Olimpiada Costarricense de Matemáticas

Material para capacitación para

Olimpiadas Costarricenses de Matemática

2012

ÁLGEBRA

Elaborado por: Christopher Trejos Castillo

Con la colaboración de:

Randall Blanco B.

Allan Gen P.

1

Contenido

Polinomios ................................................................................................................................. 2

Problema 1 ............................................................................................................................. 2

Factorización ............................................................................................................................. 3

Problema 2 ............................................................................................................................. 3

Ecuaciones ................................................................................................................................. 4

Problema 3 ............................................................................................................................. 4

Problema 4 ............................................................................................................................. 5

Nivel B .......................................................................................................................................... 7

Polinomios ................................................................................................................................. 7

Problema 1 ........................................................................................................................... 10

Problema 2 ........................................................................................................................... 11

Factorización ........................................................................................................................... 13

Problema 3 ........................................................................................................................... 13

Sistemas de ecuaciones ............................................................................................................ 14

Problema 4 ........................................................................................................................... 14

Problema 5 ........................................................................................................................... 16

Ecuación cuadrática ................................................................................................................. 17

Problema 6 ........................................................................................................................... 18

Desigualdades .......................................................................................................................... 19

Problema 7 ........................................................................................................................... 22

Enunciados de los ejercicios ......................................................................................................... 23

Soluciones de los ejercicios propuestos ........................................................................................ 27

Nivel A ........................................................................................................................................ 27

Nivel B ........................................................................................................................................ 32

2

Nivel A

Polinomios

En el nivel A los estudiantes deben estar en capacidad de realizar operaciones con

polinomios con coeficientes racionales, incluyendo los productos notables:

( ) ( ) ( ) ( )2 2, ,a b a b a b a b+ − − + . Además, utilizarlos para plantear soluciones a problemas diversos.

Primero veremos una aplicación que pueden tener los polinomios, resolviendo un problema

de conteo.

Es importante mencionar que en conteo, la regla del producto dice que si el evento A,

puede suceder de m formas, que el evento B puede suceder de n formas, entonces ambos

eventos pueden suceder de m n⋅ formas.

Problema 1

Para la cena de clausura de la próxima convención de ejecutivos de una empresa se ha

planeado un menú compuesto por varios tipos de plato fuerte, de ensalada, de bebida y de

postre. Se sabe que hay una opción más de plato fuerte que de postre, el doble de opciones

de bebidas que de postres y una opción menos de ensalada que de plato fuerte. Se sabe que

si asisten 150 personas a la cena cada una podría pedir una combinación diferente de menú,

pero si asisten 300 personas, eso no sería posible. ¿Cuál es la máxima cantidad de personas

que puede asistir a la cena, de forma que todos pidan una combinación diferente de menú?

(Suponga que todos pedirán exactamente un plato fuerte, una ensalada, una bebida y un

postre)

Tomado de: Segunda eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2010, Nivel A.

Solución

Sea x la cantidad de opciones posibles para elegir el postre, con esto la cantidad de formas

de elegir el plato fuerte es 1x+ , la cantidad de formas de elegir la bebida es 2x y hay una

opción menos de ensalada que de plato fuerte, entonces hay x opciones de ensalada.

3

La cantidad de permutaciones posibles en el menú viene dada por el producto de las

posibilidades para cada elemento del menú, es decir:

( ) ( ) ( )31 2 2 1P x x x x x x x= ⋅ + ⋅ ⋅ = +

Como se sabe que si asisten 150 personas a la cena cada una podría pedir una combinación

diferente de menú, pero si asisten 300 personas, eso no sería posible, la cantidad de

permutaciones se encuentra entre 150 y 300, entonces al evaluar en ( )P x , el único valor entero de x para el cual el valor del polinomio se encuentra entre 150 y 300 es 3 pues

( )3 216P = .

Ejercicio propuesto 1. En el planeta OLCOMA hay el doble de días en una semana que la

cantidad de semanas en un mes, y hay 2 meses más en un año que semanas en un mes. Si el

total de días en el planeta OLCOMA es desconocido pero se sabe, según estudios, que está

entre los valores 1783 y 3145. ¿Cuántos días hay en una semana en el planeta OLCOMA?

(Christopher Trejos C.)

Factorización

En muchas ocasiones, realizar una factorización tanto de las expresiones algebraicas o de

los números, puede ser la clave para resolver un problema de olimpiadas. Para el nivel A se

espera que el estudiante esté en capacidad de factorizar cualquier número entero y además

que pueda expresar un polinomio como un producto cuando todos los términos tienen algún

factor común.

Problema 2

Encuentre las soluciones enteras positivas de la ecuación 12 2 768x xx− ⋅ − = .

Solución

Como 12 2 2x x−= ⋅ entonces ( )1 1 1 12 2 2 2 2 2 2x x x x xx x x− − − −⋅ − = ⋅ − ⋅ = − . Por ser x un número entero, la ecuación es equivalente a:

4

( )1 82 2 2 3x x− − = ⋅

Para que el exponente 1x− , sea menor que 8 y también para que el factor 2x− sea

positivo, los valores que puede tomar x van de 3 a 9, Si se prueban dichos valores, de

modo que 2x− sea múltiplo de 3,el único valor de x que da una igualdad es 8x = , pues

( )8 1 7 82 8 2 2 6 2 3− − = ⋅ = ⋅ .

Ejercicio propuesto 2. Tres hermanas se reunieron cierto día. Notaron que el producto de

sus edades es igual a 288 y también vieron que la suma de sus edades es igual a 26. Si la

mayor regañó en una ocasión a las otras 2, ¿cuál es la edad de ella?

Ecuaciones

Para el nivel A se espera que los estudiantes estén en capacidad de resolver ecuaciones

lineales con coeficientes racionales, y utilizarlas para resolver problemas.

Problema 3

En una granja, 5 de cada 14 naranjas salen defectuosas. Si hay en total 140 naranjas,

¿cuántas naranjas hay en buen estado?

Solución 1

Representamos las naranjas, así:

Figura 1. Representación gráfica de las naranjas

5

Entonces como son 14 casillas, cada una tiene 10 naranjas, lo cual representamos, así:

Figura 2. Representación gráfica de las naranjas con cálculos

De este modo hay un total de 9 10 90⋅ = naranjas en buen estado.

Solución 2

Las naranjas defectuosas se representan por 5x . Al ser 5 de cada 14 en mal estado,

entonces 9 de cada 14 están en buen estado, entonces las naranjas en buen estado se

representan por 9x .

Así, obtenemos la ecuación 5 9 140x x+ = , es decir 10x = y entonces hay 9 10 90⋅ =

naranjas en buen estado.

