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Colegio Los Robles ● Equipo Técnico Matemáticas Pg. 1 de 36

Índice de OF« (4º ESO)

Índice

I. Efectuar operaciones combinadas con números racionales (enteros y fraccionarios). - Con cualquier número de paréntesis - Incluyendo expresiones con castillos.

II. Efectuar operaciones con potencias y raíces de números racionales. - Con cualquier número de paréntesis. - Incluir exponentes negativos y fraccionarios. - Introducir y extraer factores de una raíz.

III. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas. - Operaciones combinadas con polinomios (cualquier número de paréntesis). - División de polinomios. Caso particular: Ruffini. - Factorizar polinomios. - Simplificar fracciones algebraicas. - Operaciones combinadas con fracciones algebraicas (hasta dos niveles de pa-

réntesis y castillos de un nivel). IV. Resolver ecuaciones.

- Racionales. - Irracionales (con un máximo de 2 raíces). - De grado superior a 2: bicuadradas y factorizables.

V. Resolver sistemas de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. - Con denominadores enteros. - Con dos niveles de paréntesis.

VI. Aplicar el lenguaje algebraico a la resolución de problemas. - Ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas lineales de 2 ecuaciones con

2 incógnitas.

Apéndice: Relación de Errores Gravísimos (“E.g.”)

Colegio Los Robles Equipo Técnico de Matemáticas

Resumen de

OF« Matemáticas 4º ESO

(Versión IX.2019)


Objetivo Enunciado

I Efectuar operaciones combinadas con números racionales (enteros y fracciona-rios)

- Con cualquier número de paréntesis - Incluyendo expresiones con castillos.

Resumen teórico: Cuando nos encontramos ante una secuencia compleja de operaciones, conviene ir haciéndolas “de dentro afuera”, empezar por las operaciones más pequeñas. En concreto:

1º) Realizar las operaciones contenidas en el interior de los paréntesis. Al hacerlo debemos respetar el CJO: primero se realizan las potencias, después los productos y cocientes (de izquierda a derecha) y, por último, las sumas y restas (indistintamente).

2º) Si esos paréntesis están afectados por algún exponente, a continuación se calcula la po-tencia correspondiente;

3º) Quitar los paréntesis, cambiando el signo de su contenido si van precedidos de un signo negativo;

4º) Repetir los pasos anteriores con los corchetes, llaves, etc... Además: cada vez que realicemos una operación, antes de seguir operando, comprobaremos si se pueden simplificar las fracciones resultantes.

Ejemplo I.1

Operación Comentarios

32

2 129

13

34

3 2

÷ - - - + ÷ ´æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =

-

( ) Empezamos realizando la operación contenida dentro del se-gundo paréntesis. Aplicando el CJO realizamos en primer lu-gar el cociente (cuyo resultado simplificamos) y después el producto.

= ÷ - - - + ´æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =

= ÷ - - - +æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =

-

-

32

2 123

34

32

2 112

3 2

3 2

( )

( )

Seguimos operando dentro del paréntesis: realizamos la su-ma. (Fíjate que el primer paréntesis está puesto sólo para proteger el signo negativo del -2, por lo que no hay que reali-zar operaciones dentro de él).

= ÷ - - -æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =

-32

212

3 2

( ) Según el CJO ahora hemos de efectuar la potencia que afecta al paréntesis: como la base es negativa y el exponente impar, el resultado será negativo.

= ÷ - - -æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =-3

22

18

2

( ) Una vez terminada completamente la operación que había dentro del paréntesis, procedemos a quitarlo: como está pre-cedido de un signo negativo, cambiamos el signo de la frac-ción.

= ÷ - +éëê

ùûú

=-3

22

18

2

( ) Realizamos la operación contenida dentro del corchete: según el CJO, hacemos primero el cociente y después la suma.

= - +éëê

ùûú

=- +éëê

ùûú

= -éëê

ùûú

=- - -3

418

6 18

58

2 2 2

Por último, invertimos los términos de la fracción para dejar positivo el exponente y calculamos la potencia: al ser la base negativa y el exponente par, el resultado es positivo.

-éëê

ùûú

=85

6425

2

Como la fracción obtenida no se puede simplificar, éste es el resultado final.


Caso particular (objetivo I): Expresiones con castillos. Resumen teórico:

• Si en una fracción el numerador, el deno-minador (o ambos) está a su vez formado

por otra(s) fracción(es) resulta una expresión a la que denominamos “castillo”:

è 2335

; 1611

;

497

• Su valor se halla sin más que transformarlo en un cociente de fracciones, como se muestra a continuación:

Ejemplo I.2 a) 2335

23

35

2 53 3

109

= ÷ =´

´= ; b)

1611

1611

1 116

116

= ÷ =´

= ; c) 497

49

74 19 7

463

= ÷ =´

´=

• Si observas atentamente los ejemplos anteriores, verás que cualquier castillo se puede convertir en una fracción

ordinaria haciendo la siguiente transformación, que acorta un poco el cálculo:

• Al escribir expresiones con castillos hay que ser muy cuidadosos para distinguir bien cuál es la raya de fracción principal y cuáles las secundarias: la principal siempre se escribe a la altura del signo igual y es algo más larga que las secundarias. • Puede ocurrir que en el numerador o en el denominador de un castillo, haya a su vez otros castillos. En ese caso, se van deshaciendo paso a paso, empezando por los más pequeños.

Ejemplo I.3


2335

23

35

2 53 3

109

= ÷ =´

´=

Empezamos deshaciendo los dos castillos más pequeños, los situados por encima y debajo de la raya principal (la más lar-ga)

2335

23

35

2 53 3

109

= ÷ =´

´= Ahora deshacemos este último castillo obtenido

2335

23

35

2 53 3

109

= ÷ =´

´=

Antes de multiplicar los factores resultantes de deshacer el castillo, hemos simplificado los factores comunes al numerado y denominador.

a d b c

=

a b

c d


Ejemplo I.4


=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

-

÷øö

çèæ +-

-

-1

2

351

1211

211

Como conviene empezar por lo más sencillo (la operación más pequeña posible), hacemos en primer lugar: - la resta que hay en el primer numerador; y - la suma dentro del paréntesis del primer denominador.

=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

-

÷øö

çèæ-

-1

2

351

231

21

Ahora el CJO nos obliga a elevar al cuadrado la fracción del primer denominador; pero, a la vez, podemos deshacer el castillo del segundo término del corchete, ya que esta opera-ción es independiente de la anterior.

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-1

53

49121

La operación más pequeña ahora es la resta del primer deno-minador.

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-- 11

53

4521

53

494

21

Es el momento de deshacer el castillo dentro del corchete

=úû

ùêë

é--=ú

û

ùêë

é-

×-×

=-- 11

53

104

53

2541 Antes de seguir operando simplificamos la primera fracción.

=úû

ùêë

é--=

-1

53

52 Hacemos la resta dentro del corchete.

[ ] =-=úû

ùêë

é-= -

-1

1

155 Aplicamos la regla para operar con potencias de exponente

negativo y concluimos.

[ ] 1111 1

1

-=-=úû

ùêë

é-

=


E.g.

Objetivo Enunciado

II Efectuar operaciones con potencias y raíces de números racionales.

- Con cualquier número de paréntesis - Incluir exponentes negativos y fraccionarios. - Introducir y extraer factores de una raíz.

Resumen teórico:

Potenciación Radicación

1a0 = ; mnmn aaa +=× ; mnm

n

aaa -= baba ×=× ;

ba

baba ==÷

nnn ba)ba( ×=× ; n

nnn

ba

ba)ba( =÷øö

çèæ=÷ n/mn m aa = ; n pm

pn m aa ×=÷

øöç

èæ ; pn pmn m aa × ×=

( ) mnmn aa ×= n mnn m abab ×=× ; nnn a)cb(acab ±=±

nn

a1a =- ; n

n aa1

=- ;

nn

ab

ba

÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ

-

nnn baba ±¹±

- Basándonos en la propiedad que nos permite multiplicar (dividir) el índice de una raíz y el ex-ponente de su radicando por el mismo número sin que varíe la raíz, podemos reducir raíces a índice común siempre que nos interese. Este ejemplo muestra cómo proceder:

Ejemplo II.1


Reducir a índice común: 3 5 ; 32 ; 4 7

Empezamos hallando el m.c.m. de los índices de las raíces.

m.c.m. (3, 2, 4) = 12 El m.c.m. hallado es el nuevo índice común.

