國立屏東大學應用數學系碩士班...

國立屏東大學應用數學系碩士班

碩士論文

Department of Applied Mathematics

National Pingtung University

Master’s Thesis

屏東八年級數學段考試題之研究

A study of math exam questions of

eighth grade in Pingtung county

指導教授：詹勳國博士

Advisor: Dr. Hsun-Grow Chan

研究生：林碧雪撰

Student: Pi-Shiue Lin

中華民國一百零四年六月

June, 2015

i

摘要

本研究旨在從質與量角度分析屏東縣八年級數學科段考試題，段考試題由研

究者自編，考試範圍包括三角形的邊角關係、平行線、平行四邊形與梯形，共

12個班 373名學生作答。得到以下結論：

一、此段考屬於難易度適中的試題。

二、此段考屬於鑑別度優良的試題。

三、此段考試卷擁有很好的信度與時間信度。

四、試題選項大部分都符合命題原則，每一題選項都具有誘答力。

五、此段考試題具有很好的內容效度。

六、試題皆符合國際評量標準中的公平原則、課程原則和評量原則。

關鍵字：試題分析

ii

A study of math exam questions of

eighth grade in Pingtung county

Abstract

The purpose of this study is to analysis a monthly mathematics exam

questions of eighth grade in Pingtung County from the point of view of

quality and quantity.

The researcher wrote the exam by herself. Exam covers the triangles

relationship, parallel lines, parallelogram and trapezoid, 373 students

from 12 classes took the exam. There are the following conclusions:

First, moderate difficulty level of questions.

Second, very good degree of differentiation.

Third, very good reliability and time reliability.

Fourth, most of the questions are in line with the principles.

Fifth, very good content validity.

Sixth, questions in compliance with international standards which

includes fair principles, curriculum principles and assessment

principles.

Keyword: exam question analysis

iii

目錄

第壹章緒論.................................................................................................................. 1

第一節研究動機.................................................................................................. 1

第二節研究目的.................................................................................................. 3

第三節名詞界定.................................................................................................. 4

第四節研究範圍與限制...................................................................................... 5

第貳章文獻探討.......................................................................................................... 6

第一節測驗理論的探討與紙筆測驗.................................................................. 6

第二節試題分析工具的探討............................................................................ 11

第三節數學課程綱要能力指標與教材............................................................ 19

第四節相關論文的探討.................................................................................... 26

第參章研究設計與實施............................................................................................ 33

第一節研究對象與試題來源............................................................................ 33

第二節研究工具................................................................................................ 35

第三節資料蒐集與統計分析............................................................................ 37

第四節研究架構................................................................................................ 39

第肆章結果分析與討論............................................................................................ 40

第一節試題個別分析........................................................................................ 40

第二節段考試題分析........................................................................................ 58

第三節延後測驗分析........................................................................................ 66

第伍章結論與建議.................................................................................................... 70

第一節結論........................................................................................................ 70

第二節建議........................................................................................................ 71

參考文獻...................................................................................................................... 73

附錄.............................................................................................................................. 76

iv

表次

表 2-2-1 難度指標 ...................................................................................................... 12

表 2-2-2 理想難度值 .................................................................................................. 12

表 2-2-3 鑑別度指標 .................................................................................................. 13

表 2-2-4 信度指標 ...................................................................................................... 16

表 2-4-1 論文理論的分析與討論 .............................................................................. 26

表 3-1-1 教材比例分配 .............................................................................................. 35

表 4-1-1 試題難度分析表 .......................................................................................... 54

表 4-1-2 試題鑑別度分析表 ...................................................................................... 55

表 4-1-3 選擇題選項分布情形 .................................................................................. 55

表 4-2-1 段考成績相對次數表 .................................................................................. 59

表 4-2-2 試卷的信度分析 .......................................................................................... 60

表 4-2-3 各試題對試卷之 CRONBACH'S ALPHA 值 ......................................................... 61

表 4-2-4 雙向細目表分析 .......................................................................................... 64

表 4-3-1 延後測分數與段考分數的相差 .................................................................. 67

表 4-3-2 成對樣本統計量 .......................................................................................... 68

表 4-3-3 成對樣本 T 檢定 .......................................................................................... 68

v

圖目錄

圖 3-4-1 研究架構流程 .............................................................................................. 39

圖 4-2-2 成績分佈 ...................................................................................................... 60

