國立臺國立臺國立臺國立臺中教育中教育中教育中教育大學大學大學大學數學教育學系數學教育學系數學教育學系數學教育學系

在職進修教學碩士學位班碩士學位在職進修教學碩士學位班碩士學位在職進修教學碩士學位班碩士學位在職進修教學碩士學位班碩士學位論文論文論文論文

指導教授指導教授指導教授指導教授：：：：胡豐榮胡豐榮胡豐榮胡豐榮 博士博士博士博士

國小六年級兒童比概念分析之研究國小六年級兒童比概念分析之研究國小六年級兒童比概念分析之研究國小六年級兒童比概念分析之研究

研研研研 究究究究 生生生生：：：：郭郭郭郭 祈祈祈祈 銘銘銘銘 撰撰撰撰

中中中中 華華華華 民民民民 國國國國 九九九九 十十十十 六六六六 年年年年 六六六六 月月月月

摘 要

本研究之目的在於編製一份具有信度、效度，並且能檢視比概念的優良試題。並藉

由試題關聯結構分析法，對施測結果加以進行分析，並繪製得出國小六年級兒童比概念

結構，應用擴充之邏輯流量測驗計分理論，量化國小六年級兒童比概念結構與教材地位

之比概念結構的差異性。

本研究以彰化縣國小六年級兒童為研究對象，以分層隨機抽樣，選取八所彰化縣國

小，每所國小各一班、共 256 名國小六年級兒童進行施測。並將施測後之資料，以試題

關聯結構分析法，得出國小六年級兒童比概念結構，並根據結構圖，獲以下結論：

壹、六年級兒童在「比的母子意義」上的瞭解，不如「比的組合意義」。

貳、數值範圍在「整數對整數」的比值意義，是數值範圍在「分數對整數」的比值

意義的下位關係。

參、數值範圍在「整數對整數」的前項後項意義，與數值範圍在「分數對整數」的

前項後項意義是等價關係。

肆、六年級兒童在「能將整數除法的商以分數表示」的概念上，是理解並能操作的。

伍、六年級兒童的「相等的比」概念結構主序列為「整數對整數的整數倍轉換之正

向活動問題」→「整數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題」→「整數對整數的單位分

數倍轉換之正向活動問題」。

將獲得之國小六年級兒童比概念結構與教材地位之比概念結構，使用擴充之邏輯流

量計分理論將差異量化，計算出到達度為 25.4 分。

根據以上結論，研究者提出若干建議，以作為教學者及未來研究之參考。

關鍵詞關鍵詞關鍵詞關鍵詞：：：：國小六年級兒童國小六年級兒童國小六年級兒童國小六年級兒童 比概念比概念比概念比概念 試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法

擴充之邏輯流量計分理論擴充之邏輯流量計分理論擴充之邏輯流量計分理論擴充之邏輯流量計分理論

i

Abstract

The purpose of this study is to compile an excellent test sheet, focused on ratio concept,

with convinced reliability and validity. The result of tests was further analyzed with Item

relational structure analysis, and the ratio concept structure of elementary school six graders

was charted. By applying logical flow test-extended theory, elementary school student six

graders' difference between ratio concept structure and that of textbooks were put into

qualification.

The participants of this research were six graders of elementary school students in

Changhua County, and total 256 six graders from seven classes in seven schools (one class for

one school) were conducted with a test based on stratified randomly selection. Data obtained

from tests were further analyzed with questions-related structure analysis method to gain the

ratio concept structure of elementary school students. According to the structure chart, the

results were summarized as following:

Firstly, participants of the study had a better understanding in part-part-whole of ratio in

comparison of that of associated sets.

Secondly, numerical range from fraction to integer is positioned in the lower status of the

ratio meaning of numerical range from integer to integer.

Thirdly, equal level relation was found in between the antecedent and the last term in

both numerical range from integer to integer and that of from fraction to integer.

Fourthly, concept of using fraction to descried quotient of division for six graders is

understandable and operable.

Fifthly, main sequence for the equal ratio structure of six grader is “positive transfer

activity question for integer to integer time”→“reverse transfer activity question for

integer to integer time”→“positive transfer activity question for integer to fraction time

of integer”

Similarity in the ratio structure concept of six graders of elementary school students'

from ratio concept structure and textbooks, compute by Item relational structure analysis, is

25.4.

Suggestions were provided for pedagogical implication and further research based on the

conclusion of this research.

Term: Six graders of elementary school, ratio concept,

Item relational structure analysis, Logical flow test-extended

ii

目目目目 次次次次

摘要………………………………………………………………………….. i

目次………………………………………………………………………….. iii

表次………………………………………………………………………….. v

圖次………………………………………………………………………….. vii

第一章 緒論………………………………………………………………… 1

第一節 研究背景與動機……………………………………………… 1

第二節 研究目的……………………………………………………… 4

第三節 名詞釋義……………………………………………………… 4

第四節 研究限制……………………………………………………… 5

第二章 文獻探討…………………………………………………………… 7

第一節 兒童比概念的發展…………………………………………… 7

第二節 比概念之數學要素…………………………………………… 14

第三節 比概念之教材分析…………………………………………… 16

第四節 比概念之相關實證性研究…………………………………… 24

第五節 試題關聯結構分析法………………………………………… 30

第六節 邏輯流量計分理論及其擴充理論…………………………… 38

第三章 研究方法…………………………………………………………… 46

第一節 研究架構……………………………………………………… 46

第二節 研究對象……………………………………………………… 47

第三節 研究工具……………………………………………………… 48

第四節 資料處理……………………………………………………… 62

第四章 研究結果及分析…………………………………………………… 63

第一節 試題性質的分析..…………………………………………….. 63

第二節 試題關聯結構圖之繪製……………………………………… 67

iii

第三節 試題關聯結構圖之分析與討論……………………………… 70

第四節 擴充之邏輯流量計分理論量化計分…………………….…… 105

第五章 結論與建議……………………………………………………….… 111

第一節 結論……………...…………………………………………….. 111

第二節 建議……………………………………………………….…… 114

參考文獻…………..……………………………………………………….… 116

中文部分…..……………...…………………………………………….. 116

外文部分……..…………………………………………………….…… 117

附錄 A 試題檢核表…..………………………………………………….… 119

附錄 B 預試試題……..………………………………………………….… 120

附錄 C 專家效度問卷..………………………………………………….… 132

附錄 D 施測試題……..………………………………………………….… 136

iv

表 次

表 2-1-1 INRC 群的邏輯關係…………………………….………………... 13

表 2-5-1 A 組學生之答題情形………………………………………….….. 31

表 2-5-2 B 組學生之答題情形……………………………………………... 31

表 2-5-3 A 組、B 組學生之答題情形簡表………………………………... 32

表 2-5-4 A 組、B 組學生之答題情形依得分排序簡表…………………... 32

表 2-5-5 A 組、B 組學生之答題情形依得分及答對人數多寡排序簡表... 33

表 2-5-6 A 組、B 組學生之試題關聯結構圖...………….………………... 34

表 2-5-7 機率的四分割表………………………………………………….. 35

表 3-3-1 南一版「比與比值」單元教學活動…………………………….. 50

表 3-3-2 康軒版「比與比值」單元教學活動…………...………………... 52

表 3-3-3 翰林版「比與比值」單元教學活動………………………...…... 54

表 3-3-4 仁林版「比與比值」單元教學活動…………………………….. 56

表 3-3-5 各版本之教學活動……………………..…………..…………….. 56

表 3-3-6 施測試題雙向細目表…………………………....……………….. 59

表 3-3-7 預試試題難度分析表……………….………….….……………... 60

表 3-3-8 預試試題鑑別度分析表..………………………..…...….…...…... 61

表 4-1-1 正式施測 Cronbach's α 信度分析表……………..……….…….. 63

表 4-1-2 正式施測難易度分析表……………………………………....….. 65

表 4-1-3 正式施測鑑別度分析表…………………...…...…………….…... 66

表 4-3-1 概念節點答對率……………………………………………...…... 70

表 4-3-2 「比的意義」概念題目原理及答對率………………….……..... 74

表 4-3-3 「比值的意義」概念題目原理及答對率……………………….. 79

表 4-3-4 「前項後項的意義」概念題目原理及答對率…………...……... 82

表 4-3-5 「能將整數除法的商以分數表示」概念題目原理及答對率….. 85

v

表 4-3-6 「因倍數的概念」概念題目原理及答對率…………..………… 88

表 4-3-7 「通分的意義」概念題目原理及答對率……………………….. 91

表 4-3-8 「相等的比」概念題目原理及答對率…………...……………... 94

表 4-3-9 「相等的比」各概念題目原理之平均及高分組低分組答對率.. 96

表 4-3-10 教材地位與施測結果比概念難易編序比較表….……….…….. 98

表 4-3-11 「最簡單整數比」概念題目原理及答對率….………..…….... 102

表 4-4-1 比概念教材地位階層圖之順序性係數 0-1 矩陣表..................... 106

表 4-4-2 六年級兒童比概念階層圖之順序性係數 0-1 矩陣表….…..….. 108

表 4-4-3 比概念教材地位階層圖的各上下位關係重要度…………….... 109.

表 4-4-4 兩概念階層圖之有向邊差異度……………………………….... 110.

vi

圖圖圖圖 次次次次

圖 2-6-1 教學者與三位學習者之概念結構圖…………….…...………… 38

圖 2-6-2 教學者之 ISM 概念圖…………………………….…………….. 42

圖 2-6-3 學習者之 ISM 概念圖………………………………………..…. 43

圖 3-1-1 研究架構圖……………………………………………………… 46

圖 3-3-1 南一版「比與比值」單元教材地位…………………………… 49

圖 3-3-2 康軒版「比與比值」單元教材地位………………………...…. 51

圖 3-3-3 翰林版「比與比值」單元教材地位………………………….... 53

圖 3-3-4 仁林版「比與比值」單元教材地位…………………...………. 55

圖 3-3-5 教材地位比概念結構圖………………………………………… 57

圖 3-3-6 教材地位比概念結構圖……………………………………...…. 58

圖 4-2-1 施測試題概念節點題目分布圖……………………………….... 67

圖 4-2-2 六年級兒童之比概念結構圖…………………………...………. 69

圖 4-3-1 「比的意義」概念試題關聯結構圖…………………………… 76

圖 4-3-2 「比值的意義」概念試題關聯結構圖……………………...…. 81

圖 4-3-3 「前項後項的意義」概念試題關聯結構圖………………….... 84

圖 4-3-4 「能將整數除法的商以分數表示」概念試題關聯結構圖….... 87

圖 4-3-5 「因倍數的概念」概念試題關聯結構圖……………………… 89

圖 4-3-6 「通分的意義」概念試題關聯結構圖……………………...…. 93

圖 4-3-7 「比的意義」概念試題關聯結構圖……………………….….... 100

圖 4-3-8 「最簡單整數比」概念試題關聯結構圖………………....……. 104

圖 4-4-1 比概念教材地位階層圖…………………………………....……. 105

圖 4-4-2 彰化縣六年級兒童比概念階層圖………..…………..…....……. 107

vii

1

第一章 緒論

本章先說明本研究的研究背景與動機、研究目的，再針對研究中所提到

的名詞作定義及解釋，最後說明研究範圍及限制，茲分述如下：

第一節 研究背景與動機

在二十一世紀來臨前，我國教育部為因應國家發展的需求及對社會期待

的回應，進行自六十四年、八十二年之後的第三次的課程改革，在民國九十

年一月研議出九年一貫課程暫行綱要。基本理念中的終身學習方面，強調主

動探究及解決問題，數學學習領域中就終身學習的演繹是知道如何學而且樂

於學（教育部，2001）。然而就研究者的教學經驗，及國內許多針對兒童所進

行的實證性研究來看，大多數的兒童是不知如何學的，更遑論要樂於學了。

黃寶彰（2003）指出：「根據中小學數學教師的問卷調查結果發現，六、

七年級學童在『因數與倍數』、『分數』、『文字符號』、『比與比例』四個概念

的學習有困難。」比概念是多數數學教師認為兒童學習有困難的概念之一。

黃寶彰的研究亦發現比概念的教學，學童在比與比例主要的學習困難是在應

用比和比值解決有關的問題（如身高問題）、應用比例來解題及判斷比的大小

（如組合問題、濃度問題、身高問題及交換問題等）。

回顧我國數學課程發展，民國六十四年第一次改版的課程標準中，和比

概念相關的教材被歸類集中在高年級第六學年，分別在：（教育部，1975）

「數與量」中的「比例的認識」；

「量與實測」中「用比例關係實測長度」；

「圖形與空間」中「簡易的擴大圖與縮圖」；

「集合與關係」中「比與比值」和「正比與反比的實例」

民國八十二年的課程標準，和比概念相關的教材依然被歸類集中在第六

2

學年，分別在：（教育部，1993）

「圖形與空間」中「透過操作活動，瞭解縮圖與擴大圖的關係」及「瞭

解比例尺的意義及表示方法，並應用於地圖的閱讀」；

「數量關係」中「比、比值、比例的初步認識」及「以實例解釋兩數量

的變化關係」。

民國九十年的九年一貫暫行綱要，與比概念相關的指標仍然在第三階

段，也就是六、七年級，只就六年級的能力指標來看，有：（教育部，2001）

「數與量」中「N-3-15 能在情境中理解比、比例（包括正比例和反比例）、

比值、率（百分率、ppm）的意義」。

民國九十二年的九年一貫正式綱要，六年級的能力指標，與比概念相關

除暫綱原有的指標「N-3-15」在正綱中改為「N-3-05」外，在「數與量」中

還增加了「N-3-07 能熟練比例式的基本運算」，在「圖形與統計」增列了

「S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比

例尺」（教育部，2003）。

由比概念教材在我國課程發展沿革中，不難看出比概念教材於歷年的課

程綱要中都是置於較高的年級，且在每一次的課程改革中都不曾缺席；在九

年一貫暫綱或是正綱都是跨足六年級到七年級的概念，除了是國小六年級過

渡到國中七年級需要銜接的重要概念，亦是分屬於不同範疇的重要概念：比

概念從整數、小數與分數而來，故是「數與計算」的範圍；從比、比值與比

例的性質來看，又屬「數量關係」的範疇；而從比例尺的觀念來說，就是「圖

形與空間」的題材；從速度、百分比、度量、濃度等觀念來看，「量與實測」

包含著比概念，由此可知比例問題於數學教材中的重要性與複雜性（劉祥通、

周立勲，1999）。

生活中，亦常會用到比概念，例如：要沖泡一杯好喝的即溶咖啡，一定

要知道咖啡粉及水的比例；要判斷那兩班級的學業表現較好，也不能只看考

3

滿分的有幾個人，而是要看考滿分的人數占了全班人數的多寡；速度也運用

到比概念；地圖要看懂，比例尺的觀念是不可或缺的；就連影印時放大幾倍

或縮小幾倍，都和比概念有關。故比概念是日常生活中常使用的基本概念（林

福來，1987）。

充滿著重要性、複雜性及生活化基本概念的比概念，是六年級數學教育

中重要的一個單元，故有不少研究者針對兒童比概念的進行研究。黃寶彰

（2003）以自編筆試測驗，找出六、七年級兒童在比概念學習困難的部分，

並進行晤談，了解學習困難的癥結。張育萍（2006）以晤談方式探討二位國

小學生在比值問題上的解題表現，並將解題表現加以類化。大多數的研究都

是以晤談方式，找出兒童學習比概念的困難之處，再加以類化，給出教學建

議。但對於瞭解兒童完整的比概念結構，甚或是發現兒童的比概念結構有何

不正確之處，是較少著墨的。研究者認為這一個部分對於站在執行教學第一

線的教師而言，是重要的，也是研究者進行本研究所著重的。

所以，對一個教師來說，知道兒童到底學到的是怎樣的概念結構，甚或

是瞭解兒童學到的概念結構和比概念的教材結構是否一致，是當前重要的課

題。余民寜（1997）提到：「『教學評量』所提供的回饋訊息，可以幫助教師

明瞭兒童的學習類型及學習困難所在，進而採取適當的補救措施。」所以要

知道兒童到底學到的是怎樣的概念結構，甚或是瞭解兒童學到的概念結構和

比概念的教材結構是否一致，必須自編評量工具。但目前針對比概念，自編

評量作概念分析的研究是缺乏的。許天維（1995a）指出，試題關聯結構分析

法（Item relational structure analysis）簡稱 IRS 分析法，有助於教師在進行教

學評量後，瞭解兒童的認知學習構造及概念形成過程、對形成性評量的結果

進行補救教學並提供教科書對課程教材構造之瞭解。而取自兒童的概念圖，

要有效且客觀的進行分析並非易事，Shavelson ＆ Stanton（1975）與佐伯卓

也（1981）提出了能有效量化概念圖的方法，但仍存在許多不合理之處，這

4

個不合理之處由日本竹谷誠教授提出，並於 1977 年改良發展成新式計分理

論，稱作邏輯流量測驗計分理論（Logical flow test）簡稱 LFT 計分理論（廖

寶貴、曾智鈿、胡豐榮、許天維，2004）。另卓樹樣（2005）在邏輯流量測驗

計分理論的基礎下，考量步道的正確性，修改了 LFT 中部分定義，提出了擴

充之邏輯流量測驗計分理論（Logical flow test-extended）簡稱 LFT-extended

計分理論。綜合以上所述，研究者將針對六年級兒童比概念，進行自編測量

工具，以試題關聯結構分析法繪出兒童學到之比概念結構，並另據學者、專

家意見及現行數學教材，找出教材地位之比概念結構，再以擴充之邏輯流量

測驗計分理論，量化兒童學到之比概念結構與教材地位之比概念結構的差

異，期能對教學者及未來研究有所俾益。

第二節 研究目的

根據研究背景所述，研究之目的如下：

壹、編製一份具有信度、效度，並且能檢視比概念的優良試題。

貳、應用試題關聯結構分析法，得出國小六年級兒童比概念結構。

參、應用擴充之邏輯流量測驗計分理論，量化國小六年級兒童比概念結構與

教材地位之比概念結構的差異性。

第三節 名詞釋義

茲將本研究中論及的相關名詞定義如下：

壹、國小學童

本研究中研究對象，係指九十五學年度就讀於彰化縣公立國民小學六年

級的兒童。

貳、比概念

本研究中所稱之比概念，係包含比與比值兩個概念。比（ratio）或比值，

5

指兩數或兩數量的商，用以顯示其相對大小（牛頓數學辭典，1997）。六十四

年版的課程綱要中，「比」定義為「比較量」是「基準量」的多少倍。在 5：

2 中，5 是前項，2 是後項。前項除以後項所得的商，叫做這個比的「比值」。

而八十二年版的課程綱要中，則稱比為對等關係，且定義對等關係是指兩數

量 A、B 之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，就稱此兩數量是 A 與

B 有對等關係（此定義於九年一貫課程綱要中仍沿用）。而對等關係的量化即

是比值。對等關係可分為四種類型並舉例如下（陳竹村，1998）：

一、組合：一桶積木中有 5 個紅色積木、3 個黃色積木。

二、母子：一箱飲料有 24 杯，其中有 10 杯是綠茶。

三、交換：小明拿了五個蘋果，到市場換了十個橘子。

四、密度：100 立方公分的水重 100 公克。

參、概念分析

本研究之概念分析，係先採日本學者竹谷誠教授所提出之試題關聯結構

分析法，將施測結果，按題目彼此間反應所得的順序性關係，繪製出具有指

向性的兒童比概念階層圖；再以擴充之邏輯流量測驗計分理論，將所得兒童

之比概念階層圖與教材地位之比概念階層圖的差異性量化出來。

肆、教材地位之比概念階層圖

係研究者據教育部八十二年版國民小學課程標準、國民中小學九年一貫

課程暫行綱要及正式綱要，參考現行各家出版社之第十一冊數學教學指引及

徵詢學者專家意見所得出。

第四節 研究限制

茲將本研究的限制，分別依研究内容、研究對象及研究工具上之限制說

明如下：

壹、研究內容

6

本研究僅探討彰化地區國民小學六年級數學科「比和比值」單元的概念

結構分析，因此不宜將本研究之結果，推論到其他單元。

貳、研究對象

本研究旨在透過試題關聯結構分析法及擴充之邏輯流量測驗計分理論，

探討國小六年級兒童在比概念的知識結構，但因本研究受限於人力、經費與

時間等客觀因素，僅以彰化縣之國民小學，以分層隨機抽樣六年級男女兒童

256 名做為研究對象，因選取樣本有地域性限制，故雖可代表多數常態的兒

童，但仍不宜依本研究之結果做過度推論。

參、研究工具

本研究受限於人力、經費與時間等客觀因素，僅能以紙筆測驗施測，如

果時間充足的話，在得到施測結果後，應可在進行晤談觀察等多元評量，使

得到之概念階層圖更臻客觀且能充分正確反應出兒童所學。

7

第二章 文獻探討

本研究目的在編製一份能充分檢視出國小六年級兒童比概念的優良試

題，並藉由試題關聯結構分析法分析出六年級兒童比概念結構；再由擴充之

邏輯流量測驗計分理論，量化六年級兒童比概念結構與教材地位之比概念結

構的差異性。故瞭解兒童的比概念發展、九年一貫教材內容以及如何運用試

題關聯結構分析法及擴充之邏輯流量測驗計分理論作出有效分析，是本章文

獻探討的重點。因此，本章第一節將先探討兒童的比概念發展，第二節討論

比概念的數學要素，第三節再就現行國小六年級比概念的教科書教材內容作

探討，第四節為比概念之相關實證性研究，最後第五節討論試題關聯結構分

析法，第六節討論邏輯流量測驗計分理論及其擴充理論。

第一節 兒童比概念之發展

皮亞傑（Piaget）運用臨床觀察的方法，研究兒童的認知發展，為世界上

兒童心理學的巨擘，更有人將其與心理學大師佛洛依德並列，足可見皮亞傑

認知發展理論在世人心中的地位及不容忽視的重要性。所以提到兒童比概念

的發展，不可不深入瞭解皮亞傑的理論。

壹、認知發展理論基礎

生物為了生存，針對環境的變化，必須有適應（adaptation）的產生，隨

著兒童的年齡成長及生活經驗的累積，保持不變的是適應這項生物功能

（functions），但是結構（structure）卻產生變化，且是有系統的變化，這種

變化就是所謂的發展（development）（John L. Phillips, Jr.／王文科編譯，1996）。

例如：一個嬰兒，看到媽媽來了，就伸出雙手要媽媽抱抱。這一整個事

件中，（看、伸手、抓握）是手段、（從媽媽的懷抱得到安慰的刺激）是目的，

而從手段到目的的關聯，就是「結構」。其中嬰兒動作的功能是適應：就是把

外在感官的輸入，同化（assimilation）於結構中，並調整結構以迎合輸入的

感官刺激。而內容（content）指的是行動的原料，而非行動的模式（John L.

