XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICAPrimeira Fase – Nível 2

8o ou 9o ano

Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC

06 de junho de 2009

A duração da prova é de 3 horas.Cada problema vale 1 ponto.Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros.Você pode solicitar papel para rascunho.Entregue apenas a folha de respostas.Ao participar o aluno se compromete a não divulgar o conteúdo das questões até a publicação do gabarito no site da OBM.

1. Se 18

de um número é 1 ,5

quanto vale 58

desse número?

A) 18

B) 15

C) 1 D) 85

E) 2

2. Usando palitos de fósforos, podemos construir um hexágono regular, formado por seis triângulos equiláteros unitários, como mostra a figura. Juntando mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro hexágono regular com o quádruplo da área, também formado por triângulos equiláteros unitários. Quantos palitos deverão ser acrescentados?A) 12 B) 24 C) 30

D) 36 E) 48

3. De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 24

4. Se 1 4,

5=

+xo valor de

61+x

é:

A) 51

B) 41

C) 32

D) 54

E) 1

5. A figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos A, B, C e D são as casas e os segmentos são as ruas. De quantas casas é pos-sível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? É permitido passar mais de uma vez por uma mes-ma casa.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

A

B

C

D

6. Os inteiros positivos m e n satisfazem 15m = 20n. Então é possível afirmar, com certeza, que mn é múltiplo de:

A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20

7. Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314?

A) 120 B) 240 C) 360 D) 480 E) 600

8. Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha 25

da bar-

ra, Penha ganha 14

e Sônia ganha 70 gramas, o peso da barra, em gramas, é:

A) 160 B) 200 C) 240 D) 280 E) 400

9. Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 57 como soma de todos os pontos obtidos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos?A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10. Na figura abaixo, °18=α e AB = AC = AD = AE. O valor do ângulo β é:

B

E C D

A

β

α α α

A) 18o B) 36o C) 15o D) 20o E) 30o

11. Cinco cartas iguais têm um lado branco e um lado preto. Elas se encontram em fila com a face branca para cima. Um movimento consiste em escolher um único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo, quantos movimentos são necessários para que as cartas fiquem como na figura ao lado?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5E) Não é possível obter a configuração acima.

12. Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular, CDFG é um quadrado e DFH é um triângulo equilátero. O valor do ângulo β é:

H F

G D

E

A B

β

C

A) 30o B) 36o C) 39o D) 45o E) 60o

13. Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 cor-intianos, 14 flamenguistas e 10 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão em posições consecutivas, podemos concluir que:

A) tal fila não existe.

B) algum dos torcedores das extremidades da fila é gremista.

C) algum dos torcedores das extremidades da fila é flamenguista.

D) algum flamenguista é vizinho de um gremista.

E) algum gremista é vizinho de dois corintianos.

14. Na figura, P é um ponto da reta CD. A região cinza é comum ao retângulo ABCD e ao triângulo ADP. Se AB = 5 cm, AD = 8 cm e a área da região cinza

é 34

da área do retângulo, quanto vale a distância

PC? A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm

PCD

Q

A B

15. A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 + 13 ou, ainda, por 7 + 11. Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam?

A) 112 B) 100 C) 92 D) 88 E) 80

16. Na figura ao lado, E é o ponto médio de AB, F é o pon-to médio de AC e BR = RS = SC. Se a área do triângulo ABC é 252, qual é a área do pentágono AERSF?

A) 168

B) 189

C) 200

D) 210

E) 220

17. Quantos pares ordenados (x, y) de números reais satisfazem a equação

( ) ( )2 22 2 0?− + − − =x y x y

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) infinitos

18. O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão.

Questões

→

Estudantes

↓

1 2 3 4 5 6

Arnaldo 0 1 1 1 1 0

Bernal-do

1 1 1 0 0 1

Cernaldo 0 1 1 1 1 0

⋮ ⋮

Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14

19. Entre os inteiros positivos 4018,+n 21,2,...,2009 ,=n quantos são quadrados perfeitos?

A) 1945 B) 1946C) 1947 D) 1948 E) 1949

A

B

E F

R S C

20. Para cada número natural n, seja nS a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exem-

plo, 2S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Quanto é 10321 SSSS ++++ ⋯ ?