1

第壹章緒論

本章分成四節，第一節說明本研究的『研究背景與動機』，第二節『研究目

的與待答問題』，第三節『名詞界定』，第四節『研究範圍與限制』。

第一節研究動機

教育部於民國 103 年正式實施「十二年國民基本教育」，為台灣的青少年打

造一個適性發展、多元學習、又具競爭力的學習環境。實施的過程中，「國中教

育會考」成為重要的配套措施之一，可作為國中畢業生學歷檢定機制，命題依據

是「國民中小學九年一貫課程綱要能力指標」，數學科納入非選擇題型的試題，

藉此評量學生的數學溝通能力並期待能全面瞭解學生的數學能力，有助於學校教

師教學（教育部，2014）。

學生成就評量是九年一貫課程的重要課題，十二年國教理念更強調評量的重

要性，例如：不可只用單一的測驗來決定學生的學習成就，需從評量中發現學生

的優點；評量結果不可與他人作比較，而是讓學生透過評量過程中學會與同儕合

作學習。評量方式可依據學生身心發展和個別差異，搭配學科內容及教學活動，

採用不同的評量方式（陳清溪，2001）。此作法可讓學生及家長不再為學科成績

汲汲營營，讓學生勇於學習獨立思考、解決問題。教師則改變教學方式並引導學

生做高層次的思考與學習，摒除填鴨式教學與反覆練習（教育部，2014）。

國民中學學生成績考查辦法分為操行及學科兩部分，操行部分：不可超過三

大過；學科部分：七大領域需有四大領域的學習成就達丙等。因此，數學學習成

就變得更重要，教師必須去思考如何提升學生的學習成效，如何編制一份有效的

評量工具，並透過評量瞭解學生的學習情況（教育部，2012）。

近年來，教育強調多元評量的理念，運用科學方法和技術，收集學生的學習

2

行為、成就和痕跡，再根據教育目標，就學生整體表現，予以全面分析、研究和

評斷的一系列任務。主要目的在於分析學生學習困難及診斷教學狀況，作為教學

改進與實施學生補救教學的依據。另外，教師編制評量工具有一個重要的目標，

就是增進學生的學習成效。一份優良的評量可測驗出學生對學習內容的理解程度，

教師可藉此調整教材、教學方法，補救教學之參考。評量內容要以教學目標及課

程能力指標為規範，並有充足的時間讓教師與學生確認學習是否有進步。教師重

新審視多元化教學評量理念，在課程及教學的發展上，有其必要性。

而紙筆測驗試題向來是數學評量最有效率、信用與效果的方式，因此本研究

將探討如何編制一份優良試題呢，依照文獻研究，首先要必須遵守下列五個步驟：

（1）準備測驗編制計畫（2）編擬測驗試題（3）試題與測驗的審查（4）施測前

試題與測驗的分析（5）測驗的編輯（余民寧，2002）。再藉由一些測驗理論和統

計系統分析出數據對試題作質與量的分析，並評斷試題的效度、信度、難易度及

鑑別度來檢視教師所使用的試題是否適合學生、學生在學習上是否有困難，如果

教師能夠瞭解試題分析所呈現的意義，用於改進教學並提高學生的學習動機、產

生學習興趣及成效（江仲翔，2003）。

研究者本身為在職數學教師，於屏東縣一間大型的中學任教，每學期必須評

量學生的數學學習成就，每學年負責編制一份段考評量。數學學習成就評量分成

兩部分，學生的學習情況及段考評量的表現，兩者各佔一半的比例。因新教育政

策的推動，教師的教學評量跟著改變，評量的方式多元，例如：設計學習單讓學

生分組討論並完成內容，再派代表上台分享討論結果；提供 AMC8或 pisa 等國際

試題讓學生嘗試解題；購買坊間已設計好的試題作單元性評量…等。就編制段考

評量方面而言，教師通常依據自己的教學經驗，搭配出版社贈送的命題光碟來編

擬試題。試題施測之後，只針對學生不會的試題進行檢討，卻未對這些試題作分

析，並診斷是否適合學生。因此，無法真正瞭解教師的教學成效與學生的學習情

況。

因此，研究者計畫分析『八年級數學科段考試題』，對試題作質與量的分析，

3

以協助教師改進日後的教學方法與策略，並達成有效的教學目的。經由分析的結

果可瞭解試題是否合適，有無達到預設的教學目標，從更寬廣的角度，檢查國際

評量標準中的『公平原則』、『課程原則』以及『評量原則』。

第二節研究目的

根據前述之研究背景與動機，研究者根據課程能力指標與國中教育會考命題

原則來自編一份八年級數學科段考試題，旨在了解學生學習成效，試題特性及是

否符合國際評量標準，作為日後教師在教學與命題上的參考依據，因此本研究目

的如下：

一、對『八年級數學科段考試題』作質的分析，包括試題內容分析、內容效度分

析、雙向細目表分析。

二、對『八年級數學科段考試題』作量的分析，包括難易度、鑑別度、誘答力及

信度。

三、對『八年級數學科段考試題』作延後測的分析。

四、評鑑『八年級數學科段考試題』是否符合國際評量標準中的『公平原則』、『課

程原則』和『評量原則』。

五、根據研究結果提出具體建議，作為教師提升教學效能的參考依據。

待答問題

一、『八年級數學科段考試題』在質的試題分析中，結果為何？

二、『八年級數學科段考試題』在量的試題分析中，結果為何？

三、『八年級數學科段考試題』在延後測的分析中，結果為何？

四、『八年級數學科段考試題』是否符合目前國際評量標準中的『公平原則』、『課

程原則』和『評量原則』？

4

第三節名詞界定

一、國中教育會考

依據教育部公告修正「國民小學及國民中學學生成績評量準則」，中央及地

方主管機關為瞭解及確保國中畢業生學力品質，將辦理「國中教育會考」（以下

簡稱教育會考），作為我國國中畢業生學力檢定之機制。（根據教育部於民國 101

年 3月 29日公告）

二、公平原則

美國全國數學教師協會提出的數學教育六大指導原則之一，意旨在數學教學

課程上致力於每位學生都能學習數學，不可因數學程度高低而受到不同的待遇。

三、課程原則

美國全國數學教師協會提出的數學教育六大指導原則之一，意旨數學教導須

強調數學的意義性與重要性，藉由理解性與連貫性的課程達成。教師可決定課程

內容與教材、自訂教學策略、讓學生適度地練習並擁有良好的數學基礎。數學課

程準則包含課程上的各種因素，教師需強調數學的連貫性與理解性，並要面對許

多難題的挑戰。學生需要學習的數學內容及達到學習目標是課程之一。

四、評量原則

美國全國數學教師協會提出的數學教育六大指導原則之一，意旨在數學教學

過程中，教師可藉由評量來監督及評估學生的學習狀況，修正自己的教學策略或

對學生進行補救教學以提升學生對數學的學習。

五、雙向細目表

分成『教學目標（認知能力）』與『學習內容』兩個軸向。橫軸是教學目標，

以布魯姆所提出的認知領域六個教學目標為依據，分為：知識（記憶）、理解、

應用、分析、綜合、評鑑；縱軸是教學內容。雙向細目表是測驗的架構藍圖，描

述一份測驗應包含的內容及所要測量的能力，也是命題依據。可幫助教師釐清教

5

學目標、學習內容兩者之間的關係，也能反映教材內容，並達到評量所預期的學

習結果（鄭桂華，2006）。

第四節研究範圍與限制

本研究探討『八年級數學科段考試題』，茲將本研究的研究範圍與限制說明

如下：

一、研究地區的範圍與限制

本研究主要是以研究者任教的完全中學為研究範圍，該校位於屏東縣，因此，

研究結果無法推論到其他學校或地區。

二、研究對象的範圍與限制

本研究的對象是研究者任教的完全中學之八年級生，於 102學年度第二學期

第三次數學科定期評量，採用 12個班，共 373 名學生作為研究樣本，因此研究

資料的客觀性與結果代表性均有其限制，無法推論到其他年級或學校之學生。

三、研究方法的範圍與限制

本研究試題在教師命題時，可能受到命題範圍、能力指標、個人認知等因素

影響；學生在試題上的表現，可能會受到教師的教法，強調的重點及學生本身的

學習態度等因素影響；試題分析採用的軟體為 SPSS、Excel等二套統計軟體做分

析，並未使用其他軟體。

6

第貳章文獻探討

本章依本研究目的，針對相關研究進行瞭解，分成以下三節：第一節『測驗

理論的探討與紙筆測驗』，第二節『試題分析工具的探討』，第三節『九年一貫數

學課程綱要能力指標與教材』，第四節『相關論文的探討』。

第一節測驗理論的探討與紙筆測驗

本節主要討論測驗理論與紙筆測驗，因為本研究的統計理論與架構都依循余

民寧（2009）「試題反應理論及其應用」書中的觀點，所以將用到的概念整理如

下：

測驗理論是一種解釋測驗資料間實證關係的有系統的理論學說。測驗理論學

者通常把它劃分成二大學派：一為「古典測驗理論」，主要是以真實分數模式為

骨幹；另一為當代測驗理論，主要是以「試題反應理論」為架構。

一、古典測驗理論

古典測驗理論（Gulliksen，1987）是最早的測驗理論，至今，它仍然是

最實用的測驗理論，許多通用的測驗仍然是根據傳統方法來編製，並且建立

起測驗資料間的實證數據。古典測驗理論也叫「古典信度理論」（classical

reliability theory），因為它的主要目的是在估計某個測驗實得分數

(observed score)的信度；亦即，它企圖估計實得分數與真實分數（true score）

間的關聯程度。因此，有時候它又稱作「真分數理論」（true score theory），

因為它的理論來源都建立在以真實分數模式（true score model）為名的數

學模式基礎上。

真實分數模式是指一種直線關係的數學模式 X＝T+E為其理論架構，依據

弱勢假設，個人在測驗上的實得分數（observed score）是由兩部份所組成，