Phillips, Jr.／王文科編譯，1996）。

8

在皮亞傑的理論中，有兩個基本的功能：適應（adaptation）與組織（Piaget,

1952）。適應與組織是一個單獨機械作用的兩個層面：適應是和外界的層面相

聯，組織則是關於內在的層面。組織是把簡單的結構形成較複雜的結構。而

適應則包含了同化及調適（accommodation）這兩個功能不變數。

調適和同化是彼此互相影響的關係，人類的大腦在接收訊息或刺激後，

要將此訊息或刺激納入時，須視輸入的訊息或刺激做調適的動作，而當調適

完成時，就是同化的產生。就好比人吃食物，消化系統須依食物的酸甜苦辣、

冷熱軟硬做出如何消化的調適，最後身體獲得食物消化而成的養分就是同化

的完成。換句話說，為了要完成適應功能，結構就必須不斷的調適與同化。

皮亞傑理論中的另一個重要名稱就是基模（scheme or schema）。基模是

同化的一種工具；是一個小型系統（minisystem）（John L. Phillips, Jr.／王文科

編譯，1996）。就是說，對某一活動，能被推廣於其他同一種類型的活動，例

如，「看見─撿起」這個基模，就能使人同化各種相類似的活動：看見玩具，

撿起來；看見錢幣，撿起來；看見自己的東西掉了，撿起來。總括來說，基

模是結構的一個單位，任何可重複或可普遍化的行為就是基模（Piaget,

1970）。最初的基模比較簡單，通常指的是反射（reflexes），年歲漸長後，基

模就大部分都是經同化及調適的結果。

結構、功能、與內容三者，是皮亞傑認知理論的中心思想。Wadsworth

（1989）曾以交通工具載運貨物來說明這三者之間的關係：交通工具代表運

輸這項不變的功能，而所載的貨物就是內容，但隨著內容的不同，工具的結

構也會隨之不同。

一般而言，影響認知發展的因素有五：成熟（maturation）、物理經驗

（physical experience）、數理經驗（logic-mathematical experience）、社會傳遞

（social transmission）及平衡作用（equilibration），茲分述如下：（John L. Phillips,

Jr.／王文科編譯，1996）

一、成熟

皮亞傑利用這個詞彙，來描寫一種逐層開展的發展策略。在著作的論述

中，指的是天賦對發展的影響。

二、物理經驗

9

兒童利用來抽象各種物體的物理特性，所獲得的經驗稱之。例如：透過

觸摸，發覺物體是柔軟的；透過拿取的動作，發覺物體的重量。

三、數理經驗

當兒童行動，而獲致各種物體間的關係，或者採取行動間的關係，就有

了此種經驗（如：數對應邏輯、加減概念、速度概念…等）。其與物理經驗最

大之不同，物理經驗是當兒童行動後，物體的本質直接反射出來的經驗；而

數理經驗則是物體與所採取之行動之間的關聯。舉例來說，當兒童坐在花園

的地面上，計數石頭，他將石頭排成一列，從一、二、三…開始，一直數到

十，數完後，再從另一頭數過來，又得到十，因此兒童得到十的概念，是數

理經驗；而由拿取石頭排列時，經驗到石頭冰冷、堅硬的物理性質，而得到

石頭的物理經驗。

四、社會傳遞

兒童透過自己學習，從別人所寫的書，或藉由其他媒介所得到知識的過

程，稱為社會傳遞。通常兒童是經由成人所給的社會傳遞得到知識的，學校

就是進行社會傳遞最大的場所。兒童同化了成人所給的知識到自己的結構

中，就是瞭解了成人要給的訊息。

五、平衡作用

平衡作用是一種改變的機械作用，影響兒童的時間超過一個時期以上，

平衡作用是動態的，是穩定狀態的一種維持力量。結構將藉由平衡狀態不斷

地邁向平衡，當基模的平衡狀態愈發穩定時，兒童對該項知識的狀態描述就

愈明顯且清楚。每種基模提供自己有供培育的與採取行動的需求欲，基模開

始就再生、重複自己，並將各類新事物納入自身之中（Piaget, 1972）。所以平

衡作用也可說是發生行動的動機。平衡作用在認知發展五個因素中，扮演的

就是將其他四種因素納入自身之中。

皮亞傑認為，發展是自發性的，而學習是可被激發出來的（Piaget, 1964）。

智力是學習的因，而並非大多數心理學家所認定智力是學習的果。皮亞傑認

為智能的發展，為結構不斷組織與重新組織，而每一次所形成的組織，都將

前一次的組織包含在內。這個過程是連續的，但形成的結果卻是間斷的，隨

著時間的不同，會有或多或少質的變化。所以皮亞傑將整個發展的過程，分

10

成幾個不同時期：

一、感覺動作期：0 到 2 歲。

二、運思前期：2 到 7 歲。

三、具體運思期：7 到 11 歲。

四、形式運思期：11 到 15 歲。

在這幾期中，年齡組距只是大概的近似值，甚至有許多人並未達到最後

一個時期。能確定的是，每個人發展的順序都是相同的。皮亞傑認為兒童要

完成比概念的發展，須到最後一個時期，形式運思期。故第二部分將就形式

運思期兒童的概念發展作一細部的探究。

貳、形式運思期兒童的比概念

形式運思期的兒童（11～15 歲），係在運思上運思；皮亞傑稱為第二級

運思。也就是形式運思期的兒童知道內省，把自己的思想、感受及知識再拿

來思考。在運思上運思，是達到形式運思期兒童的一大特徵。

比概念問題類型中，第四種對等關係─密度，是用來辨別具體運思期的

兒童是否已達形式運思期的有效工具。

密度概念涵蓋了重量與體積兩個運算，討論的是重量與體積的對等關

係，具體運思期的兒童通常只考慮到其中一項因素，而忽略或對這兩項因素

之間的聯結感到迷感。

在具體運思期未達形式運思期的兒童，考慮密度問題常把重的物體歸為

可以沉下去的那一類（具體運思期的兒童已具備分類的能力）、輕的物體可以

浮起來時，將產生的第一個矛盾，就是有若干大的物體在水中浮起來，若干

小的物體在水中則沉了下去。當提出針為何會沒入水中時，兒童會發現到材

質的影響，但若是兒童不能對重量及體積這兩因素做保留時，是不會想到密

度的。但可以分類，已是發現密度這種比概念的重要進展。

年紀再稍大一些的兒童（依舊未達形式運思期），可以將分類作的更精

密，例如：考慮到像鋁蓋這類型的物體，是可浮可沉的，當鋁蓋上充滿水時，

鋁蓋會沉沒，反之則鋁蓋會浮在水面上；亦會試圖將不同材質，如木頭或鐵

來做比較，但並非等量的比較。而密度的判定就需將重量與體積之一項因素

11

定量，所以做非定量的比較是不會理出頭緒的，只是陷入另一個矛盾。

最後，要達到密度概念的了解，必須了解密度與重量的變化是正比的關

係，但和體積卻是反比的關係，想到此節的兒童，便能將水列入考慮，將同

體積的水及物體拿來比較。但是除非到了形式運思期，否則無法對體積作保

留，也無法理解上述的精密結構，所以一般來說，受試者須至少到十一歲才

有辦法。

再以較簡單的例子來說，具體運思期的兒童可以知道若一籃蘋果有六

顆，三籃蘋果就有十八顆。但要知道 1：6＝3：18，在運思上運思，就必須

形式運思期的兒童方能做到。

形式運思期的兒童，思考的另一特徵，就是能以假設（hypotheses）來填

補以前曾為建構完整的結構而產生的矛盾。具體運思期的兒童並不建立假

設，此時期的兒童是在可以想像的條件下想像，是有限度的想像。形式運思

期的兒童可以在心中試驗其假設，無需操弄道具等具體事物，而且可以在所

有變項控制不變的條件下，操縱一個變項，達到其實驗的目的或進行驗證。

形式運思期的兒童，自我中心觀是存在的，但與感覺動作期、具體運思

期及運思前期的自我中心觀是不同的。對感覺動作期的嬰兒，自我中心觀是

以為世界是他伸手可及才是他所謂的世界；而具體運思期及運思前期兒童的

自我中心觀，則是他自己唯一可能獲取表徵的自然物體世界；對於已達形式

運思期的兒童，或許以是青少年，自我中心觀是以自己的邏輯思考方式。延

伸到不可預測，新接觸的領域，當然這常會替他的長輩帶來管教的困擾，因

為青年不認同別人或外在社會加在他身上的邏輯，而只相信自己的思考邏

輯，形成心理學家所謂的青少年叛逆期。

參、比概念的皮亞傑任務（Piagetian tasks）

皮亞傑在著作中，曾運用皮亞傑任務來探索兒童的認知發展程度，本節

將選取兩項與比概念有關的任務來作討論。（John L. Phillips, Jr.／王文科編

譯，1996）

一、迴紋針任務

（一）內容

12

本項任務在測驗兒童是否具應用比概念的能力。首先給學生一張 8.5 公

分 × 11 公分的厚紙板一張，在紙板的兩邊各畫一個木頭人，但其中一個的

高度是別一個的三分之二。高的木頭人高度有六支大迴紋針高，矮的木頭人

有四支大迴紋針高，先讓兒童以大迴紋針量出木頭人的高度並做記錄後，將

大迴紋針取走，拿小迴紋針拿給兒童，要他以小迴紋針先量出小木頭人的高

度（假設需六支）並做記錄，最後施測者拿走小木頭人，問：「大的木頭人，

如果以小迴紋針來測量，將有多高？」

（二）討論

很顯然的，兒童要成功完成任務，必須知道４：６＝６：X 的關係才行。

當然兒童如果是隨意猜測的，表示他未達形式運思期的思考。

二、砝碼任務

（一）內容

給兒童一天平，含間隔數相等的木桿，及數個不同或相同重量的砝碼。

一開始在天平兩端等距離的地方各掛上同為十克重的砝碼，天平是平衡的，

然後將其中一個砝碼移走，問：「利用你面前的砝碼，如何維持天平的平衡？」

等兒童反應後，將其中一邊的砝碼從天平中移走，並把在天平上的砝碼移近

支點，問：「利用砝碼，你如何維持量尺的平衡？你如何證明你的答案是對

的？」

（二）討論

要達成任務，必須會將天平一臂的長度乘上砝碼的重量與另一臂長度乘

上砝碼的重量是相等的概念，也就是槓桿原理，才可完成任務。

肆、比例推理五層次

皮亞傑以物理平衡的概念探討兒童的比例推理問題，發現兒童比例推理

的發展共分五個層次。（何意中，1988；陳英傑，1992）

層次一：是完全不瞭解比例推理的人。

層次二：不會同時考量兩個因素間的關係，而常會以加法策略去解決比

例問題。

層次三：即皮亞傑所謂的比例前期（preproportuonal solutions）。會使用

13

加法策略，但直覺認為若數量增加，則差量也要增加才可能平

衡。

層次四：皮亞傑稱之為邏輯比例期（logical proportions）。能了解 INRC

（Identity-Negation-Recirocal-Correlative）群如何運作的概念，

並知道運作的邏輯。INRC 群的關係如表 2-1 所示。

表 2-1-1

INRC 群的邏輯關係（引自王文科，1983，p282）

I N R C

I I N R C

N N I C R

R R C I N

C C R N I

層次五：最高層次是所謂的測量比例期（metrical proportions），到達此

層次的兒童，能自由應用比例概念。

綜上所述，皮亞傑認為比例推理始於定量及加法策略，最後再依序發展

出比例前期、邏輯比例期及最終的測量比例期。

14

第二節 比概念之數學要素

分別有三個要素，由 Lamon（1995）提出，第一個數學要素為相對的與

絕對的改變（relative and absolute change）、第二個是比感（ratio sense）、第

三個則是共變性及不變性（covariance and invariance）。分別說明如下：

壹、相對的與絕對的改變

比是代表任意兩個數值間的對等關係，故「相對」是比概念中最重要的

部分（鄭英豪，1990）。舉例來說明相對的與絕對的改變：甲校有學生 1000

人，乙校有學生 100 人，甲校的近視人數有 50 人，乙校也有 50 人的近視學

生人數。由絕對的觀念來看，甲校與乙校的近視人數相同，但是可以說甲校

的學生視力不良情形與乙校相同嗎？答案應是否定的，因為如果從相對的角

度來切入問題，也就是說得再考慮到全校總人口數這個因素的影響，如此一

來，甲校的近視人數僅佔全校的20

1，而乙校的近視人口卻佔了全校人口的

2

1，可以明顯的看出甲乙兩校的近視率有很大的差距。

因此，兒童在學習比概念的教材時，須學習捨絕對觀念，以相對觀念來

解決比概念的問題（翁宜青，2002）。

貳、比感

所謂比感，就是兒童必須知道什麼是比概念的實例（example），或非實

例（non-example）。實例指得是含比例關係的任意兩量，反之則為非實例

（Lamon, 1995）。

例如：「一枝鉛筆賣 10 元，二枝鉛筆賣 20 元」，類似這樣的比例問題，

兒童必須知道這是比概念的實例，因為兒童只要知道一個量，依循比例關係，

兒童可求得另一個量；但是若是以下問題：「80 公分的人重 10 公斤，160 公

分的人重 20 公斤」，就不是非實例問題。所謂的比感，其實是一種直覺，是

一種知道比例情境與數學關係的直覺（Lamon, 1995）。

15

參、共變性及不變性

共變性及不變性是同時存在的。若現有一比的關係式為 A：B＝C：D，

這二比的比值是一致的，這是不變性。而 C（或 D）會隨著 A（或 B）改變

而改變，這就是共變性（Lamon, 1995）。

例如：有一材質相同的長圓鐵棒，取 18 公分，就重 3 公斤，那麼取 30

公分，會重幾公斤？其中這兩段鐵棒的長度與重量比都是 6：1，比值是 6，

代表的是比概念的「不變性」。而 30 公分的鐵棒重量會隨 30 公分的鐵棒長度

而變，這是比概念的「共變性」。從另一個角度，就這兩段的鐵棒的長度比來

看，是 3：5，比值是 3/5，這也是一種不變性，而 30 公分的鐵棒重量會隨 18

公分的鐵棒重量而變，這是比概念的「共變性」（劉祥通、周立勲，1999）。

16

第三節 比概念之教材分析

本研究因必須編製比概念之試題，以檢測兒童學習教科書後之比概念階

層圖，與教材地位階層圖有無一致性，故瞭解九年一貫數學教材，對本研究

是重要的。

壹、相關名詞的探討

一、比

依據 64 年版部編本國小數學教科書的定義，比是指兩量倍數關係的另一

種說法。例如：「5 塊餅乾是 2 塊餅乾的幾倍，這種關係也可寫做 5：2，讀做

五比二」。

比是指並置的兩對應關係量的紀錄，例如：「小明拿 4 顆蘋果，到菜市場

去換 6 個橘子」可以記為 4：6。這是 82 年版課程綱要的定義。（周筱亭、黃

敏晃，2002）

二、對等關係

這是 82 年版課程綱要中，給比的另一個名詞。代表任意兩數量，因某種

原因（不考慮單位是否相同的問題），而產生的關係。數學上的意義等同序對，

序對以（A，B）表示，當然也可用較常見比的符號 A：B 來紀錄。例如：小

明的身高是 140 公分，體重是 40 公斤；一籃水果有 10 顆，一共重 20 公斤；

某班級中男生有 15 人，女生有 12 人…等。諸如此類的描述，都可視為產生

了一個對等關係。140 公分對 40 公斤、10 顆對 20 公斤、15 人對 12 人，…。

記錄成 140：40、10：20、15：12（周筱亭、黃敏晃，2002）。

三、對等關係的種類─組合、母子、交換、密度

這四種分類方式是依語意結構的不同來劃分，與 Lamon（1993）依語意

結構而對比概念所做的分類有部分是重疊的。Lamon 將比概念分為熟知的量

數（well-chunked measures）、部分─部分─全體（part-part-whole）、關聯的

集合（associated sets）、擴大縮小（stretchers & shrinkers）四個類型。茲將九

17

年一貫數學領域綱要中對等關係的分類及與 Lamon 所做比較分述於下：（周

筱亭、黃敏晃，2002；翁宜青，2002）

（一）組合

若此兩數量是同類量，且同是一全體量的部分時，稱之為組合的對等關

係。例如：一桶積木中有 5 個紅色積木、3 個黃色積木。此部分的定義與 Lamon

分類中「關聯的集合」相似。

（二）母子

若此兩數量是同類量，且其中一數量是全體量，另一數量是全體量的部

分量時，稱之為母子的對稱關係。例如：一箱飲料有 24 杯，其中有 10 杯是

綠茶。此部分的定義與 Lamon 分類中「部分─部分─全體」相似。

（三）交換

兩個具有相同價值的物件，可以進行交換，而形成對等關係，稱之為交

換的對等關係。例如：小明拿了五個蘋果，到市場換了十個橘子。

（四）密度

兩不同類量，重量及體積，用以描述同一物件的密度性質，稱之為密度

的對等關係。例如：100 立方公分的水重 100 公克。此部分的定義與 Lamon

分類中「熟知的量數」相似。

四、比值

64 年版的比值，是直接定義前項除以後項，抽象的定義常使教師在教

學，以及學生在學習上造成困擾。82 年版的課程綱要，則先透過各種對等關

係，產生一個比，並藉由列出與它相同的比，所產生的最簡整數比相同，來

得到最簡整數比的概念。最簡整數比的單位化（unitizing）所產生的數就是比

值。也就是說對於一個比「A：B」，透過找一個後項為 1 且與 A：B 相等的

比，如 A：B＝X：1，得到的 X 就是 A：B 的比值。Lamon（1990）認為單

位化是建立複雜單位結構的必經歷程。如果兒童解比概念問題時，能先求出

單位量，再利用此單位量解題，即具備比值的單位化能力（周筱亭、黃敏晃，

2002；翁宜青，2002）。

18

五、比例問題與對等問題

比例問題指的是 64 年版課程所進行類似：已知一比較量對基準量的比，

而且已知一個比較量或基準量，求另一個未知量的問題。而對等問題是指兩

等價的對等關係，「A：B＝C：D」其中有一項是未知數的情境文字題問題。

因為對等關係有四類，故對等問題依然可分成四類，分別為組合問題、母子

問題、交換問題及密度問題等。其問題類型舉例如下：

（一）組合問題

馬場裡，每二個工人可以照顧五匹馬，有 20 匹馬，需要幾個工人來照顧？

（二）母子問題

飲料工廠將飲料裝箱，每 1 箱飲料中有 2 罐可以抽中再來一罐，問如果

要抽中 10 次再來一罐，要買幾箱？

（三）交換問題

小明用 10 個菠蘿麵包可以換到 8 個紅豆麵包，如果隔天小明只帶了 5

個菠蘿麵包，可以換幾個紅豆麵包？

（四）密度問題

３公升的水重３公斤，幾公升的水重８公斤？（周筱亭、黃敏晃，2002）

六、比例式及比例式填充題

「5：8＝20：32」即稱為比例式。「5：8＝20：32」中若有一數是未知量，

將其列為「5：8＝（ ）：32」則成比例填充題。比例填充題是用在某些數學

具體活動時的記錄，包括教師布題、學生解題及結果的呈現等。（周筱亭、黃

敏晃，2002）

七、數量關係與函數

有某一對應關係的兩組數量，例如：多個三角形及其總邊數合、時速 50

公里的車子經過的時間與所走的距離、…等，都可稱為數量關係，可記錄為

（X1、X2、X3、…）與（Y1、Y2、Y3、…），特別注意其中的對應順序不可

對調。若存在此兩變項的關係式，使一變項為已知，即可知另一變項，則稱

此關係式為函數。（周筱亭、黃敏晃，2002）

19

八、正比例與反比例

生活中存在最簡單的函數，就是正比例及反比例，因為兒童尚未有函數

的概念，故正比例及反比例須透過比與比值的關係來引入。當一數量關係的

所有對應項的比的比值都相同時，稱這兩對應關係為「正比例」；若其中一組

數量先取倒數，與另一組對應數的比的比值相同時，稱這兩個對應關係為「反

比例」。

由上述說明，若甲組數量與乙組數量成正比例，那麼乙組數量與甲組數

量亦成正比例。同樣的若甲組數量與乙組數量成反比例，那麼乙組數量與甲

組數亦成反比例。（周筱亭、黃敏晃，2002）

九、百分率、命中率、打擊率

在母子對等關係中，若前項為子、後項為母，例如：「小王投籃球 50 次，

投進了 15 球」，其中的比值，將依不同的情境的社會文化術語，給了不同的

「率」之名稱。如果後項設定為 100，則形成的前項值就可稱為百分率或百

分數。（周筱亭、黃敏晃，2002）

貳、比概念問題之兒童解題探討

一、解題的先備知識

翁宜青（2002）認為解比概念的問題，先備知識有五項，分別是：（一）

具有因倍數的能力；（二）熟悉乘除法的問題情境；（三）有理數概念的整體

發展；（四）相對的思考能力；（五）比值的單位化能力。研究者認為，具有

因倍數的能力，乘除法必須熟稔，（一）（二）點其實無須分述，應合為同一

點說明，另（四）相對的思考能力，於第二節中已有說明，故不再贅述，以

下研究者就剩餘三點說明如下：

（一）具有因倍數的能力

解比例問題，通常是先做除法再做乘法（劉祥通、周立勲 1999）。例如：

9 顆糖果，賣 15 元，12 顆糖果要賣多少元？類似的問題都必須將 15 元除以 9

顆，得到 1 顆糖的單價是9

15＝

3

5元，再以 1 顆糖的單價乘以 12 顆，得到所

20

求的總數 20 元。如果兒童具備因倍數概念時，就可以先將 9 顆糖分 3 堆、15

元分 3 堆，1 堆有 3 顆糖果賣 5 元，亦可解出答案，且更可避免以嘗試錯誤

法去試出公因數。故具備因倍數能力，可以使兒童在解比概念問題時，加快

關鍵解題的要素。

（三）有理數的整體發展

兒童在遇到類似第一點的舉例問題時，如果在第一步以 15 ÷ 9 時得到

一個除不盡的小數，而不知道用分數來代表答案時，表示兒童尚缺乏有理數

的整體發展。兒童對以分數來表示除法的結果並不熟悉，所以無法解決比概

念問題（楊錦蓮，1999）。

（五）比值的單位化能力

「小明買 2 枝鉛筆要 5 元，買 10 鉛筆要花多少元？」。兒童帶遇到類似

比概念問題時，若能將 2 枝 5 元當成一個單位，算出要買 10 枝鉛筆要 5 個單

位（5 從 10÷2 來的），得到 5×5＝25 元。則認為兒童已具備比值的單位化能

力。

二、解題關鍵

解題的關鍵在於兒童能具體操作累加及等分割活動（周筱亭、黃敏晃，

2002）。例如：「小王買 4 杯飲料花了 50 元，用同樣的買法，小華買 15 杯飲

料要花多少元？」，兒童必須先把前比例項的兩數量，同時累加 3 次，再把前

比例項的兩數量等分割成 4 分，合成其中的 3 分於之前累加的 3 次上，才可

得到小華所要花的錢數。較不複雜的問題可能只須累加，或等分割即可，又

累加又等分割，最後再合成，應是最複雜的問題了。故無論比概念問題中，

簡單或複雜的問題，解題關鍵都是累加及等分割。累加就是乘法，等分割即

除法，與先前所提先備知識須乘除法及因倍數觀念吻合。而複雜問題的等分

割後再合成，就須先備知識中的單位化能力。此兩部分恰不謀而合。

三、難易因素

周筱亭、黃敏晃（2002）等學者們認為，比概念的問題中，有三個難易

因素，分別為：（一）未知數的位置；（二）轉換的方式；（三）前比例項的數

值範圍。茲分述如下：

21

（一）未知數的位置

「5 個蘋果賣 25 元，多少個蘋果賣 40 元？」這類的問題，如果列成比

例式填充題，則可列成「5：25＝X：40」；如果是「多少個蘋果賣 25 元時，

8 個蘋果賣 40 元」，列成比列式填充題，可列成「X：25＝8：40」。這兩類問

題，不同的只是未知數放的位置，一個放在前比例項，另一個放在後比例項，

以成人的算則來看，這是一樣的題目，但以兒童的角色來看，這是不一樣的

題目。未知數在後比例項時，做為推論基礎的前比例項是已知的，所以這是

一個正向推論，稱為「正向活動」；反之，未知數在前比例項時，做為推論基

礎的前比例項，有部分是未知的，須反向推論來求所求，稱為「逆溯活動」

（周筱亭、黃敏晃，2002）。就兒童的發展而言，正向活動是較早發展的，逆

溯活動是相對較難的，故對兒童解比概念問題時，這是一個重要的難易因素。

（二）轉換的方式

所謂轉換的方式，係指在解比概念問題的正向活動時，前比例項須透過

累加或等分割的轉換方式，得到後比例項，求出未知數。此轉換方式依題目

類不同而不同，分述如下：（周筱亭、黃敏晃，2002）

1、整數倍的轉換：如「5 本書可以換 7 枝筆，15 本書可以換幾枝筆？」

這類型的問題，列成比例式填充題為「5：7＝15：X」，通常只須將前比例項

累加 3 次，就可得到答案，稱為整數倍的轉換。

2、單位分數倍的轉換：如「15 本書可以換 21 枝筆，5 本書可以換幾枝

筆？」這類型的問題，列成比例式填充題為「15：21＝5：X」，通常只須將

前比例項等分割 3 次，就可得到答案，稱為單位分數倍的轉換。

3、真分數倍或假分數倍的轉換：如「15 本書可以換 21 枝筆，10 本書可

以換幾枝筆？」這類型的問題，列成比例式填充題為「15：21＝10：X」，須

透過尋找 10 和 15 的公因數為等分割的次數，得到10

15，約分後成

2

3的假分數

轉換方式。

依以上 3 種不同的轉換方式，兒童須要的能力不同，亦造成不同的難易

程度。

（三）前比例項的數值範圍

前比例項的數值範圍，亦影響兒童的解題難易，分為：（周筱亭、黃敏晃，

22

2002）

1、整數對整數。如「2：3＝X：6」；

2、分數對整數。如「2

1：5＝X：10」；

3、分數對分數。如「2

1：

3

1＝X：2」。

由於兒童概念發展關係，設計問題時，應由整數對整數範圍漸進到分數

對整數、分數對分數的範圍。

三、難易分類及順序

根據上述難易因素，周筱亭、黃敏晃（2002）等學者認為比概念問題有

四個難易向度：（一）依問題情境來看，交換問題最簡單，因為最接近生活情

境，其次是組合問題和母子問題，最難的是密度問題，因其受物理性質影響；

（二）以邏輯推理的正向性來講，正向活動比逆溯活動簡單；（三）前比例項

是後比例項的整數倍時最簡單，再來是單位分數倍及真（假）分數倍；（四）

前比例項的數值，依序以整數對整數、整數對分數、分數對分數由易到難。

依此觀點，學者們將九年一貫比概念教材依編排及難易順序編排如下：

（一）整數對整數的整數倍轉換之正向活動問題。

（二）整數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題。

（三）整數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題。

（四）整數對整數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題。

（五）整數對整數的真分數倍轉換之正向活動問題。

（六）整數對整數的真分數倍轉換之逆溯活動問題。

（七）分數對整數的整數倍轉換之正向活動問題。（不含帶分數及假分數

對整數）

（八）分數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題。（不含帶分數及假分數

對整數）

（九）分數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題。

（十）分數對整數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題。

（十一）分數對整數的真分數倍轉換之正向活動問題。（不含帶分數及假

分數對整數）

23

（十二）分數對整數的真分數倍轉換之逆溯活動問題。（不含帶分數及假

分數對整數）

（十三）分數對分數的整數倍轉換之正向活動問題。

（十四）分數對分數的整數倍轉換之逆溯活動問題。

（十五）分數對分數的單位分數倍轉換之正向活動問題。

（十六）分數對分數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題。

（十七）分數對分數的真分數倍轉換之正向活動問題。

（十八）分數對分數的真分數倍轉換之逆溯活動問題。

24

第四節 比概念之相關實證性研究

壹、楊錦蓮的研究

楊錦蓮（1999）的研究在探討不同城鄉和年級的國小高年級兒童在不同

數字型式和語意類型之比例問題的解題表現。

分二個階段進行，第一階段採測驗調查法，以南投縣(市)國小高年級兒

童為研究母群體，採分層叢集抽樣方式抽取有效樣本 441 人，自編「國小高

年級數學比例問題測驗」為工具，了解國小高年級兒童的解題表現。

第二階段以立意抽樣方式訪談 10 位不同解題層次的兒童，探討兒童的解

題策略，進而歸納有助於兒童解決比例問題的知識和能力基礎。

主要的結論如下:

一、數字型式比例問題的解題表現

（一）對國小五年級兒童的困難度由簡單到困難依序為第一式、第二

式、第三式及第四式。「A：B＝C：X」中，若 C 同時是 A 及 B 的整數倍則

稱第一式、僅 B 是 A 的整數倍則是第二式，第三式則是僅 C 是 A 的整數倍，

最後第四式則定義為 C 不是 A 也不是 B 的整數倍。

（二）對國小六年級兒童的困難度由簡單到困難依序為第一式、第二

式、第三式及第四式。與對國小五年級的施測結果是相同的。

（三）解題通過率：第一層次：五年級 23％，六年級 24％；第二層次:

