CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA DO RIO GRANDE DO NORTE

SERVIO PBLICO FEDERAL

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA

DO RIO GRANDE DO NORTEJOO CMARA 8A APOSTILA - ESTUDO DO SINAL E INEQUAES

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNO

Quando se fala em estudar o sinal de uma funo, deseja-se descobrir para que intervalos da varivel x so obtidos nmeros positivos ou negativos para a varivel y (a funo). Os pontos que delimitam tais intervalos so os zeros ou razes da funo. Veja o exemplo a seguir:

Para esta funo que possui razes -5, 1 e 6, seus pedaos acima do eixo x representam pontos cujas ordenadas so obrigatoriamente positivas (trechos mais espessos). J os pedaos abaixo do eixo x representam pontos cujas ordenadas so obrigatoriamente negativas (trechos mais finos). Logo, o estudo do sinal dessa funo dado por:

Regio positiva:y > 0 se x > 6 ou -5 < x < 1

Regio negativa:y < 0 se x < -5 ou 1 < x < 6

Outra representao para o estudo do sinal geomtrica:

EXEMPLOSExemplo 1: Estude do sinal da funo f : , onde y = 3x + 12

Primeiramente, acha-se a raiz da funo, igualando a ordenada (y) a zero:

0 = 3x + 12

3x = -12

x = -4

Como a funo dada crescente, uma vez que o coeficiente angular positivo, observa-se que a parte da reta acima do eixo est situada direita da raiz, enquanto a parte negativa est esquerda da raiz.

O estudo do sinal ser dado por:

y > 0 se x > -4

y < 0 se x < -4

y = 0 se x = -4

ou

Exemplo 2: Estude do sinal da funo f : , onde f(x) = -3x - 6

Para iniciar, acha-se a raiz da funo, igualando a ordenada (y) a zero:

0 = -3x - 6

3x = -6

x = -2

Como a funo dada crescente, uma vez que o coeficiente angular negativo, observa-se que a parte da reta acima do eixo est situada esquerda da raiz, enquanto a parte negativa est direita da raiz.

O estudo do sinal ser dado por:

y > 0 se x < -2

y < 0 se x > -2

y = 0 se x = -2

ou

Exemplo 3: Estude o sinal da funo f : , onde y = x2 6x + 8

Primeiramente, acham-se as razes da funo, igualando a ordenada (y) a zero:

0 = x2 6x + 8

Soma = 6 e Produto = 8

x = 2 e x = 4

Como a funo dada cncava para cima, uma vez que o coeficiente a positivo, observa-se que a parte da parbola acima do eixo x est situada direita da raiz 4 e esquerda da raiz 2, enquanto a parte negativa est situada entre as razes.

O estudo do sinal ser dado por:

y > 0 se x < 2 ou x > 4

y < 0 se 2 < x < 4

y = 0 se x = 2 ou x =4

ou

Exemplo 4: Estude o sinal da funo f : , onde y = -x2 + 6x

Acham-se as razes da funo, igualando a ordenada (y) a zero:

0 = -x2 + 6x

0 = x (-x + 6)

x = 0 e x = 6

Como a parbola dada cncava para baixo, uma vez que o coeficiente a negativo, observa-se que a parte da parbola acima do eixo x est situada entre as razes, enquanto a parte negativa est situada direita da raiz 6 e esquerda da raiz 0.

O estudo do sinal ser dado por:

y > 0 se 0 < x < 6

y < 0 se x < 0 ou x > 6

y = 0 se x = 0 ou x =6

ou

INEQUAES

A diferena conceitual entre as equaes e as inequaes est na troca do sinal da igualdade (=) pelos sinais da desigualdade (). A soluo das inequaes dada atravs de um intervalo, que vem a ser um subconjunto dos Reais.

INEQUAES DE PRIMEIRO GRAU

Se uma desigualdade possui uma varivel com grau 1 (no mximo), ento ela ser denominada inequao de primeiro grau. Na inequao de primeiro grau dada a seguir, sero mostradas 2 tipos de soluo: a primeira grfica e a segunda algbrica.Exemplo 1:3x + 12 > 0

Para se resolver essa inequao, pode ser feita uma associao com a funo de primeiro grau y = 3x + 12, que tem como grfico:

Como 3x + 12 tem que ser maior que zero e y igual a 3x + 12, conclui-se que a varivel y tem que ser maior que zero (y > 0).

Como j foi feito o estudo do sinal dessa funo anteriormente, sabe-se que essa condio ser satisfeita se forem tomados valores da varivel x maiores que -4, o que vem a ser a resposta dessa inequao.A outra soluo ser algbrica:3x + 12 > 03x < -12x < -4

Conjunto soluo: S=

INEQUAES DE SEGUNDO GRAU

Se uma desigualdade possui uma varivel com grau 2 (no mximo), ento ela ser denominada inequao de segundo grau. Na inequao de segundo grau dada a seguir, ser mostrada uma soluo grfica.Exemplo 1 :x2 6x + 8 0

Para se resolver essa inequao, pode ser feita novamente uma associao com a funo de segundo grau y = x2 6x + 8, que tem como grfico:

Como x2 6x + 8 tem que ser maior ou igual a zero e y igual a x2 6x + 8, conclui-se que a varivel y tem que ser maior ou igual a zero (y 0).

