2

Содержание

Введение ……………………………………………………………………... 3

Глава 1. Квазипериодические структуры и их энергетический спектр …. 8

1.1. Общее определение одномерных квазипериодических структур … 8

1.2. Примеры квазипериодических структур…………………………….. 9

1.3. Одномерное уравнение Шредингера в приближении сильной связи.

Дискретный характер энергетическогоспектра.................................. 12

Глава 2. Теплоемкость систем с одномасштабным канторовским

энергетическим спектром....………………………………………………….. 16

2.1. Обобщенные множества Кантора и энергетический спектр 16

2.2.Теплоемкость одномасштабного канторовского спектра. …………... 21

2.3. Аналитический расчет теплоемкости. Логопериодические

осцилляции……………………………………………………………….......... 25

Глава 3. Критическое поведение магнитных квазипериодических

структур………………………………………………………………………... 32

3.1. Формулировка модели…………………………………………………… 32

3.2. Расчет критической температуры и намагниченности в рамках

приближения среднего поля………………………………………………….. 34

3.3. Обобщенное приближение среднего поля……………………………… 39

3.4. Расчет критической температуры в рамках обобщенного

приближения среднего поля………………………………………………….. 42

Заключение…………………………………………………………………….. 47

Библиографический список…………………………………………………... 48

3

Введение

Понятие квазикристалла впервые стало известно в 1984 году после

доклада Шехтмана и его сотрудников [1] по электронной дифракции

электронов на сплаве Al-Mn, в котором были продемонстрированы очень

неожиданные и интересные результаты. Они смешали Al и Mn в пропорции

примерно шесть к одному и разогрели смесь до его расплава. Смесь быстро

охладили до твердого состояния путем её выдавливания на холодное

вращающиеся колесо, этот процесс известен как формование из расплава.

Когда затвердевший расплав исследовали с помощью электронного

микроскопа, выявилась неизвестная ранее структура. Она демонстрировала

симметрию пятого порядка, запрещённую в кристаллах, и дальний порядок,

отсутствующий в аморфных телах. Таким образом, данная структура не

являлась ни аморфной, ни кристаллической. Дальнейшие исследования,

проведенные с помощью рентгеноскопии более высокого разрешения,

продемонстрировали не только симметрию пятого порядка, но и

икосаэдрическую симметрию, также запрещенную законами

кристаллографии (см., для справки, [2-3]). Теоретические исследования,

проведенные Levine и Steinhardt [4], объяснили такие типы симметрии в их

дифракционной картине через апериодические двух- и трехмерные плитки

Пенроуза (покрытие плиткой – геометрическая операция, результатом

которой является заполнение пространства регулярно расположенными

многогранниками). Их прогнозы были действительно качественно похожи на

наблюдения Шехтмана и др. [1]. Помимо дальнейших экспериментов,

последующие задачи были связаны с развитием теоретических моделей,

характеризующих эти искусственные структуры.

Хотя термин «квазикристалл» в большей степени применим к

натуральным соединениям, чем к искусственным сплавам; в одномерном

(1D) случае нет различий между ними и квазипериодическими структурами,

составленными из несоизмеримо расположенных элементарных ячеек.

Привлекательность изучения таких структур заключается в том, что они

4

обладают сильно фрагментированным энергетическим спектром, который

проявляет свойства самоподобия. Действительно, строгими математическими

методами было доказано, что этот спектр представляет собой множество

Кантора в термодинамическом пределе [5].

Привлекательность исследования квазипериодических структур

связано с тем, что они проявляют коллективные свойства независимо от их

разделения на составные части. Кроме того, дальние корреляции,

индуцированные конструкцией таких систем, как ожидается,должны быть

отражены в свойствах их разнообразных спектров (например, в

распространении света, электронной трансмиссии, плотности состояний и

др.), определяя новое описание беспорядка [6]. Действительно, теоретическая

процедура трансфер-матриц показывает [7], что эти спектры являются

фракталами [8].

Присутствие и природа дальних корреляций препятствует

использованию канонических методов, таких как теория возмущений, в

которых сначала рассматривается небольшая локализованная часть системы,

оставляя остальные части как апостериорные возмущения. Это приближение

обычно не работает в случае, рассматриваемом здесь, т.к. поведение

макроскопических систем в общем случае совершенно отличается от

поведения их отдельных малых частей, что обусловлено дальними

корреляциями. К счастью, само их наличие дает возможность обойти эту

проблему, т.к. такие системы обычно являются устойчивыми к широким

изменениям на макроскопическом масштабе. Важное следствие этой

устойчивости заключается в том, что многие системы, отличающиеся на

микроскопическом масштабе, могут демонстрировать одинаковое

критическое поведение. Таким образом, возможна классификация различных

систем с помощью нескольких универсальных классов (детали см. в [9]).По

аналогии мы можем рассматривать непрерывные фазовые переходы:

критическое поведение, как известно, зависит только от глобальных

параметров, а именно от геометрического размера системы и симметрии

5

параметра порядка. Они уже невосприимчивы к микроскопическим деталям

взаимодействий между атомами и молекулами [10]. Замечательным

примером использования этого подхода является изинговская модель

спинового взаимодействия, описывающая воду: классические спины

ориентированы вверх (или вниз), что позволяет определить присутствие (или

отсутствие) молекул в узлах решетки, когда сложные взаимодействия между

молекулами могут быть заменены эффективной обменной связью

ближайших соседей.

Достижения в изготовлении многослойных структур гарантируют

возможность выявления новых особенностей таких структур. Технологии

включают в себя современные методы послойного выращивания, такие как

молекулярно-лучевая эпитаксия (МЛЭ) и химическое осаждение из газовой

фазы металлоорганических соединений (МОХОГФ), а также

характеристические методы, такие как рассеяние рентгеновских лучей и

дифракция нейтронов. Они позволяют изготовлять слоистые материалы с

резкими, высококачественными границами раздела и размерами,

сопоставимыми с длиной свободного пробега электрона и его длиной волны

де Бройля. Эти материалы весьма привлекательны для изучения, потому что

их макроскопические свойства можно моделировать и контролировать путем

изменения толщины и состава образующей их пленки. В самом деле,

некоторые из этих свойств являются уникальными в многослойных

структурах и обеспечивают возможность их применения в различных

устройствах.

Пионерские экспериментальные работы Мерлина и его сотрудников на

непериодических Фибоначчи [11] и Туэ-Морсе [12] сверхрешетках GaAs-

AlAs породили большое количество научно-исследовательских работ в

области квазикристаллов. В основном, такие системы включают два

различных строительных блока, каждый из которых содержит требуемую

физическую информацию, которые затем располагают упорядоченно в

желаемом порядке. Например, их можно располагать в виде рядов

6

поколений, подчиняющихся особым рекуррентным соотношениям. Их

можно рассматривать как промежуточные системы между периодическими

кристаллами и хаотическими аморфными телами [13], и это одна из

перспектив, которая придает особый интерес к изучению таких систем.

С теоретической точки зрения, спектры многих типов элементарных

возбуждений в квазипериодических структурах были широко изучены

многими группами исследователей. Во всех случаях был найден

кантороподобный спектр с критическими собственными функциями [14]. Для

электронных систем точные собственные функции были найдены только для

нулевого значения энергии. Однако, существует неограниченно много

собственных значений энергетического спектра, несмотря на то, что их мало

для хаотических электронных орбит.Важной проблемой является понимание

собственных функций, соответствующих таким хаотическим орбитам.

Необязательно, что волновые функции сами по себе являются хаотическими,

потому что орбиты представляют только отдельные точки решетки.Кроме

того, спектр может содержать дискретный набор расширенных состояний.

Подобные типы спектра могут быть найдены при изучении вопросов,

связанных с фононами. В самом деле, между электронным и фононным

спектрами существует взаимно-однозначное соответствие (для справки см.

[15]). Довольной сложный фрактальный энергетический спектр является

общей чертой таких систем, их визитной карточкой. Несколько различных

математических техник, включая теорию ренормализованных групп [16],

метод трансфер-матриц [17] и хаотических гамильтоновых систем [18],

(здесь упомянуто только несколько) были успешно применены и привели к

замечательным результатам.