即真實分數（true score）和誤差分數（error score），其中 X 代表實得分

7

數，T代表真實分數，E代表誤差分數。真實分數為觀察不到，但代表研究者

真正想要去測量的潛在特質。誤差分數為觀察不到，且不代表潛在特質，卻

是研究者想要極力去避免或設法降低的部分。

古典測驗理論的優點是其理論模式的發展已久且頗具規模，所採用的計

算公式簡單明瞭、淺顯易懂，適用於大多數的教育與心理測驗資料，及社會

科學研究資料的分析，是目前測驗學界使用與流通的主要理論依據之一。但

有以下五項缺失。

（一）所採用的係數指標為難易度、鑑別度和信度，都是一份樣本依賴的指

標，指標的獲得會因為接受測驗的受試者樣本的不同而不同。因此，

針對不同潛在特質的樣本，同一份測驗很難獲得一致的難易度、鑑別

度和信度。

（二）以一個共同的測量標準誤（standard error of measurement），作為

每位受試者的潛在特質估計值的測量誤差指標，此作法完全沒有考慮

受試者的個別差異，對於具有高潛質或低潛質的受試者而言，此指標

極為不精確也不合理。

（三）對於非複本（nonparallel）但功能相同的測驗所獲得之數據，無法提

供有意義的比較；有意義的比較僅侷限在相同測驗的前後測量之數據

或複本測驗分數。

（四）對信度的假設是建立在複本（parallel forms）測量概念上，此假設

與實際的測驗情境互相矛盾。原因為：（1）在實際測驗情況下，施測

者不可能要求每位受試者在接受同一份測驗多次後，仍保持每次反應

的結果都互相獨立、不影響。（2）每一種測驗不一定會在編製測驗的

同時製作複本。

（五）忽視受試者作答的試題反應組型（item response pattern）所代表的

意義。因為總分相同的受試者或總和相同的試題，其反應組型未必完

全一致，所顯示的意義也不會相同。因此，所求出的潛在特質和試題

8

參數估計值也會不同。

學者們為了彌補古典測驗理論的缺失，轉而尋求理論與方法較為嚴謹的當代

測驗理論，才會有日後的「試題反應理論」。

二、試題反應理論

為了克服古典測驗理論的缺失，才有當代測驗理論的誕生，其理論內涵主要

以試題反應理論為理論架構，依據強勢假設(strong assumption)而來。此理論

建立在兩個基本概念上：（一）受試者在某一題上的表現情形，可由一個潛在特

質（latent traits）或能力（abilities）來加以預測或解釋（二）受試者的表

現情形與該組潛在特質之間關係，可透過一條連續性遞增的數學函數來表示，此

數學函數稱作為「試題特徵曲線」（item characteristic curve，ICC）。

三、古典測驗理論與試題反應理論之比較

（一）古典測驗理論比試題反應理論更廣泛被應用的原因如下：

1. 試題反應理論建立在嚴謹的數理統計學的機率模式上，這對教育與心理

學的學者在數學應用上是一大挑戰。

2. 試題反應理論學者偏愛理論模式的探討，較少實際應用方面的推廣。

3. 在過去，沒有電腦軟體程式配合的時代，試題反應理論中參數的估計，

難以用小型計算機或手算推得。

4. 試題反應理論學者朝量化技術方面探討，使得理論趨於數學化、數量化

與電腦化，因此加深學習者的學習難度。

5. 試題反應理論適用的教育與心理測驗資料有限，需要大量樣本配合，因

此應用性低。

（二）試題反應理論比古典測驗理論具有下列特點：

1. 試題反應理論採用的參數不受樣本影響。

2. 試題反應理論能夠針對每位受試者提供個別差異的測量參數，並精準推

估其能力值。

3. 試題反應理論可經由同質性試題分別測驗，所推估出受試者的能力質相

9

同，不受測驗影響。

4. 試題反應理論以試題訊息量與測驗訊息量的概念來評定測驗的準確性，

取代古典測驗理論的信度。

5. 試題反應理論同時考慮到受試者的反應與試題參數，因此對於相同分數

的不同受試者推估不同的能力質。

6. 試題反應理論採用的適配度考驗值，可提供模式與資料間的適配度。

因為本研究探討國中數學段考試題的分析，主要有選擇題與填充題兩種題型，

因此，紙筆測驗的歷程與原則都依循李坤崇（2008）「教學評量」書中的觀點，

所以將用到的概念整理如下：

一、編製歷程

（一）決定測驗目的

教師必須選擇符合教學目標的測驗，教學前的安置性測驗，教學中的診

斷性測驗，教學後的形成性測驗，可使教師了解學生的學習狀況並改進教學，

最後評定學生學習成就的總結性測驗。

（二）設計雙向細目表

教師決定教材內容、測驗目的與評析學目標後，以教學目標為橫軸、教

材內容為縱軸來設計雙向細目表。

（三）編擬測驗試題

教師編製測驗試題時，應兼顧雙向細目表、命題原則語試題難度。依據

雙向細目表中的題數與配分命題，試題難度不可偏離教學目標與測驗目的，

試題編寫不能違反命題原則。

（四）審查與修改測驗試題

教師在編擬好試題後，應請相同領域的同事再檢查一遍。

（五）編輯測驗試題

測驗試題編排的適切性與指導語的明確性，將影響學生作答的效率與評

量結果，教師應審慎編輯測驗試題，提高測驗的信度與效度。

10

二、編製原則

選擇題編製原則多項，要注意的內容有每個試題題幹不應中斷，試題應測量

重要的學習結果，試題題幹意義應完整、清晰界定問題，試題題幹應僅提出一個

明確概念，以簡短、清晰用詞陳述試題題幹，盡可能以正面、肯定字詞來敘述試

題題幹，題幹避免使用否定句，若需採用宜強調否定字詞，所有選項語法應力求

一致，盡可能將各選項共同字詞放在題幹中，標準答案必須是正確或最佳的答案，

避免提供選擇正確答案或刪除不正確答案之線索，提高誘答似真性與吸引力，選

項長度接近以減少解題線索，謹慎使用『以上皆是』或『以上皆非』，正確答案

宜隨機排列，出現次數盡量相同，以改變試題題幹或選項來調整難度，測驗中每

個試題需彼此獨立，謹慎使用多重選擇式題，若其他試題類型更適合時，別用選

擇題，有更好理由可打破上述規則，編擬後檢核試題提高品質。

而選擇題的優點有題意較是非題、簡答題（填充題）清晰明確，適用於不同

層次學習結果之評量，具有診斷效果，修改選項可提高鑑別度或調整難度，計分

迅速、客觀。

此外，選擇題的缺點有評量能力限於文字層次，較不適合評量數學、自然與

生活科技領域的解決問題技能；高品質之命題不易，尋找具有誘答力的選項不易；

評量答辯識案，而非產生答案；無法評量組織、發表的能力。

接下來探討填充題的編製原則，要留意填充式答案以一個為原則，空格不可

太多；試題答案應簡潔、具體、明確；問題不應直接抄自教科書或參考書；編寫

試題『直接問句』較『不完全敘述句』優先；答案必須問題之重要概念，而非零

碎知識；答案空格應一致，且盡量將空格留在句子末端；避免提供作答之線索；

答案若是數字應指出要求之精確程度和單位名稱；編擬後檢核試題提高品質。

而填充題優點是有評量答案產生，不受猜測影響，但缺點有難以評量高層次

的認知能力。

以上分析與討論紙筆測驗編製的程序和選擇題與填充題編制的概念。因為它

們都提供經濟、快速、統一與有效率的科學方法，所以包含所有重大考試都會使

11

用。

第二節試題分析工具的探討

本節將就研究中量的分析之意涵及公式逐一探討，包含試題的難易度、鑑別

度、信度、效度與選項誘答力。此觀念及公式探討都依循凃金堂（2009）「教育

測驗與評量」書中的觀點。

一、難易度

試題困難或簡單的一種指數，分成下列兩種計算方式。

（一）挑選反應試題二分計分方式的難度

1. 採用全體受試者：N

RP

R：答對該試題的人數；N：所有受試者的總人數

P值的範圍： 10 P

2. 採用高分組與低分組：LH

LH

NN

RRP

當 LH NN ，則2

LH PPP

HR ：高分組答對該試題的人數； LR ：低分組答對該試題的人數

HN ：高分組的總人數； LN ：低分組的總人數

HP ：高分組受試者答對的百分比； LP ：低分組受試者答對的百分比

（二）建構反應試題多分計分方式的難度

1. 採用全體受試者：

NXXNXR

P T

minmax

min

通常最低得分是 0分，則NX

RP T

max

TR ：受試者的總分；N：所有受試者的總人數

maxX ：該試題可獲得的最高分； minX ：該試題可獲得的最低分

12

2. 採用高分組與低分組： LH

LHLH

NNXX

NNXRRP

minmax

min

通常最低得分是 0分，則

LHLH

NNX

RRP

max

HR ：高分組受試者的總得分； LR ：低分組受試者的總得分



（三）合適的難度值大小

1. 難度指標的判斷依據

表 2-2-1 難度指標

難度難度等級

0.8 ≦ P 極簡單

0.6 ≦ P

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選取高分組中的前 27%與低分組中的後 27%

鑑別度指標為 LH PPD ，D值的範圍： 11 D

（二）建構反應試題多分計分方式的鑑別度

選取高分組中的前 27%與低分組中的後 27%

鑑別度指標為 LH

HLLH

NNXX

NRNRD

minmax

通常最低得分是 0分，則LH

HLLH

NNX

NRNRD

max

HR ：高分組受試者的總得分； LR ：低分組受試者的總得分



（三）合適的鑑別度值大小

表 2-2-3 鑑別度指標

鑑別度指標的數值試題鑑別度的評鑑