A) 2925 B) 3025 C) 3125 D) 3225E) 3325

21. Em uma folha quadriculada em que cada quadrado tem lado 2cm, são desenhados dois círculos como na figura ao lado. A distância mínima entre os dois círculos mede:

A) 3cm

B) 10 cm

C) ( )10 3+ cm

D) ( )10 2− cm

E) ( )10 3− cm

22. Quantos números naturais de 1 a 100, inclusive, podem ser escritos na forma de potência ba , com , ∈ ¥a b e , 1?>a b

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

23. Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo?

A) 144 cm2 B) 288 cm2 C) 364 cm2 D) 442 cm2 E) 524 cm2

24. Os inteiros 0 < x < y < z < w < t são tais que w = z(x + y) e t = w(y + z). Sendo w = 9, então t é igual a

A) 45 B) 54 C) 63 D) 72 E) 81

25. Alguns cubos foram empilhados formando um bloco. As figuras ao lado representam a vista da esquerda e da frente desse bloco. Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista?

vista da esquerda vista da frente

A)

esqu

erda

B)

esqu

erda

C)

esqu

erda

D)

esqu

erda

E)

esqu

erda

frente frente frente frente frente

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

PRIMEIRA FASE – NÍVEL 2 (8º. ou 9º. anos)GABARITO

GABARITO NÍVEL 2

1) C 6) C 11) B 16) A 21) E

2) C 7) B 12) C 17) C 22) B

3) C 8) B 13) E 18) D 23) B

4) D 9) C 14) E 19) B 24) A

5) C 10) A 15) B 20) B 25) C

1. Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível 2 = 25 pontos).

2. Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: www.obm.org.br

1. (C) Se um oitavo do número é 15

, então esse número vale 58

, de modo que 85

desse número é

158

85 =⋅ .

2. (C) Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do hexágono, como na figura abaixo:

Assim a quantidade de palitos adicionais, em preto na figura, é 30.

3. (C) Seja 1C o casal 1 e 2C o casal 2. É fácil ver que podemos permutar os dois casais nos bancos,

ou seja, teremos as seguintes configurações: 1 2C C e 2 1C C . Além disso, podemos trocar as posições

do marido e da mulher em cada casal. Pelo princípio multiplicativo temos 2 2 2 8.⋅ ⋅ =

4. (D) 1 1 5 1 44 5 6

5 4 4 6 5= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

+ +x x

x x.

5. (C) Possível caminho: BADBCD

A

D B

C

É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver as situações abaixo:

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

6. (C) Como 15m = 20n 34=⇔

nm

e a fração 34

é irredutível, m = 4k e n = 3k, k inteiro positivo. As-

sim, mn = 12k2, que é múltiplo de 12. Tomando k = 1, verificamos que as demais alternativas são in-corretas.

7. (B) Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X = 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y = 2, 3, ..., 9 e Z = 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro. Ou seja 6 8 5 240× × = .

8. (B) Veja que Nelly e Penha pegam juntas 2 1 135 4 20

+ = da barra. Portanto, os 70 gramas de Sônia

representam 720

da barra. Dessa forma, o peso da barra será 20 70 2007

⋅ = gramas.

9. (C) A soma máxima dos pontos é 6 10 60× = e portanto em no máximo três lançamentos o número é obtido não é o máximo.

Assim, em pelo menos sete lançamentos o número é obtido é o máximo 6.

10. (A) A circunferência de centro A e raio AB contém os pontos C, D e E. Logo a medida do ângulo

inscrito µEBC é igual a metade da media do ângulo central µ ,E AC ou seja, 2 18 .2

= = = °αβ α

11. (B) Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas, são necessários pelo menos dois movi-mentos. Por outro lado, com apenas dois movimentos, a segunda carta seria preta. Assim, a quanti-dade mínima é três, conforme o exemplo abaixo:

12. (C) As medidas dos ângulos internos de um triângulo equilátero, de um quadrado e de um pentá-

gono regular são, respectivamente, 60° , 90° e (5 2) 180 108 .

5− ⋅ ° = ° Assim,

µ( ) ( )360 60 90 108 102 .= ° − ° + ° + ° = °m H DE

Temos ainda que o triângulo HDE é isósceles com HD = DE e portanto,

180 102102 180 392

° − °β + β + ° = ° ⇔ β = = °

13. (E) Como temos 14 10 24+ = torcedores não corintianos, na fila deve existir, sempre entre dois torcedores corintianos, exatamente um torcedor de outra equipe.

14. (E) Traçando uma paralela a DC por Q, temos que Área(ABQ) = Área(AQM). Logo Q é ponto mé-dio de BC.