Другим важным стимулом для изучения таких структур является

локализация электронных состояний, изучение которой является одной из

активных областей физики конденсированного состояния вещества, которая

может встретиться не только в неупорядоченных системах, но также и в

детерминированных квазипериодических системах [19-20]. Локализация,

7

обусловленная электронными свойствами, изучается при помощи

одномерногоуравнения Шредингера в приближении сильной связи [13,21-

23]. С другой стороны, существуют вычисления плазмон-поляритонного

спектра, которые были опубликованы Альбукерке и Коттамом [24-25]. Эти

возбуждения могут предоставить прекрасную возможность

экспериментального зондирования локализованных состояний, потому что

локализация существенным образом зависит от волновой природы

электронных состояний и может быть обнаружена в волновых явлениях. К

тому же, определенные преимущества при изучении локализации дает

использование классического волнового уравнения вместо рассмотрения

квантово-механической электронной задачи. Действительно, последний

метод имеет дело с другими типами взаимодействий, такими как спин-

орбитальное взаимодействие, электрон-фононная связь и электрон-

электронное взаимодействие (т.е. такие взаимодействия, которые делают

задачу более сложной).

Целью данной выпускной квалификационной работы является

изучение термодинамических и магнитных свойств элементарных

возбуждений в квазипериодических системах.

8

Глава 1. Квазипериодические структуры и их энергетический

спектр

1.1. Общее определение одномерных квазипериодических структур

Квазипериодические структуры, которые мы рассмотрим, относятся к

широкому классу последовательностей подстановок. Последовательности,

создающиеся путем замещений, изучаются несколькими разделами

математики [26-28], компьютерных наук [29] и криптографии [30].

Для начала, напомним определения тех последовательностей

подстановок, которые будем использовать. Рассмотрим конечное множество

(здесь { , }A B , где A и B – различные «строительные блоки»), которое

называется алфавитом, и обозначим множество всех «слов» конечной

длины, которое можно записать при помощи этого алфавита. Определим

как отображение от к , которое действует на «слово» путем замены

каждой буквы в «слове» (например, A ) на соответствующую

последовательность, обозначаемую как A . Последовательность

называется последовательностью подстановок тогда и только тогда, когда

она имеет неподвижную точку отображения , т.е. точку, которая остается

неподвижной после замены каждой буквы в последовательностиее образом

под действием .

Такие последовательности подстановок описываются с точки зрения

набора поколений, подчиняющихся определённым правилам. Пусть

1 2, ,..., ga a a - g базовых элементов. Определим этот набор как n-ую стадию

последовательности. Следующая n+1-ая стадия получается из n-ой по

индукции путем применения правила преобразования a Ma

,где a

представляет собой вектор-столбец 1 2( , ,..., )tga a a (t-обозначает

транспонирование). Также ( )ijM m - матрица g×g с целыми

неотрицательными элементами. Матрица M и ее успешное применение

полностью определяют последовательность. На каждой стадии ia заменяется

9

на 1 1im a , затем на 2 2jm a , и т.д. для 1,2,...,i g . Например, для решетки

Фибоначчи мы будем работать с матрицей M размера 2×2 (c

11 12 21 1m m m и 22 0m ), действующей на вектор 1 2( , )ta a на каждой

стадии. В терминах строительных блоков A и B это дает правила

,A AB B A для построения всей последовательности. При этом первым

членом последовательности будет AB . Подобные условия могут быть

получены при построении других квазипериодических структур.

Теперь дадим явные определения основных замещающих

последовательностей, которые будем использовать в дальнейшем.

1.2. Примеры квазипериодических структур

Наиболее известной и обладающей простой фрактальной геометрией

является триадная канторовская последовательность [31]. Это множество

получается путем повторения простого правила: данный сегмент делится на

три равные части, центральная часть удаляется (такую последовательность

называют входящей). Вместо неё мы хотим рассмотреть исходящую

последовательность, n-ая стадия которой задаётся как 1 1n n n nS S B S с

начальными условиями 0S A и 1 1S AB A . В этом случае nB для n-го слоя

отличается от 1B ( B ) только своей толщиной 1

13n

nB Bd d [32]. Таким

образом, мы можем сконструировать последовательность путем

преобразований ,A ABA B BBB .

Поколения Кантора имеют вид

0S A ; 1S ABA ; 2S ABABBBABA и т.п.

и схема роста структуры представлена на рис. 1.1. Эта последовательность

имеет нецелую фрактальную размерность, а именно ln 2 / ln3 (см. [33]).

10

Рисунок 1.1. Схематическая иллюстрация квазипериодической структуры Кантора.

Еще одним характерным примером квазипериодических

последовательностей является последовательность Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи является старейшим примером

апериодической цепочки. Она была построена Леонардо де Пиза (чьим

прозвищем было Фибоначчи, что означает «сын Боначчи») в 1202 году как

результат его исследования роста популяции кроликов. Структура

Фибоначчи может быть реализована путём наложения двух строительных

блоков A и B таким образом, что n-ая стадия процесса построения nS

задаётся рекурсивным правилом 1 2n n nS S S для 2n , начиная с 0S B и

1S A . Эти свойства остаются инвариантными при преобразованиях A AB

и B A .

Поколения Фибоначчи (см. рис. 1.2а) имеют вид

0S B ; 1S A ; 2S AB ; 3S ABA ; 4S ABAAB , и т. д.

11

Рисунок 1.2. Схематическая иллюстрация других квазипериодических структур:

Фибоначчи (a), Туэ-Морсе (b), двухпериодическая (с).

Число строительных блоков увеличивается в соответствии с числами

Фибоначчи 1 2l l lF F F (с 0 1 0F F ).Отношение между количеством

строительных блоков Aи количеством строительных блоков B при больших

l стремится к числу золотого сечения (1 5) / 2 . Интересно отметить,

что все числа Фибоначчи могут быть построены с помощью числа золотого

сечения по формуле / 5n nnF . Это означает, что последовательность

рациональных чисел может быть представлена с помощью иррационального

числа!

12

1.3. Одномерное уравнение Шредингера в приближении сильной связи.

Дискретный характер энергетического спектра

Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шредингера

2 2

2

ψ- ( )ψ ψ

2

dU x

m dx

, (1.1)

где ( )U x - потенциальная энергия, – полная энергия, ψ= ( )x - волновая

функция.

Для дальнейшего анализа уравнения (1.1) удобно записать его

дискретное приближение (приближение сильной связи), воспользовавшись

дискретным представлением второй производной

21 1

2 2

ψ ψ - 2ψ ψn n nd

d x a

, (1.2)

где a - расстояние между узлами одномерной решетки, n – номер узла

решетки, ψ ( )n nx . В результате получим

2 2

1 -1 2 2

2 2-ψ -ψ 2 ψ ψn n n n n

a m a mU

, (1.3)

где ( )n nU U x . Вводя безразмерные величины потенциальной энергии

2

2

2n n

a mV U

и собственного значения

2

2

22

a mE

, перепишем

уравнение (1.3) в виде

1 -1ψ +ψ ψ ψn n n n nV E . (1.4)

Уравнение (1.4) представляет собой конечно-разностное приближение или

приближение сильной связи для одномерного уравнение Шредингера.

Далее изложим оригинальный метод Кохмото-Каданова-Танга [13] для

получения энергетического спектра одномерной модели квазикристалла.

Запишем дискретное уравнение Шредингера (1.4) в следующем виде

1

-1

ψ ψ( )

ψ ψn n

n n

M n

, (1.5)

где ( )M n - трансфер-матрица

13

- -1( )

1 0nE V

M n

. (1.6)

Применение трансфер матриц дает возможность находить волновые функции

для произвольных узлов

1 1

0

ψ ψ( ) ( -1)... (2) (1)

ψ ψn

n

M n M n M M

. (1.7)

Таким образом, решение уравнения Шредингера полностью эквивалентно

вычислению произведения трансфер-матриц.

Для решетки Фибоначчи потенциал nV принимает два значения AV и BV

, а последовательность матриц ( )M n представляет собой последовательность

Фибоначчи, сгенерированной из двух матриц

- -1

1 0A

A

E VM

(1.8)

и

- -1

1 0B

B

E VM

. (1.9)

Определим трансфер-матрицу jM соотношением

( ) ( 1)... (2) (1)j j jM M F M F M M , (1.10)

где jF - числа Фибоначчи. Матрица jM генерирует волновую функцию в

узле с номером равным числу Фибоначчи

1 1

2

ψ ψ

ψψj

j

F

jF

M

. (1.11)

Поскольку последовательность Фибоначчи конструируется как

1 1{ , }j j jS S S с начальными условиями 0S B , 1S A , то мы можем

записать

1 1j j jM M M , 1j (1.12)

с 0 1,B AM M M M .