0.40以上極佳的鑑別度

0.30～0.39 好的鑑別度

0.10～0.29 普通的鑑別度

0.01～0.10 不好的鑑別度

負值答案可能有誤或不明確

三、信度

指測驗結果的一致性或穩定性，亦指前後兩次測驗分數是否一致。信度

越高代表評量結果越一致，反之，則代表評量結果越不一致。

根據 Linn和 Miller（2005）提出的觀點，信度具有下述特性：

（一）信度是指測驗結果，而非測驗工具本身

（二）信度的估算是針對特定的類型

（三）信度是效度必要的條件，但不是充分的條件

（四）信度的估算是透過統計分析的數據

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較常被採用的信度估計方式如下：

（一）再測信度

意旨相同的受試者在前後不同的兩個時間點接受同一份測驗。進行

再測信度估計時，要注意兩次施測的時間間隔長短。若間隔太短，受試

者容易回憶第一次作答的情形來填寫第二次的測驗，而導致高估再測信

度值；若間隔太長，受試者因學習或成熟的因素間接影響兩次評量結果，

而導致低估再測信度值。

（二）複本信度

意旨相同受試者在相近的時間點接受兩分不同的複本測驗（例如 A

卷和 B卷），再求取所有受試者在兩分不同複本測驗得分的積差相關。

（三）內部一致性係數

只施測一次，會比再測信度與複本信度更為簡便。內部一致性係數

主要考量整份測驗的試題，是否測量同一個架構。內部一致性係數較高

時，代表整份試題具有同質性。分為下列三種：

1. 折半信度

一份試卷施測後，將整份試題分成兩部分，分別計算受試者在兩個

部分的得分，並求兩個部分得分的積差相關。

2. KR20

Kuder與 Richardson（1937）共同發表的文章中提出的計算方法。

2

111

20x

n

i

ii

S

qp

n

nKR

n :整份測驗的題數

ip :第 i 題的答對率

iq :第 i 題的答錯率

15

n

i

iiqp1

:所有試題答對率與答錯率成績的總和

2

xS :所有受試者測驗總得分的變異數

3. 係數

Cronbach（1951）提出另一種估算內部一致性信度係數的方法，適用於

多分計分的信度估算問題。

2

1

2

11 x

n

i

i

S

S

n

n

n :整份測驗的題數

n

i

iS1

2 :所有試題變異數的總和

2

xS :所有受試者測驗總得分的變異數

（四）評分者信度

針對主觀測驗的評分方式，估算不同評分者所評分結果的一致性。

會因評分者的人數，採用原始分數或等級分數有下列三種估算方式：

1. 積差相關

直接採用不同評分者的原始分數來估算評分者信度。

2. 等級相關

當評分者只有兩位時，採用 Spearman 的等級相關，公式如下：

1

6

12

1

2

nn

d

r

n

is

sr :等級相關係數

n :受評者的人數

d :兩位評分者的評分等第之差距

n

i

d1

2 :評分等第之差距的平方和

16

3. 和諧係數

當評分者超過兩位時，採用 Kendall的和諧係數，公式如下：

nnk

n

R

R

w

n

i

in

i

i

32

2

1

1

2

12

1

w :和諧係數

n :受評者的人數

k :評分者的人數

iR :受評者的評分等第之總和

n

i

iR1

2 :受評者的評分等第總和的平方和

（五）合適的信度值大小

表 2-2-4 信度指標

信度係數可信程度

99.090.0 十分可信

90.080.0 不錯

80.070.0 尚可接受

70.060.0 勉強可接受

60.0 不能接受

Camines & Zeller 於 1979年提出『具有使用教育價值的優良測驗應具

有 0.80以上的信度係數值』。因此教師在自編測驗時需要注意整份試卷的信

度，評量結果才會與學生實力相符合。

四、效度

指測驗能達到其測量目的的程度，效度類型分成內容效度、效標關聯效

度、建構效度三種。

（一）效度特性

17

1. 效度是由獲得的證據中推論而來，並非測量而來。

2. 效度包含多種不同型態的證據。

3. 效度是程度多寡的概念，並非全有或全無的概念。

4. 效度具有特定性。

5. 效度是指測驗結果的推論，而非測量工具。

6. 效度是單一性的概念。

7. 效度應關注使用評量的結果。

（二）內容效度

1. 意涵

測驗能達到其測量目的的程度。內容效度高，則代表能測量到更多

預定測量的行為與特質。

2. 檢驗方式

分成兩種：第一種，使用雙向細目表來檢驗測驗的內容效度。第二

種，聘請一群專家學者就其轉業知識，對測驗進行主觀的判斷。

（三）效標關聯效度

1. 意涵

效標是指測驗預測的心理或行為特質。效標關聯效度是指測驗分數

與效標兩者的積差相關，則積差相關稱為效度係數。再根據測驗分數與

效標獲得的時間先後順序，分成同時效度與預測效度兩種。

2. 檢驗方式

採用積差相關的統計方法。

（四）建構效度

1. 意涵

無法透過測量方式而獲得的心理特質，必須藉由行為的觀察並論此

特質的存在，這些心理特質就是建構。建構效度是指測驗能夠測量到理

論建構或特質的程度。高建構效度的測驗，較能準確反應受試者真正的

18

能力或特質。

2. 檢驗方式

必須採用多種不同的方法，再綜合判斷是否具有建構效度。下列是

常見的檢驗方法：

（1）分析測驗的試題是否具有同質性，以確定測驗是否測量單一的

建構。

（2）探究隨著時間或年齡的改變而發生的變化，是否符合理論預

測。

（3）探究不同組別受試者的得分差異情形，是否符合理論預測。

（4）分析時驗操作對測驗的影響，是否符合理論預測。

（5）分析聚歛相關與區辨相關。

（6）採用因素分析法。

五、選項誘答力

選擇題獨有的特色，可進一步作選項誘答力分析，因選擇題有一個正確答案，

其餘是誘答（錯誤選項）。誘答選項具有吸引知識不完整或概念不清楚的學生作

答，若誘答能發揮功能可提升試題的鑑別度，因此教師在編制選擇題時應強化誘

答選項的編擬技巧。

分析選擇題選項是否具誘答功能，須統計高、低分組學生在每題試題選項選

答的次數分配與比率，再根據『四項選項判斷原則』判別是否具誘答功能。

四項選項判斷原則：

（一）至少有一個低分組學生選擇任何一個誘答。

（二）選擇誘答的比率，低分組應高於高分組。

（三）選擇正確答案的比率，高分組應高於低分組。

（四）空白未答的人數比率宜降到最低。

19

第三節數學課程綱要能力指標與教材

本研究根據課程能力指標與國中教育會考命題原則來自編一份八年級數學

科段考試題，旨在了解學生學習成效、試題特性，及根據國民中學九年一貫課程

能力指標綱要（教育部，2003），段考內容包括 3-4：三角形的邊角關係；4-1：

平行線；4-2：平行四邊形；4-3：特殊的平行四邊形與梯形。相對應的階段能力

指標、分年能力指標與細目詮釋，分述如下：

一、課程內容、階段能力指標與分年能力指標的關聯如下：

（一） 3-4：三角形的邊角關係

1. 分年能力指標

8-s-10：能理解三角形的基本性質。

2. 階段能力指標

S-4-08：能理解線對稱圖形的幾何性質，並應用於解題和推理。

S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。

S-4-11：能理解一般三角形的幾何性質。

S-4-12：能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)

的幾何性質。

（二） 4-1：平行線


8-s-02：能理解角的基本性質。

8-s-05：能理解平行的意義，平行線截線性質，以及平行線判別

性質。


S-4-01：能理解常用幾何形體之定義與性質。

S-4-04：能利用形體的性質解決幾何問題。

20

S-4-07：能理解平面上兩平行直線的各種幾何性質。

（三） 4-2：平行四邊形


8-s-07：能理解三角形全等性質。

8-s-13：能理解平行四邊形及其性質。

8-s-16：能舉例說明，有一些敘述成立時，其逆敘述也會成立；

但是，也有一些敘述成立時，其逆敘述卻不成立。

8-s-17：能針對幾何推理中的步驟，寫出所依據的幾何性質。



S-4-02：能指出滿足給定幾何性質的形體。



S-4-13：能理解特殊四邊形(如正方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯

形)與正多邊形的幾何性質。

S-4-18：能用反例說明一敘述錯誤的原因，並能辨識一敘述及其逆敘述

間的不同。

S-4-19：能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。

（四） 4-3：特殊的平行四邊形與梯形


8-s-12：能理解特殊的三角形與特殊的四邊形的性質。

8-s-15：能理解梯形及其性質。

8-s-18：能從幾何圖形的判別性質，判斷圖形的包含關係。

8-s-19：能熟練計算簡單圖形及其複合圖形的面積。



21

S-4-03：能透過形體之刻畫性質，判斷不同形體之包含關係。



S-4-12：能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)