Problema 4

En un cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes como meses

en un año. Si un año tiene 1331 días, ¿cuántos días tiene cada semana?

Solución

Sea x la cantidad de días en una semana, que es la misma cantidad de semanas en un mes,

que es a su vez la misma cantidad de meses en un año.

Entonces en una semana hay x días, en un mes hay 2x x x⋅ = en un año hay

2 3x x x⋅ =

días, entonces para averiguar x , resolvemos la ecuación:

3

3 3

1331

11

11

x

x

x

=

=

=

Con esto se concluye que hay 11 días en una semana.

6

Ejercicio propuesto 3. En el salón A hay 8 niños más que en el salón B. Si se pasan 16

niños del salón A para el B, entonces el total de niños en el salón B es 3 veces la cantidad

de niños que quedan en el salón A. ¿Cuántos niños hay en total en ambos salones?

Ejercicio propuesto 4. Alejandra, Georgina y Adriana son tres amigas que coleccionan

estampillas. Entre las tres tienen 198 estampillas. Los padres de estas tres muchachas,

llamados Jorge Espinoza, Andrés Campos y Carlos González (no necesariamente en el

mismo orden), también coleccionan estampillas.

Jorge Espinoza tiene tantas estampillas como su hija. La cantidad de estampillas del señor

Campos, es el doble de la cantidad que tiene su hija. Mientras que el señor González tiene

un 50% más que la cantidad de estampillas de su hija.

Indique el apellido respectivo de cada una de las tres amigas, sabiendo que Alejandra tiene

5 estampillas más que Georgina y 5 estampillas menos que Adriana y que entre los seis

coleccionistas, tienen un total de 500 estampillas.

Ejercicio propuesto 5. En cada escalón de una escalera de 10 peldaños hay una rana. Cada

una de ellas puede, de un salto, colocarse en otro escalón, pero cuando lo hace, al mismo

tiempo, otra rana saltará la cantidad de escalones en sentido opuesto: una sube y otra baja.

¿Conseguirán las ranas colocarse todas juntas en un mismo escalón?

7

Nivel B

Polinomios

En el nivel B los estudiantes deben estar en capacidad de realizar operaciones con

polinomios con coeficientes reales, incluyendo división de polinomios y los productos

notables: ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ,a b a b a b a b+ − − + . Además, utilizarlos para plantear soluciones a

problemas diversos.

A continuación demostraremos algunos resultados importantes de los polinomios que serán

de gran utilidad para resolver problemas olímpicos.

Factorización única de un polinomio

Teorema 1

Sea ( ) 11 1 0...n nn nP x a x a x a x a−−= + + + + siendo 1 2, ,..., nx x x .sus raíces reales o complejas,

entonces el polinomio ( )P x se puede representar de la siguiente manera:

( ) ( )( ) ( )11 1 0 1 2... ...n nn n n nP x a x a x a x a a x x x x x x−−= + + + + = − − −

Teorema 2 (del factor)

Sea α un número real, entonces ( ) 0P α = si y sólo si x− α es un factor del polinomio

( )P x , es decir existe un polinomio Q(x), tal que ( ) ( ) ( )P x x Q x= − α .

Demostración

" "⇒ Por el algoritmo de la división, existen polinomios ( )Q x y ( )r x tales que

( ) ( )( ) ( )P x Q x x r xα= − + con ( )r x de grado 0.

8

Si ( ) 0P α = entonces ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0P Q r rα α α α α α= − + = = .

Como el residuo de la división de ( )P x por x α− es cero, entonces x α− es un factor de ( )P x .

" "⇐ Si x α− es un factor de ( )P x entonces existe un polinomio ( )Q x tal que

( ) ( )( )P x Q x x α= − entonces ( ) ( ) ( ) 0P Qα α α α= − = de donde se concluye que α es un

cero del polinomio ( )P x .

Teorema 3

Si los coeficientes 1 2 1 0, ,..., ,n na a a a− − son números enteros, la ecuación en x :

11 1 0... 0

n nnx a x a x a

−−+ + + + = , no tiene raíces racionales no enteras. (Note que es

necesario que na sea igual a 1).

Demostración

Supongamos que p

xq

= es una solución con ( ), 1p q = , es decir, que el máximo común

divisor de p y q es igual a 1. Entonces por el teorema del factor:

1

1 1 01

1 2 2 11 2 1 0

... 0

...

n n

nn n

nn n n n

n n

p p pa a a

q q q

pa p a p q a pq a q

q

−

− −

− − − −− −

+ + + + =

⇒ = − − − − −

Como el lado derecho de la igualdad es un número entero y ( ), 1p q = , entonces es necesario que 1q = , es decir que x p= , por lo tanto la ecuación no puede tener soluciones

racionales no enteras.

9

Fórmulas de Viète

Una herramienta muy útil en problemas de polinomios, son las fórmulas de Viète, las

cuales dicen lo siguiente:

Teorema 4 (Fórmulas de Viète):

Para un polinomio de grado n , ( ) 11 1 0...n n

n nP x a x a x a x a−

−= + + + + , con coeficientes ja

reales o complejos y con 0na = . Siendo 1 2 3, , , ..., nx x x x , sus n raíces o ceros se cumple

que:

( ) ( )

( )

11 2

21 2 1 3 1 2 3 2 4 2 1

01 2

...

... ... ...

... 1

nn

n

nn n n n

n

n

nn

ax x x

a

ax x x x x x x x x x x x x x

a

ax x x

a

−

−−

+ + + = − + + + + + + + + + = = −

⋮

Para 2n = se tiene una ecuación cuadrática, en la que se cumple el corolario 1:

Corolario 1

Sean , y a b c números reales. Se tiene la ecuación cuadrática 2 0ax bx c+ + = con raíces

(reales o complejas) 1 2,x x . Entonces 1 2 1 2 y b c

x x x xa a

+ = − ⋅ = .

Demostración

La ecuación cuadrática puede ser expresada de dos maneras, así:

( )( )2 1 2 0ax bx c a x x x x+ + = − − =

Entonces se tiene que:

( )2 2 1 2 1 2ax bx c ax a x x x a x x+ + = − + + ⋅ ⋅

10

Comparando coeficientes se cumple que:

( )1 2 1 2b

b a x x x xa

= − + ⇒ + = −

1 2 1 2

cc ax x x x

a= ⋅ ⇒ ⋅ =

Que es lo que queríamos probar. ■

Si el polinomio fuese de grado 3, por ejemplo ( ) 3 2P x ax bx cx d= + + + y las raíces (reales

o complejas) son 1 2 3, ,x x x , entonces se cumple que 1 2 3b

x x xa

+ + = − ,

1 2 1 3 2 3

cx x x x x x

a+ + = y 1 2 3

dx x x

a= − .