14

Чтобы получить энергетический спектр, мы рассмотрим энергии,

которые соответствуют решениям ψn , не возрастающие экспоненциально.

Это приводит к тому, что модуль собственных значений jM должен быть

равен единице при j . Отметим, что матрица jM зависит от энергии E.

Поскольку определитель матрицы jM равен единице (унимодулярная

матрица), условие для определения спектра будет иметь вид

Sp 2jM . (1.13)

Покажем это. Поскольку множество матриц SL(2,R)jM , то

1 Spj j jM M M I , 1Sp( ) Sp( )j jM M . (1.14)

Преобразуем уравнение (1.12) к виду

1 12 1j j jM M M

(1.15)

и складываем полученное уравнение с уравнением (1.12), получаем

1 11 2 1 1j j j j j jM M M M M M . (1.16)

Применяем к последнему уравнению операцию Sp, в результате находим

1 11 2 1 1Sp( ) Sp( ) Sp( ) Sp( )j j j j j jM M M M M M (1.17)

или, используя (1.14)

1 2 1Sp( ) Sp( ) Sp( ) Sp( )j j j jM M M M . (1.18)

Вводя обозначения Sp / 2j jx M , перепишем уравнение (1.18) к виду

1 1 22j j j jx x x x (1.19)

с начальными условиями

1 0 11, , .2 2

B AE V E Vx x x

(1.20)

На рисунке 1.3изображен энергетический спектр одномерной модели

квазикристалла при 0,6B AV V до 7 поколения, полученный из условия

1jx , который демонстрирует его кантороподобность, т.е. фрактальность.

15

Поскольку этот спектр имеет очень сложную структуру, поэтому

упрощенные фрактальные модели спектра будут использованы в следующей

главе для объяснения термодинамических свойств одномерных

квазипериодических структур.

Рисунок 1.3. Энергетический спектр квазипериодической одномерной структуры

Фибоначчи при VB=-VA=0,6 для n=2, 3, 4, 5, 6, 7 поколений.

16

Глава 2.Теплоемкость систем с одномасштабным канторовским

энергетическим спектром

2.1. Обобщенные множества Кантора и энергетический спектр

В работе Цаллиса и др. [34] были изучены термодинамические

свойства системы со спектром в виде триадного множества Кантора,

сосредоточив внимание на свойствах теплоемкости, показав наличие

логопериодических колебаний около фрактальной размерности спектра в ее

температурном поведении. Затем, Валледжос и др. [35] продолжили изучение

свойств теплоемкости системы с двухмасштабным фрактальным спектром,

показав, что и в этом случае теплоемкость также проявляет

логопериодические колебания около спектральной размерности системы.

В данном параграфе рассмотрим обобщенное множество Кантора,

которое может быть как мономасштабное, так и мультимасштабное, и

проанализируем свойства теплоемкости электронной системы со спектром в

виде данного множества.

Следуя работе [36], рассмотрим ограниченный энергетический спектр в

интервале от 0 до . Без потери общности рассмотрим случай 1 .

Множество Кантора может быть итерационно построено следующим

образом. На шаге 0n процесса построения мы имеем непрерывный сегмент

[0,1] . Генерируя множество ( , )S j m на шаге 1n , мы делим первоначальный

отрезок на j ( j - целое) равных подотрезков длины 1j , пронумерованных

от0до 1j . Затем мы исключаем j m отрезков, в результате чего в спектре

остается mподотрезков (m j ). Для того, чтобы сохранить ширину спектра

,отрезки под номерами 0и 1j не могут быть исключены. Отметим, что

при заданных j и m существует 2

2

m

jC

различных вариантов выбора m

подотрезков (и, следовательно, 2

2

m

jC

различных ( , )S j m ). Различать их мы

будем с помощью обозначения

17

1 2( , ; , ,..., )mS j m c c c , (2.1)

где 1 2{ , ,..., }mc c c множество номеров не исключенных отрезков. Согласно

ограничениям, наложенным выше, они должны удовлетворять условию

1 20 ... 1mc c c j . После того как один из возможных способов

выбран, он должен быть сохранен на протяжении всего процесса построения,

что необходимо для получения фрактальной структуры. Важно отметить, что

спектр, оставшийся после исключения j m отрезков, необязательно

сформирован m ветвями. Мы имеем спектр с общей длиной 1m j , но

некоторые из mотрезков могут быть смежными. Смежные отрезки образуют

единую спектральную ветвь. На следующем этапе, начиная с поколения 2n ,

мы берём каждую ветвь (не сегмент), полученную на предыдущем этапе, и

разделяем их на j подотрезков. Затем исключаем j m отрезковв том же

самом порядке, который мы использовали на предыдущем шаге. Для

построения фрактала процесс продолжается итерационно. Отметим, что мы

рассмотрели случай, в котором длина каждой ветви выражается

рациональным числом (сегмент [0,1] разделен на целое число частей). Это

было сделано для упрощения, но полученный результат является вполне

общим.

На рис. 2.1 показаны некоторые множества Кантора на первых трех

поколениях построения и, в то же время, эта фигура позволяет нам

графически определить дискретный и кусочно-непрерывный спектр (следуя

номенклатуре [34]). Случай кусочно-непрерывных множеств соответствует

рассмотрению спектра, образованного непрерывными ветвями (отрезки

сплошных линий на рис. 2.1) с постоянной плотностью состояний,

разделёнными щелями с нулевой плотностью состояний. В дискретном

случае спектр образуется только экстремумами этих ветвей. Спектр,

показанный на рис. 2.1, соответствует множествам (3,2;0,2)S (а),

(5,3;0,2,4)S (b), (5,3;0,1,4)S (c) и (8,5;0,1,2,4,5,7)S (d). Отметим, что

18

стандартное триадное множество Кантора получается при 3j , 2m ; и

числом способов, равным 2 23 2C , таким множеством может являться только

(3,2)S .

Рисунок 2.1. Четыре сгенерированных множества Кантора на первых трех

поколениях построения. Показаны случаи кусочно-непрерывных и дискретных

множеств вида (3,2;0,2)S (а), (5,3;0,2,4)S (b), (5,3;0,1,4)S (c) и

(8,5;0,1,2,4,5,7)S (d).

В случае (b) рис. 2.1, после удаления j m отрезков, m ( 3)m

отрезков имеют длину 1j ( 5)j на первом этапе построения ( nj на n-м

19

этапе) являются несмежными, т.к. они разделены щелями. Таким образом, из

этих отрезков вырастают различные спектральные ветви, и как следствие -

одинаковая длина всех спектральных ветвей. В этом смысле мы имеем

мономасштабное множество Кантора: на n-м шаге процесса построения

спектра все ветви идентичны. Очевидно, что случай (a) на рис. 2.1 (триадное

множество Кантора (3,2)S ) является одномасштабным.

Однако случай (с) отличается от него. Отметим, что, хотя 3m и

5j , как и в случае (b), на первом шаге исключаются сегменты под

номерами 2 и 3. Следовательно, в спектре остаются сегменты под номерами

0, 1, и 4. В этом случае сегменты 0 и 1 являются смежными, следовательно,

они являются базой для роста совместной спектральной ветви размером

12 5 , хотя сегмент 4 порождает ветвь размером 15 . Если процесс

построения сопровождается тем же самым делением и выбором сегментов в

каждой ветви, мы имеем дело с многомасштабным множеством. В

примере (d) мы формируем множество (8,5;0,1,2,4,5,7)S путем исключения

сегментов 3 и 6, образуя в результате три ветви с размерами 13 8 , 12 8 и

18 соответственно. Мы имеем трехмасштабное множество. Очевидно, что

более сложные многомасштабные множества могут быть построены путем

выбора соответствующих значений j и m , а также свойства множества

1 2{ , ,..., }mc c c .

Далее определим фрактальные размерности (клеточные) boxd

обобщенных множеств Кантора. Для общего одномасштабного множества

1( , ; ,..., )mS j m c c легко получить, что log / logboxd m j . Для

многомасштабного множества 1( , ; ,..., )mS j m c c это красивое выражение

усложняется. Можно показать (см., например, [37]), что, если на первом шаге

формирования спектра образуется n ветвей (каждая из которых имеет длину

il ), то размерность boxd является решением следующего уравнения:

20

1

1box

ndi

i

l

. (2.2)

Далее найдем явное выражение для энергетического спектра для

множества Кантора общего вида 1 2( , ; , ,... )mS j m c c c в дискретном случае (см.