的幾何性質。

S-4-13：能理解特殊四邊形(如正方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯

形)與正多邊形的幾何性質。

二、分年能力指標的細目詮釋如下：

（一） 8-s-02的細目詮釋：

1. 認識角的種類：銳角、直角、鈍角、平角、周角。

2. 認識兩個角的關係：互餘、互補、對頂角。

3. 利用等量公理來理解對頂角相等。

4. 兩直線互相平行時，同位角相等、內錯角相等、同側內角互補。

5. 能理解一角的角平分線的意義。

（二） 8-s-05的細目詮釋：

1. 利用垂直於同一直線來定義平面上兩直線的互相平行，並認識平行的符

號//。

2. 能理解兩平行線不會相交。

3. 在同一平面上，直線L 分別與直線M,N 交於P，Q兩個相異點，稱直線L 為

直線M 與直線N 的截線。

4. 截線L 截過直線M，N 後形成八個角，這些角的關係可分為同位角、同

側內角、內錯角等。

5. 直線L 同時垂直於直線M，N 時，所形成八個角均為直角。

6. 兩直線互相平行時，同位角相等、內錯角相等、同側內角互補。

7. 截線L 截過直線M，N 後，若下列三者中之一成立，『同位角相等、內

錯角相等、同側內角互補』則直線M，N 互相平行。

22

8. 平面上，若兩直線L // M ，則L 上的任一點到直線M 的距離均相等，

這個性質稱為兩平行線間的距離處處相等。

9. 熟練應用上述的兩平行線截角性質，如平行四邊形對角相等，鄰角互

補。

（三） 8-s-07的細目詮釋：

1. 如果兩個平面圖形經過平移、旋轉或翻轉可以完全重疊在一起，它們就

是兩個形狀與大小都相同的圖形，我們稱它們是兩個全等圖形。

2. 如果兩個三角形ΔABC與ΔDEF 可以完全重疊在一起，我們就稱ΔABC

與ΔDEF 為兩個全等三角形，記為ΔABC ≅ΔDEF 。

3. 如果兩個三角形可以完全重疊在一起，疊在一起的頂點稱為對應點，疊

在一起的邊稱為對應邊，疊在一起的角稱為對應角。

4. 一般而言，符號ΔABC ≅ΔDEF 不一定表示 A,B,C 的對應點分別為D,

E,F 。

5. 能理解兩多邊形全等，則其對應邊、對應角相等。反過來，若對應邊、

對應角相等，則兩多邊形全等。

6. 能理解 SAS、SSS、ASA、AAS、RHS 全等性質。

7. 能以三角形的全等性質做簡單幾何推理，例如：

等腰三角形兩底角相等。

角的平分線上的任一點到角的兩邊距離相等。反之，同一平面上，

若一點到角的兩邊之距離相等，則此點位在角的平分線上。

一線段之中垂線上任一點到兩端點等距。反之，若一點到線段的兩

端點等距，則此點在此線段的中垂線上。

平行四邊形，對邊相等，對角線互相平分。

若一四邊形有一組對邊平行且相等，則此四邊形為平行四邊形。

若一四邊形的兩組對邊相等，則此四邊形為平行四邊形。

若一四邊形的兩條對角線互相平分，則此四邊形為平行四邊形

23

（四） 8-s-10的細目詮釋：

1. 由兩點間直線距離最短，來理解三角形任兩邊之和大於第三邊，任兩邊

之差小於第三邊。

2. 能理解三個正數滿足任意二數和大於第三邊，則此三個正數必為某一三

角形的三邊長。

3. 理解三角形一外角等於其內對角之和，外角大於其任一內對角。

4. 理解三角形中，大角對大邊，大邊對大角 ; 等邊對等角，等角對等邊。

後者是說等腰三角形，兩底角相等；若三角形兩底角相等，則此三角形

為等腰三角形。

5. 能利用本細目上述的闡釋解決生活上相關的問題。

（五） 8-s-12的細目詮釋：

1. 理解有一內角為直角的三角形，稱為直角三角形。

2. 理解有一內角為鈍角的三角形，稱為鈍角三角形。

3. 理解三個內角均為銳角的三角形，稱為銳角三角形。

4. 理解有兩邊相等的三角形，稱為等腰三角形。等腰三角形的兩底角相等。

若三角形的兩內角相等則此三角形為等腰三角形。

5. 理解三邊等長的三角形，稱為正三角形。正三角形的三個內角都相等。

若三角形的三內角相等則此三角形為正三角形。

6. 理解有兩邊相等的直角三角形，稱為等腰直角三角形。

7. 利用尺規作圖及SSS全等性質，來理解三邊長滿足畢氏定理之三角形是

一個直角三角形。

8. 能理解長方形的兩條對角線等長且互相平分、正方形的兩條對角線等長

且互相垂直平分、菱形的兩條對角線互相垂直平分、箏形的兩條對角線

互相垂直且有一對角線為另一對角線之垂直平分線，並能利用三角形全

等性質說明這些特性。

9. 能理解兩條對角線等長且互相平分的四邊形是長方形、兩條對角線等長

24

且互相垂直平分的四邊形是正方形、兩條對角線互相垂直平分的四邊形

是菱形，並能利用線對稱的概念說明這些特性。

10. 能理解三內角是30°、60°、90°或是45°、45°、90°的三角形之邊長比例

關係。

11. 能利用上述比例關係得到正三角形的一邊的高，以及正三角形面積的公

式。

12. 利用矩形之兩條對角線等長且互相平分，來理解直角三角形之斜邊中點

到三頂點等距。

（六） 8-s-13的細目詮釋：

1. 理解兩組對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形。

2. 理解四個內角都是直角的四邊形稱為矩形(長方形)。

3. 理解四個內角都是直角且四邊等長的四邊形稱為正方形。

4. 理解四邊等長的四邊形稱為菱形。

5. 理解下列平行四邊形的基本性質：

平行四邊形的一條對角線將此平行四邊形分成兩個全等三角形。

平行四邊形的兩組對邊相等。

平行四邊形的兩組對角相等。

平行四邊形的兩條對角線互相平分。

6. 理解下列平行四邊形的判別性質：

若四邊形的兩組對邊分別相等，則此四邊形必為平行四邊形。

若四邊形的兩組對角分別相等，則此四邊形必為平行四邊形。

若四邊形的兩條對角線互相平分，則此四邊形必為平行四邊形。

若四邊形的一組對邊平行且相等，則此四邊形必為平行四邊形。

（七） 8-s-15的細目詮釋：

1. 理解只有一組對邊平行的四邊形稱為梯形。

2. 理解兩腰等長的梯形稱為等腰梯形。等腰梯形的底角相等。若一梯形的

25

底角相等，則此梯形是等腰梯形。

3. 等腰梯形亦為一線對稱圖形。

（八） 8-s-16的細目詮釋：

1. 有一些敘述成立時，其逆敘述也會成立。例如：平行四邊形的兩條對角

線互相平分；若四邊形的兩條對角線互相平分，則此四邊形必為平行四

邊形。

2. 有一些敘述成立時，其逆敘述不成立。例如：箏形的兩條對角線會互相

垂直，兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是箏形。

（九） 8-s-17的細目詮釋：

1. 本細目是檢查項目，不需要專章或專節處理。

2. 本細目不要要求學生能對一幾何問題的證明寫一完全的推理說明。

3. 本細目僅要求在幾何推理的教學中，要讓學生能寫出有些步驟所依據的

是什麼原理。

（十） 8-s-18的細目詮釋：

1. 例：正方形是矩形的一種。

2. 例：菱形是箏形的一種。

3. 例：菱形是平行四邊形的一種。

4. 例：矩形是平行四邊形的一種。

（十一） 8-s-19 的細目詮釋：

1. 梯形面積 = (上底＋下底)×高÷ 2。

2. 平行四邊形的面積=底× 高。

3. 箏形的面積= 2

1×(兩條對角線長之乘積)。

4. 邊長為a之正三角形的面積為 24

3a 。

26

第四節相關論文的探討

本節收集 2003年至 2012年有關試題分析的論文共 12篇，探討其中研究方法

及理論依據，以表格方式呈現。

表 2-4-1 論文理論的分析與討論

論文名稱試題分析─鑑別度之探討與比較

研究生傅怡銅年份 2003

研究方法

理論依據

1. 古典測驗理論(CTT) - D值

3. 項目反應理論(IRT)