Veamos cómo nos puede ayudar el teorema anterior a resolver el siguiente problema:

Problema 1

Se tiene el polinomio ( ) 3 226 288P x x x cx= − + − con raíces enteras. Si 1 2 3, ,x x x son las

raíces de ( )P x y se cumple que 1 2 1 3 y x x x x< < , ¿cuál es el valor de c? Solución

De acuerdo con las fórmulas de Viète se tiene que:

( )( )

( )

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

26 1

2

288 3

x x x

x x x x x x c

x x x

+ + =

+ + =

=

Buscamos los divisores de 288, ya que sabemos que el polinomio tiene raíces enteras, así:

288 2 144 2 72 2 36 2

11

18 2 9 3 3 3 1

Tenemos que 5 2288 2 3= ⋅ . Las únicas factorizaciones del número 288 en las que los

factores suman 26 son: { } { } { } { }1 2 3 1 2 3, , 18, 4, 4 ó , , 2, 12, 12x x x x x x= = . Se descarta la primera tripleta pues debe haber un solo número menor.

De este modo sustituyendo los valores de 1 2 3, ,x x x en (2) tenemos que:

12 12 2 12 2 12 192c = ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Problema 2

Considere el polinomio ( ) 2P x x bx c= + + con b y c enteros no negativos. Encuentre el

valor de b y c sabiendo que las raíces de ( )P x son números enteros, que c es primo y que

( )1 135P c+ = , donde ( )1P c+ es el valor numérico de P(x) cuando 1x c= + .

Tomado de: Banco de problemas Final Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2009, Nivel B

Solución:

Por las fórmulas de Viète, si 1 2 y x x son las raíces de P(x), se tiene que ( )1 2 11c

x x c= = y

( )1 2 21b

x x b+ = − = − , de la ecuación (1), como c es un número primo, se sigue que

1 2 y 1x c x= ± = ± , con esto tenemos 2 casos:

I Caso: 1

1

c b

b c

+ = −

⇒ = − −

II Caso: 1

1

c b

b c

− − = −

⇒ = +.

Como ( )1 135P c+ = entonces sustituyendo el valor de b en el I Caso:

12

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2

2

2 2

1 135

1 1 135

1 1 1 135

1 1 135

135

P c

c b c c

c c c c

c c c

c

+ =

⇒ + + + + =

⇒ + − + + + =

⇒ + − + + =

⇒ =

este caso se descarta pues c es un número primo y 135 es divisible por 5.

Sustituyendo el valor de b en el II Caso:

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )

2

2

2 2

2

2

2

1 135

1 1 135

1 1 1 135

1 1 135

2 1 135

2 2 1 135

2 5 2 135

P c

c b c c

c c c c

c c c

c c

c c c

c c

+ =

⇒ + + + + =

⇒ + + + + + =

⇒ + + + + =

⇒ ⋅ + + =

⇒ + + + =

⇒ + + =

De lo anterior, ( )( )

2

2

2 5 2 135 0

2 5 133 0

2 19 7 0

c c

c c

c c

+ + − =

⇒ + − =

⇒ + − =

y de aquí se tiene que 7c = y 1 8b c= + = .

Ejercicio propuesto 1: Las tres raíces positivas distintas del polinomio

( ) 3 2 334

P x x x ax= − + − están en progresión aritmética, (es decir 2 1 3 2x x x x− = − ). ¿Cuál

es el valor de a?

Ejercicio propuesto 2: En el polinomio 3 2x px qx r+ + + se cumple que un cero es la

suma de los otros dos. Muestre que 3 4 8 0p pq r− + = .

13

Factorización

Se espera que un estudiante de nivel B esté en capacidad de factorizar expresiones con

coeficientes reales que tienen factor común, o bien factorizar diferencias de cuadrados;

trinomios cuadrados perfectos y aplicar los métodos de inspección o fórmula general.

Problema 3

Si m y n son enteros positivos que satisfacen 1 2 39n n nm m m+ ++ + = entonces, ¿cuánto

valen n y m?

Solución

Factoricemos la expresión así:

2 39n n nm m m m m+ + =

( )21 39nm m m+ + =

Como m y n son números naturales, entonces es necesario que 39nm es decir

{ }1, 3, 13, 39nm ∈ . A excepción del 1, los posibles valores de nm solo pueden escribirse

como potencia de un entero si el exponente es uno, pero si 1m= entonces

( ) ( )2 21 1 1 1 1 3n nm m m+ + = ⋅ + + = es decir, si 1m= no hay solución.

Entonces, como n debe ser 1, tanto m como 21 m m+ + deben ser divisores de 39

diferentes de 1, así { }3, 13, 39m∈ probando con cada valor de m realizamos la siguiente

tabla:

m ( )21nm m m+ +

3 39

13 2535

39 60879

14

El único valor de m que satisface las condiciones del problema es 3m= . Por lo tanto,

3m= y 1n= .

Ejercicio propuesto 3: Determinar todos los pares ordenados de números naturales (m,n)

tales que: mn≥0 y 3 3 399 33m n mn+ + =

Ejercicio propuesto 4: Muestre que:

( )( )3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + − = + + + + − − −

Sistemas de ecuaciones

Para el nivel B se espera que los estudiantes estén en capacidad de resolver ecuaciones

lineales y cuadráticas con coeficientes reales, así como sistemas de ecuaciones lineales, y

utilizarlas para resolver problemas.

Hay sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas en los que aparentemente sólo

poseen 2 ecuaciones y pareciera imposible su solución, pero con la solución del siguiente

problema se presenta una forma de cómo aprovechar los datos suministrados y los

solicitados para generar otras ecuaciones.

Problema 4

Tres camisas, siete bufandas y un pantalón cuestan 7150, cuatro camisas, diez bufandas y

un pantalón cuestan 9750. ¿Cuánto cuesta una camisa, una bufanda y un pantalón?

Solución

Sea C el precio de una camisa, B el precio de una bufanda y P el precio de un pantalón. De

acuerdo con el enunciado se tiene que:

( )

( )

3 7 7150 *

4 10 9750 **

C B P

C B P

+ + =

+ + =

15

Observe que si se multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 y se restan los

productos obtenidos, se obtiene la cantidad que se está buscando:

3 3 7 7150 9 21 3 21450

2 4 10 9750 8 20 2 19500

1950

C B P C B P

C B P C B P

C B P

+ + = + + = → + + = + + =

+ + =

Pero, ¿cómo se obtienen esos números 3 y 2 por los que era necesario multiplicar las

ecuaciones?