рис. 2.1). Мы ограничимся дискретным случаем, поскольку в пределе n

этот случай совпадает с непрерывным. Для начала заметим, что множества

наименьших значений энергии для любых интервалов обобщенного

множества Кантора на n-ом шаге построения, которое мы обозначим как nE

,может быть получено из следующего выражения

1

nk

n kk

cE

j

, (2.3)

где каждый из коэффициентов kc может принимать любые значения из

1 2{ , ,... }mc c c . Аналогично, легко можно заметить, что множество наибольших

значений энергии для любых интервалов обобщенного множества Кантора

(обозначим его nE ) получается из выражения

1

1nk

n k nk

cE

j j

. (2.4)

Отметим, что множество чисел 1 2{ , ,... }mc c c полностью определяет эти

энергии на всех стадиях конструирования фрактала. В частности, для

триадного множества Кантора мы имеем 0kc или 2kc . Значение 0

позволяет сконструировать одну ветвь спектра, а значение 2 - другую.

Значение 1 позволило бы построить центральную третью ветвь любой ветви

спектра из всех отрезков, которые были исключены. Более того, очевидно,

что для любого одномасштабного кланторовского множества мы имеем

1 2( , ; , ,... )n m n nS j m c c c E E . (2.5)

В случае многомасштабного множества, в расчете существует

небольшая тонкость. Для двух последовательных подотрезков допускается

их совместное использование в процессе построения, потому что эти два

21

сегмента принадлежат одной спектральной ветви. То же самое можно сказать

и про большее, чем два, число совместных подотрезков. Из спектра должны

быть исключены такие значения ,E , которые удовлетворяют соотношению

,n nE E E . Следовательно, более общим выражением для

энергетического спектра обобщенного множества Кантора является

следующее

1 2( , ; , ,... )n m n n n nS j m c c c E E E E . (2.6)

Заметим, что это уравнение подходит для всех случаев, т.к. в случае

одномасштабного множества мы имеем n nE E , и уравнение (2.6)

переходит в уравнение (2.5).

2.2. Теплоемкость одномасштабного канторовского спектра

В этом параграфе мы аналитически рассчитаем статистическую сумму

Z для энергетического спектра в виде одномасштабного канторовского

множества, с помощью которой мы вычислим теплоёмкость ( )C T .

Принимая энергетический спектр, заданный уравнением (2.5),

статистическуюсумму для одномасштабного множества 1 2,( , ; , ... )mS j m c c c на

n-ом шаге построения можно представить в виде

1 2 1 2, ,... , ,... 1 1

1( ) exp exp

n m

n nk k

n k k nc c c c c c k k

c cZ T

j j j

, (2.7)

где были приняты во внимание выражения для множеств nE и nE , заданные

формулами (2.3) и (2.4) соответственно. Также, в этом уравнении мы имеем

1 / Bk T (с этого момента полагаем, что 1Bk ). Заметим, что каждый из

находящихся под индексом суммирования коэффициентов 1,..., nc c принимает

m непоследовательных значений из множества 1 2{ , ,..., }mc c c . Для краткости

мы обозначали это как1 2, ,...i m ic c c c c

.

22

После некоторых преобразований статистическая сумма из уравнения

(2.7) может быть очень компактно разложена на множители

1

( ) 1 exp expi

ni

n n ici

cZ T

j j

. (2.8)

Из этого выражения для статистической суммы могут быть получены

термодинамические величины. В частности, внутренняя энергия может быть

вычислена как 2( ) (ln ) /n nU T d Z dT . Путём длинных, но прямых

вычислений, удельная теплоёмкость ( )nC T может быть получена путём

дифференцирования ( )nU T . В результате получим

2

22

22

1

exp exp exp2

( ) cosh2

exp

i i i

i

i i iii i in n

c c c

n ni

i ii

c

c c cc

j j jjC T

j cj

j

(2.9)

Заметим, что первый член в правой части уравнения (2.9) может быть

интерпретирован как конечноразмерная поправка к удельной теплоёмкости.

В пределе n второй член является доминирующим, и мы имеем

2

2

22

1

exp exp exp

( )

exp

i i i

i

i i iii i in

c c c

ii i

ic

c c cc

j j jC T

cj

j

. (2.10)

Это уравнение хотя является общим, но довольно сложное, поэтомуможет

быть вычислено только численно. Таким образом, можно получить

зависимость удельной теплоёмкости от температуры. К тому же, в некоторых

специальных случаях уравнение (2.10) может быть упрощено.

На рисунке 2.2 изображены два конечных приближения теплоемкости

для двух одномасштабных множества Кантора как функции температуры в

логарифмическом масштабе. Несколько важных особенностей поведения

теплоемкости заслуживают того, чтобы их отметить. Во-первых, при низких

23

температурах теплоемкость является осциллирующей функцией, при этом

число колебаний определяется поколением фрактала. Отметим, что число

“периодов” совпадает с n, причем с ростом n новый период появляется из

низкотемпературного региона. Во-вторых, ( )nC T колеблется около

определенного значения, определяемого фрактальной размерностью

множества. Для случаев, показанных на рис. 2.2 мы имеем 1 ln3 / ln5d и

2 ln 2 / ln 4d . В общем случае мы получим осцилляции около значения

ln / lnd m j . В третьих, отметим, что в области осцилляций теплоемкость

( )nC T является логопериодической функцией. Ниже,на основе точных

аналитических вычислений, мы покажем причины возникновения такого

типа периодичности. Логопериодичность проявляется только в

колебательном регионе. При n этот регион расширяется до

бесконечности (бесконечное число периодов). В пределе высоких температур

теплоемкость стремится к нулю, что является следствием ограниченности

спектра (E=1 является наибольшим значением энергии).

24

Рисунок 2.2. Конечные приближения теплоемкости для множеств (5,3;0,2,4)S

(жирные линии) и (4,2;0,3)S (тонкие линии). Для обоих случаев пунктирная

линия соответствует n=5, а сплошная линия – n=6. Горизонтальные линии

изображают соответствующие фрактальные размерности множеств.

Предельный переход к T может быть выполнен в уравнении

(2.10) и мы получим поведение теплоемкости при высоких температурах

2

2

2 2 2

1( )

( 1)i i

i ic c

m c c

C Tm j T

. (2.11)

Это уравнение показывает, что параметры множества Кантора j, m и набор

параметров 1 2{ , ,... }mc c c контролируют не только “среднее” значение

ln / lnd m j , но и поведение теплоемкости при высоких температурах, входя

коэффициентом при 2T .

25

Простейшим случаем одномасштабного канторовского множества

является то, в котором после разделения спектральной ветви на j

подотрезков, не отброшенными остаются только первый и последний

отрезки, т.е. ( ,2;0, 1)S j j . Заметим, что триадное множество Кантора

относится к такому типу простых множеств. В этом случае можно выполнить

суммирование ic и в некоторой степени упростить уравнение (2.10). В

итоге получим 2

1

2 1( ) cosh

1 2

i

ii

j T jC T

j j T

. (2.12)

Подобные результаты были получены в частном случае 3j

(традиционное множество Кантора) в [34]. Однако стоит заметить, что

уравнение (2.12) справедливо только для одномасштабных множеств вида

( ,2;0, 1)S j j , тогда как для общего случая одномасштабного множества

требуется применение уравнения (2.10). Из этого выражения удается с

помощью формулы суммирования Пуассона получить аналитическую

формулу для теплоемкости [34], которая доказывает логопериодическое

поведение теплоемкости. Однако это не единственный пример

одномасштабного канторовского множества, для которого удается получить

строгие аналитические результаты.

Рассмотрим следующее одномасштабное множество, допускающее

упрощения общей формулы для теплоемкости (2.10). Это множество, в

котором после разделения спектральной ветви на j сегментов, не

отброшенными остаются сегменты с номерами ( 1), 1,2,...,c p k k mk , где

p – целое число, причем число j-1 должно быть кратно числу p, тогда

( 1) / 1m j p . В результате мы получим одномасштабное множество

Кантора вида ( , ;0, ,2 ,.., 1)S j m p p j . В этом случае также возможно провести

суммирование ci и упростить выражение для теплоемкости (2.10)

26

2 21( )2 221 sinh /2 sinh /2

p mC T i i iji p j mp j

. (2.13)

Для простейшего случая ( ,2;0, 1)S j j поведение теплоемкости при

высоких температурах имеет вид

2 22

2 2 21

( 1) ( 1)( )

4( 1)i

i

j jC T j

T j T

. (2.14)

2.3. Аналитический расчет теплоемкости. Логопериодические

осцилляции

Для канторовского спектра могут быть получены аналитические

выражения для термодинамических функций.