12 ? ; 12 ? ; 12 ?

Para calcular los nuevos radicandos: 1º) dividimos el m.c.m. entre el índice de cada raíz: 2º) multiplicamos el resultado por el exponente de su radican-

do

● Raíz 1ª) Þ=´=÷ 414;4312 12 45

● Raíz 2ª) Þ=´=÷ 1836;6212 12 182

● Raíz 3ª) Þ=´=÷ 313;3412 12 37

• Cuando efectuamos operaciones con potencias/raíces el resultado se puede dejar en forma de potencia o raíz, siempre que se hayan simplificado todo lo posible. • El resultado de una operación con potencias/raíces no se considera simplificado si contiene exponentes negativos o fraccionarios.


Ejemplo II.2


[ ]{ } =úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ--

-5332

21)3(

Como siempre empezamos haciendo las operaciones más sencillas posible (“de dentro afuera”): - En la llave inicial, elevamos “-3” al cuadrado (base negativa,

exponente par: resultado positivo). - En el segundo corchete, elevamos la fracción al cubo

[ ]{ } =úûù

êëé-=

-5

332

213

- En la llave hacemos la potencia de potencia (exponente im-par y base positiva: resultado positivo.

- En el corchete cambiamos el signo a la potencia dando la vuelta a la fracción.

[ ]{ } =úû

ùêë

é-=

536

123 - Dentro de la llave: quitamos el corchete.

- Quitamos el denominador de la fracción.

{ } [ ] =-=536 23

Realizamos la potencia de potencia y quitamos llaves y cor-chetes.

156 23 ×= Este es el resultado final (no es necesario realizar la opera-ción).

Ejemplo II.3


=++- 80108245273

- Al ser no ser raíces semejantes (tienen distinto radicando) no se pueden sumar (restar).

- Pero usando la propiedad: n mnn m abab ×=× , podemos ex-traer factores de las raíces si descomponemos los radican-dos en factores primos:

=×+×+×-= 523225333 43223

=+××+-×= 52332253333 2

=++-= 543125339

- Ahora sumamos (restamos) las raíces que son semejantes (mismo índice y radicando) entre sí.

=+-++= 5)43(3)129(

5321 +=


Ejemplo II.4


=-+× 5534 64321664 - Vamos a empezar por intentar extraer factores de las raíces

a ver si resultan raíces semejantes con las que podamos operar.

=-+×= 5 653 44 6 23222 =××-+×××= 5534 2 22322222

- Ahora las dos últimas raíces son semejantes, por lo que po-demos restarlas.

=-+×××= 534 2 2)61(2222 =-××= 534 2 25224

- Además hemos aprovechado para multiplicar los dos “2” del primer término.

- Las dos raíces del primer término no se pueden multiplicar, pues tiene distinto índice. Por ello, vamos a reducirlas a índi-ce común.

● m.c.m. (4, 3): 12. ● Raíz 1ª) Þ=´=÷ 623;3412 12 62

● Raíz 2ª) Þ=´=÷ 414;4312 12 42 - Ahora ya podemos multiplicar esas dos raíces.

=-××= 512 412 6 25224 =-××= 512 46 25224

=-×= 512 10 2524

- La primera raíz se puede simplificar usando la propiedad: pn pmn m aa × ×= . Dividimos entre 2 el índice y el exponente del

radicando.

56 5 2524 -×=

Ejemplo II.5


( ) =-÷÷ø

öççè

æ÷÷

÷ø

öççè

æ 242

3254

1020

- Siguiendo la estrategia de empezar por las operaciones más sencillas:

- En el primer paréntesis dividimos las dos raíces (tienen el mismo índice)

- En el segundo paréntesis hacemos la raíz de la fracción - En el tercero introducimos el coeficiente 2 dentro de la raíz.

=÷øöç

èæ ×-÷

÷

ø

ö

çç

è

æ÷÷

÷ø

öççè

æ=

22

42

325

41020 - Ahora simplificamos el contenido de cada paréntesis (antes

de pasar a operar “fuera” de ellos).

( ) ( ) =-÷÷ø

öççè

æ÷=

24

4

212

542 - Simplificado el interior de los paréntesis, “salimos” afuera:

calculamos las potencias correspondientes.

=-÷= 2

4 4

42 12

542 - Todas las raíces resultantes se pueden simplificar, al tener

divisores comunes su índice y el exponente del radicando.

=-÷= 125422

- Terminamos haciendo la división y después la resta.

891

896512

8512

1610

-=-

=-=-=


E.g.

Objetivo Enunciado

III.a Efectuar operaciones con expresiones algebraicas.

- Sumas, restas y productos de polinomios con coeficientes racionales. - Productos notables

Resumen teórico: • Para sumar o restar dos o más polinomios se escribe uno a continuación del otro y se suman

(restan) los términos que sean semejantes (“reducción de términos semejantes”). • Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del primer polinomio por todos los

términos del segundo (teniendo en cuenta la regla de los signos) y en el resultado así obteni-do se reducen términos semejantes.

• Productos notables: ab2ba)ba( 222 ±+=± ; 22 ba)ba()ba( -=-×+ .

Por tanto: 222 ba)ba( ±¹±

Ejemplo III.1


x =-124

El CJO nos obliga a realizar primero los dos productos existentes. Observa que en el caso del segundo hemos simplificado los coeficientes fraccionarios resultantes.

x =-124

Ahora quitamos el paréntesis, cambiando el signo de los términos contenidos en él.

x =-124

Y, por último, reducimos términos semejan-tes.

6y421y

613y

25 23 -++-=


Ejemplo III.2


( ) =-+--+- )yx()yx()yx(xy 22 - El CJO nos pide que hagamos primero las

potencias, para lo que hemos de aplicar la fórmula del cuadrado de un binomio.

( ) ( ) ( ) =-++--++-= )yx(xy2yxxy2yxxy 2222

- Ahora debemos realizar los dos productos, para lo que vamos multiplicando cada tér-mino del primer factor por todos los térmi-nos del segundo.

( )( )=-+-+--

--++-+-=223223

223232

xy2yx2yxyyxxyx2xyxxy2yyx

- Como siempre, antes de pasar a operar

fuera del paréntesis simplificamos su inte-rior reduciendo términos semejantes.

( ) ( )=--+-+-+--= 32233232 yxyyxxxxyyyx

- Ahora pasamos a operar “fuera” de los pa-réntesis: los quitamos (cambiando los sig-nos de todos los términos) y reducimos términos semejantes.

=++---+-= 32233232 yxyyxxxxyyyx 32 x2xy2 -=

Ejemplo III.3


=÷øö

çèæ +-

2

z32

6yx3

- Tenemos que elevar un trinomio al cuadrado. Si fuera un binomio podría-mos recurrir a la fórmula correspondien-te, pero en este caso hemos de realizar el producto del polinomio por sí mismo.

=÷øö

çèæ +-÷

øö

çèæ +-= z

32

6yx3z

32

6yx3

- Multiplicamos cada término del primero por todos los demás del segundo te-niendo en cuenta la regla de los signos y simplificando los coeficientes fraccio-narios que vamos obteniendo.

=+-+-+-+-= 222 z94yz

182xz

36yz

182y

66xy

63xz

36xy

63x9

=+-+-+-+-= 222 z94yz

91xz2yz

91yxy

21xz2xy

21x9

- Ahora reducimos términos semejantes.