Lo que debemos hacer es multiplicar la ecuación (*) por un número k y multiplicar la

ecuación (**) por un número m, de forma tal que al restar los productos, obtengamos la

expresión C B P+ + igualada a un valor, que es el valor que pide el problema.

Entonces se debe cumplir que ( ) ( )3 7 4 10k C B P m C B P C B P+ + − + + = + + , de donde

se deduce que:

( )

( )

( )

3 4 1 1

7 10 1 2

1 3

k m

k m

k m

− = − = − =

De la ecuación (3) deducimos que 1k m= + , y sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos

la ecuación: ( )3 1 4 1m m+ − = , es decir 3 1m− + = , de donde 2m= , y entonces

2 1 3k = + = . Sustituyendo en las ecuaciones (1), (2) y (3), vemos que dichos valores nos

sirven entonces:( ) ( )3 3 7 – 2 4 10 3 7150 2 9750 1950C B P C B P+ + + + = ⋅ − ⋅ = , entonces

1950C B P+ + = .

Es decir, una camisa, una bufanda y un pantalón tienen un costo de 1950 colones.

16

Otro problema de sistemas de ecuaciones lineales en donde se requiere de cierto ingenio

para su solución es el siguiente:

Problema 5

Carlos tiene cuatro veces la edad que Marcela tenía cuando él tenía la edad que ella tiene

ahora. Si además se sabe que cuando Marcela tenga la edad que Carlos tiene ahora, la suma

de sus edades será de 114 años, entonces ¿cuál es el dígito de las decenas del producto de

las edades actuales de Carlos y Marcela?

Solución

Sea x la edad actual de Marcela y sea y la edad de Marcela en el pasado, es decir cuando

Carlos tenía la edad que ahora tiene Marcela.

De acuerdo con los datos dados en el problema, se tiene la siguiente tabla:

Antes Ahora Futuro

Carlos x 4y

Marcela y x 4y

La tabla anterior la llenamos así, pues nos dicen que ahora la edad de Carlos es cuatro veces

la edad que Marcela tenía cuando él tenía la edad que ella tiene ahora.

Además nos dicen que en un futuro, cuando la edad de Marcela sea la que misma que tiene

ahora Carlos, la suma de sus edades será igual a 114. Para obtener una expresión para la

edad en el futuro de Carlos, veamos que los años que deben pasar para que la edad de

Marcela cambie de x a 4y son 4 y x− , entonces la edad de Carlos en el futuro es

4 4 8y y x y x+ − = − .

Escribimos la tabla de nuevo, así:

17

Antes Ahora Futuro

Carlos x 4y 8y-4x

Marcela y x 4y

Ahora, como la diferencia de años de antes a ahora es la misma para Carlos y Marcela, se

cumple que: 5

4 5 2 (1)2

yy x x y y x x− = − ⇒ = ⇒ = .

Luego como en el futuro las edades suman 114, se cumple que:

( )

8 4 114

12 114 2

y x y

y x

− + =

− =

Sustituyendo (1) en (2), se tiene que:

512 114

219

1142

114 212

19

yy

y

y

− =

=

⋅= =

Como 12y = , entonces 5 12

302

x⋅

= = . Por lo tanto, la edad actual de Carlos es

4 4 12 48y = ⋅ = y la edad actual de Marcela es 30; con lo cual el producto de las edades

actuales es: 48 30 144⋅ = y el dígito de las decenas es 4.

Ecuación cuadrática

Para resolver problemas que involucran la ecuación cuadrática, es necesario que el

estudiante esté en capacidad de plantear la ecuación para luego resolverla, ya sea por

18

fórmula general o factorizando la expresión. También debe estar en capacidad de realizar

sustituciones apropiadas que le conduzcan a formas cuadráticas.

Problema 6

Un bote puede viajar 72 km río abajo y regresar al punto de donde salió en un total de 15

horas. Si la velocidad de la corriente es de 2 km

h. ¿Cuál sería la velocidad del bote en aguas

tranquilas?

Solución

Sea x la velocidad del bote en aguas tranquilas. La velocidad del bote río abajo viene dada

por 2x+ y la velocidad del bote río arriba 2x− .

De acuerdo con la relación entre distancia, velocidad y tiempo: d vt= se sigue que el

tiempo que tardó el bote en viajar 72 km río abajo es 172

2t

x=

+, mientras que el tiempo

que tardó el bote en viajar los 72 km río arriba es 272

2t

x=

−.

Como el bote tardó 15 horas en realizar el viaje, entonces 1 272 72

152 2

t tx x

+ = + =+ −

.

La ecuación anterior es equivalente a:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

72 2 72 2 15 4

24 2 24 2 5 4

5 48 20 0

5 2 10 0

x x x

x x x

x x

x x

− + + = −

− + + = −

− − =+ − =

.

19

Las soluciones de la ecuación anterior son 2

ó 105

x x−= = . Por lo tanto, la velocidad del

bote en aguas tranquilas es 10 km

h, pues la velocidad negativa no es posible debido al

planteamiento del problema.

Ejercicio propuesto 5: A y B trabajando juntos hacen una obra en 4 días menos de lo que

tardaría B. Si A puede llevar a cabo la misma obra en 15 días, entonces, ¿cuál es la cantidad

de días que tardará B en hacer la obra?

Desigualdades

En este apartado se discutirán conceptos relacionados con algunas desigualdades que son de

mucha utilidad en la solución de problemas olímpicos. El conocimiento de estos teoremas

puede ser una herramienta que le permita a los estudiantes resolver de una mejor manera

algún ejercicio.

Por ejemplo, es importante saber aplicar que para cualquier número real se cumple 2 0x ≥

para deducir otras desigualdades como la siguiente:

Si se tiene que a y b son números reales no negativos entonces ( )2 0a b− ≥ que es equivalente a 2a b ab+ ≥ , es decir

2

a bab

+ ≥ . Como se verá más adelante, esta es la

desigualdad media aritmética- media geométrica (MA – MG).

20

Media Potencial-Media Aritmética- Media Geométrica-Media Armónica

Para trabajar con algunas desigualdades es útil conocer las siguientes medias:

Media potencial 1 1...p p pn np x x xMP

n−+ + +=

Media cuadrática 2 2 2

1 1...n nx x xMQn

−+ + +=

Media aritmética 1 1...n nx x xMA

n−+ + +=

Media geométrica: 1 1...n n nMG x x x−= ⋅ ⋅ ⋅

Media armónica:

1 1

1 1 1...

n n

nMH

x x x−

=

+ + +

Si 1 2, ,..., 0nx x x ≥ , las medias anteriores cumplen con la siguiente relación:

MQ MA MG MH≥ ≥ ≥ , es decir:

2 2 21 1 1 1

1 1

1 1

... ......