Чтобы рассчитать теплоемкость аналитически, осуществим Меллин-

преобразование в уравнении (2.13):

1

0

ˆ( ) ( ) ( )MT

sC C s C d

. (2.15)

Воспользовавшись формулой [38]

2

22 ( 2) ( 1), Re 0

sinh

MTsx

s s sx

, (2.16)

где ( )z - гамма-функция, ( )z - дзета-функция Римана, и свойством

Меллин- преобразования ˆ( ) ( )MT

sf ax a f s , получим из (2.13)

1

ˆ ( )ˆ ( ) 1 ( 2) ( 1) ,1

ˆ ( ) 1 ( 2) ( 1), 2 Re 0.

s s iss

i

s s

G sC s p m s s j

j

G s p m s s s

. (2.17)

Здесь мы приняли во внимание тот факт, что область существования

Меллин-образа функции 2 2 2 2sinh ( ) sinhx x mx mx отличается от

области существования Меллин-образа функции 2 2sinhx x и равна

Re 2s .

27

Меллин-образ ˆ ( )C s имеет простые полюса, которые можно

объединить в две группы. Первая группа полюсов – это нулю знаменателя

выражения (2.17), которые определяются следующим образом

(1) 21 exp ln exp 2 , 0, 1, 2,...,

lns

kj s j ik s i k kj

. (2.18)

Вторая группа полюсов образуется из полюсов гамма функции, входящей в

выражение для ˆ ( )G s

(2)2 2, 0,1,2,...ks k s k k . (2.19)

Полюса (1)ks и (2)

ks (см. рис. 2.3) не пересекаются, поэтому полюса

функции ˆ ( )C s равны (1) (2)k k ks s s .

Далее осуществляем обратное преобразование Меллина. Дополнив

прямую интегрирования до контура правой или левой половинками

окружности, пользуемся основной теоремой о вычетах. В результате получим

1 ˆ ˆ( ) ( ) Res ( )2 k

is s

ski

C C s ds C si

, (2.20)

где знаки “+” и “-” соответствуют контуру L и L соответственно (см. рис.

2.3). Как можно заметить из рис. 2.3 полюса первой группы (1)ks находятся

внутри контура L , а полюса второй группы (2)ks - внутри контура L .

Выбрав контур L , получим

20

ˆ ( )( ) Res

1s

skk

G sC T

j

2 2

2

20

( 1) 1 ( 1) ( 1)( )

1 !

k k k

k

kk

m j kp

j k

,(2.21)

где мы использовали, что 2

Res ( 2) ( 1) / !k

ks k

. Принимая во внимание,

что

2( 2 ) 0, ( (2 1)) / 2 , 1,2,3,...nn n B n n ,

где 2nB - числа Бернулли, получим из (2.21)

28

2

222

1

1( ) ( )

21 (2 2)!

nnn

nn

m BC T p

nj n

. (2.22)

Исследование на сходимость ряда (2.22), используя представление для

чисел Бернулли при больших значениях n в виде 1 22 2( 1) (2 )!/ (2 )n n

nB n ,

приводит к заключению, что этот ряд сходится при 0T T , где

0 0

1 1 1 11 ,

2 2 2

mp pT T

j j

. (2.23)

Поэтому выражение для теплоемкости (2.22) справедливо в регионе

температур 0T T , который определяет область неколебательного режима.

Отметим, что для случая множества ( ,2;0, 1)S j j , которое является лишь

частным случаем рассматриваемого нами множества при 2m , 1p j ,

1 10 (1 )T j .

Если в знаменателе выражения под суммой уравнения (2.22) заменить

2 1nj на 2nj , то возможно провести точное суммирование и получить

хорошее приближение для теплоемкости ( )C T

2 2

2 2

1( )

2 sinh / (2 ) sinh / (2 )

p mC T

Tj p Tj mp Tj

. (2.24)

Выбираем контур L , в который попадают полюса (1)ks , тогда формула

(2.20) нас приводит к результату

0

ˆ ˆ( ) ( )( ) Res Res

1 1s s

s si kk

G s G sC T

j j

1

ˆ ˆ( ) ( )Res Res

1 1s s

s si k i kk

G s G s

j j

. (2.25)

Принимая во внимание, что 0 0

1 lnlim ( 1) 1, lim

1 ln

s

ss s

m ms s

j j

, получим из

(2.25)

29

1

ln 1 ˆ ˆ( ) ( ) ( )ln ln

i k i k

k

mC T G i k G i k

j j

. (2.26)

Выделяя реальную и мнимую части ˆ ( )G i k , окончательно найдем

1

ln 2 ˆ ˆ( ) Re ( ) cos( ln ) Im ( ) sin( ln )ln ln k

mC T G i k k T G i k k T

j j

.

(2.27)

Полученное выражение для теплоемкости содержит основную информацию

о поведении теплоемкости для одномасштабного канторовского спектра:

осцилляции около фрактальной размерности ln / lnm j и логопериодичность

функции ( )C T . Также следует отметить, что выражение (2.27) является

аналитическим продолжением выражения (2.22) и, следовательно,

справедливо в области температур 0T T , которая и определяет

колебательный регион теплоемкости.

На рис. 2.4 границы, разделяющие области колебательного и

неколебательного режимов, изображены вертикальными линиями:

01 6 /11T T для множества S(11,6;0,2,4,6,8,10) и 02 10 /11T T для

множества S(11,2;0,10). Из рис. 2.4 можно видеть, что теплоемкость для

спектра S(11,6;0,2,4,6,8,10) при 0T T монотонно убывает с ростом

температуры, однако для спектра S(11,2;0,10) при 0T T теплоемкость не

является монотонной и имеет локальный максимум. Температуру локального

максимума нетрудно численно определить из приближенного выражения для

( )C T (2.24), она оказывается выше температуры 0T лишь для 2, 3, 4m .

30

Рисунок 2.3.Схематическое изображение положения полюсов функции (2.17) и

контуров L± в комплексной плоскости.

31

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 1010,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Cn(T

)

T

d1

d2

T01

T02

Рисунок 2.4.Конечные приближения теплоемкости для множеств

S(11,6;0,2,4,6,8,10) (жирные линии) и S(11,2;0,10) (тонкие линии). Для обоих

случаев пунктирная линия соответствует n=4, а сплошная линия – n=5.

Горизонтальные линии изображают соответствующие фрактальные размерности

множеств. Вертикальные линии определяют соответствующие значения

температуры T0.

32

Глава 3. Критическое поведение магнитных

квазипериодических структур

3.1. Формулировка модели

Изучение свойств металлических магнитных многослойных систем

является наиболее исследованным направлением в настоящее время (см., к

примеру, обзор [39]), в котором появляется много интересных задач, как с

теоретической, так и с экспериментальной точек зрения. Наиболее

интригующими свойствами таких систем являются наличие биквадратичного

обменного взаимодействия, гигантского магнитосопротивления и

неуниверсального критического поведения. Неуниверсальное критическое

поведение является наиболее общим сценарием в неоднородных системах

(см., например, обзоры [40-41]). В однородных системах критические

показатели не зависят от микроскопических деталей взаимодействия,

поэтому критическое поведение в однородных системах универсально.

В данной главе будет изучено критическое поведение многослойной

магнитной системы, в которой неоднородность будет обусловлена

непериодическим распределением обменных связей магнитных моментов.

Рассмотрим магнитную систему в рамках модели Изинга, которая

описывается гамильтонианом вида

,

,

ij i ji j

ij A B

H J s s

J J J

, (3.1)

где 1is и суммирование ведется по ближайшим соседям кубической

решетки, ijJ – константа обменного взаимодействия между спинами is и js ,

которая может принимать значения AJ и BJ в некоторых пространственных

33

направлениях в соответствии с выбранной апериодической

последовательностью.

Здесь мы ограничимся рассмотрением квазипериодической

последовательности Фибоначчи, которая описана в главе 1. Согласно

правилу построения последовательности Фибоначчи (см. параграф 1.2), мы,

стартуя с буквы А, получаем следующие поколения

A AB ABA ABAAB ABAABABA и т.д. Последнему поколению

соответствует следующая последовательность констант взаимодействия:

A B A A B A B AJ J J J J J J J .Пусть в одном направлении, например, вдоль оси z ,

константы обменного взаимодействия следуют этой последовательности, а в

плоскостях, перпендикулярных этой оси константы связи принимают одно и

то же

Рисунок 3.1. Схематическая иллюстрация рассматриваемой модели.