五年級 14％，六年級 14％；第三層次：五年級 17％，六年級 18％；第四層

次：五年級 5％，六年級 18％。

二、語意型式比例問題的解題表現

（一）對國小五年級兒童的困難度由簡單到困難分別是交換問題、組合

問題、密度問題、母子問題及伸縮問題。

25

（二）對國小六年級兒童的困難度由簡單到困難分別是交換問題、組合

問題、密度問題、母子問題及伸縮問題。

三、兒童的解題策略

有單價法、倍數法、疊加法、比例關係式和數量分解等五種策略；解題

錯誤者大都以絕對思考方式解題。

四、各層次的兒童數學知識及能力

（一）層次０的兒童具備約分和擴分的計算能力，經由提示會使用單價

法。

（二）層次一的兒童具備約分和擴分的計算能力，會用單價法。

（三）層次二的兒童會用單價法，經由提示會用倍數法。

（四）層次三的兒童會用單價法和倍數法，比較習慣用單價法。

（五）層次四的兒童會用單價法和倍數法，經由提示會用倍數法解相似

圖形題。

五、有助於兒童解比例問題之先備知識及能力

（一）不受數字結構因素的影響：如以下所述

1、數字較大時解題錯誤，數字變小則能發現倍數關係而解題成功。

2、非為整數倍時解題錯誤，整數倍時則解題成功。

（二）能正確計算多位數乘、除法問題和不受除數小於被除數的錯誤概

念影響。

（三）了解有理數概念的多義性，明確的以分數表示除法的結果和除不

盡的數。

（四）具有考量答案合理性的後設認知能力。

（五）以相對思考解決比例問題。

（六）了解單位量的意義。

26

貳、Lamon 的研究

Lamon（1995）認為比概念的數學要素，第一個相對的與絕對的改變

（relative and absolute change）、第二個是比感（ratio sense）、第三個則是共

變性及不變性（covariance and invariance）。於本章第二節已有詳述，在此不

再贅述。

參、張育萍的研究

張育萍（2006）的研究旨在探討兩位未接受比值教學的學童，其在處理

比值問題時的解題表現，並將他們的解題活動類型加以分析。研究方法採用

個案研究，並藉工作單來進行訪談以幫助研究資料的搜集，工作單問題共有

9 題，研究者依學生解題後的解題表現加以訪談。

研究一的小亭是一位國小五年級的學生，她在處理比值問題，習慣在兩

階單位的部份整體關係思考下，從等分除的方式，找出「一份所佔的比值」，

因此她在不論遇到比較量大於基準量甚至比較量小於基準量的情況，都使用

此方式解題。

研究二的小奕是一位國小四年級的學生，他在處理比值問題，容易受到

題目中的「語詞」–多少倍、多少、幾分之幾的使用方式而影響解題，尤其是

當題目或是研究者訪談中的語詞出現「多少倍」，會讓他有「大數除以小數」

的迷思產生。當使用「幾分之幾」的方式，他則都可以正確地解題，且不會

有「比值有單位」的問題產生，但是當使用「多少」方式時，他則會受到「等

分除」方式的使用影響，而有「比值有單位」的問題產生，惟這樣的情況不

甚穩定。

肆、翁宜青的研究

翁宜青（2002）的研究在探討一位三年級學生解比例問題之表現與接受

教學協助後的解題表現。採個案研究法，以半結構式晤談法進行訪談以深入

了解個案的想法。本研究包含三個時期：一、簡單式比例問題的探討。二、

單位量為整數之多重式比例問題的探討。三、單位量為分數之多重式比例問

27

題的探討。

研究對象是一位國小三年級的學生，對數學十分有興趣，數學成績的表

現也很好。受測者只學過乘法問題和簡單的分數問題，但是他尚未學過除法，

也未曾接受過任何有關比例問題的課程及教學。

在第一時期，受測者能以「疊加法」、「數量分解法」、「單價法」、「倍數

法」策略解決四種比值型態之簡單式比例問題中的前三種。但是，因為受測

者不能使用「分數形式」表示兩數相除的結果，以致無法解比值型態第四式

之簡單式比例題目。

在第二時期，受測者能以「倍數法」、「單價法」等策略解決十種比值型

態之多重式比例問題中的前五種。

在第三時期，透過研究者提示協助，受測者能解決「數值型態」第四式

的簡單式比例問題，也能解決十種比值型態之多重式比例問題中的其它三種

問題。

在第三時期，研究者在幫助受測者解決無法解決的問題時，採用的是鷹

架理論，鼓勵受測者做用外在表徴將自己的想法視覺，如果尚無法解決，研

究者會提供線索。如果受測者可以獨立解題，研究者就會拆除鷹架的協助。

伍、侯美玲的研究

侯美玲（2002）的研究，在了解兒童比例概念的發展，以及教材對比例

概念學習的影響。研究者在高雄縣市有效取樣 135 名小學六年級兒童，以面

談和問卷的方式進行三階段研究分析。在比例、比值、比例尺三種的型式下，

分析四個向度，包含中文用語、現實感、等值概念、直觀。

研究結果顯示：

一、在中文用語方面

兒童對於「倍」字大多持有「擴大、大於一」的意涵，因此部分兒童會

拒絕「0.8 倍」這類的描述，儘管兒童已經在教材中學過前述用語，也歷經相

關的考試。

二、現實生活的量感方面

28

兒童普遍表現不佳，特別是對重量；雖然兒童對於長度距離的掌握較佳。

但是數學課室裡的教學普遍是遠離現實的。例如以大尺度的比例尺為教學案

例，研究發現，那樣的設計不利於中低成就兒童的現實感發展。

三、等值概念方面

兒童多能掌握具體數量比，低成就兒童在十倍數擴分的表現較好，其次

是約分，最差的是「約分後再擴分」，此與現行教材的安排略有差異；對中、

高成就兒童而言，基於熟練的運算技能，因此約分、擴分正確表現率相當一

致；但是在大數字的表現則不佳，可能來自機械式理解，因此不具解題信心。

四、直觀方面

在直觀方面，兒童學得後天直觀，認為「％」代表小於 100 份，因此認

為 150％不合理，顯然脫離真實生活中所使用的意義表徵。

研究中印證 Lamon 所提「相對性思考」為比例運思基礎，樣本中超過

85％的六年級兒童具備該能力。且根據研究發現，兒童在處理比例式、比值，

往往要求給「單位」，特別是低成就兒童，有時甚至是中等成就者。比例式以

非整數比方式出現時，兒童作答的正確率會陡降。因此，研究者認為不適合

以這種表達方式做為引入比值的教學，此與國內教科書的編寫主張不同；又

比例式中的數值型態轉換仍是兒童學習障礙，例如：小數、分數的轉換。低

成就兒童易受學習情境影響；超過 70％的兒童會接受「70％元」，主要來自

日常商業折扣的情境。

陸、黃寶彰的研究

黃寶彰（2003）的研究目的在針對六、七年級學生，數學科學習困難的

部分，探討學生在這些學習困難部分的思考方式、錯誤的解題策略或迷思概

念，以及了解學生學習困難的情形及原因為何。

本研究先對中小學數學教師進行問卷調查，整理出教師們認為學童學習

不理想的部分，再針對這些部分設計筆試試題，評量工具為自編的筆試試題，

研究樣本為高屏地區使用南一版數學教材之國小、國中各一所，國小、國中

個三班，共六個班級，其中國小（六年級）109 人，國中（七年級）96 人。

29

根據筆試及晤談結果，發現學童的學習困難所在和錯誤情形及原因，茲將研

究結果說明如下：

根據中小學數學教師的問卷調查結果發現，六、七年級學童在「因數與

倍數」、「分數」、「文字符號」、「比與比例」四個概念的學習有困難。以下僅

針對與本研究相關之「比與比例」的學習困難部分做說明

學童在求兩數量的比、比值、比的相等及求比例式地四項等基本概念較

無明顯的學習困難，學童在比與比例主要的學習困難是在應用比和比值解決

有關的問題（如身高問題）、應用比例來解題及判斷比的大小（如組合問題、

濃度問題、身高問題及交換問題等）。

柒、沈明勲的研究

沈明勲（2003）的研究在透過實踐比例教學模組以幫助學生發展比例問

題概念，以改進學習成效。採用合作行動研究法，探討合作教師對教學模組

的意見、教學模組內各個教學活動的機制、以及學生的學習表現。

研究參與者是南部某國小的一位現職老師與其班上的學生，由研究者提

供比例教學模組的雛形，合作教師提出較可行的教學活動，教學模組分成起

始活動、發展活動、與檢驗活動三個階段。

本研究發現：一、合作教師提出很實際的教學活動以改進教學，二、教

學模組內的教學活動能認識、發展、與檢驗學生的比例概念，三、程度較差

的學生也能在模組教學中建立正確概念，並可利用比例概念解決生活上的應

用問題。

30

第五節 試題關聯結構分析法

壹、試題關聯結構分析法的歷史沿革

試題關聯結構分析法簡稱 IRS 分析法，係日本學者竹谷誠教授於 1980

年所提出。目的在於以試題測驗的結果，按題目反應所得的順序關係，可繪

製成有向性的箭頭圖形，藉以分析試題的特性。

試題關聯結構分析法，是竹谷誠教授為改進美國學者 P. W. Airasian 與

W. M. Bart 的「次序理論」（Ordering theory）的缺點而提出的理論。竹谷誠

教授於 1977 年參加美國威斯康辛大學的研討會，因 Baker F. B. 的介紹而得

知次序理論，改進為試題關聯結構分析法後，亦在教育現場進行了七、八年

的實驗，證明是一個有效的分析工具（許天維，1995b）。

試題關聯結構分析法使得教師在實施教學活動之後，能立即窺探出班上

兒童之概念能力在結構上的變化及兒童學習概念結構的訊息，試題關聯結構

分析法也有助於教師進行教學設計、瞭解兒童的認知學習構造及概念形成過

程、對形成性評量的結果進行補救教學並提供教科書編者對課程教材構造之

瞭解（許天維，1995a）。

貳、試題關聯結構分析法的理論

茲將理論直觀上之意義，舉例說明如下：（引自許天維，1995b，p2）

31

表 2-5-1 A 組學生之答題情形

A 組 試題 1 試題 2 試題 3 試題 4 試題 5 試題 6

學生 1 1 1 1 1 1 1

學生 2 1 1 1 1 1 1

學生 3 0 1 1 0 0 0

學生 4 0 1 1 0 0 0

學生 5 0 1 1 0 1 1

學生 6 0 0 1 0 1 1

學生 7 0 0 1 1 1 1

學生 8 0 0 0 1 1 1

學生 9 0 0 0 0 0 0

學生 10 0 0 0 0 0 0

答對人數 2 5 7 4 6 6

表 2-5-2 B 組學生之答題情形

A 組 試題 1 試題 2 試題 3 試題 4 試題 5 試題 6

學生 1 1 1 1 1 1 1

學生 2 1 1 1 1 1 1

學生 3 0 0 1 0 0 0

學生 4 0 0 0 0 0 0

學生 5 0 1 1 1 1 1

學生 6 0 1 1 0 1 1

學生 7 0 1 1 1 1 1

學生 8 0 0 1 0 1 1

學生 9 0 0 0 0 0 0

學生 10 0 0 0 0 0 0

答對人數 2 5 7 4 6 6

32

為方便說明，改成下表：

表 2-5-3 A 組、B 組學生之答題情形簡表

A 組 試 題 B 組 試 題

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

3 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0

4 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0

5 0 1 1 0 1 1 5 0 1 1 1 1 1

6 0 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 1

7 0 0 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1

8 0 0 0 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1

9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0

學

生

10 0 0 0 0 0 0

學

生

10 0 0 0 0 0 0

答對人數 2 5 7 4 6 6 答對人數 2 5 7 4 6 6

再由學生試題所得總分由上而下排序可得下表：

表 2-5-4 A 組、B 組學生之答題情形依得分排序簡表

A 組 試 題 B 組 試 題

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

5 0 1 1 0 1 1 5 0 1 1 1 1 1

7 0 0 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1

6 0 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 1

8 0 0 0 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1

3 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0

4 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0

高分

↓

低分

9 0 0 0 0 0 0

學

生

10 0 0 0 0 0 0

學

生

10 0 0 0 0 0 0

答對人數 2 5 7 4 6 6 答對人數 2 5 7 4 6 6

33

接著，以學生在各試題答對人數多寡，由左至右排列，可得佐藤Ｓ-Ｐ表

（佐藤隆博，1982）。

表 2-5-5 A 組、B 組學生之答題情形依得分及答對人數多寡排序簡表

A 組 試 題 B 組 試 題

3 5 6 2 4 1 3 5 6 2 4 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

5 1 1 1 1 0 0 5 1 1 1 1 1 0

7 1 1 1 0 1 0 7 1 1 1 1 1 0

6 1 1 1 0 0 0 6 1 1 1 1 0 0

8 0 1 1 0 1 0 8 1 1 1 0 0 0

3 1 0 0 1 0 0 3 1 0 0 0 0 0

4 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0

學

生

10 0 0 0 0 0 0

學

生

10 0 0 0 0 0 0

答對人數 7 6 6 5 4 2 答對人數 7 6 6 5 4 2

多 → 寡 多 → 寡

由上表得知兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相同；亦即

二組之試題難易分配與試題號碼之對應完全一致，但如果著眼於考慮順序結

構圖，依下列方法加以分析，就會有顯著的不同。

Ａ組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 4，

此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭，記作４→１；同理，答對試題４的學生是

１號、２號、７號及８號，他們亦同時答對了試題５、６，所以分別有５→

４及６→４；另一方面，答對試題１的學生是１號及２號，他們亦同時答對

了試題２，答對試題２的學生是１號、２號、３號、４號及５號，他們亦同

時答對了試題３，所以分別有２→１及３→２；此外，答對試題４的學生有

７號沒答對試題２，故沒有試題２到試題４的箭頭，其餘均依此類推。

同理，在Ｂ組中，答對試題１的學生是１號及２號亦答對了試題４，亦

即答對試題１的學生亦答對試題４，此時就有試題４到試題１的箭頭，記作

４→１；答對試題４的學生是１號、２號、５號及７號亦答對了試題２，所

34

以有２→４；答對試題２的學生是１號、２號、５號、６號及７號分別答對

了試題５、６，所以分別有５→２及６→２；答對試題５、６的學生有１號、

２號、５號、６號、７號及８號亦答對了試題３，故有３→５、３→６；其

餘均依此類推。從以上分析，如果定義答對率為

答對率＝受試全體學生的人數

受試學生答對的人數

則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的

試題關聯結構圖，如下所示：（許天維，1995b，p4）

表 2-5-6 A 組、B 組學生之試題關聯結構圖

答對率 結 構 圖 答對率 結 構 圖

顯然，Ａ、Ｂ兩組試題的關聯結構圖截然不同。值得注意的是，兩個表

的試題答對率雖然相同，但兩組學生的理解結構卻不相同。左圖顯示Ａ組有

兩個系列存在，即試題１、２、３的系列以及試題１、４、５、６系列，而

右圖顯示Ｂ組的試題形成一個單純的一元化系列。故試題關聯結構圖可看出

在Ｓ-Ｐ表裡所觀察不到的各試題間的順序關係，可作有方向性的圖性判讀

（許天維，1995b）。

參、試題關聯結構順序係數

第貳部分所述，係為闡明試題關聯結構分析法之特殊實例，現在以數理

推導理論來製造指向，為達到此目的，首先考慮令：（許天維，1995b）

0.6

0.5

0.4

0.2

0.7

0.6

0.5

0.4

0.2

0.7 ３

５ ６

２

４

１ １

４

２

５ ６

３

35

=

nNNN

n

n

xxx

xxx

xxx

X

L

MOMM

L

L

21

22212

12111

( )iNiii xxxx ,,, 21 K=′ for ni ,,2,1 K=

其中 1=isx 表第 s 個學生答對試題 I j， 0=isx 表第 s 個學生答錯試題 I j

P（ I j）表試題 j 答對人數的機率。

P（ I k）表試題 k 答對人數的機率。

P（ I j）表試題 j 答錯人數的機率。

P（ I k）表試題 k 答錯人數的機率。

P（ II kj, ）表試題 j 與試題 k 均答對的機率。

P（ II kj, ）表試題 j 答錯且試題 k 答對的機率。

P（ II kj, ）表試題 j 答對且試題 k 答錯的機率。

P（ II kj, ）表試題 j 與試題 k 均答錯的機率。

可得下面機率的四分割表：

表 2-5-7 機率的四分割表（引自許天維，1995b，p5）

試題 I k

對（1） 錯（2） 合計

對（1） P（ II kj, ） P（ II kj

, ） P（ I j）

錯（2） P（ II kj, ） P（ II kj

, ） P（ I j）

試

題

I j

合計 P（ I k） P（ I k

） １

試題關聯結構順序性係數r jk

＊表示法如下：（引自許天維，1995b，p8）

r jk

＊＝１－

)()(

),(

II

II

kj

kj

PP

P

順序性係數r jk

＊代表試題ｊ指向試題ｋ的順序性程度，也就是說試題ｊ

36

為下位概念（lower concept），試題ｋ為上位概念（upper concept）的程度。

順序性係數是一個數值，而竹谷誠（1991）以 0.5 為閾值（threshold），由電

腦模擬產生。若順序性係數大於閾值，則表示試題ｊ與試題ｋ有順序關係，

反之則無。另外，若順序性指向過少，可以減少閾值為 0.4；若順序性指向過

多，則可以增加閾值為 0.6。一般閾值介於 0.4 到 0.6 之間。

肆、試題關聯結構分析法的功能

經過以上諸位學者研究的結果，試題關聯結構分析法有下列五種功能（引

自許天維，1995a）：

一、教學設計之應用：

在教師進行單元教學活動之前，可以先依照此單元課程內容所需的先備

知識，作知識結構分析。之後，再依結構所對應的知識概念分別設計測驗並

進行施測，然後根據學生作答結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，可

以考驗出先備經驗概念有何不足之處，知其在未來指導時的困難所在，從而

規畫適合學生的教學課程，以作進行設計教學歷程的參考。

二、形成性評量之運用：

教師在單元教學活動後，可以利用知識結構分析編製形成性評量，再加

以施測，所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，從而得到學生學

習後的知識結構，以便對學生學習概念不清楚之處，特別加強補救教學。

三、認知學習構造之分析：

從形成性評量的反應結果，亦可利用佐藤 S-P 表（佐藤隆博，1982）獲

得注意係數，從而偵測出異質性的學童，此類學生所描繪出的結構圖與班上

學生整體的結構圖互相比較，從而得知此類學生學習異質的原因，之後再加

強輔導教學。

四、概念形成過程之探討：

利用試題關聯結構分析法來進行縱貫研究（longitudinal study），以構造

出各年級的結構圖，以瞭解學生概念形成過程的發展。再者，可利用其來進

行橫斷研究（cross section study），亦可得知班上學生的概念形成過程的分布。

五、課程教材構造之解析：

37

由母群體隨機抽樣進行考驗後，透過「試題關聯結構分析法」進行構圖，

可得一般學生的學習構造，這對教科書編作者而言，是重要資訊，而且對於

塑造分析典範教師的學習指導構造圖的特質，都有很大的作用。

38

第六節 邏輯流量計分理論及其擴充理論

壹、邏輯流量計分理論概述

自概念圖中可發現學習脈絡與前後邏輯概念，而根據學習者繪製之概念

圖與教育者所繪製之標準圖,評定其得分,可提供豐富資訊以作為教學與評量

之參考（楊世仁，2004）。

現舉一竹谷誠教授開創之實例說明邏輯流量計分理論如下：假定某一課