1 1 1...

n n n n nn n

n n

x x x x x x nx x x

n nx x x

− −−

−

+ + + + + +≥ ≥ ⋅ ⋅ ≥

+ + +

El caso de igualdad en la expresión anterior se da cuando 1 2 ... nx x x= = = .

Veamos algunos ejemplos, con , 0a b≥ :

2 2 21 12 2

a b a bab

a b

+ +≥ ≥ ≥

+

A continuación se discute una prueba geométrica de la desigualdad MA MG MH≥ ≥ :

21

Figura 3. Demostración gráfica de las desigualdades entre las medias

De acuerdo con los datos de la figura 3, si O es el centro de la circunferencia que contiene a

A, B y D, C es el pie de la altura desde D al diámetro AB , y E el pie de la perpendicular

desde C a DO , tenemos que la medida DO es el radio del semicírculo, es decir

2

a bDO

+= .

Luego por derivados de Pitágoras, 2 2DC h a b= = ⋅ es decir h ab= .

También por derivados de Pitágoras se tiene que:

2 2 2 2 2 21 12

a b abDC OD DE h DE DE

a b a ba bab ab ab a b

+= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = = = =

++ + +

.

Como en un triángulo rectángulo el lado de mayor longitud es la hipotenusa, entonces

DO CD DE≥ ≥ lo que equivale a 2

12

a bab

a b

+≥ ≥

1+

, que es la desigualdad de las

medias aritmética, media geométrica, media armónica (MA-MG-MA).

Para el caso de tres números , , 0a b c≥ tenemos las desigualdades siguientes:

2 2 23 2

1 1 12 2

a b c a b cabc

a b c

+ + + +≥ ≥ ≥

+ +

22

Problema 7

Muestre que si , , 0a b c≥ entonces 2 2 2a b c ab ac bc+ + ≥ + + .

Solución

Por la desigualdad MA MG≥ se sigue que:

( )

( )

( )

2 22 2

2 22 2

2 22 2

1 ,2

2 ,2

32

a ba b ab

a ca c ac

b cb c bc

+≥ =

+≥ =

+≥ =

Sumando las desigualdades (1), (2) y (3) anteriores obtenemos que:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

a b cab ac bc

a b c ab ac bc

+ +≥ + +

+ + ≥ + +

que es lo que queríamos probar.

Ejercicio propuesto 6: Muestre que si ,a b +∈ℝ y n∈ℕ entonces: 1

1n n a nbab

n+ +≤

+.

Ejercicio propuesto 7: Muestre que si , , , ,a b c d e +∈ℝ :

( )1 1 1 1 1

25 a b c d ea b c d e

≤ + + + + + + + +

Ejercicio propuesto 8: Encuentre todas las soluciones positivas de la ecuación

( )1 1 1 0n nnx n x+ − + + =

Ejercicio propuesto 9: Muestre que:1

!2

nn

n + ≤ .

, con ( )( )! 1 2 ... 2 1n n n n= − − ⋅ ⋅ ⋅

23

Enunciados de los ejercicios

NIVEL A

Polinomios

Problema 1 Para la cena de clausura de la próxima convención de ejecutivos de una empresa se ha planeado un menú compuesto por varios tipos de plato fuerte, de ensalada, de bebida y de postre. Se sabe que hay una opción más de plato fuerte que de postre, el doble de opciones de bebidas que de postres y una opción menos de ensalada que de plato fuerte. Se sabe que si asisten 150 personas a la cena cada una podría pedir una combinación diferente de menú, pero si asisten 300 personas, eso no sería posible. ¿Cuál es la máxima cantidad de personas que puede asistir a la cena, de forma que todos pidan una combinación diferente de menú? (Suponga que todos pedirán exactamente un plato fuerte, una ensalada, una bebida y un postre)

Tomado de: Segunda eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2010, Nivel A.

Ejercicio propuesto 1 En el planeta OLCOMA hay el doble de días en una semana que la

cantidad de semanas en un mes, y hay 2 meses más en un año que semanas en un mes. Si el

total de días en el planeta OLCOMA es desconocido pero se sabe, según estudios, que está

entre los valores 1783 y 3145. ¿Cuántos días hay en una semana en el planeta OLCOMA?

(Christopher Trejos C.)

Factorización

Problema 2 Encuentre las soluciones enteras positivas de la ecuación 12 2 768x xx− ⋅ − = .

Ejercicio propuesto 2 Tres hermanas se reunieron cierto día. Notaron que el producto de sus

edades es igual a 288 y también vieron que la suma de sus edades es igual a 26. Si la mayor

regañó en una ocasión a las otras 2, ¿cuál es la edad de ella?

24

Ecuaciones

Problema 3 En una granja, 5 de cada 14 naranjas salen defectuosas. Si hay en total 140 naranjas, ¿cuántas naranjas hay en buen estado?

Problema 4 En un cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes como meses en un año. Si un año tiene 1331 días, ¿cuántos días tiene cada semana?

Ejercicio propuesto 3 En el salón A hay 8 niños más que en el salón B. Si se pasan 16 niños del salón A para el B, entonces el total de niños en el salón B es 3 veces la cantidad de niños que quedan en el salón A. ¿Cuántos niños hay en total en ambos salones?

Ejercicio propuesto 4 Alejandra, Georgina y Adriana son tres amigas que coleccionan estampillas. Entre las tres tienen 198 estampillas. Los padres de estas tres muchachas, llamados Jorge Espinoza, Andrés Campos y Carlos González (no necesariamente en el mismo orden), también coleccionan estampillas.

Jorge Espinoza tiene tantas estampillas como su hija. La cantidad de estampillas del señor Campos, es el doble de la cantidad que tiene su hija. Mientras que el señor González tiene un 50% más que la cantidad de estampillas de su hija.

Indique el apellido respectivo de cada una de las tres amigas, sabiendo que Alejandra tiene 5 estampillas más que Georgina y 5 estampillas menos que Adriana y que entre los seis coleccionistas, tienen un total de 500 estampillas.

Ejercicio propuesto 5 En cada escalón de una escalera de 10 peldaños hay una rana. Cada una de ellas puede, de un salto, colocarse en otro escalón, pero cuando lo hace, al mismo tiempo, otra rana saltará la cantidad de escalones en sentido opuesto: una sube y otra baja. ¿Conseguirán las ranas colocarse todas juntas en un mismo escalón?