=+÷øö

çèæ --++++÷

øö

çèæ --+= 222 z

94yz

91

91yxz)22(xy

21

21x9

( ) =+÷øö

çèæ-+++-+= 222 z

94yz

92yxz4xy1x9

222 z94yz

92yxz4xyx9 +-++-=


Objetivo Enunciado

III.b Efectuar operaciones con expresiones algebraicas: - División de polinomios. - División de Ruffini.

Este ejemplo muestra cómo se ha de proceder para realizar una división de dos polinomios: Ejemplo III.4 Dividir: ( ) ( ))1xxx5x3x6x5 3235 ++÷-++- 1º) • Disponemos el Dividendo (D) y el divisor (d), como muestra la línea siguiente (obsérvese

que el D se ha ordenado y hemos dejado un hueco en el término de cuarto grado); y • Dividimos el término de mayor grado del D (5x5) entre el de mayor grado del d (x3), siendo

el resultado (5x2) el término de mayor grado del Cociente (C):

5xx3x6x5 235 +-+- 1xx3 ++ 2x5

2º) Ahora multiplicamos el primer término del C por cada término del d y los resultados cambia-

dos de signo los vamos escribiendo debajo de los términos del mismo grado del D:

5xx3x6x5 245 +-+- 1xx3 ++ 235 x5x5x5 --- 2x5

3º) Ahora sumamos cada término del D con el que acabamos de escribir debajo y “bajamos” los

restantes:

5xx3x6x5 245 +-+- 1xx3 ++ 235 x5x5x5 --- 2x5

5xx2x5x6 234 +----

4º) Repetimos el mismo proceso, empezando con el término de mayor grado (-6x4) del Resto (R) obtenido hasta ahora:

5xx3x6x5 245 +-+- 1xx3 ++ 235 x5x5x5 --- x6x5 2 -

5xx2x5x6 234 +----

5xx3x6x5 245 +-+- 1xx3 ++ 235 x5x5x5 --- x6x5 2 -

5xx2x5x6 234 +----

x6x6x6 24 ++

5x5x4x5 23 +++-


5º) Este procedimiento se repite hasta obtener un R de grado menor al del d.

5xx3x6x5 245 +-+- 1xx3 ++ 235 x5x5x5 --- 5x6x5 2 --

5xx2x5x6 234 +----

x6x6x6 24 ++

5x5x4x5 23 +++-

5x5x5 3 ++

10x10x4 2 ++ 6º) El resultado final de la división es: Cociente: 5x6x5 2 --

Resto: 10x10x4 2 ++ • Cuando el polinomio divisor es un binomio del tipo )ax( - , existe un procedimiento alternativo mucho más rápido para hacer la división: el método de Ruffini. En el siguiente ejemplo se ex-plica cómo proceder: Ejemplo III.5 Para realizar la división: ( ) ( ))2x4x5x3x2 24 +÷-+-


245302

---

- Escribimos en una línea los coeficientes del Dividendo (D) ordenados, poniendo un cero en la posición de los términos inexistentes. - En la segunda línea escribimos el término independiente (t.i.) del divisor (d) cambiado de signo.

242

45302--

--

- “Bajamos” el primer coeficiente del D (2) a la tercera línea; lo multiplicamos por el t.i. del d (-2) y el resultado (-4) lo escribi-mos debajo del siguiente coeficiente del D.

4242

45302

---

--

- Sumamos el resultado anterior con el coeficiente que tiene encima (-4+0) y escribimos el valor de la suma (-4) en la ter-cera línea.

542842

45302

---

--

- Repetimos el procedimiento anterior a partir del número que acabamos de obtener en la tercera línea:

-4 · (-2) = 8 ; 8 + (-3) = 5.

65542101084245302

-----

--

- Y así sucesivamente hasta operar con todos los coeficientes del D.

- Los números obtenidos en la 3ª línea son los coeficientes del polinomio Cociente (cuyo grado será siempre una unidad me-nos que el D), excepto el último que es el Resto.

El resultado final de la división es: Cociente: 5x5x4x2 23 -+- Resto: 6


Objetivo Enunciado

III.c Efectuar operaciones con expresiones algebraicas: factorizar polinomios.

Resumen teórico: A la hora de factorizar un polinomio hay varios procedimientos posibles, que han de ensayarse sucesivamente en cada caso. Expuestos en orden creciente de dificultad son:

1º) Extracción de factor común 2º) Productos notables (cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados) 3º) Aplicación del teorema del resto (o de Ruffini)

Cuando un polinomio se pueda factorizar por el primer procedimiento es un error de estrategia tratar de hacerlo por el 2º ó el 3º, pues es más laborioso. Lo mismo pasa si es posible hacerlo por el 2º procedimiento: renunciar al 3º.

Ejemplo III.6 (extracción de factor común)


=-- 4232 xaxax En los tres términos del polinomio aparece el factor “x2” ( )222 xaxax --=

Ejemplo III.7 (extracción de f.c.)


=+-- 324254332 yx6xzy18zyx6yx24 En los cuatro términos del polinomio aparece el factor “6x2y3”

)1zyx3xyz4(yx6 22232 +--= Observa que en el tercer término hemos ordenado alfabéti-camente los factores literales

Ejemplo III.8 (doble extracción de f.c.)


=-+- aybyaxbx En ocasiones no hay un f.c. a todos los términos del poli-nomio, pero sí hay f.c. parciales, y en un proceso de doble extracción se acaba factorizando todo el polinomio

=-+- )ab(y)ab(x =+- )yx()ab(


Ejemplo III.9: Productos notables (suma por diferencia)


=- 24 x16y36 Si el polinomio tiene dos términos cabe la posibilidad de que sea una diferencia de cuadrados, para lo que hemos de comprobar si ambos términos son cuadrados perfectos:

• 224 )y6(y36 ® • 22 )x4(x16 ®

Y entonces se factoriza en el producto de “suma por dife-rencia”

( )( )x4y6x4y6 22 -+=

Ejemplo III.10: Productos notables (cuadrado de un binomio)


=+-16y9

5xy3

25x4 22

Si un polinomio tiene tres términos, debemos comprobar si dos de ellos son cuadrados perfectos y si el doble producto de esos dos es igual al tercer término

• 22

5x2

25x4

÷ø

öçè

æ®

• 22

4y3

16y9

÷ø

öçè

æ®

• 5xy3

20xy12

4y3

5x22 ==××

Cuando, cómo en este caso, se dan las tres condiciones estamos ante el desarrollo del cuadrado de un binomio, lo que nos permite factorizarlo así:

2

4y3

5x2

÷ø

öçè

æ -=

Ejemplo III.11: aplicación del teorema del resto (o de Ruffini)


=+-+- 2x3x7x5x 234 Como no tiene f.c. ni 2 ó 3 términos, acudimos al teorema de Ruffini. Empezamos por buscar raíces entre los divisores de su término independiente.

023751)1(p ¹+-+-= 023751)1(p ¹++++=- 026284016)2(p =+-+-= ü 026284016)2(p ¹++++=-

Por tanto “2” es el único cero (o raíz) de p(x), por lo que éste será divisible entre (x – 2). Dividimos para determinar el cociente:

011312262223751

----

-- Con lo que la factorización buscada es:

( )( )2x1xx3x 23 --+-= Y aunque uno de los factores es de tercer grado, al carecer de raíces enteras ya no podemos facto-rizarlo más.