程教學，學習單元共計９個概念，圖 2-6-1 中，G1 為一教學者所繪製標準圖，

G2、G3、G4 為三位學習者分別繪製之概念圖，若依據 Shavelson & Stanon

（1975） 與佐伯卓也（1981）、 Novak - Gowin（1984）等學者之計分理論，

G2、G3、G4 對 G1 之計分相同，但若深入探討 G2、G3、G4 圖之結構，可發現

這三位學習者的理解狀況截然不同，因為 G2 圖結構是破碎的，永遠無法達到

最終學習目標概念 V9，與其他二人所繪製之概念圖相較,顯然存在更大學習困

境。

G1 G2

G3 G4

圖 2-6-1 教學者與三位學習者之概念結構圖

1

2 3

4

5

6 8

9

7

1

2 3

4

5

6 8

9

7

1

2 3

4

5

6 8

9

7

1

2 3

4

5

6 8

9

7

39

Shavelson（1972）與佐伯卓也（1981）兩人以量化觀點提出不同的圖形

計分方法，Shavelson 考慮任意二頂點間距離作為定量評分，卻忽略此二頂點

途經哪些頂點；後者以任二頂點間有無邊作為定量評分，卻未衡量邊之方向

性。因此，二人的結構圖計分均存在著不合理的同分問題（竹谷誠與佐佐木

整，1997；竹谷誠，2004）。

針對此一不合理狀況，日本拓殖大學教授竹谷誠於 1997 年提出邏輯流

量計分理論（Logical flow test）簡稱 LFT 計分理論加以改進。邏輯流量計分

理論自分析概念圖的過程中得出各概念間之重要度、差異度等資料，據此分

析學習者概念理解之階層關係、概念彼此間之影響程度，提出補救教學之有

效措施，並以符合數理邏輯之類似度定義計算兩概念圖之類似度分數。若依

邏輯流量計分理論計算標準圖與概念圖之類似度得分，G1 與 G2 之類似度

得分最低，符合現實狀況。

總而言之，日本拓殖大學教授竹谷誠等人（1997） 引入 LFG（屬概念

圖之一）中二頂點間距離與有向邊重要度（importance index）及二 LFG 間

類似度（similarity measure）；到達度（reachability measure）三項重要觀念，

發展而成新計分理論，此計分理論便是邏輯流量計分理論，簡稱 LFT 計分理

論。

貳、邏輯流量計分理論之類似度及差異度分析

LFT 之類似度及差異度分析，作用在量化兒童所學之知識結構圖與教材

地位知識結構圖的類似度及差異度。在討論此部分時，須先有基本定義。設

G = ( V , E )為一有向圖，其中 G 表沒有迴圈的概念圖，V 表所有概念所成的

集合，亦即 V＝ { }vvv n,...,

21。E 表示概念間的順序關係，也就是說 E＝

{ }eee m,...,

21（林瑞雪等，2004）。

定義定義定義定義２２２２.１１１１. 設 Vvvv k∈,...,

21，則有向圖 G = ( V , E )中，從頂點v1

出發，途

中經有向邊 vv 21， vv 32

，…， vv kk 12 −−，最後到達頂點vk

之路徑稱作步道

（path），記作

W＝〈 vvvvv kkk,,,...,,

1221 −−〉

40

定義定義定義定義２２２２.２２２２. 有向圖 G = ( V , E )中，由頂點vi出發至頂點v j

之所有步道所成

的集合稱作連結（connect），記作 S（vi,v j

）。

定義定義定義定義２２２２.３３３３. 有向圖 G = ( V , E )中，若vi，v j

，vk，vl

∈V，存在步道

W＝〈 vvvv jlki,...,,,..., 〉∈ S（vi

,v j）

時，稱有向邊 vv lk為 S（vi

,v j）之經由邊。

定義定義定義定義２２２２.４４４４. 有向圖 G = ( V , E )中，若從頂點vi到頂點v j

只有一條步道時，

稱有向邊 vv lk為基本邊。相對的若不是有向邊，則稱為非基本邊。

定義定義定義定義２２２２.５５５５. 設 G = ( V , E )與 G’＝（V，E’）為兩個有向圖，且 V＝

{ }xxx n,...,,

21，則令

T( xi, x j

,G) = { }之經由邊為 ),(: xxxxxx jilklkSE∈

T( xi, x j

,G’) = { }之經由邊為 ),(:' xxxxxx jilklkSE∈

則 G = ( V , E )與 G’＝（V，E’）之類似度 S（G , G’ ) 的定義為

S（G , G’ ) =

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∑∑

∑∑

= =

= =

n

i

n

jjiji

n

i

n

jjiji

GTGTN

GTGTN

xxxx

xxxx

1 1

1 1

',,,,

',,,,

U

I

其中符號 N[A] 表示 A 元素的個數。

定 義定 義定 義定 義 ２２２２ . ６６６６ . 設 N[V]= n 且 Vvv lk∈, ， 則 有 向 邊 Evv lk

∈ 之 重 要 度

( )GI vv lk,, 的定義為

( )GI vv lk,, =

]4

[

)],,([

2

n

vv GCNlk

其中 ]4

[

2

n 表示小於等於4

2

n 之最大整數且

( )GC vv lk,, = { S（vi

,v j）: vv lk

為 S（vi,v j

）之經由邊}

定義定義定義定義２２２２.７７７７. 計算類似度 S（G , G’ )的值，範圍在０～１之間，修正評分定義，

令

41

R（G , G’ ) ＝ 100 × )',( GGS

使數值範圍在可明顯辨別的 0～100 之間。

定義定義定義定義２２２２.８８８８. 令 vi、v j

為兩有向圖 G、G’ 之任意兩頂點，則定義vi、v j

的

差異度 D

D = N[C(vi,v j

;G)U C(vi,v j

;G’)]－N[C(vi,v j

;G)I C(vi,v j

;G’)]

參、邏輯流量計分理論在教學上的應用

本節將以竹谷誠教授的 ISM 教學實例說明邏輯流量計分理論在教學上的

應用。

竹谷誠教授在日本拓殖大學大學部中講述 ISM 法，授課完後，請學生根

據自己理解的課程內容，繪製概念圖，再根據學生的概念圖進行 LFT 評分。

ISM 法之學習共有 18 個概念，教學者繪出的概念圖如圖 2-6-2，而教學完後，

學生繪製的概念圖如圖 2-6-3。其中箭頭表示學習的順序關係。

42

圖 2-6-2 教學者之 ISM 概念圖（引自林瑞雪等，2004，p4）

1.集合論

的基礎

2.圖形理

論基礎

3.矩陣運

算的基礎

4.有向圖

的定義

5.布林代數

演算基礎

6.根據 ISM

法繪製階層

構造圖

7.會矩陣

的製作

8.鄰接矩

陣製作

9.路徑

的定義

10.會集合

及先形集

合的製作

11.集合表

之製作

12.非循環

有向圖製作

13.成分集

合之製作

14.步道

的定義

15.濃縮有

向圖的定義

16.標籤函

數的定義

17.閉步道

之定義

18.ISM 法

之應用

43

圖 2-6-3 學習者之 ISM 概念圖（引自林瑞雪等，2004，p5）

比較兩圖的類似程度，兩者類似度越高，表示學習者理解程度越高，相

反的，就表示學習者理解程度較差。

依照竹谷誠教授所定義的類似度來評分，得 R（G , G’ ) ＝ 65，類似度

稍低，表示學習者與教學者的認知程度差異度較高，學習者並未充分吸收教

學者所教授的知識。就學習者所繪之概念圖與教學者所繪之概念圖比較，可

知道學習者在哪一部分理解不夠或學習錯誤，補救教學即可針對此一部分來

做加強。但若是大多數的學習者都與教學者的概念有共同的差異，可能就要

1.集合論

的基礎

2.圖形理

論基礎

3.矩陣運

算的基礎

4.有向圖

的定義

5.布林代數

演算基礎

6.根據 ISM

法繪製階層

構造圖

7.會矩陣

的製作

8.鄰接矩

陣製作

9.路徑

的定義

10.會集合

及先形集

合的製作

11.集合表

之製作

12.非循環

有向圖製作

13.成分集

合之製作

14.步道

的定義

15.濃縮有

向圖的定義

16.標籤函

數的定義

17.閉步道

之定義

18.ISM 法

之應用

44

檢討教學上是否有所疏漏，或是概念的說明不夠充分。因此，以兩圖的類似

度來度量學習者的學習，可以提供教學者很好的教學回饋（林瑞雪等，2004）。

另對兩圖相異處部分，發現共有 15 處不同，分兩方面：其一是教學者有

畫的有向邊，而學習者沒畫的如下：

（8，6）、（14，7）、（14，17）、（9，10）、（9，12）、（17，13）、

（17，12）、（10，11）、（13，15）、（16，15）

其二為學習有畫的有向邊，而教學者沒畫的部分如下：

（2，6）、（1，13）、（9，16）、（17，15）、（16，6）

依據差異度公式來計算這 15 個邊的差異度，得出最大差異度出現在概念

（13：成分集合之製作）到概念（15：濃縮有向圖之定義），其值高達 28，

教學者再次輔導學習者（13，15）的概念後，發現兩圖之間的類似度可由原

本的 65 提高至 73，按照差異度最大到最小，歷經 15 次逐漸補助教學，最後

可達類似度 100 分（林瑞雪等，2004）。

為了驗證根據差異度值大小來進行補救教學的有效性，竹谷誠另外再提

出三種教學方式加以比較，第一種是依有向邊起點概念的順序，由下層概念

至上層概念進行補救教學；第二種是依有向邊終點概念的順序，由上層概念

至下層概念進行補救教學，與第一種方法恰相反；另外第三種補救教學的方

法是採隨機順序，進行補救教學。竹谷誠教授於每次教學完後，即計算這四

種補救教學法下的學生概念類似度，發現經過 15 次的修正後，四個方法均可

使學生概念圖與教學者的概念圖達 100 分的類似度。因此，藉由類似度及差

異度的分析，可使教學者清楚了解學習者概念改變之歷程，並進行有效的補

救教學（林瑞雪等，2004）。

肆、擴充之邏輯流量計分理論

卓樹樣（2005）於竹谷誠教授的邏輯流量計分理論基礎下，考量步道的

正確性，修改每一個有向邊在整體知識結構中之重要度以及兩個概念圖之類

似度及到達度的定義，提出擴充之邏輯流量測驗計分理論（Logical flow

test-extended），簡稱為 LFT-extended 計分理論。除保留邏輯流量計分理論所

考慮之連結值、方向性和有向邊之重要度等特色，該理論的各種性質也一併

45

保留，且更具有下列特點：（卓樹樣，2005）

一、解決了邏輯流量計分理論中，迷思概念所產生的不合理計分問題。

二、在受試者的 LFGs 都只缺少一個正確有向邊的條件下，每一個圖形

的評價結果與其所缺有向邊之重要度成負相關。

三、能依據評價結果，針對不同受試者提供補救教學之實施順序。

四、相較於邏輯流量計分理論，擴充之理論可減少評價結果同分之機會。

五、能針對非有向圖進行評分。

46

第三章 研究方法

本章係據前述研究目的及相關文獻探討，主要在探討國小六年級兒童比

概念之試題關聯結構圖以及進行兒童比概念之概念圖與教材地位之概念之差

異並將之量化。以下就研究架構、研究對象、研究工具及資料處理四個部分

於本章加以說明

第一節 研究架構

本研究依研究目的及文獻資料，提出研究架構，如圖 3-1-1，以利研究過

程之表達及說明：

圖 3-1-1 研究架構圖

兒童比概念 國小比概念教材

教材地位比概念圖 雙向細目表

進行預試 比概念教材編製

正式施測試題 抽樣班級施測

IRS 分析

兒童比概念圖

LFT-extended 分析

解釋概念圖差異量化結果

47

第二節 研究對象

本研究主要探討彰化地區國民小學六年級兒童的比概念結構與教材地位

之比概念結構的差異處。

就教材而言，彰化地區國小教科書版本，計由五家出版公司，分別為南

一書局、康軒文教公司、翰林出版公司、仁林文化公司以及牛頓開發教科書

公司所出版。其中「比與比值」單元於各版本中皆位於第十一冊，南一版於

十二單元中位於第十二單元、康軒版於十單元中位於第五單元、翰林版於十

單元中位於第九單元、仁林版於十單元中位於第九單元，牛頓版本第十一冊

未出版（九十五學年）。

故本研究之研究對象係指使用上述版本教科書，且學過「比與比值」相

關單元之國小六年級兒童，並採分層隨機抽樣，依彰化縣現行國民小學分級

制度，「智」、「仁」及「勇」三類中各類學校總班級數的比例來進行隨機抽樣。

經統計結果發現，智類學校總班級數共三百七十二班、仁類學校總班級數共

一百四十九班，勇類學校總班級數共七十五班。按此資料得分層比例依智、

仁、勇約為５：２：１。故選取智類學校五班，仁類學校兩班，勇類學校一

班合計八班。這些研究樣本，依研究流程，為避免使用相同受試樣本造成練

習的結果，在進行預試時取三個班級，正式施測取五個班級來進行。

48

第三節 研究工具

本研究須以自編測驗，佐以試題關聯結構分析法得到兒童之比概念階層

圖，再由擴充之邏輯流量測驗計分理論比較兒童之比概念階層圖及教材地位

之比概念階層圖之差異。故研究工具包含測驗編製，預試結果及相關之統計

分析軟體，茲說明如下：

壹、測驗編製

一、各版本之「比與比值」單元教材分析

49

（一）南一版

１、教材地位（引自張英傑，2006，p.413）

圖 3-3-1 南一版「比與比值」單元教材地位

◎第七、八冊

N-2-5

在等分好、整體１能

明顯出現之具體情境

中，能以真分數來描

述單位分數內容物為

多個個物的幾份，進

行同分母真分的合成

、分解活，並理解等

值分數的意義。

◎第十冊

N-2-6

在具體情境中，能以

假分數或帶分數描述

具體的量，並能解決

分數的合成、分解以

及簡單整數倍的問題

。

◎第十一冊

N-3-3

在具體情境中，理解

通分的意義並運用通

分解決異分母分數的

合成、分解問題。

◎本單元

1.能由生活情境中，

了解比和比值的意

義。

2.能藉由等值分數和

比值相等，了解相等

的比。

3.能將比化為最簡單

整數比。

4.能運用比解決生活

中有關的問題。

◎第十二冊

N-3-15

能在情境中理解

比、比例（包括正

比例和反比例）、

比值、率（百分

率、p.p.m.）的意

義。

50

２、教學活動（整理自張英傑，2006，p.412 ~ p.413）

表 3-3-1 南一版「比與比值」單元教學活動

活動名稱 教學目標

1-1 在生活情境中，認識比的意義。 活動一：比的意義

1-2 在生活情境中，認識比的記法和前項、後項。

活動二：比值 1-3 在生活情境中，認識比值的意義。

2-1 能藉由等值分數，認識相等的比。 活動三：相等的比

2-2 能藉由比值相等，理解相等的比並能用等號

記錄相等的比。

3-1 能藉由相等的比中，前項與後項互質，認識

最簡單整數比。

3-2 能將整數的比化為最簡單整數比。

3-3 能將分數的比化為最簡單整數比。

活動四：最簡單整數比

3-4 能將小數的比化為最簡單整數比。

4-1 能用相等的比解決生活中有關的問題。 活動五：比的應用

4-2 能應用比率解決總量與部分量的問題。

51

（二）康軒版

１、教材地位（引自張淑慧，2006，p.68）

圖 3-3-2 康軒版「比與比值」單元教材地位

◎第十冊

◇生活情境中數量的

變化關係。

◇擴分的意義、方法

及應用。

◇約分的意義、方法

及應用。

◎本單元

1.在具體情境中，理

解「比」、「比值」的

意義和表示法。

2.認識「相等的比」。

3.認識「最簡單整數

比」。

4.在情境中，認識兩

組數量成正比的意

義。

◎第十二冊

◇理解比率

◇生活中單位換算

◇平均速率的概念

◎第十四冊

◇了解比的性質

◇了解比例式

◇了解連比例的定

義

◇熟悉比例式性質

的運算和應用

◎第十七冊

◇相似形的意義

◇相似三角形

52

２、教學活動（整理自張淑慧，2006，p.67）

表 3-3-2 康軒版「比與比值」單元教學活動

活動名稱 教學目標

活動一：從交易活動中

經驗「比」

1-1 透過生活中交易情境，解決簡易數量間的比例問

題。

1-2 能用「比」來表示兩個數量的對應關係，並以「：」

的符號來記錄。

1-3 透過兩數量間的倍數關係，認識「比值」的意義。

活動二：比與比值

1-4 利用「比」的前項除以後項的商（分數），表示

「比值」。

2-1 透過比值相等，認識相等的比。 活動三：相等的比

2-2 透過擴分、約分，找出相等的比。

3-1 透過比的前項和後項，認識最簡單整數比。

3-2 能從相等的比中，找出最簡單整數比。

活動四：最簡單整數比

3-3 能將分數、小數的比，化為最簡單整數比。

4-1 在生活情境中，認識成正比的兩組數量間的關

係。

4-2 能發現成正比的兩個對應數量相除，其商不變

（比值相等）。

活動五：成正比

4-3 能判斷兩數量關係是否成正比。

53

（三）翰林版

１、教材地位（引自黃經良，2006，p.118）

圖 3-3-3 翰林版「比與比值」單元教材地位

第十一冊 第三單元

異分母分數的計算

約分

第十一冊 第八單元

分數的除法

用分數表示除的結果

活動１ 比、比值、相等的比

(1)以生活中的情境引入比的概念，認識比的意義。

(2)進行比的聽、說、讀、寫活動。

(3)在具體的情境中，透過比的前項除以後項，介紹比值的意義。

(4)利用比值的求算，決定兩個比是否相等。

活動２ 最簡單整數比

在情境中，從許多相等的比找出最簡單整數比，進而能利用前

項和後項約分的方式，求得比的最簡單整數比。

活動３ 整數和分數的比、整數和小數的比

利用將前項和後項化為共同的較小單位的方法，把比轉換成整

數的比。

活動４ 正比例

(1)利用兩組數量的記錄表，觀察兩組數量的關係，透過比值不

變的特性讓學生經驗成正比例的現象。

(2)認識正比例的關係圖。

活動 5 反比例

認識乘積不變的兩數，是反比例的關係。

第十二冊 第九單元 比例尺

54

２、教學活動（整理自黃經良，2006，p.116）

表 3-3-3 翰林版「比與比值」單元教學活動

活動名稱 教學目標

1-1 以生活中的情境引入比的概念，認識比的意義。

1-2 進行比的聽、說、讀、寫活動。

1-3 在具體的情境中，透過比的前項除以後項，介紹

比值的意義。

活動一：比、比值、相

等的比

1-4 利用比值的求算，決定兩個比是否相等。

活動二：最簡單整數比 2-1 在情境中，從許多相等的比找出最簡單整數比，

進而能利用前項和後項約分的方式，求得比的最

簡單整數比。

活動三：整數和分數的

比、整數和小數的比

3-1 利用將前項和後項化為共同的較小單位的方

法，把比轉換成整數的比。

4-1 利用兩組數量的記錄表，觀察兩組數量的關係，

透過比值不變的特性讓學生經驗成正比例的現

象。

活動四：正比例

4-2 認識正比例的關係圖。

活動五：反比例 5-1 認識乘積不變的兩數，是反比例的關係。

55

（四）仁林版

１、教材地位（引自柳賢，2006，p.169）

四、五年級 六年級 七年級（正綱）

圖 3-3-4 仁林版「比與比值」單元教材地位

N-2-5

在等分好、整體１能明顯

出現之具體情境中，能以

真分數來描述單位分數內

容物為多個個物的幾份，

進行同分母真分的合成、

分解活，並理解等值分數

的意義。

N-2-6

在具體情境中，能以假分

數或帶分數描述具體的量

，並能解決分數的合成、

分解以及簡單整數倍的問

題。

N-2-7

能以二位小數描述具體的

量，並解決二位小數的合

成、分解、比較及簡單整

數倍的問題。

N-2-9

能在保留概念形成後，進

行兩個同類量的間接比較

（利用完整複製）及個別

單位的比較（利用等量合

成的複製）（量：長度、容

量、重量、角度、面積、

本單元、第十二冊

N-3-15

能在情境中理解

比、比例（包括正

比例和反比例）、

比值、率（百分

率、p.p.m.）的意

義。

7-n-16

（N-3-5、N-3-6）

能理解比例的意義

（以實例說明正比

、反比關係的意義

）。

7-n-17（N-3-7）

能熟練比例式的基

本運算。

7-n-18（N-3-7）

能理解連比和連比

例的意義。

7-n-19

（N-3-5、N-3-7）

能熟練連比例式的

運用，如單位換算

、三角形面積與邊

長關係或圓面積與

半徑間的變化關係

。

56

２、教學活動（整理自柳賢，2006，p.170）

表 3-3-4 仁林版「比與比值」單元教學活動

活動名稱 教學目標

活動一：認識比 1-1 能了解比的意義、寫法及讀法。

活動二：認識比值 2-1 能了解比值的意義，並熟練比值的求法。

活動三：相等的比 3-1 能了解等比的意，並能依照給定的比寫出相

等的比。

活動四：最簡整數比 4-1 熟練比與比值化簡的方法，解決等比問題。

活動五：認識百分率 5-1 能了解比率及百分率的意義，並熟練百分率

的求法。

活動六：率的運算和 p.p.m. 6-1 用比率解決生活中的問題及理解 p.p.m.