25

Nivel B

Polinomios

Problema 1 Se tiene el polinomio ( ) 3 226 288P x x x cx= − + + con raíces enteras. Si 1 2 3, ,x x x son las raíces de ( )P x y se cumple que 1 2 1 3 y x x x x< < , ¿cuál es el valor de c?

Problema 2 Considere el polinomio ( ) 2P x x bx c= + + con b y c enteros no negativos.

Encuentre el valor de b y c sabiendo que las raíces de ( )P x son números enteros, que c es

primo y que ( )1 135P c+ = , donde ( )1P c+ es el valor numérico de P(x) cuando

1x c= + .

Tomado de: Banco de problemas Final Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2009, Nivel B

Ejercicio propuesto 1 Las tres raíces positivas distintas del polinomio

( ) 3 2 334

P x x x ax= − + − están en progresión aritmética, (es decir 2 1 3 2x x x x− = − ). ¿Cuál

es el valor de a?

Ejercicio propuesto 2 En el polinomio 3 2x px qx r+ + + se cumple que un cero es la suma

de los otros dos. Muestre que 3 4 8 0p pq r− + = .

Factorización

Problema 3 Si m y n son enteros positivos que satisfacen 1 2 39n n nm m m+ ++ + = entonces, ¿cuánto valen n y m?

Ejercicio propuesto 3 Determinar todos los pares ordenados (m,n) tales que: mn≥0 y 3 3 399 33m n mn+ + = .

Ejercicio propuesto 4 Muestre que:

( )( )3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + − = + + + + − − −

26

Sistemas de ecuaciones

Problema 4 Tres camisas, siete bufandas y un pantalón cuestan 7150, cuatro camisas, diez bufandas y un pantalón cuestan 9750. ¿Cuánto cuesta una camisa, una bufanda y un pantalón?

Problema 5 Carlos tiene cuatro veces la edad que Marcela tenía cuando él tenía la edad que ella tiene ahora. Si además se sabe que cuando Marcela tenga la edad que Carlos tiene ahora, la suma de sus edades será de 114 años, entonces ¿cuál es el dígito de las decenas del producto de las edades actuales de Carlos y Marcela?

Ecuación cuadrática

Problema 6 Un bote puede viajar 72 km río abajo y regresar al punto de donde salió en un

total de 15 horas. Si la velocidad de la corriente es de 2 km

h. ¿Cuál sería la velocidad del

bote en aguas tranquilas?

Ejercicio propuesto 5 A y B trabajando juntos hacen una obra en 4 días menos de lo que tardaría B. Si A puede llevar a cabo la misma obra en 15 días, entonces, ¿cuál es la cantidad de días que tardará B en hacer la obra?

Desigualdades

Problema 7 Muestre que si , , 0a b c≥ entonces 2 2 2a b c ab ac bc+ + ≥ + + .

Ejercicio propuesto 6 Muestre que si ,a b +∈ℝ y n∈ℕ entonces: 1

1n n a nbab

n+ +≤

+.

Ejercicio propuesto 7 Muestre que si , , , ,a b c d e +∈ℝ :

( )1 1 1 1 1

25 a b c d ea b c d e

≤ + + + + + + + +

Ejercicio propuesto 8 Encuentre todas las soluciones positivas de la ecuación

( )1 1 1 0n nnx n x+ − + + =

Ejercicio propuesto 9 Muestre que:1

!2

nn

n + ≤ .

, con ( )( )! 1 2 ... 2 1n n n n= − − ⋅ ⋅ ⋅

27

Soluciones de los ejercicios propuestos

Nivel A

Ejercicio propuesto 1. En el planeta OLCOMA hay el doble de días en una semana que la

cantidad de semanas en un mes, y hay 2 meses más en un año que semanas en un mes. Si el

total de días en un año en el planeta OLCOMA es desconocido pero se sabe, según

estudios, que está entre los valores 1783 y 3145. ¿Cuántos días hay en una semana en el

planeta OLCOMA?

Solución

Sea x la cantidad de semanas en un mes, con esto la cantidad de días en una semana es 2x

y la cantidad de meses en un año es 2x+ .

Sea ( )P x la cantidad de días en un año, entonces:

( ) ( ) ( )22 2 2 2P x x x x x x= ⋅ ⋅ + = +

Se sabe que la cantidad de días en un año está entre 1783 y 3145 días, entonces al evaluar

en ( )P x , el único valor entero de x para el cual el valor del polinomio se encuentra entre

1783 y 3145 es 10 pues ( )10 2400P = y ( ) ( )9 1782 y 11 3146P P= = .

Por lo tanto, hay 20 días en una semana.

Ejercicio propuesto 2. Tres hermanas se reunieron cierto día. Notaron que el producto de

sus edades es igual a 288 y también vieron que la suma de sus edades es igual a 26. Si la

mayor regañó en una ocasión a las otras 2, ¿cuál es la edad de ella?

Solución:

Buscamos la factorización completa de 288 para obtener sus divisores, así:

28

288 2 144 2 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1

Tenemos que 5 2288 2 3= ⋅ . Las únicas factorizaciones del número 288 en las que los

factores suman 26 son: { } { }18, 4, 4 ó 2, 12, 12. Se descarta la segunda tripleta pues se dice en el problema que la mayor regaño a las otras dos, es decir debe haber un solo número

mayor. De este modo la hermana mayor tiene 18 años.

Ejercicio propuesto 3. En el salón A hay 8 niños más que en el salón B. Si se pasan 16

niños del salón A para el B, entonces el total de niños en el salón B es 3 veces la cantidad

de niños que quedan en el salón A. ¿Cuántos niños hay en total en ambos salones?

Solución 1.

Representamos las personas en el salón A y el salón B al inicio y luego de que se pasan las

16 personas del salón A al B, así:

Figura 1. Personas en el salón A y B al inicio y después del cambio

La cantidad de personas en el salón B es el triple que la cantidad en el salón A luego del

cambio, entonces los 24 niños que hay de más en el salón B representan el doble de lo que

hay en el salón A, es decir, en el salón A luego del cambio hay 12 niños.

29

Por lo tanto, al inicio había en el salón A 12 + 16 = 28 niños y en el salón B había 20 niños.

Solución 2.

Sea x la cantidad de niños en el salón B al inicio, con esto la cantidad de niños en cada

salón sería:

Salón Cantidad de niños antes del cambio Cantidad de niños después del cambio

A 8x+ 8x−

B x 16x+

Según el enunciado cuando los 16 niños se pasan del salón A al B, se tiene en B el triple de

niños que en A, es decir ( )3 8 16 3 16 24 2 40 20x x x x x x− = + ⇒ − = + ⇒ = ⇒ = .