Штриховыми линиями показано взаимодействие типа A , сплошными – типа B .

значение, соответствующее значению следующей после плоскости связи

вдоль оси z (см. рис. 3.1). Таким образом, каждый спин взаимодействует с

34

двумя спинами, расположенными на соседних плоскостях и 2z спинами,

расположенными в этой плоскости ( z - число ближайших соседей, для

кубической решетки 6z ).

3.2. Расчет критической температуры и намагниченности в рамках

приближения среднего поля

Вначале изучим сформулированную выше модель в рамках

приближения среднего поля. Благодаря выбранной апериодической

модуляции взаимодействий, значения намагниченностей im изменяются

вдоль направления оси z и одинаковы в плоскости, перпендикулярной оси.

Система уравнений для локальных намагниченностей имеет вид:

1 1 1t4anh z z z z z z

zmJ m J m J m

T

,

1,2,... .z N (3.2)

Перейдем к расчету критической температуры. Вблизи критической

температуры система уравнений (3.2) принимает вид

1 1 14z z z z z zz

с

J m J m J mm

T

, (3.3)

которую удобно представить в матричной форме

ˆ ˆ 0m , (3.4)

где

0 0 01 1

0 01 2 2ˆ

0 02 3 3

0 0 0 1

K K

K K K

K K K

K KNN

(3.5)

35

и

1

2ˆ

3

m

m

m m

mN

. (3.6)

Здесь JiKi T

и 4 1K Ki i . Параметры взаимодействия Ki принимают

значение АK или ВK в соответствии со словом последовательности Фибоначчи.

В системе уравнений (3.3) мы выбираем свободные граничные условия:

1 0 0Nm m .

Выше критической температуры решение системы уравнений имеет

вид ˆ 0m , поэтому матрица ̂ имеет обратную и ˆdet 0 . Если понижать

температуру, то первое значение температуры, при которой ˆdet 0 будет

соответствовать критической температуре, поскольку при этом условии

возможно существование нетривиального решения системы уравнений (3.3).

Отметим, что полученное значение для критической температуры не

соответствует истинному значению температуры, поскольку

рассматриваемая система конечна. Назовем полученную температуру

псевдокритической. Используем данную процедуру для различных размеров

системы (разных значений N ) и затем экстраполируем полученные значения

псевдокритической температуры к пределу N . Отметим, что очень

много температур, ниже первой, удовлетворяют условию ˆdet 0 , и при

больших значениях N находятся очень близко к истинной

псевдокритической точке. Это очень затрудняет определение

псевдокритической температуры при численных расчетах.

Чтобы экстраполировать наши результаты к термодинамическому

пределу N воспользуемся процедурой Bulirsch-Stoer (BST) extrapolation

36

[42]. Для этого представим зависимость критической температуры от длины

системы в виде

2

1 2( ) ( )T N T a N a N , (3.7)

где можно положить 2 .

Искомый термодинамический предел можно получить, исходя из

следующей таблицы экстраполяций

(0)

0 (0)

1(1) (0)

0 2(1) (0)

1 3(2) (1)

0 2(2)

1(3)

0

0

0

0

0

0

TT

T TT T

T TT

T

, (3.8)

где ( )N

mT находится из уравнения

1( 1) ( )

( ) ( 1) 1 1 11 1 1 ( 1) ( 1)

1 2

( ) 1 1N N

N N N N N m mm m m m N N

N m m m

h T TT T T T

h T T

. (3.9)

При этом 1N nh F ,а второй столбец таблицы (3.8) представляет собой

решения уравнения ˆdet 0 при 5,8,13,21N соответственно. Результаты

полученной таким образом критической температуры Tc при различных

значениях /B AJr J представлены на рис. 3.2.

37

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,00,98

1,00

1,02

1,04

1,06

1,08

1,10

1,12

1,14

TC/T

0 C

r=JB/J

A

Рисунок 3.2. График зависимости 0/c cT T от r , где 006cT J ( 0 A A B BJ J J ,

1/A , 21/B , (1 5) 2 ) - критическая температура соответствующей

однородной системы со средней константой связи J0 для решетки Фибоначчи.

Зная значения для критической температуры, мы можем, решая

систему уравнений (3.2), получить значения для намагниченности в каждом

слое. Основная цель решить эту систему уравнений для различных значений

приведенной температуры ( )c ct T T T . Для достижения поставленной цели

мы применяем процедуру численного решения системы (3.2) методом

фиксированной точки. Вычислив значения намагниченности при заданной

температуре в каждом слое и заданным значением N, мы находим среднее

значение намагниченности

1

1 N

N zz

m mN

. (3.10)

Применяем данную процедуру для различных размеров системы, а затем

экстраполируем полученные данные к термодинамическому пределу, снова

38

используя процедуру BST. В результате мы получим температурную

зависимость средней намагниченности системы. При приближении

температуры к критической намагниченность стремиться к нулю, однако,

благодаря дискретной масштабной инвариантности рассматриваемой

системы, на спад накладываются логопериодические осцилляции. Поэтому

средняя намагниченность при приближении к критической температуре

ведет себя следующим образом

( ) ( ) log( )m t t P t , (3.11)

где P(x) – логопериодическая функция,которую удобно аппроксимировать

следующим выражением

log( ) 1 cos 2 log( )P t A B C t . (3.12)

Здесь A, B, C, - подгоночные параметры. Применя процедуру подгонки

полученной ранее зависимости намагниченности системы от приведенной

температуры, мы находим значения критического индекса от параметра

/B AJr J . Результаты представлены на рисунке 3.3. Как можно видеть из

рисунка 3.3, критический индекс непрерывно меняется с изменением

параметра r, что и указывает на неуниверсальный сценарий критического

поведения рассматриваемой системы.

39

Рисунок 3.3.Зависимость критического показателя от параметра r.

3.3. Обобщенное приближение среднего поля

В этом параграфе мы изложим метод обобщенного среднего поля,

следуя работам [43-44].

Помимо известного дефекта теории среднего поля, который не

принимает во внимание спиновые корреляции, еще один недостаток этой

модели заключается в том, что в этой модели предполагается

эквивалентность всех узлов решетки. Это проявляется в том, что среднее

поле считается одинаковым во всех узлах, хотя на самом деле оно меняется

от узла к узлу случайным образом. В связи с этим естественно попытаться

учесть эту случайность и посмотреть, насколько повыситься точность

40

решения, получаемого с помощью такого обобщенного приближения

среднего поля.

Суть этого метода заключается в замене стандартного уравнения

среднего поля

tanh ,zJm

mT

(3.13)

его обобщенным аналогом [43-44]

tanh ( )H

m F H dHT

, (3.14)

где ( )F H - функция распределения локальных магнитных полей H ,

создаваемых в месте расположения одного из магнитных моментов системы

всеми остальными магнитными моментами. Заметим, что уравнение (3.14)

переходит в (3.13) при ( ) ( )F H H H ( H - среднее поле, в котором

находятся все спины системы).

Определим функцию распределения ( )F H для системы спинов, каждый

из которых имеет z связей со своими соседями, каждый из которых создает

поле J на выделенном спине (знак зависит от взаимной ориентации

взаимодействующих спинов). Для определенности, пусть спин выделенного

узла решетки равен 1s , тогда вероятность, что k из z соседних спинов

имеют спины противоположного знака равна

k z k k

k zp C p p

, (3.15)

где (1 ) / 2p m , (1 ) / 2p m

- вероятности ориентации спина вверх и

вниз соответственно в системе с намагниченностью m . Для данной спиновой

конфигурации, магнитное поле на выделенном узле будет равно ( 2 )z k J .

Таким образом, функция распределения магнитных полей на выделенном

узле решетки будет равно

41

0

( ) ( ( 2 ) )z

k z k k

zk

F H C p p H z k J

, (3.16)

где ( ( 2 ) )H z k J - дельта функция.