Ejemplo III.12: Ruffini (polinomio que tiene tantas raíces como su grado)


=+-- 4x4xx 23 Tras comprobar que no tiene f.c. ni es un p.n. buscamos raíces entre los divisores de “4”:

04411)1(p =+--= ü 04411)1(p ¹++--=- 04848)2(p =+--= ü 04848)2(p =++--=- ü

Cuando, como en este caso, el número de raíces coincide con el grado del polinomio, la factoriza-ción no requiere más cálculos:

)2x()2x()1x( +--=

Ejemplo III.13: Ruffini (polinomio con varias raíces, pero menos que su grado)


=++- 2xx5x2 23 Tras comprobar que no tiene f.c. ni es un p.n. buscamos raíces entre los divisores de “2”:

02152)1(p =++-= ü 02152)1(p ¹++--=- 0222016)2(p =++-= ü 0222016)2(p ¹+---=-

Como en este caso no tenemos tantas raíces como el grado del polinomio, hemos de hacer la división de Ruffini para obtener el polinomio co-ciente:

12242

023223212152

----

-

Y ahora ya podemos escribir la factorización

)1x2()2x()1x( +--=

Ejemplo III.14: Ruffini (polinomio con raíces fraccionarias)


=+--- 4x6x64x30 23 Empezamos por sacar f.c.: -2.

=-++-= )2x3x32x15(2 23 Ahora buscamos raíces entre los divisores del tér. ind. 0233215)1(p ¹-++= 0233215)1(p ¹--+-=- 026128120)2(p ¹-++=

026128120)2(p =--+-=- ü

Como sólo tenemos una raíz y el polinomio es de tercer grado, hemos de hacer la división de Ruffini para obtener el cociente:

0121524302233215

----

- Con el polinomio cociente resultante, podemos

escribir la factorización:

=-++-= )1x2x15()2x(2 2 Y ahora hallamos las posibles raíces del factor de 2º grado resolviendo la correspondiente ecuación:

01x2x15 2 =-+

3/15/1

3082

152)1(15442

x-

=±-

=×

-××-±-= Con lo que la factorización completa es:

( ) ( )3/1x5/1x)2x(2 +-+-=


Objetivo Enunciado

III.d Efectuar operaciones con expresiones algebraicas: simplificación de fracciones algebraicas.

Resumen teórico: Para simplificar una fracción algebraica se deben seguir siguientes pasos: 1º) Factorizar al máximo su numerador y denominador 2º) Eliminar los factores que se repitan ambos términos

Ejemplo III.15


=--

-6xx

9x2

2

Empezamos factorizando: - numerador: es un producto notable; - denominador: al ser un polinomio de 2º grado hallamos sus raíces resolviendo la correspondiente ecuación de 2º grado

• Numerador: )3x()3x(9x2 -+=-

• Denominador: îíì

=-=

=--3x2x

(...);06xx1

12

)3x()2x(6xx2 -+=--Þ

Ahora escribimos la fracción con sus términos factoriza-dos y eliminamos los que se repiten arriba y abajo:

)2x()3x(

)3x()2x()3x()3x(

++

=-+-+

=

Ejemplo III.16


=--x4x542x27

3

2

Antes de empezar a operar conviene fijarse para tratar de descubrir situaciones que nos pueden “ahorrar traba-jo”. Por ejemplo, en esta fracción no es necesario factorizar el numerador, pues ese polinomio aparece como factor al sacar factor común en el denominador.

• Denominador: )2x17(x2x4x54 23 -=-

Con lo que ya se puede hacer la simplificación sin más cálculos:

x21

)2x27(x22x27

2

2

=-

-=


Ejemplo III.17


=+----+

x36x12x9x318x9x2x

234

23

Para factorizar el numerador hemos de buscar una raíz entre los divisores de 18 (las otras dos posibles raíces, las buscaremos resol-viendo la ecuación 2º grado con el polinomio de obtenido como cociente).

• Numerador: ;0)2(p;0)2(p;0)1(p;0)1(p =-¹¹-¹

09011802218921

---

--

=-+=--+Þ )9x()2x(18x9x2x 223 )3x()3x()2x( -++=

- Como el cociente obtenido ( 9x2 - ) resultó ser una diferencia de cuadrados, no fue ne-cesario resolver la ecuación de 2º grado pa-ra factorizarlo.

- En el denominador: empezamos extrayendo

factor común “3x”,

• Denominador: )12x4x3x(x3x36x12x9x3 23234 +--=+--

- Ahora buscamos una raíz entre los divisores de 12.

;0)2(p;0)1(p;0)1(p =¹-¹

06111222212431

-----

)6xx()2x(x3x36x12x9x3 2234 ---=+--Þ

- Y resolvemos la ecuación de 2º grado co-rrespondiente al cociente resultante

23

12)6(1411x;06xx2

-=

×-××-±

==--

)2x()3x()2x(x3x36x12x9x3 234 +--=+--Þ

Con lo que ya tenemos factorizados numera-dor y denominador:

)2x(x33x

)2x()3x()2x(x3)3x()3x()2x(

-+

=+--

-++=


Objetivo Enunciado

III.e Efectuar operaciones combinadas con fracciones algebraicas.

- Hasta dos niveles de paréntesis. - Incluyendo expresiones con castillos de un nivel.

• Recordemos para empezar cómo se suman y restan fracciones algebraicas. Resumen teórico: Para sumar/restar una serie de fracciones algebraicas seguiremos este procedimiento: 1º) Reducir las fracciones a común denominador, para lo que debemos:

1.1) Factorizar al máximo sus denominadores 1.2) Hallar el m.c.m. (factores comunes y no comunes con el mayor exponente) 1.3) Poner como denominador común el m.c.m. hallado 1.4) Hallar los nuevos numeradores. Para ello en cada fracción dividimos el m.c.m. entre

su denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 2º) Sumar/restar los nuevos numeradores.

Ejemplo III.18


=+-

-+-

+-+ 2

x1x

x1x1

x1x1

2

2

Empezamos factorizando los denomina-dores para hallar su m.c.m.

)x1()x1(.m.c.m)x1()x1(x1

x1x1

2

-+=Þïþ

ïý

ü

-+=-+-

Éste será el nuevo denominador. Ahora procedemos a hallar el nuevo numera-dor de cada fracción:

)x1()x1(?

-+

• 1ª fracción:

x2x1)x1()x1()x1()x1(x1

)x1()x1( 22 ++=+=++=+×-

-+

Observa que dividimos el m.c.m. entre cada denominador en su forma factori-zada (la que obtuvimos al hallar el m.c.m. en el paso anterior)

• 2ª fracción:

x2x1)x1()x1()x1()x1(x1

)x1()x1( 22 -+=-=--=-×+

-+

• 3ª fracción: 222 xx1x

)x1()x1()x1()x1(

=×=×+--+

• 4ª fracción: 22 x222)x1(2)x1()x1(2

1)x1()x1(

-=-=-+=×-+ Con lo que la fracción resultante de la

suma es:

)x1()x1()x22()x()x2x1()x2x1( 2222

-+----++++ Ahora operamos en el numerador sim-

plificando el polinomio resultante.

=-+

=-+

+---++++)x1()x1(

x3)x1()x1(

x22xx2x1x2x1 222222

2

2

x1x3-

=


• Y ahora veamos cómo proceder cuando tenemos una secuencia de operaciones combinadas. Resumen teórico: Cuando nos encontramos ante una secuencia compleja de operaciones, conviene ir haciéndo-las “de dentro afuera”, empezar por las operaciones más pequeñas. En concreto:

1º) Realizar las operaciones contenidas en el interior de los paréntesis. Al hacerlo debemos respetar el CJO: primero se realizan las potencias, después los productos y cocientes (de izquierda a derecha) y, por último las sumas y restas (indistintamente).

2º) Si esos paréntesis están afectados por algún exponente, a continuación se calcula la po-tencia correspondiente;

3º) Quitar los paréntesis, cambiando el signo de su contenido si van precedidos de un signo negativo;

4º) Repetir los pasos anteriores con los corchetes, llaves, etc... Además: cada vez que realicemos una operación, antes de seguir operando, comprobaremos si se pueden simplificar las fracciones resultantes.