二、教材地位之比概念結構

１、節點概念

教材地位之比概念結構圖，考量到施測試題之內容效度，以現行數學教

科書版皆有出現的教學活動來定位比概念之節點。

各版本有出現之教學活動如下表：

表 3-3-5 各版本之教學活動

南一版 比的意義比的意義比的意義比的意義、比值比值比值比值、相等的比相等的比相等的比相等的比、最簡單整數比最簡單整數比最簡單整數比最簡單整數比、比的應用。

康軒版 從交易活動中經驗「比」、比與比值比與比值比與比值比與比值、相等的比相等的比相等的比相等的比、最簡單整數比最簡單整數比最簡單整數比最簡單整數比、

成正比。

翰林版 比比比比、比值比值比值比值、相等的比相等的比相等的比相等的比、最簡單整數比最簡單整數比最簡單整數比最簡單整數比、整數和分數的比、整數和

小數的比、正比例、反比例。

仁林版 比比比比、比值比值比值比值、相等的比相等的比相等的比相等的比、最簡整數比最簡整數比最簡整數比最簡整數比、百分率、率的運算及 p.p.m.

57

由上表可知，各版本所共同之教學活動有：比的意義、比值的意義、相

等的比、最簡單整數比等四個概念，故以此四概念為教材地位結構圖之主要

概念節點。依據各版本之教材地位，此四概念節點之結構順序依序為：比的

意義→比值的意義→相等的比→最簡單整數比。

２、教材地位比概念結構圖

由教學目標及教材地位，得知形成主要概念節點及次要概要節點之順

序。整理如下圖：

次要概念 主要概念

圖 3-3-5 教材地位比概念結構圖

為方便分析，茲將圖 3-3-5 整理成圖 3-3-6：

比的意義

比值的意義

相等的比

最簡單整數比

因數及倍數的概念

前項及後項的意義

能將整數除法的商

以分數表示

通分的意義

58

圖 3-3-6 教材地位比概念結構圖

比的意義

比值的意義

相等的比

最簡單整數比

因數及倍數的概念

前項及後項的意義 能將整數除法的商

以分數表示

通分的意義

59

三、施測試題之雙向試目表

表 3-3-6 施測試題雙向細目表

未知數位置 轉換的方式 數值範圍 難易

向度

概念

節點

正向

活動

逆溯

活動

整數

倍的

轉換

單位

分數

倍的

轉換

真假

分數

的轉

換

整數

對整

數

分數

對整

數

分數

對分

數

合計

(100％)

組合 1 2 3 3 (7%)

母子 4 5 6 3 (7%)

交換 7 8 9 3 (7%)

比 的 意

義

密度 0 (0%)

比值的意義 10 11 12 3 (7%)

相等的比

24,

26,

28,

30,

32

34,

36,

38,

40

25,

27,

29,

31

33,

35,

37,

39,

41

24,

27,

30,

33,

36,

39

25,

28,

31

34,

37,

40

26,

29,

32

35,

38,

41

24,

28,

32,

33,

37,

41

25,

29,

30

34,

38,

39

26,

27,

31

35,

36,

40

18

(41%)

最簡單整數比 42 43 44 3 (7%)

前項後項的意義 13 14 15 3 (7%)

能將整數除法的

商以分數表示 16 17

16,

17 2 (5%)

因倍數的概念

18,

19,

20

3 (7%)

通分的意義

21,

22,

23

3 (7%)

合計 10 10 6 6 6 17 12 15 44 (100%)

60

貳、預試結果

試題編製完成後，將分層隨機抽樣所得之八所國民小學，取兩所智類小

學，暨一所仁類小學，三所小學各一班共三個六年級班級，共 87 位兒童，進

行試題預備性施測。

一、信度

以 Cronbach α 係數求得試題之內部一致性，得到的值約 0.906 ，是信

度可接受的預試試題。

二、難度

共做了 P 及 D，詳如下表 3-3-7 所示，大多數的題目難度皆在 0.4～0.8

間，難易度適中。難度大於 0.9 的題目，有小輻修正。

表 3-3-7 預試試題難度分析表

題號 P D 題號 P D 題號 P D

1 .7816 .6866 16 .8391 .7708 31 .7011 .6440

2 .8736 .8533 17 .8161 .7292 32 .6552 .6866

3 .8966 .8750 18 .9080 .8542 33 .9080 .8562

4 .7701 .7500 19 .8621 .7708 34 .8161 .7699

5 .8506 .7491 20 .9195 .8750 35 .6207 .4973

6 .5172 .3832 21 .7011 .6431 36 .7471 .6658

7 .9540 .9167 22 .4713 .4973 37 .8046 .7274

8 .9310 .8958 23 .5747 .4728 38 .5862 .5797

9 .9540 .9167 24 .8276 .7500 39 .4023 .6033

10 .6782 .6449 25 .7471 .7708 40 .7126 .6649

11 .7356 .7482 26 .4138 .4547 41 .4598 .5199

12 .4483 .3877 27 .7126 .6875 42 .7586 .7283

13 .5287 .5362 28 .8851 .8125 43 .4713 .5154

14 .3448 .3659 29 .4483 .6042 44 .4598 .5172

15 .8391 .7908 30 .5057 .4764

N=87，NPH=24，NPL=25。P=答對率，D=(pH+pL)/2。

61

三、鑑別度詳見下表 3-3-8，除第 6 題鑑別度 0.0163 偏低需修正外，多

數的題目都至少有 0.3 以上。另鑑別度低於 0.2 的題目有小輻修正。

表 3-3-8 預試試題鑑別度分析表

題號 d 題號 d 題號 d 題號 d

1 .5399 12 .4420 23 .4457 34 .3732

2 .2065 13 .4058 24 .5000 35 .7446

3 .2500 14 .3986 25 .4583 36 .5815

4 .5000 15 .3315 26 .7428 37 .3714

5 .4149 16 .4583 27 .6250 38 .4928

6 .0163 17 .5417 28 .3750 39 .7065

7 .1667 18 .2917 29 .7917 40 .4964

8 .2083 19 .4583 30 7862 41 .8732

9 .1667 20 .2500 31 .5380 42 .4565

10 .6232 21 .4529 32 .5399 43 .4475

11 .3297 22 .7446 33 .2917 44 .6178

N=87，NPH=24，NPL=25。d=pH－pL。

參、正式施測準備

俟預試結果之信度、難度及鑑別度分析，修改預試試題。再經一位教育

大學教授，五位現任國小高年級級任教師，進行專家效度的檢視，在不適合

國小六年級兒童的題目敘述再行修改，就成為正式施測的題目了。

62

第四節 資料處理

本研究採量化研究的分析方式，探究國小六年級兒童之比概念階層圖，

並與教材地位之比概念階層圖做比對，在紙筆測驗的分析處理，採 Excel 及

SPSS/PC 統計套裝軟體來進行試題信度、難度及鑑別度的分析。

在概念階層圖的繪製，則使用 Excel 軟體進行試題關聯係數的計算，並

使用 WORD 軟體進行試題關聯結構圖的繪製；與教材地位階層圖的比對評

分，則是使用 LFT-extended 軟體（卓樹樣，2005）來進行比對。

63

第四章 研究結果與分析

本研究之結果與分析，共分為四節，第一節為試題性質的分析，第二節

為試題關聯結構圖之繪製，第三節為試題關聯結構圖之分析與討論，第四節

為擴充之邏輯流量計分理論量化計分。

第一節 試題性質的分析

壹、信度分析

本研究之信度分析，採 Cronbach α 係數求得試題之內部一致性。經

SPSS/PC 分析得到的值約 0.914 ，是信度可接受的預試試題。另從表 4-1-1

可知，刪除某題後並未使 Cronbach α 之係數異常提高，與整體之 Cronbach's

α 係數相差不多。

表 4-1-1 正式施測 Cronbach α 信度分析表

題號 Alpha if

Item Del. 題號

Alpha if

Item Del. 題號

Alpha if

Item Del. 題號

Alpha if

Item Del.