Entonces al inicio en el salón A hay 8 28x+ = y en el salón B hay 20x = niños.

Ejercicio propuesto 4. Alejandra, Georgina y Adriana son tres amigas que coleccionan

estampillas. Los padres de estas tres muchachas, llamados Jorge Espinoza, Andrés Campos

y Carlos González (no necesariamente en el mismo orden), también coleccionan

estampillas.

• Entre las tres tienen 198 estampillas.

• Jorge Espinoza tiene tantas estampillas como su hija.

• La cantidad de estampillas del señor Campos, es el doble de la cantidad que tiene su

hija.

• Mientras que el señor González tiene un 50% más que la cantidad de estampillas de

su hija.

Indique el apellido respectivo de cada una de las tres amigas, sabiendo que

• Alejandra tiene 5 estampillas más que Georgina y 5 estampillas menos que Adriana

• entre los seis coleccionistas, tienen un total de 500 estampillas.

Solución

Sea x la cantidad de estampillas de Alejandra, entonces la cantidad de estampillas de

Georgina es 5x− y la cantidad de estampillas de Adriana es 5x+ . Entre las tres tienen

30

198 estampillas, entonces: 5 5 198 3 198 66x x x x x+ − + + = ⇒ = ⇒ = . Con lo cual

Alejandra tiene 66 estampillas, Georgina tienen 61 estampillas y Adriana 71 estampillas.

Los padres de las tres muchachas tienen 500 – 198=302. Como la cantidad de estampillas

es un número entero, el señor González debe ser el padre de Alejandra, pues es la única que

tiene una cantidad de estampillas la cual el 50% es un número entero. La cantidad de

estampillas del señor González es 66 50% 66 99+ ⋅ = .

Realizamos el siguiente cuadro en el cual suponemos que el señor Campos es padre de

Georgina o de Adriana (sabiendo que este tiene el doble de estampillas que su hija y que el

señor Espinoza tiene la misma cantidad de estampillas que su hija), así:

Cantidad de

estampillas

del señor

Campos

Cantidad de

estampillas

señor Espinoza

Cantidad de

estampillas

señor González

Total de estampillas

de los padres

Señor Campos

padre de Georgina

122 71 99 292

Señor Campos

padre de Adriana

142 61 99 302

Del cuadro anterior, deducimos que el señor Campos es el padre de Adriana y por ende el

señor Espinoza el padre de Georgina, pues los padres deben tener 302 estampillas.

Por lo tanto, los apellidos de Alejandra, Adriana y Georgina son González, Campos y

Espinoza, respectivamente.

Ejercicio propuesto 5. En cada escalón de una escalera de 10 peldaños hay una rana. Cada

una de ellas puede, de un salto, colocarse en otro escalón, pero cuando lo hace, al mismo

31

tiempo, otra rana saltará la cantidad de escalones en sentido opuesto: una sube y otra baja.

¿Conseguirán las ranas colocarse todas juntas en un mismo escalón?

Solución:

Si se numeran los escalones con los números del 1 al 10, como en cada uno de ellas hay una

rana entonces la suma de los números en los que están colocadas todas ellas es

1 2 3 ... 9 10 55S = + + + + + = .

Cada vez que una rana salta hacia arriba otra lo hace hacia abajo la misma cantidad de

escalones, por lo que la suma de los números de los escalones ocupados no varía.

Si todas las ranas estuvieran ubicadas en el mismo escalón, la suma debería ser un múltiplo

de 10, pero 55 no lo es. Por lo tanto es imposible que todas lleguen a estar en el mismo

escalón.

32

Nivel B

Ejercicio propuesto 1: Las tres raíces positivas distintas del polinomio

( ) 3 2 334

P x x x ax= − + − están en progresión aritmética, (es decir 2 1 3 2x x x x− = − ). ¿Cuál

es el valor de a?

Solución:

Por las fórmulas de Viète se tiene que:

1 2 3 3x x x+ + =

1 2 2 3 3 1x x x x x x a+ + =

1 2 3

3

4x x x =

Las raíces de ( )P x están en progresión aritmética la diferencia entre ellas es constante, sea d la diferencia de la progresión, entonces las raíces son: 1 1 1, , 2x x d x d+ + .

Si sustituimos lo anterior en las ecuaciones de Viète, obtenemos las siguientes ecuaciones:

1 13 3 3 1x d x d+ = ⇒ + =

( )( ) ( )

( )

1 1 1 1 1

21 1 1 1

1 1

1 1

3 32 1

4 43 3

1 1 2 04 4

1 30

2 2

1 3

2 2

x x d x d x x d d

x x x x

x x

x ó x

+ + = ⇒ ⋅ ⋅ + + =

⇒ + − = ⇒ − + =

⇒ − − =

⇒ = =

Con esto si 13

2x = como 1

11

2x d d+ = ⇒ = − . Entonces

2 1 3 13 1 3 1 1

1 2 22 2 2 2 2

x x d y x x d= + = − = = + = − ⋅ =

33

De igual manera si 11

2x = . Como 1

11

2x d d+ = ⇒ = . Entonces

2 1 3 1

1 1 1 1 31 2 2

2 2 2 2 2x x d y x x d= + = + = = + = + ⋅ =

Es decir, obtenemos { }1 2 31 3

, , , 1,2 2

x x x =

.

Por lo tanto, 1 2 1 3 2 31 1 3 3 11

1 12 2 2 2 4

a x x x x x x= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

El valor de a es 11

4 .

Ejercicio propuesto 2: En el polinomio 3 2x px qx r+ + + se cumple que un cero es la

suma de los otros dos. Muestre que 3 4 8 0p pq r− + = .

Solución:

Por la fórmulas de Viète se tiene que:

( )1 2 3 1x x x p+ + = −

( )1 2 2 3 3 1 2x x x x x x q+ + =

( )1 2 3 3x x x r= −

Se tiene que 1 2 3x x x= + con esto sustituyendo en (1) 1 12 2p

x p x−

= − ⇒ = .

También sustituyendo en (2):

( ) ( )2

21 2 3 2 3 1 2 3 2 3 44

px x x x x q x x x q x x q+ + = ⇒ + = ⇒ + =

Sustituyendo 1 2

px

−= en (3) tenemos que:

34

( )1 2 3 2 3 2 32

52

p rx x x x x r x x

p

−= ⋅ = − ⇒ =

Sustituyendo (5) en (4):

2 23 3

2 3

28 4 4 8 0

4 4

p p rx x q q p r pq p pq r

p+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ − + = que es lo que se

quería probar.