Ejemplo III.19


=÷÷ø

öççè

æ+÷÷÷

ø

öççè

æ+

+-

xy

yx1

xyxxy

2

22

Si nos fijamos, antes de empezar a operar, descubriremos que la 1ª fracción se puede simplificar, lo que resulta muy conveniente para que sean más fáciles los cálculos posteriores

÷÷ø

öççè

æ+÷÷÷

ø

öççè

æ+

-=÷÷

ø

öççè

æ+÷÷÷

ø

öççè

æ+

+-+

=xy

yx1

x)xy(

xy

yx1

)yx(x)xy()xy(

Ahora operamos dentro de cada parénte-sis: - En el 1º) el m.c.m. de los denom. es “x”; y en el 2º) “x·y”

=÷÷ø

öççè

æ ×+

×÷÷÷ø

öççè

æ ×+

-×=

xyyy

xyxx

x1x

x)xy(1

=+

÷+-

=÷÷ø

öççè

æ+÷÷÷

ø

öççè

æ+

-=

xyyx

xxxy

xyy

xyx

xx

xxy 2222

=+

÷=xyyx

xy 22

Y, por último, realizamos la división y sim-plificamos la fracción resultante

22

2

22

2

22 yxy

)yx(xxy

)yx(xxyy

+=

+=

+×

=


Ejemplo III.20


=-

-+

-

321x

xx

2x

En los castillos debemos empezar también por “lo más sencillo” (la operación más pequeña de todas las posibles. En este caso será la suma que apare-ce en el numerador

=-

--=-

-+-

-=

321x

x

2x

321xxxx

2x

22

Ahora la operación más sencilla es deshacer el castillo (ponemos el signo negativo que hay delante del “2/3” en el “2” del numerador):

=-×-

-=-×-

×-=

)1x(2x3

2x

)1x(23x

2x 22

Y ahora hacemos la resta resultante (el m.c.m. de los denominadores es: )1x(2 -×- )

=-×-×-×--

=)1x(2

)x3(1x)1x( 2

Operamos en el numerador y simplificamos (no conviene operar en el denominador para no desha-cer la factorización existente)

)1x(2xx4

)1x(2x3xx 222

-×-+-

=-×--+-

= Por último, factorizamos numerador para tratar de simplificar la fracción

)1x(2)1x4(x

)1x(21)1x4(x1

)1x(2)1x4(x

--

=-××--×-

=-×---

=


Objetivo Enunciado

IV.a Resolver ecuaciones racionales.

Recordatorio: Pasos a dar para resolver una ecuación ordinaria.

Ejemplo IV.1


÷øö

çèæ +--=ú

û

ùêë

é÷øö

çèæ ---

25x

31

414

3x2

41

2x

45

Primero hemos de quitar los paréntesis. Para ello empezamos por las operaciones más pequeñas posibles: la resta y la suma que hay dentro de los dos paréntesis.

÷øö

çèæ +

--=úû

ùêë

é÷øö

çèæ -

--25x2

31

41

312x2

41

2x

45 Ahora multiplicamos el contenido de cada parén-

tesis por su coeficiente fraccionario (sería un e.g. restar antes “1/4” a “x/2” y/o efectuar “-1/4-1/3”).

65x2

41

1212x2

2x

45 +

--=úûù

êëé -

-- Antes de seguir operando, observamos que se puede simplificar la segunda fracción que hay dentro del corchete.

65x2

41

62)6x(2

2x

45 +

--=úûù

êëé

×-

-- ;

65x2

41

66x

2x

45 +

--=úûù

êëé -

-- Para acabar de quitar “paréntesis”, multiplicamos el corchete del primer miembro por su coeficiente.

65x2

41

24)6x(5

8x5 +

--=-

+- Ahora procedemos a quitar denominadores: ha-llamos el m.c.m. de los denominadores y multipli-camos por él los dos miembros de la ecuación.

m.c.m. (8, 24, 4, 6) = 24.

)5x2(6241

424)6x(5

2424x5

824

+×-×-=-×+×- Simplificamos las fracciones y continuamos del modo habitual.

)5x2(416)6x(51x53 +×-×-=-×+×- 20x86)6x(5x15 ---=-+-

26x830x5x15 --=-+- 3026x8x5x15 +-=++-

4x2 =- 2

24x -=-

=

Comprobación:

÷øö

çèæ +---=ú

û

ùêë

é÷øö

çèæ -

-×-

--

252

31

414

3)2(2

41

22

45

÷øö

çèæ +-

--=úû

ùêë

é÷øö

çèæ --

---254

31

414

34

411

45

÷øö

çèæ--=ú

û

ùêë

é÷øö

çèæ --

---21

31

41

3124

411

45

61

41

316

411

45

--=úû

ùêë

é÷øö

çèæ ---- ;

1223

341

45 --

=úûù

êëé +--

125

343

45 -

=úûù

êëé +-

- ; 125

31

45

-=úûù

êëé- ;

125

125

-=-


Resumen teórico: En una ecuación racional (con denominadores algebraicos), suele compensar empezar por quitar los denominadores, para lo que:

1º) se calcula el m.c.m. de todos los denominadores que aparezcan en la ecuación; 2º) se multiplican los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. y se simplifican las expre-

siones resultantes.

Ejemplo IV.2


x24

x1

xx2x3

2 +-=

+ Calculamos el m.c.m. de los denominadores:

)x2(x.m.c.mx2

x)x2(xxx2 2

+=Þïþ

ïý

ü

+

+=+ Ahora multiplicamos por él los dos miembros de la

ecuación

÷ø

öçè

æ+

-+=÷ø

öçè

æ+

+x2

4x1)x2(x

xx2x3)x2(x 2

x24)x2(x

x1)x2(x

)x2(xx3)x2(x

++-+=

++

Pero estos productos también se pueden escribir como se muestra en el siguiente paso (observa que -para facilitar la operación que haremos a continua-ción- escribimos los denominadores en su forma factorizada)

4x2)x2(x

x)x2(xx3

)x2(x)x2(x

×++

-+

=×++

Si ahora simplificamos las fracciones obtenemos números enteros, con lo que desaparecen los de-nominadores

4x)x2(x31 ×-+=× Y, a partir de aquí, continuamos la resolución por el procedimiento que ya conocemos.

x4x2x3 -+= 2x6 =

31x =

Comprobación:

312

4

311

91

312313

+-=

+×

×

3743

91

321

-=+

; 7123

971

-= ; 79

79

=

Cuando el numerador de alguna fracción tenga más de un término, es muy importante escribir entre paréntesis esos numeradores a fin de no olvidarse de:

• multiplicar el m.c.m. por todos los términos de esos numeradores, • cambiar el signo de esos términos si delante de la fracción había un signo menos.

Estos dos errores son muy frecuentes. Tenlo presente para tratar de evitarlos.


Ejemplo IV.3


2x3xx8x4

1xx54

2x4x3

2

2

-+--

=--

--- Calculamos el m.c.m. de los denomi-

nadores:

21

)1(2)2()1(493x;02x3x2 =

-×-×-×-±-

==-+-

)1x()2x()1(.m.c.m)2x()1x(12x3x

1x2x

2

---=Þïþ

ïý

ü

--×-=-+---

Ahora multiplicamos por él los dos miembros de la ecuación

=-×-

-----×

---- )x54(

1x)1x()2x()1()4x3(

2x)1x()2x()1(

)1x()2x()1()x8x4()1x()2x()1( 2

-------

=

Simplificamos las fracciones para que desaparezcan los denominado-res

2x8x4)x54()2x()1()4x3()1x()1( -=-×----×-- Y seguimos de la forma habitual 2x8x4)x54()2x()4x3()x1( -=-×-+-×-

222 x8x4x108x5x4x4x34x3 -=+--++-- 22 x8x412x21x8 -=-+-

12x17 = ; 1712x =

Omitimos la comprobación por ser bastante larga la operación corres-pondiente.


Objetivo Enunciado

IV.b Resolver ecuaciones irracionales.