1 .913 12 .912 23 .914 34 .912

2 .912 13 .913 24 .912 35 .911

3 .913 14 .914 25 .913 36 .913

4 .913 15 .910 26 .911 37 .912

5 .914 16 .913 27 .911 38 .912

6 .912 17 .911 28 .911 39 .912

7 .915 18 .913 29 .912 40 .911

8 .911 19 .912 30 .911 41 .911

9 .912 20 .912 31 .912 42 .911

10 .913 21 .915 32 .910 43 .912

11 .914 22 .913 33 .911 44 .913

正式施測整體.Cronbach α 係數＝0.914。

64

貳、效度分析

郭生玉（1989）認為效度需要測驗分數的一致性和正確性。可見良好的

效度往往比僅具良好的信度還重要。本研究之效度分析，採用內容效度及專

家效度，茲分述如下：

一、內容效度

本研究之測驗工具為能涵蓋現行國小六年級數學科教科書的教學目標及

教材內容，除於第三章中整理各版本教學目標外，並利用雙向細目表進行命

題前置作業，命題完成後再根據試題檢核表項逐一檢視編製好的試題，並進

行三個班級的預試，依據預試結果之信度、效度及鑑別度的數據，修正造成

試題品質不良的題目，以提升試題的內容效度。故本測驗所有試題均符合「比

與比值」單元教學目標及教材內，並且合乎試題檢核表所列試題編製要點編

製，具備內容效度。

二、專家效度

本研究之測驗工具均經專精國小數學科教材教法與測驗的教育大學教

授，以及五位教學經驗豐富的國小現職教師，針對本研究工具進行專家效度

問卷的填寫，提供有關本測驗的試題修改意見，使整份試題更臻完美。

參、難易度分析

本研究難易度分析根據測驗理論，由受試者依得分高低排序中取前 27％

為高分組、後 27％為低分組，再依高分組答對率與低分組答對率的平均數，

來決定試題的難易度。如表 4-1-2 所示：

65

表 4-1-2 正式施測難易度分析表

Item P PH PL D Item P PH PL D

1 .915 1.000 .760 .880 23 .721 .922 .520 .721

2 .921 1.000 .740 .870 24 .964 1.000 .820 .910

3 .970 1.000 .840 .920 25 .806 .941 .580 .761

4 .849 .961 .680 .820 26 .655 .941 .260 .601

5 .867 .961 .740 .850 27 .800 .922 .460 .691

6 .933 .980 .760 .870 28 .915 1.000 .700 .850

7 .806 .824 .700 .762 29 .697 .961 .340 .650

8 .834 .980 .500 .740 30 .691 .980 .340 .660

9 .964 .980 .820 .900 31 .812 .941 .560 .751

10 .606 .824 .320 .572 32 .721 .980 .220 .600

11 .497 .745 .280 .513 33 .933 1.000 .720 .860

12 .721 1.000 .440 .720 34 .849 .961 .600 .780

13 .527 .843 .240 .542 35 .764 .941 .400 .671

14 .558 .804 .340 .572 36 .818 .961 .600 .780

15 .891 1.000 .600 .800 37 .909 .980 .720 .850

16 .970 1.000 .820 .910 38 .685 .961 .380 .670

17 .915 1.000 .680 .840 39 .612 .961 .240 .600

18 .976 .980 .880 .930 40 .758 .961 .340 .650

19 .958 1.000 .800 .900 41 .679 .980 .260 .620

20 .976 1.000 .840 .920 42 .794 .980 .440 .710

21 .776 .902 .660 .781 43 .527 .902 .160 .531

22 .782 .922 .520 .721 44 .606 .902 .280 .591

N＝169，i＝44，NPH＝51，NPL＝50

66

肆、鑑別度分析

在鑑別度的分析上，採高分組答對率 PH 減低分組的答對率 PL，得到之

鑑別度指數 d，如下表 4-1-3 所示，有 84％的題目，鑑別度在 0.2 以上，更有

48％的題目，鑑別度超過 0.4，顯示本研究之正式施測題目有鑑別度。

表 4-1-3 正式施測鑑別度分析表

題號 d 題號 d 題號 d 題號 d

1 .240 12 .56 23 .402 34 .361

2 .260 13 .603 24 .180 35 .541

3 .160 14 .464 25 .361 36 .361

4 .281 15 .400 26 .681 37 .260

5 .221 16 .180 27 .462 38 .581

6 .220 17 .320 28 .300 39 .721

7 .124 18 .100 29 .621 40 .621

8 .480 19 .200 30 .640 41 .720

9 .160 20 .160 31 .381 42 .540

10 .504 21 .242 32 .760 43 .742

11 .465 22 .402 33 .280 44 .622

N＝169，i＝44，NPH＝51，NPL＝50

67

第二節 試題關聯結構圖之繪製

在彰化縣六年級兒童之比概念階層圖的繪製中，因顧及每一概念節點的

代表性足夠及包含該概念之所有子概念，所以在施測題目的設計上，在每一

概念節點上，研究者皆設計有兩題甚或兩題以上的施測試題，如下圖 4-2-1

所示：

圖 4-2-1 施測試題概念節點題目分布圖

所有 44 題的施測題目，所繪出的試題關聯結構分析圖，是概念離散且交

錯邊過多的不佳結構圖，為避免產生不佳的比概念結構圖，並失去結構圖真

正的潛在訊息，研究者將每位受測兒童在每一概念節點的所有題目，反應出

來的答對得分，以答對算 1 分，答錯得 0 分來計算，算出總平均得分，四捨

比的意義

1 ~ 9

比值的意義

10 ~ 12

相等的比

24 ~ 41

最簡單整數比

42 ~ 44

因數及倍數的概念

18 ~ 20

前項及後項的意義

13 ~ 15

能將整數除法的商

以分數表示

16、17

通分的意義

21 ~ 23

68

五入得一平均得分，若為 0.5 以上，則此視為該受測者在此概念節點上是瞭

解的，此概念節點視為答對並記分為 1；反之，若概念節點的所有題目的平

均得分小於 0.5，則視為該受測者在此概念節點上是不瞭解的，此概念節點視

為答錯，並記分為 0。

舉例來說，以「比值的意義」此概念節點來看，若甲生在此概念節點的

子題 10、11 及 12 題中，答題情形分別是第 10 題和第 11 題答對、第 12 題答

錯，原始記分分別為 1、1、0，計算其平均為 0.66，大於 0.5，故「比值的意

義」這個概念節點，就視為甲生是答對的，得分記為 1。

以上述說明的比概念結構圖取分方式，配合試題關聯順序性係數 0.5，繪

製六年級兒童之比概念結構圖，如下圖 4-2-2 所示，是較簡潔易懂，更能透

露其潛在訊息的比概念結構圖。

69

答對率

圖 4-2-2 六年級兒童之比概念結構圖（r jk

＊≧0.5）

能將整數除法的商

以分數表示

16、17

通分的意義

21 ~ 23

比的意義

1 ~ 9

比值的意義

10 ~ 12

相等的比

24 ~ 41

最簡單整數比

42 ~ 44

因數及倍數的概念

18 ~ 20

前項及後項的意義

13 ~ 15

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

70

第三節 試題關聯結構圖之分析與討論

回應本研究之研究目的，必須運用第二章所提到之試題關聯結構分析

法，得出並繪製出六年級兒童之比概念階層圖，並於本節中，對彰化縣六年

級兒童之比概念結構加以分析，並作適當的討論。

壹、六年級兒童整體比概念試題關聯結構圖的分析與討論

一、橫斷層面分析

首先就八個概念節點的答對率高低，就橫斷層面分析六年級兒童所呈現

出來的比概念結構與教材地位的比概念結構有何差異，八個概念節點的答對

率如下表 4-3-1 所示：

表 4-3-1 概念節點答對率

答 對 率 概 念 節 點 名 稱 包 含 題 號

比的意義 1～9

能將整數除法的商以分數表示 16、17

高答對率

0.95～1.00

因數及倍數的概念 18、19、20

通分的意義 21、22、23 中答對率

0.80～0.86 相等的比 24～41

比值的意義 10、11、12

前項及後項的意義 13、14、15

低答對率

0.55～0.61

最簡單整數比 42、43、44

71

（一）從表 4-3-1 可以觀察出，高答對率的三個概念節點，「比的意義」、

「能將整數除法的商以分數表示」以及「因數及倍數的概念」皆屬初級定義

及前備知識概念，故受測的六年級兒童在這方面表現佳，與教材地位結構圖

的呈現亦同。

（二）在中答對率的兩個概念節點中，其中，「通分的意義」建立在「因

倍數的概念」上，在受測六年級兒童的比概念結構圖亦有呈現出上下位的關

係，既是如此，「通分的意義」概念節點的答對率比「因倍數的概念」略高，

符合比概念教材地位概念結構的期望。而相等的比，在比概念教材地位中，

屬中高難度，應其須具備「比的意義」及「比值的意義」兩概念，才能達到

此階層，從受測兒童的比概念結構亦是符合的。

（三）在低答對率方面，「最簡單整數比」的概念，在比概念單元中，屬

最後達成的階層，因其須綜合所有相關概念才能達成，所以呈現出來的答對

率偏低，此點與教材地位結構圖所呈現的一致。但「比值的意義」及「前項

及後項的意義」在教材地位結構圖中，應屬高答對率的下位概念，結果於兒

童比概念結構中，竟是最上位概念，此耐人尋味的結果，將在下一部分探討

分析。

二、比概念結構圖之分析與討論

（一）從圖 4-2-2 中，可以明顯看出主要結構在「因數及倍數的概念」

→「比的意義」→「相等的比」→「最簡單整數比」，此主要結構與比概念教

材地位結構圖的主要結構：「比的意義」→「比值的意義」→「相等的比」→

「最簡單整數比」中，「比的意義」、「相等的比」、「最簡單整數比」這三個概

念的上下位是相同的，唯一不同之處在於「比值的意義」，於六年級兒童的比

72

概念結構中，「比值的意義」居於上位，研究者推測這可能是臺灣兒童的通病，

在數學的學習上，往往只重計算，而忽略基本定理，所造成的結果。除此之

外，六年級兒童所呈現出來的主要概念結構，顯示出兒童在學習上是先學會

「因數及倍數的概念」，再學會「比的意義」，然後再「相等的比」，最後才能

對「最簡單整數比」有進一步的瞭解，這與教材的安排是相去不遠。

（二）除主概念結構外，另四個概念：「通分的意義」、「能將整數除法的

商以分數表示」、「比值的意義」、「前項及後項的意義」，後兩項基本定理「比

值的意義」及「前項及後項的意義」在最上位的原因，應是同（一）之推測，

六年級兒童忽視，又或是根本不瞭解原理所致，當然真正原因仍須容待後續

探討。而「通分的意義」在「因數及倍數的概念」的上位，與比概念教材地

位結構圖是相符合的，顯示六年級兒童在學會因數及倍數的概念後，才能進

一步學會並瞭解通分的意義，這一點的學習結果，是回饋教材的學習安排的。

（三）「能將整數除法的商以分數表示」在「相等的比」的下位，亦不難

看出其與「比值的意義」的上下位關係，因「相等的比」在「比值的意義」

的下位，所以「能將整數除法的商以分數表示」亦可看成是「比值的意義」

的下位概念，這一上下位概念的關係，與教材地位的安排恰好一致，略有不

同之處只在於兒童的比概念結構呈現出來的上下位關係，多了一個「相等的

比」，在這方面可能是六年級兒童在「相等的比」概念的學習上，有較多的計

算，而「能將整數除法的商以分數表示」是一個操作型定義的概念所致。

（四）至於為何「前項及後項的意義」及「比值的意義」會成為最上位

的概念，除在（二）（三）做了大略的推測外，於下一部分，針對各個概念間

的試題關聯結構分析，於試題題目的分析討論中，再做探究分析。

73

貳、六年級兒童比概念之子概念試題關聯結構圖的分析與討論

一、「比的意義」概念結構圖分析

（一）橫斷層面分析

首先就「比的意義」概念節點的九個題目答對率高低，就橫斷層面分析

六年級兒童所呈現出來的比概念結構，九個題目的設計概念及答對率如下表

4-3-2 所示：

74

表 4-3-2 「比的意義」概念題目原理及答對率

答 1 比率 高分組

答對率 答 2 比率

答 3 比率 題號 答對率

低分組

答對率 答 4 比率

概 念 原 理

0.07 1.00

0.04

*0.89 1 0.89

0.76 0.00

(1) 數值範圍：整數對整數

(2) 組合意義

0.05 1.00

*0.90

0.01 2 0.90

0.74 0.04

(1) 數值範圍：分數對整數

(2) 組合意義

0.02 1.00

0.02

0.01 3 0.95

0.84 *0.95

(1) 數值範圍：分數對分數

(2) 組合意義

0.04 0.96

*0.83

0.02 4 0.83

0.68 0.11

(1) 數值範圍：整數對整數

(2) 母子意義

0.07 0.96

0.07

*0.85 5 0.85

0.74 0.01

(1) 數值範圍：分數對整數

(2) 母子意義

0.02 0.98

*0.91

0.06 6 0.91

0.76 0.01

(1) 數值範圍：分數對分數

(2) 母子意義

0.04 0.82

0.15

*0.79 7 0.79

0.50 0.03

(1) 數值範圍：整數對整數

(2) 交換意義

0.07 0.98

0.07

0.04 8 0.82

0.82 *0.82

(1) 數值範圍：分數對整數

(2) 交換意義

0.02 0.98

0.02

*0.94 9 0.94

0.32 0.02

(1) 數值範圍：分數對分數

(2) 交換意義

75

1、 從表 4-3-2 中可知，在「比的意義」概念的九個題目中，除第 7 題

外，餘題目的答對率皆有 0.8 以上，可知六年級兒童在「比的意義」概念上，

大多數的人是瞭解並學會的。

2、 在「比的組合意義」方面，三個問題的平均答對率有 0.91，但在數

值範圍方面，按教材地位及研究者原先的題目設定，由簡單到困難應是「整

數對整數」→「分數對整數」→「分數對分數」，但由表 4-2-2 卻是相反的情

形，從答對率高到低是「分數對分數」→「分數對整數」→「整數對分數」，

研究者認為應是受測兒童在回答問題時，未看清題目，甚或搞錯題意所致，

由施測試題第一題題目：「王媽媽上街買了 1 箱柳丁，其中分 7 顆給小陳，分

11 顆給老李，分 15 顆給小莉，請問小陳與老李所分到柳丁數量的比為下列

何者？」可看出此題並無特別難度，有可能會寫錯的原因極可能是粗心大意

所造成。

3、 在「比的母子意義」方面，三個問題的平均答對率有 0.86，但在數

值範圍方面，亦出現答對率與教材地位及研究者題目設定相反的狀態，顯示

受試兒童在面對愈簡單的題目時，愈容易粗心答錯。但在「比的母子意義」

方面，平均答對率較「比的組合意義」答對率來得低，顯示學生在「比的母

子意義」上的瞭解，不如「比的組合意義」來得好，這一點與楊錦蓮（1999）

的研究結果相同。

4、 在「比的交換意義」方面，三個問題的平均答對率有 0.85，是三種

比的意義：組合意義、母子意義、交換意義中答對率最低的，顯示受試兒童

在面對交換問題時，是較不容易瞭解其意義，並答對問題的，尤其第 7 題的

題目：「阿凱拿 3 顆蘋果，到水果攤可以換 5 顆橘子，或是換 8 根香蕉。請問

76

同樣的價錢，可以買到的蘋果與香蕉的個數比為下列何者？」，並沒有明顯答

錯的要素，為何答對率只有 0.79，實在頗令人費思。或許只能歸因於受試兒

童未看清題目就倉促作答。

（二）試題關聯結構圖分析

答對率

圖 4-3-1 「比的意義」概念試題關聯結構圖（r jk

＊≧0.5）

0.7

0.8

0.9

1.0

1

2

8

4

5

7

3

6

9

77

1、 從圖 4-3-1 可知有一主要結構在題目 3、6、9、8 題，呈現的上下位

關係分別在於題目 3 及題目 9 有等價關係，題目 3 及題目 9 則同是題目 6 的

下位關係，而在主要結構的最上位則是題目 8。另題目 2 亦是題目 3 及題目 9

的共同上位，題目 4 則僅是題目 3 的上位、題目 1 僅是題目 9 的上位，最後

與所有題目無上下位關係的有題目 5 及題目 7。

2、 在允許誤差的情形下，題目 3、6、9 可同視為等價關係，成一等價

群，代表受測的六年級兒童在題目 3、6、9 這三題中呈現的是一個等價關係，

此三題分別是比的組合意義、母子意義及交換意義在數值範圍是分數對分數

時的題目，由此可知受試六年級兒童在面對不同比的意義的比概念問題時，

在分數對分數的數值範圍中，不同比的意義的比概念題目，影響小於數值範

圍，才造成因數值範圍造成的等價關係，此發現可回應教材地位的安排及施

測題目的設計原理。

3、 在允許誤差的情形下，題目 3、9、2 亦可同視為等價關係，推測可

能因第 2 題的題目：「姊姊剪了一塊 10 公尺的布，其中 22

1公尺做成衣服，3

公尺做成褲子，13

1公尺做成圍巾，請問姊姊用來做褲子及圍巾的布長比為下

列何者？」中，數值範圍除原先設定之分數對整數的組合，亦可見分數對分

數的組合，在受試兒童解題時，會出現此三題等價的結果。

4、 題目 5 及題目 7 跟其餘所有題目沒有上下位關係，由橫斷分析就可

知道這兩題的答對率在「比的意義」概念的九個題目中，算是低的，尤其是

題目 7，是最低的，而造成答對率這麼低的原因，就如同橫斷分析時所說，

大部分答錯此題的受試兒童都是未看清題目就倉促作答，從答錯的受試兒童

的選擇來看，第 5 題的題目：「麵包師傅做麵條，每 15 公克的麵條中，都含

78

有 2 公克的鹽，和4

1公克的糖，請問麵條與糖的公克數比為下列何者？①

15：2② 2：4

1③ 15：

4

1④

4

1：15」中正確答案是 3，而答 1 及答 2 的受試

兒童在 169 位正式施測的六年級兒童中就各佔了 12 位，另第 7 題的題目：「阿

凱拿 3 顆蘋果，到水果攤可以換 5 顆橘子，或是換 8 根香蕉。請問同樣的價

錢，可以買到的蘋果與香蕉的個數比為下列何者？① 3：5② 5：8③ 3：8④ 8：

3」中，正確答案是 3，而答 2 的受試兒童就有 25 位，高分組的答對率只有

0.82，低分組答對率有 0.70，並無明顯鑑別，可見兒童作答時的粗心，高分

組跟低分組答錯的比率差不多。因此，在非觀念不對而答錯的情形過多下，

應是此兩題與其他題目無上下位關係的原因。

二、「比值的意義」概念結構圖分析

（一）橫斷層面分析

首先就「比值的意義」概念節點的三個題目答對率高低，就橫斷層面分

析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，三個題目的設計概念及答對率如下

表 4-3-3 所示：

79

表 4-3-3 「比值的意義」概念題目原理及答對率

答 1 比率 高分組

答對率 答 2 比率

答 3 比率 題號 答對率

低分組

答對率 答 4 比率

概 念 原 理

0.02 0.82

0.01

*0.59 10 0.59

0.32 0.38

數值範圍：整數對整數

0.41 0.75

0.04

0.06 11 0.49

0.28 *0.49

數值範圍：分數對整數

*0.70 1.00

0.11

0.11 12 0.70

0.44 0.08

數值範圍：分數對分數

1、 從表 4-3-3 中可知，在「比值的意義」概念的三個題目中，除第 12

題的答對率有 0.7 外，餘兩題的答對率都略為偏低，可知受試兒童在「比值

的意義」概念的瞭解不是相當充份。

2、 在第 10 題中，答對率是偏低的 0.59，高分組的答對率有 0.82 而低

分組的答對率僅有 0.32，在鑑別度來說是相當高的。在第 10 題題目：「姐姐

買了一束玫瑰花，其中黃色的有 7 朵、紅色的有 6 朵、白色的有 5 朵，共 18

朵，請問紅色玫瑰花和全部玫瑰花朵數的比值是多少？① 6

7② 6：7③

18

6④

6：18」中，選擇 4 而答錯的人佔了 38％，超過了猜題率 25％相當多，且多

是低分組的受試兒童答錯，推測可能原因是題目原本第 1～9 題都是問「比的

意義」，而到第 10 題時，問得是「比值的意義」的概念，所以大多數答 4 的

受試兒童，都將此題當作是在問「比」而答錯，且以低分組的受試兒童最易

犯此錯誤。

80

3、 在第 11 題中，答對率依然偏低，由表 4-2-3 中選答各選項的比率中

來看，此題的答對率偏低的原因應是與第 10 題相同，從第 11 題的題目：「一

個大餅，小明吃了4

3個，請問小明吃掉的大餅與整個大餅的比值為下列何者？

① 4

3：1②

3

1③ 3：4④

4

3」中不難看出立證之點，且誘答力最高的選項就

排在第 1 題，導致此題的答對率更低，連高分組的受試兒童都有約4

1的人答

錯。

4、 第 12 題的答對率相對第 10 題及第 11 題是較高的 0.70，研判是選項

中不再有誘答力高的「比」的選項是主因，但分數的比值計算亦須有較高的

計算能力，故答對率無法太高，此題原本就應是「比值的意義」概念三題中

答對率最低的，但因第 10 題及第 11 題的關係，此題成為「比值的意義」概

念三題中答對率最高的一題，最後影響到受試兒童的比概念試題關聯結構圖。

（二）試題關聯結構圖分析

81

答對率

圖 4-3-2 「比值的意義」概念試題關聯結構圖（r jk

＊≧0.5）

1、 從圖 4-2-4 可明顯看出，因誘答力大的選項而致答對率偏低的第 10

題及第 11 形成上下位關係，反而較無誘答力高選項的第 12 題，是與第 10

題及第 11 題無上下位關係的。

2、 第 10 題及第 11 題上下位關係的形成在於第 10 題及第 11 題的誘答

選項原理一致，但第 10 題的誘答選項安排在第 4 選項，第 11 題的誘答選項

0.4

0.5

0.6

0.7 12

10

11

82

安排在第 1 選項，所以會答錯第 10 題的受試兒童，大多數的人都會再答錯第

11 題，且還會再有原本答對第 10 題的人，在第 11 題時卻答錯了。以致第 10

題成為第 11 題的下位。

3、 第 12 題因無類似的誘答選項，且選項的誘答力較不高，所以反應出

來反而與另兩題無上下位關係。

三、「前項後項的意義」概念結構圖分析

（一）橫斷層面分析

首先就「前項後項的意義」概念節點的三個題目答對率高低，就橫斷層

面分析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，三個題目的設計概念及答對率

如下表 4-3-4 所示：

表 4-3-4 「前項後項的意義」概念題目原理及答對率

答 1 比率 高分組

答對率 答 2 比率

答 3 比率 題號 答對率

低分組

答對率 答 4 比率

概 念 原 理

0.42 0.84

*0.52

0.04 13 0.52

0.24 0.02

數值範圍：整數對整數

0.34 0.80

0.07

*0.55 14 0.55

0.34 0.04

數值範圍：分數對整數

0.04 1.00

*0.87

0.04 15 0.87

0.60 0.05

數值範圍：分數對分數

83

1、 從表 4-3-4 中可知，在「前項後項的意義」概念的三個題目中，除

第 15 題的答對率有 0.87 外，餘兩題的答對率都略為偏低，可知受試兒童在

「前項後項的意義」概念的瞭解不是相當充份，與「比值的意義」概念的三

題答對率的情形頗為類似。

2、 在第 13 題中，答對率是偏低的 0.52，高分組的答對率有 0.84 而低

分組的答對率僅有 0.24，甚至低於猜題率。在第 10 題題目：「弟弟做了一個

長 7 公分，寬 5 公分，高 4 公分的箱子，請問長與高的比中，前項是多少？

① 7 公分② 7③ 5 公分④ 4」中，以及選答 1 的錯誤比例高達 0.42 的情形，

不難看出受試的六年級兒童對「前項後項的意義」觀念不清楚。因為比是代

表任意兩數量，因某種原因而產生的關係，是一種序對形式的記錄方式（周

筱亭、黃敏晃，2002），記錄符號是無須單位的，但大多數的受試兒童卻選擇

了有單位的前項，連高分組的答對率都僅有 0.84。

3、 在第 14 題中，答對率依然偏低，且此題的答對率偏低的原因應是與

第 13 題相同，多數的人認為前項及後項是有單位的。

4、 第 15 題題目：「有一工程，甲一天可做8

1，乙一天可做

9

1，丙一天

可做7

1，請問同樣做一天，乙和丙所做的工作量比中，前項是下列何者？①

9② 9

1③

7

1④ 8」中，因為對等兩關係並無單位，所以沒有發生類似第 13

題或第 14 題的選答錯誤情形，這一題的答對率是較常態的 0.87。

（二）試題關聯結構圖分析

84

答對率

圖 4-3-3 「前項後項的意義」概念試題關聯結構圖（r jk

＊≧0.5）

1、 從圖 4-3-3 中，可以明顯看出有一等價群，第 13 題及第 14 題，兩

題的題目結構類似，答對率相去不遠，而且答錯的原因都是一樣因為「比」

的單位所致答錯，故此兩題會成等價關係。

2、 第 15 題與第 13 題及第 14 題與上下位關係，應是可預期的結果，因

為第 15 題的選項沒有單位，造成受試兒童產生的試題關聯結構與其餘兩題截

0.5

0.6

0.9

15

14

13

85

然不同，自成一格。

四、「能將整數除法的商以分數表示」概念結構圖分析

（一）橫斷層面分析

首先就「能將整數除法的商以分數表示」概念節點的兩個題目答對率高

低，就橫斷層面分析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，兩個題目的設計

概念及答對率如下表 4-3-5 所示：

表 4-3-5 「能將整數除法的商以分數表示」概念題目原理及答對率

答 1 比率 高分組

答對率 答 2 比率

答 3 比率 題號 答對率

低分組

答對率 答 4 比率

概 念 原 理

*0.95 1.00

0.01

0.01 16 0.95

0.82 0.03

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 數值範圍：整數對整數

0.02 1.00

0.05

0.04 17 0.89

0.68 *0.89

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 數值範圍：整數對整數

1、 第 16 題及第 17 題測驗的是「能將整數除法的商以分數表示」的概

念，從表 4-3-5 可以看出受試的六年級兒童在這個概念上的答對率都有 0.9 上

下，表示在「能將整數除法的商以分數表示」的概念上，受試兒童是理解並

能操作的。

2、 第 16 題題目：「5÷13＝（ ），（ ）中的答案可以是下列何者？①

13

5② 65③ 18④

5

13」中，可以看出六年級受試兒童在「將整數除法的商以

86

分數表示」的概念的正向活動上是充分瞭解並能正確操作的，高分組方面有

100％的兒童是答對的，低分組亦有 0.82 的高答對率。

3、 在第 17 題中，因是「能將整數除法的商以分數表示」概念的逆向活

動，所以答對率比第 16 題略低，這與教材地位與施測試題的設計題相吻合

的，雖然從選項 2 的選答率可以看出些許的誘答力，但仍只有 0.05 的兒童受

影響，大體來說，「能將整數除法的商以分數表示」概念的逆向活動可以說受

試兒童是充分瞭解並能正確操作的概念。

（二）試題關聯結構圖分析

87

答對率

圖 4-3-4 「能將整數除法的商以分數表示」概念試題關聯結構圖（ r jk

＊≧0.5）

1、 從圖 4-3-4 中可明顯看出，第 17 題是第 16 題的上位概念，表示出

兒童在學習「能將整數除法的商以分數表示」的正向活動與逆向活動時，正

向活動是較容易且較快學會的，逆向活動則須在正向活動有充分瞭解後來能

學習。

2、 建議國小教師在做「能將整數除法的商以分數表示」的概念教學時，

0.8

0.9

1.0

17

16

88

能先教正向活動，再進行逆向活動會比較符合兒童的概念發展，並符合教材

地位結構圖的設計。

五、「因倍數的概念」概念結構圖分析

（一）橫斷層面分析

首先就「因倍數的概念」概念節點的三個題目答對率高低，就橫斷層面

分析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，三個題目的設計概念及答對率如

下表 4-3-6 所示：

表 4-3-6 「因倍數的概念」概念題目原理及答對率

答 1 比率 高分組

答對率 答 2 比率

答 3 比率 題號 答對率

低分組

答對率 答 4 比率

概 念 原 理

*0.95 0.98

0.02

0.02 18 0.95

0.88 0.01

數值範圍：整數對整數

0.04 1.00

*0.94

0.01 19 0.94

0.80 0.01

數值範圍：整數對整數

0.01 1.00

0.01

*0.96 20 0.96

0.84 0.02

數值範圍：整數對整數

1、 從表 4-3-6 中，不難看出「因倍數的概念」的三題題目，答對率都

在 0.95 上下，對六年級的兒童而言，「因倍數的概念」應是一前備知識，從

答對率亦不難看出，六年級兒童在進行「比概念」的教學時，前備知識「因

倍數的概念」已經準備妥當了。

89

2、 從各題的答對率來說，這三題的答對率都相當高，值得一提的是第

19 題，有 0.04 的受試兒童選擇 1 的答案，從第 19 題的題目：「下列哪一個不

是「54」的因數？① 3② 5③ 6④ 9」中，或許選擇 1 選項的兒童是以題目的

54 除以 3 是須借位的，或者是商是二位數的原因，造成計算或是判斷的錯誤

而選擇錯誤的選項。

（二）試題關聯結構圖分析

答對率

圖 4-3-5 「因倍數的概念」概念試題關聯結構圖（r jk

＊≧0.5）

0.90

0.95

1.00

19

20

18

90

1、 從圖 4-3-5 中可明顯看出，第 20 題是第 19 題的下位概念，但若是

調整試題關聯結構係數為 0.4 的話，這兩題將是等價的關係，也就是說，若

允許合理誤差，第 19 題及第 20 題是概念結構相似的題目。從第 19 題題目：

「下列哪一個不是「54」的因數？① 3② 5③ 6④ 9」及第 20 題題目：「下列

哪一個不是「63」的因數？① 7② 9③ 13④ 21」中不難看出兩題問得皆是因

數的概念，形成等價是合理的結果。

2、 至於第 18 題，由題目：「下列哪一個數不是「9」的倍數？① 3② 9③

18④ 81」中選項可知問得多數是倍數的問題，所以與第 19 題和第 20 題問得

是因數不同，以致與第 19 題和第 20 題無法形成上下位的關聯應該也是合理

的結果呈現。

六、「通分的意義」概念結構圖分析

（一）橫斷層面分析

首先就「通分的意義」概念節點的三個題目答對率高低，就橫斷層面分

析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，三個題目的設計概念及答對率如下

表 4-3-7 所示：

91

表 4-3-7 「通分的意義」概念題目原理及答對率

答 1 比率 高分組

答對率 答 2 比率

答 3 比率 題號 答對率

低分組

答對率 答 4 比率

概 念 原 理

*0.76 0.90

0.08

0.14 21 0.76

0.66 0.02

數值範圍：整數對整數

0.01 0.92

0.12

0.11 22 0.76

0.52 *0.76

數值範圍：整數對整數

0.02 0.92

0.07

0.21 23 0.70

0.52 *0.70

數值範圍：整數對整數

1、 從表 4-3-7 中，「通分的意義」概念的三個題目答對率不算高，也不

可說低，大約在 0.7 左右，這個數值代表著受試兒童在「通分的意義」這個

概念上並非完全瞭解，但也不至於完全不懂，不過可再次驗證兒童在面對基

本定義的學習，沒有計算能力的學習來得好。

2、 在表 4-3-7 中，第 21 題主要答錯的是選項 2 及選項 3，從題目：「在

3

2、

24

18、

2

1三個分數中，將

3

2化為

12

8、

24

18化為

12

9及

2

1化為

12

6，使三數分

母相同以方便比較分數大小的運算方式，稱之為下列何者？① 通分② 約分

③ 擴分④ 均分」中可知，選答錯誤選項 2、選項 3 的受試兒童並不瞭解何

謂「通分」，且「約分」及「擴分」是「通分」的兩種方法，受試兒童在讀到

題目「將3

2化為

12

8」這裡時，就選了選項 3 的「擴分」，比率達 0.14 之多，

次多錯誤比率就發生在選項 2 的「約分」。

92

3、 第 22 題是分數比大小的通分運用，考驗的是受試兒童的計算能力，

在這一題的題目：「6

4、

36

18、

9

7三個分數中，最大的分數是哪一個？①

20

12②

6

4③

36

18④

9

7」中不難發現，選項 1 是較無誘答力的選項，因其未在三個分

數中，另兩個選項 2 及選項 3 就有較大的誘答力，受試兒童計算通分的能力

若未完備，就會有許多人選答選項 2 或選項 3。

4、 第 23 題題目：「下列有關通分的敘述何者是錯誤的？① 比較分數大

小時，通常會用通分的方法。② 擴分是通分的一種方式③ 約分是通分的一

種方式④ 如果分數無法通分比較大小，還有均分的方法可以用。」中，可明

顯看出問得是通分的定義，與第 21 題雷同，從選答選項 3 的人高達 0.21 的

比率就可知道受試兒童較傾向認同擴分是通分的一種方式，而非約分。

（二）試題關聯結構圖分析

93

答對率

圖 4-3-6 「通分的意義」概念試題關聯結構圖（r jk

＊≧0.5）

1、 從試題關聯結構圖中，可以發現「通分的意義」概念的三個題目彼

此之間並無上下位的關聯。

2、 從三題的題目來看，第 22 題是偏向計算的題目，第 21 題及第 23

題問得是相關通分的意義，此兩題較相似，應會有關聯性，或許是因為第 23

題問得是何者是錯誤的。又或者是受試兒童在「通分的意義」上的概念是混

0.70

0.75

0.80

21

22

23

94

淆的，答錯其中一題者，往往其餘兩題不一定會答錯，胡亂猜測也是有可能

的。

七、「相等的比」概念結構圖分析

（一）橫斷層面分析

首先就「相等的比」概念節點的十八個題目答對率高低，就橫斷層面分

析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，十八個題目的設計概念及答對率如

下表 4-3-8 所示：

表 4-3-8 「相等的比」概念題目原理及答對率

答 1 比率 高分組

答對率 答 2 比率

答 3 比率 題號 答對率

低分組

答對率 答 4 比率

概 念 原 理

0.02 1.00

0.02

*0.95 24 0.95

0.82 0.01

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：整數倍的轉換

(3) 數值範圍：整數對整數

0.07 0.94

*0.79

0.05 25 0.79

0.58 0.09

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：單位分數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對整數

*0.64 0.94

0.16

0.12 26 0.64

0.26 0.08

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：真假分數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對分數

0.06 0.92

*0.78

0.04 27 0.78

0.46 0.12

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：整數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對分數

0.06 1.00

*0.89

0.05 28 0.89

0.70 0.00

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：單位分數倍的轉換

(3) 數值範圍：整數對整數

95

續表 4-3-8 「相等的比」概念題目原理及答對率

0.05 0.96

0.17

*0.68 29 0.68

0.34 0.00

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：真假分數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對整數

0.12 0.98

0.09

0.11 30 0.68

0.34 *0.68

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：整數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對整數

*0.79 0.94

0.03

0.12 31 0.79

0.56 0.05

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：單位分數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對分數

0.15 0.98

0.09

*0.70 32 0.70

0.22 0.05

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：真假分數倍的轉換

(3) 數值範圍：整數對整數

*0.91 1.00

0.04

0.03 33 0.91

0.72 0.02

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：整數倍的轉換

(3) 數值範圍：整數對整數

0.05 0.96

*0.83

0.07 34 0.83

0.60 0.05

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：單位分數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對整數

0.14 0.94

0.05

*0.75 35 0.75

0.40 0.06

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：真假分數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對分數

0.06 0.96

0.09

0.05 36 0.80

0.60 *0.80

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：整數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對分數

0.05 0.98

0.03

*0.89 37 0.89

0.72 0.03

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：單位分數倍的轉換

(3) 數值範圍：整數對整數

*0.67 0.96

0.12

0.10 38 0.67

0.38 0.11

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：真假分數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對整數

96

續表 4-3-8 「相等的比」概念題目原理及答對率

*0.60 0.96

0.15

0.13 39 0.60

0.24 0.12

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：整數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對整數