Для того чтобы понять, насколько приведенное обобщение улучшает

результат традиционной теории среднего поля, вычислим соответствующее

значение критической температуры квадратной решетки и сравним его с

известным точным значением. Функция распределения ( )F H (3.16) в этом

случае ( 4)z принимает вид [42]

4 3

2 2 3 4

1( ) {(1 ) ( 4 ) 4(1 ) (1 ) ( 2 )

166(1 ) (1 ) ( ) 4(1 )(1 ) ( 2 ) (1 ) }

F H m H J m m H J

m m H m m H J m

. (3.17)

Подставляя найденное выражение для функции распределения в уравнение

(3.14), получаем [42]

2

2 42 th th 2

2 42th th

J JT Tm

J JT T

. (3.18)

Из этого уравнения можно найти критическую температуру, положив 0m и

сведя (3.18) к виду

2 42 th th 2

с с

J J

T T

. (3.19)

Решение этого уравнения есть 3,10cT J , что гораздо ближе к точному

решению ( 2,27cT J ),чем решение методом среднего поля ( 4cT J ).

42

3.4. Расчет критической температуры в рамках обобщенного

приближения среднего поля

В этом параграфе мы применим метод обобщенного приближения

среднего поля, рассмотренный в предыдущем параграфе, к модели,

сформулированной в пункте 3.1. и рассчитаем зависимость критической

температуры от силы квазипериодичности.

Принимая во внимание основные положения модели магнитной

квазипериодической системы, сформулированной в пункте 3.1 и метода

обобщенного среднего поля, сформулированного в пункте 3.3, были

рассчитаны возможные конфигурации взаимодействующих спинов, их

распределение по величине эффективного магнитного поля и вероятности

конфигураций в системе с намагниченностями 1 1, ,z z zm m m в слоях

соответственно 1z , zи 1z . Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1. Конфигурации магнитных моментов ближайших соседей в слоистой

магнитной системе и их вероятности

№ Конфигурация Эффективное

магнитное поле,

H

Вероятность конфигурации, kp

1 15 z zJJ

4

1 11 1 12 2 2

z z zm m m

2 15 z zJJ

4

1 11 1 12 2 2

z z zm m m

3 13 z zJJ

4

1 11 1 12 2 2

z z zm m m

4 13 z zJJ

4

1 11 1 12 2 2

z z zm m m

5 13 z zJJ

3

1 11

2

1 1 142 2 2

z z z zmm m m

43

6 13 z zJJ

3

1 11

2

1 1 142 2 2

z z z zmm m m

7 1z zJJ

3

1 11

2

1 1 142 2 2

z z z zmm m m

8 1z zJJ

3

1 11

2

1 1 142 2 2

z z z zmm m m

9 1z zJJ

2 2

1 11

2

1 1 162 2 2

z z z zmm m m

10 1z zJJ

2 2

1 11

2

1 1 162 2 2

z z z zmm m m

11 1z zJJ

2 2

1 11

2

1 1 162 2 2

z z z zmm m m

12 1z zJJ

2 2

1 11

2

1 1 162 2 2

z z z zmm m m

13 1z zJJ

3

1 11

2

1 1 142 2 2

z z z zmm m m

14 1z zJJ

3

1 11

2

1 1 142 2 2

z z z zmm m m

15 13 z zJJ

3

1 11

2

1 1 142 2 2

z z z zmm m m

16 13 z zJJ

3

1 11

2

1 1 142 2 2

z z z zmm m m

17 13 z zJJ

4

1 11 1 12 2 2

z z zm m m

18 13 z zJJ

4

1 11 1 12 2 2

z z zm m m

19 15 z zJJ

4

1 11 1 12 2 2

z z zm m m

20 15 z zJJ

4

1 11 1 12 2 2

z z zm m m

44

Используя эти результаты, найдем выражение для соответствующей функции

распределения, подстановка которой в уравнение (3.14) приводит к

следующей системе уравнений для локальных намагниченностей

211 1 1 1 1 1

3 4 11 1 1 1 1 1

2 3 4

1 1 1 1 1 1 1

1 5{th (2( ) 8 (1 ) 12 ( )

32

58 (1 ) 2 ( )) th (2( )

8 (1 ) 12 ( ) 8 (1 ) 8 (

z zz z z z z z z z z

z zz z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z

J Jm m m m m m m m m

T

J Jm m m m m m m m

T

m m m m m m m m m m m m

1

211 1 1 1 1 1

3 4 11 1 1 1 1 1

2 3 4

1 1 1 1 1 1

))

3th (10 6 8 (3 ) 12 ( )

38 (1 3 ) 2 (3 5 )) th ( 10 6

8 (3 ) 12 ( ) 8 (1 ) 2 ( 3

z zz z z z z z z z

z zz z z z z z z z

z z z z z z z z z z z

J Jm m m m m m m m

T

J Jm m m m m m m m

T

m m m m m m m m m m m

1 1

211 1 1 1 1 1

3 4 11 1 1 1 1 1

2 3

1 1 1 1 1 1

5 ))

th (20 4 16 (1 ) 24 ( )

16 (1 ) 4 ( 5 )) th ( 20 4

16 (1 ) 24 ( ) 16 (1 ) 4

z

z zz z z z z z z z

z zz z z z z z z z

z z z z z z z z z z

m

J Jm m m m m m m m

T

J Jm m m m m m m m

T

m m m m m m m m m m

4

1 1( 5 ))}z zm m

(3.20)

Вблизи критической точки система уравнений (3.20) принимает вид

1 1z z z z z z zm A m B m C m ,

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1(8 8 24 24 16 16 ),

321

(2 2 10 10 20 20 ),321

(2 2 6 6 4 4 ).32

z

z

z

A t t t t t t

B t t t t t t

С t t t t t t

(3.21)

где введены следующие обозначения

45

1 1 11 2 3

5 3th , th , thz z z z z zJ J J J J J

t t tT T T

.

Снова, удобно представить систему уравнений (3.21) в матричной форме

ˆ ˆ 0D m ,

1 1

2 2 2

3 3 3

1

1

1

1

0 0 0

0 0ˆ 0 0

0 0 0 N N

A C

B A C

B A C

B A

D

. (3.22)

В системе уравнений (3.22) мы выбираем снова свободные граничные

условия: 0 1 0Nm m .Аналогично, как мы это сделали в пункте 3.2,

псевдокритическую точку находим из условия ˆdet 0D , а истинную

критическую температуру восстанавливаем с помощью процедуры BST. На

рисунке 3.4 приведен график зависимости критической температуры

рассматриваемой модельной слоистой магнитной квазипериодической

системы в рамках метода обобщенного среднего поля от силы

квазипериодичности r. Для сравнения, на рисунке 3.4 также приведена

аналогичная зависимость критической температуры, полученная в рамках

стандартного приближения среднего поля. Из рисунка можно видеть, что

обобщенное приближение среднего поля дает значения для критической

температуры, которые ниже соответствующих значений, полученных в

стандартном приближении среднего поля. Понижение значений критической

температуры указывает на улучшение результатов по сравнению с методом

среднего поля, пренебрегающего корреляциями спинов.

46

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,00,98

1,00

1,02

1,04

1,06

1,08

1,10

1,12

1,14

TC/T

0 C

r=JB/J

A

GMF MF

Рисунок 3.4. Зависимости критической температуры рассматриваемой модели от

параметра r=JB/JA, полученные в рамках обобщенного приближения среднего поля

(синяя кривая) и стандартного приближения среднего поля (красная кривая).

47

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве заключения сформулируем основные выводы и результаты

выпускной квалификационной работы.

Изучены свойства теплоемкости для энергетического спектра,

полученного из обобщенного множества Кантора в рамках статистики

Максвелла-Больцмана. Показано, что в низкотемпературном регионе

теплоемкость проявляет логопериодические осцилляции около

фрактальной размерности спектра, при этом число колебаний

определяется поколением фрактала.

Проведено строгое аналитическое доказательство логопериодического

поведения теплоемкости квазипериодической системы с

энергетическим спектром, полученным из одномасштабного множества

Кантора в рамках статистики Масвелла-Больцмана.

Определено точное значение граничной температуры, разделяющей

области колебательного и неколебательного режимов, которая зависит

от структурных параметров спектра.

Найдено явное выражение для теплоемкости вне области

колебательного режима, которая проявляет монотонное или

немонотонное поведение в зависимости от структуры спектра.

Вычислена критическая температура многослойной магнитной

квазипериодической системы в рамках методов среднего поля и

обобщенного среднего поля и показана ее зависимость от силы

квазипериодичности.

Вычислен критический индекс многослойной магнитной

квазипериодической системы в рамках метода среднего поля и

показана его зависимость от констант связи, что доказывает

неуниверсальное критическое поведение рассматриваемой

неоднородной системы.

48

Библиографический список

1. Schechtman D. Metallic phase with long-range orientational order and no

translational symmetry / D. Schechtman, I. Blech, D. Gratias, J.W. Cahn // Phys.