B

Q

C P

A

M

D

Dessa forma os triângulos ABQ e QCP são congruentes e com isso, PC = AB = 5.

15. (B) Para obtermos a maior diferença possível devemos tomar o maior e o menor primo cuja

soma seja 126. Como 123 = 3 . 41, 2121 11 ,119 7 17,115 5 23,= = ⋅ = ⋅ tal representação é 113 + 13,

cuja diferença é 113 – 13 = 100.

16. (A) Temos que 1 .3

= = =BR RS SC BC Sabemos ainda que, como E é ponto médio de AB, a altura

do triângulo EBR com relação à base BR é igual à metade da altura do triângulo ABC com relação à

base BC e, consequentemente, área ( ) 1 13 2

= ⋅EBR área ( ) 16

=ABC área ( )ABC . Analogamente, área

( ) 16

=FSC área ( ) 2 252 168.3

= ⋅ =ABC

17. (C) Para x e y reais:

( ) ( ) ( )

( )

( )

2222 22

2

1 e 10

2 0 ou1 ou 22 0 2 0

4 e 2

= = −==− =

− + − − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔= − =− − = − − =

= =

x yx yx yx y

x y x yy yx y y y

x y

18. (D) Após completas a tabela, teremos quatro 1´s em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos 18 4 72× = 1´s em toda a tabela.

Se a quantidade de 1´s é a mesma em cada coluna, e temos seis colunas, teremos 72 126

= 1´s por

coluna.

19. (B) Inicialmente, podemos observar que:

1. Como 263 3969= e 264 4096,= 2 263 4018 64 .< <

2. ( ) 22 2 22009 4018 2009 2009 1 2009 4018 2009 1+ < ⋅ + ⇔ + < +

3. Logo, entre os inteiros positivos 24018, 1,2,...,2009 ,+ =n n encontramos os quadra-

dos perfeitos 2 2 264 ,65 ,...,2009 , isto é, 2009 64 1 1946− + = ao todo.

20. (B)

1 1 2 3 ... 10 55S = + + + + =

2 12 4 6 ... 20 2(1 2 3 ... 10) 2S S= + + + + = + + + + =

3 13 6 9 ... 30 3(1 2 3 ... 10) 3 S S= + + + + = + + + + =⋮ ⋮ ⋮

10 110 20 30 ... 100 10(1 2 3 ... 10) 10S S= + + + + = + + + + =

Logo 21 2 3 10 1 1 1 1 1 1 1... 2 3 ... 10 (1 2 3 ... 10) 55 3025.S S S S S S S S S S S+ + + + = + + + + = + + + + = ⋅ = =

21. (E) A distância mínima entre os dois círculos é determinada pelo segmento que une os seus cen-tros. Observando, então, a figura abaixo, concluímos que tal distância é igual a

( )2 23 1 2 1 10 3+ − − = − cm.

1cm 2cm

3cm 1cm

22. (B) Listando todas as potências menores ou iguais a 100:

Quadrados: 2 2 22 ,3 ,...,10

Cubos: 3 3 3 22 ,3 ,4 8=

Demais potências: 4 2 4 2 5 6 22 4 ,3 9 ,2 ,2 8= = =

Portanto 12 naturais podem ser escritos na forma indicada.

23. (B) A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos, que são dois triângulos de área

24 12 144.2⋅ = Dessa forma, a área total é 288.

24. (A) Considerando que x, y e z são inteiros positivos, da equação 9 = z(x + y) chegamos as seguintes possibilidades (z = 3 e x + y = 3) ou (z = 1 e x + y = 9).

Porém 0 < x < y z e, portanto, z = 3, y = 2 e x = 1. Assim, t = w(y + z) = 9(2 + 3) = 45.

25. (C) Considere a quantidade de cubos no quadradinho central da vista de cima apresentada na al-ternativa C. Esse é o único do meio da vista da frente e portanto deve ter 1 cubo; esse é também o único do meio da vista da esquerda e portanto deve ter 2 cubos, o que não é possível. Então a vista de cima não pode ser a que está apresentada na alternativa C.

As figuras a seguir indicam possíveis quantidades de cubos em cada quadradinho da vista de cima das demais alternativas.

A)

esqu

erda 3

2 1 B)1 1 1

esqu

erda 3

2 D)1 1 1

esqu

erda 3

2 E)1 1

esqu

erda 3

2 11

frente frente frente frente