0.09 0.96

*0.74

0.06 40 0.74

0.34 0.11

(1) 未知數位置：正向活動

(2) 轉換的方式：單位分數倍的轉換

(3) 數值範圍：分數對分數

0.17 0.98

0.08

0.08 41 0.66

0.26 *0.66

(1) 未知數位置：逆向活動

(2) 轉換的方式：真假分數倍的轉換

(3) 數值範圍：整數對整數

依表 4-3-8，「相等的比」各題的設計概念原理，及高分組、低分組在各

題的表現整理出下表 4-3-9，方便後續的觀察探討。

表 4-3-9「相等的比」各概念題目原理之平均及高分組低分組答對率

概念 答對率 平均 高分組 低分組

正向活動 0.77 0.97 0.47 未知數位置

逆向活動 0.76 0.96 0.48

整數倍的轉換 0.78 0.97 0.53

單位分數倍的轉換 0.82 0.96 0.58 轉換的方式

真假分數倍的轉換 0.68 0.96 0.31

整數對整數 0.83 0.99 0.57

分數對整數 0.71 0.96 0.41 數值範圍

分數對分數 0.75 0.94 0.44

1、 從表 4-3-8 中可知，在「相等的比」概念的十八個題目中，平均答

對率有 0.76，算是表現持平，但從高分組的平均答對率達 0.97；而低分組的

答對率只有 0.47 來觀察，可知這個概念對高分組而言，是充分理解並學會的，

97

在低分組方面則是未達一半的理解情形，兩個組別表現相差相當明顯。

2、 在表 4-3-9 中，「未知數的位置」中，「正向活動」及「逆向活動」

的表現上，無論是平均答對率，或是高、低分組答對率都相去不遠，可以看

出在「未知數的位置」學習上，兒童並無明顯覺得哪一種對他們來說是比較

簡單或困難的，此與周筱亭、黃敏晃（2002）等編輯教材的學者認為「正向

活動」比「逆向活動」來得簡單的見解有異。

3、 在「轉換的方式」上，有三種方式：「整數倍的轉換」、「單位分數倍

的轉換」、「真假分數倍的轉換」（周筱亭、黃敏晃，2002），學者們認為由簡

單到困難應是「整數倍的轉換」→「單位分數倍的轉換」→「真假分數倍的

轉換」，但從表 4-3-9 看來，應是「單位分數倍的轉換」→「整數倍的轉換」

→「真假分數倍的轉換」，細究其結果，應是對高分組而言，三者難度相當，

都是簡單，但對低分組的受試兒童，卻有以上「單位分數倍的轉換」→「整

數倍的轉換」→「真假分數倍的轉換」的難度差異，致平均結果如此。從低

分組答對率來看，「真假分數倍的轉換」答對率僅 0.31，與猜題率差不多，可

見得低分組兒童在這一轉換方式甚感困難，且極有可能是猜測的答案。

4、 在「數值範圍」上，有三種情形：「整數對整數」、「分數對整數」、「分

數對分數」（周筱亭、黃敏晃，2002），學者們認為由簡單到困難應是「整數

對整數」→「分數對整數」→「分數對分數」，但顯示出的結果受試兒童最感

簡單的是「整數對整數」的數值範圍，至於「分數對整數」及「分數對分數」

兩數值範圍，不論是高分組或低分組的受試兒童皆覺得難度相當，其答對率

相差不多。

98

5、 茲將九年一貫比概念教材依編排及難易順序編排以及實際施測結果

六年級兒童的試題反應之難易關係比較於下表 4-3-10 所示：

表 4-3-10 教材地位與施測結果比概念難易編序比較表（1 個＊表序位差 5）

概念 來源 教材地位 施測結果 註

整數對整數的整數倍轉換之正向活動問題 1 1 v

整數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題 2 2 v

整數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題 3 3 v

整數對整數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題 4 4 v

整數對整數的真分數倍轉換之正向活動問題 5 12 *

整數對整數的真分數倍轉換之逆溯活動問題 6 16 **

分數對整數的整數倍轉換之正向活動問題 7 14 *

分數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題 8 18 **

分數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題 9 5

分數對整數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題 10 8

分數對整數的真分數倍轉換之正向活動問題 11 15

分數對整數的真分數倍轉換之逆溯活動問題 12 13

分數對分數的整數倍轉換之正向活動問題 13 6 *

分數對分數的整數倍轉換之逆溯活動問題 14 9 *

分數對分數的單位分數倍轉換之正向活動問題 15 11

分數對分數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題 16 7 *

分數對分數的真分數倍轉換之正向活動問題 17 17 v

分數對分數的真分數倍轉換之逆溯活動問題 18 10 *

6、 由表 4-3-10 可以看出，「整數對整數的整數倍轉換之正向活動問

題」、「整數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題」、「整數對整數的單位分數

99

倍轉換之正向活動問題」、「整數對整數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題」、

「分數對分數的真分數倍轉換之正向活動問題」的難易序位在教材地位及施

測結果來看是完全吻合的。

7、 而教材地位及施測結果的序位差異多達 10 以上者有兩題，分別為

「整數對整數的真分數倍轉換之逆溯活動問題」、「分數對整數的整數倍轉換

之逆溯活動問題」，其中「整數對整數的真分數倍轉換之逆溯活動問題」為施

測試題第 41 題，題目為：「16：□＝40：65，□內的是下列哪一個數？① 13②

15③ 25④ 26」，由表 4-3-8 可知高分組有 0.98 的答對率，而低分組只有 0.26

的答對率，幾與猜題率相等，細究題目並無特別難度，就算允許計算錯誤低

分組也不應只有 0.26 的答對率，推測應與此題的編排位置在倒數第 4 題所

致，因低分組兒童在回答前面問題時用去太多時間，致回答題目應不困難的

此題是用猜的，且因選項 1 的 13 與後項 65 有因倍數關係，所以錯答選項 1

的比率最多。

8、 另一題序位差異達 10 以上的為第 39 題，是「分數對整數的整數倍

轉換之逆溯活動問題」，題目：「9

7：□＝

3

14：12，□內的是下列哪一個數？

① 2② 4③ 3

7④

9

6」，高分組有 0.96 的答對率，低分組卻也是極低 0.24，

推測此題的序位差距如此大的原因應與第 41 題相近，低分組與猜題率相近的

答對率，錯誤選項的選答率相近，及編排在第 39 題都是推論的憑據之一，使

原本難度設定不高的此題，成為答對率僅 0.60 的難題。

（二）試題關聯結構圖分析

100

答對率

圖 4-3-7 「比的意義」概念試題關聯結構圖（r jk

＊≧0.5）

1、 由圖 4-3-7 可以看出受試兒童在「相等的比」概念有，有相當多的

序列性，有關聯的序列共有十二條：24→37→38、24→37→35→39、24→33

0.7

0.8

0.9

1.0

31

26

28

25

27

24

38

33

34

0.6

29 30

39

36

35

32

40

37

41

101

→38、24→33→28→35→39、24→33→28→34→32、24→33→28→40→39、

24→33→28→30→26→39、24→33→28→27→26→39、24→33→28→41→39、

24→29→26→39、24→29→41→39、24→25。

2、 其中明顯的主序列在 24→33→28，概念為「整數對整數的整數倍轉

換之正向活動問題」→「整數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題」→「整

數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題」，恰與周筱亭、黃敏晃（2002）

等學者認為的概念難易度一致。

3、 但從第 28 題開始，就沒有一條明顯的主序列，而分出六條子序列，

依九年一貫課程的安排，最恰當的主序列應是後接 34→32 此條子序列，也就

是「整數對整數的整數倍轉換之正向活動問題」→「整數對整數的整數倍轉

換之逆溯活動問題」→「整數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題」後

接「分數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題」→「整數對整數的真分

數倍轉換之正向活動問題」等概念，與難度編排較一致。

4、 除第 3 點提到之子序列，從 24→33→28，再接子序列 30→26→39

是考量教材安排與受試兒童表現之折衷子序列，從「整數對整數的整數倍轉

換之正向活動問題」→「整數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題」→「整

數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題」接「分數對整數的整數倍轉換

之正向活動問題」→「分數對分數的真分數倍轉換之正向活動問題」→「分

數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題」。只是在「分數對分數的真分數倍轉

換之正向活動問題」→「分數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題」的上下

位關係如果相反將更吻合九年一貫的教材安排。

102

5、 至於第 31 題與第 36 題，則是與其他各題沒有上下位關聯，第 31

題是「分數對分數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題」，而第 36 題是「分數

對分數的整數倍轉換之正向活動問題」，推論可能原因，是這兩題都是分數對

分數的數值範圍，而最上位是分數對整數的數值範圍，按教材安排，分數對

分數應在分數對整數的上位，所以這兩題與其他題無上下位的關係。

八、「通分的意義」概念結構圖分析

（一）橫斷層面分析

首先就「最簡單整數比」概念節點的三個題目答對率高低，就橫斷層面

分析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，三個題目的設計概念及答對率如

下表 4-3-11 所示：

表 4-3-11 「最簡單整數比」概念題目原理及答對率

答 1 比率 高分組

答對率 答 2 比率

答 3 比率 題號 答對率

低分組

答對率 答 4 比率

概 念 原 理

0.08 0.98

0.08

0.07 42 0.78

0.44 *0.78

數值範圍：分數對分數

0.07 0.90

*0.51

0.18 43 0.51

0.16 0.24

數值範圍：分數對分數

*0.59 0.90

0.16

0.10 44 0.59

0.28 0.15

數值範圍：分數對分數

1、 從表 4-3-11 中，可以知道受試兒童在「最簡單整數比」的這個概念

103

並未完整瞭解，平均答對率僅有 0.63，因為這是教材地位最上位的概念，若

其下位概念有兒童不清楚的話，這個概念的學習上就會有困難。

2、 在第 43 題題目：「下列哪一個是『23

2：2』的最簡單整數比？① 8：

6② 4：3③ 3

8：2④

3

4：1」中，選答錯誤選項 3 的有 0.18 的比率，而選答

錯誤選項 4 的更多達 0.26，顯見此兩選項誘答力極高，尤其是選項 4，受試

兒童只在將前項的分子部分及後項的 2 同除 2 後，即認為是答案，而忽略了

「最簡單整數比」的「整數」關鍵意義。

（二）試題關聯結構圖分析

104

答對率

圖 4-3-8 「最簡單整數比」概念試題關聯結構圖（r jk

＊≧0.5）

1、 從圖 4-3-8 中可明顯看出，第 44 題是第 43 題的下位概念，且第 42

題與餘兩題無上下位關聯，但若是將閾值調整為 0.4，則形成第 44 題與第 43

題是等價關係，而第 42 題則成為第 43 題的下位概念。故若允許些許的誤差，

這三題之間是有上下位關聯的。

2、 在「最簡單整數比」的概念，從數值範圍來看，「分數對整數」為最

上位且與「分數對分數」等價，而「整數對整數」是最下位的概念。

0.5

0.6

0.8

44

43

42

0.7

105

第四節 擴充之邏輯流量計分理論量化計分

本研究之研究目的，除運用試題關聯結構分析法，得出六年級兒童之比

概念階層圖，並於上節做一綜合分析外，將於此節，將彰化縣六年級兒童之

比概念結構，與教材地位比概念結構，做擴充之邏輯流量計分理論量化計分，

量化兩者比概念之間的差異，提出分析探討與教學建議。

壹、順序性係數之 0-1 矩陣表

一、比概念教材地位階層圖之順序性係數 0-1 矩陣表

首先，先繪製出比概念教材地位階層圖，如下圖 4-1-1 所示：

圖 4-4-1 比概念教材地位階層圖

比的意義

比值的意義

相等的比

最簡單整數比

因數及倍數的概念

前項及後項的意義 能將整數除法的商

以分數表示

通分的意義

106

再依照圖 4-4-1 的比概念教材地位階層圖，繪製出比概念教材地位階層

圖之順序性係數 0-1 矩陣表，如表 4-4-1 所示：

表 4-4-1 比概念教材地位階層圖之順序性係數 0-1 矩陣表

比的意義

比值的意義

前後項的意義

商以分數表示

因倍數概念

通分的意義

相等的比

最簡單整數比

比的意義 1 0 0 0 0 0 0

比值的意義 0 0 0 0 0 1 0

前後項的意義 0 1 0 0 0 0 0

商以分數表示 0 1 0 0 0 0 0

因倍數概念 0 0 0 0 1 1 0

通分的意義 0 0 0 0 0 0 1

相等的比 0 0 0 0 0 0 1

最簡單整數比 0 0 0 0 0 0 0

二、兒童比概念階層圖之順序性係數 0-1 矩陣表

由正式施測結果，配合試題關聯結構圖繪出的彰化縣六年級兒童比概念

階層圖，如下圖 4-4-2 所示：

107

圖 4-4-2 彰化縣六年級兒童比概念階層圖

再依照圖 4-4-2 的比概念教材地位階層圖，繪製出彰化縣六年級兒童比

概念階層圖之順序性係數 0-1 矩陣表，如表 4-4-2 所示：

能將整數除法的商

以分數表示

通分的意義

比的意義

比值的意義

相等的比

最簡單整數比

因數及倍數的概念

前項及後項的意義

108

表 4-4-2 六年級兒童比概念階層圖之順序性係數 0-1 矩陣表

比的意義

比值的意義

前後項的意義

商以分數表示

因倍數概念

通分的意義

相等的比

最簡單整數比

比的意義 0 0 0 0 0 1 0

比值的意義 0 0 0 0 0 0 0

前後項的意義 0 0 0 0 0 0 0

商以分數表示 0 0 0 0 1 1 0

因倍數概念 1 0 0 0 1 0 0

通分的意義 0 0 0 0 0 0 0

相等的比 0 1 1 0 0 0 1

最簡單整數比 0 0 0 0 0 0 0

貳、比概念教材地位階層圖之重要度分析

擴充之邏輯流量計分理論之重要度及差異度分析，作用在量化兒童所學

之知識結構圖與教材地位知識結構圖的重要度及差異度。在得出比概念教材

地位階層圖之順序性係數 0-1 矩陣表及六年級兒童比概念階層圖之順序性係

數 0-1 矩陣表後，即可得出比概念教材地位階層圖的各上下位關係重要度，

及兩概念階層圖彼此對應之上下位關係的差異度。如表 4-4-3 所示，為比概

念教材地位階層圖的各上下位關係重要度。

109

表 4-4-3 比概念教材地位階層圖的各上下位關係重要度

比的意義

比值的意義

前後項的意義

商以分數表示

因倍數概念

通分的意義

相等的比

最簡單整數比

比的意義 0.33 0 0 0 0 0 0

比值的意義 0 0 0 0 0 1 0

前後項的意義 0 0.33 0 0 0 0 0

商以分數表示 0 0.33 0 0 0 0 0

因倍數概念 0 0 0 0 0.22 0.22 0

通分的意義 0 0 0 0 0 0 0.33

相等的比 0 0 0 0 0 0 0.89

最簡單整數比 0 0 0 0 0 0 0

從表 4-4-3 中，可以發現到最重要的一個上下位關係，在「比值的意義」

→「相等的比」，因為這一上下位關係，上下各承接了三個概念，但如果這一

概念沒有上下位關聯，上下各承接的三個概念，將完全無關聯，故這一個上

下位關係是整個比概念教材地位階層圖最重要的一個上下位關係。

貳、兩概念階層圖之有向邊差異

而經由表 4-4-3 的重要度，即可依此表計算出兩概念階層圖之有向邊差

異度，如下表 4-4-4 所示：

110

表 4-4-4 兩概念階層圖之有向邊差異度

比的意義

比值的意義

前後項的意義

商以分數表示

因倍數概念

通分的意義

相等的比

最簡單整數比

比的意義 3 0 0 0 0 8 0

比值的意義 0 0 0 0 0 9 0

前後項的意義 0 3 0 0 0 0 0

商以分數表示 0 3 0 0 1 4 0

因倍數概念 5 0 0 0 0 2 0

通分的意義 0 0 0 0 0 0 3

相等的比 0 4 4 0 0 0 0

最簡單整數比 0 0 0 0 0 0 0

由表 4-4-4 可知差異度最大的有向邊差異度最大的有向邊在「比值的意

義」→「相等的比」，在重要度分析時，這一有向邊就已是最重要的一個上下

位關係，但施測出來的結果，兒童的概念結構圖反而沒有這一有向邊，故在

比概念教材地結構圖及兒童的比概念結構圖差異度上，這一有向邊即佔了 9

分。而在「比的意義」→「相等的比」這一有向邊差異度有 8 分的原因在於，

這一對兒童的比概念結構圖相當重要的有向邊，在比概念教材地結構圖的重

要度卻是 0，所以差異度才如此之大。

由以上之說明，可以想見兒童的比概念結構圖對於比概念教材地結構圖

的到達度應該不高。只達到 25.4 分，是一個不高的分數，可見在九年一貫課

程的實施下，彰化縣六年級兒童在「比概念」的學習上，與教材地位之安排，

有一段顯著落差。

111

第五章 結論與建議

本章茲根據研究目的與研究結果說明結論，並提供學校教師教學上，教

材教案設計及未來研究的建議。

第一節 結論

本研究係針對現行數學科比概念相關教材，綜合得出比概念教材地位階

層圖，並採試題關聯結構分析理論，透過施測，得出彰化縣六年級兒童於學

習比概念教材後之比概念階層圖，藉以分析兒童經過學習後所得之比概念結

構，再以擴充之邏輯流量計分理論，計算出兒童之比概念階層圖與比概念之

教材地位階層圖的到達度，得到以上幾項結論：

壹、「比的意義」概念

一、六年級兒童在「比的意義」概念上，大多數的人是瞭解並學會的。

二、六年級兒童在「比的母子意義」上的瞭解，不如「比的組合意義」

來得好，這一點與楊錦蓮（1999）的研究結果相同。

三、不同比的意義的比概念題目，影響小於數值範圍。

貳、「比值的意義」概念

一、六年級兒童在「比值的意義」概念的瞭解不是相當充份。

二、數值範圍在「整數對整數」的比值意義，是數值範圍在「分數對整

數」的比值意義的下位關係。與教材地位相同。

參、「前項後項的意義」概念

一、六年級兒童在「前項後項的意義」概念的瞭解不是相當充份。

112

二、多數的六年級兒童認為前項及後項是有單位的，並不清楚比是代表

任意兩數量，因某種原因而產生的關係，是一種序對形式的記錄方式（周筱

亭、黃敏晃，2002）。

三、數值範圍在「整數對整數」的前項後項意義，與數值範圍在「分數

對整數」的前項後項意義是等價關係。

肆、「能將整數除法的商以分數表示」概念

一、六年級兒童在「能將整數除法的商以分數表示」的概念上，是理解

並能操作的。

二、六年級兒童在學習「能將整數除法的商以分數表示」的正向活動與

逆向活動時，正向活動是較容易且較快學會的。

伍、「因倍數的概念」概念

一、對六年級的兒童而言，「因倍數的概念」應是一前備知識，從研究結

果得知，六年級兒童在進行「比概念」的教學時，前備知識「因倍數的概念」

已經準備妥當了。

二、同是因數的概念題目，六年級兒童形成等價關係，與倍數的概念題

目無上下位關聯。

陸、「通分的意義」概念

一、六年級兒童在「通分的意義」這個概念上並非完全瞭解，可再次驗

證兒童在面對基本定義的學習，沒有計算能力的學習來得好。

二、六年級兒童較傾向認同擴分是通分的一種方式，約分則非通分的一

種方式。

柒、「相等的比」概念

113

一、六年級兒童在「相等的比」這個概念上對高分組而言，是充分理解

並學會的，在低分組方面則是未達一半的理解情形，兩個組別表現相差相當

明顯。

二、在「未知數的位置」學習上，六年級兒童並無明顯覺得哪一種對他

們來說是比較簡單或困難的，此與周筱亭、黃敏晃（2002）等編輯教材的學

者認為「正向活動」比「逆向活動」來得簡單的見解有異。

三、從低分組答對率來看，「真假分數倍的轉換」答對率僅 0.31，與猜題

率差不多，可見得低分組兒童在這一轉換方式甚感困難。

四、在「數值範圍」上，六年級兒童最感簡單的是「整數對整數」的數

值範圍，至於「分數對整數」及「分數對分數」兩數值範圍，不論是高分組

或低分組的受試兒童皆覺得難度相當。

五、「整數對整數的整數倍轉換之正向活動問題」、「整數對整數的整數倍

轉換之逆溯活動問題」、「整數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題」、「整

數對整數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題」、「分數對分數的真分數倍轉換

之正向活動問題」的難易序位在教材地位及施測結果來看是完全吻合的。

六、六年級兒童的相等的比概念結構主序列為「整數對整數的整數倍轉

換之正向活動問題」→「整數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題」→「整

數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題」，恰與周筱亭、黃敏晃（2002）

等學者認為的教材概念安排一致。

七、主序列後接「分數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題」→「整

數對整數的真分數倍轉換之正向活動問題」等概念，與教材編排一致。

捌、「通分的意義」概念

一、六年級兒童在「最簡單整數比」的這個概念並未完整瞭解。

二、從數值範圍來看，「分數對整數」為最上位且與「分數對分數」等價，

114

而「整數對整數」是最下位的概念。

玖、LFT-extended 計分理論分析結論

一、「比值的意義」→「相等的比」這一上下位關係，上下各承接了三個

概念，是整個比概念教材地位階層圖最重要的一個上下位關係。

二、六年級兒童的概念結構圖沒有「比值的意義」→「相等的比」這一

有向邊，卻有「比的意義」→「相等的比」這一對兒童的比概念結構圖相當

重要的有向邊，與比概念教材地位階層圖有頗大差異。

三、兒童的比概念結構圖對於比概念教材地結構圖的到達度為 25.4 分，

顯示於現今比概念教材安排下，與六年級兒童的實際學習到的概念，有一不

小差距。

第二節 建議

本節係依據本研究的結論，提出以下建議，以利國小數學科「比概念」

單元教學及課程設計，以及對未來研究的建議。

壹、單元教學及課程設計方面

一、在研究結論中，與定義相關的的概念，無論高低分組的六年級兒童

都有不同程度的迷思，顯示在教學上，應先加深基本定義的理解，再進行運

算能力的訓練較為恰當。

二、在「未知數的位置」學習上，「正向活動」與「逆向活動」可考慮同

時進行，因為由研究結論可知六年級兒童在概念解題的「正向活動」與「逆

向活動」並無太大差異。

三、在「數值範圍」上，六年級兒童對於「分數對整數」及「分數對分

數」兩數值範圍，都覺得較「整數對整數」難，故在教學上，分數運算及概

115

念的前備知識的建立是重要且必須的。

四、在「真假分數倍的轉換方式」中，高低分組表現差異頗大，在單元

教材上，課程設計上應留意補救教學的實施，並佐以個別教學，避免往後在

以「比概念」為先備知識的概念教學上，造成更大的差距。

五、「比概念」單元在實際生活中運用不少，故在課程設計上不宜集中於

運算的訓練，應配合生活經驗，由基本概念加深兒童對比概念的瞭解。

六、在「比值的意義」、「比的意義」及「相等的比」這三個概念教學上，

建議教學者應釐清兒童的概念，尤其是「比值的意義」、「比的意義」這兩概

念，更須建完整，再進行「相等的比」的運算教學，才不致造成兒童形成的

概念與教材地位的概念有太大落差。

貳、未來研究方面

一、在研究對象上，可針對九年一貫課程七到九年級的兒童，加以緃貫

研究，藉以瞭解「比概念」之後續發展情形。

二、在研究樣本上，可擴及彰化縣以外的其他地區，或特殊族群的兒童，

並可比較不同版本或城鄉兒童有何不同差異。

三、在研究方法上，本研究之紙筆測驗方式，屬量化研究，不宜對所得

數據做過度推論，可配合紙筆測驗結果，針對不同程度具代表性兒童，或特

殊表現兒童，進行唔談，以深入瞭解及分析兒童的認知概念及解題的想法。

或有不同結論產生。

四、在擴充之邏輯流量計分理論量化出比概念教材階層圖及兒童之比概

念階圖的差距後，可針對此差距，進行補救教學，再行施測，檢視是否將差

距縮小。也就是說，可針對此一循環操作，進行行動研究，理想結果將是比

概念教材與兒童形成的比概念階層圖達到一致，形成最完整的學習。

116

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119

附附附附 錄錄錄錄 A A A A

試題檢核表試題檢核表試題檢核表試題檢核表 試題檢核表旨在提供命題者逐一檢查所命試題是否符合命題之各種注意

事項或原則，以期提升命題品質。

檢 核 項 目 是 否

1、試題表達方式是否切合該題之評量目標？

2、答對問題是否反應具備該題評量目標上所述之能力？

3、答錯問題是否反應不具備該題評量目標上所描述之能力？

4、試題是否清楚表達題意？

5、試題難度是否適中？

6、試題內容是否已單純化，未過於繁雜？

7、試題是否避免設計陷阱？

8、題幹與選項之文法是否保持一致？

9、題幹與選項之邏輯是否連貫？

10、題幹是否未被分割？

11、題幹中之關鍵詞或否定詞是否已加底線？

12、選項間是否不存在邏輯上的連貫？

13、試題中之訊息是否已避免特定族群所特別熟悉者？

14、答對問題之機會是否已受到評量目標以外之其他因素影響？

15、選項之表達方式是否維持一致？

16、選項中是否只含一個最佳或正確答案？

17、附表是否置於題幹之後、選項之前？

18、在各選項中重複出現之文字是否置於題幹內？

19、選項內容是否按邏輯順序排列？

20、試題選目是否一致？

21、選項內容是否避免重疊現象？

22、選項的長度是否接近？

23、選項是否避免負面陳述？

24、誘答選項是否具似真性？

25、標準答案之分佈是否平均？

26、題型或提問方式是否已避免連續多題相同？

27、是否已避免「以上皆是」、「以上皆非」的選項？

28、作答時間是否合理？

120

附附附附 錄錄錄錄 B B B B

預試試題預試試題預試試題預試試題

◇◇◇◇ 基本資料基本資料基本資料基本資料 ◇◇◇◇

國小 年 班 號 姓名： 性別：

◇◇◇◇ 答案欄答案欄答案欄答案欄 ◇◇◇◇

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

答案

題號 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

答案

題號 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

答案

題號 41 42 43 44

答案

各位親愛的小朋友你好：

小朋友，這不是考試，而是要知道各位對數學比與比值這

個單元，是否有充分的瞭解，測驗成績並不列入學期成績計算，