5. 羅吉斯迴歸模式下卡方適合度檢定

2. 點二系列相關係數

4. 卡方適合度檢定

6. 概似比函數（MLE）

結論此六種理論依據並無絕對之優劣，以研究者對試卷鑑別度的要求

來取決研究方法。此六種理論的寬鬆至嚴苛排序如下：古典理

論、羅吉斯模式下 MLE、卡方適合度檢定、羅吉斯模式下-卡方適

合度檢定、項目反應理論 IRT。

論文名稱國中數學教師編製試題之分析研究

研究生陳美琪年份 2005

研究方法

理論依據

1. 質的分析：雙向細目表與 NCTM 的六項評量原則來評鑑試題。

2. 量的分析：庫李信度與效度分析。

結論 1. 試題分析之結果，能讓教師了解所編制測驗之試題好壞，並

可建立自己的專屬題庫。

2. 試卷之錯誤情形，則能了解學生作答的狀況與觀念不清之所

在，進而對症下藥並提早進行補救教學。

27

論文名稱屏東地區國二數學科段考試題分析之研究

研究生莊正國年份 2007

研究方法

理論依據

1. 質的分析：利用試題檢核表、雙向細目表、內容效度檢核表

及 NCTM 的六項評量原則。

2. 量的分析：討論試題的信度、效度、難易度及鑑別度。

3. 選項特徵曲線分析。

結論 1. 本試卷屬於難度適中的試題；信度內部一致性顯示具有再使

用價值；效標關聯係數為顯著正相關，能預測學生在學的成

績表現。

2. 試題符合 NCTM 六大指導原則與十大課程規準；選擇題的特徵

曲線皆是漸進上揚的，表示具有良好的鑑別度。

論文名稱高雄縣鳳山地區國二數學科段考試題分析之研究

研究生佘麗玉年份 2007

研究方法

理論依據

1. 質的分析：利用試題檢核表、雙向細目表及內容效度檢核表。

2. 量的分析：討論試題的難易度、鑑別度及信度。

3. 學生問題表分析：差異係數及注意係數。

結論本試題符合 NCTM六項數學評量中的公平、教學、學習、評量，

不符合技術及數學課程的主要原因為：

（1）目前的數學科成就測驗幾乎都無法讓學生在測驗過程中

使用電腦、計算機等科技產品。

（2）本次測驗的範圍，幾乎是四則運算，因此少有題目可避免

過於抽象或能與學生生活經驗相結合。

28

論文名稱 2007年台南市市長盃國民中學數學競賽試題分析之研究

研究生王炳雄年份 2008

研究方法

理論依據

採用量尺定錨法，參照九年一貫能力指標與 PISA數學競賽之能

力群組對照歸納出四個等級學生的數學能力，再依據學生的答對

率選取定錨試題並逐題分析。

結論第一等級：基本的代數運算，利用幾何形體的性質解決簡單的幾

何問題，只能處理簡單的步驟或簡單的情境問題。

第二等級：對數學的認知與解題策略有較成熟的表現，能析出問

題情境中的數、量、形之關係。

第三等級：有關數與量、代數兩個主題的計算能力上已能精熟處

理回憶型問題，並把待解的問題轉化成數學的問題。

第四等級：已能靈活運用所學習的數學知識，統合不同的數學知

識來思考問題並決解，具備連結型問題的處理能力。

論文名稱從解題認知需求觀點探討國中基測數學領域試題分析

（2001 年－2009年）

研究生陳雅嬿年份 2009

研究方法

理論依據

1. Stein 的解題認知需求，發展解題需求分類表。

2. 以敘述性統計及多元尺度法來對應分析各個分類間的關係。

結論 1. 在教育改革後，高認知層面的題目數增加，旨在培養學生可

以帶著走的基本知識和能力。

2. 根據基測試題變化趨勢，教師應加強學生的基本運算及訓練

多元思考能力。

3. 依據 Stein的類目，「沒有連接的程序問題」和「有意義連結

的程序」居多，主要著重數學知識的實用性。

4. 教育部的四大主題各有不同的解題認知需求。

29

論文名稱試題分析之研究－以全國奧林匹克數學競賽為例

研究生林芝伃年份 2009

研究方法

理論依據

1. 古典測驗理論(CTT)及項目反應理論(IRT)

2. 對試題作量的分析，包括：難易度、信度及鑑別度。

3. 受試者成就分析，包括：性別與區域。

結論 1. 本試題符合 IRT單向性假設並適合以三參數模式進行量化分

析，皆具有適當的難易度、鑑別度、猜測度、正答力與誘答

力。

2. 受試者中男生表現優於女生，中部地區優於東部地區。

論文名稱高雄市國一數學科段考試題分析研究

研究生徐主銘年份 2010

研究方法

理論依據

1. 質的分析：利用試題檢核表、雙向細目表、內容效度檢核表

及 NCTM 的六項評量原則。

2. 量的分析：討論試題的難易度、鑑別度及誘答選項。

3. 選項特徵曲線分析。

結論 1. 本試題利用 SPSS軟體得知試題具有不錯的信度，難易度屬於

中間偏易，達到九年一貫課程綱要中照顧中低程度學生的目

標。

2. 在 NCTM 的標準下皆符合六大指導原則，也符合「樣式、函數

與代數」、「幾何與空間概念」、「問題解決」、「表徵」等四項

課程規準。

3. 所有試題正確選項的曲線是遞增，顯示這是一份具有良好誘

答力且鑑別度非常優良的試題。

30

論文名稱數學科學習成就測驗試題分析與測驗分析之研究

研究生蔡元忠年份 2010

研究方法

理論依據

1. 古典測驗理論(CTT)及項目反應理論(IRT)

