oi1 dz2 2013
TRANSCRIPT
Rješavanje problema grafičkom i simpleks
metodom
Izradile: Ana Damijanić, Katarina Ferenčić & Andrija Novaković
Probleme maksimuma i minimuma najednostavije rješavamo pomoću grafičke metode, no često se koristi i simpleks metoda
Korištenjem tih metoda dobivamo najoptimalnije rješenje problema
Uvod
Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom i simpleks metodom, ako je zadano:
max Z = 2x1 + 6x2 uz ograničenja: x1 + x2 ≤ 20 -x1 + 3x2 ≤ 6 3x1 - 4x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke, b) izračunajte vrijednost funkcije cilja, c) interpretirajte rješenje d) interpretirajte vezu između grafičkog rješenja i iteracija simpleks
postupka prilikom rješavanja
Zadatak 1.
Grafička metoda
A) Skup mogućih rješenja označen je zelenom bojom. Ekstremne točke su A(0,2), B(4,0) i C(12,6)• B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(C)=60• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno rješenje dobiva se u točki C(12,6)• D) Prva iteracija simpleks metode ujedno predstavlja ishodište grafičke metode, drugom iteracijom dolazimo u točku A(0,2), a posljednjom iteracijom dolazimo do rješenja, odnodno točke C(12,6)
Rješenje grafičke metode
Tablica1
RED Z x1 x2 y1 y2 y3 cons.
0 1 -2 -6 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0 20
2 0 -1 3 0 1 0 6
3 0 3 -4 0 0 1 12
Simpleks metoda 1/3
• Red2*1/3• Red2*2 + Red0• Red2*(-1/3) + Red1• Red2*4/3 + Red3
Z = 0x1 = 0x2 = 0
Ključni stupac Tablice1 je x2, a ključni redak Red2 Ključni element je 3 (označen crvenom bojom) pa
na tom mjestu moramo dobiti 1, a ostali elementi tog stupca moraju biti 0
U bazi su y1, y2, y3, a iz baze moramo izbaciti y2 Z=0, x1=x2=0 (ishodište)
Postupak
Simpleks metoda 2/3Tablica2
RED Z x1 x2 y1 y2 y3 cons.
0 1 -4 0 0 2 0 12
1 0 4/3 0 1 -1/3 0 18
2 0 -1/3 1 0 1/3 0 2
3 0 5/3 0 0 4/3 1 20
• Red3(Tablica2)*3/5• Red3(Tablica3)*1/3 + Red2(Tablica2)• Red3(Tablica3)*(-4/3) + Red1(Tablica2)• Red3(Tablica3)*4 + Red0(Tablica2)
Z = 12x1 = 0x2 = 2
Ključni stupac Tablice2 je x1, a ključni redak Red3 Ključni element je 5/3 pa na tom mjestu moramo
dobiti 1, a ostali elementi tog stupca moraju biti 0
U bazi su x2,y1,y3 a iz baze moramo izbaciti y3 Z=12, x1=0, x2=2; (A(0,2))
Postupak
Tablica3
RED Z x1 x2 y1 y2 y3 cons.
0 1 0 0 0 26/5 12/5 60
1 0 0 0 1 -7/5 -4/5 2
2 0 0 1 0 3/5 1/5 6
3 0 1 0 0 4/5 3/5 12
Simpleks metoda 3/3
Z = 60x1 = 12x2 = 6
Tablica3 prikazuje konačno rješenje U bazi se nalazi x1, x2, y1 Z=60, x1=12, x2=6; (C(12,6))
Rješenje simpleks metodom
Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom metodom, ako je zadano:
min Z=x+2y x+2y ≥2 x-y+3 ≥0 x, y≥0 a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke, b) izračunajte vrijednost funkcije cilja, c) interpretirajte rješenje.
Zadatak 2.
Grafička metoda
Rješenje Zadatka 2
Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom metodom, ako je zadano:
max Z=x1+ x2 -x1+ x2≤1 x1-2 x2 ≤-2 2x1- x2 ≤4 x1, x2 ≥0 a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke b) izračunajte vrijednost funkcije cilja, c) interpretirajte rješenje.
Zadatak 3.
Grafička metoda
A) Skup mogućih rješenja označen je zelenom
bojom. Ekstremne točke su A(0,1), B(10/3,8/3) i C(5,6)• B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(C)=11• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno rješenje je u točki C(5,6)
Rješenje Zadatka3
Riješite sljedeći problem grafičkom metodom, ako je zadano:
min Z=3x-4y x-y+2 ≥0 x-y≤2 a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke b) izračunajte vrijednost funkcije cilja, c) interpretirajte rješenje.
Zadatak 4.
Grafička metoda
A) Skup mogućih rješenja označen je plavom bojom. Ekstremne točke su A(0,2), B(2,0)
B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(A)=-8• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno rješenje je u točki A(0,2). U toj točki postižemo negativnu dobit, odnosno
trošak
Rješenje Zadatka4
Ove metode korisne su za pronalaženje optimalnog rješenja na brz, jednostavan i efikasan način.
Zaključak