Rev. Lett. – 1984 – V. 53, № 20, – P. 1951–1953.

2. Steinhard P.J.The Physics of Quasicrystals / P.J. Steinhard, S. Ostlund.–

Singapore:World Scientific,1987. – 767 p.

3.Senechal M. Quasicrystals and Geometry / M. Senechal. – Cambridge:

Cambridge University Press,1995. – 283 р.

4. Levine D. Quasicrystals: a new class of ordered structures / D. Levine, P.J.

Steinhardt // Phys. Rev. Lett. – 1984 – V.53, – P. 2477–2480

5. Bovier A. Spectral properties of one-dimensional discrete Schrödinger operators

with potentials generated by substitutions / A. Bovier, J.-M.Ghez // Commun.

Math. Phys. – 1993 – V.158 , – P.45–66.

6. Axel F. High-resolution X-ray-diffraction spectra of Thue-Morse GaAs-AlAs

heterostructures: towards a novel description of disorder / F. Axel, H. Terauchi //

Phys. Rev. Lett. – 1991 – V.66 – P.2223–2226

7. KolarM. One-dimensional generalized Fibonacci tilings /M. Kolar, M.K. Ali //

Phys. Rev. B – 1990 – V.41 – P.7108–7112

8. Bunde A. Fractals and Disordered Systems / A. Bunde, S. Havlin (Eds.). –

Berlin: Springer, 1991. – 428 p.

9. Reichl L.E. A Modern Course in Statistical Physics / L.E. Reichl– Austin:

Texas University Press,1980. – 806 p.

10. Stanley H.E. Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena / H.E.

Stanley – Oxford: Oxford University Press,1971. – 336 p.

11. Merlin R. Quasiperiodic GaAs-AlAs heterostructures / R. Merlin, K. Bajema,

R. Clarke, F.-Y. Juang, P.K. Bhattacharya // Phys. Rev. Lett. – 1985 – V.55 –

P.1768–1770.

12. Cheng Z. Structure and electronic properties of Thue-Morse lattices / Z.

Cheng, R. Savit, R. Merlin // Phys. Rev. B. – 1988 – V.37 – P.4375–4382.

49

13. Kohmoto M. Localization problem in one dimension: Mapping and escape /

M. Kohmoto, L.P. KadanoF, C. Tang // Phys. Rev. Lett. – 1983 – V.50 – P.1870–

1872.

14. Macia E. Electrons, Phonons and Excitons in Low Dimensional Aperiodic

Systems / E. Macia, F. Dominguez-Adame. – Madrid: Editorial

Complutense,2000. – 221 p.

15. Quilichini M. Phonon excitations in quasicrystals / M. Quilichini, T. Janssen /

Rev. Mod. Phys. – 1997 – V.69 – P.277–280.

16. Ostlund S. One-dimensional Schrödinger equation with an almost

periodic potential / S. Ostlund, R. Pandit, D. Rand, H.J. Schellnhuber, E.D. Siggia

// Phys. Rev. Lett. – 1983 – V.50 – P.1873–1875.

17. Kohmoto M. Critical wave functions and a Cantor-set spectrum of a one-

dimensional quasicrystal model / M. Kohmoto, B. Sutherland, C. Tang // Phys.

Rev. B – 1987 – V.35 – P.1020–1033.

18. Nakamura K. Quantum Chaos: A New Paradigm of Nonlinear Dynamics / K.

Nakamura. – Cambridge: Cambridge University Press,1993. – 220p.

19. Lee P.A. Disordered electronic systems / P.A. Lee, T.V. Ramakrishnan // Rev.

Mod. Phys. – 1985 – V.57 – P.287–292.

20. Sokoloff J.B. Unusual band structure, wave functions and electrical

conductance in crystals with incommensurate periodic potentials / J.B. Sokoloff //

Phys. Rep. – 1985 – V.126 – P.189–244.

21. OstlundS. Exact renormalization group analysis of the discrete

Schroedinger equation with a quasiperiodic potential / S. Ostlund, R. Pandit //

Phys. Rev. B – 1984 – V.29 – P.1394–1414.

22. Lu J.P. Properties of one-dimensional quasilattices / J.P. Lu, T. Odagaki, J.L.

Birman // Phys. Rev. B – 1986 – V.33 – P.4809–4817.

23. Nori. F. Acoustic and electronic properties of one-dimensional quasicrystals /

F. Nori, J.P. Rodriguez // Phys. Rev. B – 1984 – V.34 – P.2207–2215.

50

24. Albuquerce E.L. Acoustic and electronic properties of one-dimensional

quasicrystals / E.L. Albuquerque, M.G. Cottam // Solid State Commun. – 1992 –

V.81 – P.383–386.

25. AlbuquerceE.L. Electrodynamics of polaritons in Fibonacci-type piezoelectric

superlattices / E.L. Albuquerque, M.G. Cottam // Solid State Commun. – 1992 –

V.83 – P.545–549.

26. Dekking F.M. On repetitions of blocks in binary sequences / F.M. Dekking //

J. Combin. Theory (A) – 1976 – V.27 – P.292–296.

27. Dekking F.M. – Transcendance du nombre de Thue–Morse / F.M. Dekking //

C. R. Acad. Sci. de Paris – 1977 – V.285 – P.157–160.

28. Christol G. Suites algébriques, automates et substitutions / G. Christol, T.

Kamae, M. Mendes-France, G. Rauzy // Bull. Soc. Math. (France) – 1980 V.108 –

401–419.

29. Cobham. A. On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite

automata / A. Cobham // Math. Syst. Theory – 1969 – V.3 – P.186–192.

30. Herman G.T. Developmental systems and languages. / G.T. Herman, G.

Rozenberg. – Amsterdam:North-Holland,1975. – 327p.

31. Mandelbrot B.B.The Fractal Geometry of Nature / B.B. Mandelbrot. –, New

York:Freeman,1982. – 232p.

32. VasconcelosE.L. Plasmonpolaritons and optical spectra of a superlattice of

cantor type / M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque // Physica B – 1996 – V.222 –

P.113–122.

33.Strogatz S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos / S.H. Strogatz. – Reading:

Addison Wesley, Reading, 1994. – 498p.

34. Tsallis C. Specific heat anomalies associated with Cantor-set energy spectra /

C. Tsallis, L. R. da Silva, R. S. Mendes, R. O. Vallejos, A. M. Mariz // Phys. Rev.

E – 1997 – V.56. – P.4922 – 4931.

35.Vallejos R.O. Observation of a period-doubling sequence in a nonlinear optical

fiber ring cavity near zero dispersion / R. O. Vallejos, R. S. Mendes, L. R. da Silva,

C. Tsallis // Phys. Rev. E – 1998 – V.58. – P.1346 – 1354.

51

36. Carpena P. Thermodynamics of fractal spectra: Cantor sets and quasiperiodic

sequences / P. Carpena, A. V. Coronado, P. Bernaola-Galvan // Phys. Rev. E –

2000 – V.61. – P.2281– 2294.

37. Halsey T.C. Fractal measures and their singularities: The characterization of

strange sets / T. C. Halsey, M. H. Jensen, L. P. Kadanoff, I. Procaccia, B. I.

Shraiman // Phys. Rev. A – 1986 – V.33. – P.1141–1153.

38. Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований, Т. 1 преобразования

Фурье, Лапласа, Меллина / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Москва: Наука, 1989. –

268 с.

39. Barber E.M. Aperiodic structures in condensed matter : fundamentals and

applications/ E.M. Barder. –Boca Raton: CRC Press Taylor & Francis Group,

2009. – 443 p.

40. Bland J.A.C. Ultrathin Magnetic Structures I /J.A.C. Bland, B. Heinrich.

(Eds.) - Berlin: Springer-Verlag, 1994. – 350 p.

41. Bland J.A.C. Ultrathin Magnetic Structures II /J.A.C. Bland, B. Heinrich.

(Eds.) - Berlin: Springer-Verlag, 1994. – 350 p.

42. Мейлихов Е.З. Обменное взаимодействие петли гистерезиса изинговской

двумерной структуры ферромагнетик/антиферромагнетик / Е.З. Мейлихов,

Р.М. Фазретдинова // ЖЭТФ – 2005 – Т.127 ,вып.6. – С. 1262-1271

43. Meilikhov E.Z. Generalized mean-field theory for Ising spins in small world

networks /E.Z.Meilikhov, R.M.Farzetdinova // Phys. Rev. E – 2005 – V.71 –

046111- 8p.