Resumen teórico: Para resolver una ecuación irracional sencilla conviene:

1º) despejar la raíz: 1º) elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación; 3º) proseguir resolviendo por el procedimiento habitual la ecuación resultante. 4º) Hacer la comprobación (este paso es obligatorio y no solo conveniente, como en otro

tipo de ecuaciones)

Ejemplo IV.4


x251x63 =-+ Empezamos despejando el término que in-cluye la raíz:

5x21x63 +=+ Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación

( ) ( ) 225x21x63 +=+

x2025x4)1x6(9 2 ++=+

- Observa que para elevar al cuadrado el segundo miembro tuvimos que aplicar la fórmula del cuadrado de un binomio - Ahora proseguimos de la forma habitual

x2025x49x54 2 ++=+ 016x34x4 2 =+- 018x17x2 2 =+-

2/18

41517

22182428917x =

±=

×××-±

=

Por último debemos realizar la comprobación de ambas soluciones

• ;165493;8251863:8xSi =-×=-+×= 1616;16521 ==- ü

• ;1543;21251

2163:2/1xSi =-×=-+×=

11;156 ==- ü

Con lo que en este caso resulta que las dos soluciones obtenidas son válidas

• Si la ecuación tuviese más de una raíz, habría que repetir el procedimiento descrito tantas veces como raíces hubiese. En el ejemplo siguiente se muestra cómo proceder con un caso de dos raíces:


Ejemplo IV.5


x12

13x2-=

++- Empezamos quitando denominadores

x1213x2 -=++- Ahora despejamos la raíz del primer miem-bro

1x123x2 --=+- Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación

( ) ( )221x123x2 --=+-

x141)x1(43x2 --+-=+-

- Ahora ya tenemos una sola raíz. -Volvemos a empezar: dejamos sola la raíz

en un miembro, trasponiendo y reduciendo términos semejantes.

x141x443x2 --+-=+-

x141x443x2 --=-+-+- x142x2 --=- x121x --=-

Ahora volvemos a elevar los dos miembros al cuadrado, para eliminar esta segunda raíz

( ) ( )22 x121x --=- )x1(4x21x2 -=-+ x44x21x2 -=-+

03x2x2 =-+

31

242

12)3(1442

x-

=±-

=×

-××-±-=

Ahora debemos comprobar si las “solucio-nes” obtenidas son correctas

• 01;0211;11

2132:1xSi ¹=

+-=

++-=

• 22;4213;31

2136:3xSi ==

++=

++-= ü

En este caso sólo tenemos una solución válida: x = 1.


Objetivo Enunciado

IV.c Resolver ecuaciones de grado superior a 2:

- Bicuadradas - Factorizables

Resumen teórico: Sólo podremos resolver las ecuaciones de grado superior en dos casos: si son bicuadradas o si se pueden factorizar en factores de primer y/o segundo grado. IV.c.1 Ecuaciones bicuadradas (las de la forma 0cbxax 24 =++ ). Se resuelven:

1º) Haciendo el cambio de variable: zx2 = (y, por tanto, 24 zx = ). 2º) Resolviendo la correspondiente ecuación de 2º grado resultante (con lo que hallaremos

el valor de “z”) 3º) Deshaciendo el cambio de variable.

Ejemplo IV.6


[ ]I09x10x 24 =+- - Es una ec. bicuadrada pues solo tiene los

términos de cuarto y segundo grado. - Hacemos en cambio de variable:

Si: zx2 = [ ]II Þ 24 zx = Sustituyendo en [ ]I :

[ ]I09z10z2 =+-

Resolvemos la ecuación de 2º grado

19

2810

1291410010z =

±=

×××-±

= - Deshacemos el cambio de variable (para hallar el valor de “x”)

Sustituyendo en [ ]II :

• 39x;9x9z:Si 2 ±===Þ=

• 11x;1x1z:Si 2 ±===Þ=

Por tanto tenemos cuatro soluciones para la ecuación:

;1x;1x;3x;3x 4321 -==-== • Un procedimiento análogo puede emplearse para las llamadas ecuaciones bicúbicas ( 0cbxax 36 =++ ) y, en general, para todas las de la forma: 0cbxax nn2 =++ . IV.c.2 Ecuaciones factorizables:

Cuando el primer miembro de una ecuación -cuyo segundo miembro sea nulo- se puede des-componer en un producto de factores de grados 1º y/ó 2º, las soluciones de la ecuación inicial se hallan encontrando las raíces de cada uno de los factores obtenidos. Para resolver este tipo de ecuaciones es imprescindible dominar los procedimientos de factori-zación de polinomios (OF« III.c)


Ejemplo IV.7


[ ]I018x9x2x 23 =--+ - Empezamos buscando raíces entre los diviso-res de “-18”.

018921)1(p ¹--+= 018921)1(p ¹-++-=- 0181888)2(p ¹--+= 0181888)2(p =-++-=- ü

Esta raíz (-2) ya nos permite factorizar la ecua-ción en un factor de primer grado y otro de se-gundo:

09011802218921

---

--

Con lo que [ ]I se convierte en: [ ]II0)9x()2x( 2 =-+

Ahora bien: si el producto de dos factores vale 0, puede ser porque o bien el 1º es nulo o bien lo es el 2º. Por tanto, podemos desdoblar la Ec. [ ]II del siguiente modo:

îíì

=-=+

Þ=-+09x02x

0)9x()2x(:Si 22 Y ahora resolvemos cada una de las ecuaciones

resultantes (que ya son de grado 2£ )

îíì

±==--==+3x;09x2x;02x

2 Con lo que la ecuación inicial tiene tres solucio-nes

3x;2x;3x 321 =-=-=

Ejemplo IV.8


[ ]I02x3x12x7x6 234 =++-- Empezamos buscando raíces entre los diviso-res de “2”.

0231276)1(p ¹++--= 0231276)1(p =+--+=- ü 026485696)2(p =++--= ü

Como el polinomio inicial es de 4º grado, con estas dos raíces ya podemos obtener un factor de 2º grado, por lo que procedemos a factorizar por Ruffini.

011622122

021136211361231276

----

-----

--

Con lo que podemos transformar la Ec. [ ]I en:

0)1xx6()2x()1x( 2 =---+

Y ahora igualamos a 0 cada uno de los factores resul-tantes y resolvemos las ecuaciones correspondientes (observa que las dos primeras -lógicamente- generan como soluciones las dos raíces que ya conocíamos)

• Si: 1x;01x -==+ • Si: 2x;02x ==-

• Si: ;01xx6 2 =--

3/12/1

1251

62)1(6411

x-

=±

=×

-××-±=

Por tanto tenemos cuatro soluciones para la ecuación:

;31x;

21x;2x;1x 4321 -===-=


Objetivo Enunciado

V Resolver sistemas de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. - Con denominadores enteros. - Con dos niveles de paréntesis.

Resumen teórico: Hay tres métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos a ex-plicarlos aplicándolos al siguiente:

þýü

=+=+54yx478y2x3

A. Método de igualación:

Ejemplo V.1


þýü

=+=+54yx478y2x3

Estudiamos cuál es la incógnita más fácil de despejar (en este caso la “y” al tener 1 de coeficiente en la 2ª Ec.), y la despeja-mos en ambas ecuaciones.

ïþ

ïýü

-=

-=

x454y2x378y

Como los primeros miembros de las dos ecuaciones son igua-les, podemos igualar los segundos, con lo que nos queda una ecuación con una sola incógnita.

x4542x378

-=- Resolvemos esta ecuación de la forma que ya sabemos y ha-

llamos el valor de la “x”:

(…) x = 6 Para hallar el valor de la “y” sustituimos el valor calculado de “x” en la ecuación más sencilla de las obtenidas en el 2º paso.

306454y =×-=

Con lo que la solución del sistema es: x = 6 ; y = 30

Es conveniente hacer la comprobación, para asegurarse de que hemos operado correctamente. Para ello sustituimos los valores obtenidos en el sistema inicial.

þýü

=+×=×+×5430647830263 ;

þýü

=+=+543024786018 ;

þýü

==54547878 ü


B. Método de sustitución:

Ejemplo V.2

C. Método de reducción:

Ejemplo V.3


þýü

=+=+54yx478y2x3

Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones (la que resulte más fácil): en nuestro caso la “y” en la 2ª Ec.