請小朋友安心作答。作答前，請先詳細閱讀以下注意事項。

一、請詳填基本資料，每一項都請填答。

二、測驗全部有 44 題，請儘量作答，不要留空白。

三、每一題只會有一個答案。

四、答案請寫在答案欄中，由左至右，由上而下按題號順

序填入答案。注意不要跳題回答。

五、若有塗改，請擦拭乾淨，再填入修改後的答案。

最後，謝謝各位小朋友的作答，祝各位小朋友學業進步。

台中教育大學數學教育學系

副教授 胡豐榮

研究生 郭祈銘 敬上

121

「比概念」預測試題題目本

（１）王媽媽上街買了 1箱柳丁，其中分 7顆給小陳，分 11 顆給老李，分

15 顆給小莉，請問小陳與老李所分到柳丁數量的比為下列何者？

① 7：15。

② 11：15。

③ 7：11。

④ 15：11。

（２）姊姊剪了一塊 10 公尺的布，其中 22

1公尺做成衣服，3公尺做成褲子，

13

1公尺做成圍巾，請問姊姊用來做衣服及褲子的布長比為下列何者？

① 22

1：1

3

1

② 3：22

1

③ 13

1：3

④ 22

1：3

（３）奶奶到雜糧店買了6

5公斤的紅豆，

5

4公斤的綠豆以及

8

3公斤的黃豆，

請問紅豆與黃豆的公斤數的比要如何記？

① 6

5：

8

3

② 6

5：

5

4

③ 6

5：

3

8

④ 5

4：

6

5

122

（４）五年甲班 40 位小朋友中，有 21 位男生，19 位女生。請問全班人數與

女生的人數比可以記為下列何者？

① 19：21

② 40：19

③ 40：21

④ 21：19

（５）麵包師傅做麵條，每 15 公克的麵粉，就要加入 2 公克的鹽，和4

1公克

的糖，請問麵粉與糖的公克數比為下列何者？

① 15：2

② 2：4

1

③ 15：4

1

④ 4

1：15

（６）爸爸泡了4

3公升的檸檬汁來喝，用了

10

1公升的檸檬原汁以及

20

13公升

的開水來調配，請問檸檬汁與開水的公升數比為下列何者？

① 4

3：

10

1

② 4

3：

20

13

③ 10

1：

20

13

④ 20

13：

4

3

（７）阿凱拿了 3 顆蘋果，到水果攤換了 5 顆橘子，請問蘋果與橘子的顆數

比為下列何者？

① 3：5

② 5：3

③ 3：1

④ 5：5

123

（８）4

1公升的 92 無鉛汽油，和 3 公升的柴油同樣價錢，請問相同價錢可以

買到的 92 無鉛汽油與柴油的公升數比為下列何者？

① 4：3

② 4

1：3

③ 3：4

1

④ 3：4

（９）5 公尺的布可以做5

3件衣服，或是可以做

4

1件褲子，請問同樣的布長，

可以做的衣服及褲子的件數比為下列何者？

① 5：5

3

② 4

1：5

③ 5

3：

4

1

④ 4

1：

5

3

（10）姐姐買了一束玫瑰花，黃色的有 7 朵、紅色的有 6 朵、白色的有 5 朵，

請問紅色玫瑰花和全部玫瑰花朵數的比值是多少？

① 6

7

② 6：7

③ 18

6

④ 6：18

124

（11） 左圖的正方形中，分割成四個等分的小正方形，其中畫

斜線的小正方形面積與正方形面積的比值為下列何者？

① 3：1

② 3

1

③ 3：4

④ 4

3

（12）媽媽用7

4公斤的白米和

3

8公斤的水煮成一鍋稀飯，水的公斤數和白米

公斤數的比值是下列何者？

① 14

3

② 3

14

③ 10

12

④ 3

7

（13）弟弟做了一個長 7 公分，寬 5 公分，高 4 公分的箱子，請問長與高的

比，前項是多少？

① 7 公分

② 7

③ 5 公分

④ 4

（14）大袋麵粉一袋 2 公斤，中袋麵粉一袋3

4公斤，小袋麵粉一袋

5

3公斤，

一袋小袋麵粉比一袋大袋麵粉的公斤數比中，後項是指下列何者？

① 5

3公斤

② 2 公斤

③ 5

3

④ 2

125

（15）有一工程，甲一天可做8

1，乙一天可做

9

1，丙一天可做

7

1，請問同樣

做一天，乙和丙所做的工作量比中，前項是下列何者？

① 9

② 9

1

③ 7

1

④ 8

（16）5÷13＝（ ），（ ）中的答案可以是下列何者？

① 13

5

② 65

③ 18

④ 5

13

（17）9

5可以是下列哪一個算式的答案？

① 9 + 5

② 9 ÷ 5

③ 5 × 9

④ 5 ÷ 9

（18）下列哪一個數不是「9」的倍數？

① 3

② 9

③ 18

④ 81

（19）下列哪一個不是「54」的因數？

① 4

② 5

③ 6

④ 9

126

（20）下列哪一個不是「63」的因數？

① 7

② 9

③ 13

④ 21

（21）在3

2、

24

18、

2

1三個分數中，將

3

2化為

12

8、

24

18化為

12

9及

2

1化為

12

6，

使三數分母相同以方便比較分數大小的運算方式，稱之為下列何者？

① 通分

② 約分

③ 擴分

④ 均分

（22）20

12、

6

4、

36

18、

9

7四個分數中，最大的分數是哪一個？

① 20

12

② 6

4

③ 36

18

④ 9

7

（23）下列有關通分的敘述何者是錯誤的？

① 比較分數大小時，通常會用通分的方法。

② 擴分是通分的一種方式

③ 約分是通分的一種方式

④ 如果分數無法通分比較大小，還有均分的方法可以用。

（24）5：2＝□：6。□內的是下列哪一個數？

① 7

② 10

③ 15

④ 18

127

（25）21：□＝7：5

1。□內的是下列哪一個數？

① 3

1

② 5

3

③ 5

④ 15

（26）5

3：

2

1＝

2

3：□。□內的是下列哪一個數？

① 4

5

② 5

2

③ 2

5

④ 3

1

（27）5

4：□＝

5

8：

3

2，□內的是下列哪一個數？

① 5

2

② 3

1

③ 2

1

④ 15

8

（28）28：8＝□：2，□內的是下列哪一個數？

① 4

② 7

③ 14

④ 16

128

（29）10：□＝15：5

9，□內的是下列哪一個數？

① 3

2

② 5

3

③ 5

6

④ 5

18

（30）6：7

3＝□：3，□內的是下列哪一個數？

① 7

42

② 3

42

③ 14

④ 42

（31）15

18：□＝

15

6：

12

5，□內的是下列哪一個數？

① 12

15

② 12

30

③ 15

10

④ 15

12

（32）21：36＝□：24，□內的是下列哪一個數？

① 7

② 12

③ 14

④ 18

129

（33）7：□＝21：39，□內的是下列哪一個數？

① 13

② 14

③ 18

④ 21

（34）56：9

24＝7：□，□內的是下列哪一個數？

① 9

8

② 9

3

③ 9

7

④ 9

1

（35）16

15：□＝

8

5：

5

3，□內的是下列哪一個數？

① 15

6

② 16

15

③ 10

9

④ 40

15

（36）3

2：

5

3＝□：

5

18，□內的是下列哪一個數？

① 3

5

② 3

6

③ 3

9

④ 3

12

130

（37）32：□＝8：7，□內的是下列哪一個數？

① 21

② 24

③ 28

④ 30

（38）18：3

15＝12：□，□內的是下列哪一個數？

① 3

10

② 9

15

③ 9

10

④ 3

15

（39）9

7：□＝

3

14：12，□內的是下列哪一個數？

① 2

② 4

③ 3

7

④ 9

6

（40）15

28：

18

35＝

15

4：□，□內的是下列哪一個數？

① 15

7

② 18

5

③ 15

5

④ 18

7

131

（41）16：□＝40：65，□內的是下列哪一個數？

① 13

② 15

③ 25

④ 26

（42）下列哪一個是「57：63」的最簡單整數比？

① 13：9

② 19：23

③ 13：21

④ 19：21

（43）下列哪一個是「23

2：2」的最簡單整數比？

① 8：6

② 4：3

③ 3

8：2

④ 3

4：1

（44）下列哪一個是「35

1：5

3

1」的最簡單整數比？

① 3：5

② 5：3

③ 3

1：

5

1

④ 1：1

132

附附附附 錄錄錄錄 C C C C

專家效度問卷專家效度問卷專家效度問卷專家效度問卷

《問卷內容》

下列每題都有一組選擇，請依您對國小六年級兒童比概念的專業認知，在

適當的選項括號中以「ˇ」表示。若您是勾選「否」，請您於理由欄，提供

您勾選「否」的寶貴意見，以作為改進之用。

1. 本測驗工具的第 1 題主要是在測驗學生「整數對整數的比之組合意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

2. 本測驗工具的第 2 題主要是在測驗學生「分數對整數的比之組合意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

3. 本測驗工具的第 3 題主要是在測驗學生「分數對分數的比之組合意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

4. 本測驗工具的第 4 題主要是在測驗學生「整數對整數的比之母子意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

5. 本測驗工具的第 5 題主要是在測驗學生「分數對整數的比之母子意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

各位教育先進您好：

首先，要先感謝您願意撥冗填寫這份問卷，您提供的寶貴

意見，於本研究將有極大幫助。本問卷之目的在於瞭解「國小

六年級兒童比概念正式施測」這份測驗工具的專家效度，以作

為施測前對測驗工具效度的檢視，敬請各位教育先進及專家依

據自己的看法，填寫問卷上的問題。調查結果僅做為本研究分

析分析之依據，個人填答內容完全保密，請安心作答。

本問卷共 44 題，每題都請給予意見，您的意見是寶貴有價

值的。最後，謝謝您撥冗填答，敬祝萬事如意。

台中教育大學數學教育學系

副教授 胡豐榮

研究生 郭祈銘 敬上

133

6. 本測驗工具的第 6題主要是在測驗學生「分數對分數的比之母子意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

7. 本測驗工具的第 7題主要是在測驗學生「整數對整數的比之交換意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

8. 本測驗工具的第 8題主要是在測驗學生「分數對整數的比之交換意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

9. 本測驗工具的第 9題主要是在測驗學生「分數對分數的比之交換意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

10.本測驗工具的第 10 題主要是在測驗學生「整數對整數的比值意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

11.本測驗工具的第 11 題主要是在測驗學生「分數對整數的比值意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

12.本測驗工具的第 12 題主要是在測驗學生「分數對分數的比值意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

13.本測驗工具的第 13 題主要是在測驗學生「整數對整數的前項後項意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

14.本測驗工具的第 14 題主要是在測驗學生「分數對整數的前項後項意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

15.本測驗工具的第 15 題主要是在測驗學生「分數對分數的前項後項意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

16.本測驗工具的第 16 題主要是在測驗學生「整數除法的商以分數表示」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

17.本測驗工具的第 17 題主要是在測驗學生「分數可表示成一整數除法的

商」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

18.本測驗工具的第 18 題主要是在測驗學生「整數的因倍數概念」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

19.本測驗工具的第 19 題主要是在測驗學生「整數的因倍數概念」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

20.本測驗工具的第 20 題主要是在測驗學生「整數的因倍數概念」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

21.本測驗工具的第 21 題主要是在測驗學生「通分的意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

22.本測驗工具的第 22 題主要是在測驗學生「通分的意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

23.本測驗工具的第 23 題主要是在測驗學生「通分的意義」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

24.本測驗工具的第 24 題主要是在測驗學生「整數對整數的整數倍轉換之正

134

向活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

25.本測驗工具的第 25 題主要是在測驗學生「分數對整數的單位分數倍轉換

之逆溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

26.本測驗工具的第 26 題主要是在測驗學生「分數對分數的真假分數倍轉換

之正向活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

27.本測驗工具的第 27 題主要是在測驗學生「分數對分數的整數倍轉換之逆

溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

28.本測驗工具的第 28 題主要是在測驗學生「整數對整數的單位分數倍轉換

之正向活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

29.本測驗工具的第 29 題主要是在測驗學生「分數對整數的真假分數倍轉換

之逆溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

30.本測驗工具的第 30 題主要是在測驗學生「分數對整數的整數倍轉換之正

向活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

31.本測驗工具的第 31 題主要是在測驗學生「分數對分數的單位分數倍轉換

之逆溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

32.本測驗工具的第 32 題主要是在測驗學生「整數對整數的真假分數倍轉換

之正向活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

33.本測驗工具的第 33 題主要是在測驗學生「整數對整數的整數倍轉換之逆

溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

34.本測驗工具的第 34 題主要是在測驗學生「分數對整數的單位分數倍轉換

之正向活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

35.本測驗工具的第 35 題主要是在測驗學生「分數對分數的真假分數倍轉換

之逆溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

36.本測驗工具的第 36 題主要是在測驗學生「分數對分數的整數倍轉換之正

向活動」。

135

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

37.本測驗工具的第 37 題主要是在測驗學生「整數對整數的單位分數倍之逆

溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

38.本測驗工具的第 38 題主要是在測驗學生「分數對整數的真假分數倍轉換

之正向活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

39.本測驗工具的第 39 題主要是在測驗學生「分數對整數的整數倍轉換之逆

溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

40.本測驗工具的第 40 題主要是在測驗學生「分數對分數的單位分數倍轉換

之正向活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

41.本測驗工具的第 41 題主要是在測驗學生「整數對整數的真假分數倍轉換

之逆溯活動」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

42.本測驗工具的第 42 題主要是在測驗學生「整數對整數的最簡單整數比」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

43.本測驗工具的第 43 題主要是在測驗學生「分數對整數的最簡單整數比」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

44.本測驗工具的第 44 題主要是在測驗學生「分數對分數的最簡單整數比」。

是（ ）；否（ ），其理由為：（ ）

136

附附附附 錄錄錄錄 D D D D

施測試題施測試題施測試題施測試題

◇◇◇◇ 基本資料基本資料基本資料基本資料 ◇◇◇◇

國小 年 班 號 姓名： 性別：

◇◇◇◇ 答案欄答案欄答案欄答案欄 ◇◇◇◇

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

答案

題號 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

答案

題號 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

答案

題號 41 42 43 44

答案

各位親愛的小朋友你好：

小朋友，這不是考試，而是要知道各位對數學比與比值這

個單元，是否有充分的瞭解，測驗成績並不列入學期成績計算，

請小朋友安心作答。作答前，請先詳細閱讀以下注意事項。

一、請詳填基本資料，每一項都請填答。

二、試卷有題目本一本及答案卷一張，答案請填寫在本張

答案卷上。另題目本空白處可供計算。

三、測驗全部有 44 題，請儘量作答，不要留空白。

四、每一題有四個選項，只會有一個正確答案。

五、答案請寫在本張答案卷答案欄中，由左至右，由上而

下按題號順序填入答案，請不要跳題回答。

六、若有塗改，請擦拭乾淨，再填入修改後的答案。

最後，謝謝各位小朋友的作答，祝各位小朋友學業進步。

137

「比概念」正式施測試題題目本

（１）王媽媽上街買了 1箱柳丁，其中分 7顆給小陳，分 11 顆給老李，分

15 顆給小莉，請問小陳與老李所分到柳丁數量的比為下列何者？

① 7：15。

② 11：15。

③ 7：11。

④ 15：11。

（２）姊姊剪了一塊 10 公尺的布，其中 22

1公尺做成衣服，3公尺做成褲子，

13

1公尺做成圍巾，請問姊姊用來做褲子及圍巾的布長比為下列何者？

① 22

1：1

3

1

② 3：13

1

③ 10：3

④ 22

1：3

（３）奶奶到雜糧店買豆子，共買了6

5公斤的紅豆，

5

4公斤的綠豆以及

8

3公

斤的黃豆，請問其中綠豆與黃豆的公斤數的比要如何記？

① 6

5：

8

3

② 6

5：

5

4

③ 6

5：

3

8

④ 5

4：

8

3

138

（４）五年甲班 40 位小朋友中，有 21 位男生，19 位女生。請問全班人數與

女生的人數比可以記為下列何者？

① 19：21

② 40：19

③ 40：21

④ 21：19

（５）麵包師傅做麵條，每 15 公克的麵條中，都含有 2 公克的鹽，和4

1公克

的糖，請問麵條與糖的公克數比為下列何者？

① 15：2

② 2：4

1

③ 15：4

1

④ 4

1：15

（６）爸爸要調4

3公升的雞尾酒來喝，用了

10

1公升的香檳以及

20

13公升的汽

水來調配，請問雞尾酒與汽水的公升數比為下列何者？

① 4

3：

10

1

② 4

3：

20

13

③ 10

1：

20

13

④ 20

13：

4

3

（７）阿凱拿 3 顆蘋果，到水果攤可以換 5 顆橘子，或是換 8 根香蕉。請問

同樣的價錢，可以買到的蘋果與香蕉的個數比為下列何者？

① 3：5

② 5：8

③ 3：8

④ 8：3

139

（８）4

1公升的 92 無鉛汽油，和

5

1公斤的 95 無鉛汽油，或是 2 公升的柴油

同樣價錢，請問相同價錢可以買到的 95 無鉛汽油與柴油的公升數比為

下列何者？

① 4

1：

5

1

② 4

1：2

③ 5

1：

4

1

④ 5

1：2

（９）5 公尺的布可以做5

3件衣服，或是

4

1件褲子，也可以做

2

9頂帽子，請

問同樣的布長，可以做的褲子及帽子的件數比為下列何者？

① 5：5

3

② 5

3：

4

1

③ 4

1：

2

9

④ 4

1：

5

3

（10）姐姐買了一束玫瑰花，其中黃色的有 7朵、紅色的有 6朵、白色的有

5 朵，共 18 朵，請問紅色玫瑰花和全部玫瑰花朵數的比值是多少？

① 6

7

② 6：7

③ 18

6

④ 6：18

140

（11）一個大餅，小明吃了4

3個，請問小明吃掉的大餅與整個大餅的比值為

下列何者？

① 4

3：1

② 3

1

③ 3：4

④ 4

3

（12）媽媽用7

4公斤的白米和

3

8公斤的水煮成一鍋稀飯，白米的公斤數和水

的公斤數的比值是下列何者？

① 14

3

② 3

14

③ 10

12

④ 3

7

（13）弟弟做了一個長 7 公分，寬 5 公分，高 4 公分的箱子，請問長與高的

比中，前項是多少？

① 7 公分

② 7

③ 5 公分

④ 4

（14）大袋麵粉一袋 2 公斤，中袋麵粉一袋3

4公斤，小袋麵粉一袋

5

3公斤，

一袋大袋麵粉比一袋小袋麵粉的公斤數比中，後項是指下列何者？

① 5

3公斤

② 2 公斤

③ 5

3

④ 2

141

（15）有一工程，甲一天可做8

1，乙一天可做

9

1，丙一天可做

7

1，請問同樣

做一天，乙和丙所做的工作量比中，前項是下列何者？

① 9

② 9

1

③ 7

1

④ 8

（16）5÷13＝（ ），（ ）中的答案可以是下列何者？

① 13

5

② 65

③ 18

④ 5

13

（17）9

5可以是下列哪一個算式的答案？

① 9 + 5

② 9 ÷ 5

③ 5 × 9

④ 5 ÷ 9

（18）下列哪一個數不是「9」的倍數？

① 3

② 9

③ 18

④ 81

（19）下列哪一個不是「54」的因數？

① 3

② 5

③ 6

④ 9

142

（20）下列哪一個不是「63」的因數？

① 7

② 9

③ 13

④ 21

（21）在3

2、

24

18、

2

1三個分數中，將

3

2化為

12

8、

24

18化為

12

9及

2

1化為

12

6，

使三數分母相同以方便比較分數大小的運算方式，稱之為下列何者？

① 通分

② 約分

③ 擴分

④ 均分

（22）6

4、

36

18、

9

7四個分數中，最大的分數是哪一個？

① 20

12

② 6

4

③ 36

18

④ 9

7

（23）下列有關通分的敘述何者是錯誤的？

① 比較分數大小時，通常會用通分的方法。

② 擴分是通分的一種方式

③ 約分是通分的一種方式

④ 如果分數無法通分比較大小，還有均分的方法可以用。

（24）5：2＝□：6。□內的是下列哪一個數？

① 7

② 10

③ 15

④ 18

143

（25）21：□＝7：5

1。□內的是下列哪一個數？

① 3

1

② 5

3

③ 5

④ 15

（26）5

3：

2

1＝

2

3：□。□內的是下列哪一個數？

① 4

5

② 5

2

③ 2

5

④ 3

1

（27）5

4：□＝

5

8：

3

2，□內的是下列哪一個數？

① 5

2

② 3

1

③ 2

1

④ 15

8

（28）28：8＝□：2，□內的是下列哪一個數？

① 4

② 7

③ 14

④ 16

144

（29）10：□＝15：5

9，□內的是下列哪一個數？

① 3

2

② 5

3

③ 5

6

④ 5

18

（30）6：7

3＝□：3，□內的是下列哪一個數？

① 7

42

② 3

42

③ 14

④ 42

（31）15

18：□＝

15

6：

12

5，□內的是下列哪一個數？

① 12

15

② 12

30

③ 15

10

④ 15

12

（32）21：36＝□：24，□內的是下列哪一個數？

① 7

② 12

③ 14

④ 18

145

（33）7：□＝21：39，□內的是下列哪一個數？

① 13

② 14

③ 18

④ 21

（34）56：9

24＝7：□，□內的是下列哪一個數？

① 9

8

② 9

3

③ 9

7

④ 9

1

（35）16

15：□＝

8

5：

5

3，□內的是下列哪一個數？

① 15

6

② 16

15

③ 10

9

④ 40

15

（36）3

2：

5

3＝□：

5

18，□內的是下列哪一個數？

① 3

5

② 3

6

③ 3

9

④ 3

12

146

（37）32：□＝8：7，□內的是下列哪一個數？

① 21

② 24

③ 28

④ 30

（38）18：3

15＝12：□，□內的是下列哪一個數？

① 3

10

② 9

15

③ 9

10

④ 3

15

（39）9

7：□＝

3

14：12，□內的是下列哪一個數？

① 2

② 4

③ 3

7

④ 9

6

（40）15

28：

18

35＝

15

4：□，□內的是下列哪一個數？

① 15

7

② 18

5

③ 15

5

④ 18

7

147

（41）16：□＝40：65，□內的是下列哪一個數？

① 13

② 15

③ 25

④ 26

（42）下列哪一個是「57：63」的最簡單整數比？

① 13：9

② 19：23

③ 13：21

④ 19：21

（43）下列哪一個是「23

2：2」的最簡單整數比？

① 8：6

② 4：3

③ 3

8：2

④ 3

4：1

（44）下列哪一個是「35

1：5

3

1」的最簡單整數比？

① 3：5

② 5：3

③ 3

1：

5

1

④ 1：1