Como j foi feito o estudo do sinal dessa funo anteriormente, sabe-se que essa condio ser satisfeita se forem tomados valores da varivel x maiores ou iguais a 4 ou menores ou iguais a 2 (x 4 ou x 2), o que vem a ser a resposta dessa inequao.Conjunto soluo: S=

SISTEMA DE INEQUACES

Quando um problema possui 2 ou mais inequaes, o denominamos sistema de inequaes. Sua soluo ser obtida atravs da resoluo de cada uma delas separadamente para, em seguida, ser feita a interseo dos intervalos obtidos. Esse novo intervalo satisfaz simultaneamente s duas inequaes. Por exemplo:

Exemplo 1:

Para se resolver a 1a inequao, pegamos a regio do grfico da funo y = -x2+6x que nos interessa (y 0)

No caso, a regio compreendida entre 0 e 6 fechada nos extremos tem y maior que zero. O intervalo ser:

Para se resolver a segunda inequao, pegamos a regio do grfico da funo y = -3x - 6 que nos interessa (y < 0)

No caso, a regio direita do -2 tem y menor que zero. O intervalo ser:

Basta ento agora fazer a interseo dos dois intervalos:

Conjunto-soluo:S=

INEQUAES-PRODUTO

A inequao ser denominada de produto quando houver um produto de duas ou mais inequaes. Sua soluo ser obtida atravs do estudo do sinal das funes correspondentes a cada fator da inequao. Em seguida procede-se operao de multiplicao dos sinais em cada regio existente. Exemplo 1:(-3x 6) (x2 6x + 8 ) 0

Faz-se o estudo do sinal das funes y = -3x - 6 e y = x2 6x + 8. Como estas funes j foram estudadas anteriormente, sero colocadas diretamente as solues:

Fazendo a multiplicao dos sinais, temos:

Como se deseja a regio maior ou igual a 0, o Conjunto-Soluo ser:

S =

INEQUAES-QUOCIENTE

A inequao ser denominada de quociente quando houver um produto de duas ou mais inequaes. Sua soluo ser obtida atravs do estudo do sinal das funes correspondentes a cada fator da inequao. Em seguida procede-se diviso dos sinais em cada regio existente. A nica diferena para a inequao produto ser que a(s) raiz(es) da funo do denominador no poder entrar no conjunto soluo, uma vez que um denominador no admite o zero.

Exemplo 1:

Faz-se o estudo do sinal das funes y = -3x -6 e y = x2 6x + 8. Como estas funes j foram estudadas anteriormente, sero colocadas diretamente as solues:

Fazendo a multiplicao dos sinais, temos:

Como se deseja a regio maior ou igual a 0, o Conjunto-Soluo ser:

S =

Obs. : observe que o 2 e o 4 no fazem parte do conjunto-soluo, uma vez que anulam o denominador.

EXERCCIOS

1) Faa o estudo do sinal das funes de primeiro grau que se seguem:

a) y = x + 3

b) y = 4 - 4x

c) y = -

2) Faa o estudo do sinal das funes de segundo grau que se seguem:

a) y = x2 + 3

b) y = 4 - 4x2

c) y = x2 + 4x 5

d) y = -x2 + 6x - 9

3) Resolva as inequaes de primeiro grau.

a) -2x + 10 < 0

b) 0 4 - 8x

4) Resolva as inequaes de segundo grau.

a) x2 + 5x > 0b) -x2 + 6x 10 > 0

c) 4x2 + 16 0

d) -2x2 + 8x 6 < 0

e) -3x2 + 9 0

f) 5x2 + 15x + 10 < 0

5) Solucione os sistemas abaixo:

a)

b)

6) D a soluo das seguintes inequaes produto.

a) (-2x 7) (x + 8) < 0

b) (3x + 15) (-x2 + 9x - 18) 0

c) (x2 + 5x) (-x2 + 4) > 0

7) Descubra a soluo das seguintes inequaes quociente.

a)

b)

GABARITO

1) a) b) c)

2) a) b) c) d)

3) a) {/ x > 5}

b) {/ x1/2]

4) a) {/ x > 0 ou x < -5}b) { }

c) R

d) {/ x > 3 ou x < 1}e) {/ x ou x -} f) {/ -2 < x < -1}

5) a) {/ x > 2}

b) {/ -1 < x < 4}

c) { }

6) a) {/ x < -8 ou x > -3,5}

b) {/ x ou c) {/ 0 < x < 2 ou -5 < x < -2}

7) a) {/ ou x < -4}

b) {/ 10/3 < x < 4 ou x < 3}

c) {/ -1 x < 0 ou 1 x < 3}DISCIPLINA: MATEMTICA

PROFESSOR: QUARANTA

DATA:

ALUNO (A): TURMA:

(I)

(II)

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