þýü

-==+x454y78y2x3 Sustituimos en la otra ecuación el valor de

la incógnita despejada.

78)x454(2x3 =-×+ Resolvemos esta ecuación y hallamos el valor de la segunda incógnita.

(…) x = 6

Para hallar el valor de la “y” sustituimos el valor calculado de “x” en la ecuación del 2º paso donde habíamos despejado esa in-cógnita.

306454y =×-= Como en el método anterior, ahora conven-dría hacer la comprobación.


þýü

=+=+54yx478y2x3

Multiplicamos los dos miembros de una de las ecuaciones (o las dos, si fuera necesa-rio) por el número adecuado, para lograr que una de las incógnitas quede con coefi-cientes iguales u opuestos en ambas ecua-ciones. En nuestro caso multiplicamos la 2ª Ec. por “-2”:

þýü

-=--=+

¾¾ ®¾ -× 108y2x878y2x3

)2(

Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones (si los coeficientes fuesen igua-les, restaríamos en vez de sumar) con lo que desaparece la incógnita cuyos coefi-cientes son opuestos.

30x5 -=- Resolvemos la ecuación de una incógnita resultante.

x = 6 Sustituimos el valor hallado de “x” en cual-quiera de las dos ecuaciones iniciales y hallamos la “y”.

54y642EendoSustituten =+×¾¾¾¾¾¾ ®¾ ; y = 30 Como en los casos anteriores. Ahora con-vendría hacer la comprobación.


Objetivo Enunciado

VI Aplicar el lenguaje algebraico a la resolución de problemas. - Ecuaciones de primer y segundo grado, racionales e irracionales y sistemas lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Resumen teórico: Reglas del lenguaje algebraico:

1ª) El producto se indica por un punto (y no por un aspa para evitar confusiones con la letra equis). 2ª) Cuando se escribe el producto de un número por una letra, o de una letra por otra, se puede omitir

el signo de la operación: “2x” significa “dos por equis”; “xt” significa “equis por te”. 3ª) Cuando sean dos números los que se multiplican, siempre hay que escribir el punto entre ellos para

no confundirse con un número de varias cifras: “2 · 4” significa “dos por cuatro”; “24” significa “veinti-cuatro”.

4ª) Nunca se escriben dos signos de operaciones seguidos: es necesario separarlos por un paréntesis: “3 + – x” es incorrecto, habría que escribir “3 + (–x)”; “b · – c” es incorrecto, debería ser: “b · (–c)” ó “b (–c)”.

5ª) Si se escriben dos expresiones algebraicas distintas en una misma línea, se separan por un punto y coma (para evitar que al leerlo otra persona pueda pensar que se están multiplicando): “2x 5t” signi-fica “dos equis por cinco te”; “2x ; 5t “significa “la expresión 2x y la expresión 5t”.

Ejemplo VI.0

Expresión en lenguaje ordinario Expresión algebraica

Dos números consecutivos x =-124 ; x = -12

4 Dos números pares consecutivos x =

-124 ; x = -12

4 La suma el cuadrado y el cubo de un número x = -12

4

La tercera parte de un número más el quíntuplo de su consecutivo x =-124

El triple de un ángulo menos el doble de su complementario x = -124

La diferencia entre los cuadrados de dos números x = -12

4 El cuadrado de la diferencia de dos números x = -12

4

El área de un triángulo cuya altura mide dos metros más que su base x =-124

El área de un rectángulo cuya base es el doble de su altura x = -124


Resumen teórico: Para resolver un problema de álgebra conviene seguir estos pasos: 1º) Identificar la(s) incógnita(s): ¿qué nos preguntan? 2º) Ponerle un nombre a la(s) incógnita(s): x, y, … 3º) Convertir los datos y relaciones que dé el enunciado en ecuaciones. 4º) Resolver la ecuación o sistema obtenido. 5º) Comprobar que la solución verifica las condiciones del enunciado del problema.

Ejemplo VI.1

Un número de dos cifras es tal que si las invertimos resulta otro número que es una unidad menor que el doble del número inicial. Halla dicho número sabiendo que si lo sumamos con el que resulta de invertir sus cifras se obtiene 110.

Paso Desarrollo

1º) ¿Qué nos preguntan? Un número de dos cifras. Cuando el número-incógnita tiene más de una cifra suele convenir elegir como incógnitas a las cifras y NO al propio número.

2º) Nombramos a las incógnitas

Cifra de las unidades: x; cifra de las decenas: y Con lo que el número será: 10y + x (como, por ejemplo: 73 = 7·10 + 3)

3º) Plantear la ecuación

Un número de dos cifras

El número con las cifras invertidas

El 2º nº es una unidad menor que el doble del 1º

7 612

39

3x x+

-+

= 7 612

39

3x x+

-+

= 7 612

39

3x x+

-+

=

Como tenemos dos incógnitas, necesitamos una segunda ecuación, para lo que acudimos a la segunda condición que nos da el enunciado.

Un número

de dos cifras El número con las

cifras invertidas Si los sumamos obtene-

mos 110

7 612

39

3x x+

-+

= 7 612

39

3x x+

-+

= 7 612

39

3x x+

-+

=

4º) Resolver el sistema resultante

7 612

39

3x x+

-+

=7 612

39

3x x+

-+

=

32181y81y21

1y19x880y8x81y19x8

1E2E82E ==®þýü

=-=-

¾¾ ®¾þýü

=+-=-

¾¾®¾ -×

Sustituyendo en E1: 78571x;1319x8 =

+-=-=×- Þ El nº es: 37

5º) Comprobación

Número buscado: 37 ; Número invertido: 73 Ahora: - El 2º es el doble del 1º menos una unidad: 731372 =-× ü - La suma de ambos es 110: 37 + 73 = 110 ü


Ejemplo VI.2

Hace cinco años Luis tenía el doble de años que su hermana María pero dentro de cinco años su edad sólo será cuatro tercios de la de su hermana. ¿Qué edades tienen actualmente los dos hermanos?

Paso Desarrollo

1º) ¿Qué nos preguntan? 2º) Nombrar las incógnitas

Para resolver problemas de edades es muy conveniente construir un es-quema como el siguiente, donde ya se han dado los pasos 1º) y 2º):

(ahora Luis tiene x años y María y)

Pasado (hace 5 años) Hoy Futuro

(dentro de 5 años) Luis 5x - x 5x +

María 5y - y 5y +

3º) Plantear la ecuación Con los datos del “pasado” planteamos la primera ecuación:

Edad de Luis hace 5 años

Edad de María hace 5 años

La de Luis era el do-ble de la de María

5x - 5y - )5y(25x -=- Y con los del futuro, la segunda:

Edad de Luis dentro de 5 años

Edad de María dentro de 5 años

La de Luis será 4/3 de la de María

5x + 5y + )5y(345x +=+

4º) Resolver el sistema resultante

7 612

39

3x x+

-+

=

10220y20y2

15y6x31E2E ==®þ

ýü

=-=-

¾¾ ®¾ -

Sustituyendo en E1: 1536015x;15106x3 =

+-=-=×-

Þ Luis tiene 15 años y María 10.

5º) Comprobación - Hace 5 años Luis tenía: 15 - 5 = 10 años; y María: 10 – 5 = 5. 5 x 2 = 10 ü

- Dentro de 5: Luis: 15 + 5 = 20 años; y María: 10 + 5 = 15. 201534

=× ü


Ejemplo VI.3

La base mayor de un trapecio rectángulo mide un metro más que la menor, y ésta mide tanto como la altura. Sabiendo que el área de este polígono es de 18 m2, averigua las dimensiones de sus cuatro lados.

Paso Desarrollo

1º) ¿Qué nos preguntan? - Las longitudes de los lados de un trapecio rectángulo

2º) Las nombramos

- Dibujamos la figura correspondiente y sobre ella nombramos a las incógnitas (fíjate como hemos empleado las relaciones que nos da el enunciado entre las bases y la altura, para poner esos tres lados en función de una única incógnita: x).