Ejercicio propuesto 3: Determinar todos los pares ordenados de números naturales (m,n)

tales que: mn≥0 y 3 3 399 33m n mn+ + =

Solución:

La segunda condición se convierte en:

3 3 2 2 3 2 23 3 99 33 3 3m n m n mn mn m n mn+ + + + = + +

⇒ 3 2 2 3 3 2 23 3 33 3 3 99m m n mn n m n mn mn+ + + − = + + −

⇒ 3 3( ) 33 3 ( 33)m n mn m n+ − = + −

⇒ ( ) ( ) ( ) ( )2 233 33 33 3 33 0m n m n m n mn m n + − + + + + − + − =

⇒ ( ) ( ) ( )2 233 33 33 3 0m n m n m n mn + − + + + + − =

⇒ ( )( )2 2 233 33 33 33 0m n m n mn m n+ − + − + + + =

⇒ ( ) ( )2 2 2133 2 2 2 66 66 2 33 02

m n m n mn m n+ − + − + + + ⋅ =

⇒ ( )( )2 2 2 2 2 21 33 2 66 33 66 33 02

m n m mn n n n m m+ − − + + + + + + + =

⇒ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 233 33 33 0m n m n n m + − − + + + + =

35

⇒ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 233 0 33 33 0m n m n n m+ − = ∨ − + + + + =

⇒ ( ) ( ) ( )2 2 233 0 33 33 0m n m n n m+ = = ∨ − = + = + =

De aquí las soluciones serán los pares (m, n), tales que 33m n+ = , de los cuales habrá 33 pares ordenados y además el caso en que 33m n= = − , solución que aparece al igualar a 0 el segundo factor.

Ejercicio propuesto 4: Muestre que:

( )( )3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + − = + + + + − − −

Solución:

Si se sumamos y se resta ( )2 23 3x y xy+ al término izquierdo, se obtiene

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

3 3 3

3 2 2 3 3 2 2

3 3

2 2

2 2 2

2 2 2

3

3 3 3 3 3

3

3

2 3

x y z xyz

x x y xy y z xyz x y xy

x y z xy x y z

x y z x y z x y z xy x y z

x y z x xy y zx zy z xy

x y z x y z xy xz yz

+ + −

= + + + + − − +

= + + − + +

= + + + − + + − + +

= + + + + − − + −

= + + + + − − −

que es lo que se quería probar.

Ejercicio propuesto 5: A y B trabajando juntos hacen una obra en 4 días menos de lo que

tardaría B. Si A puede llevar a cabo la misma obra en 15 días, entonces, ¿cuál es la cantidad

de días que tardará B en hacer la obra?

36

Solución:

Sea x la cantidad de días que tarda B, entonces en un día de trabajo B realiza 1

x de la obra,

por lo tanto A realiza en un día 1

15 de la obra total.

Se dice además que trabajando juntos, realizan el trabajo en 4 días menos de lo que tarda B

solo, por lo tanto juntos en un día realizarán: 1

4x−.

De lo anterior tenemos que:

1 1 1

15 4x x+ =

−

( )( )

( )( )

2

2

15 1

15 415 4 15

11 60 15 0

4 60 0

10 6 0

10 ó 6

x

x xx x x

x x x

x x

x x

x x

+=

−

+ − =

+ − − =

− − =

− + =

= = −

Como no puede ocurrir una cantidad de días negativa, entonces el total de días que tarda B

en completar la obra es 10 días.

Ejercicio propuesto 6: Muestre que si ,a b +∈ℝ y n∈ℕ entonces: 1

1n n a nbab

n+ +≤

+.

Solución:

Para resolver este ejercicio se utilizará la desigualdad de las medias aritmética y

geométrica: si 1 2, ,..., 0nx x x ≥ ⇒

1 11 1

......n n n n n

x x xx x x

n−

−

+ + +≥ ⋅ ⋅

37

Por MA-MG, como ,a b+∈ℝ se tiene que:

veces1

veces

1

......

1

1

nn

n

n n

a b b b

a b bn

a nba b

n

−+

−

+

+ + + +

≥ ⋅ ⋅ ⋅+

+≥ ⋅

+

�������������

�������

que es lo que se quería probar.

Ejercicio propuesto 7: Muestre que si , , , ,a b c d e +∈ℝ :

( )1 1 1 1 1

25 a b c d ea b c d e

≤ + + + + + + + +

Solución:

Para resolver este ejercicio se utilizará la desigualdad de las medias aritmética y armónica:

si 1 2, ,..., 0nx x x ≥ ⇒1 1

1 1

...1 1 1

...

n n

n n

x x x n

nx x x

−

−

+ + +≥

+ + +

Por MA-MH, como , , , ,a b c d e+∈ℝ , se tiene que:

( )

51 1 1 1 15

1 1 1 1 125

a b c d e

a b c d e

a b c d ea b c d e

+ + + +≥

+ + + +

⇒ + + + + + + + + ≥

como se quería probar.

38

Ejercicio propuesto 8: Encuentre todas las soluciones positivas de la ecuación

( )1 1 1 0n nnx n x+ − + + =

Solución:

Para resolver este ejercicio se utilizará la desigualdad de las medias aritmética y

geométrica: si 1 2, ,..., 0nx x x ≥ ⇒

1 11 1

......n n n n n

x x xx x x

n−

−

+ + +≥ ⋅ ⋅

Como x es positivo, se tiene por MA-MG tenemos que:

( )

( )

1 1 1

1 1 11

11 1

1

... 1... 1

1

1

1

1 1

n n n

n n nn vecesn

n veces

nn n n

n n

x x x

x x xn

nxx

n

nx n x

+ + +

+ + +−+

−

++ +

+

+ + + +

≥ ⋅+

+≥

+

+ ≥ +

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De acuerdo con el enunciado

( )1 1 1n nnx n x+ + = + , entonces se tiene el caso de igualdad

entre las medias aritmética y geométrica, por lo que se debe cumplir que 1 1nx + = , de donde

1x = .

Ejercicio propuesto 9: Muestre que: 1

!2

nn

n + ≤ .

, con ( )( )! 1 2 ... 2 1n n n n= − − ⋅ ⋅ ⋅

Solución:

Por la desigualdad entre media aritmética y media geométrica se tiene que:

1 2 3 ...1 2 3 ...n

nn

n

+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤

39

Por la suma de Gauss,

( )11 2 3 ...

2

n nn

++ + + + = y por definición de factorial,

1 2 3 ... !n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = sustituyendo, se tiene que:

( )1!

2

1!

2

n

n

n nn

n

nn

+≤

+ ⇒ ≤

como se quería probar.