2. 對試題作量的分析，包括：難易度、鑑別度、信度與效度。

3. 學生問題表分析試題注意係數。

結論 1. 本試題難度適中且具有良好的信度、效度與鑑別度，試題選

項具有誘答力，故本試題具有應用價值。

2. 在古典理論與試題反應理論探討下，發現學生能力、試題難

度與鑑別度均呈現顯著相關。

3. 預試與正式施測後得到試題難度、鑑別度與注意係數呈現顯

著差異。

論文名稱八年級數學科定期評量試題分析之相關研究

研究生楊雅嵐年份 2011

研究方法

理論依據

1. 古典測驗理論與試題反應理論

2. 量的分析：難易度、鑑別度、信度、效度、猜測係數與訊息

函數。

3. 利用 ConQuest、Bilog-MG、TestGraf98、TESTER for Windows

2.0 以及 SPSS12中文版等測驗分析軟體進行數學學習成就估

算。

結論 1. 本試題在古典測驗理論與試題反應理論分析下，具有良好的

信度與效度，測驗訊息函數顯示中等學生能接受到最大的訊

息量。

2. ConQuest 軟體估算試題反應理論的單參數模型；Bilog-MG軟

體估算試題反應理論的單參數模型、雙參數模型及三參數模

型。

接續後表

31

接續前表

結論 3. TestGraf98 軟體繪製選擇題的選項作答模式特徵曲線圖；

TESTER for Windows 2.0 以及 SPSS12軟體估算各項試題的測

驗參數。

4. 相同的數據在不同的軟體分析下會有不一樣的結果，以

ConQuest 與 Bilog-MG而言，每一題的難度會些許差異，再經

過 Pearson 的統計分析，發現 ConQuest與 Bilog-MG的試題

難度存在顯著高度相關。

論文名稱國民中學數學科段考試題分析之研究

－以高雄市前鎮區國三為例

研究生吳昇勳年份 2012

研究方法

理論依據

1. 質的分析：利用試題檢核表、雙向細目表。

2. 量的分析：利用古典測驗理論、學生問題表及選項誘答力分

析試題的難度、鑑別度、信度、效度、選項誘答力以及注意

係數。

結論學生問題表（student-problem chart）簡稱 S-P表，由日本學

者佐藤隆博（Takahiro Sato）於 1970年所創，常見的 S-P表有

下列六種典型：（1）標準化測驗的 S-P曲線（2）同性質一致的

常模參照測驗的 S-P曲線（3）能力陡降分布測驗的 S-P曲線（4）

編序教學後測驗的 S-P曲線（5）試題呈現二極化分布測驗的 S-P

曲線（6）教學前測驗的 S-P曲線。

本試題分析之後接近第一種「標準化測驗的 S-P曲線」，從 P曲

線可得試題答對率約在 20%至 80%之間，從 S曲線可得中間部分

（得分率 50%）的學生最多，極端值學生相當少。

32

論文名稱高雄地區國中三年級數學科段考試題分析之研究

研究生張雅婷年份 2012

研究方法

理論依據

1. 質的分析：利用試題檢核表、雙向細目表及內容效度檢核表。

2. 量的分析：討論試題的難易度、鑑別度、信度及試題選項要

素。

結論 1. 本試卷在雙向細目表及內容效度檢核表分析，可知本試題具

有良好效度，在 TestGraf98軟體分析後可知具有良好信度。

2. 從試題的特性中發現：（1）考古題或類似題常出現（2）題意

過於抽象，與學生的生活經驗無法結合。因此，教師自編測

驗時要多加注意並努力克服。

3. 受試者數學學習情形分為：

（1）高能力者，能靈活運用各種數學公式，統整以學習過

的數學概念，進而進行複雜的解題與思考。

（2）中能力者，在「三角形的重心」概念不熟練，教師需

對此概念多做練習。

（3）低能力者，只了解「三角形的三心」基本定義，其餘

的學習表現內容不盡理想，教師應進行補救教學，再

次強化此單元的概念及運算能力。

綜合以上 12篇碩士論文，從研究方法與結論可知，理論依據採用古典測驗

理論與試題反應理論。質的分析則利用試題檢核表、雙向細目表、內容效度檢核

表、學生問題分析表及 NCTM的六項評量原則。量的分析是透過電腦軟體估算試

題的難易度、鑑別度、選項誘答力、注意係數、信度與效度。結論大多為試題具

有良好的信度、效度與鑑別度，難易度適中，估算值與理論有高度相關並符合命

題目標。

數學試題分析注重質性與量化的研究，試題除了要符合命題目標，更要了解

受試者的認知與學習狀況，教師可從中改善教學與命題，以達評量真正的目標。

33

第參章研究設計與實施

本研究對『八年級數學科段考試題』作質的分析，包括試題內容分析、內容

效度分析、雙向細目表分析。再作量的分析，包括難易度、鑑別度、誘答力及信

度。以及評鑑是否符合『公平原則』、『課程原則』和『評量原則』。最後根據研

究結果提出具體建議，作為教師提升教學效能的參考依據。

本章分成五節，第一節『研究對象與試題來源』，第二節『研究工具』，第三

節『試題處理與分析』，第四節『研究架構』。

第一節研究對象與試題來源

本研究的研究對象分為學生與測驗卷，分述如下：

一、學生

本研究的對象是研究者任教的完全中學之八年級生，於 102學年度第二學期

第三次數學科定期評量，採用 12個班，共 373 名學生作為研究樣本。

二、段考測驗卷

本研究對象為屏東縣完全中學八年級數學科段考試題，此試題由研究者自編

並依據課程能力指標及國中教育會考命題原則，再依下列各方面蒐集資料並編製

測驗試題：

（一）研究者依個人在國中任教數年的教學經驗。

（二）國中數學教師與研究所指導教授的教學經驗。

（三）教育部頒訂的課程能力指標及國中教育會考命題原則。

（四）翰林、南一、康軒等三家書局 102年版的課本與教師手冊。

（五）學生平時考及各校相關參考題目。

（六）範圍：102年南一版數學八下 3-4~4-3

包含 3-4：三角形的邊角關係

34

4-1：平行線

4-2：平行四邊形

4-3：特殊的平行四邊形與梯形

試題分成選擇題 10題和填充題 20格，測驗時間為 70分鐘。

（七）國中數學領域成就測驗之內容架構

1. 測驗目的：

本測驗屬於總結性測驗，目的在了解學生的學習成果，以確定學生

是否精熟，而達成教學預定目標。

2. 教學目標（測驗評量目的的呼應之目標）：

（1）能理解三角形兩邊和大於第三邊。

（2）能了解等腰三角形的性質。

（3）能了解等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊的中線都

是同一線段。

（4）能了解平面上兩直線平行的意義，及兩平行線處處等距。

（5）能透過操作、實驗理解平行線的性質，再配合說理、推理以強

化這些性質的概念與掌控。

（6）能了解平行線的截角性質。

（7）能了解平行線的判別法。

（8）能用尺規作出過直線 L外一點，畫出與 L平行的直線。

（9）能了解平行四邊形的定義及表示法。

（10）能理解平行四邊形的性質：等邊等長、對角相等、對角線互相

平分。

（11）能了解平行四邊形的判別法：若（a）有兩雙對邊分別相等，

或（b）兩條對角線互相平分，或（c）有一雙對邊平行且相等，

或（d）有兩雙對角分別相等，則此四邊形為平行四邊形。

（12）能了解菱形、矩形、正方形的定義，並且知道它們都是平行四

35

邊形。

（13）能了解菱形、矩形、正方形除了具有平行四邊形的性質外，尚

有一些獨特的性質。

（14）能了解梯形的定義及梯形的中線性質。

3. 測驗時間：70 分

領域範圍：102 年南一版數學八下 3-4~4-3

4. 教材內容：

3-4：三角形的邊角關係

4-1：平行線

4-2：平行四邊形

4-3：特殊的平行四邊形與梯形

5. 教材比例分配

表 3-1-1 教材比例分配

教材內容 3-4

三角形的邊

角關係

4-1

平行線

4-2

平行四邊形

4-3

特殊的平行

四邊形與梯

形

教學時間 250 分 350分 250分 300分

6. 測驗的題型與配分

選擇題：33％；填充題：66％。

第二節研究工具

本研究是質量並重的研究，質的分析包含能力指標項目、內容效度檢核表、

試題檢核表與雙項細目表，分述如下：

一、能力指標項目

36

教育部公布的九年一貫課程能力指標中階段能力指標為下列：

S-4-01：能理解常用幾何形體之定義與性質。







S-4-11：能理解一般三角形的幾何性質。

S-4-12：能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)的幾何

性質。

S-4-13：能理解特殊四邊形(如正方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯形)