- Para plantear una ecuación hemos de recurrir a la fórmula del área de un trapecio (que debemos sabernos: el enunciado no nos la recuerda):

altura2baseBaseÁrea ×

+=

- Fórmula que en nuestro caso se convierte en la ecuación:

x2

x)1x(18 ×++

=

4º) Resolver la ecuación

- Quitamos denominadores: [ ] xx)1x(36 ×++= - Quitamos paréntesis: [ ] x1x236 ×+= ; xx236 2 += - Trasponemos términos: 036xx2 2 =-+

- Resolvemos: îíì-

=±-

=×

-××-±-=

2/94

4171

22)36(2411x

- Como no existen longitudes negativas, nos quedamos con la solución x = 4. Ya tenemos tres lados: base menor = altura = 4m; Base ma-yor = 4 +1 = 5m.

- Para hallar el cuarto lado (y), necesitamos otra ecuación. Volvamos a la figura: - Si trazamos una altura desde el vértice A (cuya

longitud es, obviamente, x) y aplicamos el teo-rema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la derecha, resulta:

222 x1y += ; 222 41y += ; 17y2 = ; m17y =

5º) Comprobación

- Base mayor – base menor = 5 – 4 = 1 m ü - Altura = 4 = base menor ü

- 2m184245altura

2baseBaseÁrea =×

+=×

+= ü

x

x

x+1

y

x

x

y

x+1 1

x

A


Ejemplo VI.4

Varios amigos se reúnen en un burguer para merendar. Cuando el camarero les trae la cuenta, que asciende a un total de 44 € y que van han acordado pagar entre todos a partes iguales, tres de ellos (¡los gorrones de siempre!) confiesan que no tienen dinero. Los demás deciden pagar toda la consumición, y al hacer de nuevo las cuentas observan que cada uno de pagar 3,30 € más de los que le correspondían en el primer reparto. ¿Cuántos eran los amigos, gorro-nes incluidos?

Paso Desarrollo

1º) ¿Qué nos preguntan? Cuántos son los amigos (gorrones incluidos) 2º) Nombrar las incógnitas Nº de amigos: x

3º) Plantear la ecuación Si son “x” amigos y 3 los gorrones, los que han de pagar al final son “x-3”, por tanto:

Cantidad ini-

cial que debía pagar cada

uno

Cantidad final

que han de pagar

Si la segunda canti-dad es 3,30 € mayor que la primera, en-

tonces

x44

3x44-

3x

443,3x44

-=+

4º) Resolver la ecuación resultante

3x443,3

x44

-=+ ; [ ] )3x(x)3x(,x.m.c.m -×=-

- Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. para quietar denominadores:

x44)3x(x3,3)3x(44 =-+- - Y ahora resolvemos:

x44x9,9x3,3132x44 2 =-+- 040x3.3x0132x9.9x3.3 23.32 =--¾¾ ®¾=-- ÷

îíì-

=±

=×

-××-±=

58

2133

12)40(1493

x

- Como la solución negativa no tiene sentido, nos quedamos con la solu-ción x = 8.

5º) Comprobación - Al principio cada amigo debía pagar: 44 : 8 = 5,5 € - Finalmente deben pagar: 44 : 5 = 8,8 € - La diferencia es: 8,8 – 5,5 = 3,3 ü


Ejemplo VI.5

En una empresa trabajan 80 mujeres más que hombres. El 2% de las trabajadoras tienen jor-nada partida, mientra que entre los hombres este porcentaje asciende al 10%. Sabiendo que el número de hombres que tiene partida la jornada es el triple que el de mujeres, halla cuántos empleados de cada sexo hay en esa empresa.

Paso Desarrollo

1º) ¿Qué nos preguntan? Cuántos hombres y cuántas mujeres hay en la empresa

2º) Nombrar las incógnitas Nº de mujeres: x; Nº de hombres: x-80 (de este modo evitamos tener que plantear un sistema de ecuaciones)


- La clave del problema está en saber expresar algebraicamente un porcen-taje:

- El 40% de una cantidad N es: N40,040,0N40100N =×=× .

- Por tanto:

Nº de mujeres con la jornada

partida

Nº de hombres con la jornada

partida

Como la segunda cantidad es el triple de

la primera: x02,0 )80x(10,0 - x02,03)80x(10,0 ×=-

4º) Resolver la ecuación resultante

x02,03)80x(10,0 ×=- x06,08x10,0 =-

8x04,0 =

20004,08x ==

- Por tanto en la empresa hay: 200 mujeres y 200 – 80 = 120 hombres.

5º) Comprobación - 2% de 200 = 0,02·200 = 4 mujeres con jornada partida - 10% de 120 = 0,10·120 = 12 hombres con jornada partida - 12 es el triple de 4 ü


RELACIÓN DE ERRORES MATEMÁTICOS GRAVÍSIMOS

A continuación se recogen seis errores que se cometen con frecuencia al ope-rar, y cuya particular gravedad motiva que su aparición en los exámenes (de matemáticas, naturales o física-química), tenga una penalización especial.

¨ Según establece el C.J.O., al efectuar secuencias de operaciones con números o expresiones algebraicas, se realizarán en el siguiente orden -salvo que existan paréntesis que indiquen lo contrario-: 1º) potencias; 2º) productos y cocientes (de izquierda a derecha); 3º) sumas y restas (indistintamente).

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

23212372 =+=×+ Sin embargo: 2739372 =×¹×+

ALG

EBR

AIC

O

x4)3x(x3xx =×+=×+ Sin embargo: x63x23xx =×¹×+

¨ Al despejar la incógnita en una ecuación, ha de aplicarse el C.J.O. en sentido inverso: la prime-ra operación que se efectúa es la última que se despeja.

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

Si: 234x43x2 -

=Þ=+ Sin embargo: 324x -¹

ALG

EBR

AIC

O

Si: abcdxd

cbax +

=Þ=- Sin embargo: b

acdx +¹ ;

ac)bd(x ×+

¹

¨ En una fracción, numérica o algebraica, se puede simplificar un factor si aparece repetido en el numerador y en el denominador, pero no si está sumando o restando.

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

428

2383

==×/×/ Sin embargo:

28

2383¹

×/+/

ALG

EBR

AIC

O

abba=

//× Sin embargo: a

bba¹

//+ ;

dba

cdcba +¹

/×/×+

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.


¨ Al operar con fracciones negativas ha de tenerse en cuenta que:

ba

ba

ba

-=

-=- .

Cuando se aplique este criterio a fracciones cuyo numerador sea una suma (resta), no se pue-de olvidar que el signo negativo afecta a todo el numerador.

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

21

2571

2)57(1

2)57(

21

257

21

-=+-

=--

=

=--

+=-

- Sin embargo:

211

2571

257

21

257

21

-=

--=

=--

+¹-

-

ALG

EBR

AIC

O

dcbad

d)cb(ad

d)cb(a

dcba

+-=

--=

=--

+=-

- Sin embargo:

dcbad

dcba --¹

--

¨ Dos o más raíces sólo se pueden sumar y/o restar si son semejantes (si tienen el mismo índice y radicando).

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

3333 72747573 =+- Sin embargo: 333 5757 +¹+

ALG

EBR

AIC

O

nnn a2aa =+ Sin embargo: nnn baba +¹+

¨ Al elevar un binomio al cuadrado, ha de aplicarse la fórmula: ab2ba)ba( 222 ±+=±

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

4943243)43( 222 =××++=+o, lo que es lo mismo:

497)43( 22 ==+ Sin embargo: 2516943)43( 222 =+=+¹+

ALG

EBR

AIC

O

xy4yx4)yx2( 222 -+=- Sin embargo: 222 yx4)yx2( -¹-

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

of matemáticas 4º eso · efectuar operaciones combinadas con números racionales (enteros y...

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