchB soncombinados por MATPOWER para formar la matriz BUSB y el vector desfasador shiftBUSP , ,

tenindose finalmente

shiftBUSBUSBUSBUS PBP ,+= (5.7)

5.2 DATOS GENERALES

Es importante notar que la factorizacin de las matrices se realiz utilizando elalgoritmo LU, ya que esta demostrado que es un algoritmo considerado suficientementeestable y rpido para la resolucin de problemas de flujo de potencia [14].

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Adems es importante notar queMATPOWER incluye el algoritmo de cambio de tipode barra para el caso de que haya violacin de los lmites de potencia reactiva de las unidadesgeneradoras.

5.3 DIAGRAMA DE FLUJO DE LOS ALGORITMOS

A continuacin se presentan los diagramas de flujo de los mtodos de flujo de potenciaimplementados.

Diagrama de flujo del flujo DC con modelamiento de las prdidas

Estimacin de losngulos utilizando

flujo DC

K < mximo

Estimacin de lasprdidas utilizando

(4.6)

Estimacin dengulos y

potencias activasterminada

Distribucin de la mitad delas prdidas de las ramas acada barra conectada a la

barra

K = K + 1

S

NO

K = 0

Figura 5.1: Diagrama de flujo del flujo DC con modelamientode las prdidas.

Bsicamente en el diagrama se muestra el procedimiento ms general del mtodo elcual realiza tantas iteraciones como se especifiquen como mximo. En esta memoria laspruebas se llevaron a cabo slo para dos iteraciones de tal modo de no perjudicar demasiadola eficiencia en tiempo de proceso.

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Diagrama de flujo de los mtodos desacoplados XB y BX

Figura 5.2: Diagrama de flujo de los mtodos desacoplados XB y BX.

La tensin inicial escogida es un perfil plano e igual a 1 p.u y ngulos igual a cero. Esimportante notar que en esta implementacin el mtodo XB se program con un esquema de

iteraciones sucesivos a pesar de que su versin original [4] plantea otro esquema de iteracinen el que se permiten saltar iteraciones. El esquema sucesivo es propio del mtodo BX y estcomprobado que entrega mejores resultados que el esquema original del mtodo estndar XB[5] ya que el saltar iteraciones puede provocar conductas cclicas que deterioran laconvergencia. Por supuesto que para el caso en que se realiz un nmero fijo de iteraciones nofue necesario chequear las tolerancias de los vectores de error P y Q , y slo se realiz elproceso el nmero de veces definido.

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Diagrama de flujo del mtodo desacoplado rpido robusto RFDPFM

Figura 5.3: Diagrama de flujo del mtodo desacoplado rpidorobusto RFDPFM.

El esquema de iteraciones utilizado para el sistema dado por (2.19) y (2.20) es elsucesivo, al igual que en los mtodos XB y BX.

La deteccin de las bajas (o altas) tensiones se realiz, de modo arbitrario, despus dela cuarta iteracin (consideradas bajas o altas si se encontraban por bajo 0,9 p.u. o por sobre1.1 p.u. respectivamente). Hay que notar que se podran fijar criterios para realizar ladeteccin de bajos voltajes en un momento ptimo.

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Es importante notar que si se llega a realizar la transformacin del sistema VNM,elnico cambio algebraico que habr ser que las matrices B y B cambiarn slo algunospocos elementos de la diagonal (aquellos que estn relacionados con las barras de bajovoltaje). Para no factorizar nuevamente las matrices de modo completo se utiliza la tcnica deparcial refactorizacin de matrices [16, 17, 18] la cual actualiza la factorizacin LU slo enaquellos elementos que son afectados por este leve cambio de las matrices.

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6 RESULTADOS

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6.1 INTRODUCCIN

Se llev a cabo la evaluacin de los mtodos de flujo de potencia propuestos paradistintos sistemas estndares internacionales [13, 22] y nacionales [20, 21]. Las bases de datosde los sistemas se pueden apreciar de las referencias, en particular los sistemas IEEEde [22],y los sistemas SICy SINGde [20] y [21], respectivamente.

La evaluacin consisti en determinar la confiabilidad de la solucin entregada por elmtodo, adems de medir su eficiencia en el tiempo de proceso.

Para verificar la confiabilidad del resultado del flujo de potencia del mtodo evaluadose compararon sus resultados con los de un flujo AC, que es el que se consider el flujoexacto. La diferencia entre el clculo del mtodo evaluado y el flujo AC es considerada elerror. Entonces se calcularon los errores absolutos (MW y MVAR) y relativos (porcentuales)del flujo de potencia por cada uno de los componentes del sistema. Para sintetizar lainformacin de este conjunto de errores se calcularon valores mximos y promedios.

Los errores absolutos y relativos, mximos y promedios, se calcularon a partir de lassiguientes frmulas:

conectadas

tedirectamenbarrasjiPPMWijabsolutoError ijACijij ,,_ == (6.1)

{ }

{ }

==

100,0

100

,%100

_

_

_

__

_

ACij

ACij

ACij

ACij

ACij

ijACij

ij

PpromPsi

PpromPsi

P

PP

ijrelativoError(6.2)

Donde ACijP _ es el flujo de potencia activa calculada a travs de un flujo AC, ijP es el

flujo de potencia activa calculada a travs de mtodo en evaluacin, y ACijPprom _ es el

promedio de los valores absolutos de las potencias activas calculadas por el flujo AC. A partirde esto se calculan los errores mximos y promedios:

ijjaiRamasMXIMO

MWMxabsolutoError = (6.3)

ijjaiRamas

PROMEDIO MWpromedioabsolutoError = (6.4)

ijjaiRamasMXIMO

MxrelativoError = (6.5)

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ijjaiRamas

PROMEDIO promediorelativoError = (6.6)

El clculo para la potencia reactiva es idntico.

Se ve que el error relativo se hace cero cuando el flujo de potencia activa de la rama esmenor que un 1% del flujo promedio por las ramas. A travs de esto se filtran los casos en queel flujo de potencia activa es muy pequeo (usualmente alimentando solo las prdidas antecargas desconectadas) ya que esto hace

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