與正多邊形的幾何性質。

S-4-18：能用反例說明一敘述錯誤的原因，並能辨識一敘述及其逆敘述間的

不同。

S-4-19：能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。




二、內容效度檢核表

利用內容效度檢核表作為試題質的方面分析。其表依據課程標準及教材內容，

歸納出命題原則及注意事項，表中分成內容要素及風格要素兩類，可提升試題品

質。（詳見附錄二）

三、試題檢核表

利用試題檢核表檢查試題是否符合命題原則及測驗目標。表中分成內容要素

檢核及題幹與選項要素檢核，可提供教師知道命題要訣並做為命題依據。（詳見

37

附錄三）

四、雙向細目表

利用雙向細目表分析整份測驗的內容架構，是否在某單元和某認知層次教學

目標配分過多或過少，試題類型和配分是否適切。（詳見附錄四）

而量的分析包含難易度、鑑別度、信度與效度，已在文獻探討的第二節試題

分析工具的探討中呈現。

第三節資料蒐集與統計分析

本小節分成資料蒐集與統計分析兩部分，敘述如下：

一、資料蒐集

(一)準備測驗

研究者所任教的學校於每年學期初都會分配段考命題人員，因此研究者自願

為八年級第二學期第三次段考命題，決定命題範圍後開始蒐集此範圍的資料，參

考教師手冊、講義或他校段考試題。根據雙向細目表及測驗編輯理論編製此測驗

試題，編製好的試題再請同校兩位數學教師審題並修改，確定無誤後進行施測。

(二)進行施測

在學校排定的第三次段考時間進行第一次施測，收回 373份試卷。兩週後再

舉行延後測，施測對象為參加暑期輔導的學生共 64位。因試卷上仍有學生姓名，

因此將學生分成兩部分，只參加第一次施測的段考組及兩次都有參加的延後組。

(三)考卷樣本統計

段考組共有 373位學生，將他們編號 A001 到 A373，以及每張試卷共有 30

格輸入 Excel，統計學生得分情況並作日後的相關資料處理。其中 1-10 為選擇

題，每題 3分；11-30 為填充題，每題 2分或 4 分，總分為 100分。

二、統計分析

38

(一)資料處理

兩次施測後的資料處理包括記分及輸入電腦，輸入資料後要多次檢查和校對，

以防止資料輸入錯誤而影響研究結果。

(二)數據的統計分析

本研究對於量的分析計劃要處理信度、效度、難度與鑑別度，已經在第一章

的名詞解釋與第二章文獻探討中討論過。本研究共有 64位學生參加延後測，所

以每個學生都段考分數與延後測分數，必須使用成對樣本Ｔ檢定進行分析，經過

SPSS統計軟體會得到兩個表，成對樣本統計量與成對樣本檢定，只要顯著性 P

值小於 0.05，就可以判定段考分數與延後測分數有顯著差異，P值大於 0.05就

代表它們沒有顯著差異。

39

第四節研究架構

本研究架構流程圖如下：

圖 3-4-1 研究架構流程

綜合分析

撰寫論文

根據學者專

家建議修改

試題

收集國內外參考文

獻

選定相關議題與研究對

象

設計段考試

題

與學者專家討論段考試

題之適合性並判斷是否

恰當

進行段考測驗及延後測

驗

段考試題分析試題個別分析

質的分析量的分析質的分析量的分析

內容效度檢核表

雙向細目表

信度試題檢核表難易度

鑑別度

誘答力

延後測分析

40

第肆章結果分析與討論

本章分成三節，第一節『試題個別分析』，第二節『段考試題分析』，第三節

『延後測驗分析』。

第一節試題個別分析

本節將討論測驗試題每一題的難度、鑑別度與選項誘答力。

一、量的分析

（一）試題的難度與鑑別度

分析：

1. 難度

答對人數 238人，答錯人數 135人，難度 P值＝373

238＝0.638。

該試題的難度是屬於簡單，符合四個選項的選擇題理想難度值。

2. 鑑別度

高分組答對率 0.97，低分組答對率 0.18，鑑別度 D值＝0.97－0.18＝0.79。

該試題的鑑別度是屬於極佳的鑑別度。

分析：

選擇1

下列哪一個長度的竹籤，不能與長3公分、10公分的兩根竹籤排成一個三角形？

(A) 40 公分 (B) 65公分 (C) 232 公分 (D) 23 公分

選擇2

在△ABC 中，已知∠A＝80°， AB ＝12 公分， AC ＝8 公分，則下列敘述何者

正確？

(A) ∠B＞50° (B) ∠C＞50° (C) ∠C＜50° (D) ∠B＞∠C

41

1. 難度

答對人數 293人，答錯人數 80人，難度 P 值＝373

293＝0.786。


2. 鑑別度



分析：

1. 難度


237＝0.635。


2. 鑑別度



選擇3

如圖，已知∠A＝30°，∠B＝77°，∠C＝73°。今甲、乙兩人以等速度由A點出發

，已知甲從A點經由B點到達D點，乙從A點經由C點到達D點。若 AB ＋ BD ＝ AC ＋

CD ，則下列關於D點位置的敘述何者正確？

(A) 在 BC 的中點上 (B) 不在 BC 上

(C) 在 BC 上，且距B點較近

(D) 在 BC 上，且距C點較近

選擇4

下列各圖中，何者L與M不平行？

(A) (B) (C) (D)

42

分析：

1. 難度


332＝0.89。

該試題的難度是屬於極簡單，符合四個選項的選擇題理想難度值。

2. 鑑別度


該試題的鑑別度是屬於好的鑑別度。

分析：

1. 難度


230＝0.617。

該試題的難度是屬於簡單，不符合四個選項的選擇題理想難度值。

2. 鑑別度



分析：

選擇5

如圖，梯形ABCD中， AD // BC 。若△ACD的面積是△ACB面積

的 2

5 倍，且 AD ＝12，則梯形ABCD的兩腰中點連線段長是多

少？

(A) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 22

選擇6

如圖， AB ＝ AC ， BC ＝ AD ，∠B＜∠CAD，則 AC 與 CD 的

大小關係為何？

(A) CDAC (B) CDAC (C) CDAC (D) 無法判斷

43

1. 難度


243＝0.651。


2. 鑑別度



分析：

1. 難度


224＝0.601。

該試題的難度是屬於簡單，不符合四個選項的選擇題理想難度值。

2. 鑑別度



選擇7

下列敘述，哪些是正確的？

甲：四邊形ABCD中， DCAB// 且BCAD ，則ABCD為平行四邊形。

乙：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

丙：平行四邊形的對角線互相平分。

丁：直線L、M被一直線所截，當同位角互補時，則L // M。

戊：菱形的對角線互相垂直平分。

已：若四邊形是矩形，則對角線互相垂直。

(A) 甲乙丙丁 (B) 丙丁戊 (C) 甲乙已 (D) 乙丙戊

44

分析：

1. 難度


274＝0.735。


2. 鑑別度



分析：

1. 難度


166＝0.445。

該試題的難度是屬於適中，不符合四個選項的選擇題理想難度值。

2. 鑑別度


該試題的鑑別度是屬於好的鑑別度。

選擇8

如圖， 2//1 LL ， 43 LL 與相交於一點。所形成的截角

均不為直角，則下列關於各截角的度數關係，何者

錯誤？

(A) 180541 (B) 180621

(C) 18043 (D) 18075

選擇9

如圖，四邊形ABCD中，已知四邊均不等長，且對角線相交於E點，若 ABE 、 ADE

DCE BCE 的面積依序為甲、乙、丙、丁，則再加上下列哪一個條件，可推

得 CDAB // ？

(A) 甲＝乙 (B) 甲＝丙

(C) 乙＝丁 (D) 丙＝丁

45

分析：

1. 難度


207＝0.555。

該試題的難度是屬於適中，不符合四個選項的選擇題理想難度值。

2. 鑑別度



分析：

1. 難度


280＝0.751。

該試題的難度是屬於簡單。

2. 鑑別度



選擇10

如圖，四邊形ABCD與四邊形CEFG中， BCAD ，D點在CG 上，B、C、E三點在

同一直線上。根據圖中數據，判斷四邊形ABCD與四邊形CEFG的形狀，下列敘述

何者正確？

(A)兩者都是平行四邊形

(B)兩者都不是平行四邊形

(C)只有四邊形CEFG是平行四邊形

(D)只有四邊形ABCD是平行四邊形

填充1

如圖，若 L // M，則∠1＝（1）。

M

1 25 °

30 ° 20 °

L

46

分析：

1. 難度


141＝0.378。

該試題的難度是屬於困難。

2. 鑑別度



分析：

1. 難度


163＝0.437。

該試題的難度是屬於適中。

2. 鑑別度



填充2

如圖，等腰△ABC 的頂角為 30°，且 AB ＝ AC ＝15，則其面積

為（2）平方單位。

填充3

如圖〈三〉等腰梯形 ABCD 中， AD // BC 。若 AD ＝7， AB ＝5，高 AE ＝4，

則對角線 BD ＝（3）。

47

分析：

1. 難度


210＝0.563。

該試題的難度是屬於難易適中。

2. 鑑別度



分析：

1. 難度


112＝0.30。


2. 鑑別度

高分組答對率 0.69，低分組答對率 0，鑑別度 D值＝0.69－0＝0.69。


分析：

1. 難度

填充4

如圖平行四邊形 ABCD 中，∠ABE＝18°，∠D＝75°。

若 ED // FG ，則∠GFB＋∠GCB＝（4）度。

填充5

已知等腰三角形有兩個內角度數的比為 7：4，則其頂角的度數為（5）度。

填充6

有三線段長分別為 x－5、x－7、x－8，已知此三線段可以構成三角形，則 x 的

範圍是（6）。

48


151＝0.405。


2. 鑑別度



分析：

1. 難度


123＝0.33。


2. 鑑別度



分析：

1. 難度


191＝0.512。


2. 鑑別度



填充7

已知菱形 ABCD 中， AB ＝9，面積為 3 2 。若 AD 上有一點 M，則 M 到 BC

的距離為（7）單位。

填充8

等腰直角△ABC 中，已知∠B＝90°，且 AB ＝ 23 ，則 AC ＝（8）單位。

49

分析：

1. 難度


90＝0.241。


2. 鑑別度



分析：

1. 難度


229＝0.614。


2. 鑑別度



分析：

填充9

在△ABC 中，若 27 AB ， 65 BC ， 223 AC ，則 A 、 B 、

C 的大小關係為（9）。

填充10

如圖， ABCD 的兩條對角線交於 O 點， BE ⊥ AC 。

若 AC ＝12， BE ＝5，則 ABCD 的面積為（10）。

填充11

如圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ， CD ⊥ BC ，且 AD ＝2，

BC ＝6， CD ＝12。若 BE 將梯形分成兩塊面積相等的圖形，則

CE ＝（11）單位。

50

1. 難度


206＝0.552。


2. 鑑別度



分析：

1. 難度


233＝0.625。


2. 鑑別度



分析：

1. 難度


84＝0.225。


填充12

如圖，梯形 ABCD 中， AD ＝14， BC ＝20，E、F 兩點

分別是 AB 、 CD 的中點，G、H 兩點分別是 AE 、 DF

的中點，則 GHEF ＝（12）單位。

填充13

如圖，已知E點在長方形ABCD的對角線上， 35AD ，

5B A ， BE ＝ BC ，則∠DEC＝（13）度。

51

2. 鑑別度



分析：

1. 難度


128＝0.343。


2. 鑑別度

高分組答對率 0.83，低分組答對率 0，鑑別度 D值＝0.83－0＝0.83。


分析：

1. 難度


176＝0.472。


2. 鑑別度


填充14

如圖，梯形ABCD中， AD // BC ， AD ＝10， BC ＝23。

若 AE 將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則 BE ＝

（14）單位。

填充15

如圖，梯形ABCD中， AD // BC ，E、F分別是兩腰 AB 、 DC

的中點。若 AD ＝3， BC ＝5，則AEFD的面積與EBCF的面積

比為（15）。

52


分析：

1. 難度

國立屏東大學應用數學系碩士班...

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